DESARROLLO DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA PARA LA MEJORA DE LA PRODUCCIÓN EN UNA EMPRESA DE FABRICACIÓN DEL SECTOR AZULEJERO

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1 27 Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa Lleida, 8-11 de abril de 2003 DESARROLLO DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA PARA LA MEJORA DE LA PRODUCCIÓN EN UNA EMPRESA DE FABRICACIÓN DEL SECTOR AZULEJERO M.E. Palmer 1, J.J. Alfaro 1, C. Andrés 1, J.M. Albarracín 1 1 Departamento de Organización de Empresas, E.F. y C. Universidad Politécnica de Valencia, España marpalga@omp.upv.es RESUMEN El presente trabajo desarrolla un modelo de programación dinámica para resolver el problema de programación de la producción que aparece en el contexto de una empresa de fabricación de pavimentos y revestimientos cerámicos. Se construye un modelo matemático que se adapte a las características de los procesos productivos de la empresa, cuyo objetivo será decidir la secuencia óptima de fabricación de los distintos productos de la empresa, así como de que forma deben asignarse los trabajos a las distintas máquinas de forma que el tiempo en que los productos permanezcan en el taller sea mínimo. Una vez construido el modelo se realizan distintos experimentos analizando los resultados obtenidos. Palabras y frases clave: Programación Dinámica, Secuenciación, Producción. Clasificación AMS: 90B Introducción La fabricación del revestimiento cerámico se realiza a partir de arcillas las cuales son sometidas a un tratamiento de molturación vía húmeda y, posteriormente, de atomización. La arcilla atomizada se prensa, formando unas piezas, que en el caso de bicocción se cuecen antes de ser esmaltadas y en monococción directamente pasan a esmaltarse. Por último el producto esmaltado pasa al horno. Una vez cocido el producto, es clasificado según diferentes calidades por medio de máquinas muy sofisticadas, que a gran velocidad, detectan los defectos de curvatura, ortogonalidad y luneta. Al mismo tiempo, un operario analiza los defectos de superficie. 1

2 La propia máquina de selección confecciona las cajas de cartón en las que se envasa el producto. Un robot recoge estas cajas y las almacena en los palets quedando el producto listo para su expedición. En el sistema productivo aparecen dos partes claramente diferenciadas (monococción y bicocción), en esta artículo se analiza el subsistema de monococción puesto que, a priori, plantea más dificultad a la hora de programar la producción, debido al número de recursos involucrados. En primer lugar, se englobará en una única entidad al conjunto formado por prensas, secaderos, volteadoras y líneas de engobe y esmaltado. Esto es debido a que todas estas máquinas están unidas por un sistema de cinta transportadora y, por lo tanto, el orden de paso de los productos fabricados es el mismo en todas las máquinas. En segundo lugar, se considerará a cada horno como una máquina. Las secciones de clasificado y embalado están unidas por una cinta transportadora, por lo que las consideraremos una máquina única. Entre la sección de líneas y hornos y entre hornos y clasificación existen unas amplias zonas de almacenamiento que, a efectos de la investigación, se supondrán de capacidad infinita. Cada una de estas etapas tiene una capacidad productiva diferente en función del modelo y cantidad de productos a fabricar. Esta capacidad ha sido obtenida a partir de datos reales de empresas del sector. El modelo planteado involucra a nueve máquinas ordenadas tal y como se observa en la figura 1. Etapa 1 Etapa 2 Etapa 1 M11 M12 M13 M14 M21 M22 M12 M13 M14 Figura 1: Modelización del modelo de monococción de la empresa cerámica 2

3 Los productos fabricados pasan, en un primer momento, por la primera etapa (prensas y líneas), y después por la segunda (hornos), por último pasan por una tercera etapa (embalaje y clasificación). Dentro de cada una de las tres etapas existen varias máquinas capaces de realizar la operación requerida. 1.1 Presunciones Para facilitar su análisis se considerarán las siguientes simplificaciones: 1. No existirá la posibilidad de solapar lotes. La fecha más temprana de inicio del procesamiento de la primera pieza de un lote en un recurso, siempre será mayor o igual que la de finalización de la última pieza del mismo lote en la etapa anterior, lo que equivale a considerar cada lote completo como un trabajo único, cuyo tiempo de proceso total será el producto del tamaño de lote por el inverso de la capacidad del recurso (h/m2). 2. No existirá la posibilidad de fraccionamiento de los lotes en varios recursos, sino que se supone que esta opción ya habrá sido tenida en cuenta a la hora de definir el plan de fabricación. 3. En el momento en que un lote se empiece a procesar en un recurso no se podrá interrumpir la operación hasta no haber terminado con las unidades que componen ese lote. 4. Aquellos recursos en los que no exista posibilidad de alterar la secuencia de trabajo debido a que está contactados entre sí por una cinta transportadora, se supondrán uno solo. 5. Entre cada etapa del sistema existe un almacén de capacidad ilimitada. 6. Los tiempos de proceso y cambio de partida se suponen fijos y conocidos con anterioridad, y no dependen de la simultaneidad o no de estos cambios en varios recursos. 7. Se sabe con antelación todos los trabajos a realizar en el Plan de Producción. 8. No existen restricciones de mano de obra o materias primas. 9. Todos los recursos que pertenecen a una etapa se suponen idénticos. 10. Todos los recursos se encuentran disponibles, no existiendo turnos de trabajo, paradas por mantenimiento o averías. 11. Las fechas de entrega se suponen conocidas al inicio del programa de producción. 3

4 12. Se estiman los tiempos de proceso en base a tiempos de ciclo según los históricos de producción. 13. Los tiempos de cambio en cada etapa representan el tiempo necesario para instalar, preparar y ajustar máquinas, así como el tiempo necesario para realizar las pruebas iniciales hasta que el producto obtenido tenga las características y calidad deseadas. 2. Modelización. Breve estado del arte La modelización de diferentes problemas de Programación de Producción, se ha venido realizando desde los inicios de la Investigación de Operaciones. En este contexto aparecieron los primeros modelos lineales con variables continuas (PL) [Bowman, 1959] y modelos mixtos con variables continuas y enteras (PLM) [Manne, 1960]. En los años sucesivos han ido apareciendo diversos modelos basados en los anteriores, que han ido incorporando características adicionales en los problemas de secuenciación. En estas formulaciones, la elección y definición de las variables y las restricciones determinan la estructura y el tamaño del modelo. El criterio de secuenciación es definido por la función objetivo y las restricciones definen el taller de flujo y otras características del problema. A continuación se describen algunos modelos que, por su relación con el tema tratado, se han creído conveniente detallar. 1.2 Programación en Job-shop Fue uno de los primeros modelos planteados para resolver el problema[manne, 1960]. Es aplicable a cualquier caso de Programación de Producción en contexto determinista y estático, donde existen N trabajos a secuenciar en M máquinas (el problema de asignación se supone resuelto y se asume que cada trabajo o tarea requiere ser procesada en cada máquina una única vez). [Shapiro, 1993] presenta diversas extensiones a este modelo incluyendo la resolución del problema de asignación, precedencia parcial entre operaciones y trabajos, etc. 1.3 Programación en Taller de Flujo Híbrido El problema de Programación de Producción en talleres de flujo híbridos puede ser analizado, ya que cada etapa del taller es un conjunto de máquinas en paralelo en el que se tienen que programar los trabajos. Ambos problemas tienen en común, que se deben de resolver dos tipos de cuestiones a la hora de determinar la programación de los trabajos [Cheng y Sin, 1990]: 1. Asignación de los trabajos a las máquinas. 2. Determinación del orden de los trabajos en las máquinas. Uno de los primeros artículos que tratan los Talleres de Flujo híbridos se debe a [Shen y Chen, 1970] los cuales proponen una estrategia heurística de programación para 4

5 el taller de dos etapas, con el objetivo de minimizar Cmax basada en una extensión del algoritmo de [Johnson, 1954]. [Salvador, 1973] presenta un procedimiento de separación y evaluación basado en programación dinámica, para la optimización del makespan en un taller de flujo híbrido de k etapas y un número diferente de máquinas por etapa. [Riane, Artiba y Elmagharaby, 1998] plantean un estudio de un taller de flujo híbrido de tres etapas a partir de un caso de una industria de fabricación de tableros, con una máquina en las etapas uno y tres y dos máquinas en las etapas intermedias en las que la asignación de los trabajos se realiza con antelación. Proponen dos algoritmos para su resolución. El primero se basa en aplicar programación dinámica a una secuencia de los trabajos obtenidas, mediante la regla CDS, y subdivide el problema en dos subproblemas en función de que los trabajos se asignen a la primera o segunda máquina de la segunda etapa. Consideran que para cada subproblema la capacidad de la máquina de las etapas uno y tres es la original dividida por el número de trabajos que pertenecen a cada subproblema y multiplicada por los tiempos de proceso en las etapas uno y tres. El segundo enfoque se basa en un algoritmo de ramificación y acotación. Para ello, definen cotas superiores del makespan. Este último procedimiento se revela mejor que el primero. 1.4 Tiempos de Cambio de Partida en la Programación de Producción En el ejemplo clásico de programación de producción en una fábrica de pinturas propuesto por [Conway, 1967], el tiempo de ajuste de pasar de fabricar el color i al color j no es igual que el de fabricar el color j al i (cuesta menos ajustar para pasar de fabricar un color claro a uno oscuro que viceversa). En este caso, el problema es equivalente pues, a un problema de viajante de comercio asimétrico (PVCA). En estas situaciones se puede aplicar cualquier método específico para resolver este tipo de problemas según se ve en [Lawler, Lenstra, Rinnooy Kan y D.B.Shmoys 1985], [Laporte, 1992] o [Gouveia, L. y Vob, S., 1995] Entre los métodos optimizadores utilizados, se encuentran los procedimientos de separación y evaluación en donde el funcionamiento depende de las cotas inferiores utilizadas. Una cota inferior del PVC asimétrico se puede obtener mediante la resolución del problema de asignación asociado. También se pueden plantear algoritmos basados en programación dinámica. Todos ellos son eficientes en problemas de dimensión reducida. El mismo problema es abordado por [Buzacott y Dutta, 1971] y [Weeda, 1978] mediante el uso de programación dinámica. [Monma y Potts, 1989] introducen los tiempos de preparación dependiente de la secuencia entre lotes y proponen un algoritmo de programación dinámica polinomial en función del número de operaciones aunque exponencial en funcionan del número de lotes. Analizan el problema de minimizar la suma ponderada del tiempo de flujo en un entorno monomáquina con tiempos de cambio mayores dependientes de la secuencia. En este caso, si además se cumple la desigualdad triangular entre los tiempos de cambio, los autores desarrollan un enfoque basado en programación dinámica que 5

6 resuelve óptimamente el problema aunque el tiempo de cálculo aumenta con el tamaño del problema. [Uzsoy, Lee y Martin-Vega, 1992] desarrollan un algoritmo basado en programación dinámica para el caso de taller monomáquina con relaciones de precedencia entre los trabajos y tiempos de ajuste dependientes de la secuecnia1/prec, sij/lmax, y analizan el rendimiento de la regla EDD. [Chen 1997] plantea un método de optimización basado en programación dinámica para la minimización de la suma ponderada de retrasos y adelantos. Tiempos de preparación dependientes de la secuencia. [Corwin y Esogbue, 1974] plantea un algoritmo basado en programación dinámica para el caso de taller de flujo y minimización del makespan en el que los tiempos de ajuste son separables y dependientes de la secuencia en una de las máquinas. Sin embargo el procedimiento solo es aplicable a problemas con quince trabajos como máximo. 3. Modelo matemático de programación dinámica Como se ha mostrado anteriormente se puede considerar el proceso como tres secciones formadas cada una por diversas máquinas como muestra la figura 1. Con lo cual se puede considerar el proceso como tres fases: Figura 2: Distribución de las máquinas en las distintas secciones que modelizado formalmente como un modelo de programación dinámica quedaría: Figura 3: Esquematización del proceso según la programación dinámica 6

7 f * n * { r ( x, u ) + f ( x )} ( xn) = minun n n n n n 1 siendo: n = Fase actual. Este índice indica cuantas fases hay desde la actual hasta el final del proceso (problema) n-1= Fase anterior. x n = Estado del sistema en la fase actual para el que se determina la relación recursiva. x n-1 = Estado en la fase anterior. f n * (x n )= Beneficio total obtenido para cada alternativa, empezando por el estado s n en la fase n hasta el final del proceso. f n-1 * (x n-1 )=Beneficio óptimo total obtenido en la fase previa. r n (x n,u n )= Beneficio inmediato obtenido en la fase n, cuando la decisión d n es realizada por un valor específico s n de las variables de estado. u n = Decisión, entre las alternativas posibles, realizada en la fase n en el estado considerado. En este caso: u n = (a 1,a 2,...,a n ), vector de tantas variables como máquinas hayan en esa fase u 1 = (a 1,a 2,a 3,a 4 ) u 2 = (a 1,a 2 ) u 3 = (a 1,a 2,a 3 ) n rn = ( tpi, j + tck, i + max( tai, tsk )) 1 siendo tp i,j el tiempo de proceso de la pieza i en la máquina j tc k,i el tiempo de cambio de la máquina de la pieza k a la pieza i ta i el tiempo acumulado de la pieza i en las máquinas anteriores ts k el tiempo en el que la máquina k está disponible Este caso no sería un caso puro de programación dinámica, ya que el término f n * (X n-1 ) en este caso es un término simbólico, ya que como hay más piezas que máquinas en cada etapa este término dependería de las piezas que se estén considerando en cada ocasión, el término definido anteriormente como max(ta i,ts k ) supliría a éste término. Para visualizar mejor el significado del último término se ilustra el siguiente ejemplo: Inicialmente en la fase de prensa y esmaltado se acaban de procesar en cada una de las máquinas las siguientes modelos de azulejos; en la máquina 1 el modelo 12, en la máquina 2 el modelo 7, en la máquina 3 el modelo 67, y por último, en la máquina 4 el modelo 100. Con lo cual tc 0 =(12,7,67,100). 7

8 Se quieren procesar los siguientes modelos: 5, 15, 25 y 35, y se asignan de esta manera: en la máquina 1 el modelo 25, en la máquina 2 el modelo 15, en la máquina 3 el modelo 5 y en la máquina 4 el modelo 35. Con lo cual u 1 (25,15,5,35). De este modo r 1 quedará como: r 1 = ( tc12,25 + tp25,1) + ( tc7,15 + tp15,2) + ( tc67,5 + tp5,3) + ( tc100,35 + tp35, 4) Donde tc 12,25 es el tiempo que se tarda en realizar los ajustes necesarios a la máquina 1 de la sección de prensa y esmaltado para pasar de producir el modelo 12 al modelo 25. Y siendo tp 25,1 el tiempo que se tarda en procesar el lote de piezas del modelo 25 en la máquina 1 de la sección de prensa y esmaltado. Que será igual al tamaño del lote por el tiempo de ciclo de dicho modelo en dicha máquina. Si se prueba otra combinación se obtiene otro rendimiento, evidentemente interesa el rendimiento menor puesto que es el que procesa las piezas en el menor tiempo. Si tenemos n piezas, probando todas las combinaciones posibles que se pueden dar en esa sección se puede obtener la combinación de piezas que menor tiempo tarde en ser procesado, con lo cual disminuiría el tiempo de realización del makespan. Para explicar el significado del término ta i y el de ts k se ilustra el siguiente ejemplo: Inicialmente en la sección de horno tenemos que tc 0 (1,2) y se quieren procesar los modelos 26 y 27. El modelo 26 se tiene disponible a partir de t=26 h (es el tiempo que ha tardado en ser procesado el lote del modelo 26 en la sección de prensa y esmaltado) y el modelo 27 se tiene disponible en t=15 h. Del mismo modo el ts de la máquina 1 es de 51 h mientras que el ts de la máquina 2 es 12 h. Si se prueba la combinación u 2 (27,26) se tiene: r 2 = ( tp27,1 + tc1,27 + max( ta27, ts1)) + ( tp26,2 + tc2,26 + max( ta26, ts2)) En el que ta 27 valdría 15 horas y ts 1 51 horas de modo que el término valdría 51h. El término ta i y el ts k influirán en el rendimiento total obtenido. 4. Pruebas realizadas Con el modelo anterior se realizaron pruebas modificando el número de piezas a secuenciar y el lote a fabricar. Todas partirán de las mismas condiciones iniciales, es decir, todas tendrán los mismos modelos inicialmente en las máquinas a partir de las cuales se va a secuenciar. Para comprobar de forma más evidente estas evoluciones se han tomado tamaños de lotes intermedios y luego se han representado sus progresiones. 8

9 Tamaño de lote m2 Tf Tt Ti Ti/Tt Tf/Tt m2/tf m2(ti+tt) ,1 212,9 35,3 16,58% 35,74% 131,41 40, ,05 235,1 34,9 14,85% 35,33% 135,46 41, ,3 34,5 13,41% 34,99% 138,89 42, ,95 279,4 34,1 12,20% 34,70% 141,83 43, ,5 316,6 39,9 12,60% 32,69% 144,93 42, ,9 338,8 32,3 9,53% 32,43% 147,90 43, , ,05 10,82% 32,21% 150,54 43, ,6 383,1 30,5 7,96% 32,01% 152,91 45, ,3 29,6 7,30% 31,83% 155,04 45,988 Tabla 1: Resultados obtenidos siendo Tf el tiempo de finalización del Makespan Tt la suma de todos los tiempos de proceso y transición Ti el tiempo de inactividad de las máquinas 5. Conclusiones Al aumentar el tamaño de lote con la misma secuencia podemos observar que la secuencia se mantiene a la obtenida en la prueba 2, pero se reducen los tiempos de espera entre tareas en las máquinas. Los incrementos en el número de piezas provocan que el tiempo de finalización del makespan disminuye, esto es posible a que debido a que hay más piezas se producen más combinaciones y hay más posibilidades de que los tiempos de cambio de la primera etapa disminuyan En la última prueba realizada con piezas de distinto tamaño de lote se puede ver que las piezas de menor tamaño de lote son las que se secuencian primero, lo cual fuerza a que en las etapas posteriores se produzcan grandes tiempos de espera. Esto se podría solventar forzando a que las piezas de mayor lote sean secuenciadas en primer lugar. Planteando algunos ratios se pueden observar cosas interesantes, por ejemplo, que la proporción del tiempo de inactividad respecto del tiempo que se está trabajando disminuye al aumentar el tamaño de lote; esto quiere decir que cada vez las máquinas en proporción a lo que producen están menos inactivas. Del mismo modo sucede al ver la proporción entre el tiempo de finalización con el Tt, se puede ver que al aumentar el tamaño de lote disminuye la proporción, esto quiere decir que en proporción a la cantidad que se produce se termina antes con las tareas. Lo último que se puede observar es que la productividad reflejada respecto del tiempo de finalización del Makespan como respecto del total de los tiempos aumenta al aumentar el tamaño de lote. 9

10 Se puede utilizar la modelización mediante programación dinámica para resolver este timo de problema, salvo la complejidad aparecida en los procesos con multitud de piezas a secuenciar donde el modelo se complica extremadamente y, en esas situaciones se hace aconsejable la utilización de modelos alternativos. Referencias Andrés, C., Tormo, G., Albarracín, J.M. Y Vicens, E. (1998): Group Technology in a two stage flowshop environment: a case study. 16th European Conference on Operations Research Bowman, E.H. (1959): The schedule-sequencing problem. Operations Research, 7, Buzacott, J.A., Dutta, S.K. (1971): Sequencing many jobs on a multipurpose facility. Naval Research Logistics Quarterly, 18, Conway, R.W., Maxwell, W.L. y Miller, L.W. (1967): Theory of Scheduling. Addison- Wesley. Corwin, B.D. y Esogbue, A.O. (1974): Two-machines Flowshop Scheduling problems with Sequence Dependent Setup Times: A dynamic programming approach, Naval Research Logistics Quarterly, 21, Chen, R. y Gen, M. (1994): Evolution program for resource constrained project scheduling probleems. Proceedings of the First IEEE Conference on Evolutionary computation, IEEE Press, USA, Cheng, T.C.E., y Sin, C.C.S. (1990): A state-of-the-art review of parallel-machine scheduling research. European Journal of Operational Research, 47, Lawler, E.L. (1964): On scheduling problems with deferral costs, Management Science, 11, Manne, A.S. (1960): On the job shop scheduling problem. Operations Research, 8, Monma, C.L. y Potts, C.N. (1989): On the complexity of scheduling with batch setup times. Operations Research, 37, Riane, F., Artiba, A. y Elmaghraby, S.E. (1998): A hybrid three-stage flowshop problem: efficient heurístics to minimize makespan. European Journal of Operational Research 109, Salvador, M.S. (1973): A solution to a special class of flow-shop scheduling problem. Symposium on the Theory of Scheduling and its Applications. Springer-Berlag, Berlin (Alemania), Shapiro, J.F. (1993): Mathematical Programming Models and Methods for Production Planning and Scheduling. Ed. Graves, C., Handbook in OR & MS, 4. 10