Tratamiento Digital de la Señal

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1 Departamento de Comunicaciones-UPV Tratamiento Digital de la Señal Teoría y Aplicaciones Antonio Albiol Valery Naranjo Josep Prades

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3 Índice 1. Muestreo Introducción Muestreo de señales paso-bajo Recuperación de una señal paso-bajo a partir de sus muestras Consideraciones prácticas Procesado discreto de señales continuas Muestreo y reconstrucción de señales paso-banda Muestreo de señales paso-banda como señales reales Muestreo de señales paso-banda como señales complejas Cambio de la velocidad de muestreo Diezmado por un factor entero Interpolación por un factor entero Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional Aplicación del diezmado a la conversión C/D Aplicación de la interpolación a la conversión D/C Codificación de señales Recuperación de la señal El ruido de cuantificación Cuantificación no uniforme Transformada Discreta de Fourier Introducción La Transformada Discreta de Fourier Propiedades de la DFT Relación entre convolución circular y lineal i

4 Cond. para igualdad entre conv. lineal y circular Coincidencias entre la convolución lineal y la circular Implementación de filtros LTI utilizando DFT Muestreo de la Transformada de Fourier La FFT Consideraciones previas Algoritmos de diezmado en el tiempo Algoritmos de diezmado en frecuencia Consideraciones adicionales sobre la FFT Algoritmos con N 2 υ Problemas Implementación de filtros Introducción Aplicaciones de los filtros Ventajas e inconvenientes de los filtros digitales Planteamiento general del filtrado digital Implementabilidad de filtros FIR Implementabilidad de filtros IIR Proceso de implementación de un filtro digital Implementación de filtros digitales Diagramas de flujo Formas directas Realización en Cascada Realización en paralelo Formas transpuestas Determinación de la función de transferencia de un grafo Secuencia de cálculo Efectos de precisión finita Cuantificación de los coeficientes Cuantificación de las muestras de entrada Redondeos en las operaciones Escalado en sistemas de coma fija Ciclos límite Problemas ii

5 4. Filtros Adaptativos Introducción Ejemplos de sistemas adaptativos Características fundamentales de los sistemas adaptativos Fundamentos de los de sistemas adaptativos Aplicaciones Identificación de sistemas Predicción Cancelación de ruido Canceladores de eco Ecualizadores adaptativos Filtro en hendidura Filtrado Óptimo El combinador lineal Notación matricial Respuesta deseada y error Superficie de error Gradiente y error cuadrático medio mínimo Ejemplo de superficie de error Algoritmos de gradiente Caso Unidimensional Caso Multidimensional El algoritmo LMS Ejemplo numérico del algoritmo LMS Aspectos prácticos del algoritmo LMS Conclusiones Problemas Ejercicios con Matlab Análisis Espectral Introducción Tipos y tecnologías de analizadores espectrales Analizadores por banco de filtros Analizadores de barrido Analizadores digitales iii

6 5.3. Planteamiento del problema Señales deterministas de duración limitada Señales deterministas de duración ilimitada Señales aleatorias estacionarias Señales no estacionarias Aspectos prácticos del análisis espectral digital Análisis espectral de señales deterministas Ventanas de análisis Resolución en frecuencia y margen dinámico Uso de la FFT. Muestreo en frecuencia El problema de la media Análisis espectral no paramétrico Sesgo y Varianza El periodograma Autocorrelación El método Blackman-Tukey El método de Welch o WOSA Resumen métodos no-paramétricos Análisis Tiempo-Frecuencia La TF dependiente del tiempo Elección de la ventana Interpretación como banco de filtros de la TF dependiente del tiempo Transformada Inversa Muestreo en frecuencia y en tiempo Análisis Espectral Paramétrico Modelos AR Problemas A. Señales Aleatorias Discretas 233 A.1. Introducción A.2. Procesos Estocásticos Discretos A.2.1. Funciones de Distribución y de Densidad de Probabilidad235 A.3. Promedios A.3.1. Promedios instantáneos iv

7 A.3.2. Promedios con memoria A.4. PED Estacionarios A.4.1. Propiedades de los PED estacionarios A.4.2. Estacionariedad en el mundo real A.5. Procesos Ergódicos A.6. Densidad Espectral de Potencia A.7. Filtrado de Procesos Discretos A.8. Ruido Blanco Discreto A.9. Problemas Bibliografía v

8 vi

9 Prólogo Este libro tiene sus orígenes en la experiencia adquirida en la impartición de un curso de Tratamiento Digital de la Señal durante casi 20 años en la ETSI de Telecomunicación de la Universidad Politécnica de Valencia. El libro, en esta su segunda edición se ajusta al temario impartido en la actualidad (2007). Respecto a la edición precedente se han corregido diversos pequeños errores que se habían detectado en la primera edición, y se ha reescrito el principio del capítulo 2 para no incluir las series discretas de Fourier. Este texto tiene su razón de ser en la falta de un texto nacional o extranjero que se ajuste al temario visto en la asignatura. Algunos aspectos que no se encuentran en otros textos de gran difusión ([9] o [6]) son el muestreo de señales paso-banda o el estudio de los efectos de precisión finita en filtros digitales en DSPs con arquitecturas modernas. Otros libros (por ejemplo [4] o [11]) son específicos de alguno de los temas de la asignatura, y tratan con mucha mayor profundidad los aspectos de análisis espectral o filtrado adaptativo. Puede llamar la atención la no existencia de un tema dedicado al diseño de filtros digitales, clásico en la mayoría de los libros sobre la materia. Dicho tema se ha suprimido del temario de la asignatura y ha sido relegado a una asignatura de laboratorio debido a la disponibilidad generalizada de software de diseño de filtros que simplifica notablemente la tarea del diseñador. Nos ha parecido más interesante mantener un tema sobre aspectos prácticos de implementación de filtros digitales, que requieren de más criterio por parte del ingeniero diseñador. Se ha procurado en todo momento mantener a lo largo del libro un lenguaje lo más claro e intuitivo posible, huyendo de un excesivo rigor matemático en beneficio de la claridad. Así por ejemplo siempre que se ha creído conveniente se ha añadido una figura para reforzar las ideas o expresiones matemáticas. Como base para la lectura del libro es necesario tener una base de la teoría de sistemas lineales, tanto discretos como continuos. Se suponen conocidos aspectos como el concepto de señal discreta, la transformada de Fourier, o la transformada Z. Sobre estos temas se pueden consultar los libros [8] o [10] entre muchos otros. vii

10 viii Se ha incluido un apéndice sobre procesos aleatorios discretos debido a que resulta fundamental la perfecta comprensión de los conceptos que en él se contienen para la comprensión del resto del texto. El segundo lo hemos incluido porque nos ha parecido interesante que el alumno conozca cuando aparecieron las ideas y técnicas que se presentan en la parte principal del texto. Con el fin de mantener el libro lo más vivo posible se han habilitado unas páginas Web, donde se recogerán diversas informaciones relacionadas con el libro tales como erratas, programas, problemas adicionales, etc. La dirección es: aalbiol/librotds07 Por otra parte, será bien recibido cualquier errata, comentario o sugerencia que pueda contribuir a mejorar este libro en futuras ediciones. Esperamos que este libro sea de ayuda a los alumnos de nuestra Escuela así como a todos aquellos que busquen un texto sobre la materia donde la claridad en la exposición sea la intención fundamental. Los autores Valencia, julio de 2007.

11 Capítulo 1 Muestreo y Procesado Discreto de Señales Continuas 1.1. Introducción El procesado de señales de forma discreta presenta una serie de ventajas frente a la alternativa analógica como son inmunidad frente al ruido, estabilidad frente a temperatura, repetitividad,... Sin embargo la mayoría de las señales que interesa procesar son de naturaleza analógica. En ese caso es necesaria una discretización de la señal continua. Además, en muchas ocasiones interesa que el procesado (continuo o discreto) de una señal produzca como resultado una señal analógica. En ambos casos es necesario convertir la señal de continuo a discreto o viceversa. En este tema veremos, en la sección 1.2, la conversión continuo-discreto y viceversa para el caso más habitual de que las señales sean paso-bajo. En el apartado 1.3 trataremos el efecto que produce procesar muestras de una señal continua de forma discreta. El punto 1.4 aborda el muestreo de señales paso-banda, de bastante interés en comunicaciones. En la sección 1.5 nos ocuparemos de cómo obtener, a partir de un conjunto de muestras de una señal obtenidas a una frecuencia de muestreo, un nuevo conjunto de muestras correspondientes a una frecuencia de muestreo diferente. Por último, estudiaremos la cuantificación y la codificación en la sección Muestreo y reconstrucción de señales paso-bajo Sea x c (t) una señal continua. Supongamos que disponemos de un bloque que denominaremos conversor continuo a discreto cuya relación entrada salida 1

12 2 CAPíTULO 1. MUESTREO x c (t) C/D x[n] f s Figura 1.1: Representación esquemática de un conversor continuo discreto. venga dada por: x[n] = x c (n T s ) (1.1) donde x[n] es la señal discreta de salida correspondiente a muestras de la señal x c (t). El parámetro T s recibe el nombre de periodo de muestreo, y representa la separación (en segundos) entre dos muestras consecutivas. A su inversa f s = 1/T s se le denomina frecuencia de muestreo. Dicho bloque lo representaremos esquemáticamente como se muestra en la figura 1.1. A la operación que realiza dicho bloque se le denomina muestreo de la señal continua x c (t). En la práctica, el valor de las muestras de salida x[n] se suele cuantificar en amplitud obteniéndose una representación binaria del valor de la muestra. En este caso se habla de convertidores analógico-digitales (A/D). Nosotros consideraremos que la discretización de amplitud es suficientemente fina como para poder considerar sus efectos despreciables. Por ello supondremos (salvo en la sección 1.6) que las muestras pueden tomar cualquier valor real. La señal continua de entrada tendrá una transformada de Fourier X c (f c ) 1 y la señal discreta de la salida tendrá una transformada de Fourier X(e jω ). Dado que x[n] proviene del muestreo de x c (t) (ec. (1.1)) parece lógico pensar que también exista una relación entre las correspondientes transformadas de Fourier. Veamos cuál es esta relación. Consideremos la siguiente señal continua: x s (t) = x c (t) δ(t nt s ) = x c (n T s ) δ(t nt s ) (1.2) n n Recordemos que: { } ( ) 1 TF δ(t nt s ) = δ(f c n f s ) n T s n 1 En este tema, y para evitar confusiones, denominaremos f c a la variable independiente de la Transformada de Fourier (TF) de señales continuas, f d a la variable independiente de la TF de señales discretas, Ω = 2πf c a la pulsación continua, y ω = 2πf d a la pulsación discreta.

13 1.2. Muestreo de señales paso-bajo 3 Tomando Transformadas de Fourier a cada uno de los términos de la ecuación (1.2) resulta: ( ) 1 X s (f c ) = X c (f c ) δ(f c nf s ) = x c (n T s ) e jωtsn (1.3) T s n n Teniendo en cuenta que: X(e jω ) = n x[n] e jωn = n x c (n T s ) e jωn y que: ( ) 1 X c (f c ) δ(f c nf s ) = 1 X c (f c nf s ) T s n T s n a) X c (f c ) 1 W f c b)... f s f s X s (f c ) W f s... f c c)... 1 f s X(e jω ) W/f s 1... f d Figura 1.2: Relaciones entre espectros en el muestreo de señales.

14 4 CAPíTULO 1. MUESTREO resulta la relación: X(e jω ) ω=ωts = 1 X c (f c n f s ) = X s (f c ) (1.4) T s Observemos que X s (f c ) es a la vez: n La repetición periódica (escalada en amplitud por f s ) del espectro de la señal original X c (f c ). En otras palabras, consiste en réplicas centradas en f c = 0 y f c = ±k f s, del espectro de la señal original. Un escalado por un factor f s de X(e jω ). Es decir, el valor de X(e jω ) en f d = 1 corresponde con el que toma X s (f c ) en f c = f s. La figura 1.2 muestra dichas relaciones. Nótese que las relaciones expresadas por la ecuación (1.4) son válidas para toda señal continua real o compleja. Finalmente, podemos escribir la relación directa entre X(e jω ) y X c (f c ) X(e jω ) = 1 T s n ( ) fd n X c T s (1.5) Centrémonos ahora en el caso de señales reales continuas paso-bajo, es decir, señales cuyo espectro se puede considerar nulo para f c > W, siendo W el ancho de banda. Las señales paso-bajo reales suelen corresponder a las que producen la mayoría de fuentes de señal: audio, voz, televisión, señales digitales en banda base,... Al muestrear una de estas señales, pueden suceder dos casos: Que al repetirse el espectro no se produzca solapamiento entre las diferentes repeticiones. Éste es el caso mostrado en la figura 1.2 donde es fácil observar que f s > 2 W Que al repetirse el espectro se produzca solapamiento entre las diferentes repeticiones. En la figura 1.3 se ilustra este caso que corresponde a la condición f s < 2 W. Al solapamiento espectral se le conoce habitualmente como aliasing. En el caso en que no se produzca aliasing, veremos que se puede recuperar la señal continua paso-bajo x(t) a partir de sus muestras x[n]. En el siguiente apartado se detalla cómo.

15 1.2. Muestreo de señales paso-bajo X c (f c ) 1 W X s (f c ) f s f s W f s X(e jω ) f s 1 W/f s 1 f c... f c... f d Figura 1.3: Relaciones entre espectros en el muestreo de señales en el caso de que exista aliasing (W > f s /2) Recuperación de una señal paso-bajo a partir de sus muestras Supongamos que tenemos un conjunto de muestras x[n] que han sido tomadas a una frecuencia de muestreo f s. Dado dicho conjunto de muestras de una señal continua, la cantidad de señales continuas que pueden corresponder a dichas muestras es infinita. Este hecho queda ilustrado en la figura 1.4, donde se pueden observar dos señales distintas que corresponden a un mismo conjunto de muestras. Obsérvese que las muestras únicamente permiten conocer directamente la señal continua en los instantes t k = k T s. Para conocer los valores de la señal en instantes de tiempo intermedios, es necesario hacer alguna hipótesis sobre la naturaleza de la señal muestreada. Si consideramos que la señal analógica a la que corresponden las muestras es paso-bajo de ancho de banda f s /2 entonces sólo existe una única señal continua a la que pueden corresponder las muestras.

16 6 CAPíTULO 1. MUESTREO Si las muestras de la señal no contienen aliasing, es decir si f s > 2 W entonces la señal que se recupera es x c (t), de la cual se tomaron las muestras. En caso contrario, la señal que se recupera no coincide con la señal x c (t). Podemos resumir por tanto, los condiciones necesarias para recuperar una señal continua a partir de sus muestras: 1. Las muestras x[n] tomadas equiespaciadamente. 2. Conocer el periodo de muestreo T s para saber a qué instantes corresponden las muestras. 3. Saber que la señal x c (t) original es paso-bajo. 4. Que su ancho de banda sea W < f s /2. Es interesante notar que la falta de cualquiera de los 4 elementos arriba indicados no permite reconstruir la señal analógica original. El hecho de que se pueda recuperar exactamente una señal a partir de sus muestras es equivalente a decir que las muestras contienen la misma cantidad de información que la señal continua. Por lo tanto, cualquier manipulación de la señal continua que pudiéramos pensar, podrá ser realizada sobre sus muestras Figura 1.4: Ejemplo de dos señales continuas diferentes cuyas muestras coinciden.

17 1.2. Muestreo de señales paso-bajo 7 Generador x s (t) Impulsos H r (f c ) x[n] x c (t) f s D/C Figura 1.5: Diagrama de bloques de un conversor discreto-continuo. La figura 1.2 nos da una pista de cómo recuperar la señal analógica a partir de las muestras. 1. En primer lugar, generaremos x s (t) a partir de x[n]. Esta señal corresponde a un tren de impulsos infinitamente estrechos e infinitamente altos cuya área coincide con el valor de las muestras. En otras palabras generamos la señal analógica cuyo espectro se muestra en la figura 1.2-b a partir de la señal discreta de la figura 1.2-c. 2. Una vez se tiene x s (t) (figura 1.2-b), se aplica a un filtro analógico pasobajo ideal cuya ganancia en la banda de paso debe ser T s y cuyo ancho de banda es f s /2 para obtener finalmente x(t) (figura 1.2-a). Al conjunto de operaciones que acabamos de describir, se le denominaconversor discreto a continuo y lo denotaremos como D/C. Su diagrama se muestra en la figura 1.5. Conviene notar que esta figura representa un modelo de dichos conversores pero no expresa una forma de realización práctica, ya que en dicho esquema es necesario generar impulsos analógicos infinitamente altos y estrechos, cosa imposible en la práctica. El filtro que se muestra en la figura 1.5 recibe el nombre de filtro de reconstrucción y debe notarse que es un filtro analógico. Su respuesta en frecuencia y su respuesta impulsiva son respectivamente: ( ) f c H r (f c ) = T s f s h r (t) = sinc t T s (1.6) A partir de los razonamientos anteriores, podemos escribir fácilmente la relación entre la señal discreta y continua de un conversor D/C tanto en el dominio del tiempo: x c (t) = ( ) t n Ts x[n] sinc (1.7) n T s

18 8 CAPíTULO 1. MUESTREO como en el de la frecuencia: X c (f c ) = { Ts X(e jω Ts ) f c < f s /2 0 resto (1.8) Nótese finalmente que, en el caso de no existir aliasing (figura 1.2), existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del eje de frecuencias continuas y discretas: f d f c = f s f d f d < 0,5 f c < f s / Consideraciones prácticas En este apartado veremos algunas de las consideraciones de tipo práctico que es necesario tener presente. 1. Necesidad del filtrado previo al muestreo de las señales. La mayoría de las señales reales que se pueden encontrar en la práctica tienen un ancho de banda limitado. Sin embargo, muchas veces interesa únicamente la parte de bajas frecuencias de una señal para, de ese modo, poder muestrear a una frecuencia más baja. En esos casos se hace necesario un filtrado analógico previo al muestreo de la señal. Incluso si se puede considerar el ancho de banda de la señal a muestrear limitado a f s /2, se hace necesario filtrar la misma debido a que normalmente ésta contendrá ruido fuera de la banda de la señal que habrá de ser eliminado antes del muestreo. 2. Bandas de guarda. Dado que los filtros antialiasing y de reconstrucción tienen bandas de transición de anchura finita, será necesario muestrear a frecuencias superiores al doble del ancho de banda si se desea poder recuperar la señal en la práctica. Como ejemplo, la señal de audio de 20 khz se muestrea a 44.1 khz en el Compact Disc. 3. Muestreo y retención en el D/C. Para recuperar la señal, en la figura 1.5 se propone generar un tren de impulsos x s (t). Esta señal no se puede generar en la práctica, por tratarse de impulsos infintamente estrechos y altos. En su lugar se suele utilizar un tren de impulsos cuadrados (Muestreo y Retención, sample and hold): x s(t) = n x[n] ( ) t n T s T s (1.9)

19 1.3. Procesado discreto de señales continuas 9 Es fácil observar que: x s(t) = x s (t) ( ) t T s (1.10) Por lo que: X s(f c ) = X s (f c ) T s sinc f c f s (1.11) es decir, se obtiene lo mismo que en el caso ideal pero multiplicado por un sinc. Este producto tiene dos efectos: Un primer efecto desfavorable: una atenuación creciente con la frecuencia (máxima a f c f s /2). Un segundo efecto favorable: Atenuación de las componentes espectrales de x s (t) en torno a f s, 2 f s,... y ganancia de T s. Este efecto hace que el filtro de reconstrucción deba tener ganancia 1 en su banda de paso, y que su diseño sea más sencillo si el conversor es del tipo Sample and Hold, pues las repeticiones espectrales están preatenuadas por los nulos del sinc. La salida de un convertidor de este tipo tiene un aspecto de escalera en el dominio del tiempo. Este efecto se debe a las repeticiones del espectro (atenuadas por el sinc) centradas en los armónicos de la frecuencia de muestreo. Para eliminar dicho efecto es necesario el filtro de reconstrucción anteriormente mencionado Procesado discreto de señales continuas El muestreo de una señal analógica suele realizarse para: Transmitir dichas muestras digitalmente. Almacenar las muestras, para su posterior reproducción, análisis, etc. Procesarlas para obtener otro conjunto de muestras que volverá a ser convertido a continuo. Este último punto es el que trataremos en esta sección. Considérese un diagrama como el de la figura 1.6, en el que se muestrea una señal analógica cuyas muestras son procesadas para obtener un nuevo conjunto de muestras y[n] que dará lugar a una señal analógica de salida. En el caso más simple h[n] = δ[n] sería el sistema identidad. En ese caso y c (t) coincide con x c (t) si x c (t) es paso-bajo y el muestreo se realiza sin aliasing.

20 10 CAPíTULO 1. MUESTREO x c (t) x[n] y[n] C/D h[n] D/C y c (t) f s f s Figura 1.6: Procesado discreto de una señal continua. En el caso más general de que h[n] sea un filtro digital arbitrario, tendremos: Y (e jω ) = X(e jω ) H(e jω ) (1.12) Concatenando esta ecuación con las correspondientes al conversor C/D (1.4) y al D/C (1.8) resulta la siguiente expresión para el espectro de y c (t). H(e jω Ts ) X c (f c k f s ) f c < f s /2 k Y c (f c ) = 0 resto (1.13) Si la señal x c (t) se muestreó sin aliasing (como en la figura 1.2), entonces del anterior sumatorio sólo es no nulo el término correspondiente a k = 0, resultando en ese caso: Y c (f c ) = H(e jω Ts ) X c (f c ) f c < f s /2 (1.14) Es decir, si la señal de entrada se muestrea sin aliasing, y sus muestras se filtran digitalmente, el efecto es producir un filtrado analógico equivalente sobre la señal de entrada por un filtro: H eff (f c ) = H(e jω Ts ) (1.15) Dicha expresión nos indica que la respuesta en frecuencia analógica equivalente es simplemente una desnormalización del eje de frecuencias del sistema discreto empleado. Por poner un ejemplo, si se utiliza una frecuencia de muestreo de 10 khz, y tuviéramos un filtro discreto h[n] paso-bajo de frecuencia de corte discreta 0.1, el conjunto de la figura 1.6 equivaldría a un filtro paso-bajo analógico de 1 khz. de ancho de banda. En la figura 1.7 se muestra un resumen de las relaciones entre espectros al filtrar señales analógicas de forma discreta.

21 1.3. Procesado discreto de señales continuas 11 X c (f c ) 1 1/T s W W X s (f c ) 1/T s W W H(e jω ) 1 1/T s 1 0,5 0 0,5 1 1 f 1 f 1 1 f c f c f d f d Y (e jω ) 1/T s 1 f 1 f 1 1 f d Y s (f c ) T s H r (f c ) 1/T s 1/T s f 1 /T s f 1 /T s 1/T s f c Figura 1.7: Relaciones de espectros en el filtrado discreto de una señal continua. Conviene recalcar que para que un sistema discreto produzca el efecto de un filtrado analógico, son necesarias dos cosas: Que no exista aliasing. Que el sistema discreto sea LTI.

22 12 CAPíTULO 1. MUESTREO Nótese igualmente que la expresión (1.15) es válida únicamente en el margen f c < f s /2 que es donde la señal de entrada puede tener componentes espectrales no nulas para no tener aliasing. Un aspecto interesante es que la respuesta en frecuencia analógica equivalente depende de: La respuesta en frecuencia del filtro discreto. La frecuencia de muestreo. Este hecho puede ser usado, por ejemplo, para implementar filtrados analógicos diferentes (distintas frecuencias de corte) con un mismo filtro digital cambiando únicamente la frecuencia de muestreo Muestreo y reconstrucción de señales paso-banda Un tipo de señales especialmente útil en telecomunicaciones es el de las señales paso-banda. Algunos campos donde podemos encontrar estas señales son en radiocomunicaciones, multiplex por división en frecuencia, radar,... La figura 1.8 muestra una señal de este tipo. Dicha señal podría muestrearse usando la misma regla aplicada para señales paso-bajo, a una frecuencia de muestreo que fuera el doble de la máxima frecuencia de la señal, es decir f s = 2f 2 Sin embargo, esto no es lo más eficiente posible, pues si dicha frecuencia f 2 es mucho mayor que el ancho de banda W = f 2 f 1 (cosa que suele suceder en la práctica), la frecuencia de muestreo necesaria sería muy alta, lo que llevaría a los siguientes problemas: Tecnológico: Tal vez no sea posible el muestreo a la suficiente velocidad. Coste: Suponiendo que sea posible técnicamente, los convertidores rápidos son más caros. Volumen de información: Suponiendo que se pudiera realizar la conversión, la cantidad de muestras por segundo generadas haría su procesamiento difícil y costoso, cuando no imposible. La ineficiencia del muestreo se manifiesta en que en el espectro de la señal discreta resultante aparecerían amplios huecos. Vamos a ver en este punto dos técnicas que se utilizan para que la frecuencia de muestreo necesaria no sea tan grande. La idea subyacente en ambas es que la cantidad de información

23 1.4. Muestreo y reconstrucción de señales paso-banda 13 X c(f c ) 1 f 1 f 0 f 2 Figura 1.8: Espectro de una señal paso-banda. f c que transporta una cierta señal es proporcional a su ancho de banda y no a su frecuencia máxima. Cuando traducimos la frase anterior en términos de frecuencia de muestreo, diremos que la frecuencia de muestreo deberá ser proporcional a la cantidad de información de la señal y, por tanto, a su ancho de banda. Las muestras obtenidas contendrán toda la información de la señal paso-banda y, por ello, cabrá hacer con ellas todo tipo de demodulaciones, filtrados, etc. pero de forma discreta Muestreo de señales paso-banda como señales reales Consideremos las operaciones que se describen en la figura 1.9. La señal de entrada x c (t) corresponde con la señal paso-banda que deseamos muestrear (cuyo espectro se muestra en la figura 1.8). La señal x 1 (t) es una señal pasobajo de ancho de banda W = f 2 f 1 que puede muestrearse tal y como se vio en la sección 1.2. Nótese que en el esquema de dicha figura existe un preprocesado analógico previo al muestreo. El espectro de la señal x 1 (t) se muestra en la figura Puede observarse que dicha señal es paso-bajo y real. Es decir, podremos utilizar una frecuencia de muestreo: f s = 2 W = 2 (f 2 f 1 ) (1.16) para que seamos capaces de recuperarla a partir de sus muestras. x c (t) continuo discreto x 1 (t) H lp (f c ) C/D x[n] cos 2πf 1 t f s Figura 1.9: Diagrama de bloques para muestrear de forma eficiente una señal paso-banda como una señal real.

24 14 CAPíTULO 1. MUESTREO Obsérvese que hemos muestreado una señal paso-banda con una frecuencia de muestreo igual (como mínimo) al doble de su ancho de banda. Para poder recuperar la señal analógica original, hay que conocer los siguientes elementos: La frecuencia de muestreo f s. Saber que no se ha producido solapamiento espectral al muestrear x 1 (t). Las muestras x[n]. La frecuencia f 1 que se utilizó en el mezclador previo al muestreo. La banda de frecuencias f 1 -f 2 ocupada por la señal original. Conociendo estos elementos, es posible recuperar la señal analógica original mediante el esquema que se muestra en la figura Esta técnica de muestreo puede considerarse como el muestreo de una señal paso-banda real de frecuencia central mínima, de tal modo que la señal que se muestrea realmente, x 1 (t), es, de hecho, una señal paso-bajo Muestreo de señales paso-banda como señales complejas Otra posibilidad para muestrear una señal paso-banda consiste en desplazar el espectro de la señal original x c (t) una cantidad f 0 = (f 1 + f 2 )/2 y filtrar paso-bajo, tal y como se muestra en la figura Recordemos que, filtrar una señal compleja, como x 2 (t), con un filtro de respuesta impulsional real h lp (t), produce una señal compleja en la que la parte real de la salida es el resultado de filtrar la parte real de la entrada y lo mismo con la parte imaginaria. x 2 (t) = (x c (t) e jω 0t ) h lp (t) = = (x c (t) cos Ω 0 t) h lp (t) j (x c (t) sen Ω 0 t) h lp (t) 1 H lp(f c ) f 2 f 1 f c Figura 1.10: Filtro tras el mezclador previo al muestreo de la señal paso-banda.

25 1.4. Muestreo y reconstrucción de señales paso-banda 15 1/2 X 1(f c ) f 2 f 1 f c Figura 1.11: Espectro de x 1 (t). La señal x 2 (t) recibe el nombre de envolvente compleja y su espectro se muestra en la figura La parte real de la envolvente compleja recibe el nombre de componente en fase y la parte imaginaria, el de componente en cuadratura. El módulo de x 2 (t) recibe el nombre de envolvente de la señal x c (t) (y no depende de Ω 0 ) mientras que la fase de x 2 (t) recibe el nombre de fase instantánea y su derivada, frecuencia instantánea. Para recuperar x c (t) a partir de x 2 (t) hay que deshacer los pasos hechos. En primer lugar, obtendremos x + (t), señal compleja correspondiente a las frecuencias positivas de la señal paso-banda: x + (t) = x 2 (t) e jω 0t (1.17) Discreto x[n] Continuo x 1 (t) D/C H bp (f c ) f s cos 2πf 1 t x c (t) Figura 1.12: Recuperación de una señal paso-banda a partir de sus muestras. 4 H bp(f c ) f 1 f 2 f c Figura 1.13: Filtro para recuperar la señal paso-banda.

26 16 CAPíTULO 1. MUESTREO A continuación obtendremos la parte correspondiente a las frecuencias negativas: x (t) = x +(t) (1.18) para finalmente obtener la señal paso-banda original x c (t) = x + (t) + x (t) = 2 Re{x + (t)} = = 2 ( Re{x 2 (t)} cos Ω 0 t Im{x 2 (t)} sen Ω 0 t) (1.19) x c (t) contínuo discreto x 2 (t) H lp (f c ) C/D x[n] e jω 0t f s Figura 1.14: Diagrama de bloques del muestreo de una señal pasobanda real como señal paso-bajo compleja. Las líneas gruesas representan señales complejas. El conversor C/D de señales complejas muestrea cada uno de los canales de entrada (parte real e imaginaria) a una frecuencia f s. Re{x 2 (t)} x c (t) H lp (f c ) C/D cos Ω 0 t sen Ω f s 0 t x c (t) H lp (f c ) C/D Im{x 2 (t)} Re{x[n]} Im{x[n]} Figura 1.15: Idem a la figura anterior pero con tadas las señales reales. Nótese la existencia de dos canales, uno para la parte real y otro para la imaginaria.

27 1.4. Muestreo y reconstrucción de señales paso-banda 17 1 H lp(f c ) f 2 f 1 f c 2 Figura 1.16: Respuesta en frecuencia del filtro de las figuras 1.14 y X 2(f c ) f 2 f 1 2 Figura 1.17: Espectro de x 2 (t). f c 1 X +(f c ) f 1 f 2 f c f 2 f 1 1 X (f c ) = X +( f c ) f c Figura 1.18: Espectro de x + (t) y x (t). Frecuencias positivas y negativas respectivamente de x c (t). Dado que tanto la parte real como la imaginaria de x 2 (t) son señales pasobajo reales, se puede muestrear cada una de ellas con una frecuencia de muestreo mínima igual al doble de su ancho de banda, es decir f s 2 f 2 f 1 2 = f 2 f 1 (1.20)

28 18 CAPíTULO 1. MUESTREO Nótese que, dado que la señal x 2 (t) es compleja, el número total de muestras por segundo será el doble de la cantidad de la ecuación (1.20), y coincide con el dado por la ecuación (1.16). Ello es consistente con que el número de muestras por segundo mínimo para representar una señal debe ser el mismo, se considere ésta real o compleja Cambio de la velocidad de muestreo En esta sección nos ocuparemos de un problema que aparece a menudo en la práctica. Supongamos que x 1 [n] sea un conjunto de muestras de una señal continua x c (t), tomadas con una frecuencia de muestreo f s1. Pretendemos encontrar otro conjunto de muestras x 2 [n] que corresponda al muestreo de la misma señal analógica con una frecuencia de muestreo f s2. Una posibilidad trivial para resolver el problema anterior consisitiría en recuperar la señal analógica a partir de las muestras x 1 [n] para, a continuación, volver a muestrear la señal a la nueva frecuencia de muestreo. Esquemáticamente dicha posibilidad se muestra en la figura No obstante, vamos a proponer una solución totalmente discreta al problema anterior, en la que no sea necesario pasar por la señal analógica. Abordaremos el problema por fases, estudiando primero los casos sencillos de relaciones enteras entre las frecuencias de muestreo: Caso en que f s2 = f s1 /M siendo M entero. Denominaremos este caso diezmado por un factor entero. Caso en que f s2 = L f s1 siendo L entero. Denominaremos esta operación interpolación por un factor entero. Caso en que f s2 = (L/M) f s1, es decir, que exista una relación racional entre las frecuencias de muestreo. Dependiendo de si L/M es mayor o menor que la unidad hablaremos de interpolación o diezmado por un factor racional. x c (t) x 1 [n] D/C C/D x 2 [n] f s1 f s2 Figura 1.19: Solución trivial al problema del cambio de la frecuencia de muestreo.

29 1.5. Cambio de la velocidad de muestreo Diezmado por un factor entero Si la frecuencia de muestreo final, es M veces menor que la inicial, es decir: f s2 = f s1 M el problema es relativamente sencillo. Bastará con tomar una de cada M muestras de la señal de entrada y copiarlas en la salida. Es decir el sistema con la relación E/S siguiente nos hará la tarea: x 2 [n] = x 1 [M n] (1.21) La figura 1.20 muestra la representación esquemática del sistema descrito por la ecuación (1.21). x 1 [n] M x 2 [n] Figura 1.20: Representación gráfica de un diezmador por M. La figura 1.21 muestra la relación en el dominio del tiempo entre las muestras. Cuando se diezma una señal como se acaba de describir, existe un peligro que consiste en que es posible que aunque x 1 [n] no contenga aliasing, dado que x 2 [n] corresponde a una frecuencia de muestreo menor, es posible que x 2 [n] x 1 [n] x 2 [n] n n Figura 1.21: Efecto de un diezmador por M = 2 en el dominio del tiempo.

30 20 CAPíTULO 1. MUESTREO x 1 [n] x 2 [n] H(e jω ) M Figura 1.22: Filtrado previo necesario antes del diezmador. sí que tenga aliasing. De hecho, para que al diezmar por M no existiese aliasing, el ancho de banda de la señal original W debería ser: W < f s2 2 = f s1 2 M Normalmente se cumplirá únicamente que W < f s1 /2, por lo que será necesario realizar un filtrado paso-bajo digital previo de la señal x 1 [n] antes de ser diezmada. Para determinar la frecuencia de corte discreta necesaria es preciso conocer: La frecuencia de corte analógica equivalente necesaria: f s1 /2M La frecuencia de muestreo a la que trabajará el filtro: f s1 La frecuencia de corte discreta será pues f s1 /2 M f s1 = 1 2 M Por tanto el filtro digital que se debe anteponer antes del diezmado será un filtro digital paso-bajo de frecuencia de corte 1/2M. En la figura 1.22 se muestra el diezmador con el filtro paso-bajo discreto previo para evitar el aliasing. Es posible encontrar también una relación en el dominio de la frecuencia entre la entrada y la salida de un diezmador (sin filtro) como el de la figura Para ello, si suponemos que x 1 [n] y x 2 [n] corresponden a sendos muestreos de una misma señal analógica podemos escribir: X 1 (e jω ) = 1 ( fd n X c T s1 T s1 X 2 (e jω ) = 1 ( fd r X c T s2 T s2 n r ) ) (1.22) (1.23) En esta última expresión, vamos a hacer r = i + k M con 0 i < M y k variando de a. El sumatorio se convierte en el siguiente doble sumatorio: X 2 (e jω ) = 1 M M 1 i=0 1 T s1 k ( ) fd (i + k M) X c T s1 M

31 1.5. Cambio de la velocidad de muestreo 21 X 1 (e jω ) -2-1 W T s1 1 2 X 1 (e j ω M ) -2-1 W T s1 M 1 2 X 1 (e j ω 2π M ) X 2 (e jω ) Figura 1.23: Relación entre espectros en el diezmado por M = 2. f d f d f d f d X 2 (e jω ) = 1 M M 1 i=0 X 2 (e jω ) = 1 M 1 T s1 M 1 i=0 k X 1 ( ( fd i M X c T s1 ) e j ω 2πi M k ) (1.24) Interpolación por un factor entero En este caso se pretende que la frecuencia de muestreo de salida sea un múltiplo entero de la de la entrada, es decir: f s2 = L f s1 Ahora no puede aparecer aliasing por el cambio de frecuencia de muestreo, pues la nueva frecuencia de muestreo es mayor. Consideremos inicialmente un x 1 [n] L y[n] Figura 1.24: Diagrama de un insertador de ceros.

32 22 CAPíTULO 1. MUESTREO x 1 [n] n y[n] n Figura 1.25: Relación entre muestras en un insertador de ceros por L = 2. sistema denominado insertador de ceros por L cuya relación E/S es: y[n] = { x1 [n/l] n múltiplo de L 0 resto (1.25) Conceptualmente este sistema inserta L 1 ceros entre cada dos muestras de la señal de entrada. La figura 1.25 ilustra el funcionamiento del insertador de ceros en el dominio del tiempo. El espectro de la señal rellenada por ceros vale: Y (e jω ) = n y[n] e jωn = n x 1 [n] e jωnl = X 1 (e jωl ) (1.26) Es decir, corresponde a una compresión del espectro por un factor L. Para lograr la señal interpolada x 2 [n] (ver figura 1.26) deberemos: Eliminar las repeticiones de los espectros centradas en 1/L, 2/L,..., L 1/L Multiplicar la repetición centrada en el origen por L. Ambos efectos se pueden lograr filtrando la señal y[n] con un filtro pasobajo de respuesta en frecuencia: H(e jω ) = { L fd < 1/2L 0 1/2L < f d < 0,5 (1.27)

33 1.5. Cambio de la velocidad de muestreo 23 X 1 (e jω ) f s /2 1 2 f s1 3 X 1 (e jωl ) X 2 (e jω ) f s /2L 1 2 f d f d f d Figura 1.26: Relaciones en el dominio de la frecuencia en la interpolación. Un aspecto importante a tener en cuenta es que la interpolación de señales no crea nueva información, pues las nuevas muestras de x 2 [n] se obtienen a partir de las originales de x 1 [n]. Dicho de otro modo las muestras interpoladas constituyen información redundante. x 1 [n] x 2 [n] L H(e jω ) Figura 1.27: Diagrama de bloques de la interpolación de señales. Interpoladores lineales Acabamos de ver que para interpolar una señal, es necesario realizar un relleno por ceros y un filtrado paso-bajo con un filtro de respuesta impulsiva: h[n] = sinc n L Dicho filtro es irrealizable y, por tanto, se hace necesaria una aproximación a dicha respuesta impulsiva. Un filtro que se suele utilizar a menudo es el que se

34 24 CAPíTULO 1. MUESTREO conoce como interpolador lineal. Se conoce con este nombre porque las nuevas muestras se calculan trazando líneas rectas entre las disponibles. La figura 1.28 ilustra el proceso de interpolación lineal. Cabría preguntarse qué relación existe entre dicha interpolación y la ideal con filtro paso-bajo. La respuesta es que la interpolación lineal equivale a un relleno por ceros seguido de un filtro de respuesta impulsiva triangular, como la mostrada en la figura La figura 1.30 compara la respuesta en frecuencia del interpolador ideal con el lineal. Podemos apreciar las siguientes diferencias: El interpolador lineal atenúa la parte alta de la banda de paso del ideal. El interpolador lineal no elimina totalmente las repeticiones intermedias de la figura 1.26, excepto en torno a las frecuencias k/l, donde la atenuación es alta. x 1 [n] 1 2 x 2 [n] n n Figura 1.28: Relación entre muestras en un interpolador lineal por L = 2. Los valores interpolados se representan con. h[n] 1 L n Figura 1.29: Respuesta impulsiva de un interpolador lineal.

35 1.5. Cambio de la velocidad de muestreo 25 Figura 1.30: Comparación de los módulos de las respuestas en frecuencia del filtro de un interpolador ideal y de uno lineal. Por todo ello, debe concluirse que en el caso en que la señal a interpolar tenga su espectro concentrado en torno a f d = 0, es decir, esté sobre-muestreada, el interpolador lineal constituye una buena aproximación al interpolador pasobajo ideal Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional A veces, el factor de cambio de frecuencia no es entero. Supongamos que deseamos realizar el cambio de frecuencia: f s2 = L M f s1 Es fácil darse cuenta de que concatenando una interpolación y un diezmado por factores enteros L y M respectivamente se logra el objetivo deseado. Cabría la duda de qué debe realizarse antes, la interpolación o el diezmado. Para responder a esta pregunta hay que recordar que el diezmado destruye información, hasta dejar la señal analógica equivalente con un ancho de banda f s1 /(2M). Como dicho ancho de banda será menor que el de la señal final, se hace necesario realizar primero la interpolación y luego el diezmado. Es decir, primero se realizará lo mostrado en la figura 1.27, seguido de lo mostrado en la figura Al concatenar estas operaciones, aparecen dos filtros en cascada

36 26 CAPíTULO 1. MUESTREO que pueden sustituirse por un único filtro cuya respuesta en frecuencia sea el producto. El diagrama global para el cambio de frecuencia de muestreo por un racional se muestra en la figura La respuesta en frecuencia del filtro paso-bajo de dicha figura es: Ancho de la banda de paso: mín (0,5/M, 0,5/L). Ganancia en la banda de paso: L. Es importante notar que, de las tres frecuencias de muestreo presentes en la figura 1.31, el filtro trabaja a la más alta de todas, es decir a f s1 L. x 1 [n] x 2 [n] L H(e jω ) M Figura 1.31: Diagrama de bloques de cambio de frecuencia de muestreo por un racional. Consideraciones prácticas Acabamos de ver un procedimiento para el cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional. Sucede a menudo que aunque la frecuencia de muestreo no cambie por un factor excesivamente grande, los términos M y L de la fracción, pueden serlo. Hemos comprobado que si se intenta el cambio de frecuencia de muestreo en una única etapa, la frecuencia de trabajo del filtro necesario puede ser muy alta. Para solucionar el problema hay que hacer lo siguiente: Factorizar M y L. Realizar cambios de frecuencia de muestreo por factores de muestreo racionales resultado de agrupar los factores de M con los de L, de forma que la frecuencia de muestreo en ningún punto de la cadena sea menor que mín(f s2, f s1 ). Veamos un ejemplo de lo que estamos diciendo. Supongamos que desamos cambiar de la frecuencia normalizada del CD 44.1 khz. a una de las frecuencias

37 1.5. Cambio de la velocidad de muestreo 27 normalizadas del DAT 48 khz. Tendremos f s2 = = f s1 L M = L M es decir L M = = Si intentáramos realizar el cambio directamente, el filtro intermedio trabajaría a una frecuencia de hz. Factorizando M y L se obtiene: = Sería posible por ejemplo la siguiente factorización: = De este modo, la primera etapa cambiaría la frecuencia de muestreo por 8/7 siendo la frecuencia de trabajo del filtro de f s1 8. La segunda etapa, cambiaría la frecuencia de muestreo por 4/3 y su correspondiente filtro trabajaría a f s1 8/7 4 y, por último, el filtro de la tercera etapa trabajaría a una velocidad f s1 8/7 4/ Aplicación del diezmado a la conversión C/D Supongamos que tenemos una señal continua paso-bajo x c (t) de la cual nos interesa el margen de frecuencias 0 W. Dicha señal puede tener un ancho de banda mayor o bien estar inmersa en un fondo de ruido de banda ancha. Dado que únicamente estamos interesados en el margen 0 W trataríamos de muestrear dicha señal con una frecuencia de muestreo f s = 2W. Sin embargo, para poder hacer esto deberíamos realizar un filtrado previo analógico para prevenir el aliasing. Dicho filtro tendría que tener unas bandas de transición muy estrechas. Supongamos que no se quisiera utilizar filtros analógicos de bandas de transición muy estrechas (orden alto). Vamos a ver como el diezmado nos puede solucionar el problema. Supongamos que la señal a muestrear x c (t) sea la mostrada en la figura 1.32 y que el filtro antialiasing utilizado sea el de la misma figura. Nótese que este filtro analógico tiene bandas de transición suaves. La señal a la salida del filtro será la y c (t) de la figura. Ésta es la señal que muestrearemos. Es fácil darse cuenta de que si muestreamos con una frecuencia de muestreo f s1 > f 1 + W no se nos va a producir solapamiento espectral en la banda

38 28 CAPíTULO 1. MUESTREO 0 W. Una vez obtenidas las muestras, podremos filtrar digitalmente con un filtro paso-bajo cuya frecuencia de corte sea W/f s1, habiendo eliminado de este modo el aliasing. Para lograr las muestras a una velocidad f s = 2W sólo resta realizar un diezmado. Elegiremos f s1 = L f s : f 1 + W = L2W f 1 = W (2L 1) A medida que L es mayor, el filtro analógico tiene bandas de transición más anchas (es más fácil de construir), pero por contra el muestreo deberemos realizarlo a una velocidad mayor, lo que implica, además, que el filtro digital previo al diezmador trabaja más deprisa y tiene más coeficientes. X c (f c ) W H aa (f c ) W f 1 Y c (f c ) f c f c W f 1 f c Figura 1.32: Aplicación del diezmado a la conversión C/D. Espectros de las señales involucradas Aplicación de la interpolación a la conversión D/C En los apartados y hemos visto como se puede recuperar una señal a partir de sus muestras. Vimos que era necesario el uso de un filtro analógico de reconstrucción. Dicho filtro debería tener las siguientes características:

39 1.5. Cambio de la velocidad de muestreo 29 Banda de paso constante entre f c = 0 y f c = W, siendo W el ancho de banda de la señal analógica. Atenuación infinita (o muy grande) a partir de f c = f s W. Banda de transición entre W y (f s W ). Si f s 2 W, la banda de transición resultante puede ser muy estrecha, lo que requeriría de un filtro analógico de orden alto. Con el fin de que el filtro analógico sea más sencillo, lo que se hace a veces es elevar la frecuencia de muestreo digitalmente justo antes de la conversión. En aplicaciones de audio las interpolaciones se hacen por factores típicamente entre 4 8, hablándose de convertidores four times oversampling DAC. Interpolar la señal antes de su conversión también reduce el efecto del muestreo y retención. La máxima atenuación por muestreo y retención se produce a la frecuencia W y tiene un valor: α(db) = 20 log (sinc W ) fs A medida que la frecuencia de muestreo aumenta (gracias a la interpolación), dicha atenuación máxima disminuye. La tabla siguiente muestra los valores de atenuación para distintos factores de interpolación: L α(db) Además, los nulos del sinc producen una atenuación mínima de las diferentes repeticiones espectrales de: ( α(db) = 20 log sinc f ) s W f s L α(db)

40 30 CAPíTULO 1. MUESTREO 1.6. Introducción a la codificación de señales. Codificación PCM En los apartados anteriores, hemos estudiado cómo se puede pasar de una señal continua a una señal de tiempo discreto. Es interesante destacar que los valores de las muestras tenían para nosotros precisión infinita, es decir, considerábamos que eran números reales. Sin embargo, cuando se desea transmitir, almacenar o procesar las señales de forma digital, es necesario obtener una representación binaria de los valores de dichas muestras. En este apartado trataremos este aspecto. La codificación PCM (Pulse Code Modulation) o MIC (Modulación por Impulsos Codificados) constituye la técnica más sencilla de codificación de una señal. Vemos un diagrama conceptual de este tipo de codificación en la figura En dicha figura se pueden distinguir las siguientes operaciones: Muestreo lo visto en la parte precedente del tema. Cuantificación Consiste en dividir el eje real de amplitudes en intervalos y determinar a cuál de ellos, k, pertenece la muestra. La figura 1.34 muestra la relación entrada-salida del cuantificador para el caso de un cuantificador uniforme, en el que todos los intervalos tienen el mismo ancho. Esta operación es irreversible, pues a partir del índice del intervalo k es imposible saber el valor de la muestra dentro del intervalo. Codificación consiste en asignar una palabra binaria para cada valor de k. Es un proceso reversible. Desde el punto de vista del procesado digital de la señal no tiene importancia la palabra binaria concreta que se use para representar a k, y se suele usar complemento a 2 o alguna otra representación de tamaño de palabra fijo. Sin embargo desde el punto de vista de la codificación es importante asignar palabras binarias más cortas a aquellos índices k más probables en aras a lograr un volumen medio de bits inferior. Los bits producidos por el codificador son los que físicamente se almacenan, se manipulan por el hardware o se transmiten. C/D Cuantif. Codificación x c (t) x[n] k Figura 1.33: Diagrama de bloques conceptual de la codificación PCM.

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