72 2. Análisis de Fourier

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1 72 2. Análisis de Fourier Un objeto matemático relacionado con las series es la transformada, introducida por Fourier al estudiar la conducción del calor en una barra de longitud infinita. Se ha aplicado en área tales como conducción de calor, óptica, procesamiento de señales y probabilidad, y recibió importantes contribuciones de N. Wiener, quien desarrolló lo que hoy en día se conoce como análisis armónico generalizado. También se ha vuelto más abstracta en una rama de la matemática conocida como análisis armónico, algunas de las principales figuras fueron E. Cartan, H. Weyl, y Harish-Chandra. Las series de Fourier fueron ideadas para estudiar un problema físico; no sorprende entonces que hayan encontrado tantas aplicaciones. Como muestra esta breve reseña, los intentos para comprender el comportamiento de estas series sentaron las bases del análisis riguroso. Una de las ramas más teóricas de la matemática es la teoría de números, y a primera vista parecería que no tiene puntos de contacto con las series de Fourier. Sin embargo, H. Weyl utilizó los resultados de convergencia de Féjer para probar uno de sus teoremas más relevantes. Otra de las áreas de aplicación de las series de Fourier es la cristalografía. En 1985 H. A. Hauptman y J. Karle ganaron el premio Nobel de Química por desarrollar un nuevo método de cálculo de las constantes cristalográficas a partir de sus coeficientes de Fourier, que pueden inferirse por mediciones. Dos ingredientes fundamentales de su desarrollo son el teorema de Weyl comentado más arriba, y los teoremas de Toeplitz sobre las series de Fourier de funciones no negativas. Recientemente, el desarrollo de métodos computacionales rápidos para el cálculo de una versión discreta de la transformada de Fourier, iniciado por J. Cooley y J. Tukey en 1965, aumentaron enormemente su rango de aplicación. La transformada rápida de Fourier (FFT) tuvo una difusión tan masiva que en 1993 se estimó que casi la mitad de todo el tiempo de cálculo de las supercomputadoras se gastaba calculando FFT, aún para tareas tales como la multiplicación de grandes números. Otro desarrollo reciente que ha recibido gran atención es la teoría de onditas (wavelets). En este caso las funciones no se expanden en series de Fourier, sino utilizando otras bases ortogonales que son apropiadas para cálculos eficientes, lo que dio lugar a nuevos algoritmos utilizados en procesamiento de señales y para la solución numérica de ecuaciones Series de Fourier Una señal x (t) es periódica de período T si x (t) = x (t + kt ) para todo k entero. La expansión en series de Fourier consiste en expresarla como una suma infinita de términos seno y coseno, que habitualmente se escribe como x (t) = a + k=1 ( ) 2π a k cos kt T + k=1 ( ) 2π b k sin kt. (2.1) T Los coeficientes a k y b k representan las amplitudes de los términos coseno y seno, respectivamente. La cantidad 2π/T = Ω es la frecuencia angular fundamental de la señal, y en consecuencia, la cantidad k(2π/t ) = kω representa el k-ésimo armónico de la frecuencia fundamental. Cada una de las funciones seno y coseno de la expresión (2.1)

2 2.2. Series de Fourier 73 Fig Verificación gráfica de las ecuaciones (2.11) y (2.13), para m = n, y de la ecuación (2.12). se denomina función base, y forman un conjunto ortogonal sobre el intervalo T, lo que significa que satisfacen las siguientes relaciones: { T T /2, m = n, cos mω t cos nω t dt = (2.11), m = n, T T cos mω t sen nω t dt =, para todo m, n, (2.12) { T /2, m = n, sen mω t sen nω t dt = (2.13), m = n. Estas relaciones pueden verificarse analíticamente (calculando la integral) o bien estudiando gráficamente el producto de dos señales de diferentes frecuencias, tal como se ve en la Fig. 2.3: el producto de dos armónicos de distinta frecuencia, en el lapso de un período fundamental de la señal genera una función con idéntica área por encima y por debajo del eje de las abscisas, y por lo tanto el área neta (la integral) es nula. Para determinar el coeficiente a, se integran ambos miembros de la ecuación (2.1) sobre un período completo: T /2 T /2 [ T /2 T /2 ( x (t) dt = a dt + a k cos k 2π ) ( t +b T /2 T /2 T k sin k 2π ) ] t dt = a T, k=1 T ya que las integrales sobre un período de tiempo de los términos cos kω t y sen kω t son nulas. Se encuentra entonces que a es el valor medio de la señal periódica x (t) sobre un período, es decir a = 1 T /2 x (t) dt. (2.14) T T /2 Para determinar los coeficientes a k se multiplican ambos miembros de la ecuación (2.1) por la función cos kω t, y se integra sobre un período completo. Es indistinto integrar sobre el intervalo T /2 t < T /2 o sobre el intervalo t T, como se verá en la

3 74 2. Análisis de Fourier Sección 2.4 (Ejemplo 2.14). Utilizando las identidades (2.11) y (2.12), se encuentra que a k = 2 T /2 x (t) cos kω t dt, k = 1, 2,... (2.15) T T /2 De manera análoga, aplicando la ecuación (2.13) puede determinarse que b k = 2 T T /2 T /2 x (t) sen kω t dt, k = 1, 2,... (2.16) Serie de Fourier con exponenciales complejas La serie de Fourier de la ecuación (2.1) se puede escribir de una manera más compacta utilizando exponenciales complejas; basta sustituir en (2.1) los términos seno y coseno por su forma exponencial cos kω t = 1 ( ) e jkωt + e jkω t, 2 Se obtiene entonces sen kω t = 1 2j x (t) = a + k=1 ( e jkω t e jkω t ) = j 1 2 [( ) ak jb k e jkωt + 2 ( e jkω t + e jkω t ). ( ak + jb k Definiendo el número complejo c k en base a a k y b k como 1 2 (a k jb k ), k >, c k = a, k =, ) (a ( k) + jb ( k), k <, se puede escribir la ecuación (2.17) de manera más simple: donde c k = 1 T T /2 1 2 T /2 x (t) = 2 ) ] e jkω t. (2.17) (2.18) c k e jkωt, (2.19) k= x (t) e jkω t dt, k =, ±1, ±2,... (2.2) La expansión en series (2.19) se conoce como serie de Fourier compleja. Los coeficientes c k dados por (2.2) son los coeficientes complejos de Fourier 3. La ecuación (2.2) explica cómo calcular todos los coeficientes complejos de Fourier a partir de una señal periódica x (t) dada. Por ello se la suele denominar ecuación de análisis. Por otra parte, la ecuación (2.19) indica cómo reconstruir la señal x (t) a partir de un conjunto de coeficientes c k dados, y por tal motivo se la suele denominar ecuación de síntesis. 3 La derivación de la ecuación (2.2) también puede obtenerse siguiendo un procedimiento similar al utlizado para la serie de senos y cosenos, sabiendo que { T e jnω t e jmω t T dt = e j(n m)ω t T, n = m, dt =, en caso contrario.

4 2.2. Series de Fourier 75 Algunas propiedades El análisis de (2.18) y (2.2) revela que: 1. Si la función x (t) es par los coeficientes c k son reales. En efecto, si x (t) es par, esto es x (t) = x ( t), la serie (2.1) es una serie de cosenos (los coeficientes b k son nulos). De (2.18) se observa que c k = c ( k) R (k ). 2. Si x (t) es impar, i.e. x (t) = x ( t), los coeficientes c k son imaginarios. En este caso la serie (2.1) es una serie de senos (los coeficientes a k son nulos), y de (2.18) se desprende que c k = c ( k) I (k ). 3. Si x (t) es real donde el símbolo indica conjugación. c k = c k, (2.21) Qué significan las frecuencias negativas? De acuerdo la representación de la serie compleja (2.19), una señal periódica contiene todas la frecuencias (positivas y negativas) que están armónicamente relacionadas en relación entera con la frecuencia fundamental Ω. Según Haykin (1989), la presencia de las frecuencias negativas se debe a que el modelo matemático de la señal descrito por la ecuación (2.19) requiere el uso de frecuencias negativas. De hecho, esta representación utiliza una función base (e jkω t ) que toma valores complejos, lo que tampoco tiene significado físico. La razón de utilizar funciones que toman valores complejos y componentes de frecuencia negativas permite una descripción matemática compacta de una señal periódica, que es útil tanto para la teoría como para las aplicaciones. Sin embargo, para Porat (1997) la existencia física de las frecuencias negativas se manifiesta, por ejemplo, al pensar en el giro de una rueda. Ciertamente la rotación en sentido horario es diferente del giro en sentido antihorario; de modo que si la velocidad angular de una rueda que gira en sentido antihorario se define como positiva, la rotación en sentido horario será negativo. La frecuencia angular de una señal juega el mismo papel que la velocidad angular de la rueda y puede tomar cualquiera de los dos signos. Para señales que toman valores reales, la propiedad de simetría conjugada c k = c ( k) (2.21) de los coeficientes de la serie de Fourier o de la transformada de Fourier X ( f ) = X ( f ) que se estudia en la Sección oculta la existencia de frecuencias negativas. Sin embargo, para señales complejas las frecuencias positivas y negativas son diferentes. Por ejemplo, la señal compleja e j2π ft con f > es distinta de la señal con f <. Las señales complejas también son motivo de controversia, debido a que tales señales no suelen encontrarse como entidades físicas. En realidad, sirven como representaciones matemáticas apropiadas para señales reales de cierto tipo. Un ejemplo familiar en de ingeniería eléctrica es la representación fasorial de tensiones y corrientes alternas utilizada en el análisis de estado estacionario de circuitos eléctricos. Una tensión real v(t) = v m cos (2π f t + φ ) se representa con el fasor V = v m e jφ ; la relación entre v(t) y V es v(t) = Re{Ve j2π f t }. El fasor representa la señal alterna real con una señal constante compleja V.

5 76 2. Análisis de Fourier Espectro discreto La representación de una señal periódica por medio de una serie de Fourier es equivalente a resolver la señal en sus diferentes componentes armónicos. La expresión de la serie de Fourier compleja (2.19) indica que una señal periódica x (t) de período T tiene componentes de frecuencia, ± f, ±2 f, ±3 f,..., donde f = 1/T es la frecuencia fundamental. Mientras que x (t) pertenece al dominio tiempo, donde t es una variable definida continuamente sobre un intervalo finito o infinito, su descripción en el dominio de la frecuencia consta de componentes c k concentrados en las frecuencias ±k f, k =, 1, 2,.... El gráfico de c k en función de la frecuencia f = k f = k/t se denomina espectro 4 de la señal. Dada una señal x (t) se puede determinar su espectro utilizando la ecuación de análisis (2.2); recíprocamente, si se especifica el espectro, es posible determinar la señal temporal asociada utilizando la ecuación de síntesis (2.19). Esto implica que la señal periódica x (t) puede especificarse de dos formas equivalentes: 1. en el dominio tiempo, donde se representa x (t) como una función de la variable real tiempo; 2. en el dominio frecuencia, donde la señal es descrita por su espectro en función de las frecuencias armónicas de f. Ambas representaciones son aspectos diferentes de un mismo fenómeno, y no son independientes una de otra, sino que están fuertemente relacionadas entre sí por las ecuaciones de síntesis y análisis (2.19) y (2.2), respectivamente. En general, el coeficiente de Fourier c k es un número complejo, de modo que se puede expresar en la forma polar c k = c k e j arg(c k). El término c k define la amplitud de la k-ésima componente armónica de la señal x (t), y la gráfica de c k versus la frecuencia permite obtener el espectro de amplitud discreto de la señal. El gráfico del arg (c k ) en función de la frecuencia se denomina espectro de fase discreto de la señal. Se dice que el espectro es discreto porque tanto la amplitud como la fase de c k están concentrados en frecuencias que son múltiplos enteros (positivos y negativos) de la frecuencia fundamental f, y no están definidos para otros valores de frecuencia. Las propiedades de la Sección muestran que los coeficientes complejos de Fourier (2.2) de una señal x (t) que toma valores reales verifican c ( k) = c k, donde c k es el complejo conjugado de c k. Es un hecho conocido que c ( k) = c k = c k, y arg (c k ) = arg (c k ) = arg (c k). Esto significa que el espectro de amplitud de una señal periódica x (t) que tome valores reales es simétrico (una función par de la frecuencia), y que el espectro de fase es antisimétrico (una función impar de la frecuencia) respecto de un eje vertical que pase por el origen. 4 El término espectro proviene del latín spectrum, o imagen. Fue utilizado originariamente por Newton en sus investigaciones sobre la naturaleza de la luz.

6 2.2. Series de Fourier 77 Fig Espectro discreto de x (t) = A cos Ω t: módulo-fase (a) y parte real-parte imaginaria (b). EJEMPLO 2.1. Serie de Fourier de una constante Si bien una señal constante x (t) = A, t no es una señal periódica típica, es fácil ver que cumple con la condición que x (t) = x (t + T ) para todo t y cualquier T ; es una señal periódica de período arbitrario. Los coeficientes de la serie de Fourier se calculan a partir de la ecuación (2.2), resultando para k =, c = 1 T T /2 T /2 x (t) dt = 1 T T /2 T /2 A dt = A, y para k =, k = ±1, ±2, ±3,... c k = 1 T /2 x (t) e jkωt dt = 1 1 A e jkω T /2 t T T /2 T jkω T /2 A ( ) = e jkω T /2 e jkω T /2 A = [ 2j sen (kω T /2)] (2.22) jkω T jkω T = A sen kπ =. πk (En el desarrollo del último término de (2.22) se tuvo en cuenta que Ω T = 2π). En consecuencia, el espectro discreto de una señal constante x (t) = A consta de un único valor A para la frecuencia f =, asociada a k =. En este caso no tiene sentido hablar de los armónicos superiores. EJEMPLO 2.2. Serie de Fourier de un coseno La función periódica x (t) = A cos Ω t se puede expresar, aplicando la fórmula de Euler, como x (t) = A cos Ω t = A 2 e jω t + A 2 e jω t. Una comparación con la ecuación (2.19) revela que esta expresión coincide con la serie de Fourier; por lo tanto, los únicos coeficientes complejos no nulos son c ( 1) y c 1, y su valor es c ( 1) = c 1 = A 2.

7 78 2. Análisis de Fourier Fig Espectro discreto de x (t) = A sen Ω t: módulo-fase (a) y parte real-parte imaginaria (b). De modo que el espectro discreto de una señal tipo coseno es real, y sólo tiene dos valores no nulos, correspondientes a la primera armónica k = ±1, o bien a las frecuencias ±Ω, tal como se muestra en la Fig. 2.4, en donde el espectro discreto ha sido graficado en las dos formas típicas: módulo y fase o parte real-parte imaginaria. EJEMPLO 2.3. Serie de Fourier de una sinusoide De manera similar, puede determinarse el espectro de una señal x (t) = A sen Ω t. Teniendo en cuenta que sen Ω t = 1 2j e jω t + 1 2j ejω t = j 2 e jω t j 2 ejω t se deduce que el espectro discreto consta solamente de dos valores no nulos, correspondientes a la primera armónica (frecuencia Ω ), para k = ±1 y cuyos valores son c ( 1) = j A 2, c 1 = j A 2. Este espectro es imaginario puro, como muestra la Fig. 2.5 tanto en módulo y fase como en la forma parte real-parte imaginaria. EJEMPLO 2.4. Serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares La Fig. 2.6 muestra un tren periódico de pulsos rectangulares de amplitud A, duración τ y período T. Por conveniencia se elige que el origen del tiempo (t = ) coincida con el centro del pulso. Sobre un período T /2 < t T /2, la señal puede describirse analíticamente como A, τ/2 < t < τ/2, x (t) = A/2, t = ±τ/2,, en caso contrario.

8 2.2. Series de Fourier 79 Fig Tren periódico de pulsos rectangulares de amplitud A, duración τ, y período T. El espectro discreto de x (t) formado por los coeficientes complejos c k se calcula a partir de la ecuación (2.2). Se encuentra que 5 c k = 1 T /2 x(t) e jkωt dt = 1 τ/2 A e jkωt dt T T /2 T τ/2 = A ( πk sen πτ k ), k =, ±1, ±2,... T que, por motivos que serán evidentes más adelante, también puede escribirse como ) c k = A τ sen (πτ k T T πτ T k, k =, ±1, ±2,... (2.23) El espectro de amplitud c k y de fase arg (c k ) en función de los valores discretos de frecuencia f k = k/t, para un ciclo de trabajo τ/t = 1/5, se ha graficado en la Fig Se observa que: 1. El espaciado entre las líneas del espectro de la Fig. 2.7 está determinado por la frecuencia fundamental f de la señal, que es la inversa del período T, f = 1/T. 2. La envolvente de la magnitud del espectro está determinada por la amplitud A y la duración τ del pulso, y sigue una forma tipo (sen x) /x. El valor del espectro a la frecuencia f = es precisamente el valor medio o de continua de la señal x (t), que vale Aτ/T (como se deduce de la Fig. 2.6). 3. La envolvente del espectro de amplitud cruza por cero en frecuencias que son múltiplos de 1/τ (el ancho del pulso), y que pueden o no coincidir con las líneas espectrales separadas k/t. En este caso particular, como τ/t = 1/5 los ceros de la envolvente del espectro se anulan para los múltiplos de 5 veces la frecuencia fundamental, como revela la Fig. 2.7(a). 4. El espectro de fase toma los valores y ±π, según sea el signo de [sen (πτk/t )] / (πτk/t ). La elección del signo de π (positivo o negativo) es irrelevante; en la figura se han elegido de forma de preservar la antisimetría. Debe resaltarse que el valor de la fase es indefinido para aquellos armónicos en donde se anula c k (en este caso, los múltiplos de 5 f ); esta indefinición en la fase se ha indicado con cruces en la Fig. 2.7(b). Observación: En la Fig. 2.4 y en la Fig. 2.5 el espectro se ha graficado en función de las armónicas de la frecuencia angular Ω = 2π/T (en radianes por segundo), mientras que en la Fig. 2.7 la variable independiente son los armónicos de la frecuencia fundamental f = 1/T (en ciclos por segundo). Aunque las dos representaciones son equivalentes, se verá más adelante que en ciertos casos una puede ser más conveniente que la otra pues algunas constantes de proporcionalidad toman valores unitarios. 5 En muchas aplicaciones, el valor de la función en t = ±τ/2 es irrelevante, y las funciones { A, τ/2 < t < τ/2, { A, τ/2 t τ/2, A, τ/2 < t < τ/2, x 1 (t) = x, en caso contrario, 2 (t) = A/2, t = ±τ/2, x 3 (t) =, en caso contrario,, en caso contrario, aunque matemáticamente diferentes, suelen ser representaciones equivalentes de un mismo fenómeno físico.

9 8 2. Análisis de Fourier Fig Espectro discreto del tren periódico de pulsos rectangulares para un ciclo de trabajo τ/t = 1/5; amplitud (a) y fase (b) La función sinc( ) Esta función juega un papel muy importante en el análisis de Fourier, en el estudio de sistemas lineales e invariantes en el tiempo y en la teoría de comunicaciones en general. Se define la función sinc( ) como sen πx sinc(x) = πx, (2.24) cuya grafica se representa en la Fig La función sinc(x) alcanza su máximo en x =, donde vale 1 (puede probarse aplicando la regla de l Hôpital), y tiende a cero cuando x tiende a ±, oscilando entre valores positivos y negativos, con una envolvente que decae según 1/x. La función pasa por cero para los valores enteros de la variable x, es decir, cuando x = ±1, ±2,... etc. El tramo de la función entre dos ceros consecutivos se denomina lóbulo. El tramo comprendido entre x = ±1 es el lóbulo principal, y los demás son los lóbulos laterales. Los extremos relativos ocurren en x = x k donde d[sinc(x)]/dx =, es decir cuando πx k cos(πx k ) sen(πx k ) =, o bien tan(πx k ) πx k =. Esta es una ecuación trascendente, y no puede resolverse de forma analítica. Los primeros extremos relativos y los valores de la función en estos puntos se listan en la Tabla 2.2. Esta tabla muestra que la abscisa del extremo y su módulo son aproximadamente k + 1/2, y [π(n + 1/2)] 1 para el k-ésimo lóbulo, cuando k. Aunque no es trivial, puede demostrarse que el área encerrada por la función sinc( ) es finita: sinc(x) dx = 1,

10 2.2. Series de Fourier 81 Fig La función sinc(x). Tabla 2.2: Ubicación y valor de los extremos relativos. abscisa x k, 1,43 2,459 3,471 4,477 5,482 6,484 7,486 8,488 sinc(x k ) 1,,217,128,91,71,58,49,42,37 y en forma general, sinc(ax)dx = 1 a, es decir, que la integral de la función converge. Esta igualdad se puede demostrar de manera sencilla aplicando los resultados de la Sección Es interesante comparar el área de los distintos lóbulos. El área del lóbulo principal es A = 1 1 sinc(x) dx = 2 Si(π) = 1,17898, π donde Si(x) = x sen(σ) dσ es la función seno integral, cuyos valores están tabulados. Si A k indica el área del k-ésimo lóbulo, se encuentra que A k = 1 π Si[(k + 1)π] 1 π Si(kπ). Algunos valores de las áreas de los lóbulos laterales expresados en porcentajes del área total se listan en la Tabla 2.3, y se representan en la Fig. 2.9(a). En la Fig. 2.9(b) se muestra que el área es muy aproximadamente inversamente proporcional al número de lóbulo. Tabla 2.3: Área relativa de los lóbulos laterales. lóbulo área ( %) ,8 8,2 5,8 4,5 3,7 3,1 2,7 2,4 2,1 Si bien la función sinc( ) tiene área acotada, esto no ocurre para sinc( ), lo que se demuestra fácilmente separando el intervalo de integración en segmentos de longitud 1/a (la distancia entre ceros sucesivos del sinc), y notando que sen(πax)/(πax)

11 82 2. Análisis de Fourier Fig Área de los lóbulos de la función sinc( ). sen(πax)/(πn) para (n 1)/a x n/a. Entonces sen(πax) 1/a πax dx sen(πax) 2/a π dx+ sen(πax) 2π dx+ + 1/a = 1 1 n/a π sen(πax) dx = 2 n n=1 (n 1)/a π n/a sen(πax) nπ (n 1)/a 1 n cos(nπ) = 2 π n=1 dx + 1 n. n=1 La serie del último término, conocida como serie armónica, no converge. Por lo tanto, lím T T T sinc(ax) dx. Utilizando la función sinc( ) la expresión (2.23) de los coeficientes c k de la serie de Fourier del tren de pulsos rectangulares del Ejemplo 2.4 se puede escribir de manera más compacta como c k = A τ ) sinc (τ kt, k =, ±1, ±2,.... T 2.3. La transformada de Fourier La transformada de Fourier juega un papel importante en muchas ramas de la ciencia. Si bien puede ser pensada de manera estrictamente funcional, como es común en el tratamiento de otras transformadas, también asume en muchos casos un significado físico tan preciso como el de las funciones de las cuales se deriva. Una forma de onda óptica, eléctrica o acústica y su espectro son apreciados igualmente como representación matemática o entidades medibles: un osciloscopio nos muestra la forma de onda, y un espectrómetro (un prisma!) o un analizador de espectro revela el espectro óptico o eléctrico. La apreciación acústica es más directa, ya que el oído oye el espectro. Las formas de onda y los espectros son transformadas unas de los otros; la transformada de Fourier es entonces una relación eminentemente física. En muchas ramas de la ciencia se conocía la teoría de Fourier no en forma matemática, sino como un conjunto de proposiciones acerca de un fenómeno físico. Frecuentemente, la interpretación física de un teorema es un hecho experimentalmente comprobable, y esto permite al científico mantenerse alejado de lo que matemáticamente puede ser muy abstracto. El énfasis en la interpretación física permite tratar de manera natural con tópicos que normalmente se considerarían mas avanzados.

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