Series de Fourier. 1. Tratamiento Digital de Señal. Series de Fourier
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- Pascual Méndez Duarte
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1 Series de Fourier. Traamieo Digial de Señal. Series de Fourier
2 Series de Fourier. Preámbulo El aálisis de Fourier fue iroducido e 8 e la Théorie aalyiique de la chaleur para raar la solució de problemas de valores e la froera e la coducció del calor. Más de siglo y medio después las aplicacioes de esa eoría so varios: Sisemas Lieales, Comuicacioes, Física modera, Elecróica, Ópica, Redes Elécricas. Eso es u meodo maemaico y e uesro caso la oda se raa como u gra umero de fuees puuale.
3 Series de Fourier. 3 Fucioes Periódicas Ua Fució Periódica f() cumple la siguiee propiedad para odo valor de. f()f(+t) A la cosae míima para la cual se cumple lo aerior se le llama el periodo de la fució Repiiedo la propiedad se puede obeer: f()f(+t), dode,±, ±, ±3,...
4 Series de Fourier. 4 Fucioes Periódicas Ejemplo: Cuál es el período de la fució f() cos( ) + 3 cos( 4)?
5 Series de Fourier. 5 Fucioes Periódicas Ejemplo: Cuál es el período de la fució f() cos( ) + 3 cos( 4)? Solució.- Si f() es periódica se debe cumplir: + T + T f( + T) cos( 3 ) + cos( 4 ) f() cos( ) + 3 cos( 4) Pero como se sabe cos(x+kπ)cos(x) para cualquier eero k, eoces para que se cumpla la igualdad se requiere que T/3k π, T/4k π Es decir, T 6k π 8k π Dode k y k so eeros, El valor míimo de T se obiee co k 4, k 3, es decir,t4π
6 Series de Fourier. 6 Fucioes Periódicas Gráfica de la fució f() cos( ) + cos( ) T f()cos(/3)+cos(/4) f() - - 4π
7 Series de Fourier. 7 Fucioes Periódicas Podríamos pesar que cualquier suma de fucioes seo y coseo produce ua fució periódica. Eso o es así, por ejemplo, cosideremos la fució f() cos(ω )+cos(ω ). Para que sea periódica se requiere ecorar dos eeros m, ales que ω T πm, ω Tπ De dode ω ω Es decir, la relació ω / ω debe ser u úmero racioal. m
8 Series de Fourier. 8 Fucioes Periódicas Ejemplo: la fució cos(3)+cos(π+3) o es periódica, ya que ω 3 o es u úmero racioal. ω 3 + π f()cos(3)+cos((3+pi)) f()
9 Series de Fourier. 9 Serie Trigoomérica de Fourier Alguas fucioes periódicas f() de periodo T puede expresarse por la siguiee serie, llamada Serie Trigoomérica de Fourier f() ½ a + a cos(ω )+a cos(ω )+... Dode ω π/t. Es decir, f () a + + b se(ω )+b se(ω )+... [a cos(ω ) + b se(ω )]
10 Series de Fourier. Serie Trigoomérica de Fourier Es posible escribir de ua maera ligeramee diferee la Serie de Fourier, si observamos que el érmio a cos(ω )+b se(ω ) se puede escribir como a b a + ω + se(ω ) b cos( ) a + b a + b Podemos ecorar ua maera más compaca para expresar esos coeficiees pesado e u riágulo recágulo:
11 Series de Fourier. Serie Trigoomérica de Fourier b θ a C a + b Co lo cual la expresió queda a a a b + + b b cosθ seθ [ cos θ cos(ω ) + seθ se(ω ) ] C C [ cos(ω θ )]
12 Series de Fourier. Serie Trigoomérica de Fourier Si además defiimos C a /, la serie de Fourier se puede escribir como f () C [ cos(ω θ ] + C ) Así, C a + b y θ a b a
13 Compoees y armóicas Así, ua fució periódica f() se puede escribir como la suma de compoees siusoidales de diferees frecuecias ω ω. A la compoee siusoidal de frecuecia ω : C cos(ω +θ ) se le llama la eésima armóica de f(). A la primera armóica () se le llama la compoee fudameal y su periodo es el mismo que el de f() A la frecuecia ω πf π/t se le llama frecuecia agular fudameal. Series de Fourier. 3
14 Series de Fourier. 4 Compoees y armóicas A la compoee de frecuecia cero C, se le llama compoee de corriee direca (cd) y correspode al valor promedio de f() e cada periodo. Los coeficiees C y los águlos θ so respecivamee las ampliudes y los águlos de fase de las armóicas.
15 Series de Fourier. 5 Compoees y armóicas Ejemplo: La fució Como ya se mosró iee u periodo T4π, por lo ao su frecuecia fudameal es ω / rad/seg. Compoee fudameal es de la forma: *cos(/). Tercer armóico: cos(3/)cos(/4) Cuaro armóico: Cos(4/)cos(/3) f() f() cos( ) + cos( ) f()cos(/3)+cos(/4) - 4π
16 Series de Fourier. 6 Compoees y armóicas Ejemplo: Como puede verse, la fució aerior iee aas pares posiivas como egaivas, por lo ao su compoee de cd es cero, e cambio Tiee aas pares arriba como abajo de por lo ao, su compoee de cd es. f() + cos( ) + cos( ) 3 4 f() 3 - f()+cos(/3)+cos(/4) - 4π
17 Series de Fourier. 7 Orogoalidad de seos y coseos Se dice que u cojuo de fucioes f k () so orogoales e el iervalo a<<b si dos fucioes cualesquiera f m (), f () de dicho cojuo cumple b a f m ()f ()d r para para m m
18 Series de Fourier. 8 Orogoalidad de seos y coseos Ejemplo: las fucioes y so orogoales e el iervalo < <, ya que d 3 d 4 4 Ejemplo: Las fucioes se y cos so orogoales e el iervalo π / < < π /, ya que π secosd π se π π
19 Series de Fourier. 9 Orogoalidad de seos y coseos Auque los ejemplos aeriores se limiaro a u par de fucioes, el siguiee es u cojuo de ua ifiidad de fucioes orogoales e el iervalo - T / << T /.,cosω, cosω, cos3ω,...,seω,seω,se3ω,... (para cualquier valor de ω π / T ). T / Para verificar lo aerior podemos probar por pares:.- f() Vs. cos(mω ): se(mω) se(mωt/) se(mπ) cos(mω )d mω mω mω T / Ya que m es u eero. T / T /
20 Series de Fourier. Orogoalidad de seos y coseos.- f() Vs. se(mω ): T / se(mω T / )d mω [cos(mω 3.- cos(mω ) Vs. cos(ω ): cos(mω mω ) T / T / T/) - cos(mω T/)] T / para m cos(mω)cos(ω)d T / T / para m
21 Series de Fourier. Orogoalidad de seos y coseos 4.- se(mω ) Vs. se(ω ): T / para m se(mω)se(ω)d T / T / para m 5.- se(mω ) Vs. cos(ω ): T / se(mω )cos(ω)d T / para cualquier m,
22 Series de Fourier. Orogoalidad de seos y coseos Para calcular las iegrales de los casos 3, 4 y 5, so úiles las siguiees ideidades rigooméricas: cos A cos B ½[cos(A+B)+cos(A-B)] se A se B ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] se A cos B ½[se(A+B)+se(A-B)] Además: se θ ½ (-cosθ) cos θ ½ (+cosθ)
23 Series de Fourier. 3 Cálculo de los coeficiees de la Serie Dada ua fució periódica f() cómo se obiee su serie de Fourier? f () a + [a cos(ω se(ω Obviamee, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficiees a,a,a,...,b,b,... )] Eso se puede resolver cosiderado la orogoalidad de las fucioes seo y coseo comeada aeriormee. ) + b
24 Series de Fourier. 4 Cálculo de los coeficiees de la Serie Muliplicado ambos miembros por cos(ω ) e iegrado de T/ a T/, obeemos: T / a f () cos( ω )d T T /,,,3,... Similarmee, muliplicado por se(ω ) e iegrado de T/ a T/, obeemos: T / b f ()se (ω )d T T / Similarmee, iegrado de T/ a T/, T / obeemos: a f () d T T /,,3,...
25 Series de Fourier. 5 Cálculo de los coeficiees de la Serie El iervalo de iegració o ecesia ser simérico respeco al orige. Como la orogoalidad de las fucioes seo y coseo o sólo se da e el iervalo de T/ a T/, sio e cualquier iervalo que cubra u periodo compleo: (de a +T, co arbirario) las fórmulas aeriores puede calcularse e cualquier iervalo que cumpla ese requisio.
26 Series de Fourier. 6 Cálculo de los coeficiees de la Serie Ejemplo: Ecorar la Serie de Fourier para la siguiee fució de periodo T: f()... -T / T / T... - Solució: La expresió para f() e T / << T / es f () para para T < < < < T
27 Series de Fourier. 7 Cálculo de los coeficiees de la Serie T / Coeficiees a : ω a T T / f ()cos( ) d T / cos(ω)d + cos(ω) d T T / T / se(ω) + se(ω T ω T / ω ) para
28 Series de Fourier. 8 Cálculo de los coeficiees de la Serie Coeficiee a : T / a f () d T T / T / d + d T T / T / + T T /
29 Series de Fourier. 9 Cálculo de los coeficiees de la Serie T / Coeficiees b : b f ()se(ω T T / ) d T / se(ω)d + se(ω) d T T / ω T / cos(ω) cos(ω T T / ω ) π [( cos(π)) (cos(π) ) ] π [ ( ) )] para
30 Series de Fourier. 3 Cálculo de los coeficiees de la Serie Serie de Fourier: Fialmee la Serie de Fourier queda como 4 f () 3 5 π [ se( ω ) + se(3ω ) + se(5ω )...] + E la siguiee figura se muesra: la compoee fudameal y los armóicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de esos primeros cuaro érmios de la serie para ω π, es decir, T:
31 Series de Fourier. 3 Cálculo de los coeficiees de la Serie.5 Compoees de la Serie de Fourier Compoees Suma fudameal ercer armóico quio armóico sepimo armóico
32 Series de Fourier. 3 Fucioes Pares e Impares Ua fució (periódica o o) se dice fució par (o co simería par) si su gráfica es simérica respeco al eje verical, es decir, la fució f() es par si f() f(-) f() π π π π
33 Series de Fourier. 33 Fucioes Pares e Impares E forma similar, ua fució f() se dice fució impar o co simería impar, si su gráfica es simérica respeco al orige, es decir, si cumple lo siguiee: -f() f(-) f() π π π π
34 Series de Fourier. 34 Fucioes Pares e Impares Ejemplo: Las siguiees fucioes so pares o impares? f() +/ g() /( +), Solució: Como f(-) --/ -f(), por lo ao f() es fució impar. Como g(-)/((-) +) /( +)g(), por lo ao g() es fució par.
35 Series de Fourier. 35 Fucioes Pares e Impares Ejemplo: La fució h()f(+ ) es par o impar?, dode f es ua fució arbiraria. Solució: Sea g() +, Eoces h()f(g()) Por lo ao h(-) f(g(-)), Pero g(-)+(-) + g(), fialmee h(-)f(g())h(), por lo ao h() es fució par, si imporar como sea f().
36 Series de Fourier. 36 Fucioes Pares e Impares Ejemplo: De acuerdo al ejemplo aerior, odas las siguiees fucioes so pares: h() se (+ ) h() exp(+ )+5/ (+ ) h() cos (+ )+ h() (+ )-(+ )/ ec... Ya que odas iee la forma f(+ )
37 Series de Fourier. 37 Fucioes Pares e Impares Como la fució se(ω ) es ua fució impar para odo y la fució cos(ω ) es ua fució par para odo, es de esperar que: Si f() es par, su serie de Fourier o coedrá érmios seo, por lo ao b para odo Si f() es impar, su serie de Fourier o coedrá érmios coseo, por lo ao a para odo
38 Series de Fourier. 38 Fucioes Pares e Impares Por ejemplo, la señal cuadrada, ya aalizada e u ejemplo previo: f()... -T / T / T... - Es ua fució impar, por ello su serie de Fourier o coiee érmios coseo: 4 f () 3 5 π [ se( ω ) + se(3ω ) + se(5ω )...] +
39 Series de Fourier. 39 Simería de Media Oda Ua fució periodica de periodo T se dice simérica de media oda, si cumple la propiedad ( + T) f () f Es decir, si e su gráfica las pares egaivas so u reflejo de las posiivas pero desplazadas medio periodo: f()
40 Series de Fourier. 4 Simería de Cuaro de Oda Si ua fució iee simería de media oda y además es fució par o impar, se dice que iee simería de cuaro de oda par o impar Ejemplo: Fució co simería impar de cuaro de oda: f()
41 Series de Fourier. 4 Simería de Cuaro de Oda Ejemplo: Fució co simería par de cuaro de oda: f()
42 Series de Fourier. 4 Simerías y Coeficiees de Fourier Simería Coeficiees Fucioes e la serie Nigua Par a 4 f( )cos( ω ) d b Impar a media oda a a T T / f( )cos( ω ) d T T / T / T/ 4 T f( )cos( ω ) d par impar b b b T / 4 f( ) se( ω ) d T T / f( ) se( ω ) d T T / T/ 4 T f( ) se( ω ) d par impar Seos y coseos úicamee coseos úicamee seos Seos y coseos impares
43 Series de Fourier. 43 Simerías y Coeficiees de Fourier Simería Coeficiees Fucioes e la serie Nigua a T / f( )cos( ω ) d T T / b T / f( ) se( ω ) d T T / Seos y coseos ¼ de oda par ¼ de oda impar a ( par) T / 4 8 a f( )cos( ω T ( impar) a ) d ( impar) b b ( par) T / 4 8 b f( ) se( ω T ) d Sólo coseos impares Sólo seos impares
44 Series de Fourier. 44 Simerías y Coeficiees de Fourier Por ejemplo, la señal cuadrada, ya aalizada e u ejemplo previo: f()... -T / T / T... - Es ua fució co simería de ¼ de oda impar, por ello su serie de Fourier sólo coiee érmios seo de frecuecia impar: 4 f () 3 5 π [ se( ω ) + se(3ω ) + se(5ω )...] +
45 Series de Fourier. 45 Feómeo de Gibbs Si la serie de Fourier para ua fució f() se ruca para lograr ua aproximació e suma fiia de seos y coseos, es aural pesar que a medida que agreguemos más armóicos, la sumaoria se aproximará más a f(). Eso se cumple excepo e las discoiuidades de f(), e dode el error de la suma fiia o iede a cero a medida que agregamos armóicos. Por ejemplo, cosideremos el re de pulsos aerior:
46 Series de Fourier. 46 Feómeo de Gibbs.5 Serie co armóico
47 Series de Fourier. 47 Feómeo de Gibbs.5 Serie co 3 armóicos
48 Series de Fourier. 48 Feómeo de Gibbs.5 Serie co 5 armóicos
49 Series de Fourier. 49 Feómeo de Gibbs.5 Serie co 7 armóicos
50 Series de Fourier. 5 Feómeo de Gibbs.5 Serie co 3 armóicos
51 Series de Fourier. 5 Feómeo de Gibbs.5 Serie co 5 armóicos
52 Series de Fourier. 5 Feómeo de Gibbs.5 Serie co armóicos
53 Series de Fourier. 53 Forma Compleja de la Serie de Fourier Cosideremos la serie de Fourier para ua fució periodica f(), co periodo Tπ/ω. f () Es posible obeer ua forma aleraiva usado las fórmulas de Euler: Dode a j + [a cos(ω se(ω ) ) cos(ω j (e (e jω jω ) + + e e b jω jω se(ω ) ) )]
54 Series de Fourier. 54 Forma Compleja de la Serie de Fourier Susiuyedo f () a [a Y usado el hecho de que /j-j f () Y defiiedo: + (e jω + e jω Lo cual es cogruee co la fórmula para b, ya que b - -b, ya que la fució seo es impar. ) b j (e jω e jω a + [ (a jb )e jω + (a jb )e jω c a, c (a jb ), c (a + jb ) + + ] )]
55 Series de Fourier. 55 Forma Compleja de la Serie de Fourier La serie se puede escribir como O bie, f () c f () c + + (c c e e j ω + j ω + c e jω c e jω ) Es decir, f () c e jω
56 Series de Fourier. 56 Forma Compleja de la Serie de Fourier A la expresió obeida f () Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficiees c puede obeerse a parir de los coeficiees a, b como ya se dijo, o bie: T jω c T f ()e Para, ±, ±, ±3,... c e jω d
57 Series de Fourier. 57 Forma Compleja de la Serie de Fourier Los coeficiees c so úmeros complejos, y ambié se puede escribir e forma polar: c c e jφ Obviamee, c * c c e jφ Dode, Para odo, c a + b φ arca( b a ) Para, c es u úmero real: c a
58 Series de Fourier. 58 Forma Compleja de la Serie de Fourier Ejemplo. Ecorar la forma compleja de la serie de Fourier para la fució ya raada: f()... -T / T / T... - Solució. Como ya se calcularo los coeficiees de la forma rigoomérica (a y b ): a para odo y b [ ( ) ] para odo π
59 Series de Fourier. 59 Forma Compleja de la Serie de Fourier Podemos calcular los coeficiees c de: c [a jb ] j π [ ( ) ] c j π [ ( ) ] Eoces la Serie Compleja de Fourier queda f () π j( e j5ω + 3 e j3ω + e jω e jω 3 e j3ω 5 e j5ω...)
60 Series de Fourier. 6 Forma Compleja de la Serie de Fourier Solució. Tambié podemos calcular los coeficiees c mediae la iegral T ( T jω c T f ()e d T / T jω jω e d + T / e d) T ( jω e jω T / jω e jω o o T T / ) jω T [(e jω T / (e jω T e jω o ) T / )]
61 Series de Fourier. 6 Forma Compleja de la Serie de Fourier Como ω Tπ y además ± θ e j cosθ ± jseθ c jω o T [( ) ) ( ( ) )] j ω T o [ ( ) ] j [ ( π ) ] Lo cual coicide co el resulado ya obeido.
62 Series de Fourier. 6 Especros de Frecuecia Discrea A la gráfica de la magiud de los coeficiees c cora la frecuecia agular ω de la compoee correspodiee se le llama el especro de ampliud de f(). A la gráfica del águlo de fase φ de los coeficiees c cora ω, se le llama el especro de fase de f(). Como sólo oma valores eeros, la frecuecia agular ωω es ua variable discrea y los especros mecioados so gráficas discreas.
63 Series de Fourier. 63 Especros de Frecuecia Discrea Dada ua fució periódica f(), le correspode ua y sólo ua serie de Fourier, es decir, le correspode u cojuo úico de coeficiees c. Por ello, los coeficiees c especifica a f() e el domiio de la frecuecia de la misma maera que f() especifica la fució e el domiio del iempo.
64 Series de Fourier. 64 Especros de Frecuecia Discrea Ejemplo. Para la fució ya aalizada: f()... -T / T / T... - Se ecoró que c j π [ ( ) ] Por lo ao, c π [ ( ) ]
65 Series de Fourier. 65 Especros de Frecuecia Discrea El especro de ampliud se muesra a coiuació.7.6 Especro de Ampliud de f() C Frecuecia egaiva (?) Observació: El eje horizoal es u eje de frecuecia, (úmero de armóico múliplo de ω ). Frecuecia
66 Series de Fourier. 66 Poecia y Teorema de Parseval El promedio o valor medio de ua señal cualquiera f() e u periodo dado (T) se puede calcular como la alura de u recágulo que ega la misma área que el área bajo la curva de f() f() Area T f ()d AreaTh T halura promedio
67 Series de Fourier. 67 Poecia y Teorema de Parseval De acuerdo a lo aerior, si la fució periódica f() represea ua señal de volaje o corriee, la poecia promedio eregada a ua carga resisiva de ohm e u periodo esá dada por T / T [f ()] d T / Si f() es periódica, ambié lo será [f()] y el promedio e u periodo será el promedio e cualquier oro periodo.
68 Series de Fourier. 68 Poecia y Teorema de Parseval El eorema de Parseval os permie calcular la iegral de [f()] mediae los coeficiees complejos c de Fourier de la fució periódica f(): T / T [f ()] d c T / O bie, e érmios de los coeficiees a, b : T / + T [f ()] d 4 a (a + b ) T /
69 Series de Fourier. 69 Poecia y Teorema de Parseval Ua cosecuecia imporae del eorema de Parseval es el siguiee resulado: El valor cuadráico medio de ua fució periódica f() es igual a la suma de los valores cuadráicos medios de sus armóicos, es decir, T T / T / [f ()] d C Dode C es la ampliud del armóico -ésimo y C es la compoee de direca. + C
70 Series de Fourier. 7 Poecia y Teorema de Parseval Para aclarar el resulado aerior es coveiee ecorar la relació ere los coeficiees complejos c de la serie f () jω Y los coeficiees reales C de la serie f () C Dode C es la ampliud del armóico -ésimo y C es la compoee de direca. c e [ cos(ω θ ] + C )
71 Series de Fourier. 7 Poecia y Teorema de Parseval Por u lado C a + b, Mieras que Eoces, c c a + C b Por lo ao, c 4 C [ cos(ω θ )] Además, para el armóico Su valor rms es C /, por lo ao su valor cuadráico medio es / C Para la compoee de direca C, su valor rms es C, por lo ao su valor cuadráico medio será C. f () C
72 Series de Fourier. 7 Poecia y Teorema de Parseval Ejemplo. Calcular el valor cuadráico medio de la fució f(): f()... -T / T / T... Solució. - Del eorema de Parseval y del ejemplo aerior susiuyedo 8 π c c + T / T [f ()] d c T / [ ( ) ] π
73 Series de Fourier. 73 Poecia y Teorema de Parseval La serie umérica obeida coverge a Por lo ao, T / Como era de esperarse T [ f ()] d c (.337) π T /
74 Series de Fourier. 74 De la Serie a la Trasformada de Fourier La serie de Fourier os permie obeer ua represeació e el domiio de la frecuecia para fucioes periódicas f(). Es posible exeder de algua maera las series de Fourier para obeer el domiio de la frecuecia de fucioes o periódicas? Cosideremos la siguiee fució periodica de periodo T
75 Series de Fourier. 75 De la Serie a la Trasformada de Fourier Tre de pulsos de ampliud, acho p y periodo T: f() p... -T -T / T / T... -p / p / f () T p p < < < < < < p p T
76 Series de Fourier. 76 De la Serie a la Trasformada de Fourier Los coeficiees de la Serie Compleja de Fourier e ese caso resula puramee reales: c ( p T se(ω ) (ω El especro de frecuecia correspodiee lo obeemos (e ese caso) graficado c cora ωω. p ) p )
77 Series de Fourier. 77 De la Serie a la Trasformada de Fourier Especro del re de pulsos para p, T.6.4 c ww
78 Series de Fourier. 78 f() De la Serie a la Trasformada de Fourier Si el periodo del re de pulsos aumea:.5 p, T.5 f() p, T5.5 f() p, T f() p, T.5 - -
79 Series de Fourier. 79 De la Serie a la Trasformada de Fourier E el límie cuado T, la fució deja de ser periódica: f().5.5 p, T - - Qué pasa co los coeficiees de la serie de Fourier?
80 De la Serie a la Trasformada de Fourier.6 c.4. p, T p, T5-5 5 p, T -5 5 p, T -5 5 ωω Series de Fourier. 8
81 Series de Fourier. 8 De la Serie a la Trasformada de Fourier Si hace T muy grade (T ): El especro se vuelve coiuo!
82 Series de Fourier. 8 De la Serie a la Trasformada de Fourier El razoamieo aerior os lleva a recosiderar la expresió de ua fució f() o periódica e el domiio de la frecuecia, o como ua suma de armóicos de frecuecia ω, sio como ua fució coiua de la frecuecia ω. Así, la serie f () jω Al cambiar la variable discrea ω (cuado T ) por la variable coiua ω, se rasforma e ua iegral de la siguiee maera: c e
83 Series de Fourier. 83 De la Serie a la Trasformada de Fourier Como La serie queda O bie, T / jω c T f ()e T / f () f () π d T / T / cuado T, ω ω y ω dω y la sumaoria se coviere e f () T f ()e T / T / f ()e d jω e jω d ω jω e jω jω jω π f ()e d e d ω
84 Series de Fourier. 84 De la Serie a la Trasformada de Fourier Es decir, Dode f () F( ω) jω π F( ω)e d Ideidad ω de Fourier f ()e jω Esas expresioes os permie calcular la expresió F(ω) (domiio de la frecuecia) a parir de f() (domiio del iempo) y viceversa d Trasformada De Fourier
85 De la Serie a la Trasformada de Fourier Noació: A la fució F(ω) se le llama rasformada de Fourier de f() y se deoa por F, es decir F[f ()] E forma similar, a la expresió qu eos permie obeer f() a parir de F(w) se le llama rasformada iversa de Fourier y se deoa por F,es decir F [F( ω)] f () jω F( ω) f ()e d π F( ω)e jω dω Series de Fourier. 85
86 Series de Fourier. 86 De la Serie a la Trasformada de Fourier Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso recagular f() siguiee f() -p / p / Solució. La expresió e el domiio del iempo de la fució es f () p < < p < p < p
87 Series de Fourier. 87 De la Serie a la Trasformada de Fourier F( ω) f ()e jω d p / e jω d Iegrado jω jω e p / p / p / (e Usado la fórmula de Euler e jωp / jωp / jω Obsérvese que el resulado es igual al obeido para c cuado T, pero muliplicado por T. ) F( ω) se( ωp / ) p ωp /
88 Series de Fourier. 88 De la Serie a la Trasformada de Fourier E forma Gráfica F(w) F(w) co p w
89 Series de Fourier. 89 La Trasformada Rápida de Fourier Cuado la fució f() esá dada por ua lisa de N valores f( ), f( ),...f( N ) se dice que esá discreizada o muesreada, eoces la iegral que defie la Trasformada de Fourier: F( ω) Se coviere e la sumaoria F() N f ( k k )e (Dode k es la frecuecia discrea) Llamada Trasformada Discrea de Fourier j π f ()e (k ) jω d N, para N
90 Series de Fourier. 9 La Trasformada Rápida de Fourier La Trasformada Discrea de Fourier (DFT) requiere el cálculo de N fucioes expoeciales para obeer F(), lo cual resula u esfuerzo de cálculo eorme para N grade. Se ha desarrollado méodos que permie ahorrar cálculos y evaluar de maera rápida la Trasformada discrea, a esos méodos se les llama Trasformada Rápida de Fourier (FFT)
91 Series de Fourier. 9 La FFT y la Serie de Fourier Podemos hacer uso de la FFT para calcular los coeficiees c y c - de la Serie compleja de Fourier como sigue: Ejemplo: Sea f() el re de pulsos de acho p y periodo T. f() p... -T -T / T / T... -p / p /
92 Series de Fourier. 9 La FFT y la Serie de Fourier La versió muesreada f(k) de f() sólo puede omar u úmero fiio de puos. Tomemos por ejemplo N3 puos cuidado que cubra el iervalo de a T (co p, T):.5 3 muesras de f(), de a T f(k).5 k
93 Series de Fourier. 93 La FFT y la Serie de Fourier.6 F().4 Especro de Ampliud F() Para el re de pulsos p, T. 3 Si deseamos ua escala horizoal e uidades de frecuecia (rad/seg):
94 Series de Fourier. 94 La FFT y la Serie de Fourier Tambié podemos obeer los coeficiees de la forma rigoomérica, recordado que: c (a jb ), c (a + jb ) Podemos obeer a c, a Re(c ), b Im(c ) Para el ejemplo se obiee: a.5, a b (para par), además para impar: a b
95 Series de Fourier. 95 La FFT y la Serie de Fourier Como el re de pulsos es ua fució par, se esperaba que b ; (el resulado obeido es erróeo para b, pero el error dismiuye para N grade):.5 a Coeficiees b Coeficiees a -.5 3
96 Series de Fourier. 96 Medidores Digiales La FFT ha hecho posible el desarrollo de equipo elecróico digial co la capacidad de cálculo de especros de frecuecia para señales del mudo real, por ejemplo: ) Osciloscopio digial Fuke 3 ($ 8,6. M.N.) ) Osc. digial Tekroix THS7P ($3,796 dls) 3) Power Plaform PP-43
97 Series de Fourier. 97 Medidores Digiales El Fluke 3 scope meer
98 Series de Fourier. 98 Medidores Digiales Tekroix THS7P (osciloscopio digial)
99 Series de Fourier. 99 Medidores Digiales Aalizador de poecia PP-43 Es u equipo especializado e moioreo de la calidad de la eergía: permie medició de 4 señales simuláeas (para sisemas rifásicos)
100 Series de Fourier.
101 Series de Fourier.
102 Series de Fourier.
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