CAPÍTULO 3. JOSÉ MARÍA SARABIA MARTA PASCUAL Departamento de Economía Universidad de Cantabria

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1 CAPÍTULO 3 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS JOSÉ MARÍA SARABIA MARTA PASCUAL Deprtmento de Economí Universidd de Cntri RESUMEN En un estudio reciente Sri Cstillo y Slottje (999 proponen un método generl pr otener fmilis jerárquics de curvs de Lorenz prtiendo de un curv generdor inicil. L fmili tiene propieddes generles de ordención es ltmente flexile y los prámetros se interpretn en términos de medids de desiguldd. En el presente trjo se proponen dos fmilis jerárquics de curvs de Lorenz construids siguiendo el método nterior. L primer de ells es l llmd de Preto Generlizd y l segund es l sd en l función de pérdid simétric LINEX. Se reliz un nálisis empírico prtir de los dtos propuestos por Css Cllelt y Núñez (996 pr el cso ncionl y Shorrocks (983 pr el interncionl. PALABRAS CLAVE: Desiguldd Encuests Básics de Presupuestos Fmilires Índices de Atkinson y de Gini Generlizdos Curv de Lorenz.. TEMA: Modelizción de dtos utilizndo fmilis de distriuciones. INTRODUCCIÓN L desiguldd económic es un concepto complejo cuyo nálisis entrñ no pocs dificultdes. Durnte décds se h trtdo de nlizr l desiguldd en l distriución de l rent y son muchs ls medids de desiguldd que se hn propuesto en l litertur económic. Asimismo se h producido un creciente interés y desrrollo de l teorí estdístic pr inferir l dominción de un distriución (rent slrios etc. sore otr. Pr este fin se hn utilizdo diversos criterios tles como l dominción estocástic de primer y segundo

2 38 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ orden l dominción de Lorenz l dominción estocástic de tercer orden (versión l desiguldd en ls rents js etc. Alguns referencis son Atkinson (970 Sen (973 Dsgupt Sen y Strret (973 Mrshll y Olkin (979 Bech y Dvidson (986 Arnold (987 Bishop Formy y Thistle (992 Sri Cstillo y Slottje (999. Todos los criterios citdos nteriormente suponen principios stnte generles tles como el principio de trnsferencis de Pigou-Dlton nonimidd eficienci equidd etc. No ostnte cundo doptmos un visión ojetiv de l desiguldd de l rent no deemos olvidr su incidenci sore el nivel de ienestr socil. Sen (973 nliz un interesnte enfoque pr l medición del ienestr que nos llev un serie de funciones de utilidd interrelcionds. Típicmente con ls comprciones se usc estlecer rnkings de desiguldd y de ienestr socil. Desfortundmente no siempre es posile estlecer ordenciones sin migüedd. Por ejemplo ordenciones sds en l dominción estocástic de primer orden dn lugr un porcentje de ordenciones de entre el 75 y el 78 por ciento de tods ls posiles comprciones entre prejs mientrs que ordenciones sds en l dominción estocástic de segundo orden (curvs de Lorenz generlizds dn lugr un porcentje de entre el 82 y 84 por ciento de tods ls prejs. Se utilizn dos hipótesis de trjo. L primer hipótesis estlece que eligiendo un decud form funcionl prmétric (es decir que cumpl un serie de propieddes deseles relcionds con su rngo form prámetros fundmentción teóric mnejilidd nlític etc. (Css et l. 996 se pueden inferir muchs de ls propieddes reltivs l desiguldd. L segund de ls hipótesis de trjo postul que existen determinds ordenciones estocástics congruentes con principios ásicos de desiguldd que dn lugr rnkings con un menor grdo de migüedd. El hecho de elegir un form funcionl pr l distriución de rents puede resultr restrictivo priori. En consecuenci por qué deemos imponer un form funcionl sore los dtos y clculr los índices de desiguldd sándonos en los prámetros de es distriución prticulr cundo podemos otenerlos directmente prtir de los dtos empíricos? Ls rzones son vris. En primer lugr utilizndo proximciones prmétrics de l curv de Lorenz podemos sintetizr miles de oservciones estimndo lgunos prámetros. Además hy que tener en cuent el coste informático de lmcenr tod l informción y el coste en términos de tiempo que en cso de no considerr un form prmétric es considerle. Por otr prte l informción contenid en un función de densidd es enorme y nos

3 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS 39 puede proporcionr clves pr determinr el por qué de cd nivel de desiguldd. Asimismo podrímos estudir l curtosis simetrí cuntiles etc. Todo ello enriquece l informción disponile sore los dtos. En segundo lugr cundo plntemos un form prmétric gnmos flexiilidd sin perjuicio de poder hcer comprciones tnto nivel gregdo como individul. Además est úsqued de funciones teórics que se justen l distriución oservd de rents puede ser justificd desde vrios puntos de vist (Css et l. (996: El trjo empírico en el cmpo de rents personles se enfrent en generl con dtos en form grupd ien porque vengn y sí o ien por su inmnejilidd cundo son muy numerosos. Especificndo un distriución teóric que se proxime l distriución rel de frecuencis se otiene un instrumento válido pr interpolr dentro de cd clse de rents. Muchos indicdores de desiguldd se definen en términos de rents individules. Cundo se trj con dtos grupdos pr clculr el vlor de tles medids es necesrio incluir hipótesis dicionles pr ls rents dentro de ls clses. Si se otiene un uen y decud distriución proilístic se pueden otener los indicdores de desiguldd prtir de los prámetros estimdos sin necesidd de dmitir iguldd de rents dentro de ls clses. A prtir de un distriución proilístic determind se pueden otener relciondmente distints medids de desiguldd lo que result muy útil pr interpretr dichs medids. Si tenemos un distriución proilístic que refleje fielmente el comportmiento de ls rents personles medinte prámetros cuyos vlores pueden ser pronosticdos se pueden relizr simulciones que incorporen elementos de l distriución de rents personles. Asimismo se pueden construir modelos cuyo ojetivo se predecir vriles específics. Se dee tener en cuent que muchs vriles regionles están relcionds con l distriución de rents (por ejemplo ienes de consumo demnd de viviend demnd de trnsporte... L utilizción de informción derivd de encuests pr el estudio de l distriución personl de l rent hce difícil el trjo del nálisis de l mism sore todo cundo nos encontrmos discontinuiddes en l distriución difícilmente justificles por el propio comportmiento de ls rents en estudio. Un modelo teórico pr el estudio de l distriución puede ser un solución decud este prolem.

4 40 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ Cundo estudimos l desiguldd existente en l distriución se puede producir un ciert distorsión provocd por ls ponderciones del muestreo. De este modo cundo nlizmos diferentes indicdores de desiguldd ls ordenciones que éstos conducen pueden precer poco estles. En estos csos un modelo teórico pr l distriución de ls rents puede suvizr ests diferencis y proporcionr ordenciones generlmente más estles. Cundo elegimos un decud form funcionl podemos nlizr de mner eficiente diverss propieddes estdístics y podemos compror l ondd de juste de un form riguros y rápid. Ovimente l form de l curv de Lorenz depende de l especificción de l función de distriución suycente y son muchs ls forms funcionles propuests en l litertur económic. De hí que el prolem de l especificción funcionl de l curv de Lorenz sig siendo un ctivo cmpo de investigción. Alguns propuests son: Kkwni y Podder (973 Rsche el l. (980 Pkes (98 Aggrwl y Singh (984 Gupt (984 Arnold (986 Arnold et l. (987 Villseñor y Arnold (989 Bsmnn et l. (990 Orteg et l. (99 Chotikpnich (993 Holm (993 Ryu y Slottje (996 Sri (997 y Sri et l.(997. El trjo se estructur de l siguiente mner. L sección 2 introduce l teorí ásic sore curvs de Lorenz. L sección 3 present l fmili de curvs de Lorenz de Preto que se utilizn como instrumento en el estudio de l desiguldd. En l sección 4 se proponen nuevs forms funcionles pr l curv de Lorenz poyándose en ls propieddes deseles de dichs curvs y en ls diverss propuests existentes. En cunto l nálisis empírico se hn utilizdo dos importntes conjuntos de dtos. En un primer proximción se hn utilizdo dtos corregidos de l distriución de l rent en Espñ y dtos interncionles. Los resultdos serán interpretdos l luz de ls considerciones de tipo teórico otenids con nterioridd. 2. RESULTADOS PREVIOS DEFINICIÓN: Se consider l curv de Lorenz de cuerdo con l definición de Gstwirth (97. Pr un función de distriución F x (x con soporte sore un suconjunto de los números reles positivos y con espernz finit se define l curv de Lorenz como: Lx ( p = µ Fx ( x dx; 0 p 0

5 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS 4 donde: Lx ( p = µ F 0 x ( x dx; 0 p TEOREMA: Se L(p un función definid y continu en el intervlo [0; ] con segund derivd L (p. Entonces L(p es un curv de Lorenz si y sólo si se verific: + L ( 0 = 0 ; L ( = ; L ' (0 0 ; L ' '( p 0 p (0 Est crcterizción de l curv de Lorenz se triuye Gffney y Anstis por Pkes (986. DEFINICIÓN: Se L x (p un curv de Lorenz. Llmmos curv de Lorenz Generlizd LG x (p : LGx ( p = µ Lx ( p Es decir l curv de Lorenz Generlizd se otiene multiplicndo ls ordends de l curv de Lorenz por l rent medi lo que supone un cmio de escl en ést. 3. LA FAMILIA DE CURVAS DE LORENZ DE PARETO GENERALIZADA En est prte del trjo nos plntemos l generción de rents medinte l fmili de curvs de Lorenz de Preto Generlizd propuest por Sri Cstillo y Slottje (999. Se uscn forms funcionles que se dpten decudmente l form de ls distriuciones empírics de ls rents y que verifiquen cierts propieddes de interés. L fmili nlizd se just decudmente y es estle respecto l form funcionl elegid. Se utilizn los dtos corregidos de ls Encuests Básics de Presupuestos Fmilires propuestos por Css Cllelt y Núñez (996. Se hn utilizdo dos fmilis prmétrics de l jerrquí que coinciden con ls propuests de Orteg et l. (99 y Rsche et l. (980 con el fin de nlizr l sensiilidd de los resultdos respecto l form funcionl. Se comienz con un curv de Lorenz inicil y se v construyendo un fmili con un número creciente de prámetros. A prtir de los resultdos otenidos se estudin diversos csos de dominción estocástic sí como sus implicciones en l evolución del ienestr socil. Asimismo se nliz l desiguldd medinte diversos juicios de vlor incluyendo índices de porez y medids del nivel de desrrollo.

6 42 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ De entre ls diverss forms de modelizr dtos sore l distriución de l rent dentro de un contexto prmétrico (funciones de distriución funciones de densidd de percentiles función de elsticidd de rent etc. ls curvs de Lorenz y ls curvs de Lorenz generlizds proporcionn un form lterntiv con cierts ventjs. Entre los modelos prmétricos propuestos en l litertur destcmos ls propuests de Kkwni y Podder (973 Rsche et l. (980 Pkes (98 Arnold (983 Gupt (984 Villseñor y Arnold (989 Bsmnn et l.(990 Orteg et l. (99 Chotikpnich (993 Ryu y Slottje (996 y Sri et l.( Metodologí En un trjo reciente Sri Cstillo y Slottje (999 proponen un método generl que permite construir un jerrquí de curvs de Lorenz con un número creciente de prámetros. El método comienz con un curv de Lorenz inicil L 0 (p. A prtir de est curv se consider l jerrquí de curvs: α L p; α = p L ( p ( α > ó (0 α < L ' '' ( p 0 ( 0 0 γ L 2 ( p; γ = L0 ( p γ > α γ L3 ( p; α γ = p L0 ( p ( α γ > ó (0 α < γ L0 '' '( p 0 Se puede pror que ls expresiones L ( p; α y 2 ( p; γ 3 ( p; α γ ( p; α 2 ( p; γ L son siempre curvs de Lorenz genuins. L curv L surge cominndo L y L. En lgunos csos se precisn condiciones de regulridd reltivs l derivd tercer. Como pruen los utores nteriores existen un grn número de situciones donde ls curvs están ordends respecto de los prámetros α y γ lo que proporcion l jerrquí un especil trctivo. Además los nuevos prámetros que se incorporn l jerrquí pueden interpretrse en términos de elsticiddes de l curv inicil L fmili de curvs de Lorenz de Preto L fmili de curvs propuest comienz con l curv de Lorenz de l distriución clásic de Preto: k L p = L ( p; k = ( p 0 < k 0 ( 0

7 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS 43 Puesto que L '( p 0 podemos plicr los resultdos nteriores con tod generlidd. Consecuentemente podemos considerr l fmili prmétric de curvs de Lorenz: α k L ( p; k α = p ( p α 0 [ ] 0 k γ [ ( p ] α k γ = p [ ( p ] α 0 γ L ( p; k γ = γ 2 L 3 ( p; k α γ Dich fmili de curvs de Lorenz recie el nomre de Preto Generlizd. En l fmili nterior se reconocen lguns propuests de l litertur de curvs de Lorenz. L fmili L ( p; k α coincide con l propuest de Orteg et l. (99. L fmili L 2 ( p; k γ se corresponde con l propuest de Rsche et l. (980 prtir de un modificción de l fmili de Kkwni y Podder (973. Si k = L 2 ( p; k γ se convierte en un curv de Lorenz potencil con función de distriución de soporte cotdo. L fmili L ( p; k α sigue siendo un curv de Lorenz cundo 0 <γ <. 3 γ 3.3. Breve referenci metodológic sore los dtos Como se h indicdo nteriormente los dtos utilizdos corresponden l distriución de l rent per cápit disponile de Espñ propuestos por Cllelt Css y Núñez (996 dentro del trjo Distriución Personl de l Rent en Espñ dirigido por Bernrdo Pen. Los dtos recogen ls distriuciones de l rent derivds de ls Encuests Básics de Presupuestos Fmilires y comptiilizds con los gregdos deducidos prtir de ls Contiliddes Ncionles en diverss ctegorís: nivel ncionl Comuniddes Autónoms ctegorís socioprofesionles y clses de háitt. Ls declrciones de ingresos de ls fmilis en ls EBPF están muy por dejo de l relidd. Esto se pone de mnifiesto simplemente comprándolos con los resultdos sore gsto y horro. Además no se dee olvidr que los resultdos están sdos en un muestr y por tnto están sujetos los errores de muestreo. Un vez detectd l ocultción en los dtos de rent dichos utores proceden un proceso de corrección medinte un ts de ocultción progresiv. Los dtos hn sido corregidos siguiendo uns hipótesis rzonles unque lógicmente discutiles. Si ien es cierto que los errores proles cometidos l utilizr dichs hipótesis pr l corrección son menores que los errores que se producirín con los dtos no corregidos.

8 44 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ Por otr prte se utilizn los dtos de ingresos y no los del gsto. Estdísticmente los dtos sore el gsto son stnte files y es cierto que el gsto podrí servir como proximción l rent sin emrgo esto es ceptle pr los niveles jos de rent en los que l propensión mrginl l consumo es próxim uno pero muy discutile pr los niveles ltos de rent desvirtuándose por tnto el nálisis. L informción ásic procede de ls Encuests Básics de Presupuestos Fmilires relizds en y 990. El ámito polcionl es idéntico en ls EBPF de y es decir ls uniddes de nálisis son los hogres privdos que residen en viviends fmilires principles investigándose tods ls persons que resultn ser miemros del hogr. El ámito geográfico es csi común en ls tres encuests con l únic excepción de l exclusión de Ceut y Melill en l EBPF de El ámito temporl es en ls tres encuests un periodo continuo de doce meses idéntico pr ls EBPF de y y con un desfse de un trimestre pr l de En ninguno de los tres csos este periodo coincide con el ño de clendrio que comienz el de enero y termin el 3 de diciemre. Sin emrgo se consider que los dtos de ls EBPF se re eren l ño en el que se relizn l myor prte de ls oservciones. Est signción es más fácil de dmitir pr ls encuests de y que comenzron en ril y stnte más discutile pr l de que comenzó en julio. Pr l clsificción de los hogres por ctegorís socioprofesionles se tomn los ingresos de cd un de ls persons que componen el hogr se elige un de ells como sustentdor principl y luego se tienen en cuent un conjunto de crcterístics de est person pr clsificrl en un ctegorí socioprofesionl que es su vez l que se sign l hogr del que form prte. Entre ls crcterístics del sustentdor principl que se recogen en ls EBPF ce destcr: - Relción con l ctividd económic - Ocupción profesión o puesto de trjo - Situción profesionl - Nivel de instrucción - Rm de ctividd del estlecimiento donde trj De este modo el hogr en su conjunto se clsific en l ctegorí socioprofesionl que corresponde l sustentdor principl del mismo. Después de los correspondientes justes l clsificción por ctegorís socioprofesionles es l siguiente:

9 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS 45 Empresrios grrios con slridos y directores gerentes y personl tituldo grrio (EACA. Empresrios grrios sin slridos (EASA. c Resto de ctivos grrios (RAA. d Empresrios no grrios con slridos y profesionles lierles con o sin slridos (NACA. e Empresrios no grrios sin slridos y trjdores independientes (NASA. f Directivos gerentes y cudros superiores no grrios y profesionles de ls Fuerzs Armds (CSNA. g Cudros medios y resto del personl dministrtivo comercil y técnico (CMNA. h Contrmestres cptces y jefes de grupo no grrios (JNA. i Oreros no grrios y resto de trjdores de los servicios (ONA. j Activos no clsificles incluso prdos y no ctivos (OTRO. En cunto l clsificción por Tmño de Háitt se considern cutro grupos: I. Municipios de hst 2000 hitntes (TIPO. II. Municipios de 200 hst 0000 hitntes (TIPO 2. III. Municipios de 000 hst hitntes excepto cpitles (TIPO 3SC IV. Municipios de más de hitntes y cpitles (TIPO 4CC Pr nuestro estudio hemos utilizdo los dtos correspondientes l rent per cpit disponile en y 990 en pesets constntes del ño se 986 teniendo en cuent ls clrciones nteriores. Los dtos interncionles precen en Shorrocks (983. L informción procede del estudio relizdo por Jin (975. Los 9 píses incluidos son especilmente interesntes porque corresponden grupos con diferente grdo de desiguldd. Los dtos estn divididos en grupos de ingresos correspondientes los percentiles y Medids de desiguldd porez y desrrollo El nálisis y l medición de l desiguldd trvés de índices h tenido un grn desrrollo durnte ls últims décds. Ls medids de desiguldd permiten l ordención complet de diferentes distriuciones de rent según el

10 46 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ grdo de desiguldd registrdo si ien tl y como se h puesto de mnifiesto nteriormente pueden ser incomptiles con determindos criterios. Los criterios seguidos pr l selección de ls medids de desiguldd pueden sintetizrse en un formulción lo más simple posile pero sin olvidr que dichs medids hn de verificr unos xioms ásicos como son el xiom de simetrí o imprcilidd el principio de trnsferencis de Pigou-Dlton el xiom de normlizción y el de continuidd. A continución se incluyen los índices utilizdos: 3.4. Índice de Gini En el cso de l fmili de curvs de Lorenz de Preto Generlizd el índice de Gini viene ddo por: k G0 ( k = + k G ( k α = 2 β ( α + β ( α + k [ ] + 2 G 2 ( k γ = β γ + k k Γ( ( 3 ( = 2 i γ G k α γ β α + ki Γ( i + γ Γ( γ + i= 0 donde β ( y Γ ( representn l función Bet y Gmm respectivmente Índice de Theil de orden X T = E µ X log µ Índices de Atkinson de órdenes K=0.5 (con escs versión l desiguldd k= (con un versión medi l desiguldd y k=2 (con lt versión l desiguldd.

11 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS Indicdor de desrrollo D it = ( G ( θ µ it it donde µ it y G it representn respectivmente l rent medi y el índice de Gini de l comunidd i-ésim en el ño t. Este indicdor fue propuesto por Sen (973 y puede utilizrse como un función de ienestr Índice de porez Como indicdor se h elegido l mitd de l rent ncionl medi fmilir. Este vlor puede otenerse fácilmente prtir de l curv de Lorenz teniendo en cuent su relción con l función de distriución suycente Dominción estocástic Como se h indicdo nteriormente los dtos utilizdos corresponden l distriución de l rent per cpit disponile en Espñ propuestos por Css et l. (996 en diverss ctegorís: nivel ncionl Comuniddes Autónoms ctegorís socioprofesionles y clses de háitt. En orden investigr si l distriución de l rent durnte los ños h experimentdo un mejor en el nivel de ienestr ncionl hemos otenido ls curvs de Lorenz Generlizds (Shorrocks 983; Thistle 989 en los tres periodos considerdos. Como specto destcr señlr que ls medids de desiguldd porez y desrrollo respecto de ls curvs L ( p k α y L 2 ( p k γ pens se diferencin. Esto prue l estilidd de ls dos forms funcionles. En el Gráfico (Anexo 2 se muestrn ls curvs de Lorenz Generlizds nivel ncionl pr los tres períodos considerdos de cuerdo con los modelos L ( p k α y L 2 ( p k γ. Como puede oservrse pr ms fmilis prmétrics l curv de Lorenz generlizd de 990 domin completmente l de 980 y ést l de 973 con lo que puede hlrse propimente de un disminución de l desiguldd nivel ncionl en el periodo considerdo. Puesto que se produce un dominción de l curv de un período con l del otro se puede concluir que en términos del nivel de vid rent l situción h mejordo. Un de ls ventjs de trjr con este tipo de curvs es que el porcentje de comprciones no resuelts es mucho menor. Est mism propiedd se cumple con l fmili de Preto Generlizd.

12 48 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ En los gráficos 2 3 y 4 (Anexo 2 se muestrn ls curvs de Lorenz generlizds de cd un de ls clses de háitt en y 990 respectivmente. En todos los csos los municipios con menos de 0000 hitntes presentn un grdo de desiguldd myor. No ostnte si nlizmos l evolución de l desiguldd de estos municipios desde 973 oservmos que en todos los niveles se h producido un disminución de l desiguldd siendo myor est disminución en l décd de los Evolución de l desiguldd y l porez Pr cuntificr l desiguldd existente en l distriución de l rent per cápit hemos otenido los indicdores de desiguldd ntes menciondos pr cd uno de los instntes temporles nlizdos y pr ls curvs L ( p k α y L 2 ( p k γ. Los vlores de los diferentes índices de desiguldd considerdos se muestrn en el ANEXO. Como primer specto vmos comprr los índices de Gini teóricos con los muestrles que precen en el trjo de Cllelt Css y Núñez (996. En prácticmente l totlidd de los csos los vlores teóricos son ligermente inferiores los correspondientes muestrles. Este hecho es consistente con el modelo teórico de Chkrvrty y Eichhorn (994 que relcion muestr y polción en el cso de medids de desiguldd simétrics y que veri quen el principio de trnsferencis de Pigou-Dlton. Si tendemos l índice de Gini el dto ásico pr Espñ es en 990 lo que supone un disminución del 9.3 por ciento durnte el periodo nlizdo. Dich desiguldd se h visto reducid en tods ls Comuniddes Autónoms durnte el periodo excepto en Bleres y Ctluñ con tss de vrición del 5 y 3. por ciento respectivmente. Hy que señlr que ests Comuniddes se encuentrn entre ls de myor nivel de rent en 990 situándose en los puestos quinto y segundo respectivmente. Ls cutro Comuniddes donde más se h reducido el índice de Gini fueron Argón Cstill-León Glici y Cntri. En lo referente l umrl de porez l estimción pr Espñ se sitú en un 9.6 por ciento lo que supone un reducción de un 7.8 por ciento desde 973. Los myores niveles de porez durnte 990 se sitún en Extremdur Cstill L Mnch y Andlucí. Ls Comuniddes donde más se h reducido el nivel de porez durnte el periodo hn sido en este orden Nvrr Cstill-León Asturis y Andlucí. Ls Comuniddes que durnte 990 hn lcnzdo myores vlores en el índice de desrrollo hn sido Nvrr Ctluñ Mdrid Pís Vsco y Bleres.

13 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS 49 Por otro ldo ls Comuniddes de Cstill-León Nvrr Extremdur y Andlucí hn experimentdo los myores niveles de crecimiento del índice de desrrollo durnte el periodo Tl y como hemos señldo nteriormente medinte el índice de desrrollo podemos comprr el nivel de vid-rent de cd Comunidd con el ncionl. Ls Comuniddes que en 973 tenín un myor nivel de vid-rent que el ncionl fueron Argón Asturis Bleres Cntri Ctluñ Mdrid Pís Vsco y L Rioj si considermos L ( p k α. Si tenemos en cuent L 2 ( p k γ est list hrí que ñdir l Comunidd Vlencin. Ls Comuniddes con menor nivel de vid-rent fueron Andlucí y Extremdur. En 980 existe unnimidd en ms fmilis y ls Comuniddes que tenín un myor nivel de vid-rent que el ncionl fueron Argón Asturis Bleres Cntri Cstill-León Ctluñ Mdrid Comunidd Vlencin Nvrr Pís Vsco y L Rioj. En este ño ls Comuniddes con menor nivel de vidrent fueron Extremdur y Cstill L Mnch. En 990 ls Comuniddes con un nivel de vid-rent superior l ncionl son pr ms fmilis Argón Bleres Ctluñ Mdrid Pís Vsco y L Rioj y ls de menor nivel de vidrent fueron de nuevo Extremdur y Cstill L Mnch. Si nlizmos el índice de Gini pr completr l comprción nterior entre l desiguldd de l rent en ls Comuniddes Autónoms y l ncionl otenemos que en 973 ls Comuniddes más desigules que Espñ fueron Andlucí Argón Cstill-León Cstill L Mnch Mdrid y Nvrr. En 980 fueron Andlucí Cnris y Mdrid y en 990 Andlucí Cnris Cstill-L Mnch Mdrid Murci y Ceut y Melill. A continución nlizmos l desiguldd en l distriución de l rent per cápit de ls Ctegorís Socioprofesionles definids. En línes generles se puede precir un evolución continud hci un menor desiguldd en l distriución de l rent. En cunto ls ctegorís que presentn un nivel de vid-rent superior l ncionl son los Empresrios no grrios con slridos y profesionles lierles con o sin slridos (NACA los Directivos gerentes y cudros superiores no grrios y profesionles lierles de ls Fuerzs Armds (CSNA los Cudros medios y resto del personl dministrtivo comercil y técnico (CMNA y los Contrmestres cptces y jefes de grupo no grrios (JNA en 973 los Empresrios grrios con slridos y directores gerentes y personl tituldo grrio (EACA los Empresrios no grrios con slridos y profesionles lierles con o sin slridos (NACA los Directivos gerentes y cudros superiores no grrios y profesionles lierles de ls Fuerzs Armds (CSNA los Cudros medios y resto del personl dministrtivo comercil y técnico (CMNA y los Contrmestres cptces y jefes de grupo no grrios (JNA en 980 y los

14 50 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ Empresrios grrios con slridos y directores gerentes y personl tituldo grrio (EACA los Empresrios no grrios con slridos y profesionles lierles con o sin slridos (NACA los Directivos gerentes y cudros superiores no grrios y profesionles lierles de ls Fuerzs Armds (CSNA los Cudros medios y resto del personl dministrtivo comercil y técnico (CMNA y los Contrmestres cptces y jefes de grupo no grrios (JNA en 990 pr ls dos fmilis nlizds. Ls ctegorís con myor desiguldd según el índice de Gini son los Directivos gerentes y cudros superiores no grrios y profesionles lierles de ls Fuerzs Armds (CSNA y los Activos no clsificles incluso prdos y no ctivos (OTRO en 973 los Empresrios grrios con slridos y directores gerentes y personl tituldo grrio (EACA y los Activos no clsificles incluso prdos y no ctivos (OTRO en 980 y los Empresrios grrios con slridos y directores gerentes y personl tituldo grrio (EACA y los Empresrios no grrios con slridos y profesionles lierles con o sin slridos (NACA en 990. En cunto ls cutro clses de háitt considerds tnto en 973 como en 980 y 990 sólo los Municipios de más de hitntes y cpitles (TIPO4CC tuvieron un nivel de vid rent myor que el ncionl. Aunque desde se produjo un ligero umento de l desiguldd en los Municipios de hst 2000 hitntes (TIPO en términos gloles podemos firmr que desde 973 hst 990 se h producido un disminución de l desiguldd en tods ls clses de háitt Conclusiones En est prte de l investigción se nliz l desiguldd en l distriución personl de l rent en Espñ durnte los ños y 990 usndo los dtos corregidos de ls EBPF (Encuests Básics de Presupuestos Fmilires propuestos por Css et l. (996. Se trj con l jerrquí de curvs de Lorenz de Preto Generlizd propuest por Sri Cstillo y Slottje (999. L desiguldd se nliz medinte diversos juicios de vlor usndo índices de Atkinson y de Gini generlizdos sí como diversos criterios de dominción estocástic. Se incluyen índices de porez sí como medids del nivel de desrrollo. Como instrumento metodológico se propone un jerrquí de curvs que no present lgunos de los inconvenientes de ls forms funcionles existentes (Bsmnn et l. 990; Ryu y Slottje 996. Ls estimciones otenids de ls diferentes medids de desiguldd y desrrollo son comprles con ls

15 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS 5 otenids medinte otros métodos lterntivos. Con ojeto de estudir l sensiilidd de los resultdos respecto l form funcionl se h trjdo con dos fmilis iprmétrics de l jerrquí que coinciden con ls propuests de Orteg et l. (99 y Rsche et l. (980. Los resultdos son muy similres lo que prue l estilidd de los modelos. 4. UNA NUEVA CLASE DE CURVAS DE LORENZ Tl y como se h puesto de mnifiesto nteriormente lgunos de los modelos de curvs propuestos presentn diversos inconvenientes. Un primer cuestión generl es l reltiv l ondd de juste. Alguns de ls curvs propuests justn correctmente l prte centrl de los dtos mientrs que flln en ls cols. Otrs curvs presentn el prolem opuesto (Bsmnn et l. (990. En este sentido hy que destcr que lguns forms funcionles dn lugr índices de Gini que no verificn ls cots de Gstwirth (972 y en consecuenci deen de ser cuestionds como proximciones l curv de Lorenz. Otro importnte prolem es l convexidd de l curv. Existen forms que no son convexs en lgunos trmos y deen ser nuevmente cuestionds como curvs de Lorenz genuins. En est prte de l investigción se present un nuev clse de curvs de Lorenz que no present los inconvenientes nteriores. Puesto que ls correspondientes expresiones de los índices de Gini son complicds se plnten lguns cots de los mismos prtir de ls curvs de Lorenz. Motivdo por l nturlez simétric de l curv de Lorenz (Arnold 986 en este trjo se propone un fmili jerárquic de curvs construid prtir de l función de pérdid LINEX (LINer EXponentil: ( θ δ L( θ δ = { e ( θ δ } donde es un prámetro de form y > 0 es un fctor de proporcionlidd. Est función fue introducid por Vrin (975 y h sido mplimente utilizd en estdístic yesin (Zellner (986 Prsin (990 Cin y Jnssen (995. L función de pérdid LINEX se reduce pérdid cudrátic pr vlores pequeños de y si es positivo se consider que l soreestimción es más prolemátic que un suestimción de l mism mgnitud. Bsándonos en l definición polcionl de Curv de Lorenz propuest por Gstwirth (97 construímos un fmili jerárquic de curvs con un número creciente de prámetros de cuerdo con el método propuesto por Sri Cstillo y Slotje (999. Est fmili es ltmente flexile y ls condiciones de convexidd son fáciles de compror.

16 52 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ Considermos inicilmente l curv de Lorenz iprmétric p L0 ( p = L0 ( p; = k ( e p donde k = e y l únic restricción pr que se un curv de Lorenz genuin es que. Est fmili se construye normlizndo l función de pérdid LINEX. Además deemos considerr dos importntes csos prticulres: L líne de equidistriución L(p = p que se otiene hciendo = 0. L curv de Lorenz exponencil que se otiene hciendo = 0: Est fmili h sido utilizd por Chotikpnich (993 y Sri Cstillo y Slotje (200: L ( p; = k ( p e donde k = e y 0. L curv de Lorenz iprmétric ásic L 0 ( p; puede interpretrse como un cominción linel de un conjunto infinito de curvs de Lorenz j potenciles L j ( p = p j = 2 L cuys ponderciones decrecen cundo j decrece. Es decir: donde: = L ( p; w j= 0 j ( k w j ( = j j! k 3 si si p j = j = 23L Puesto que L 0 ' '' ( p; = e p k > 0 plicndo los resultdos nteriores podemos construir l fmili prmétric de curvs de Lorenz: α p L ( p; α = p k ( e p α 0 p L p = k γ 2 ( ; γ ( e p γ α p γ L ( p; α γ = p k ( e p α 0 γ j

17 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS Medids de desiguldd Un specto importnte en el estudio de ls curvs de Lorenz es l otención de ls correspondientes medids de desiguldd especilmente el índice de Gini. En el cso de l curv de Lorenz generdor de nuestr fmili este índice viene ddo por l expresión: ( e + 2( e G0 ( = k En el cso de l curv iprmétric L ( p; α el vlor de este índice viene ddo por: 2 G ( α = F ( α + ; α + 2; k α + α + 2 α + donde F ( α + ; α + 2; represent l función hipergeométric: Γ( zt F ( ; ; z = e t ( t dt Γ( Γ( 0 donde >. Otr medid de desiguldd importnte tener en cuent es el índice propuesto por Yitzhki (983 que viene definido por: 0 r K ( L = r( r + ( p L( p dp r donde r > 0. En el cso de nuestr curv generdor el índice de Yitzhki viene ddo por l expresión: r + K r ( L0 = F (; r + ; k r + y en generl pr l fmili L ( p; α tenemos: r( r + β ( α + r ( α + K r ( L = F ( α + ; α + r + ; k α + r + Ls expresiones de estos índices pr ls fmilis L2 ( p; γ y L3 ( p; α γ son más complicdos. Afortundmente si los prámetros α y γ hn sido estimdos previmente podemos otener sus vlores utilizndo progrms usules de cálculo numérico.

18 54 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ 4.. Cots del índice de Gini Ls expresiones de los índices de Gini socidos ls curvs L ( p; α L2 ( p; γ y L3 ( p; α γ son complicds. Por tnto result especilmente interesnte conocer lguns cots de los mismos en función del índice de Gini de l curv inicil L 0 ( p;. En l litertur es fácil encontrr cots pr los índices de Gini en el cso que l función de distriución suycente F se conocid. Sin emrgo no es usul encontrr cots de los índices de Gini prtir de ls curvs de Lorenz. Proponemos un teorem generl que es válido pr culquier jerrquí de curvs de Lorenz construids según el método comentdo nteriormente. Denotmos por G 0 G ( α G 2 ( γ y G 3 ( α γ los índices de Gini socidos L 0 ; L ; L 2 y L 3 ;respectivmente. Se cumple el siguiente teorem: TEOREMA: Se verificn ls siguientes cotciones pr los índices de Gini de l jerrquí: G 2 2G2 ( γ 3 ( α γ 2 2 G2 ( γ G0 2(2α + 2 G0 ( α 2 3 G 2(2α + Ls cots y 3 se lcnzn si y sólo si L 0 es un curv de Lorenz de tipo potencil es decir: α L 0 ( p = p pr lgún α Otrs nuevs cotciones pueden ser otenids l conocerse L 0 ( p. En el cso de l jerrquí de curvs LINEX plicndo l desiguldd de Cuchy- Schwrz: otenemos: 2 2α L 0 3 p; α γ dp p dp * 2γ ( L0 ( p dp i 2 2 G ( α (2α +

19 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS 55 donde: k e e e e i = 4.2. Funciones de polción En est sección se estudin ls funciones de polción de l jerrquí propuest. L curv de Lorenz es invrinte nte cmios de escl y en consecuenci l correspondiente función de distriución dependerá de un nuevo prámetro que coincide con l medi polcionl µ. Ls funciones de cuntiles de l jerrquí Linel Exponencil vienen dds por: ( ; ( 0 e k p X p = µ µ [ ] ( ( ; ( + = p e p e p k p X p p α α α µ µ α ( ( ; ( 2 e p e k p X p p = γ γ γ µ µ γ + = 3 ( ( ; ( α α γ γ α γ µ µ γ α p p e e p p e k p X p p p Ests fórmuls son útiles pr l otención de informción explícit sore l form de l función de distriución de rents. De est form podemos otener ls correspondientes funciones de distriución. Pr l primer fmili de l jerrquí l función de distriución correspondiente viene ddo por: + = ( ( ( log ( 0 ; ( 0 µ µ µ µ µ µ u x si u x l si x k l x si x F donde k l ( ( =µ µ y k e u ( ( =µ µ Con ojeto de implementr un posile método de estimción de ; ( 0 µ x F sdo en el método de momentos generlizdo incluimos los tres primeros momentos. Si ( ( 0 α α µ X E F = otenemos:

20 56 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ µ ( = µ ( e 4e µ ( 2 = µ 2k ( 2 e 9e + 8 e µ ( 3 = µ 6k 4.3. Orden de Lorenz Tl y como se h puesto de mni esto nteriormente el nálisis de l dominción estocástic es un specto importnte en el estudio de ls distriuciones de rent. Por ello se h nlizdo el orden de Lorenz en est jerrquí de fmilis. Comenzremos con l fmili uniprmétric L ( p; que está ordend con respecto l prámetro. LEMA Se L ( p; = k ( e donde k = e y 0. Si 2 > 0 entonces L p; L( p. ( 2 LEMA Se 0 ( ; = p L p k ( e p donde k = e y. Si 2 entonces L0 ( p; L0 ( p 2 y 0 < p < 4.4. Estimción Supongmos que queremos estimr el vector de prámetros ( α γ de l curv generl L 3 : El método puede dptrse fácilmente l estimción de ls curvs L y L 2 : Hremos un estimción secuencil en el sentido de que primero otendremos ls estimciones pr los prámetros (; de L 0 que serán utilizdos en ls estimciones de L L 2 y L 3. Se X X 2 X n un muestr de tmño n de dtos de ingresos. Ls oservciones consisten en n prejs de puntos (p q... (p n q n donde p i = i/n; q i = s i /s n y s i = x :n x i:n pr i = 2... n; siendo x i:n ; i = 2... n; el estdístico de orden i.

21 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS Estimción de L 0 Pr estimr los prámetros y µ un método plusile consiste en resolver el siguiente sistem: e µ = m( ; µ = X : n ; µ = X n: n k k donde m(; X :n y X n:n representn respectivmente l medi el mínimo y el máximo muestrles. De est form el vlor de viene ddo por: e ze + z = z donde z = X nn /m(. De est form otenemos: z( e ( e X : n = e ( m( que sólo depende de y por tnto est ecución tiene solución únic. Un vez otenido el estimdor del prámetro los estimdores de µ y de vienen ddos por ls expresiones nteriores Estimción de L 3 Escriimos L ( p; α γ 3 como α γ L 3 ( p; α γ = p L0 ( p; Proponemos l estimción medinte mínimos cudrdos hciendo mínim l cntidd: o de modo lterntivo: n α γ [ qi pi L0 ( pi ; ] u( α γ = u ~ ( α γ = i= n [ log qi α log pi γ log L0 ( pi ; ] i= 2 2

22 58 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ 4.5. Resultdos empíricos En est sección se presentn los resultdos de l estimción de l curv de Lorenz y el índice de Gini. Tl y como se h comentdo ntes los dtos utilizdos son los de Shorrocks (983. Con ojeto de estlecer un comprción se h justdo el modelo uniprámetrico ásico L(p; junto con l curv triprmetric L ( p; α. Los prámetros hn sido estimdos medinte mínimos cudrdos no lineles de cuerdo con los métodos estlecidos en l sección nterior. Asimismo se nlizn vris medids de error. El error mínimo cudrático (MSE que viene ddo por: MSE = n el error soluto medio (MAE: MAE = n y el error máximo soluto (MAX: MAX = n [ qi L( p i ; θ ˆ ] i= n i= mx i= 2... n q L( i p i i 2 ; θ ˆ q L( p ; θˆ donde L ( p i ; θˆ represent l curv de Lorenz estimd previmente. Se puede concluir que los resultdos empíricos portdos en este estudio indicn que ms funciones unque simples y fáciles de estimr son muy stisfctoris en el juste de los dtos. Finlmente y como medid de decución de los modelos los dtos se hn nlizdo ls cots de Gstwirth inferiores (GL socids de los diferentes píses. Ests vienen dds por: GL = k j= ( p j p ( q j j + donde p 0 = q0 = 0 y p k + = qk + =. L cot superior no es posile clculrl puesto que se desconocen los límites de los intervlos de ingresos el ingreso medio de cd intervlo y el ingreso medio glol. i q j

23 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS 59 Los resultdos otenidos son los siguientes: Ls estimciones del índice de Gini sds en l curv de Lorenz Exponencil difieren de ls estimciones de l curv de Lorenz Linex no más de 0.03 en 6 de los 9 píses siendo l myorí de ls diferencis de 0.0 o menos. Existen tres píses: Dinmrc Holnd y Nuev Zelnd cuyo índice de Gini se encuentr ligermente por dejo de l cot inferior de Gstwirth. Esto puede ser un indicio de flt de decución del modelo exponencil L(p; los dtos de esos tres píses. Si nos fijmos hor en los índices de Gini clculdos prtir de l curv LINEX del tipo L ( p; α este inconveniente dej de existir. Esto signific un myor flexiilidd de l curv en el juste de los dtos. 5. BIBLIOGRAFÍA ARNOLD B.C. (983. Preto Distriutions. Interntionl Coopertive Pulishing House Firlnd MD. ATKINSON A. (970. On the Mesurement of Inequlity. Journl of Economic Theory ATKINSON A. (975. The Economics of Inequlity. Oxford University Press. Oxford. BASMANN R. L. HAYES K.J. y SLOTTJE D.J. (99. The Lorenz Curve nd the Moility Function. Economics Letters BEACH C.M. y DAVIDSON R. (986. Distriution-Free Sttisticl Inference with Lorenz Curves nd Incomes Shres. Review of Economic Studies BEACH C. CHOW K. FORMBY J. y SLOTSVE G. (994. Sttisticl Inference for Decile Mens. Economics Letters BISHOP J. FORMBY J. y THISTLE P. (99. Rnk Dominnce nd Interntionl Comprisons of Income Distriutions. Europen Economic Review BISHOP J. FORMBY J. y THISTLE P (992. Convergence of the South nd Non- South Income Distriutions Americn Economic Review BLACKORBY C y DONALDSON D. (978. Mesures of Reltive Equlity nd Their Mening in Terms of Socil Welfre. En D.J. Slottje (Ed. Journl of Economic Theory CAIN M y JANSSEN C. (995. Rel Estte Price Prediction Under Asymmetric Loss. Annls of the Institute of Sttisticl Mthemtics CALLEALTA F.J. CASAS J.M. y NÚÑEZ J. (996. Distriución de l Rent per cpit disponile en Espñ: Descripción Desiguldd y Modelizción. Distriución Personl de l Rent en Espñ Cp. 5 B. Pen (director. Pirámide. Mdrid. Además de ls referencis incluids en el texto se ñden otrs referencis consultds

24 60 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ CASAS J.M. HERRERÍAS R. y NÚÑEZ J.J. (997. Fmilis de forms funcionles pr estimr l curv de Lorenz. Anles de Economí Aplicd Acts IV Reunión de Asepelt-Espñ. CASTILLO E. HADI A.S. y SARABIA J.M. (998. Method for Estimting Lorenz Curves. Communictions in Sttistics Theory nd Methods CHAKRAVARTY S.R. y EICHHRON W. (994. Mesurement of Income Inequlity: Oserved versus True Dt. Models nd Mesurement of Welfre nd Inequlity W. Eichhron Editor. Springer-Verlg Berlín. COWELL F. (979. Mesuring Inequlity Philip Alln Oxford. DAGUM C. (990. On the Reltionship etween Income Inequlity Mesures nd SocilWelfre Functions. Journl of Econometrics DASGUPTA P. SEN A.. y STARRETT D. (973. Notes on the Mesurement of Inequlity. Journl of Economic Theory DAVIES J. y HOY M. (995. Mking Inequlity Comprisons when Lorenz Curves Intersect. Americn Economic Review ESTEBAN GARCÍA J. LÓPEZ RODRÍGUEZ M.I. y RUÍZ PONCE F. (2000. Un Revisión de los Sistems Generdores y Modelos de Proilidd Descriptivos de l Distriución de l Rent. Estudios de Economí Aplicd ESTRUCH MANJÓN A. (996. Desiguldd y Polític Redistriutiv. Un estimción de l incidenci de los gstos sociles en Espñ prtir de l Encuest de Presupuestos Fmilires ( Cedecs Brcelon. GASTWIRTH J.L. (97. A Generl De nition of the Lorenz Curve. Econometric GASTWIRTH J.L. (972. The Estimtion of the Lorenz Curve nd Gini Index. The Review of Economics nd Sttistics HERRERÍAS R. y GARCÍA R.M. (2000. Análisis de l Desiguldd de l Rent en Grnd prtir de los Dtos de l E.P.F. y Diferentes Estimciones de l Curv de Lorenz. Anles de Economí Aplicd Acts XIV Reunión de Asepelt-Espñ. JAIN S. (975. Size Distriution of Income: A Compiltion of Dt. Wshington: The World Bnk. KAKWANI N. C. (984. Welfre rnking of Income Distriutions. Advnces in Econometrics KAKWANI N.C. y PODDER N. (976. E cient Estimtion of the Lorenz Curve nd Associted Inequlity Mesures from Grouped Oservtions. Econometric LOVELL M.C. (998. Inequlity Within nd Among Ntions. Journl on Income Distriution MAASOUMI E. (997. Empiricl Anlysis of Inequlity nd Welfre. Hndook of Applied Micoreconometrics Bsil Blckwell London. MARSHALL A.W. y OLKIN I. (979. Inequlities: Theory of Mjoriztion nd its Applictions. Acdemic Press. New York. McDONALD J.B. (984. Some Generlized Functions for the Size Distriution of Income. Econometric

25 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS 6 ORTEGA P. MARTÍN A. FERNÁNDEZ A. LADOUX M. y GARCÍA A. (99. A New Functionl Form for Estimting Lorenz Curves. Review of Income nd Welth PARSIAN A. (990. On the Admissiility of n Estimtor of Norml Men Vector under LINEX Loss Function. Annls of the Institute of Sttisticl Mthemtics PASCUAL M. y SARABIA J.M. (2000. Rnkings de Distriuciones de Rent Bsdos en Curvs de Lorenz Ordends. Acts XIV Reunión de Asepelt- Espñ 49 PASCUAL M. y SARABIA J.M. (200. Análisis de l Distriución de l Rent y l Riquez en Espñ ( con Dtos Corregidos de ls Encuests Básics de Presupuestos Fmilires. Acts VIII Encuentro de Economí Púlic: Economí Púlic y Glolizción. PENA TRAPERO B. y PRIETO ALÁIZ M. (2000. Repercusiones de l Ocultción de Rent sore l Medición de l Desiguldd. Estudios de Economí Aplicd ROUSSEEUW P.J. (984. Lest Medin of Squres Regression. Journl of the Americn Sttisticl Assocition RYU H. y SLOTTJE D. (996. Two Flexile Functionl Forms for Approximting the Lorenz Curve. Journl of Econometrics SARABIA J.M. (997. A Hierrchy of Lorenz Curves sed on the Generlized Tukey s Lmd Distriution. Econometric Reviews SARABIA J.M. y CASTILLO E. (998. Curvs de Lorenz de Preto Generlizds. Aplicción l Estudio de l Desiguldd y l Porez en Espñ. Acts de XII Reunión Asepelt Espñ. Córdo. SARABIA J.M. y PASCUAL M. (2000.Un Nuev Clse de Curvs de Lorenz. Acts XXV Congreso Ncionl de Estdístic e Investigción Opertiv SARABIA J.M. y PASCUAL M. (2000.Análisis de l Desiguldd de Rent en Espñ ( con Dtos Corregidos de ls EBPF y Curvs de Lorenz de Preto Generlizds. Acts IV Jornds de Polític Económic: L Unión Europe y el Dete del Estdo del Bienestr SARABIA J.M. y PASCUAL M (200. A Clss of Lorenz Curves Bsed on Liner Exponentil Loss Functions. Envido. SARABIA J.M. CASTILLO E. y SLOTTJE D.J. (999. An Ordered Fmily of Lorenz Curves. Journl of Econometrics SARABIA J.M. CASTILLO E. y SLOTTJE D.J. (200. An Exponentil Fmily of Lorenz Curves. Southern Economic Journl 67 ( SEN A. (973. The Economics of Inequlity. Oxford University Press Oxford. SHAKED M. (980. On Mixtures from Exponentil Fmilies. Journl of the Royl Sttisticl Society B SHORROCKS A.F. (983. Rnking Income Distriutions. Economic SHORROCKS A.F. y FOSTER J.E. (987. Trnsfer Sensitive Inequlity Mesures. Review of Economic Studies

26 62 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ VARIAN H.R. (975. A Byesin Approch to rel Stte Assessment. In: Fienerg S.E. Zellner A. (eds Studies in Byesin Econometrics nd Sttistics in Honour of L.J. Svge. North-Hollnd Amsterdm ZELLNER A. (986. Byesin Estimtion nd Prediction Using Asymmetric Loss Functions. Journl of the Americn Sttisticl Assocition

27 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS 63 ANEXO CURVAS DE LORENZ DE PARETO GENERALIZADAS. COMUNIDADES AUTÓNOMAS L (pkα L 2 (pkγ L (pkα L (pkγ L (pkα L (pkγ Espñ Andlucí Argón Asturis Bleres Cnris Cntri Cstill-León Cstill-L Mnch Ctluñ C. Mdrid C.Vlencin Extremdur Glici Murci Nvrr Pís Vsco Rioj Ceut y Melill MEDIA COEF.VARIACIÓN Tl. Sum de los Cudrdos de los Residuos (en miles. Comuniddes Autónoms

28 64 JOSÉ MARÍA SARABIA ALEGRÍA MARTA PASCUAL SÁEZ CATEGORÍAS PROFESIONALES 2 L (pkα L 2 (pkγ L (pkα L (pkγ L (pkα L (pkγ EACA EASA RAA NACA NASA CSNA CMNA JNA ONA OTRO MEDIA COEF.VARIACIÓN Tl 2. Sum de los Cudrdos de los Residuos (en miles. Ctegorís Profesionles. CLASES DE HÁBITAT 3 L (pkα L 2 (pkγ L (pkα L (pkγ L (pkα L (pkγ TIPO TIPO TIPO 3SC TIPO 4CC MEDIA COEF.VARIACIÓN Tl 3. Sum de los Cudrdos de los Residuos (en miles. Clses de Háitt. 2 Ls reviturs hcen referenci ls siguientes ctegorís socioprofesionles: EACA: Empresrios grrios con slridos y directores gerentes y personl tituldo grrio EASA: Empresrios grrios sin slridos RAA: Resto de ctivos grrios NACA: Empresrios no grrios con slridos y profesionles lierles con o sin slridos NASA: Empresrios no grrios sin slridos y trjdores independientes CSNA: Directivos gerentes cudros superiores no grrios y profesionles de ls Fuerzs Armds CMNA: Cudros medios y resto del personl dministrtivo comercil y técnico JNA: Contrmestres cptces y jefes de grupo no grrios ONA: Oreros no grrios y resto de trjdores de los servicios OTRO: Activos no clsificles incluso prdos y no ctivos 3 Ls reviturs hcen referenci ls siguientes clses de háitt: Tipo : Municipios de hst 2000 hitntes Tipo 2: Municipios de 200 hst 0000 hitntes Tipo 3SC: Municipios de 000 hst hitntes excepto cpitles Tipo 4CC: Municipios de más de hitntes y cpitles

29 UN SISTEMA GENERADOR DE CURVAS DE LORENZ JERÁRQUICAS 65 L (p kα Índice de porez Gini Espñ Andlucí Argón Asturis Bleres Cnris Cntri Cstill-León Cstill-L Mnch Ctluñ C. Mdrid C.Vlencin Extremdur Glici Murci Nvrr Pís Vsco Rioj Ceut y Melill L (p kα Desrrollo Espñ Andlucí Argón Asturis Bleres Cnris Cntri Cstill-León Cstill-L Mnch Ctluñ C. Mdrid C.Vlencin Extremdur Glici Murci Nvrr Pís Vsco Rioj Ceut y Melill Tl 4. Medids de Porez Desiguldd y Desrrollo pr l curv L (p kα por Comuniddes Autónoms.