UNIVERSIDAD AUTONOMA DE HUEVO LEON

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1 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE HUEVO LEON FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA DIVISION DE ESTUDIOS DE POSGRADO ANALISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO POR ING. PEDRO FRANCISCO ALOR SANDOVAL TESIS EN OPCION AL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS DE LA INGENIERIA ELECTRICA CON ESPECIALIDAD EN CONTROL SAN NICOLAS DE LOS GARZA, N. L DICIEMBRE DEL 2000

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7 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA DIVISION DE ESTUDIOS DE POSGRADO ANALISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO POR ING. PEDRO FRANCISCO ALOR SANDOVAL TESIS EN OPCION AL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS DE LA INGENIERIA ELECTRICA CON ESPECIALIDAD EN CONTROL

8 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA DIVISION DE ESTUDIOS DE POSGRADO ANALISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO POR ING. PEDRO FRANCISCO ALOR SANDOVAL TESIS EN OPCION AL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS DE LA INGENIERIA ELECTRICA CON ESPECIALIDAD EN CONTROL

9 , UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA DIVISION DE ESTUDIOS DE POST-GRADO Los miembros del comité de tesis recomendamos que la tesis "Análisis de Estabilidad de Sistemas lineales Invariantes en el Tiempo" realizada por el Ing. Pedro Francisco Alor Sandoval, matrícula , sea aceptada para su defensa como opción al grado de Maestro en Ciencias de la Ingeniería Eléctrica con especialidad en Control El comité de Tesis Asesor San Nicolás de los Garza, N.L., Diciembre del 2000

10 Dedicada a A mis padres, Pedro Alor Ramos y Norma Sandoval Morán por darme todo su apoyo, confianza y cariño incondicional y que han sido y seguirán siendo un ejemplo a seguir, a mis hermanas Noima Beatriz Alor Sandoval y Rocío Araceli Alor Sandoval por ser siempre como son, por mantenemos siempre unidos a pesar de las distancias. Por darme esa Seguridad de saber que cuento con toda mi familia en cualquier momento. A mi novia Rebeca Fleming por compartir esos momentos con tanto cariño. A mis amigos: M.C. Guillermo Álvarez Pérez, M.C. Jesús Cruz Álvarez, Ing. Oscar Vázquez Roquet, Lic. Azalea Martínez Libas y Carlos Aragón Navarro que en paz descanse; a todos ellos por su apoyo y amistad.

11 Agradecimientos: A mi asesor, el Dr. César Elizondo González, por toda su ayuda y colaboración para la conclusión de esta tesis, al igual que a mis coasesores el Dr. Efrain Alcorta García y el Dr. Juan Antonio Rojas Estrada. A todos mis compañeros de maestría por su grata compañía y amistad, en especial a los Alfredos (tocayos) y a Claudia Alina madrigal.

12 PROLOGO El control automático es uno de los mayores movimientos en la tecnología, ha sido llamado la segunda revolución industrial y habrá cada vez más y más control automático en nuestras vidas. Por lo que ha sido últimamente una materia de gran importancia o especialidad. En la actualidad podemos controlar procesos con varías variables de entrada y salida, lo que corresponde al control moderno. Uno de los principales elementos de un control automático es la retroalimentación, ya que sin ella no podríamos comparar el comportamiento de nuestra planta con el modelo establecido. La estabilidad, el funcionamiento y la robustez, son unos de los requisitos primarios para un sistema de control con retroalimentación. El crecimiento de la automatización en nuestros días ha sido significativo, aunque existen métodos modernos (Teoría de control moderna) para el análisis y diseño de control automático, los métodos clásicos (Teoría de control clásica) siguen siendo de gran utilidad, de hecho, varios de los nuevos métodos se basan en criterios de teoría clásica que es la mayor parte de este trabajo. El propósito de esta tesis es presentar de una manera analítica las diferentes técnicas que nos sirven para determinar la estabilidad tanto absoluta como relativa de sistemas lineales invariantes en el tiempo, aunque existen varios paquetes computacionales capaces de simplificar muchas de estas técnicas, que son de gran ayuda, ya que muchas de estas técnicas son métodos gráficos que pueden consumir mucho tiempo elaborarlos, por lo que me he enfocado también al uso de algunos paquetes computacionales para la realización de estos métodos. Dentro de los métodos que se utilizarán para el análisis de estabilidad se encuentra el proceso de Nyquist en 1932, para determinar la estabilidad de lazo cerrado sobre la base de la respuesta a lazo abierto con excitación sinusoidal en régimen permanente, diagramas de Bode, carta de Nichols y Mikhilov todos estos dentro del dominio de la frecuencia, y en el dominio del espacio de los coeficientes tenemos el

13 criterio de Routh Hurwitz, Tabla equivalente de Routh y el método del lugar geométrico de las raíces.

14 INDICE SINTESIS 1 1 INTRODUCCION Planteamiento del problema Objetivo de la tesis Justificación de la tesis Metodología Límites de estudio Revisión bibliográfica 6 2 REPRESENTACION DE SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO Introducción Representación en entrada-salida Función de transferencia Representación en variables de estado Matriz función de transferencia Solución de las ecuaciones de estado Matriz de transición Estabilidad 20 3 ANALISIS DE ESTABILIDAD EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Introducción Respuesta a la frecuencia Criterio de estabilidad de Nyquist 28

15 3.3.1 Estabilidad relativa Diagramas de Bode Criterio de estabilidad Carta de Nichols Criterio de estabilidad de Mikhailov 60 4 ANALISIS DE ESTABILIDAD EN EL ESPACIO DE LOS COEFICIENTES Introducción Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Criterio de Hurwitz Criterio de Routh Método del lugar geométrico de las raices Reglas para construir el lugar de las raíces Tabla equivalente de Routh 79 5 APLICACIONES 5.1 Introducción desarrollo del modelo matemático Linealización Función de transferencia determinación de los coeficientes de la función de transferencia Determinación de Cv Estabilidad 93 6 CONCLUSIONES 96 BIBLIOGRAFIA 98 LISTADO DE TABLAS 100 LISTADO DE FIGURAS 101 GLOSARIO 103

16 APENDICE A APENDICE B AUTOBIOGRAFIA

17 SINTESIS El contenido de esta tesis, esta principalmente enfocado al análisis de la estabilidad de sistemas lineales invariantes en el tiempo, es decir, con coeficientes constantes. Sabemos que para poder analizar un sistema, necesitamos primeramente representar a este mismo bajo un modelado matemático, es decir encontrar la ecuación matemática que defina al sistema, (esta tesis no se enfoca al modelado específico de sistemas). Por lo regular son ecuaciones diferenciales lineales la representación matemática del sistema. Existen ecuaciones diferenciales lineales compuestas por una entrada y una salida; en el capitulo dos se muestra este tipo de representación, normalmente llamado función de transferencia, que pertenece al tipo convencional o clásico de la teoría de control; a su vez tratamos en este capitulo con la representación en variables de estado, ya que sistemas modernos han evolucionado con el paso del tiempo, existen en la actualidad sistemas modernos muy complejos, los cuales pueden estar comprendidos de múltiples entradas y múltiples salidas, con lo que el grado de complejidad se incrementa para representar dichos sistemas matemáticamente, aunque afortunadamente existe la teoría de control moderna o el método de espacio de estado que facilita el manejo de estos tipos de sistema, cabe mencionar que es indispensable el conocimiento de álgebra lineal para el manejo del espacio de estado, se representará la matriz función de transferencia, se dará la solución general de las ecuaciones de estado, resolviendo su parte homogénea y su parte no homogénea. Se obtendrá también la matriz de transición. Por último se darán algunas definiciones de estabilidad, donde nos basaremos principalmente en la localización de la parte real de las raíces del polinomio característico para definir estabilidad, por lo que, para que un sistema sea estable, las raíces del polinomio característico deben encontrarse en el semiplano izquierdo del plano s, es decir que tengan parte real negativa, o equivalentemente, para un sistema representado en el espacio de estado, que los valores propios de la matriz de estado

18 tengan parte real negativa. Con esto identificamos si un sistema es o no estable, (estabilidad absoluta) podemos hacer uso del criterio de Routh-Hurwitz o de la tabla equivalente de Routh implementado por el Dr. Cesar Elizondo González para este caso, estos criterios se verán en el capitulo cuatro, asi como también el método del lugar geométrico de las raices concebido por Evans en 1950 que consiste de graficar el lugar de las raíces de la ecuación característica del sistema de lazo cerrado como una función de un factor de ganancia proporcional en la función de transferencia de lazo abierto, estas gráficas dan una figura clara de aproximación de las propiedades de estabilidad del sistema como una función de la ganancia. Ya que muchas de las veces, se requiere de mas información acerca del sistema, es decir, no solo el hecho de saber si un sistema es o no estable, sino también es necesario saber que tan estable lo es; en el capitulo tres se ven métodos gráficos con los cuales podemos obtener información de que tan estable es el sistema, es decir métodos que muestren la estabilidad relativa del sistema. El análisis y diseño en el dominio de la frecuencia ofrece varías técnicas gráficas aplicables en sistemas de control lineales e invariables en el tiempo casi de cualquier complejidad. Es importante la correlación que existe entre el desempeño del dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia de un sistema lineal, de tal forma que las propiedades en el dominio del tiempo de un sistema se pueden predecir con base en las características en el dominio de la frecuencia. Desde un punto de vista histórico, el análisis y diseño en el dominio de la frecuencia de sistemas de control es un campo bien desarrollado. En el capitulo tres se ven algunos de los varios métodos que existen para analizar sistemas de control bajo el dominio de la frecuencia, como el criterio de Nyquist para el análisis de estabilidad, la gráfica de Nyquist de una función de transferencia, usualmente la función de transferencia de lazo abierto G(s)H(s), es un mapeo de la trayectoria de Nyquist en el plano s sobre el plano G(s)H(s) en coordenadas polares; por lo que el diagrama de Nyquist también se conoce como gráfica polar, las estabilidades absoluta y relativa de los sistemas de control de lazo cerrado se pueden obtener a partir de las gráficas de Nyquist Los diagramas de Bode, son gráficas de la amplitud (db) y el ángulo de fase de una función de transferencia (por lo general la función de transferencia de lazo abierto G(s)H(s)), en funciones de la frecuencia ax Se introducen los conceptos

19 claves para el análisis de estabilidad relativa como lo es el margen de ganancia y el margen de fase. La carta de Nichols y el criterio de estabilidad de Mikhilov son temas también de este capitulo. En el capitulo cinco se verán algunas aplicaciones de estos métodos anteriormente vistos, con la finalidad de poder aplicarlos y deducir si los sistemas vistos son estables o no, y si lo son, ver que tan estables.

20 CAPITULO 1 INTRODUCCION 1.1 Planteamiento del problema El problema más importante en sistemas de control lineal es referido a la estabilidad. Partiendo de la definición de que un sistema de control es estable si, y solo si, todos los polos de lazo cerrado se encuentran ubicados en el semiplano izquierdo del plano s. Esta tesis aborda el problema de identificar si un sistema de control es estable o inestable, de acuerdo a la definición anterior, ya que un requisito primario en un sistema de control es que debe de ser estable, de lo contrario no sería de utilidad. 1.2 Objetivo de la tesis El diseño de sistemas físicos puede ser analizado por métodos empíricos, pero en la actualidad los sistemas físicos son cada vez más complejos, por lo tanto, es necesario analizarlos por métodos analíticos. El estudio analítico de sistemas físicos consiste básicamente en cuatro partes: modelado del sistema, desarrollo de la ecuación matemática, análisis y diseño. Este trabajo se basa principalmente en el método analítico el cuál puede hacerse de manera cuantitativa y/o cualitativa; en el análisis cuantitativo el interés es conocer la respuesta exacta de los sistemas debido a la aplicación de ciertas señales de entrada. El análisis cualitativo se enfoca en las propiedades generales del sistema, tales como, controlabilidad, observabilidad y estabilidad; esta parte del análisis es muy importante ya que los diseños técnicos de sistemas frecuentemente se ven envueltos de estos estudios.

21 El objetivo principal de esta tesis es precisamente el análisis de la estabilidad de sistemas lineales invariantes en el tiempo de lazo carado por medio de algunos criterios o métodos existentes basados tanto en el dominio de la frecuencia como en el espacio de los coeficientes; a partir de las representaciones de los sistemas en entrada-salida y variables de estado; ya que este estudio es importante tanto para el análisis como para el diseño de cualquier sistema de control. 1.3 Justificación de la tesis El concepto de estabilidad es muy general y es aplicable en cualquier ámbito; podemos referirnos al crecimiento de una planta, la fotosíntesis de la misma, o las transformaciones materiales que se efectúan constantemente en las células de cualquier organismo vivo. En cualquiera de estos procesos, existe en forma automática su estabilidad o equilibrio. Durante años el hombre se ha visto en la necesidad de crear sistemas que cumplan ciertos tipos de procesos automáticamente con el mejor desempeño posible y eficiencia. En la actualidad existen sistemas muy complejos para los cuales es necesario hacer uso de los criterios de estabilidad establecidos, los cuales nos aportan información valiosa como: posible pérdida de estabilidad, procedimientos para estabilizar un sistema o para asignarle la dinámica que más convenga al proceso. Por lo tanto un primordial requisito de un sistema es que sea estable, si el sistema fuese inestable, es hablar de un proceso ineficiente, del cual no tenemos control del mismo, que hasta incluso puede llegar a su autodestrucción, por lo que son sistemas indeseables. 1.4 Metodología La representación de sistemas lineales en entrada-salida y en variables de estado será nuestro punto de partida. Posteriormente se hará el análisis de la estabilidad bajo el dominio de la frecuencia utilizando métodos gráficos como el criterio de Nyquist, diagramas de Bode, carta de Nichols y el criterio de Mikhilov; y el análisis en el espacio de los coeficientes se utilizarán criterios como Routh-Hurwitz, la tabla equivalente de

22 Routh implementada por el Dr. Cesar Elizondo González en su tesis de estabilidad y controlabilidad robusta de sistemas lineales con incertidumbre multilineal que realizó para obtener su grado de doctor. También se verá el lugar geométrico de las raíces, realizado por Walter R. Evans en Límites de estudio Las técnicas que se utilizan para el análisis de estabilidad en este trabajo son exclusivamente para sistemas lineales invariantes en el tiempo, no se consideran sistemas de tipo no lineal, en el cuál los métodos de análisis varían; aunque la relación entrada salida de muchos componentes son no lineales, normalmente esas relaciones se pueden linealizar en la vecindad de los puntos de operación, limitando el rango de las variables a valores pequeños. Tampoco se analizan sistemas lineales con coeficientes variables, es decir, variantes en el tiempo. Así como también cabe mencionar que solo se verán los casos en que la función de transferencia es de fase mínima, descartando las del tipo de fase no mínima. 1.6 Revisión bibliográfica En vista de que el principal objetivo de esta tesis es el análisis de estabilidad, basándonos en la ubicación de las raíces del polinomio característico, hacemos uso de varios criterios de estabilidad como por ejemplo: el criterio de estabilidad de Nyquist, criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, Mikhilov, diagramas de Bode, la tabla equivalente de Routh, entre otros; para lo cual hago mención que las bibliografías aquí presentadas cumplen perfectamente con los criterios aquí descritos. Este trabajo analiza varias bibliografías de control moderno y clásico de apoyo de autores muy experimentados en el área de control; en los cuales en caso de querer extender los diferentes métodos de análisis de estabilidad empleados, aunado con información adicional referente a esta área, el lector puede profundizar haciendo uso de ellas.

23 CAPITULO 2 REPRESENTACION DE SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO 2.1 Introducción El primer paso en el estudio analítico de un sistema de control es el modelado matemático de los procesos controlados, es decir, encontrar la ecuación matemática que describa al sistema. En general, dado un proceso de control, primero se debe definir el conjunto de variables que describan las características dinámicas de dicho proceso. Se pueden encontrar diferentes ecuaciones matemáticas que describan el mismo sistema debido a los diferentes métodos analíticos usados o debido a los diferentes tipos de preguntas realizadas para describir el sistema. De una manera general podemos decir que los sistemas pueden ser lineales o no lineales, esta tesis solamente estará enfocada a los sistemas lineales. Dentro de los sistemas lineales encontramos sistemas cuyo modelo matemático es un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales, como se muestra en la ecuación 2.1 la cual puede tener coeficientes constantes o coeficientes variables con el tiempo, esta última no se considerará en esta tesis. La ecuación 2.1 muestra dos variables en función del tiempo: en donde y es la variable de salida del sistema, u es la variable de entrada del mismo, m y n son enteros positivos, a y b son coeficientes constantes;. Esta ecuación esta compuesta por una entrada-una salida (SISO); sistemas de este tipo pueden ser analizados por el método convencional de control. En la actualidad existen sistemas modernos muy complejos, los cuales pueden estar basados en múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO), con lo que el grado de dificultad de su expresión matemática aumenta también. El control moderno o el método en el espacio de estado facilita el análisis de estos tipos de sistemas.

24 d m ' x u(t).dt + (2.1) 2.2 Representación en Entrada-Salida Para sistemas lineales invariantes en el tiempo con una entrada-una salida la representación clásica es utilizando la función de transferencia., la cual resulta ser la expresión matemática que contiene la información básica sobre las características esenciales del sistema; con esto nos referimos a los valores de los parámetros que intervienen en el sistema, así como de su interconexión; ambas son responsables del comportamiento del sistema. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se puede estudiar la salida o respuesta para diversas formas de entradas con el objetivo de lograr una comprensión de la naturaleza del sistema; por lo contrario, si se desconoce, se puede hallar experimentalmente suministrando entradas conocidas y observando la respuesta o salida del sistema. La representación de un sistema en entrada-salida nos da una relación matemática entre la entrada y la salida del sistema. Con el objetivo de desarrollar esta descripción, el conocimiento de la estructura interna de un sistema puede ser considerado invalido; el único acceso al sistema es por medio de las terminales de entrada y las terminales de salida. Bajo esta consideración, se puede representar el sistema como una caja negra. Lo que podemos hacer a la caja negra es solo aplicar todo tipo de entradas y medir sus salidas correspondientes, y entonces tratar de extraer propiedades claves del sistema proveniente de los pares entrada-salida. Para esto debemos asumir que el sistema se encuentre en reposo antes que la entrada sea aplicada y que la salida sea excitada solamente por esa entrada aplicada. Si el concepto de energía es aplicable al sistema, se dice que el sistema se encuentra en reposo en tiempo t, si ninguna energía es suministrada en el sistema en ese instante.

25 2.2.1 Función de transferencia La relación de la señal de salida entre la señal de entrada, en transformada de Laplace, con las condiciones iniciales nulas es la definición [19] de la función de transferencia, ecuación (2.2). G{s) = ^ (2.2) W U(s) Donde Y(s) es la transformada de Laplace de y(t) (salida) y U(s) es la transformada de Laplace de u(t) (entrada). Esto es, para obtener la función de transferencia del sistema lineal que esta representado por la ecuación (2.1), simplemente se toma la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación y se suponen condiciones iniciales cero; obteniendo como resultado: {a T + a^s a ls + a 0 )Y(s) = (b m s m + b m _ ls m ~ l +- + b l s + b 0 )U(s) (2.3) de donde: G(J) = b m s- + b m _ ls ~> b ls + b 0 m >_ (2 4) í-0 Los términos en s del numerador significan derivaciones que se efectúan sobre la señal de entrada, en tanto que los términos en s del denominador significan integraciones. De la ecuación (2.4), se dice que la función de transferencia es estrictamente propia si m < «, es decir, que habrá un menor número de derivaciones que de integraciones sobre la señal de entrada para generar la señal de salida, como resultado suaviza las variaciones que presenta una determinada señal. Si n = m, la función de transferencia se conoce como propia. Se le llama impropia a la función de transferencia si m > n.

26 De la ecuación (2.4), se puede definir la ecuación característica de ese sistema lineal si se iguala a cero el polinomio denominador de la función de transferencia [12], tenemos entonces: aj 1 + a -is"~ l + + ais +ff 0 = Q (2.5) 2.3 Representación en Variables de estado Una ecuación diferencial de n-ésimo orden (2.1) se puede descomponer en n ecuaciones diferenciales de primer orden (2.7). Se propone una variable nueva para la ecuación 2.1: m = y(t) dy(t) x 2 (t) = dt 2. (2.6) MI-1 dt' Después de derivar y de hacer sustituciones obtenemos: ^ - X. 0 (2.7) dt = -<W(0 - a,x 2 (t) a,_ 2 x._,(/) - a,_,x M (t) + /(/)

27 La última ecuación de (2.7) se obtiene de despejar el término de la derivada de mayor orden en la ecuación 2.1, la función fit) representa el segundo miembro de la ecuación (2.1) o la variable de entrada del sistema. El conjunto de las ecuaciones diferenciales de primer orden de (2.7) se conoce como ecuaciones de estado y el conjunto de ecuaciones del primer miembro de 2.6 se conoce como variables de estado o también son llamadas variables de fosé [3]. Las variables de estado de un sistema se definen como un conjunto mínimo de variables x (t), X2(t), x (t), de cuyo conocimiento en cualquier tiempo t to, y del conocimiento de la información de la entrada de excitación que se aplica subsecuentemente (f to), son suficientes para determinar el estado del sistema en cualquier tiempo t to. Un conjunto de variables de estado (x f ) no es única para determinado sistema, ésta depende de cómo se definan estas variables, se pueden tomar otro conjunto de funciones como variables de estado (* ). La salida se puede expresar como una combinación algebraica de las variables de estado y de la entrada. La representación en variables de estado es expresar en forma matricial las ecuaciones de estado y la ecuación de salida; esto es: x(t)=ax(t)+bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) (2.8) (2.9) Donde la ecuación (2.8) es la ecuación de estado del sistema lineal invariante en el tiempo y la ecuación (2.9) es la ecuación de salida para el mismo sistema; donde A se denomina matriz de estado de (n x n) y B matriz de entrada de (n x m) t C matriz de salida de (p x n\ D matriz de transmisión directa de (p x m), x(t) es el vector de estado de («x i), u(t) es el vector de entradas de (m x 1) y y(t) es el vector de salidas de (p x 1); m es el número de entradas y p el número de salidas. Los elementos de las cuatro matrices pueden ser elementos variantes en el tiempo o elementos invariantes en el tiempo (coeficientes constantes), este último es en el que se enfoca esta tesis.

28 A = <hi <hl a 22 a 2, I» I «é m. (n*n) (2.10) B = " I *» 2 (n*p) (2.11) V c = <1! <12 " <1 1» c 2 Cj2 C 2««(f*/l) (2.12) ^ " 2p (2.13) «P Las ecuaciones (2.8) y (2.9) se pueden representar en un diagrama de bloques, como el que se muestra en la figura 2.1. Las líneas gruesas indican que las señales son vectores, y el símbolo integrador realmente indica n integradores escalares.

29 Figura 2.1 Es de utilidad saber como escribir las ecuaciones de estado directamente a partir de una ecuación diferencial de orden superior o de una función de transferencia, por lo tanto, la ecuación (2.8) se puede utilizar para representar las n ecuaciones de estado de la ecuación (2.7), y los elementos matriciales quedan representados: " 0 i 0» 0 "0" 0 0 i 0 0»» j B = r a o -a 2 ' "«.-i. 1 (2.14) De donde las ecuaciones de (2.14) se le conocen como la forma canónica en variables de fase (FCVF), o laforma canónica controlable (FCC) Matriz función de transferencia Se han presentado los métodos para modelar un sistema lineal e invariante con el tiempo mediante funciones de transferencia y ecuaciones de estado. La función de transferencia de un sistema lineal con una entrada y una salida (2.4) se define en términos de los coeficientes de la ecuación diferencial del sistema.

30 Para obtener la matriz Junción de transferencia se hace uso de la transformada de Laplace, ya que partimos de ecuaciones dinámicas lineales invariantes en el tiempo. Entonces, asumiendo que (0) = xo y aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones de estado (2.8) y (2.9); obtenemos: «i sx(s)~x 0 =AX(s) + BU(s) (2.15) Y(s) = CX(s)+DU(s) (2.16) Resolviendo para X(s) se tiene: X(s) = (si-a)' l xg + (si - A)~*BU(s) (2.17) Sustituyendo la ecuación (2.17) en la ecuación (2.16) obtenemos: Y(s) = C(sl-A)~'x 0 + C(sl - A)'! BU(s) + DU(s) (2.18) Ya que la definición de la función de transferencia requiere que las condiciones iniciales sean puestas a cero x(0) = 0, esto es que el sistema este en reposo en f = 0. Entonces la ecuación (2.18) se reduce a: Y(s) = [C(sI-A)-'B + D] Ufo) (2.19) G(s) = mi = C(sI-A)-'B + D (2.20) U(s) Donde G(s) es la matriz función de transferencia, se puede también escribir de la siguiente forma [4]: G(s) = 1 C[Adj(sI-A)]B + D det (si-a) (2.21)

31 2.3.2 Solución de las ecuaciones de estado Procederemos a resolver las ecuaciones (2.8) y (2.9); empezaremos resolviendo la ecuación homogénea de (2.8), la cual es obtenida al igualar a cero la entrada (u(t) = 0), esto es, x ~ Ax. Donde x es un vector de n elementos y A es una matriz constante de n x n elementos, cornos ya habíamos mencionado anteriormente. Después encontraremos una solución particular de la ecuación no homogénea, y sumando esta a la vez con la solución homogénea encontramos la solución general. Ecuación Homogénea: Consideremos el sistema homogéneo de orden nth: x(t) *=Ax(t) x(0)=xo (2.22) Podemos suponer que hemos encontrado n soluciones linealmente independientes, xu Xi, x H. Las ecuaciones diferenciales correspondientes son: i = anxi+ai2* VlnXn X 2 - a 2 ]X\ (2.23) n = + <ln2*2 + + Integrando la ecuación (2.23), tenemos: i x ì (t)-x ì (Q) = faft +a l2 x a ill x H )dt o o (2.24) o

32 La matriz correspondiente es: = *(0) + jax(x) dx (2.25) Reemplazando t por r : T *(r) = jr(0)+j t(r) r (2.26) y sustituyendo (2.26) en (2.25), tenemos: x(t) = x{0)+ A jc(0)+ju*(r) rj dx (2.27) t r x(í) = x(0) + x{0) A dx + JA \Ax{x) dx dx o o (2.28) Continuando con este proceso: t t r / f x /+ \Adx+ A Adxdx+ A A Adxdxdx o o (2.29) 1 resultado de cada integración es: r Adx = At (2.30) [A r fadxdx=fa[axjdx = oo o 2! I t T A AjAdxdxdx = 'ja dx = 0 o 0 n 0 A n 2! 3! (2.31) (2.32)

33 Por esto la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales representado por la ecuación homogénea (2.22) o (2.23) es:,, AY A 3 t> I + At ! 3! *(0) (2.33) x(t) = e A 'x(0) (2.34) x(t)=mm (2.35) Donde: Y 2! 3! (2.36) m=e* (2.37) Se conoce a $(t) como la Matriz de transición de estado [18]. La matriz de transición de estado opera en el estado inicial del sistema x(0) para producir el estado del sistema x(t) en cualquier tiempo t. Podemos también resolver la ecuación de estado homogénea utilizando el método de la transformada de Laplace. Ecuación no homogénea: La solución de la ecuación de estado no homogénea (2.38), la obtendremos por el método de la transformada de Laplace. x = Ax +Bu (2.38) Esto es, la transformada de Laplace de (2.38) es: ' sx(s)-x(0) =AX(s) +BU(s) (2.39) o bien:

34 {si-a)x(s) =X(0) + BU(s) (2.40) Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por (si-a)' 1 se obtiene: X(s) = (si-a)' 1 X(0) + (si~a)' 1 BU(S) (2.41) Expresándolo en transformada de Laplace, tenemos: X(s) = 3 [e Á '\x(q) + 3 [e Át \BU(s) (2.42) La transformada inversa de Laplace de la ecuación (2.42) se puede obtener mediante la integral de convolución como sigue: i x{t) = e Al x(0) + je AÍ '- r) Bu(r) dx (2.43) o Esta ecuación (2.43) es útil solamente cuando el tiempo inicial se define en t - 0. En el estudio de sistemas de control, casi siempre se desea descomponer un proceso de transición de estado en una secuencia de transiciones, de tal forma que se pueda escoger un tiempo inicial más flexible. Suponga que el tiempo inicial esta representado por o, que el estado inicial correspondiente es X(ÍQ) y suponga que la entrada u(t) se aplica en t* 0. Entonces la solución de la ecuación (2.43) se modifica a: r x{t) = e Ál '-* } x(t 0 ) + \e*'- r) Bu{T) dx (2.44) Notamos que este procedimiento ha producido ambas soluciones en una sola ecuación: La solución homogénea o complementaría y la solución particular [10]. Donde el primer término del segundo miembro (lado derecho) de la ecuación (2.44) es la solución a la ecuación de estado homogénea y el segundo término del lado derecho de la misma ecuación, es decir el término con la integral es la solución particular para el caso no homogéneo.

35 23.3 Matriz de transición Una vez que las ecuaciones de estado de un sistema lineal invariante con el tiempo se encuentran expresadas en la forma de la ecuación (2.8), se procede a resolver estas ecuaciones, dado el vector de estado inicial X(ÍQ), y el vector de entrada u(t) y para La matriz de transición de estado relaciona el estado de un sistema en / *o con su estado en algún tiempo subsecuente t, cuando la entrada es u = 0. Por lo tanto la matriz de transición se define como una matriz que satisface la ecuación de estado lineal homogénea: x=ax (2.45) Podemos escribir: x(t) = tft)x(o) (2.46) Donde <j)(t) es la matriz de transición de estado, la cual es una matriz cuadrada es la solución de: áenxny m = W) (2.47) Una forma de poder determinar < )(t) es utilizando la transformada de Laplace en la ecuación (2.45), obteniendo: sx(s)-x(0) =AX(s) (2.48) X(s) = (sl-a)' 1 X(0) (2.49) donde la matriz (si -A) Laplace en la ecuación (2.49), obtenemos: es no singular, ahora tomando la transformada inversa de

36 = 3" 1 [(sí- 4) -1 Jx(0) ti 0 (2.50) donde: e.ai (2.51) Comparamos la ecuación (2.46) con la ecuación (2.50), la matriz de transición de estado se representa como: (2.52) A continuación se muestran las propiedades de la matriz de transición [20]: m = v(ov>(o-'=i f'ci) = e"' = <K-t) <Kh-t<ù = 4<t2-ti)ip(t,-t^ <Kt+ x)= /<'*'>= é" m r - <K"0 = <Kt) #T) (2.53) (2.54) (2.55) (2.56) (2.57) 2.4 Estabilidad Sistema estable es aquel que, cuando es perturbado desde un estado de equilibrio tendera a regresar a ese estado de equilibrio. Por otro lado, un sistema inestable es aquel que, cuando es perturbado desde su equilibrio se desvía, alejándose cada vez mas (Sistemas Lineales) o posiblemente moviéndose hacia un estado de equilibrio diferente (Sistemas No-Lineales).

37 Estabilidad es la habilidad de la respuesta de un sistema de mantenerse acotada (permanezca dentro de limites) cuando es sometida a entradas acotadas. Se concluye, que las raíces del denominador de la función de transferencia de un proceso determina la estabilidad de su respuesta a señales de entrada. Podemos resumir lo anterior con la siguiente condición de estabilidad para sistemas lineales [21 ]: Un sistema es estable si todas las raíces del denominador de su junción de transferencia son cualquiera de los dos, números reales negativos o números complejos con parte real negativa. Todos los sistemas dinámicos utilizables son necesariamente estables; ya sea que, son inherentemente estables o han sido hechos estables por la intención misma del diseño. La estabilidad ocupa una posición clave en la teoría de control por la razón de que el límite superior del funcionamiento de un sistema de control retro alimentado es frecuentemente establecido por las consideraciones de estabilidad. Es posible checar si un sistema es estable o no por la examinación del comportamiento con respecto al tiempo, siguiendo una perturbación inicial. Para establecer si un sistema es estable o no, no necesitamos conocer la solución, solamente conociendo si después de la perturbación la solución decrece o aumenta. Note que, para un sistema lineal [14], las respuestas a perturbaciones iniciales de diferentes magnitudes son idénticas excepto por un factor escalar. Esto es, sea xo la perturbación inicial y x(t) la respuesta resultante; entonces la respuesta a una perturbación kxo será kx(t). Por lo tanto si un sistema es estable en respuesta a una magnitud de perturbación, será estable en respuesta a todas las otras magnitudes. La estabilidad de un sistema lineal se puede obtener tanto de su representación entrada-salida como en su representación en variables de estado. Un sistema es estable [12] de entrada-acotada/salida-acotada (Bounded- Input/Bounded-Output, BIBO) o simplemente estable, si su salida es acotada para una entrada u(t) acotada.

38 De los estudios de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de sistemas SISO, sabemos que la solución homogénea que corresponde a la respuesta transitoria del sistema está gobernada por las raíces de la ecuación característica. En la representación entrada-salida, el denominador de la función de transferencia ecuación (2.4) se le denomina polinomio característico o ecuación característica, o el determinante de (si - A) de la matriz de transferencia se le conoce también como polinomio característico: aj 1 + a^if' + + a s + a 0-0 (2.58) Las raíces de este polinomio son equivalentes a los valores propios A* de la matriz A en la representación de variables de estado (2.8) Como la respuesta impulso de un sistema continuo lineal invariable en el tiempo es una suma de funciones exponenciales en el tiempo, cuyos exponentes son las raíces de la ecuación característica del sistema. Una condición necesaria y suficiente [6] para que el sistema sea estable es que las partes reales de las raíces de la ecuación característica sean negativas o equivalentemente; los valores propios de la matriz A, tengan parte real negativa, esto es, que se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s. Como se muestra en la Figura 2.2. Existen muchas definiciones de estabilidad; nosotros nos enfocaremos a la localización de los polos de la ecuación característica. Ahora bien, saber si un sistema es o no absolutamente estable es una información insuficiente para la mayor parte de los propósitos. Si un sistema es estable, usualmente queremos saber que tan estable es o que tan cerca esta de ser inestable; para esto necesitamos determinar su estabilidad relativa. La estabilidad absoluta solo nos da la información de que si un sistema es estable o no lo es.

39 Plano S A/W Región estable Región inestable Región estable Región inestable Figura 2.2 Existen varios métodos de análisis para conocer la estabilidad relativa de un sistema lineal; estos se verán en los capítulos posteriores.

40 CAPITULO 3 ANALISIS DE ESTABILIDAD EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 3.1 INTRODUCCION Se entiende por el término respuesta a la frecuencia, la respuesta en estado estacionario de un sistema a una entrada senoidal. En los métodos de respuesta a al frecuencia, sé varía la frecuencia de una señal de entrada sobre un cierto rango y se estudia la respuesta resultante. Frecuentemente se utilizan métodos de respuesta en frecuencia para diseñar sistemas de control industrial. En la practica el desempeño de la mayoría de sistemas de control se mide más real bajo sus características en el dominio del tiempo, juzgando su comportamiento en base en la respuesta del tiempo debido a varías señales de entrada de prueba. Debido a que la respuesta en el tiempo de un sistema de control es normalmente más difícil de determinar analíticamente; se hace entonces uso de los métodos gráficos que existen para analizar la respuesta en el dominio de la frecuencia, analizando el comportamiento de la salida del sistema a diferentes señales de entrada dentro de los rangos de interés (frecuencias). (El análisis en el dominio del tiempo no se verá en esta tesis). Existe una correlación entre el desempeño en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia de un sistema lineal, debido a que las propiedades en el dominio del tiempo de un sistema se pueden predecir por medio de las características en el dominio de la frecuencia.

41 Es necesario expresar el comportamiento de un sistema en términos de su respuesta en frecuencia, ya que factores como el ruido se presentan en cualquier sistema, y este método permite evaluarlo. También puede utilizarse en situaciones donde algunos o todos los componentes de la función de transferencia de un sistema son desconocidos. La respuesta en frecuencia puede ser determinada experimentalmente y una expresión aproximada para la función de transferencia puede obtenerse a partir de las gráficas de los datos experimentales. El método de la respuesta en frecuencia es un método poderoso también para el análisis y diseño de sistemas robustos multivariables (MIMO) con incertidumbre paramétrica de la planta. Este método permite hacer una determinación aproximada de la respuesta del sistema a través de la interpretación gráfica en el dominio de la frecuencia. Para visualizar esta ventaja, supongamos que se ha determinado la respuesta en frecuencia de un sistema cualquiera, la respuesta en el tiempo puede determinarse utilizando la correspondiente transformada inversa de Fourier. El comportamiento en el dominio de la frecuencia para una función de entrada dada x(t) se determina por la transformada de Fourier: X (ja>)= ]x(t)e- J "dt (3.1) Para un sistema de control la respuesta en frecuencia de la variable controlada es: ru») =. ^ f 0 *! - XU«>) (3-2) 1 + G(j<o)H(j(o) Usando la transformada inversa de Fourier la variable controlada como función del tiempo es: y(t) = "\Y{ja>)e im, da> (3.3)

42 En muchas ocasiones esta ecuación (3.3) no puede ser evaluada por tablas de referencia de integrales definidas, pero puede evaluarse por integración numérica o gráfica; esto se hace necesario si Y(jco) es válida solamente como una curva y no puede ser expresada en forma analítica, que resulta ser el mayor de los casos. 3.2 Respuesta a la frecuencia Básicamente pertenecen a dos categorías las gráficas en el dominio de la t frecuencia que son de gran utilidad para el análisis y diseño gráfico de sistemas de control con retroalimentación. La primera categoría, es la gráfica de la magnitud de la razón de la salida con la entrada contra la frecuencia, en coordenadas rectangulares. En coordenadas logarítmicas estas son conocidas como gráficas de Bode. Asociado con esta gráfica, esta una segunda gráfica correspondiente al ángulo de fase contra la frecuencia. En la segunda Categoría, la razón de la salida con la entrada debe graficarse en coordenadas polares con la frecuencia como parámetro. Las gráficas polares son generalmente usadas para respuesta de lazo abierto y son normalmente referidas como gráficas de Nyquist. Estas gráficas pueden obtenerse con la ayuda de software, como por ejemplo: Matlab, que es una herramienta de gran utilidad para el análisis y diseño de sistemas de control, al igual que el programa CC. Nos apoyaremos para la realización de las gráficas en estas herramientas; aunque cuando no se tiene disponibilidad a estas herramientas, las gráficas de Bode se obtienen fácilmente por un procedimiento gráfico, las otras gráficas pueden ser obtenidas a partir de las gráficas de Bode. El punto de comienzo para el análisis en el dominio de la frecuencia de un sistema lineal es su función de transferencia. Para una señal de entrada senoidal, la entrada y la salida en estado estacionario son de la siguiente forma: x(t) -Xsin úm y(t) = Y sin (a* + a) (3.4) (3.5) La respuesta a la frecuencia de lazo cerrado esta dado por:

43 ru*) = Q(j*) = M(a>)Za(a>) (3.6) X(ja>) 1 + G(ja>)H(ja>) Para cada valor de frecuencia en la ecuación (3.6), se produce una cantidad fasorial, cuya magnitud es M, y ángulo de fase a es el ángulo entre Y(fa) y X(j<o). Un sistema ideal puede ser definido como aquel donde a=0 y X(jc$ = Y(ja>) para 0 < <o < oo. Sin embargo esto implica una transferencia de energía instantánea desde la entrada hacia la salida. Ya que en la practica una transferencia de un sistema físico no puede llevarse a cabo sin la disipación de algo de energía y de elementos que almacenen algo de energía. La figura 3.1 muestra las características de respuesta a la frecuencia de la función de transferencia de la ecuación (3.6) en coordenadas rectangulares: un sistema ideal (curva 1) y la respuesta en la frecuencia de sistemas de control prácticos (curva 2 y 3). El ancho de banda de la respuesta a la frecuencia esta definida como el rango de frecuencias desde 0 hasta la frecuencia donde M = del valor en m - 0. La frecuencia úfo es la frecuencia en la cual se encuentra la amplitud máxima M m de la curva 2. En cualquier sistema la señal de entrada puede contener señales de ruido falsas además de la señal de entrada auténtica, o pueden ser fuentes de ruido dentro del sistema de lazo cerrado. Este ruido esta generalmente en una banda de frecuencias arriba de la banda de frecuencia dominante de la señal de entrada auténtica. Por esto, para reproducir la señal auténtica y atenuar el ruido, los sistemas de retroalimentación son diseñados para tener un ancho de banda definido. En ciertos casos la frecuencia del ruido puede existir en la misma banda de frecuencia que el de la señal auténtica. Cuando esto ocurre, el problema de estimar la señal deseada es más complicado.

44 (4 e>) Figura Criterio de estabilidad de Nyquist El criterio de estabilidad de Nyquist nos permite investigar la estabilidad absoluta y la estabilidad relativa de sistemas lineales de lazo cerrado a partir del conocimiento de sus características de respuesta a la frecuencia de lazo abierto. La gráfica de Nyquist de una función de transferencia senoidal G(jcc) es una gráfica de la magnitud de G(ja) contra el ángulo de fase de G(ja) en coordenadas polares conforme <o varía desde cero hasta infinito. Por lo tanto la gráfica polar es el

45 lugar del vector G(jú$ \ G(j<$ al variar 0) desde cero hasta infinito. En los diagramas polares un ángulo de fase positivo o negativo es medido sentido antihorario o sentido horario desde él eje real positivo. Las gráficas de Nyquist son también llamadas gráficas polares. La figura 3.2 muestra un ejemplo de este tipo de gráficas. Cada punto de G(jc&) en la gráfica polar representa el punto terminal de un vector en un valor particular de ex Las proyecciones de GQa) en los ejes real e imaginario son sus componentes real e imaginario. m A Plano G(Jco) Plano 5 -?(03-4(02 -i o* Figura 3.2 Algunas de las ventajas de utilizar las gráficas de Nyquist, es que describen las características de respuesta en frecuencia de un sistema en todo el rango de frecuencia en una sola gráfica, además de proporcionar información sobre la estabilidad relativa de un sistema estable y el grado de inestabilidad de un sistema inestable, y como mejorar la estabilidad del sistema en caso de ser necesario. Una desventaja es que la gráfica no indica claramente las contribuciones de cada factor individual de la función de transferencia de lazo abierto. La estábilidad del sistema esta en función de los polos de Y(s) / X(s) > es decir, para que un sistema sea estable, las raíces de la función característica (3.7) no deben

46 localizarse en el semiplano derecho positivo del plano s, como ya se había mencionado anteriormente. B(s) =1 + G(s)H(s) = 0 (3.7) Si G = Nj/Di y H = N2/D2, podemos escribir la ecuación (3.7) como: B(s) = 1 + M ± = A A + ^ 2 (3.8) D X D Z D x D 2 Notamos que los polos de la función de transferencia de lazo abierto (G(s)H(s)) son los mismos que los polos de B(s). Para la función de transferencia de lazo cerrado del sistema, la ecuación: Y(s) _ Gjs) = Nfi, X(s) 1+G(s)H(s) Dpi+Nfo (3 ' 9) notamos que el denominador de la ecuación (3.9) es el mismo que el numerador de la ecuación (3.8), entonces, para la condición de estabilidad, ninguno de los ceros de B(s) que son las raíces de la ecuación característica o los polos de la función de transferencia de lazo cerrado deben localizarse en el semiplano derecho positivo del plano s. El criterio de Nyquist se originó en una aplicación en la ingeniería del bien conocido principio del argumento [12] de la teoría de la variable compleja, esto es, sea B(s) una fracción racional univaluada, podemos representar la función característica (3.7) en forma racionalizada y factorizada ecuación (3.10), la cual tiene un número finito de polos en el plano s. Univaluado significa que para cada punto de s, existe un punto, y solo uno, correspondiente, incluyendo el infinito, en el plano complejo B(s) _ (s-z x Xs-z 2 ) ( s-z H ) (S- P L \S-P 2 ) (s-p H ) (3.10)

47 Donde z/,z Zn son los ceros y $,p2, p son los polos. Algunos de los polos y ceros de la forma generalizada de la función B(s) son dibujados arbitrariamente en el plano s de la figura 3.3. También se dibuja arbitrariamente el contorno cerrado Q' que encierra al cero z. Para el punto O' que se encuentra sobre el contorno de Q' cuyas coordenadas son s = <r + jca, están dibujados segmentos de líneas directas que están dadas por s-z, s-z, s- pi, s - p, etc, no es necesario indicar todos los segmentos directos de polos y ceros. Si el punto O' es rotado una vez en el sentido horario alrededor del contorno cerrado Q\ la línea de longitud (s-z ) rota sobre el contorno una cantidad completa en sentido horario de un ángulo de 360. Todos los otros segmentos rotan una cantidad de un ángulo de 0. Por lo tanto, la rotación en sentido horario de 360 para la longitud de (s- z ) debe realizarse simultáneamente por la función B(s) de la ecuación (3.10) para el encierro de z por la trayectoria Q'. Si consideramos un contomo mas largo Q'' que encierre los ceros z, Z2 9 zs, y el polo p4 mientras el punto O" es rotado en sentido horario una vez alrededor del contomo cerrado Q'\ cada uno de los segmentos directos de línea de polos y ceros encerrados, rotan a través del contomo en sentido horario un ángulo de 360. Ya que la rotación angular de un polo esta experimentado por la función característica B(s) en su denominador, la rotación angular completa realizada por la ecuación (3.10) debe ser igual a la rotación angular completa debido al polop4 menos la rotación angular completa debido a los ceros z, zi y zj. En otras palabras, la rotación angular completa de B(s) es (3X360 ) = Por lo tanto, para este caso, el número completo de rotaciones (N) experimentado por B(s) para el movimiento en sentido horario de O" realizado una vez sobre el contomo corado Q'' es igual a -2; esto es: N= (número de polos encerrados) - (número de ceros encerrados) = 1-3 = -2 Donde el signo negativo indica rotación en sentido horario. Si el contorno Q" incluyera solamente el polo p4, B(s) experimenta entonces una rotación en sentido antihorario (signo positivo) mientras el punto O" se mueve en sentido horario alrededor del contorno. Para cualquier trayectoria cerrada que se pueda escoger, todos los polos y

48 ceros que se encuentren fuera de ella contribuyen con una rotación angular de 0 para B(s) mientras un punto se mueve una vez alrededor de esta trayectoria. El principio del argumento puede mencionarse como sigue: Sea B(s) una función univaluada que tiene un número finito de polos en el plano s. Suponga que una trayectoria arbitraria cerrada Q' o Q" se escoge en el plano s, de tal forma que la trayectoria no atraviese ninguno de los polos o ceros de B(s); el lugar geométrico correspondiente a Q' o Q" mapeado en el plano B(s) (QB' o QB") encerrará al origen tantas veces como la diferencia entre el número de ceros y polos de B(s) que están rodeados por el lugar geométrico Q' o Q" en el plano s. Estoes: N = P-Z (3.11) Donde N es el número de encierros del origen hechos por el lugar geométrico QB en el plano B(s), Z es el número de ceros de B(s) encerrados en el plano s por el lugar geométrico Q y P es el número de polos de B(s) encerrados en el plano s por el lugar geométrico Q. Hace años cuando Nyquist se enfrentó al problema de resolver la estabilidad, que involucra determinar si la función B(s) tiene ceros en el semiplano derecho del plano s t descubrió aparentemente que el principio del argumento se podía aplicar para resolver el problema de estabilidad si consideramos para esto un contorno cerrado muy particular, es decir, hasta ahora cuando nos referimos a un contorno cerrado en el plano complejo, pensamos en una figura de cualquier forma y situada en cualquier lugar del plano s. Para establecer el criterio de estabilidad con el método de Nyquist definiremos un contorno específico. Esto es consideremos un contorno cerrado Q tal que todo el semiplano positivo del plano s es encerrado, este contomo, es también conocido como el contorno de Bromwich [9, pg.168]. Se trata de una semicircunferencia con radio infinito, con centro en el origen y recorrida en el sentido horario (negativo), esta trayectoria es definida como la trayectoria de Nyquist; por lo que esta trayectoria encerrará todos los polos y ceros de B(s) que tengan parte real positiva, ver la figura