Series de Fourier. 1. Tratamiento Digital de Señal. Series de Fourier

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Series de Fourier. 1. Tratamiento Digital de Señal. Series de Fourier"

Transcripción

1 Series de Fourier. Traamieo Digial de Señal. Series de Fourier

2 Series de Fourier. Preámbulo El aálisis de Fourier fue iroducido e 8 e la Théorie aalyiique de la chaleur para raar la solució de problemas de valores e la froera e la coducció del calor. Más de siglo y medio después las aplicacioes de esa eoría so varios: Sisemas Lieales, Comuicacioes, Física modera, Elecróica, Ópica, Redes Elécricas. Eso es u meodo maemaico y e uesro caso la oda se raa como u gra umero de fuees puuale.

3 Series de Fourier. 3 Fucioes Periódicas Ua Fució Periódica f() cumple la siguiee propiedad para odo valor de. f()f(+t) A la cosae míima para la cual se cumple lo aerior se le llama el periodo de la fució Repiiedo la propiedad se puede obeer: f()f(+t), dode,±, ±, ±3,...

4 Series de Fourier. 4 Fucioes Periódicas Ejemplo: Cuál es el período de la fució f() cos( ) + 3 cos( 4)?

5 Series de Fourier. 5 Fucioes Periódicas Ejemplo: Cuál es el período de la fució f() cos( ) + 3 cos( 4)? Solució.- Si f() es periódica se debe cumplir: + T + T f( + T) cos( 3 ) + cos( 4 ) f() cos( ) + 3 cos( 4) Pero como se sabe cos(x+kπ)cos(x) para cualquier eero k, eoces para que se cumpla la igualdad se requiere que T/3k π, T/4k π Es decir, T 6k π 8k π Dode k y k so eeros, El valor míimo de T se obiee co k 4, k 3, es decir,t4π

6 Series de Fourier. 6 Fucioes Periódicas Gráfica de la fució f() cos( ) + cos( ) T f()cos(/3)+cos(/4) f() - - 4π

7 Series de Fourier. 7 Fucioes Periódicas Podríamos pesar que cualquier suma de fucioes seo y coseo produce ua fució periódica. Eso o es así, por ejemplo, cosideremos la fució f() cos(ω )+cos(ω ). Para que sea periódica se requiere ecorar dos eeros m, ales que ω T πm, ω Tπ De dode ω ω Es decir, la relació ω / ω debe ser u úmero racioal. m

8 Series de Fourier. 8 Fucioes Periódicas Ejemplo: la fució cos(3)+cos(π+3) o es periódica, ya que ω 3 o es u úmero racioal. ω 3 + π f()cos(3)+cos((3+pi)) f()

9 Series de Fourier. 9 Serie Trigoomérica de Fourier Alguas fucioes periódicas f() de periodo T puede expresarse por la siguiee serie, llamada Serie Trigoomérica de Fourier f() ½ a + a cos(ω )+a cos(ω )+... Dode ω π/t. Es decir, f () a + + b se(ω )+b se(ω )+... [a cos(ω ) + b se(ω )]

10 Series de Fourier. Serie Trigoomérica de Fourier Es posible escribir de ua maera ligeramee diferee la Serie de Fourier, si observamos que el érmio a cos(ω )+b se(ω ) se puede escribir como a b a + ω + se(ω ) b cos( ) a + b a + b Podemos ecorar ua maera más compaca para expresar esos coeficiees pesado e u riágulo recágulo:

11 Series de Fourier. Serie Trigoomérica de Fourier b θ a C a + b Co lo cual la expresió queda a a a b + + b b cosθ seθ [ cos θ cos(ω ) + seθ se(ω ) ] C C [ cos(ω θ )]

12 Series de Fourier. Serie Trigoomérica de Fourier Si además defiimos C a /, la serie de Fourier se puede escribir como f () C [ cos(ω θ ] + C ) Así, C a + b y θ a b a

13 Compoees y armóicas Así, ua fució periódica f() se puede escribir como la suma de compoees siusoidales de diferees frecuecias ω ω. A la compoee siusoidal de frecuecia ω : C cos(ω +θ ) se le llama la eésima armóica de f(). A la primera armóica () se le llama la compoee fudameal y su periodo es el mismo que el de f() A la frecuecia ω πf π/t se le llama frecuecia agular fudameal. Series de Fourier. 3

14 Series de Fourier. 4 Compoees y armóicas A la compoee de frecuecia cero C, se le llama compoee de corriee direca (cd) y correspode al valor promedio de f() e cada periodo. Los coeficiees C y los águlos θ so respecivamee las ampliudes y los águlos de fase de las armóicas.

15 Series de Fourier. 5 Compoees y armóicas Ejemplo: La fució Como ya se mosró iee u periodo T4π, por lo ao su frecuecia fudameal es ω / rad/seg. Compoee fudameal es de la forma: *cos(/). Tercer armóico: cos(3/)cos(/4) Cuaro armóico: Cos(4/)cos(/3) f() f() cos( ) + cos( ) f()cos(/3)+cos(/4) - 4π

16 Series de Fourier. 6 Compoees y armóicas Ejemplo: Como puede verse, la fució aerior iee aas pares posiivas como egaivas, por lo ao su compoee de cd es cero, e cambio Tiee aas pares arriba como abajo de por lo ao, su compoee de cd es. f() + cos( ) + cos( ) 3 4 f() 3 - f()+cos(/3)+cos(/4) - 4π

17 Series de Fourier. 7 Orogoalidad de seos y coseos Se dice que u cojuo de fucioes f k () so orogoales e el iervalo a<<b si dos fucioes cualesquiera f m (), f () de dicho cojuo cumple b a f m ()f ()d r para para m m

18 Series de Fourier. 8 Orogoalidad de seos y coseos Ejemplo: las fucioes y so orogoales e el iervalo < <, ya que d 3 d 4 4 Ejemplo: Las fucioes se y cos so orogoales e el iervalo π / < < π /, ya que π secosd π se π π

19 Series de Fourier. 9 Orogoalidad de seos y coseos Auque los ejemplos aeriores se limiaro a u par de fucioes, el siguiee es u cojuo de ua ifiidad de fucioes orogoales e el iervalo - T / << T /.,cosω, cosω, cos3ω,...,seω,seω,se3ω,... (para cualquier valor de ω π / T ). T / Para verificar lo aerior podemos probar por pares:.- f() Vs. cos(mω ): se(mω) se(mωt/) se(mπ) cos(mω )d mω mω mω T / Ya que m es u eero. T / T /

20 Series de Fourier. Orogoalidad de seos y coseos.- f() Vs. se(mω ): T / se(mω T / )d mω [cos(mω 3.- cos(mω ) Vs. cos(ω ): cos(mω mω ) T / T / T/) - cos(mω T/)] T / para m cos(mω)cos(ω)d T / T / para m

21 Series de Fourier. Orogoalidad de seos y coseos 4.- se(mω ) Vs. se(ω ): T / para m se(mω)se(ω)d T / T / para m 5.- se(mω ) Vs. cos(ω ): T / se(mω )cos(ω)d T / para cualquier m,

22 Series de Fourier. Orogoalidad de seos y coseos Para calcular las iegrales de los casos 3, 4 y 5, so úiles las siguiees ideidades rigooméricas: cos A cos B ½[cos(A+B)+cos(A-B)] se A se B ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] se A cos B ½[se(A+B)+se(A-B)] Además: se θ ½ (-cosθ) cos θ ½ (+cosθ)

23 Series de Fourier. 3 Cálculo de los coeficiees de la Serie Dada ua fució periódica f() cómo se obiee su serie de Fourier? f () a + [a cos(ω se(ω Obviamee, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficiees a,a,a,...,b,b,... )] Eso se puede resolver cosiderado la orogoalidad de las fucioes seo y coseo comeada aeriormee. ) + b

24 Series de Fourier. 4 Cálculo de los coeficiees de la Serie Muliplicado ambos miembros por cos(ω ) e iegrado de T/ a T/, obeemos: T / a f () cos( ω )d T T /,,,3,... Similarmee, muliplicado por se(ω ) e iegrado de T/ a T/, obeemos: T / b f ()se (ω )d T T / Similarmee, iegrado de T/ a T/, T / obeemos: a f () d T T /,,3,...

25 Series de Fourier. 5 Cálculo de los coeficiees de la Serie El iervalo de iegració o ecesia ser simérico respeco al orige. Como la orogoalidad de las fucioes seo y coseo o sólo se da e el iervalo de T/ a T/, sio e cualquier iervalo que cubra u periodo compleo: (de a +T, co arbirario) las fórmulas aeriores puede calcularse e cualquier iervalo que cumpla ese requisio.

26 Series de Fourier. 6 Cálculo de los coeficiees de la Serie Ejemplo: Ecorar la Serie de Fourier para la siguiee fució de periodo T: f()... -T / T / T... - Solució: La expresió para f() e T / << T / es f () para para T < < < < T

27 Series de Fourier. 7 Cálculo de los coeficiees de la Serie T / Coeficiees a : ω a T T / f ()cos( ) d T / cos(ω)d + cos(ω) d T T / T / se(ω) + se(ω T ω T / ω ) para

28 Series de Fourier. 8 Cálculo de los coeficiees de la Serie Coeficiee a : T / a f () d T T / T / d + d T T / T / + T T /

29 Series de Fourier. 9 Cálculo de los coeficiees de la Serie T / Coeficiees b : b f ()se(ω T T / ) d T / se(ω)d + se(ω) d T T / ω T / cos(ω) cos(ω T T / ω ) π [( cos(π)) (cos(π) ) ] π [ ( ) )] para

30 Series de Fourier. 3 Cálculo de los coeficiees de la Serie Serie de Fourier: Fialmee la Serie de Fourier queda como 4 f () 3 5 π [ se( ω ) + se(3ω ) + se(5ω )...] + E la siguiee figura se muesra: la compoee fudameal y los armóicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de esos primeros cuaro érmios de la serie para ω π, es decir, T:

31 Series de Fourier. 3 Cálculo de los coeficiees de la Serie.5 Compoees de la Serie de Fourier Compoees Suma fudameal ercer armóico quio armóico sepimo armóico

32 Series de Fourier. 3 Fucioes Pares e Impares Ua fució (periódica o o) se dice fució par (o co simería par) si su gráfica es simérica respeco al eje verical, es decir, la fució f() es par si f() f(-) f() π π π π

33 Series de Fourier. 33 Fucioes Pares e Impares E forma similar, ua fució f() se dice fució impar o co simería impar, si su gráfica es simérica respeco al orige, es decir, si cumple lo siguiee: -f() f(-) f() π π π π

34 Series de Fourier. 34 Fucioes Pares e Impares Ejemplo: Las siguiees fucioes so pares o impares? f() +/ g() /( +), Solució: Como f(-) --/ -f(), por lo ao f() es fució impar. Como g(-)/((-) +) /( +)g(), por lo ao g() es fució par.

35 Series de Fourier. 35 Fucioes Pares e Impares Ejemplo: La fució h()f(+ ) es par o impar?, dode f es ua fució arbiraria. Solució: Sea g() +, Eoces h()f(g()) Por lo ao h(-) f(g(-)), Pero g(-)+(-) + g(), fialmee h(-)f(g())h(), por lo ao h() es fució par, si imporar como sea f().

36 Series de Fourier. 36 Fucioes Pares e Impares Ejemplo: De acuerdo al ejemplo aerior, odas las siguiees fucioes so pares: h() se (+ ) h() exp(+ )+5/ (+ ) h() cos (+ )+ h() (+ )-(+ )/ ec... Ya que odas iee la forma f(+ )

37 Series de Fourier. 37 Fucioes Pares e Impares Como la fució se(ω ) es ua fució impar para odo y la fució cos(ω ) es ua fució par para odo, es de esperar que: Si f() es par, su serie de Fourier o coedrá érmios seo, por lo ao b para odo Si f() es impar, su serie de Fourier o coedrá érmios coseo, por lo ao a para odo

38 Series de Fourier. 38 Fucioes Pares e Impares Por ejemplo, la señal cuadrada, ya aalizada e u ejemplo previo: f()... -T / T / T... - Es ua fució impar, por ello su serie de Fourier o coiee érmios coseo: 4 f () 3 5 π [ se( ω ) + se(3ω ) + se(5ω )...] +

39 Series de Fourier. 39 Simería de Media Oda Ua fució periodica de periodo T se dice simérica de media oda, si cumple la propiedad ( + T) f () f Es decir, si e su gráfica las pares egaivas so u reflejo de las posiivas pero desplazadas medio periodo: f()

40 Series de Fourier. 4 Simería de Cuaro de Oda Si ua fució iee simería de media oda y además es fució par o impar, se dice que iee simería de cuaro de oda par o impar Ejemplo: Fució co simería impar de cuaro de oda: f()

41 Series de Fourier. 4 Simería de Cuaro de Oda Ejemplo: Fució co simería par de cuaro de oda: f()

42 Series de Fourier. 4 Simerías y Coeficiees de Fourier Simería Coeficiees Fucioes e la serie Nigua Par a 4 f( )cos( ω ) d b Impar a media oda a a T T / f( )cos( ω ) d T T / T / T/ 4 T f( )cos( ω ) d par impar b b b T / 4 f( ) se( ω ) d T T / f( ) se( ω ) d T T / T/ 4 T f( ) se( ω ) d par impar Seos y coseos úicamee coseos úicamee seos Seos y coseos impares

43 Series de Fourier. 43 Simerías y Coeficiees de Fourier Simería Coeficiees Fucioes e la serie Nigua a T / f( )cos( ω ) d T T / b T / f( ) se( ω ) d T T / Seos y coseos ¼ de oda par ¼ de oda impar a ( par) T / 4 8 a f( )cos( ω T ( impar) a ) d ( impar) b b ( par) T / 4 8 b f( ) se( ω T ) d Sólo coseos impares Sólo seos impares

44 Series de Fourier. 44 Simerías y Coeficiees de Fourier Por ejemplo, la señal cuadrada, ya aalizada e u ejemplo previo: f()... -T / T / T... - Es ua fució co simería de ¼ de oda impar, por ello su serie de Fourier sólo coiee érmios seo de frecuecia impar: 4 f () 3 5 π [ se( ω ) + se(3ω ) + se(5ω )...] +

45 Series de Fourier. 45 Feómeo de Gibbs Si la serie de Fourier para ua fució f() se ruca para lograr ua aproximació e suma fiia de seos y coseos, es aural pesar que a medida que agreguemos más armóicos, la sumaoria se aproximará más a f(). Eso se cumple excepo e las discoiuidades de f(), e dode el error de la suma fiia o iede a cero a medida que agregamos armóicos. Por ejemplo, cosideremos el re de pulsos aerior:

46 Series de Fourier. 46 Feómeo de Gibbs.5 Serie co armóico

47 Series de Fourier. 47 Feómeo de Gibbs.5 Serie co 3 armóicos

48 Series de Fourier. 48 Feómeo de Gibbs.5 Serie co 5 armóicos

49 Series de Fourier. 49 Feómeo de Gibbs.5 Serie co 7 armóicos

50 Series de Fourier. 5 Feómeo de Gibbs.5 Serie co 3 armóicos

51 Series de Fourier. 5 Feómeo de Gibbs.5 Serie co 5 armóicos

52 Series de Fourier. 5 Feómeo de Gibbs.5 Serie co armóicos

53 Series de Fourier. 53 Forma Compleja de la Serie de Fourier Cosideremos la serie de Fourier para ua fució periodica f(), co periodo Tπ/ω. f () Es posible obeer ua forma aleraiva usado las fórmulas de Euler: Dode a j + [a cos(ω se(ω ) ) cos(ω j (e (e jω jω ) + + e e b jω jω se(ω ) ) )]

54 Series de Fourier. 54 Forma Compleja de la Serie de Fourier Susiuyedo f () a [a Y usado el hecho de que /j-j f () Y defiiedo: + (e jω + e jω Lo cual es cogruee co la fórmula para b, ya que b - -b, ya que la fució seo es impar. ) b j (e jω e jω a + [ (a jb )e jω + (a jb )e jω c a, c (a jb ), c (a + jb ) + + ] )]

55 Series de Fourier. 55 Forma Compleja de la Serie de Fourier La serie se puede escribir como O bie, f () c f () c + + (c c e e j ω + j ω + c e jω c e jω ) Es decir, f () c e jω

56 Series de Fourier. 56 Forma Compleja de la Serie de Fourier A la expresió obeida f () Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficiees c puede obeerse a parir de los coeficiees a, b como ya se dijo, o bie: T jω c T f ()e Para, ±, ±, ±3,... c e jω d

57 Series de Fourier. 57 Forma Compleja de la Serie de Fourier Los coeficiees c so úmeros complejos, y ambié se puede escribir e forma polar: c c e jφ Obviamee, c * c c e jφ Dode, Para odo, c a + b φ arca( b a ) Para, c es u úmero real: c a

58 Series de Fourier. 58 Forma Compleja de la Serie de Fourier Ejemplo. Ecorar la forma compleja de la serie de Fourier para la fució ya raada: f()... -T / T / T... - Solució. Como ya se calcularo los coeficiees de la forma rigoomérica (a y b ): a para odo y b [ ( ) ] para odo π

59 Series de Fourier. 59 Forma Compleja de la Serie de Fourier Podemos calcular los coeficiees c de: c [a jb ] j π [ ( ) ] c j π [ ( ) ] Eoces la Serie Compleja de Fourier queda f () π j( e j5ω + 3 e j3ω + e jω e jω 3 e j3ω 5 e j5ω...)

60 Series de Fourier. 6 Forma Compleja de la Serie de Fourier Solució. Tambié podemos calcular los coeficiees c mediae la iegral T ( T jω c T f ()e d T / T jω jω e d + T / e d) T ( jω e jω T / jω e jω o o T T / ) jω T [(e jω T / (e jω T e jω o ) T / )]

61 Series de Fourier. 6 Forma Compleja de la Serie de Fourier Como ω Tπ y además ± θ e j cosθ ± jseθ c jω o T [( ) ) ( ( ) )] j ω T o [ ( ) ] j [ ( π ) ] Lo cual coicide co el resulado ya obeido.

62 Series de Fourier. 6 Especros de Frecuecia Discrea A la gráfica de la magiud de los coeficiees c cora la frecuecia agular ω de la compoee correspodiee se le llama el especro de ampliud de f(). A la gráfica del águlo de fase φ de los coeficiees c cora ω, se le llama el especro de fase de f(). Como sólo oma valores eeros, la frecuecia agular ωω es ua variable discrea y los especros mecioados so gráficas discreas.

63 Series de Fourier. 63 Especros de Frecuecia Discrea Dada ua fució periódica f(), le correspode ua y sólo ua serie de Fourier, es decir, le correspode u cojuo úico de coeficiees c. Por ello, los coeficiees c especifica a f() e el domiio de la frecuecia de la misma maera que f() especifica la fució e el domiio del iempo.

64 Series de Fourier. 64 Especros de Frecuecia Discrea Ejemplo. Para la fució ya aalizada: f()... -T / T / T... - Se ecoró que c j π [ ( ) ] Por lo ao, c π [ ( ) ]

65 Series de Fourier. 65 Especros de Frecuecia Discrea El especro de ampliud se muesra a coiuació.7.6 Especro de Ampliud de f() C Frecuecia egaiva (?) Observació: El eje horizoal es u eje de frecuecia, (úmero de armóico múliplo de ω ). Frecuecia

66 Series de Fourier. 66 Poecia y Teorema de Parseval El promedio o valor medio de ua señal cualquiera f() e u periodo dado (T) se puede calcular como la alura de u recágulo que ega la misma área que el área bajo la curva de f() f() Area T f ()d AreaTh T halura promedio

67 Series de Fourier. 67 Poecia y Teorema de Parseval De acuerdo a lo aerior, si la fució periódica f() represea ua señal de volaje o corriee, la poecia promedio eregada a ua carga resisiva de ohm e u periodo esá dada por T / T [f ()] d T / Si f() es periódica, ambié lo será [f()] y el promedio e u periodo será el promedio e cualquier oro periodo.

68 Series de Fourier. 68 Poecia y Teorema de Parseval El eorema de Parseval os permie calcular la iegral de [f()] mediae los coeficiees complejos c de Fourier de la fució periódica f(): T / T [f ()] d c T / O bie, e érmios de los coeficiees a, b : T / + T [f ()] d 4 a (a + b ) T /

69 Series de Fourier. 69 Poecia y Teorema de Parseval Ua cosecuecia imporae del eorema de Parseval es el siguiee resulado: El valor cuadráico medio de ua fució periódica f() es igual a la suma de los valores cuadráicos medios de sus armóicos, es decir, T T / T / [f ()] d C Dode C es la ampliud del armóico -ésimo y C es la compoee de direca. + C

70 Series de Fourier. 7 Poecia y Teorema de Parseval Para aclarar el resulado aerior es coveiee ecorar la relació ere los coeficiees complejos c de la serie f () jω Y los coeficiees reales C de la serie f () C Dode C es la ampliud del armóico -ésimo y C es la compoee de direca. c e [ cos(ω θ ] + C )

71 Series de Fourier. 7 Poecia y Teorema de Parseval Por u lado C a + b, Mieras que Eoces, c c a + C b Por lo ao, c 4 C [ cos(ω θ )] Además, para el armóico Su valor rms es C /, por lo ao su valor cuadráico medio es / C Para la compoee de direca C, su valor rms es C, por lo ao su valor cuadráico medio será C. f () C

72 Series de Fourier. 7 Poecia y Teorema de Parseval Ejemplo. Calcular el valor cuadráico medio de la fució f(): f()... -T / T / T... Solució. - Del eorema de Parseval y del ejemplo aerior susiuyedo 8 π c c + T / T [f ()] d c T / [ ( ) ] π

73 Series de Fourier. 73 Poecia y Teorema de Parseval La serie umérica obeida coverge a Por lo ao, T / Como era de esperarse T [ f ()] d c (.337) π T /

74 Series de Fourier. 74 De la Serie a la Trasformada de Fourier La serie de Fourier os permie obeer ua represeació e el domiio de la frecuecia para fucioes periódicas f(). Es posible exeder de algua maera las series de Fourier para obeer el domiio de la frecuecia de fucioes o periódicas? Cosideremos la siguiee fució periodica de periodo T

75 Series de Fourier. 75 De la Serie a la Trasformada de Fourier Tre de pulsos de ampliud, acho p y periodo T: f() p... -T -T / T / T... -p / p / f () T p p < < < < < < p p T

76 Series de Fourier. 76 De la Serie a la Trasformada de Fourier Los coeficiees de la Serie Compleja de Fourier e ese caso resula puramee reales: c ( p T se(ω ) (ω El especro de frecuecia correspodiee lo obeemos (e ese caso) graficado c cora ωω. p ) p )

77 Series de Fourier. 77 De la Serie a la Trasformada de Fourier Especro del re de pulsos para p, T.6.4 c ww

78 Series de Fourier. 78 f() De la Serie a la Trasformada de Fourier Si el periodo del re de pulsos aumea:.5 p, T.5 f() p, T5.5 f() p, T f() p, T.5 - -

79 Series de Fourier. 79 De la Serie a la Trasformada de Fourier E el límie cuado T, la fució deja de ser periódica: f().5.5 p, T - - Qué pasa co los coeficiees de la serie de Fourier?

80 De la Serie a la Trasformada de Fourier.6 c.4. p, T p, T5-5 5 p, T -5 5 p, T -5 5 ωω Series de Fourier. 8

81 Series de Fourier. 8 De la Serie a la Trasformada de Fourier Si hace T muy grade (T ): El especro se vuelve coiuo!

82 Series de Fourier. 8 De la Serie a la Trasformada de Fourier El razoamieo aerior os lleva a recosiderar la expresió de ua fució f() o periódica e el domiio de la frecuecia, o como ua suma de armóicos de frecuecia ω, sio como ua fució coiua de la frecuecia ω. Así, la serie f () jω Al cambiar la variable discrea ω (cuado T ) por la variable coiua ω, se rasforma e ua iegral de la siguiee maera: c e

83 Series de Fourier. 83 De la Serie a la Trasformada de Fourier Como La serie queda O bie, T / jω c T f ()e T / f () f () π d T / T / cuado T, ω ω y ω dω y la sumaoria se coviere e f () T f ()e T / T / f ()e d jω e jω d ω jω e jω jω jω π f ()e d e d ω

84 Series de Fourier. 84 De la Serie a la Trasformada de Fourier Es decir, Dode f () F( ω) jω π F( ω)e d Ideidad ω de Fourier f ()e jω Esas expresioes os permie calcular la expresió F(ω) (domiio de la frecuecia) a parir de f() (domiio del iempo) y viceversa d Trasformada De Fourier

85 De la Serie a la Trasformada de Fourier Noació: A la fució F(ω) se le llama rasformada de Fourier de f() y se deoa por F, es decir F[f ()] E forma similar, a la expresió qu eos permie obeer f() a parir de F(w) se le llama rasformada iversa de Fourier y se deoa por F,es decir F [F( ω)] f () jω F( ω) f ()e d π F( ω)e jω dω Series de Fourier. 85

86 Series de Fourier. 86 De la Serie a la Trasformada de Fourier Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso recagular f() siguiee f() -p / p / Solució. La expresió e el domiio del iempo de la fució es f () p < < p < p < p

87 Series de Fourier. 87 De la Serie a la Trasformada de Fourier F( ω) f ()e jω d p / e jω d Iegrado jω jω e p / p / p / (e Usado la fórmula de Euler e jωp / jωp / jω Obsérvese que el resulado es igual al obeido para c cuado T, pero muliplicado por T. ) F( ω) se( ωp / ) p ωp /

88 Series de Fourier. 88 De la Serie a la Trasformada de Fourier E forma Gráfica F(w) F(w) co p w

89 Series de Fourier. 89 La Trasformada Rápida de Fourier Cuado la fució f() esá dada por ua lisa de N valores f( ), f( ),...f( N ) se dice que esá discreizada o muesreada, eoces la iegral que defie la Trasformada de Fourier: F( ω) Se coviere e la sumaoria F() N f ( k k )e (Dode k es la frecuecia discrea) Llamada Trasformada Discrea de Fourier j π f ()e (k ) jω d N, para N

90 Series de Fourier. 9 La Trasformada Rápida de Fourier La Trasformada Discrea de Fourier (DFT) requiere el cálculo de N fucioes expoeciales para obeer F(), lo cual resula u esfuerzo de cálculo eorme para N grade. Se ha desarrollado méodos que permie ahorrar cálculos y evaluar de maera rápida la Trasformada discrea, a esos méodos se les llama Trasformada Rápida de Fourier (FFT)

91 Series de Fourier. 9 La FFT y la Serie de Fourier Podemos hacer uso de la FFT para calcular los coeficiees c y c - de la Serie compleja de Fourier como sigue: Ejemplo: Sea f() el re de pulsos de acho p y periodo T. f() p... -T -T / T / T... -p / p /

92 Series de Fourier. 9 La FFT y la Serie de Fourier La versió muesreada f(k) de f() sólo puede omar u úmero fiio de puos. Tomemos por ejemplo N3 puos cuidado que cubra el iervalo de a T (co p, T):.5 3 muesras de f(), de a T f(k).5 k

93 Series de Fourier. 93 La FFT y la Serie de Fourier.6 F().4 Especro de Ampliud F() Para el re de pulsos p, T. 3 Si deseamos ua escala horizoal e uidades de frecuecia (rad/seg):

94 Series de Fourier. 94 La FFT y la Serie de Fourier Tambié podemos obeer los coeficiees de la forma rigoomérica, recordado que: c (a jb ), c (a + jb ) Podemos obeer a c, a Re(c ), b Im(c ) Para el ejemplo se obiee: a.5, a b (para par), además para impar: a b

95 Series de Fourier. 95 La FFT y la Serie de Fourier Como el re de pulsos es ua fució par, se esperaba que b ; (el resulado obeido es erróeo para b, pero el error dismiuye para N grade):.5 a Coeficiees b Coeficiees a -.5 3

96 Series de Fourier. 96 Medidores Digiales La FFT ha hecho posible el desarrollo de equipo elecróico digial co la capacidad de cálculo de especros de frecuecia para señales del mudo real, por ejemplo: ) Osciloscopio digial Fuke 3 ($ 8,6. M.N.) ) Osc. digial Tekroix THS7P ($3,796 dls) 3) Power Plaform PP-43

97 Series de Fourier. 97 Medidores Digiales El Fluke 3 scope meer

98 Series de Fourier. 98 Medidores Digiales Tekroix THS7P (osciloscopio digial)

99 Series de Fourier. 99 Medidores Digiales Aalizador de poecia PP-43 Es u equipo especializado e moioreo de la calidad de la eergía: permie medició de 4 señales simuláeas (para sisemas rifásicos)

100 Series de Fourier.

101 Series de Fourier.

102 Series de Fourier.

Circuitos Eléctricos II Series de Fourier

Circuitos Eléctricos II Series de Fourier Circuios Elécricos II Series de Fourier Coeido. Fucioes Periódicas. Serie rigoomérica de Fourier 3. Compoee de direca, fudameal y armóicos 4. Orogoalidad de las fucioes seo y coseo 5. Cálculo de los coeficiees

Más detalles

Fourier. Series de Fourier

Fourier. Series de Fourier Series de Fourier. Fucioes Periódicas oeido. Serie rigoomérica de Fourier 3. ompoee de direca, fudameal y armóicos 4. Orogoalidad de las fucioes seo y coseo 5. álculo de los coeficiees de la Serie de Fourier

Más detalles

ANÁLISIS DE FOURIER. m(el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función arbitraria f (t) en una serie infinita de la forma

ANÁLISIS DE FOURIER. m(el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función arbitraria f (t) en una serie infinita de la forma CAPÍULO RES ANÁLISIS DE FOURIER IEMPO CONINUO Iroducció La represeació de la señal de erada a u sisema (eediedo como sisema u cojuo de elemeos o bloques fucioales coecados para alcazar u objeivo deseado)

Más detalles

SEÑALES Y SISTEMAS CAPÍTULO UNO. 1.1 Introducción

SEÑALES Y SISTEMAS CAPÍTULO UNO. 1.1 Introducción CAPÍTULO UNO SEÑALES Y SISTEMAS. Iroducció Los cocepos de señales y sisemas surge e ua gra variedad de campos y las ideas y écicas asociadas co esos cocepos juega u papel imporae e áreas a diversas de

Más detalles

José Morón SEÑALES Y SISTEMAS

José Morón SEÑALES Y SISTEMAS SEÑALES Y SISTEMAS José Moró SEÑALES Y SISTEMAS Uiversidad Rafael Urdaea Auoridades Recorales Dr. Jesús Esparza Bracho, Recor Ig. Maulio Rodríguez, Vicerrecor Académico Ig. Salvador Code, Secreario Lic.

Más detalles

TRANSFORMADA z Y DE FOURIER

TRANSFORMADA z Y DE FOURIER Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales OBJEIVOS: RANSFORMADA Y DE FOURIER - Expoer los cocepos de fucioes discreas e cuao a la visió del proceso de raamieo de señales que pare

Más detalles

MATEMÁTICAS. Posgrado en Nanotecnología. Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano 2016 Departamento de Física

MATEMÁTICAS. Posgrado en Nanotecnología. Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano 2016 Departamento de Física MAEMÁICAS Posgrado e Naoecología Dr. Robero Pedro Duare Zamorao 16 Deparameo de Física EMARIO. Series de Fourier 1. Iroducció.. Desarrollo de Fourier. 3. Expasioes de Fourier de medio rago. Iroducció.

Más detalles

Capítulo 1 Introducción a la Electrónica de Potencia. 1. Introducción a la Electrónica de Potencia. 1.1 Clasificación de los Convertidores

Capítulo 1 Introducción a la Electrónica de Potencia. 1. Introducción a la Electrónica de Potencia. 1.1 Clasificación de los Convertidores Capíulo Iroducció a la Elecróica de oecia. Iroducció a la Elecróica de oecia. Clasificació de los Coeridores Como su ombre lo idica su fució es coerir ua fuee de ua esió y frecuecia dada a ora de diferees

Más detalles

PRONÓSTICOS. Tema Nº 2 FACILITADOR LIC. ESP. MIGUEL OLIVEROS

PRONÓSTICOS. Tema Nº 2 FACILITADOR LIC. ESP. MIGUEL OLIVEROS UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN Y CONTADURÍA PUBLICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS ADMINISTRACIÓN DE LA PRODUCCIÓN Y LAS OPERACIONES

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIALES

FUNCIONES EXPONENCIALES 1 FUNCIONES EXPONENCIALES Las fucioes epoeciales iee muchas aplicacioes, e especial ellas describe el crecimieo de muchas caidades de la vida real. Defiició.-La fució co domiio odos los reales y defiida

Más detalles

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Circuio y Siema Diámico (3º IIND) Tema 2 A TRANSFORMADA DE APACE Curo 23/24 Tema 2: a Traformada de aplace 2. Iroducció: de dóde veimo y a dóde vamo 2.2 Defiició de la raformada de aplace 2.3 Traformada

Más detalles

SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO

SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO CAPÍTULO DOS SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO. Iroducció E ese capíulo se iroduce y discue varias propiedades básicas de los sisemas. Dos de ellas, la liealidad y la ivariabilidad e el iempo,

Más detalles

Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES José Maía Maíe Mediao Tema DGONLZCÓN DE MTRCES oducció Poecia de ua mai Sea Supogamos que se desea calcula : 7 7 8 8 Deemia ua egla paa o esula imediao Compobemos, aes de segui adelae, que MDM, siedo M

Más detalles

Tema 2 Señales y espectros.

Tema 2 Señales y espectros. ema Señales y especros. El esudio de las señales y sus especros es u aspeco fudameal e el campo de las comuicacioes. Ua señal se defie como cualquier sigo, geso, marca, ecéera, que sirve para comuicar

Más detalles

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

DETERMINANTES II. Solución. 2. Calcula, aplicando la regla de Sarrus, el siguiente determinante: A = Solución

DETERMINANTES II. Solución. 2. Calcula, aplicando la regla de Sarrus, el siguiente determinante: A = Solución DETERMINNTES II 1 0 4-1 1. Halla los deermiaes de las siguiees marices: = B = 5-1 05 B 4 1 1 10-1 0. Calcula, aplicado la regla de Sarrus, el siguiee deermiae: = 0 0 1-6 -1 0 1 0 0 0 1 00 11 6 00 1 0 0

Más detalles

Sistemas. Matrices y Determinantes 1.- Si A y B son matrices ortogonales del mismo orden:

Sistemas. Matrices y Determinantes 1.- Si A y B son matrices ortogonales del mismo orden: Sisemas. Marices y Deermiaes.- Si y B so marices orogoales del mismo orde: a) 2 b) B c) B 2.- Dadas dos marices iversibles y B NO se verifica e geeral que: a) ( ) ( ) b) ( B) B c) 3.- Dadas las marices

Más detalles

CAPÍTULO I CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

CAPÍTULO I CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA APÍTULO UTOS EN EL DOMNO DE LA FEUENA.. SSTEMAS LNEALES NAANTES roducció U iema lieal ivariae e repreea uualmee mediae u bloque e el que e muera ao la exciació como la repuea Exciació x () Siema lieal

Más detalles

Clasificación de señales. Clasificación de señales. Clasificación de señales. Vectores

Clasificación de señales. Clasificación de señales. Clasificación de señales. Vectores Clasificació de señales Señales de Eergía y Señales de Pecia Señal de Eergía: Señal e fra de puls que ralee exise sól durae u ierval fii de iep, al es la ayr pare de su eergía se ecuera ccerada e u ierval

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

Solución. Al sistema lo definen dos matrices, A la matriz de coeficientes y A la matriz ampliada. A A A A

Solución. Al sistema lo definen dos matrices, A la matriz de coeficientes y A la matriz ampliada. A A A A . Resolver Solució. l sisema lo defie dos marices la mari de coeficiees la mari ampliada. rg ' rg ' ' Rago de (méodo de ramer) S..D. rg ' rg. Resolver Solució. l sisema lo defie dos marices la mari de

Más detalles

Apuntes Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214

Apuntes Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214 Uiversidad de Cocepció Faculad de Igeiería Depo. de Igeiería Elécrica Apues Sisemas Lieales Diámicos - 543 4. f () = si(5) f (kt) = f (kt) f () = si() kt -..5..5. 4 ava edició Prof. José R. Espioza C.

Más detalles

CAPÍTULO 1 CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.

CAPÍTULO 1 CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. APÍTULO UTOS EN EL DOMNO DE LA FEUENA... SSTEMAS LNEALES NAANTES. roducció. U iema lieal ivariae e repreea uualmee mediae u bloque e el que e muera ao la exciació como la repuea Exciació x ( Siema lieal

Más detalles

4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES

4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES 4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES Dr. hp://mah.uprm.edu/~edgar UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ 4. Variables Aleaorias Ua variable aleaoria es ua fucio que asume sus

Más detalles

Curvas MOISES VILLENA

Curvas MOISES VILLENA 6 6.1. 6.. 6.. 6.4. 6.1. FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL 6.1.1 DOMINIO 6.1. LIMITE 6.1. CONTINUIDAD 6.. TRAYECTORIA (CAMINO) 6.. GRAFICA. DEFINICIÓN 6.4. TRAZA 6.5. CURVA 6.6. DERIVADA 6.7. CONCEPTOS

Más detalles

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO PREPARATORIA AGRÍCOLA ÁREA DE MATEMÁTICAS CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES f : R R ( ) h p AUTOR Vícor Rafael Valdovios Chávez Ooño de AUTOR Vícor Rafael Valdovios

Más detalles

FUNCIONES ACTUARIALES COMO VARIABLES ALEATORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA Por Oscar Aranda Martínez Nadia Araceli Castillo García Abril 2010

FUNCIONES ACTUARIALES COMO VARIABLES ALEATORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA Por Oscar Aranda Martínez Nadia Araceli Castillo García Abril 2010 FUNCIONES ACUARIALES COMO VARIABLES ALEAORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA Por Oscar Arada Maríez Nadia Araceli Casillo García Abril E ese primer documeo se presea el ueo efoque del cálculo acuarial, e dode las

Más detalles

Material didáctico. Bibliografía básica. Aula global

Material didáctico. Bibliografía básica.   Aula global Fracisco J. Gozález, UC3M Maerial didácico Bibliografía básica Señales y Sisemas Ala V. Oppeheim, Ala S. Willsky, S. Hamid Nawab, ª edició (998) Preice Hall; ISBN: 97897764 Circuios Elécricos, James W.

Más detalles

Diseño y desarrollo de un Software para el análisis y procesamiento de señales de voz

Diseño y desarrollo de un Software para el análisis y procesamiento de señales de voz Diseño y desarrollo de u Sofware para el aálisis y procesamieo de señales de voz. Laforcada *, D. Miloe, C. Maríez,. Rufier Laboraorio de Ciberéica, Deparameo de Bioigeiería, Faculad de Igeiería, Uiversidad

Más detalles

Figura 1. Figura 2. Para realizar este análisis asumiremos las siguientes condiciones:

Figura 1. Figura 2. Para realizar este análisis asumiremos las siguientes condiciones: Coverdor PUH PU El coverdor Push Pull es u coverdor que hace uso de u rasformador para eer aslameo ere la esó de erada y la esó de salda. Posee además ua ducaca magezae propa del rasformador que como al

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO POSGRADO EN ECONOMIA UNAM FACULTAD DE ECONOMÍA ECONOMETRIA. Proceso Estocástico. Mtro. Horacio Catalán Alonso

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO POSGRADO EN ECONOMIA UNAM FACULTAD DE ECONOMÍA ECONOMETRIA. Proceso Estocástico. Mtro. Horacio Catalán Alonso UNIVERSIDAD NACIONAL AUÓNOMA DE MÉXICO POSGRADO EN ECONOMIA UNAM FACULAD DE ECONOMÍA ECONOMERIA Proceso Esocásico Mro. Horacio Caalá Aloso Proceso esocásico Defiició.- U Proceso Esocásico (PE es ua secuecia

Más detalles

2. MATRICES Y DETERMINANTES

2. MATRICES Y DETERMINANTES Marices y Deermiaes 2. MTRICES Y DETERMINNTES SUMRIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRIC 1.- Marices. 2.- Operacioes co Marices. 3.- Equivalecia de Marices. Trasformacioes Elemeales de Marices.

Más detalles

Regresión Lineal Simple

Regresión Lineal Simple REGRESIÓN LINEAL Regresió Lieal Simple Plaeamieo El comporamieo de ua magiud ecoómica puede ser explicada a ravés de ora F( Si se cosidera que la relació puede ser de ipo lieal, la formalizació vedría

Más detalles

Capítulo 2. Operadores

Capítulo 2. Operadores Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática

Más detalles

Señales y sistemas I. Capítulo I: Representación de señales y sistemas

Señales y sistemas I. Capítulo I: Representación de señales y sistemas Señales y sisemas I Capíulo I: Represeació de señales y sisemas Profesor de caedra: Nésor Becerra Yoma Agradecimieos: Profesor Marcos Orchard Cocha (espacios de Hilber) Erique Guerrero Merio EL3005 Señales

Más detalles

LECCIÓN N 3 SEÑALES. Introducción

LECCIÓN N 3 SEÑALES. Introducción LECCIÓN N 3 SEÑALES Inroducción Señales coninuas y discreas Señales ípicas Señales periódicas y aperiódicas Parámeros ípicos. Especro de frecuencias Ruido y disorsión Elecrónica General Inroducción En

Más detalles

EJERCICIOS DE MATRICES

EJERCICIOS DE MATRICES EJERCICIOS DE MTRICES RNGO DE UN MTRIZ 4. Calcula el rago de la mariz 4 0 0 0 Obeer ua mariz escaloada por filas Se puede cambiar el orde de las filas de la mariz: F F4 0 0 0 0 0 0 F F 4F 4 F 4 F F 0 F

Más detalles

Universidad Carlos III de Madrid

Universidad Carlos III de Madrid Uiversidad Carlos III de Madrid. El mudo físico: represeació co señales y sisemas Señales: Fucioes co las que represeamos variacioes de ua magiud física Volaje, iesidad, fuerza, emperaura, posició r ()

Más detalles

CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO. A lo largo de este capítulo se explican los conceptos básicos que se debieron tener y

CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO. A lo largo de este capítulo se explican los conceptos básicos que se debieron tener y Capíulo 3 Marco eórico CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO A lo largo de ese capíulo se explica los cocepos básicos que se debiero eer y cosiderar para la elaboració de la clasificació de maerias primas, los modelos

Más detalles

Página 1 de 34. FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filtro Kalman INTRODUCCION

Página 1 de 34. FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filtro Kalman INTRODUCCION Págia de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma INTRODUCCION El cocepo de filro adapaivo, sugiere el de u disposiivo que iea modelizar la relació ere señales e iempo real

Más detalles

Séptima clase. Señales exponenciales. Periodicidad en tiempo continuo y en tiempo discreto

Séptima clase. Señales exponenciales. Periodicidad en tiempo continuo y en tiempo discreto Uiversidad Disrial Fracisco José de Caldas - álisis de Señales y Sisemas - Marco. lzae Sépima clase. Señales expoeciales. Periodicidad e iempo coiuo y e iempo discreo E la auraleza so comues los sisemas

Más detalles

OSCILACIONES AMORTIGUADAS. PENDULO DE POHL

OSCILACIONES AMORTIGUADAS. PENDULO DE POHL OSCILACIONES AMORTIGUADAS. PENDULO DE POHL.- INTRODUCCION TEÓRICA El Pédulo de Pohl de la figura permie esudiar las oscilacioes libres, amoriguadas y forzadas de baja frecuecia producidas mediae u pédulo

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)

Más detalles

Decimocuarta clase. Respuesta al impulso y convolución

Decimocuarta clase. Respuesta al impulso y convolución Uiversidad Disrial Fracisco José de Caldas - Aálisis de Señales y Sisemas - Marco A. Alzae Decimocuara clase. Respuesa al impulso y covolució E esa clase repasamos y esedemos la clase 3, ya que se raó

Más detalles

Figura 9.1: Respuesta típica al escalón unitario de un sistema de control. Análisis de Sistemas Lineales 95 Ing. Eduardo Interiano

Figura 9.1: Respuesta típica al escalón unitario de un sistema de control. Análisis de Sistemas Lineales 95 Ing. Eduardo Interiano (VSHFLILFDFLRQHVHQHOGRPLQLRGHOWLHPSR E capítulos ateriores se ha estudiado la respuesta de estado estable de los sistemas lieales ( cuado tæ ), estudiaremos ahora la respuesta trasitoria. La respuesta

Más detalles

Precálculo Quinta edición Matemáticas para el cálculo

Precálculo Quinta edición Matemáticas para el cálculo Precálculo Quia edició Maemáicas para el cálculo Límies JAMES STEWART, LOTHAR REDLIN, SALEEMWATSON Pag. 88-94 . Cocepo iuiivo de ie de ua fució. Limies Esquema del capiulo E ese capiulo se esudia la idea

Más detalles

Construcción de señales usando escalones y rampas

Construcción de señales usando escalones y rampas Consrucción de señales usando escalones y rampas J. I. Huircán Universidad de La Fronera March 3, 24 bsrac Se planean méodos para componer y descomponer señales basadas en escalones y rampas. Se de ne

Más detalles

Resolución numérica de problemas de valor inicial (versión preliminar)

Resolución numérica de problemas de valor inicial (versión preliminar) (versió prelimiar) Cocepos iiciales.- Sea la ecuació diferecial de primer orde co las codició iicial x = f(,x) x( 0 ) = x 0 Para resolverla uméricamee será ecesario previamee comprobar si hay solució y

Más detalles

El siguiente tema sugerido para tratar en clases es el método de integración por partes veamos de donde surge y algunos ejemplos propuestos

El siguiente tema sugerido para tratar en clases es el método de integración por partes veamos de donde surge y algunos ejemplos propuestos Méodos y écicas de iegració El siguiee ema sugerido para raar e clases es el méodo de iegració por pares veamos de dode surge y alguos ejemplos propuesos ( º ) Méodo de Iegració por pares:. dv u. v u =

Más detalles

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a) Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio

Más detalles

CONVERSORES D/A Y A/D

CONVERSORES D/A Y A/D Uiversidad Nacioal de osario Faculad de iecias Exacas, Igeiería y Agrimesura Escuela de Igeiería Elecróica eparameo de Elecróica ELETÓNIA III ONVESOES /A Y A/ Federico Miyara A / 11010110 00001011 11000110

Más detalles

CONTROL DE ASISTENCIA A EXAMEN

CONTROL DE ASISTENCIA A EXAMEN Uiversidad de Las Palmas de Gra Caaria Escuela Técica Superior de Igeieros de Telecomuicació Teoría de la Señal - Eame Covocaoria Ordiaria: 3 de febrero de 2009 CONTROL DE ASISTENCIA A EXAMEN La firma

Más detalles

TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1.- INTRODUCCIÓN

TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1.- INTRODUCCIÓN TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1- INTRODUCCIÓN Llamamos capializació compuesa a la ley fiaciera segú la cual los iereses producidos por u capial e cada periodo se agrega al capial para calcular los iereses

Más detalles

Qué es la Cinética Química?

Qué es la Cinética Química? Tema 4. La velocidad de Cambio Químico I. Velocidad de reacció.. Ecuació de velocidad y orde de reacció. 3. álisis de los daos ciéicos: ecuacioes iegradas de ciéicas secillas. 4. Ciéicas complejas.. Velocidad

Más detalles

ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS COCOS. (Resolución por JMEB.)

ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS COCOS. (Resolución por JMEB.) ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS OOS. (Resolució por JMEB.) 1. Defiició. El problema cosiste e calcular la catidad de cocos que había iicialmete e u motó que... ierto día se reuiero moos para recoger

Más detalles

Métodos Numéricos - cap. 7. Ecuaciones Diferenciales PVI 1/8

Métodos Numéricos - cap. 7. Ecuaciones Diferenciales PVI 1/8 Méodos Numéricos - cap. 7. Ecuacioes Difereciales PVI /8 Ecuacioes Difereciales Ordiarias (EDO Ua Ecuació Diferecial es aquella ecuació que coiee difereciales o derivadas de ua o más fucioes. Ua Ecuació

Más detalles

ESTADÍSTICA II SOLUCIÓN-PRÁCTICA 7: SERIES DE TIEMPO EJERCICIO 1 (NOVALES 2.1)

ESTADÍSTICA II SOLUCIÓN-PRÁCTICA 7: SERIES DE TIEMPO EJERCICIO 1 (NOVALES 2.1) ESTADÍSTICA II SOLUCIÓN-PRÁCTICA 7: SERIES DE TIEMPO EJERCICIO (NOVALES.) Cosideremos P P e g. Dado que dicha fució es coiua y que exise y so coiuas las derivadas de odos los órdees, podemos aplicar Taylor

Más detalles

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS APLICANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS APLICANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE A.4. TEORÍA DE CIRCUITOS I CAPÍTUO RESOUCIÓN DE CIRCUITOS APICANDO TRANSFORMADA DE APACE Cáedra de Teoría de Circuio I Edició 03 RESOUCION DE CIRCUITOS APICANDO TRANSFORMADA DE APACE.. Iroducció El cálculo

Más detalles

Instituto Tecnológico de San Luís Potosí

Instituto Tecnológico de San Luís Potosí Isiuo ecológico de Sa Luís Poosí Cero de elecomuicacioes eleproceso y Redes de Compuadoras Señales Elécricas Fís. Jorge Humbero Olivares Vázquez Cero de elecomuicacioes Eero 7 Isiuo ecológico de Sa Luís

Más detalles

ANEXO I ANEXO I CONCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS

ANEXO I ANEXO I CONCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS AEXO I COCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS E este aeo se compila alguos de los coceptos sísmicos básicos pero ecesarios. Se itroduce los tipos de movimietos vibratorios, así como su descripció y otació matemática.

Más detalles

Tema 8B El análisis fundamental y la valoración de títulos

Tema 8B El análisis fundamental y la valoración de títulos PARTE III: Decisioes fiacieras y mercado de capiales Tema 8B El aálisis fudameal y la valoració de íulos 8B.1 Iroducció. 8B.2 El aálisis fudameal y la valoració de íulos. 8B.3 Modelos para la valoració

Más detalles

CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS

CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS Dada la dependencia de la velocidad con la posición en un movimieno recilíneo mosrada por la siguiene gráfica, deerminar la dependencia con

Más detalles

TEMA 10. La autofinanciación o financiación interna de la empresa

TEMA 10. La autofinanciación o financiación interna de la empresa Iroducció a las Fiazas TEM La auofiaciació o fiaciació iera de la empresa La fiaciació iera y sus compoees La auofiaciació esá formada por los recursos fiacieros que afluye a la empresa desde ella misma

Más detalles

PROPUESTA A. b ) Coordenadas de los máximos y mínimos relativos de f(x). dx. b )

PROPUESTA A. b ) Coordenadas de los máximos y mínimos relativos de f(x). dx. b ) ES CSTELR DJOZ Eame Juio de (Geeral) Euciado oio Megiao Corbacho PRUE DE CCESO (LOGSE) UNVERSDD DE CSTLL L MNCH JUNO (GENERL) MTEMÁTCS Tiempo máimo: horas miuos Elija ua de las dos opcioes, o, coese a

Más detalles

Gradiente, divergencia y rotacional

Gradiente, divergencia y rotacional Lecció 2 Gradiete, divergecia y rotacioal 2.1. Gradiete de u campo escalar Campos escalares. U campo escalar e R es ua fució f : Ω R, dode Ω es u subcojuto de R. Usualmete Ω será u cojuto abierto. Para

Más detalles

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS Curso Preparació y Evaluació Social de Proyectos Sistema Nacioal de Iversioes Divisió de Evaluació Social de Iversioes MINISTERIO DE DESARROLLO SOCIAL

Más detalles

EXAMEN FINAL DE METODOS NUMERICOS (MB536)

EXAMEN FINAL DE METODOS NUMERICOS (MB536) UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. 7- FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA //7 EXAMEN FINAL DE METODOS NUMERICOS (MB36) SOLO SE PERMITE EL USO DE UNA HOJA DE FORMULARIO Y CALCULADORA CIENTIFICA ESCRIBA

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

Energía mecánica y Caída Libre y lanzamiento vertical hacia arriba

Energía mecánica y Caída Libre y lanzamiento vertical hacia arriba Soluciones Energía mecánica y Caída Libre y lanzamiento vertical hacia arriba Si no se dice otra cosa, no debe considerarse el efecto del roce con el aire. 1.- Un objeto de masa m cae libremente de cierta

Más detalles

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos

Más detalles

Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros

Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros Tema 3. Series de Fourier. Aálisis de Espectros Idice: Series de Fourier Serie Trigoométrica de Fourier Aálisis gráfico. Primeras compoetes de frecuecia Ejemplo Serie de Fourier e forma de Expoeciales

Más detalles

SOLUCIONES RACIONALES DE LA ECUACIÓN X Y = Y X

SOLUCIONES RACIONALES DE LA ECUACIÓN X Y = Y X SOLUCIONES RACIONALES DE LA ECUACIÓN X Y = Y X Jorge E. Heráez, Eih C. e Heráez Uiversia e Paamá, Cero Regioal Uiversiario De Veraguas, Deparameo e Maemáica. RESUMEN E el presee rabajo esuiamos la ecuació

Más detalles

SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL

SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL SISTEMAS DE COORDENADAS En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc.,

Más detalles

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009 1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN APUNTES CURSO: ALGEBRA SUPERIOR INGENIERIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Medoza Primavera 2009 2

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central EYP14 Estadística para Costrucció Civil 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los

Más detalles

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 375 REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 376 Revisió de alguos idicadores para medir desigualdad Medidas de Desigualdad Para medir el grado de desigualdad e la

Más detalles

La Serie de Fourier Trigonométrica

La Serie de Fourier Trigonométrica La Serie de Fourier Trigoomérica Dr. Luis Javier Morales Medoza FIEC Uiversidad Veracruzaa Poza Rica Tuxpa Ídice 5.. Iroducció 5.. La serie rigoomérica de Fourier 5.3. Relació ere los coeiciees de Fourier

Más detalles

Procesado digital de imagen y sonido

Procesado digital de imagen y sonido ema a zabal zazu Uiversidad del País Vasco Deparameo de Arquiecura Tecología de Compuadores upv ehu Tema 3_ Sisemas Procesado digial de image soido Defiició Descripció: Erada Salida Diagramas de bloques

Más detalles

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS. Prof. J.L.Cotto

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS. Prof. J.L.Cotto UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MAEC 2140: Méodos Cuaiaivos Prof. J.L.Coo DISCUSION Y EJEMPLOS SOBRE EL TEMA FUNCIONES EXPONENCIALS El valor del diero

Más detalles

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de

Más detalles

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento.

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento. UNIDAD Nº 2 Leyes fiacieras: Iterés simple. Iterés compuesto. Descueto. 2.1 La Capitalizació simple o Iterés simple 2.1.1.- Cocepto de Capitalizació simple Es la Ley fiaciera segú la cual los itereses

Más detalles

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

Transformación de gráfica de funciones

Transformación de gráfica de funciones Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

MATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito.

MATEMÁTICAS 1214, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES. 1. Para cada sucesión infinita abajo, determine si converge o no a un valor finito. MATEMÁTICAS 24, PARCIAL 3 PROBLEMAS PARA PRACTICAR SOLUCIONES JOHN GOODRICK. Para cada sucesió ifiita abajo, determie si coverge o o a u valor fiito. (a) {! } e = (a): No coverge. El úmero e está etre

Más detalles

PLANEACIÓN Y CONTROL DE LA PRODUCCIÓN

PLANEACIÓN Y CONTROL DE LA PRODUCCIÓN PLANEACIÓN Y CONTROL E LA PROUCCIÓN GRUPO: 0 M. I. Silvia Herádez García M. I. Susaa Casy Téllez Balleseros TEMARIO: I. Iroducció. II. Programació y corol de la producció. III. Balaceo de líea. IV. Sisemas

Más detalles

XXVI CONGRESO NACIONAL DE ACTUARIOS. El Margen de Riesgo. Solvencia II. México. Por: Pedro Aguilar B. Septiembre 2013

XXVI CONGRESO NACIONAL DE ACTUARIOS. El Margen de Riesgo. Solvencia II. México. Por: Pedro Aguilar B. Septiembre 2013 El Marge de Riesgo México Por: Pedro Aguilar B. paguilar@csf.gob.mx paguilar@ifiium.com.mx Sepiembre 2013 Coeido 1. Aspecos Geerales sobre Marge de Riesgo 2. La Problemáica 3. Plaeamieo de ua Posible Solució

Más detalles

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato.

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato. UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Tema Poliomios y otras eresioes algebraicas Estos cocetos está etraídos del libro Matemáticas de achillerato McGrawHill Poliomios: oeracioes co oliomios

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37 página 38 SUMA DE FRACCIONES CONCEPTO Las cuatro operaciones fundamentales, suma, resta, multiplicación y división, con fracciones algebraicas se realizan bajo

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 7: Funciones elementales

ACTIVIDADES UNIDAD 7: Funciones elementales ACTIVIDADES UNIDAD 7: Funciones elemenales 1. La facura del gas de una familia, en sepiembre, fue de 4,8 euros por 1 m 3, y en ocubre, de 43,81 por 4 m 3. a) Escribe la función que da el impore de la facura

Más detalles

CURSO CONVOCATORIA:

CURSO CONVOCATORIA: PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 6-7 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, dero de ella, sólo debe respoder (como

Más detalles

Ingeniería del Software I Clase de Testing Funcional 2do. Cuatrimestre de 2007

Ingeniería del Software I Clase de Testing Funcional 2do. Cuatrimestre de 2007 Enunciado Se desea efectuar el testing funcional de un programa que ejecuta transferencias entre cuentas bancarias. El programa recibe como parámetros la cuenta de origen, la de cuenta de destino y el

Más detalles

i 1,2,..., m (filas) j 1,2,..., n (columnas) t

i 1,2,..., m (filas) j 1,2,..., n (columnas) t MTRICES Y DETERMINNTES Cocepos básicos Deermiaes Mariz iversa CONCEPTOS BÁSICOS MTRIZ de m filas y columas: a11 a12 a1 a21 a22 a 2 am1 am2 am i1,2,..., m (filas) Se represea por a j 1,2,..., (columas)

Más detalles

1. Diagramas Frecuenciales Respuesta en Frecuencia 2

1. Diagramas Frecuenciales Respuesta en Frecuencia 2 04 a Diagramas Frecueciales.doc 1 1. Diagramas Frecueciales 1. Diagramas Frecueciales 1 1.1.1. Respuesta e Frecuecia 1.. Presetació de la Respuesta e Frecuecia - Diagramas de Bode 8 1..1. Caso Particular:

Más detalles