ANALIZADOR DE VIBRACIONES VARIABLES

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1 PROYECTO DE GRADO ANALIZADOR DE VIBRACIONES EN EQUIPOS ROTATIVOS CON VELOCIDADES VARIABLES Por Br. Javier Jesús Vega Marquis Tutor: Prof. Juan Cardillo Cotutor: Prof. Mary Vergara Mérida, Venezuela, 2009 Derechos Reservados 2009 Universidad de Los Andes

2 Analizador de vibraciones en equipos rotativos a velocidades variables Br. Javier Jesús Vega Marquis Propuesta de Proyecto de Grado Control y Automatización, 88 páginas. Resumen: En este trabajo se implementa un analizador de vibraciones, usando una herramienta de LabView, para equipos rotativos a velocidad variable, empleado para detectar fallas relacionadas con desbalance e imperfecciones en rodamientos mediante el uso de de módulos de análisis de orden (Order Analysis), de National Instruments que funcionan sobre LabView. Para ello, se cuenta con un prototipo denominado ROTOR 5000 que presenta un motor eléctrico de velocidad variable entre 0 y rpm, acoplado con un sistema de poleas y correas a un eje rígido sometido a carga, acoplado a dos cojinetes y un soporte. Sobre el prototipo se instalaron transductores de velocidad y aceleración en los cojinetes del eje, necesarios para captar las señales de estudio. En el prototipo se pretende capturar las condiciones normales de operación fuera de los rangos de velocidad crítica para tener los patrones de referencia, luego se hacen modificaciones sobre el estado de los rodamientos y sobre la carga en el eje, para emular fallas en los rodamientos y desbalance respectivamente. Es de hacer notar que la mayoría de mecanismos de detección de este tipo de fallas lo realizan a velocidad constante usando la Transformada de Fourier y en este caso nos valemos de la Transformada de Gabor (un caso específico de la Transformada rápida de Fourier TRF), que nos permite hacer la evaluación de estas fallas a velocidad variable. Adicionalmente, se diseñan un conjunto de prácticas que permiten al estudiante relacionarse con el tema propuesto y desarrollar la habilidad de uso de herramientas computacionales con formalismo matemático para el diagnóstico y detección de fallas. Palabras clave: Detección de fallas en equipo rotativo, Análisis de orden, Transformada Rápida de Fourier, Transformada de Gabor.

3 Índice Índice... 3 Índice de Figuras... 6 Agradecimientos... 8 Introducción Planteamiento del Problema Antecedentes de la Investigación Justificación Objetivos de la Investigación Objetivos Generales Objetivos Específicos Estructura del documento Marco teórico Conceptos básicos relacionados con vibraciones y elementos mecánicos Vibración en los sistemas rotativos Rotor Problemas más comunes en los sistemas rotativos Origen de vibración en maquinaria rotativa Desbalance Desalineamiento Falla en rodamientos Conceptos básicos relacionados con Hardware y Software Sistema de adquisición de datos Transductor Transductor de Velocidad Transductor de Aceleración Tarjeta de adquisición de datos LabView Instrumentos Virtuales en LabView... 24

4 2.2.8 Programación en LabView Order Analysis Inicio y configuración del software Order Analysis Toolset LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) Operaciones que se realizan con Order analysis Toolset Efecto de la velocidad de rotación en la identificación de orden Velocidad de rotación variable Análisis de armónicos Análisis de orden Métodos de análisis de orden Transformada de Gabor Remuestreo Filtro adaptativo Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): Descripción general de Transformada de Gabor Extracción del orden de los componentes: Enmascaramiento Extracción de orden Reconstrucción de la señal Visualización de los mapas espectrales Calculo de la magnitud de la forma de onda Remuestreo para análisis de orden Método de remuestreo Instante de tiempo de remuestreo Remuestreo de data de vibración Compensación a baja velocidad de rodamiento Calculo de la velocidad de rotación Método digital diferenciador Promedio de pulsos Expansión de Gabor y Transformada de Gabor Reseña de la expansión de Gabor y Transformada de Gabor Casos de estudio: Detección de fallas para el equipo rotativo Rotor Descripción de los elementos empleados en las experiencias de vibraciones Descripción de los módulos Order Analysis... 69

5 4.2.1 Módulo Logger Módulo Tach Módulo Order Experiencia Desbalance detección de desbalance Banco de prueba en velocidad variable Análisis en el tiempo Análisis en frecuencia Experiencia Falla en rodamiento Deteccion falla de rodamiento Banco de prueba en velocidad variable Analisis en el tiempo Análisis en frecuencia Conclusiones y recomendaciones Desbalance Bibliografía... 87

6 Índice de Figuras Figura 2.1. Resonancia de una estructura Figura 2.2. Masa excéntrica Figura 2.3. Posición de la fuerza de desbalance en función del ángulo de fase Figura 2.4. Balanceo en el plano Figura 2.5. Desalineamiento Figura 2.6. Porcentaje de las causas de fallas en los rodamientos Figura 2.7 Etapas de la adquisición de datos Figura 3.1. Configuración de canales Figura 3.2 Relación entre orden y frecuencia Figura 3.3 Orden de espectro de un ventilador de PC de 7 aspas y 4 bobinas Figura 3.4 Ventilador de PC a velocidad constante Figura 3.5 Muestreo de una señal con frecuencia constante Figura 3.6 Muestreo de una señal con frecuencia variable Figura 3.7 Ventilador de PC con aumento de velocidad Figura 3.8 Métodos de competición Figura 3.9 Ejemplos de extensiones Figura 3.10 Remuestreo Figura 3.11 Espectro de los ángulos muestreados Figura Mapa espectral tiempo frecuencia de una señal de vibración Figura 3.13 Diagrama de análisis de orden empleando de Gabor Figura 3.14 Frecuencia constante de ancho de banda y orden constante de ancho de banda Figura Coeficientes de Gabor Figura Extracción de un componente de 4to orden de La señal original Figura 3.17 Espectro de una señal reconstruida Figura Mapas espectrales en 2D Figura 3.19 Diagrama de análisis de orden basado en remuestreo Figura 3.20 Secuencia original y un filtro CIC de interpolación con un factor

7 Figura 3.21 (t) h s con f s = Figura 3.22 Compensación a bajo velocidad de rodamiento Figura 3.23 Señal del tacómetro y ángulo de rotación Figura 3.24 Calculo de la velocidad de rotación Figura 4.1 Rotor Figura 4.2 Circuito de acoplamiento de la señal del velocímetro Figura 4.3 Simulación con una señal sinusoidal del circuito desarrollado Figura 4.4 Transductores, cables y fuentes empleadas Figura 4.5 Terminal de canales y cables Figura 4.6 Ubicación de los transductores de velocidad y aceleración en el Rotor Figura 4.7 Indicador del NI Device Monitor Figura 4.8 Detección de la señal de los transductores Figura 4.9 Módulos del Order Analysis Figura 4.10 Módulo de adquisición de datos Figura 4.11 Módulo de analizador de señal Figura 4.12 Analizador de orden Figura 4.13 Disco de balanceo del Rotor Figura 4.14 Disco con desbalance Figura 4.15 Señales de vibración Figura 4.16 Señales de ordenes Figura 4.17 Análisis espectral a condiciones normales Figura 4.18 Analisis espectral a condición de desbalance Figura 4.19 Rodamiento Figura 4.20 Módulo de aplicación de carga puntual con rodamiento Figura 4.21 señales de vibración Fgura 4.22 Señales de ordenes Figura 4.23 Analisis espectral en condición falla rodamiento... 80

8 Agradecimientos Primeramente a Dios, por estar a mi lado en todos los momentos de mi vida y permitirme finalizar esta importante meta. A mi hermana Natalia Vega, por todo tu apoyo a lo largo de mi vida y mi carrera. A mi Madre y hermano Jair Vega, por ser un apoyo incondicional que me dieron fuerza a lo largo de mi carrera. este proyecto. A la Licenciada Maryray Vargas, por sus consejos y apoyo que fueron cruciales para finalizar A la ilustre Universidad de Los Andes, por ser forjadora de mi formación académica y personal. A Profesor Juan Cardillo y la profesora Mary Vergara, su guía y orientación fueron piezas claves en este proyecto. A mis familiares, amigos y compañeros, por todo su apoyo y consejos durante toda la carrera.

9 Capítulo 1 Introducción 1.1 Planteamiento del Problema Actualmente en el Laboratorio de Análisis Experimental de Esfuerzos de la Escuela de Ingeniera Mecánica, existe una práctica para el análisis de vibraciones con carga variable que no se puede realizada debido a que no se cuenta con un prototipo que integre a éste con la instrumentación requerida para realizar el procesamiento digital de las señales para tal fin. En la actualidad dicho laboratorio cuenta con un conjunto de 3 transductores: 2 acelerómetros (Modelo 736, Wilcoxon) y un velocímetro (Modelo 793V, Wilcoxon), así como una tarjeta de adquisición de datos (DAQpad 6020e de Nationals Instruments) que se integra a un sistema de adquisición de datos desarrollado en LabView de la misma casa, el cual cuenta con los módulos respectivos para hacer la adquisición y el manejo de las señales a través de la Transformada rápida de Fourier y de la Transformada de Gabor. Con esto se pretende desarrollar un esquema integrado para el análisis de vibraciones capas de realizar detección de fallos en equipos rotativos y desbalances en este tipo de sistemas. Lo antes mencionado se concreta en la formulación de experiencias, para postgrado y pregrado con el ROTOR 5000 (equipo rotativo de entrenamiento para la detección de fallas), que se encuentra ubicado en el Laboratorio de Análisis Experimental de Esfuerzos. 1.2 Antecedentes de la Investigación

10 1.3 Justificación 10 Actualmente, los elevados costos producidos por daños debido a desajustes y fallas en equipos rotativos ha causado la necesidad de métodos y mecanismos capaces de detectar fallas puntuales en maquinaria rotacional, esto con el fin de diagnosticar fallas en equipos para realizar acciones pertinentes antes de que se generen paradas imprevistas en la maquinaria. Estos análisis se aplican donde la vibración resultante es mayor que la vibración normal del dispositivo que por lo general causa daños considerables. Por otro lado, en la escuela de Ingeniería Mecánica, no cuenta con un sistema que integre al sistema mecánico rotacional con un sistema de adquisición y procesamiento capaz de soportar este tipo de práctica tanto para pre como postgrado. Debido a esto, es necesario realizar la integración de los dispositivos antes mencionados con el fin de tener este sistema integrado e implementar sobre la aplicación de National Instruments el mecanismo de detección de fallas en rodamiento y desbalance en equipos rotativos. 1.3 Justificación Poder contar con un prototipo que integre todas las funcionalidades que permitan realizar prácticas relacionadas al diagnóstico y detección de fallas en equipos rotativos, en particular en rodamientos y desbalance a velocidad variable, usando análisis de orden. 1.4 Objetivos de la Investigación Objetivos Generales

11 1.5 Estructura del documento 11 Implantar un sistema de detección de fallas en equipos rotativos a velocidades variables, con el cual se podrán realizar análisis, relacionados con imperfecciones en rodamientos y desbalance sobre el ROTOR Objetivos Específicos Revisar sobre algunas técnicas de análisis de vibraciones con mecanismos de análisis de señales para diagnosticar y predecir fallas, usando análisis de orden a sistemas rotativos. Estudiar la herramienta Order Analysis de LabView para la implantación de técnicas de análisis de vibraciones. Emplear las técnicas implantadas para realizar detección y diagnóstico de fallas sobre equipos rotativos. Realizar pruebas de funcionalidad del software en el prototipo. Diseñar ensayos para el uso de la herramienta implantada. Detectar fallas de rodamientos mediante el uso de la herramienta Order Analysis de LabView. Detecctar de fallas de desbalance mediante el uso de la herramienta Order Analysis de LabView. Diseñar prácticas detalladas correspondientes a estudiantes de pre y postgrado para la detección de fallas. 1.5 Estructura del documento

12 1.5 Estructura del documento 12 El documento está estructurado en 5 capítulos: Capítulo 1: Planteamiento del problema, antecedentes y objetivos. Capítulo 2: Conceptos fundamentales sobre análisis de señales, análisis de vibraciones, detección de fallos en equipos rotativos, detección de fallas en rodamientos y desbalance en equipos rotativos. Capítulo 3: Descripción de la herramienta de Order Analysis de LabView, esto contempla la documentación y elaboración de ejemplos. Capítulo 4: Generación del prototipo integrado sobre el ROTOR 5000, para la detección de fallas en rodamientos y desbalance. Esto contempla un conjunto de experiencias que ilustran las herramientas y los pasos utilizados para la detección de fallas mencionadas a velocidad variable. Capítulo 5: Conclusiones, recomendaciones y trabajos futuros.

13 Capítulo 2 Marco teórico Aquí se presentarán aspectos teóricos y de instrumentación necesarios para fundamentar el diagnóstico y detección de fallas en rodamiento y desbalance. 2.1 Conceptos básicos relacionados con vibraciones y elementos mecánicos Vibración en los sistemas rotativos. En esta sección se estudiarán los diferentes conceptos básicos de vibración utilizados en los sistemas rotativos. Los movimientos oscilatorios alrededor de una posición de equilibrio de un cuerpo rígido en un intervalo de tiempo es lo que se conoce como vibración (Morales, 2007). En otras palabras, la vibración es una forma de liberación y disipación de energía de un sistema, en el cual, dependiendo del sistema rotativo, no es conveniente que se produzca en un nivel alto, ya que éstas producen ruidos no deseables, un desajuste en los componentes y una transmisión de fuerzas y movimientos no deseados al entorno donde se encuentra ubicado el sistema rotativo, así como la disminución del rendimiento. Es una labor importante para el ingeniero de mantenimiento, lograr detectar y reducir este tipo de movimiento indeseable para los sistemas rotativos (Seto, 1970). Otros conceptos básicos que se emplean en el estudio son el período y la frecuencia, donde el período es el intervalo de tiempo necesario para que un movimiento periódico se repita o el sistema efectúe el ciclo completo de movimiento y por otra parte la frecuencia

14 2.1 Conceptos básicos relacionados con vibraciones y elementos mecánicos 14 es el número de ciclo por unidad de tiempo. La frecuencia puede ser llamada de diversas formas según la situación del estudio (Arya S, 1979), por ejemplo: Frecuencia angular, se le conoce como la razón de cambio de desplazamiento angular en el tiempo, ésta puede ser dada en radianes por segundo. Frecuencia natural, es la frecuencia de un sistema que tiene vibración libre sin fricción, también puede ser considerada como la propiedad dinámica de un sistema el cual oscila repetidamente en avance o retraso con respecto a un punto de referencia cuando la aplicación de una fuerza externa es eliminada. La frecuencia natural es obtenida de la ecuación de movimiento del sistema y ésta a su vez es una de las propiedades más importante de un sistema rotativo. Frecuencia natural amortiguada, es la frecuencia de un sistema que tiene vibración libre con influencia de fricción y amortiguamiento viscoso. Frecuencia de excitación o forzada, se le conoce como el número de veces que una fuerza dinámica logra una amplitud idéntica en un período de tiempo de un segundo, está define en ciclos por segundo (Hertz). Frecuencia Fundamental, es el valor más bajo de todas las frecuencias naturales de un sistema compuesto de varias masas y grados de libertad, como es el caso típico en sistemas rotativos (Seto, 1970). Resonancia, es un fenómeno que puede presentarse en máquinas rotativas, éste ocurre cuando la frecuencia de excitación externa es igual a la frecuencia natural del sistema y en este caso cuando se iguala a la frecuencia de vibración de la máquina rotativa. Cuando este fenómeno se presenta, la amplitud de la vibración aumenta indefinida e incontroladamente, esto causa deflexiones excesivas en los mecanismos e incluso puede originar fallas serias en los componentes. La amplitud de la vibración puede ser controlada con los sistemas de amortiguamiento que tenga la maquinaria. La causa de la fuerza conductora generadora de la resonancia, puede ser originada probablemente por el desbalance residual de la máquina rotativa unida a la estructura. Otra causa puede darse por la turbulencia generada de un fluido en movimiento. En caso de que la fuerza encontrada en una parte de la estructura es sintonizada a la frecuencia por virtud a la masa y la rigidez de ésta, la parte de la estructura entrará en resonancia. Ver Figura 2.1 (Morales, 2007).

15 2.1 Conceptos básicos relacionados con vibraciones y elementos mecánicos 15 Figura 2.1. Resonancia de una estructura Rotor. Dentro del estudio de los distintos elementos que conforman un equipo o maquinaria, en especial las máquinas rotativas, se puede encontrar que una de sus partes principales son los rotores, los cuales, son ensambles de discos sobre un eje o simplemente un eje de gran peso, montado en cojinetes de apoyo (Morales, 2007). Los rotores son comúnmente empleados en maquinarias rotativas como compresores, turbinas hidráulicas, de vapor y de gas y al igual que en bombas, ventiladores y sopladores, las cuales, son equipos de gran importancia para la generación de energía y para realizar algún proceso productivo. Los rotores se clasifican principalmente en dos clases especiales: en rotores rígidos y rotores flexibles. Los rotores rígidos, son aquellos rotores los cuales operan substancialmente por debajo de su primera frecuencia crítica a la flexión, los rotores rígidos pueden normalmente balancearse para cualquier velocidad aplicando técnica de desbalance en dos planos arbitrariamente seleccionados. Los rotores flexibles, son rotores que operan bastante cerca o por encima de su primera velocidad crítica a la flexión, esto trae como consecuencia que estos efectos dinámicos influyan sobre las deformaciones del rotor. Puede observarse que estos rotores son diferenciados principalmente por el grado de acercamiento o alejamiento que estos funcionan con respecto a la velocidad crítica del sistema rotativo. Es necesario destacar que la velocidad crítica es aquella velocidad del rotor a la cual ocurre la vibración máxima de amplitud local. Normalmente, esta velocidad

16 2.1 Conceptos básicos relacionados con vibraciones y elementos mecánicos 16 crítica ocurre cuando la velocidad del rotor coincide con la frecuencia natural del sistema, este hecho trae como consecuencia que el equipo entre en resonancia, lo cual causa un crecimiento progresivo de las amplitudes de las ondas trayendo como consecuencia la causa de desajustes y daños considerables al equipo rotativo (Seto, 1970) Problemas más comunes en los sistemas rotativos Una de las principales causas de falla en los rotores se debe a la presencia de excesiva vibración en los elementos de la maquinaria. Esta excesiva vibración se puede identificar al observar los siguientes síntomas: Al encontrar partes del equipo en el suelo, cuando la máquina tiende a moverse, cuando el ruido cerca de la maquinaria es excesivo, cuando las partes de una maquinaria son reemplazadas con alta frecuencia, cuando se encuentran fracturas, las cuales son causadas por la fatiga del material debido a una vibración excesiva (Seto, 1970). Otra forma de identificar si el sistema rotativo presenta falla es cuando el producto sale en malas condiciones y en especial cuando la maquinaria no se mantiene en funcionamiento hasta la vida útil establecida por los fabricantes. A través del uso de las técnicas de análisis de vibración y de la determinación del nivel de vibración durante su funcionamiento, es posible aumentar la vida útil de la maquinaria al realizar un mantenimiento basado en la condición de la misma. Normalmente, el nivel de vibración depende de la energía interna de la maquinaria. Parte de la energía interna de la maquinaria se convierte en ruido y vibración, debido a la holgura entre los elementos mecánicos como: cojinetes, motores, acoplamiento y otros elementos de contacto. Otro de los factores que afectan el nivel de vibración sobre la cubierta de la maquinaria, se debe a la rigidez de los soportes. Se debe tener en cuenta que una gran fuerza vibratoria sobre el rotor puede causar daños en el cojinete, sin que se refleje esta vibración sobre la cubierta de la maquinaria. Debido a esto el mantenedor o analista debe realizar análisis completo y específicos en partes críticas. En la realización de análisis vibratorio sobre rotores se deben considerar factores como: el tamaño de la máquina, masa, rigidez, amplitud y la frecuencia. Estos factores

17 2.1 Conceptos básicos relacionados con vibraciones y elementos mecánicos 17 permitirán un mejor diagnóstico de falla en los componentes de la maquinaria (Rau, 1995) Origen de vibración en maquinaria rotativa. Una de las principales causas de vibración en maquinaria rotativa se debe a los defectos en el diseño y manufactura de los componentes. Lograr el desarrollo de maquinaria con escasos defectos implica un costo elevado de producción, lo cual se hace poco atractivo al proceso productivo. La severidad del defecto dentro de la maquinaria dependerá de la percepción humana y del aumento de la vida útil del equipo. La causa de la vibración y del ruido puede detectarse a través de un análisis de frecuencia observando el nivel crítico de frecuencia y la medida de la amplitud. Puede darse el caso que exista problemas de vibración que no se encuentren descritos en literatura, pero ésta a su vez debe ser originada por una vibración forzada o por una vibración natural. Dentro de las causas más comunes de problema de vibración en máquinas rotativas se destacan: Desbalance. El desbalance es una de las causas más comunes de vibración de fácil detección. Este se debe a fallas en el diseño o en el proceso de manufactura, lo cual trae como consecuencia que el centro de la masa del rotor no coincida con el centro de rotación, produciendo el desbalance rotacional (Morales, 2007). La razón de este fenómeno se debe a la no uniformidad de distribución de masa, en donde la concentración de la sumatoria de los diferenciales de masas se concentra en un punto pesado. En parte, este efecto puede deberse a inclusiones, vacíos dentro del material del rotor y del eje. El punto pesado causa un tirón en el rotor y en el eje, produciendo una deflexión. Para evitar el desbalance, se debe encontrar la cantidad y la posición de los puntos pesados, para luego aplicar el mismo peso del lado opuesto para compensar el efecto. Esto trae como consecuencia que el centro de masa sea coaxial con el centro de rotación, mejorando el funcionamiento del rotor. La Figura 2.4 (Morales, 2007) muestra la corrección de la condición de desbalance.

18 2.1 Conceptos básicos relacionados con vibraciones y elementos mecánicos 18 Figura 2.4. Balanceo en el plano. Las principales causas que pueden dar origen al desbalance se encuentran: - La existencia de curvatura en el rotor, esta se debe a acoplamientos mal fabricados. - Pérdida o ganancia de material durante el funcionamiento. - Algún objeto que obstruya el rotor. - Acumulación de una gran cantidad de material de desecho sobre alguna zona especifica del rotor. - Balanceo pobre en el rotor. - El eje se encuentre fuera de centro. - Uniformidad de la densidad de la masa. - Tolerancias de manufactura. - La acción del mantenimiento en un mal cambio de cojinete y limpieza. - Mal Mecanizado. - Cambio de pernos. - Acoplamiento. - Entre otros factores que afecten la distribución de masa rotacional Desalineamiento. El acoplamiento desalineado es una condición que se presenta donde el eje de la máquina conductora y el eje de la máquina conducida no están sobre el mismo centro de línea (Morales, 2007). El desalineamiento puede ser paralelo o angular. El caso mas común es la combinación de ambos la dirección horizontal y vertical. Ver Figura 2.5.

19 2.1 Conceptos básicos relacionados con vibraciones y elementos mecánicos 19 a) Paralelo b) Angular Figura 2.5. Desalineamiento. El acoplamiento y alineación esta presente en cada montaje de elementos de máquina. Lograr un alineamiento exacto entre el eje conductor al eje conducido tiene gran complejidad. Debido a esto se utilizan acoplamientos flexibles para corregir un poco el desalineamiento, no necesariamente deben ser suave el movimiento a través de este. El desalineamiento produce un alto nivel de vibraciones, debido a la alta tensión que se genera en acoplamiento de ejes. Esta vibración afecta a componentes como: los cojinetes, sellos y acoplamientos rápidos. Esto trae como consecuencia cambios de piezas y componentes muy frecuentes Falla en rodamientos. Las fallas en las pistas interna, externa y en elementos rodantes causan agrietamiento o desastillamiento del material en los componentes internos de los equipos rodantes, el cual puede ser originado por errores de ensamble, esfuerzos anormales, corrosión, partículas externas o lubricación deficiente. Para evitar una falla completa de un equipo rotativo el rodamiento o los rodamientos deben ser reemplazados, debido a que las fallas siguen incrementándose con el tiempo.

20 2.2 Conceptos básicos relacionados con Hardware y Software 20 Figura 2.6. Porcentaje de las causas de fallas en los rodamientos. 2.2 Conceptos básicos relacionados con Hardware y Software Sistema de adquisición de datos Es un conjunto de elementos eléctricos y computacionales capaz de obtener datos de elementos físicos. Estos sistemas son empleados para controlar, conocer, o supervisar las variables de procesos físicos y esta compuesto por 4 etapas como se muestra en la Figura 2.7 1era etapa: se emplean dos transductores, uno de velocidad y otro de aceleración para capturar la información relacionada con la vibración proveniente del sistema rotacional. 2da etapa: Se acopla la señal proveniente de los transductores para que pueda ser procesada por la tarjeta de adquisición de datos. 3era etapa: La señal acoplada entra a la tarjeta de adquisición de datos de forma analógica, para ser procesada y convertida en una señal digital que es enviada via USB al computador 4ta etapa: La señal digital proveniente de la tarjeta es capturada por el computador para su procesamiento y análisis.

21 2.2 Conceptos básicos relacionados con Hardware y Software 21 Figura 2.7 Etapas de la adquisición de datos Transductor Un transductor es un dispositivo diseñado para recibir información de una magnitud del exterior y transformarla en otra magnitud, normalmente eléctrica, la cual tenga la capacidad de poder cuantificarse y manipularse (profesormolina, 2008). Entre los tipos de transductores se encuentran los de resistencias variables, PTC (Coeficiente Temperatura Positivo), NTC (coeficiente de temperatura negativo), LDR (resistor dependiente de la luz). Características de un transductor Entre las características técnicas de un transductor destacan las siguientes: Rango de medida: Es el intervalo de valores que el transductor puede medir. Precisión: Es el grado de exactitud que posee el instrumento. Resolución: mínima variación de la magnitud de entrada que puede apreciarse a la salida. Sensibilidad de un transductor: Es una cualidad que indica que tanto cambia la salida cuando la variable censada cambia. Linealidad: Hace referencia a el grado de coincidencia entre la curva de calibración y una línea recta determinada Rapidez de respuesta: puede ser un tiempo fijo o depender de cuánto varíe la magnitud a medir.

22 2.2 Conceptos básicos relacionados con Hardware y Software Transductor de Velocidad Es un dispositivo capaz de medir la velocidad de un cuerpo. En el caso del transductor piezoeléctrico están formados por una bobina de alambre y de un imán, colocados de tal manera que si se mueve el carter, el imán tiende a permanecer inmóvil debido a su inercia. El movimiento relativo entre el campo magnético y la bobina induce una corriente proporcional a la velocidad del movimiento. De esta forma, la unidad produce una señal directamente proporcional a la velocidad de la vibración (Engineering, 2008). En este trabajo se empleará un velocímetro modelo 793 Wilcoxon que posee las siguientes características: Sensibilidad, ±10%, 25 C: 100 mv/in/sec. Rango de velocidad: 50 in/sec peak. Frecuencia de respuesta: ±10%: Hz. ±3 db: Hz. Respuesta Temperatura 50 C: 5%. +80 C: +3% C: 5%. Rango de temperatura: 50 a 120 C. Vibración limite: 250 g pico. Impacto limite: 2,500 g pico Transductor de Aceleración Es un dispositivo capaz de obtener mediciones de diferencia de velocidad y vibraciones a un cuerpo especifico. Este elemento trabaja bajo el principio de que todos los transductores de aceleración miden, con arreglo a la ley fundamental de la mecánica, las fuerzas F, ejercidas por la aceleración "a" sobre las masas (inertes) "m", bien sea de modo únicamente dinámico (transductores de vibraciones) o también estático (Engineering, 2008). En este trabajo se empleará un acelerómetro modelo 736 Wilcoxon que posee las siguientes características: Sensibilidad, ±5%, 25 C: 100 mv/g. Rango de aceleración: 50 g pico.

23 2.2 Conceptos básicos relacionados con Hardware y Software 23 Respuesta de frecuencia: ±5%: ,000 Hz. ±3 db: ,000 Hz. Frecuencia de resonancia: 60 khz. Respuesta temperatura: 50 C: 10% C: +5%. Rango de temperatura: 50 a 120 C Vibración límite: 500 g pico. Impacto límite: 5,000 g pico Tarjeta de adquisición de datos Una tarjeta de adquisición de datos es una tarjeta electrónica por medio de la cual se puede hacer una interfaz y conversión entre lo analógico y lo digital, en este caso se utiliza una bornera (terminal de conexiones) donde llega la señal analógica de los transductores para ser procesada y convertida en una señal digital que es enviada al computador (Torres, 2003). En este caso se utilizará el modelo de tarjeta DAQpad-6020e de Nationals Instruments que posee las siguientes características básicas (Instrument, NI DAQpad, 2002): Entradas analógicas: canales: 16. Voltaje máximo: ± 11 V. Resolución: 12 bits, 1 en 4,096 Máxima velocidad de muestreo: 100 ks/s Salidas analógicas: Canales: 2 Resolución: 12 bits, 1 en 4,096. Voltaje máximo: ± 11 V. Tasa máxima de actualización: 20 S / s

24 2.2 Conceptos básicos relacionados con Hardware y Software 24 Entradas/Salidas Digitales: Canales: 8. Compatibilidad: 5 V TTL Resolución: Counter/timers: 24 bits (1 in 16,777,216). Escala de frecuencia: 4 bits LabView Es un sistema de programación gráfica para aplicaciones que involucren adquisición, control, análisis y presentación de datos (Instrument, NI, 2008). Las ventajas que proporciona el empleo de LabView se resumen en las siguientes: Se reduce el tiempo de desarrollo de las aplicaciones al menos de 4 a 10 veces, ya que es muy intuitivo y fácil de aprender. Dota de gran flexibilidad al sistema, permitiendo cambios y actualizaciones tanto del hardware como del software. Da la posibilidad a los usuarios de crear soluciones completas y complejas. Con un único sistema de desarrollo se integran las funciones de adquisición, análisis y presentación de datos. El sistema está dotado de un compilador gráfico para lograr la máxima velocidad de ejecución posible. Tiene la posibilidad de incorporar aplicaciones escritas en otros lenguajes Instrumentos Virtuales en LabView Son todos aquellos programas que se desarrollan bajo LabView y recibe estén nombre debido a que su apariencia y funcionamiento imitan a los instrumentos reales (gte, 2008) Programación en LabView Con el entorno gráfico de programación de LabView se comienza a programar a partir del panel frontal. En primer lugar se definirán y seleccionarán del panel de control todos los controles (entradas que dará el usuario) e indicadores (salidas que presentará en pantalla el VI) que se

25 2.2 Conceptos básicos relacionados con Hardware y Software 25 emplearán para introducir los datos por parte del usuario y presentar en pantalla los resultados.

26 Capítulo 3 Order Analysis Este capítulo hace referencia al manual del software de LabView para análisis de vibraciones llamado Order Analysis Toolset. Este software se basa en el estudio de análisis de orden para realizar detección de fallas en equipos rotativos, el cual fue acondicionado a una tarjeta de adquisición de datos para el uso de un acelerómetro y un velocímetro en el Rotor El manual Order Analysis Toolset está expresado en una forma más general y técnica, que fue amoldado en este capítulo para el mayor entendimiento de los estudiantes de la Escuela de Ingeniería Mecánica de La Universidad De Los Andes. Se Recomienda, para cualquier modificación sustancial en esta herramienta, consultar el manual original Order Analysis Toolset. 3.1 Inicio y configuración del software Order Analysis Toolset El primer paso para la instalación del sistema de adquisición de datos es la configuración de los canales analógicos donde será transmitida la señal de los transductores de aceleración y velocidad como se muestra en la Figura 3.1 (LabView, 2003) Para ello se debe abrir la aplicación Logger de Order Analysis Toolset y entrar en el menú Config.

27 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 27 Figura 3.1. Configuración de canales. La tarjeta de adquisición de datos empleada para este proyecto posee 16 canales de entrada analógica de los cuales se utilizaron el 0 y el 1, nótese que pueden habilitarse cualquiera de los otros 14 canales restantes. 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) Order Analysis Toolset es una colección de instrumentos virtuales (Vls) de LabView basado en el estudio del análisis de orden. Estos instrumentos virtuales se utilizan para la medición y el análisis de señales generadas por vibraciones en equipos rotativos. (LabView, 2003) El análisis de orden y el análisis de armónicos tienen mucho en común. La frecuencia fundamental esta formada por un conjunto de armónicos. Cuando se trata con maquinaria rotativa, usualmente se puede tener ruido causado por vibraciones asociados a componentes de la maquinaria como rodamientos, engranes, cojinetes entre otros. El origen del ruido puede ser detectado al descomponer la señal en sus armónicos. En algunas industrias, los armónicos están relacionados con órdenes del sistema. El correspondiente análisis de armónicos es llamado análisis de orden. La Figura 2.2 muestra la relación entre frecuencia y orden espectral.

28 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 28 Figura 3.2 Relación entre orden y frecuencia La primera parte de la Figura 3.2 muestra la vibración generada por una máquina rotativa a revoluciones por minuto (RPM). La velocidad de rotación es calculada con un tacómetro mostrado en la segunda parte de la Figura, por último la frecuencia dominante y el orden dominante son mostrados en las dos últimas gráficas de la Figura respectivamente. El análisis de señales acústicas o de vibración en máquinas rotativas se refiere normalmente en espectros de órdenes más que en espectro de frecuencias (aunque ambas guardan mucha relación entre si). Un espectro de órdenes nos da la amplitud y/o la fase de la señal como una función del orden armónico de la frecuencia de rotación. Esto significa que el componente del orden armónico o subarmónico permanece en la misma línea de análisis independiente de la velocidad de la máquina. Esta técnica es llamada seguimiento (tracking), ya que la frecuencia de rotación es seguida y usada para el análisis. La mayoría de las fuerzas dinámicas que excitan una máquina están relacionadas a la frecuencia de rotación, así que su interpretación y análisis se pueden simplificar bastante usando análisis de orden. Se puede cambiar del dominio de Orden a dominio de la frecuencia a través de las ecuaciones 3.1 y 3.2:

29 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 29 RPM Frecuencia = * Orden Orden = * Frecuencia RPM (3.1) (3.2) El orden de los sistemas esta relacionado de la siguiente manera: El desbalance genera un pico espectral de primer orden Desalineación o deflexión en el eje generan picos de segundo orden. Engranajes y correas generan picos de orden superior Operaciones que se realizan con Order analysis Toolset Cálculo y muestreo de la velocidad de rotación. Medición de la señal en el dominio de la frecuencia o en el dominio del tiempo. Extracción de componentes para realizar análisis a partir de la señal de vibración. Muestreo de la magnitud y fase de una función de velocidad de rotación. Presentación de la data en archivos de datos o graficas. A continuación se presenta un espectro de orden proveniente de un muestreo de una señal de un ventilador de PC de 7 aspas y 4 bobinas mostrado en la Figura 3.3 Figura 3.3 Orden de espectro de un ventilador de PC de 7 aspas y 4 bobinas. La vibración que se muestra en la Figura 3.3 genera 2 picos bien marcados, uno de 4to orden y otro de 7mo orden. Las cuatro boninas generan un ruido 4 veces por revolución de la máquina, asociando así el ruido de 4to orden a las 4 bobinas. Por otro

30 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 30 lado encontramos que el ventilador posee 7 aspas que generan 7 ruidos por revolución, generando así el 7mo orden. Al igual que el análisis de armónicos, el análisis de orden es una poderosa herramienta para monitorear las condiciones de maquinaria rotativa, solo que este último es aplicable a maquinaria tanto a velocidad constante como a velocidad variable diferencia del análisis de armónicos que solo es aplicable a maquinaria con velocidad constante Efecto de la velocidad de rotación en la identificación de orden La capacidad de realzar una identificación de un determinado orden de una señal depende directamente si la velocidad de rotación se mantiene constante o varia. Es esta sección se tratará el efecto que tiene la velocidad de rotación en el espectro de frecuencia desde el punto de vista del análisis de armónicos y desde el punto de vista de el análisis de orden. Velocidad de rotación constante A una velocidad constante, se puede realizar una identificación de orden tanto desde el grafico del espectro de frecuencia como del mapa espectral, en la Figura 3.4 se muestra el análisis de una señal de vibración muestreada de un ventilador de PC a una velocidad constante. Figura 3.4 Ventilador de PC a velocidad constante.

31 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 31 La parte inferior de la Figura 3.4 muestra la señal proveniente de un acelerómetro montada sobre una señal de pulsos generada por un tacómetro que fueron colocados en un ventilador de PC, la grafica de la parte izquierda de la Figura hace referencia al espectro generado por una Transformada rápida de Fourier (FFT). Por último la parte derecha de la Figura muestra el mapa espectral en tiempo-frecuencia de la Transformada corta de Fourier (STFT). Debido a que el muestreo se realizó a una velocidad constante se pueden identificar varios picos en el espectro frecuencial y en el mapa del espectro frecuenciatiempo. Estos picos indican los diferentes órdenes y aparecen como líneas blancas notables en el mapa espectral de frecuencia-tiempo Velocidad de rotación variable Además de las pruebas realizadas a velocidad constante, se recomienda muestrear el comportamiento de la maquinaria a velocidades bajas y velocidades altas para así tener una gama más amplia de frecuencias para realizar los estudios pertinentes, teniendo siempre en cuenta que no se debe manipular la maquinaria rotativa cuando esta encuentra su frecuencia de resonancia. De acuerdo con la teoría de análisis de Fourier, el ancho de banda de frecuencias de una señal es proporcional al cambio en la frecuencia y la amplitud de la señal. Cuanto más rápido cambia la frecuencia, la mayor frecuencia se convierte en la medida de la potencia del espectro. La Figura 3.5 muestra a la izquierda un espectro frecuencial de un solo pico, a la derecha se encuentra el mapa espectral frecuencia-tiempo que muestra una sola línea blanca debido a que la señal muestreada tenía un comportamiento constante en frecuencia y amplitud.

32 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 32 Figura 3.5 Muestreo de una señal con frecuencia constante. En la Figura 3.5, el ancho de banda de frecuencia es proporcional a la cambio de frecuencias. Cuando la frecuencia y la amplitud son constantes en el tiempo, la frecuencia de ancho de banda, medido a partir del espectro frecuencial, es el mínimo. En la Figura 3.6 representa una señal cuya frecuencia cambia en función del tiempo.

33 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 33 Figura 3.6 Muestreo de una señal con frecuencia variable. A pesar de que las señales mostradas en las Figuras 3.5 y 3.6 poseen frecuencias similares en determinados instantes de tiempo, los espectros de frecuencia tienen una marcada diferencia. Se puede observar que de los 2 espectros de frecuencia mostrados en la Figura 3.5 y 3.6 el ancho de banda de la señal variante es mucho más amplio en la Figura 3.6 que el de la señal con frecuencia constante mostrada en la Figura Cuando la frecuencia o amplitud varía en el tiempo, todos los cambios se convierten en ancho de banda. Cuando el ancho de banda de la frecuencia fundamental se amplía, el ancho de banda de los armónicos asociados a esa frecuencia también se amplia. La ampliación de los anchos de banda de los armónicos eventualmente hace que se solapen unos con otros, cuando esto ocurre se hace imposible realizar una identificación de los diferentes armónicos utilizando el espectro de frecuencia. En la Figura 3.7 se muestra la misma señal del ventilador de PC mostrada en la Figura 3.4 con la diferencia que la velocidad de rotación del ventilador aumenta con el tiempo.

34 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 34 Figura 3.7 Ventilador de PC con aumento de velocidad. En la Figura 3.7 el aumento de la velocidad de rotación incrementa, tanto la frecuencia fundamental, como el ancho de banda de los órdenes, causando solapamiento en el espectro. La capacidad de poder separar los ordenes en el espectro de frecuencia esta ligada al cambio de velocidad, cuanto mayores sean los cambios de velocidad de rotación en la máquina menor será la capacidad de realizar una buena identificación de los ordenes, al punto que exista un solapamiento total de todos los ordenes y sea imposible realizar la identificación Análisis de armónicos Este análisis se aplica a la máquina en movimiento a una velocidad constante, donde la frecuencia fundamental no cambia con el tiempo. Aunque las fases y amplitudes de los armónicos individuales pueden variar con el tiempo, el centro las frecuencias de todos los armónicos permanecen constantes. Cuando se utiliza la Transformada de Fourier se obtienen mejores resultados cuando la maquinaria se mantiene a una velocidad constante. Si se pretende muestrear a velocidad variable, se deben tomar varias mediciones muestreando solo cuando la velocidad de la

35 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 35 máquina es constante. Para realizar cualquier medición se debe evitar entrar en cualquier frecuencia de resonancia de la máquina o de sus componentes Análisis de orden Un objeto importante del análisis de orden es identificar información acerca de los órdenes que podría ser solapada en el mapa espectral al realizar cambios de velocidad en la maquinaria rotativa. Si bien los órdenes están ocultos en el espectro frecuencial de la Figura 3.7, estos son distinguibles en el mapa de espectro tiempo-frecuencia. Esta es una valiosa información que no se podría obtener si solo se contara con el espectro frecuencial Métodos de análisis de orden La base de la técnica del análisis de orden es obtener la señal de velocidad instantánea de rotación mediante el transductor de velocidad, donde luego esa velocidad es correlacionada con el ruido o las vibraciones producidas por la maquinaria para así obtener información de los órdenes de los componentes tales como formas de onda, magnitudes y fases. Las revoluciones de la maquinaria con relación al tiempo son la base para el análisis de orden, enfocándose así en los órdenes en lugar de la frecuencia. Los métodos que se utilizan para realizar análisis de orden son: Transformada de Gabor. Remuestreo. Filtro adaptativo Transformada de Gabor La idea fundamental de la Transformada de Gabor es la poder observar la parte de la señal presente en algún entorno del punto de estudio. De esta forma se logra en primer lugar que las componentes frecuenciales de la señal en aquel instante dependan solamente de las proximidades del punto y no influyan en ellas las partes alejadas de la señal. (Pablo, 1998) Una ventaja de esta Transformada es que permite recobrar en el dominio del tiempo cualquier señal o una buena aproximación de la misma, aplicando la Transformada inversa a la Transformada de la señal, señal que no se podría recuperar empleando la

36 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 36 Transformada de Fourier. El resultado de la Transformada de Gabor se conoce como coeficiente de Gabor y el resultado de la Transformada inversa de Gabor es llamada expansión de Gabor. La Transformada de Gabor se puede calcular bien sea por la trasformada corta en el tiempo de Fourier (STFT) o por la Transformada ventaneada de Fourier, sin embargo para garantizar la reconstrucción de la señal se debe tomar un especial cuidado en tomar la proporción de la ventana de análisis, para ello se recomienda seguir los siguientes pasos: La relación existente entre la longitud de la ventana de análisis y la ventana de cambio debe ser mayor o igual a 1. Esta relación determina el momento en que se solapan. Por defecto, en el Order Analysis, la proporción es 4. Por ejemplo si la ventana tiene una duración 2048 el cambio de la ventana debe ser 512. Se debe mover la ventana de análisis de tal manera que no se pierda información, con mayor énfasis en el comienzo y el final de los datos muestreados. El método de extensión de ceros y el método de extensión por complemento son los métodos utilizados para completar los datos a los extremos del intervalo. En la Figura 3.8 se muestra la extensión de ceros y la extensión por complemento. Figura 3.8 Métodos de competición. En la parte a de la Figura 3.8 se muestra el la extensión de ceros, la primera y la segunda ventana reflejan un solo bloque de datos, el resto de del área fuera del intervalo se

37 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 37 rellena con ceros. Después de la expansión de Gabor la data reconstruida es mas larga que la data original. Para evitar una reconstrucción da la data mayor a la original, se considera una señal periódica y se utiliza el método de extensión por complemento mostrado en la parte b de la Figura 3.8. En la extensión por complemento, cuando los primeros bloques de datos son analizados, los bloques de datos al final de la data muestreada son complementados para cubrir la ventana. También se puede realizar el método empezando en los últimos bloques y realizar el complemento hacia atrás. Figura 3.9 Ejemplos de extensiones Remuestreo El remuestreo o Resampling, es una técnica muy utilizada en el análisis de orden. La Figura 3.10 ilustra este método.

38 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 38 Figura 3.10 Remuestreo. En este método el tiempo de muestreo es convertido en ángulos de muestreo. El tiempo de muestreo son datos obtenidos de un canal físico que tienen un son igualmente espaciados en el tiempo. Las muestras angulares son muestreadas a una misma proporción en el ángulo de rotación. El ángulo de muestreo se puede adquirir por medio de un hardware que utiliza decodificador o un tacómetro que al poner en marcha convierte la señal analógica proveniente del transductor a digital, garantizando un muestreo igualmente proporcional a través del ángulo de rotación. Se requiere adicionalmente dispositivos de seguimiento anti-aliasing (el aliasing es el efecto que causa que señales continuas distintas se tornen indistinguibles cuando se les muestrea digitalmente). Los programas diseñados para adquirir muestras de ángulos deben seguir los siguientes pasos: Muestrear la señal medida y la señal proveniente del tacómetro en el mismo tiempo. Se debe utilizar una interpolación o un ajuste de curva para determinar Calcular el tiempo de muestreo al incrementar la velocidad angular. Utilizar la interpolación para obtener nuevas muestras del tiempo deseado Después de la adquisición de las muestras, se puede aplicar Transformada de Fourier en las muestras angulares para luego ser analizadas, esto debido a que el dominio del tiempo ha cambiado a dominio angular y el dominio de la frecuencia ha cambiado a dominio de orden. Se puede separar y observar los componentes de los órdenes, y sea a

39 3.2 LabView Order Analysis Toolset (herramientas para análisis de orden) 39 través del espectro de la STFT o del espectro de orden. La Figura 3.11 muestra el espectro de los ángulos muestreados. Figura 3.11 Espectro de los ángulos muestreados. En la Figura 3.11 la grafica de ángulos muestreados fue tomada a una frecuencia constante. La grafica de orden del espectro, muestra el orden obtenido por la Transformada rápida de Fourier de las muestras de angulares. En el espectro de orden aparecen picos importantes relacionados con los órdenes del sistema. La grafica de orden vs revoluciones muestra el resultado de la Transformada corta en el tiempo de Fourier STFT de los ángulos muestreados, donde el eje frecuencial es reemplazado por el eje de órdenes, donde cada línea blanca en la gráfica orden vs revolución indica un fuerte orden en el sistema. Después que el proceso de muestreo se lleve a cabo, la recuperación en el tiempo de un orden específico puede ser difícil Filtro adaptativo Aunque las frecuencias de los componentes de orden cambien como cambia la velocidad de rotación, se puede considerar la velocidad de rotación y la frecuencia de los componentes de orden permanecen constantes en pequeños intervalos de tiempo. El

40 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 40 filtro adaptativo de análisis de orden filtra el orden deseado usando un filtro pasabanda cuya frecuencia de banda esta relacionada con la velocidad de rotación. 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): En esta parte del capítulo se estudiará el método de análisis de orden basado en la Transformada de Gabor que permite realizar las siguientes tareas: Analizar los componentes de ruido o vibración de una señal. Reconstruir los componentes de orden deseado en el dominio del tiempo Descripción general de Transformada de Gabor La Transformada de Gabor puede distribuir la señal original como una función de tiempo y frecuencia. En la Figura 3.12 se muestra el mapa espectral tiempo-frecuencia empleando la Transformada de Gabor en una señal de vibración de una máquina rotativa. (LabView, 2003) Figura Mapa espectral tiempo frecuencia de una señal de vibración. En la Figura 3.12 las magnitudes de los coeficientes son mostrados en una escala de frises, con un tono blanco indicando el máximo de la magnitud y con un tono negro indicando un mínimo de magnitud.

41 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 41 Debido a los pequeños cambios de la velocidad de rotación en cada porción del mapa espectral tiempo frecuencia, el espectro de cada orden es claramente distinguible. Como la velocidad de rotación varia en el tiempo, la frecuencia de algunos componentes de orden cambia. Por lo tanto los componentes de orden forman una curva a lo largo del mapa espectral tiempo-frecuencia mostrado en la Figura Las curvas blancas indican el orden de los componentes y son llamadas curvas de orden. Desde el mapa espectral tiempo-frecuencia se puede separar las curvas de orden, o cualquier otra parte de la señal en la que se este interesado de la señal original. Luego se puede utilizar la expansión de Gabor para reconstruir la forma de onda de los órdenes. La Figura 3.13 ilustra el proceso de análisis de orden de Gabor proporcionado por LabView Order Analysis Toolset. Figura 3.13 Diagrama de análisis de orden empleando de Gabor. Pasos para realizar análisis de orden Adquirir los datos provenientes de las muestras tomadas del tacómetro y del acelerómetro. Realizar mediante un elemento virtual la Transformada de Gabor de las señales provenientes de los transductores de velocidad y aceleración. Calcular la velocidad de rotación de la máquina mediante la señal del tacómetro. Generar el espectro en 2D con respecto a frecuencia-tiempo, frecuencia-rpm, frecuencia-orden.

42 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 42 Generar los coeficientes modificados, basados en el estudio de la velocidad de rotación y el orden de interés, para realiza una operación de enmascaramiento. Generar una señal en el dominio del tiempo basada en la modificación de los coeficientes de la expansión de Gabor. Calcular la magnitud y la fase de la onda Extracción del orden de los componentes: Luego de generar los coeficientes de Gabor a través de la Transformada de Gabor, se pueden seleccionar uno o más componentes de orden para su análisis. Se pueden convertir el correspondiente coeficiente del orden seleccionado a una señal en el dominio del tiempo. El resultado de la señal en el dominio del tiempo contiene información solo del orden seleccionado. Luego se puede seleccionar los componentes de orden para incluir los coeficientes de las curvas de orden. Por lo tanto se debe determinar el índice de posición del coeficiente de cada curva de orden. Esto debido a que la frecuencia de un componente es un numero entero o una fracción múltiple de la frecuencia fundamental, tal como la velocidad de rotación, el índice de posición de una curva de orden, es calculado multiplicando el numero de orden y en índice de la frecuencia fundamental en un intervalo de tiempo. Si la señal es procesada por la Transformada de Gabor, el índice del enésimo orden es calculado con la siguiente ecuación. Donde: RPM N indice = round * * n 60 f s (3.3) RPM es el promedio de velocidad de rotación instantánea en el intervalo de tiempo. N es el número de frecuencias, que es igual a la longitud de la ventana. f s es la frecuencia de muestreo. Cada componente de orden, en dominio de orden, así como cada armónico, en el dominio de la frecuencia, tiene una banda lateral. Así, en el conjunto del dominio tiempofrecuencia, cada componente de orden contiene los coeficientes a lo largo de la curva de

43 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 43 orden y algunos coeficientes de sus alrededores. Se debe incluir los coeficientes cercanos al momento de hacer la selección del orden de componente para tener una información completa. Existen dos maneras de definir el ancho de banda de la curva de orden, una es mediante una frecuencia constate de ancho de banda y otra es empleando un orden constante de ancho de banda. En la Figura 3.14 se ilustran las dos maneras antes mencionadas. Figura 3.14 Frecuencia constante de ancho de banda y orden constante de ancho de banda. La Figura 3.14(a) ilustra la frecuencia constante de ancho de banda. Los alrededores son considerados como la región entre RPM f n + y 60 2 f es una frecuencia constante. La frecuencia de ancho de banda f constante todo el tiempo. RPM f n, donde 60 2 se mantiene La Figura 3.14(b) ilustra un orden constande de ancho de banda. Los alrededores son considerados como la región entre frecuencia de ancho de banda mantiene constante Enmascaramiento RPM k 60 k RPM n + * y 2 60 k RPM n *. Mientras la 2 60 varia en el tiempo, el ancho de banda del orden k se Después de determinar las posiciones del coeficiente y el ancho de banda de las curvas del orden seleccionado, se selecciona un subconjunto de la serie de coeficientes iníciales de Gabor, este subconjunto contiene solo los coeficientes de los alrededores de las curvas del

44 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 44 orden seleccionado. Se puede además, generar un subconjunto mediante una operación de enmascaramiento sobre los coeficientes iníciales de la serie de Gabor. Para realizar la operación de enmascaramiento, se debe construir una serie de la mascara, que consiste en una matriz de dos dimensiones que posee el mismo tamaño que el coeficiente de la serie. Sin embargo, la serie de la mascara solo contiene solo elementos baléanos. Cuando se realiza el enmascaramiento, los coeficientes de valor cierto se mantienen sin cambio, mientras que los coeficientes con valor falso se colocan en cero. La siguiente ecuación representa la operación de enmascaramiento. ^ c m, n cm, = 0 n mask mask m, n m, n = cierto = falso (3.4) Donde ^ c m, n es el coeficiente de la matriz original, c m, n es el coeficiente de la matriz de enmascaramiento, y mask m, n es la mascara de la matriz. Se puede construir una matriz de mascara de acuerdo con el numero de orden que se desea analizar. En cada fila, los elementos en el ancho de banda del numero de orden son inicializados con cierto o falso. Se utiliza la plantilla de enmascaramiento VI para realizar la operación de enmascaramiento. Se puede considerar la operación de enmascaramiento a tiempo-variable filtro pasabanda en el conjunto del dominio del tiempo-frecuencia. El centro de la frecuencia pasabanda es igual a la frecuencia de la curva de orden. El numero de elementos se coloca en verdadero Extracción de orden En la Figura 3.15 se muestra la extracción de orden y la reconstrucción de una señal.

45 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 45 Figura Coeficientes de Gabor. En la parte a de la Figura 3.15 se muestra el el mapa espectral tiempo-frecuencia después de la trasformada de Gabor. En la parte b de la Figura 3.15 se muestra un enmascaramiento alrededor del 4to orden con ancho de banda constante. Los valores ciertos comprenden la región blanca, mientras que los valores falsos corresponden a el area oscura. La Figura 3.15 en la sección c muestra los coeficientes del enmascaramiento. La región oscura indica los valores establecidos en cero que corresponden a los valores falsos del enmascaramiento. La parte blanca cantiene valores copiados de la serie original de los coeficientes y corresponden a los valores ciertos de el enmascaramiento. Por último la parte d de la Figura 3.15 muestra el mapa espectral tiempofrecuencia de la señal reconstruida Reconstrucción de la señal La Figura 3.16 muestra la forma de onda del 4to orden que fue reconstruida por el desarrollo de la expansión de la serie de Gabor en el enmascaramiento de los coeficientes.

46 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 46 Figura Extracción de un componente de 4to orden de La señal original A diferencia de lo contrario de la Transformada discreta de Fourier, la expansión de Gabor, en general, no es un mapeo uno a uno. Los coeficientes de Gabor son un subespacio de una función bidimensional, tales como el coeficiente de serie de enmascaramiento, tal vez no tenga un tiempo correspondiente con la forma de onda. Usualmente, los coeficientes de Gabor de una forma de onda reconstruida en el tiempo, no son exactamente los mismos que los coeficientes del enmascaramiento. Sin embargo, en términos del error cuadrático medio, los coeficientes de Gabor de la forma de onda reconstruida en el tiempo son los más cercanos a los coeficientes del enmascarameinto. Al igual que los filtros convencionales invariantes en el tiempo, los filtros variantes el tiempo implementados por la Transformada de Gabor poseen un cierto pasabanda y una atenuación.la extracción de la forma de onda en el tiempo es solo una parte de la señal original cuya frecuencia cae en el pasabanda determinada por el filtro de Gabor en tiempo variante. En la Figura 3.17 se muestra la señal original y el espectro de la señal reconstruida. Figura 3.17 Espectro de una señal reconstruida

47 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 47 En la Figura 3.17, una fila es seleccionada del conjunto de coeficientes tiempofrecuencia. La fila seleccionada no es más que una ventana del espectro de la FFT en el intervalo de tiempo. Los coeficientes originales de Gabor comprenden la línea solida en al Figura al realizar una operación de enmascaramiento, los coeficientes fuera del paso de banda son colocados en cero. Después de la reconstrucción, el espectro de la señal es formado. En la Figura 3.6, la línea continua representa el espectro de la señal reconstruida. Dentro del pasabanda, la señal reconstruida mantiene la misma magnitud que la señal original. Aunque fuera del pasabanda, la magnitud de la señal reconstruida ya no es cero. Sin embargo el valor de la magnitud disminuye rápidamente como la frecuencia deja el pasabanda Visualización de los mapas espectrales Antes de extraer los componentes de orden de un conjunto del domino tiempofrecuencia, se puede identificar los componentes de orden en los que se este interesado, tales como el orden de mas significancia o los que influyen en la velocidad de rotación. Sin embargo, con el uso de la extracción y reconstrucción del orden, se podría tener un proceso de una gran cantidad de componentes de orden antes de obtener información. El analizador de orden de LabView ofrece varios métodos para obtener mapas espectrales en 2D en el conjunto de señales en frecuencia-tiempo, frecuencia-rpm y dominio orden-rpm. En la Figura 3.18 se ilustra los tres tipos de mapas espectrales de una señal de vibración.

48 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 48 Figura Mapas espectrales en 2D. La Figura 3.18 parte a, muestra el mapa espectral frecuencia-tiempo generado directamente por los coeficientes de Gabor. Las magnitudes de los coeficientes son mostrados en una escala de grises, con un tono blanco indicando la máxima magnitud, y una escala de negros para la mínima magnitud. Los componentes de orden son mostrados en las curvas. Debido a los cambios de frecuencia de componente de orden como la velocidad de rotación, que es variante en el tiempo, el contorno de cada curva es similar a la de rpm-tiempo, como se muestra en la parte b de la Figura En la Figura 3.18 parte a, se pueden notar líneas blancas horizontales, que indican el gran poder en torno a la frecuencia de resonancia. Las características físicas del sistema que contiene el mecanismo de rotación determina la frecuencia de resonancia del sistema. La frecuencia de resonancia aparece solo a una determinada velocidad. En la parte c de la Figura 3.18 se puede apreciar el mapa espectral frecuencia rpm. El eje horizontal representa las rpm, o la velocidad de rotación. Se puede obtener un mapa rpm-tiempo a partir de un mapa frecuencia-tiempo por medio de una función que

49 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 49 relaciona el tiempo, la frecuencia y el orden. La frecuencia de cada componente se calcula con la ecuación 3.1. Debido a que la relación entre rpm y frecuencia es una función lineal, los componentes de orden aparecen como líneas de una pendiente Figura la resonancia aparece como líneas horizontales. RPM en la parte c de la 60 Aplicando una la transformación frecuencia a número de orden del mapa espectral frecuencia-rpm se genera el mapa espectral orden-rpm, mostrado en la Figura 3.18 de la parte d. el mapa espectral orden-rpm muestra los componentes de orden como líneas horizontales y la resonancia como líneas gruesas con forma de hipérbolas. Con el uso del mapa espectral frecuencia-tiempo, el mapa espectral frecuencia-rpm, y el mapa espectral orden.rpm, se puede observar de una manera clara y eficiente todos los componentes de orden en a lo largo del tiempo y los rangos de rpm Calculo de la magnitud de la forma de onda La forma de onda reconstruida en el tiempo para un orden seleccionado contiene solo unos pocos componentes en un intervalo corto de tiempo. Por lo tanto, la forma de onda reconstruida en el tiempo muestra una forma de onda en frecuencia y magnitud para la que ha sido modulada. En aplicaciones prácticas, tales como el ensayo de productos para comparar curvas de referencia, calculo de magnitud de forma de onda como función de las rpm es muy útil esta herramienta. El analizador de orden de LabView utiliza el error cuadrático medio (rms siglas en ingles) de la forma de onda para calcularla magnitud y correlacionar la forma de onda con los pulsos del tacómetro, obteniendo la fase de la forma de onda. Tanto la magnitud y la fase son calculadas en un intervalo corto. Por medio de la función tiemporpm, el analizador de orden realiza una operación de mapeo tiempo-rpm para obtener magnitud y fase como función de las rpm Remuestreo para análisis de orden En esta parte del capítulo se describe el método de remuestreo que proporciona el analizador de orden de LabView, la determinación del instante de tiempo de remuestreo, el remuestreo de la data de vibración y la compensación lenta.

50 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): Método de remuestreo Con el software de remuestreo, la herramienta de análisis de orden de LabView permite: remuestreo incluso de data tiempo-espacio hasta ángulo-espacio. Permite obtener información de magnitud y fase para cada orden. En la Figura 3.19 se ilustra el proceso de remuestreo basado en el análisis de orden proporcionado por la herramienta de análisis de orden de LabView. Figura 3.19 Diagrama de análisis de orden basado en remuestreo. Pasos para realizar remuestreo basado en análisis de orden. Adquirir data se transductores de velocidad y vibración simultáneamente a un ritmo constante de muestreo. Determinar el pulso de los bordes de la señal del tacómetro e interpolar el pulso de los bordes para obtener un remuestreo en un instante de tiempo. Desarrollar un software de remuestreo para señales de vibración. Obtener el orden del espectro de la señal mediante la Transformada Rápida de Fourier. Realizar seguimiento de la magnitud y fase de cada orden a lo largo del tiempo, revolución o rpm. Desarrollar un compensador lento para la magnitud y fase de orden, si es necesario Instante de tiempo de remuestreo. Para remuestreo de mediciones de tiempo e incluso mediciones angulares, se debe conocer primero a que momento un cierto ángulo es alcanzado, es decir, el instante de

51 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 51 tiempo para remuestreo. Después de procesar una señal digital o analógica de un tacómetro, se obtiene un tiempo de secuencia que indica el tiempo que cambia la rotación en cierto ángulo. Por ejemplo, si un tacómetro genera N pulsos en una revolución, se puede expresar la secuencia de tiempo como una función angular, tal y como se muestra en la siguiente ecuación. t k = t 2kπ N (3.6) Cuando se emplea ángulos-muestra para estudio de órdenes, se debe seguir el teorema de muestreo de Niquist, es decir, que si se pretende estudiar el K ésimo orden, se debe remuestrear al menos 2K muestras en cada revolución. Sin embargo, usualmente se necesita un mayor margen de muestras para el análisis y se requiere un remuestreo 2.5k muestras en una revolución. La mayoría de las veces un tacómetro no produce suficientes pulsos en una revolución, por lo tanto, se debe multiplicar el numero de pulsos generados por el tacómetro, esto es, la interpolación de la secuencia de tiempo por el intervalo de ángulo. Cuando se interpola la secuencia de tiempo por un pequeño intervalo de ángulo, se requiere un filtro de interpolación con un factor de integración constante. El análisis de orden de LabView emplea un filtro CIC de interpolación cuando la secuencia de tiempo de ángulos pequeños. La función de transferencia de un filtro CIC esta dada por la siguiente ecuación. L 1 1 z H z n L z ( ) = 1 Donde L es el factor de interpolación y n es el orden. n (3.7) El filtro CIC posee la ventaja que solo con unas pocas muestras de la secuencia de tiempo original se obtiene un único punto de remuestreo, mientras se mantiene una buena precisión cuando la señal original es de banda estrecha. La velocidad de rotación usualmente no cambia muy rápidamente en un par de revoluciones. Por lo tanto, la secuencia de tiempo original es exactamente una señal de banda estrecha y adecuada para la interpolación con un filtro CIC. Se puede implementa el filtro CIC usando solo operaciones de adición y sustracción, lo que hace muy eficiente el filtro CIC para

52 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 52 procesamiento a tiempo real. En la Figura 3.20 se muestra el espectro de una secuencia original y un filtro CIC de interpolación con un factor de interpolación de 8. Figura 3.20 Secuencia original y un filtro CIC de interpolación con un factor Remuestreo de data de vibración La operación de remuestreo convierte la señal de vibración del dominio del tiempo a el dominio angular. Según el teorema de Niquist, se puede reconstruir exactamente la señal para todos los instantes de tiempo usando interpolación de banda limitada si la señal original es una banda limitada por la mitad de la taza de muestreo. Por ejemplo, una señal de tiempo continuo x (t) que posee una banda limite de fs/2 Hz y muestreada con una tasa de muestreo de fs muestras/segundos pasa a la forma discreta dada por la siguiente ecuación. x = x n ( nts Donde T = 1/ f es el intervalo de tiempo de muestro. s s ) (3.8) Según el teorema de muestreo de Nyquist, se puede reconstruir exactamente la señal en el tiempo x (t) de muestras x nt ) con la siguiente ecuación. ( s ^ x( t) = x( nts ) hs ( nts t) (3.9)

53 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 53 Donde h s es una función sin c definida por sin(π f f t) hs ( t) = sin c( f st) =. πf t f La Figura 3.21 muestra la grafica de (t) h s con f s = 1. Figura 3.21 (t) h s con f s = 1. Se puede remuestrear la señal en el ángulo igual al intervalo de tiempo por ejemplo evaluando la ecuación 3.9 en el tiempo deseado. Antes de remuestrear, se podría necesitar un filtro anti-aliasing pasa baja si la nueva frecuencia de muestreo es menor que la frecuencia de muestreo anterior. El análisis de orden de LabView emplea un filtro digital de interpolación-adaptativa para completar todo el proceso de remuestreo. El ancho de banda del filtro de interpolación-adaptativa cambia automáticamente de acuerdo con la nueva frecuencia de remuestreo para prevenir el fenómeno aliasing. La atenuación stopband (banda de frecuencia de parada) del filtro de interpolación controla la exactitud del remuestreo. Como la atenuación stopband es mayor, la exactitud de la señal remuestreada mejora Compensación a baja velocidad de rodamiento Para monitoreo de maquinaria, los ingenieros suelen emplear una sonda de proximidad para medir el movimiento de un eje. Esta sonda puede convertir la distancia entre la sonda y el eje en una señal eléctrica. Cuando se monitorea las vibraciones de un eje con una sonda de proximidad, la señal adquirida contiene no solo la vibración del eje sino también el resto de las vibraciones de las piezas unidas a él. La Figura 3.22 muestra la señal adquirida de un eje no concéntrico y la señal compensada.

54 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 54 Figura 3.22 Compensación a bajo velocidad de rodamiento. El analizador de orden de LabView puede realizar el vector de compensación lenta en magnitud o fase. El conjunto de herramientas realiza una compensación lenta subtrayendo el vector de velocidad de la medida de magnitud y fase Calculo de la velocidad de rotación En esta parte del capítulo se describe el método digital diferenciador usado en el análisis de orden de LabView para calcular la velocidad de rotación y describe un promedio de los pulsos resultado del cálculo de la velocidad de rotación Método digital diferenciador Para poder extraer lo componentes de orden, crear mapas espectrales y calcular las magnitudes de la forma de onda, se necesita la velocidad de rotación como una función de el tiempo durante el proceso de adquisición de la data. El analizador de orden emplea un diferenciador digital para calcular la velocidad de rotación. El instrumento virtual (VI) convierte la señal del tacómetro en pulsos. Debido a que el procesamiento de la señal del tacómetro genera pulsos, se puede emplear los pulsos del tacómetro antes y después de cada instante de tiempo cuando se calcula la velocidad de rotación. Utilizando los pulsos del tacómetro que ocurren antes y después de cada instante de tiempo se mejora la exactitud de la velocidad de rotación.

55 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 55 La Figura 3.23 ilustra un tren de pulsos típico de un tacómetro y el ángulo de rotación acumulado θ en función del tiempo t de un eje. Figura 3.23 Señal del tacómetro y ángulo de rotación. El tiempo de llegada t k de los pulsos p(k) en la señal del tacómetro corresponde a la rotación de ángulo acumulada θ t ). La función de rotación de ángulo acumulada θ (t) ( k aumenta un ángulo fijo θ en el intervalo de tiempo entre t k y t k + 1. Como se muestra en la siguiente ecuación, se puede presentar la velocidad de rotación como la primera derivada de θ (k) ω ( t) = dθ dt (3.10) Si bien el intervalo de tiempo varía con la velocidad de rotación, el ángulo acumulado tiene un incremento constante. Calculando la primera derivada de θ (t) usualmente implica el ajuste paso a paso de la curva del polinomio, que requiere de múltiples cálculos por cada iteración. En lugar de observar directamente θ (t) analizador de orden de LabView observa t (θ ) directamente, que es la función inversa de θ (t), porque calculando la primera derivada de una secuencia igualmente espaciada se, el

56 3.3 Transformada de Gabor (basada en seguimiento de orden): 56 requiere menos cómputos que calculando la primera derivada de una secuencia espaciada de forma desigual. Para la función uniformemente distribuida con series t k, se puede emplear un diferenciador digital para calcular la primera derivada. El diferenciador digital es implementado como un filtro FIR (Respuesta Impulso Finita) con la siguiente ecuación. dt dθ M Donde hi representa los coeficientes de diferencia. h i t k 1 (3.11) θ = θ θ i= M k La velocidad de rotación en cada instante de tiempo pulso-llegada es calculada de por la siguiente ecuación: dθ ω( tk ) = dt t= t k 1 1 = dt dθ θ = θ k (3.12) El diferenciador en la ecuación 3.11 posee un orden de 2M. Como el orden se aumenta, la precisión del cálculo de la velocidad de rotación aumenta. Sin embargo, como el orden aumenta, el número de pulsos necesarios para calcular la velocidad de rotación también aumenta. El analizador de orden de LabView puede ajustar automáticamente el orden del diferenciador de acuerdo con los números de pulsos en el buffer. Automáticamente, ajustando el orden del diferenciador mejora la precisión del calculo de la velocidad de rotación cuando el buffer contiene un gran número de pulsos y hace posible generar u resultado, aun si el buffer contiene solo dos pulsos Promedio de pulsos A veces, la velocidad de rotación calculada posee ruido a causa de error en el muestreo de cada pulso. Un promedio de pulsos puede suavizar el ruido resultante del cálculo de la velocidad de rotación. Uno de los enfoques de promedios considera dos o mas pulsos como un pulso único por decima de la serie original t k, además el incremento angular entre dos secuencias de pulsos debe ser multiplicada por el correspondiente factor. Debido a que error de medición del pulso en el tiempo no es acumulativo, ampliar el intervalo de pulsos disminuye el error relativo.

57 3.4 Expansión de Gabor y Transformada de Gabor 57 En la Figura 3.24 se muestra un ejemplo del cálculo de la velocidad de rotación a partir de pulsos de un tacómetro. Figura 3.24 Calculo de la velocidad de rotación. En la Figura 3.24, la línea punteada representa los resultados del cálculo de la velocidad de rotación sin promediar. La línea continua representa el resultado de la velocidad de rotación promediada por 5. El promedio de la velocidad de rotación es más suave que la velocidad no promediada. 3.4 Expansión de Gabor y Transformada de Gabor En esta sección presenta una apreciación global de la expansión de Gabor y la Transformada de Gabor empleada en el análisis de orden de LabView. Además se describen problemas relacionados con la aplicación del filtro tiempo-variante basado en la expansión de Gabor Reseña de la expansión de Gabor y Transformada de Gabor La expansión de Gabor de una señal son un conjunto de características en el dominio del tiempo de la frecuencia. Aunque Denis Gabor introdujo la expansión de Gabor hace mas de medio siglo, su aplicación estuvo abierta a nuevas investigaciones hasta que en la década de los 80 Bastiaans descubrió la relación entre la expansión de Gabor y la Transformada Rápida de Fourier. Durante muchos años muchas aplicaciones de la forma discreta de la expansión de Gabor fueron propuestas. El analizador de orden de LabView utiliza una extinción del

58 3.4 Expansión de Gabor y Transformada de Gabor 58 método original desarrollado por Wexler y Raz para implementar la expansión discreta de Gabor. En el método empleado por el analizador de orden de LabView, longitudes de análisis y funciones de síntesis de ventanas son equivalentes, mientras la reconstrucción es garantizada. Para una muestra discreta s[k], la correspondiente expansión de Gabor esta definida por la siguiente ecuación. s[ k] = N 1 m n= 0 cm, nh[ k m M ] e j2πnk / N (3.13) Donde los coeficientes de Gabor C mn (Transformada corta en el tiempo de Fourier). se calculan mediante un muestreo de STFT El muestreo de la STFT se conoce también como la Transformada de Gabor y esta representada por la siguiente ecuación. Donde M número total de frecuencias. La relación entre N y c N 1 ~ m, n = s[ k] γ *[ k m M ] N = 0 e j 2Πnk / N (3.14) representa el intervalo de tiempo de muestreo y N representa el total de M determina la velocidad de muestreo de Gabor. Para estabilidad numérica, la tasa de muestreo de Gabor debe ser mayor o igual a uno. El muestreo crítico ocurre cuando coeficientes de Gabor m n n = M. En un muestreo critico, los números de los C, son iguales a el numero de muestras originales de la data s[k]. El sobre muestreo ocurre cuando N / M > 1. Durante el sobremuestreo, el número de los coeficientes de Gabor es mayor al número de muestras de la data original. sobremuestreo, la Transformada de Gabor posee redundancia desde el punto de vista matemático como se observa en la ecuación Sin embargo la redundancia en la ecuación 3.14 proporciona la libertad para la selección de la mejor ventana de funciones, h [k ] y γ [k]. Se observa que las posiciones de la ventana de funciones de h [k ] y γ [k] son intercambiables. En otras palabras, se pueden utilizar cualquiera de las funciones de la ventana como síntesis o análisis de la función ventana. Por lo tanto, h [k ] y γ [k] son usualmente conocidas como funciones duales. En

59 3.4 Expansión de Gabor y Transformada de Gabor 59 El método de la expansión discreta de Gabor desarrollado en este capítulo requiere ~ k que s [ ] en la ecuación 3.14 sea de período secuencial, como lo muestra la siguiente ecuación. ~ s[ k] s [ k + il0] = 0 0 k L L s s k L 0 (3.15) Donde Lsrepresenta la longitud de la señal s [k], y Lo representa el período de la ~ k secuencia s [ ]. L o Es el menor numero entero mayor o igual a dividida por el intervalo de tiempo de muestreo L s. L o Debe ser M. Para una ventana h [k ] que siempre posea una ventana de energía, se puede calcular la correspondiente doble función de ventana de M de sistemas lineales independientes con la siguiente ecuación. L M P= 0 1 ~ δ a[ k + p M + qn ] = [ q] N Donde L denota la longitud de la ventana. a [ ] auxiliar que viene dada por la siguiente ecuación. h[ a[ k + i(2l N)] = 0 ~ k 0 k < L L k < 2L N 0 k < M (3.16) ~ k Denota una función periódica 2L 0 q < 1 N La solución de la ecuación 3.16 no es única para sobre muestreo. Una solución particular para la ecuación 3.16 es el menos error cuadrático medio LMSE (en ingles). Para la solución LMSE, la distancia euclidiana entre las funciones duales es mínima, y viene dada por la siguiente ecuación. ] min Aγ γ = u h γ (3.17) Donde Aγ = µ denota la matriz formada por la ecuación Donde error es pequeño, y la ecuación 3.14 se convierte en: γ h, el ~ j 2Πnk / N c m, n s[ k] h[ k mt ] e (3-18) m

60 3.4 Expansión de Gabor y Transformada de Gabor 60 Las ecuaciones 3.18 y 3.13 forman una ortogonal par de la Transformada de Gabor. En este caso, los coeficientes de Gabor la función de síntesis h[k]. c m, n son la protección de la señal en la ventana de Expansión discreta de Gabor basada en filtro de tiempo variable. Inicialmente, la expansión discreta de Gabor parece proporcionar un método variable para la conversión de una señal arbitraria del dominio del tiempo dentro del conjunto tiempo- frecuencia y viceversa. Sin embargo, la Transformada discreta de Gabor es eficaz para convertir una señal arbitraria desde el dominio del tiempo dentro de un conjunto de dominio tiempo-frecuencia o viceversa, solo en el caso critico de muestreo M = N. Por sobremuestreo, que es el caso de la mayoría de las aplicaciones, los coeficientes de Gabor son el subespacio de funciones bidimensionales. En otras palabras, para una función arbitraria bidimensional, la correspondiente forma de onda en el tiempo no puede existir. Por ejemplo, la siguiente ecuación representa una función bidimensional modificada. Donde ^ c m, n = Φ m, n cm, n (3.19) Φ m, n denota una función mascara binaria cuyos elementos son 0 ó 1. La aplicación de la expansión de Gabor a la modificación de funciones bidimensionales resulta de la siguiente ecuación. ^ s[ k] = m N 1 n= 0 C m, n h[ k mt ] e j 2Πnk / N La siguiente inecuación resulta de la expansión de Gabor. (3.20) m ^ j 2Πnk / N s [ k] γ [ k mt ] e c m, ^ n (3.21) Los coeficientes de Gabor de la reconstrucción de la forma de onda s [ ] no es igual a los coeficientes seleccionados de Gabor C m, n. Para superar el problema de reconstruir en el tiempo la forma de onda no se deben seleccionar los coeficientes de Gabor, se debe emplear un proceso iterativo que tiene los siguientes pasos. ^ k

61 3.4 Expansión de Gabor y Transformada de Gabor 61 Determinar una matriz mascara binaria de un conjunto bidimensional de coeficientes de Gabor. Aplicar la mascara a los coeficientes bidimensionales de Gabor para preservar los coeficientes deseables y eliminar los coeficientes indeseables. Calcular la expansión de Gabor. Calcular los nuevos coeficientes de Gabor después de obtener la forma de onda en el tiempo. Repetir los pasos 1 a 4 hasta el momento que converjan las formas de onda. Sin perder generalidad, al reescribir la expansión de Gabor de la ecuación 3.13 y la Transformada de Gabor de la ecuación 3.14 en la forma matricial tendría la siguiente forma. s = H c = G s T G s (3.22) Donde H detona la matriz de análisis y G denota la síntesis de la matriz, tomando en cuenta que en sobremuestreo, la siguiente relación es verdadera. H T G = I GH T I (3.23) Por lo tanto en el caso de sobremuestreo, el proceso iterativo se describe por las siguientes ecuaciones. 1 C 1 s C C s C = ΦC = H = G s = ΦC = H T T = G s C 1 2 C 2 1 = GH 2 = GH T T ΦC ΦGH... T T ΦC = ( GH Φ) 2 C

62 3.4 Expansión de Gabor y Transformada de Gabor 62 k C y k s convergen. C = ( GH Φ) k T k 1 C k k = Con C Φc k. Para k k = con k C Φc, el soporte de C k en el dominio del tiempo-frecuencia es el interior del área enmascarada si y solo si se cumple la siguiente ecuación. L 1 N i= 0 L 1 N i= 0 * γ [ in + k] h[ in + k + m M ] = * h [ in + k] γ[ in + k + m M ] (3.24) Para 0 k < N y muestreos críticos y cuando γ [ k ] = h[ k]. L 0 m <. Dos casos triviales de la ecuación 3.24 son M En un muestreo critico, M = N, el análisis y la síntesis de ventanas no pueden ser localizadas en conjunto del dominio del tiempo-frecuencia. 2 En el caso de γ [ k ] = h[ k], los coeficientes de Gabor C, después de la primera iteración, son los más cercanos en términos de la LMSE (menor estimador cuadrático medio) a los coeficientes a los coeficientes de Gabor enmascarados Φ C. Los coeficientes enmascarados de Gabor son los coeficientes deseables de Gabor, el caso de γ [ k ] = h[ k] usualmente implica consideraciones en sobremuestreo, que resultan en una gran cantidad de redundancia. La cantidad de redundancia causa una lenta velocidad de cálculo y un gran consumo de memoria, haciendo γ [ k ] = h[ k] un método practico para la Transformada de Gabor

63 Capítulo 4 Casos de estudio: Detección de fallas para el equipo rotativo Rotor Descripción de los elementos empleados en las experiencias de vibraciones Figura 4.1 Rotor El rotor 5000 esta conformado por los siguientes elementos: Motor DC con 0.5Hp y 1750 rpm. eje de acero. disco de pesas (que se utilizara para el balanceo del eje).

64 4.1 Descripción de los elementos empleados en las experiencias de vibraciones 64 correa mesa de soporte. cojinetes de apoyo para el eje. módulo de aplicación de carga puntual. Sobre este equipo se realizarán las experiencias relacionadas detección de fallas en rodamientos y desbalance usando Orden Analysis, para ello se dispone de dos transductores piezoeléctricos, un acelerómetro (modelo 736 Wilcoxon) con su fuente de poder (Modelo P702B Wilcoxon) y un velocímetro (modelo 793V Wilcoxon) con su fuente de poder (Modelo P704B Wilcoxon) como instrumentación base para hacer las detecciones. El transductor de aceleración se unió a la fuente de poder mediante un cablej93 y el transductor de velocidad se unió a la fuente de poder mediante un cable J9T2, este último fue fabricado en el laboratorio de sistemas de control. Debido a que la fuente del velocímetro no poseía amplificación, se diseño un circuito que amplifica y acopla la señal del transductor de velocidad como se muestre en la Figura 4.2 Figura 4.2 Circuito de acoplamiento de la señal del velocímetro. La señal simulada en Circuitmaker se esboza en la siguiente grafica de la Figura 4.3

65 4.1 Descripción de los elementos empleados en las experiencias de vibraciones 65 Figura 4.3 Simulación con una señal sinusoidal del circuito desarrollado. Nótese que la señal del velocímetro tiene un máximo de 1 Voltio Pico-Pico y es de forma sinusoidal, la cual debió convertirse en una señal cuadrada, requerida por es software Order Analysis. Seguidamente se ilustran los transductores, las fuentes y los cables empleados en la Figura 4.4

66 4.1 Descripción de los elementos empleados en las experiencias de vibraciones 66 Figura 4.4 Transductores, cables y fuentes empleadas. Adicionalmente se emplearon dos cables modelo GPT-150A-2 los cuales llevan la señal de las fuentes a la terminal de la tarjeta de adquisición de datos. Estos elementos se ilustran en la Figura 4.5.

67 4.1 Descripción de los elementos empleados en las experiencias de vibraciones 67 Figura 4.5 Terminal de canales y cables Para las experiencias de detección de desbalance se coloco el transductor en el módulo de aplicación de la carga puntual como se muestra en la Figura 4.6 Figura 4.6 Ubicación de los transductores de velocidad y aceleración en el Rotor 5000.

68 4.1 Descripción de los elementos empleados en las experiencias de vibraciones 68 Para la instalación de la tarjeta se debe verificar que el módulo USB de LabView este activado tal y como muestra la Figura 4.7 Figura 4.7 Indicador del NI Device Monitor Una vez colocados los transductores se procedió a la instalación y detección de la tarjeta de adquisición de datos (DAQpad 6020 de National instruments) al computador, mediante un cable USB. Las señales de los transductores fueron conectadas a la tarjeta de adquisición de datos por medio del bloque de conectores, en el canal 0 para el transductor de velocidad y el en canal 1 para el transductor de aceleración. La verificación del funcionamiento del sistema de adquisición de datos se realiza por medio de la aplicación Measurement & Automation Explorer de National instruments., donde se observa la correcta señal de los transductores y el reconocimiento de la tarjeta de adquisición de datos por parte del computador como se muestra en la Figura 4.8

69 4.2 Descripción de los módulos Order Analysis 69 Figura 4.8 Detección de la señal de los transductores. Ahora se procede a la realización de las experiencias para la detección de desbalance y fallas en los rodamientos. Una vez instalados todos los elementos de hardware y software en el rotor 5000, y verificado el correcto funcionamiento de la tarjeta de adquisición de datos y los transductores, se procedió a iniciar la captura de la data y el análisis de la misma mediante el software Order Analysis de LabWiew, que se muestra en la Figura 4.9 Figura 4.9 Módulos del Order Analysis. En este proyecto se hará uso de los módulos Logger, Tach, y Order de la herramienta Order Analysis. 4.2 Descripción de los módulos Order Analysis Módulo Logger La Figura 4.10 representa en módulo Logger en el cual se realiza la adquisición y el guardado de la data. Consta de una grafica Tiempo-Frecuencia (arriba y al centro), una grafica Espectro-Frecuencia (arriba y a la izquierda), una grafica de la señal de los transductores empleados Tiempo-Voltaje (abajo y al centro). Posee además un menú

70 4.2 Descripción de los módulos Order Analysis 70 indicador (a la derecha en color verde) donde se indica el porcentaje de atraso de la señal, número de puntos muestreados y números de puntos guardados, también se aprecia un menú (a la derecha de color amarillo) que indica las características deseadas del tipo, despliegue y tamaño de la ventana. Por último se observa el menú de captura y guardado de los datos muestreados que esta ubicado en la esquina inferior derecha. Una vez realizado el muestreo, se debe guardar la información en un archivo DAT para su posterior estudio. Figura 4.10 Módulo de adquisición de datos Módulo Tach La Figura 4.11 representa el módulo Tach, donde se realiza el guardado de la data que se desea estudiar. En esta etapa se trabaja con archivos DAT previamente muestreados en el módulo Logger, donde se descarta los valores que son innecesarios para el estudio de análisis de orden, para ello se cuenta con dos cursores (que se indican en la Figura 4.10) que son empleados para acotar la señal. Este módulo consta de 3 gráficos, una grafica tiempo frecuencia (arriba a la izquierda), una grafica proveniente de la señal del acelerómetro (grafica central) y otra proveniente del velocímetro (abajo y a la derecha), estas ultimas dos con abscisas de tiempo y ordenadas de voltaje. Además cuenta con un menú de estado (de color verde) donde se indica la rata de muestreo y el número de datos seleccionados, un menú de parámetros de la grafica Tiempo-Frecuencia (al centro y a la derecha) y por último un menú e control de tacómetro (abajo y a la derecha).

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