INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA MCG: Generador de Acordes Musicales. Mario Alberto Páez Castillo

Transcripción

1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA MCG: Generador de Acordes Musicales Tesis que presenta Mario Alberto Páez Castillo Para Obtener el Título de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica En la Especialidad de Acústica Director de la Tesis: Dr. Maximino Peña Guerrero. Codirector: Ing. José de Jesús Negrete Redondo. México D.F. Junio 2008

2 Trabajo de tesis que forma parte de los resultados obtenidos en nuestro proyecto de investigación, KSR: Sistema Digital de Reconocimiento de Voz, número de registro CGPI , asignado por la Secretaría de Investigación y Posgrado del Instituto Politécnico Nacional. Dicho proyecto fue realizado durante el año del 2007 dentro de las instalaciones del Laboratorio de Acústica, y dirigido por el Dr. Maximino Peña Guerrero. ii

3 RESUMEN Una composición musical, comprende la escritura de símbolos (pentagrama, notas, compases, sostenidos, etc.) a través de reglas (armonía, melodía, ritmo, estilos, etc.) con el fin de producir sonidos agradables o no al oído humano. El compositor requiere en la mayoría de los casos conocimientos de teoría musical para crear su obra y se enfrenta con algunas dificultades entre las cuales están que al ir escribiendo su música necesita ir haciendo operaciones aritméticas (sumas y restas) para saber que notas va a tocar un instrumento y que notas va a tocar el otro, y así con cada uno de ellos, lo cual le resta tiempo. Otra situación que tiene que resolver es que para escuchar su creación necesita de recursos humanos y materiales, como músicos, instrumentos, un espacio cerrado, capital financiero, etc. Esta tesis presenta un Sistema Generador de Acordes Musicales (MCG) que permite generar un conjunto de voces musicales a partir de una línea melódica, (1 a voz) o una canción; con ello se pretende resolver parte del problema de la composición musical, cómo el tiempo y la inversión económica. Se están utilizando sistemas digitales para la generación automática ya que son ideales para éste tipo de operaciones aritméticas. Se utiliza la tarjeta de sonido de una PC y en especial el puerto MIDI (Musical Instrument Digital Interface) del mismo ordenador, para realizar las pruebas requeridas. Por otra parte con este sistema se tiene el propósito de acercar al compositor a la tecnología, ya que le sería bastante útil. Se obtuvieron algunos resultados concretos que son los siguientes: se programaron en lenguaje C una serie de funciones para la transportación de cada una de las voces y también un interprete sencillo, que sirve como un procesador de palabras, solo que en este caso es un procesador musical, si se introduce la palabra do, el interprete produce el sonido do; además de una serie de pantallas que muestran una melodía y la generación de la 1 a, 2 a, 3 a, 4 a y 5 a voz. iii

4 María Castillo Díaz, Alberto Páez Ramírez, J. Daniel Páez Castillo, Instituto Politécnico Nacional... Dios: Gracias. iv

5 Agradecimientos Agradezco a mi director de tesis, Dr. Maximino Peña Guerrero la oportunidad, asesoría y paciencia en el desarrollo de este proyecto. También agradezco al Ing. José de Jesús Negrete Redondo, codirector de esta tesis, por sus ideas y aportaciones, que mejoraron significativamente el contenido de este trabajo. Así mismo agradezco a la Academia de Acústica, por las facilidades prestadas en el desarrollo de este proyecto y por la formación previa al mismo. Agradezco también a mis profesores de la ESIME y a todos los que colaboraron en mi formación académica, incluyendo los que me enseñaron las bases del arte musical. Gracias también a mis entrañables amigos, por sus palabras motivantes, para seguir adelante no solo con este proyecto sino con la vida misma. También quiero agradecer a todas las personas que me brindaron su cariño y su atención desinteresada cuando mi salud era menos buena. En especial agradezco a Norma Ledesma Ruíz, por enseñarme a descubrir la maravilla que existe dentro de los humanos llamada Mente y las consecuencias que pueden ocurrir si esta no se controla. De la misma forma doy gracias a mis padres por darme la oportunidad de venir a este mundo y enseñarme que la única forma de conseguir algo, es esforzandoze por ello. Además de mostrarme que el camino más rápido a la felicidad es darse uno mismo a los demás, sin esperar nada a cambio. Finalmente doy gracias a José Daniel Páez Castillo, por estar ahí siempre, a pesar de todo, además del cariño y las palabras de aliento, para seguir adelante escribiendo más capítulos en el libro de la vida. Mario Alberto Páez Castillo. v

6 ... No hay tarea, grande o pequeña que no se pueda terminar si te lo propones. Recuerda siempre que eres tan fuerte como tú lo permitas... Beth Bagan Quinn vi

7 Índice general 1. Conceptos musicales y Música Digital Elementos Musicales Inspiración Musical Melodía Armonía Ritmo Música Digital Composición Asistida por Computadora MIDI Resumen Métodos Numéricos en la Música Representación Numérica de Notas y Sonidos Sistema Digital de Notas Tipos de Acordes Resumen Implementación y diseño Compilador KL Comandos MIDI Tarjeta de Sonido de una PC Algoritmos del MCG Pruebas y Resultados Desarrollo de Partituras en Tex Escala Mayor y Escala Menor Ejemplo de un Programa con KL Tipos de Acordes Estudio Económico

8 4.6. Limitaciones y trabajos futuros

9 Índice de figuras 1.1. Escala Cromática con sostenidos y bemoles Famila de acordes de C Familia de acordes de C en el teclado Famila de acordes de Cm Familia de acordes de Cm en el teclado Famila de acordes de C Familia de acordes de C6 en el teclado Famila de acordes de Cm Familia de acordes de Cm6 en el teclado Famila de acordes de C Familia de acordes de C7 en el teclado Famila de acordes de Cm Familia de acordes de Cm7 en el teclado Famila de acordes de Cdim Familia de acordes de Cdim en el teclado Familia de Acordes de C Familia de acordes de C+ en el teclado Familia de acordes de C Familia de acordes de C Familia de acordes de C7b Familia de acordes de C7b Familia de acordes de C7b Familia de acordes de C7b Familia de acordes de Cmaj Familia de acordes de Cmaj Familia de acordes de Cm7b Familia de acordes de Cm7b Familia de acordes de C7sus

10 2.28. Familia de acordes de C7sus Familia de acordes de C Familia de acordes de C Familia de Acordes de Cm Familia de acordes de Cm Familia de acordes de C Familia de Acordes de C Familia de Acordes de C9b Familia de Acordes de C Familia de acordes de Cmaj Familia de acordes de Cmaj Familia de acordes de C Familia de acordes de C Familia de acordes de C11b Familia de acordes de C11b Familia de acordes de C Familia de acordes de C Familia de acordes de C Familia de acordes de C Familia de acordes de C13b Familia de acordes de C13b Familia de acordes de C7/ Familia de acordes de C7/ Familia de acordes de C9/ Familia de acordes de C9/ Diagrama General de KL Diagrama básico de una tarjeta de Sonido Escala Mayor Escala Menor Escala Mayor generada con el compilador KL Línea de comandos de KL Acorde mayor Acorde menor

11 Índice de tablas 1. Duración de las notas Forma canónica de la famila de acordes de C Forma canónica de la famila de acordes de Cm Forma canónica de la famila de acordes de C Forma canónica de la famila de acordes de Cm Forma canónica de la famila de acordes de C Forma canónica de la famila de acordes de Cm Forma canónica de la famila de acordes de Cdim Forma canónica de la familia de acordes de C Forma canónica de la familia de acordes de C Forma canónica de la familia de acordes de C7b Forma canónica de la familia de acordes de C7b Forma canónica de la familia de acordes de Cmaj Forma canónica de la familia de acordes de Cm7b Forma canónica de la familia de acordes de C7sus Forma canónica de la familia de acordes de C Forma canónica de la familia de acordes de Cm Forma canónica de la familia de acordes de C Forma canónica de la familia de acordes de C Forma canónica de la familia de acordes de Cmaj Forma canónica de la familia de acordes de C Forma canónica de la familia de acordes de C11b Forma canónica de la familia de acordes de C Forma canónica de la familia de acordes de C Forma canónica de la familia de acordes de C13b Forma canónica de la familia de acordes de C7/ Forma canónica de la familia de acordes de C9/ Costos para realizar el prototipo

12 4.2. Costos para implementar el proyecto de forma comercial

13 Introducción Seguramente la forma de componer una pieza musical en la actualidad, es diferente a como se hacía antes, esto se debe en parte a que las reglas de la armonía se han vuelto más flexibles, sin embargo el cumplimiento de ellas en la mayoría de los casos es imprescindible. Por eso, a continuación se mencionan algunos elementos básicos de música para poder entender la forma en como funciona el M. C. G. Primeramente hay que definir la palabra música, que es el arte de combinar sonidos y silencios, a lo largo de un tiempo, produciendo una secuencia sonora que transmite sensaciones agradables al oído. Esto nos lleva pensar que el sonido es parte fundamental de la música, y es cierto porque sin el, no sería posible la música. Pero qué es sonido, bueno acústicamente hablando es una perturbación, que se propaga en un medio elástico y llega a excitar al oído humano, sus principales características son la intesidad, el tono y el timbre. Entendemos como intensidad a la cantidad de energía sonora por unidad de área, transmitida en una dirección determinada, su valor es 1x10E 12w/m 2, gracias a la intensidad del sonido, nuestro oído puede percibir la diferencia entre sonidos fuertes y sonidos débiles. Otra característica importante es el tono, que se refiere a la forma subjetiva de como el oído percibe el sonido, el cual puede ser en forma grave o aguda. En una melodía el tono nos sirve para saber la ubicación que tendrá en el pentagrama. Finalmente definimos el timbre como a un conjunto de armónicos que pertenecen a un sonido cuando vibra a su frecuencia fundamental. Musicalmente hablando el timbre nos permite saber cuando se está tocando un La 4 de un piano ó un La 4 de una 7

14 ( ) * + Tabla 1: Duración de las notas Figura Nombre Tiempo(s) # Redonda 4 " Blanca 2 Negra 1 Corchea 1/2 Semicorchea 1/4 Fusa 1/8! Semifusa 1/16 guitarra. Ahora hablaremos un poco del lenguaje natural de la música, el solfeo. Primero trataremos elementos importantes en el conocimiento del mismo, empezaremos diciendo que un pentagrama es un conjunto de cinco líneas separadas por cuatro espacios equidistantes, en ellas se escriben los simbolos musicales, que finalmente forman un guión o pieza musical. Existen muchos símbolos en la música, entre los cuales se encuentran las notas, los silencios, las alteraciones, los compases, las claves, entre otros. Sabemos que una nota musical sirve para representar los sonidos de cualquier obra, actualmente son siete, las notas fundamentales: Do Re Mi Fa Sol La Si y cinco alteraciones Do Re Fa Sol La o bien Re Mi SOl La Si. El significa sostenido y la significa bemol, pero más adelante se daran detalles. Otra característica de las notas es la duración, que es medida en segundos (Tabla 1), y es controlada por el compás. Sin embargo las notas no tendrían nombre sobre el pentagrama sino fuera por otro símbolo más llamado clave. Las claves que existen son las siguientes: Clave de Do. Clave de sol. Clave de Fa. Al componer la obra es necesario saber para qué instrumentos va a ser creada, con el fin de acomodar la voz de cada instrumento en el lugar adecuado. Esto impli- 8

15 ca, que para cada voz, el guión musical va a ser distinto y en consecuencia las operaciones aritméticas que realizará el compositor aumentaran en forma considerable, volviendose algo tedioso a la hora de escribir su música sobre el pentagrama; operaciones que una computadora digital puede realizar de forma eficiente, y no solo eso, también puede ser útil al interpretar automáticamente su creación musical. Con este fin el Music Chords Generator (M. C. G), utiliza sistemas digitales para su implementación, como el puerto MIDI, la tarjeta de sonido y por supuesto la Unidad Central de Proceso (CPU). El protocolo de comunicaciones entre instrumentos musicales(midi) nos permite, generar sonidos de diferentes instrumentos musicales, mediante la comunicación entre sintetizadores, secuenciadores, controladores y computadoras. A lo largo de la tesis se muestran los elementos básicos de la teoría musical, que sirven como sustento del MCG, al explicar en ellos, conceptos como notación musical, melodía, armonía, ritmo, etc. Por otra parte también se detallan los elementos del interpre musical, los algoritmos de transposición, que forman parte del MCG. En el capítulo uno se presenta un panorama general de los elementos teóricos y prácticos necesarios para el desarrollo de nuestro trabajo, como son: conceptos, citas, historia, entre otros. En el capítulo dos se presentan los acordes musicales y su representación en forma MIDI. En el tercer capítulo se presenta la programación de los algoritmos de generación y composición musical, además del diseño del Music Chords Generator. En el capitulo cuatro presentaremos los resultados que se obtuvieron. 9

16 Capítulo 1 Conceptos musicales y Música Digital En este capítulo se presentan los principales elementos que se utilizan en la creación de una pieza musical como son, la melodía, la armonía, el ritmo y la inspiración, de esta última parte el compositor para inventar su obra. Por otra parte tambien se menciona la interrelación de una computadora digital y la composición musical, por medio de sistemas de composición asistida por computadora CAC Elementos Musicales A continuación se presentan los Elementos Musicales, esenciales para el compositor Inspiración Musical Es una característica inherente al compositor, normalmente compone todos los días algo de música. Generalmente parte de una línea melódica, la cual es una sucesión de notas; a partir de ahí produce el resto de la pieza. Sin embargo la idea de una nueva pieza, le puede llegar al compositor de varias formas, tal vez como un acompañamiento con una melodía o simplemente un acompañamiento que más tarde añadirá una melodía. También puede que tenga la idea a través de un ritmo, al que posteriormente sumará un acompañamiento y después una 10

17 melodía. El compositor va anotando varias ideas musicales y empieza a definir el sentido expresivo que tendra su obra, puede que sea un tema triste o alegre, tranquilo o intempestivo, entre otros. Posteriormente ya que tiene la idea musical y el sentido expresivo, elige los instrumentos que utilizará para dicha obra. Muchas veces aun cuando la obra musical ya esta un poco avanzada los instrumentos no estan bien definidos, aunque finalmente se tendran que elegir los instrumentos de acuerdo a la línea melódica y al sentido expresivo de la obra Melodía La melodía es la parte de la música que más llama la atención de una pieza musical, y es una serie de sonidos de diferentes frecuencias y de duraciones distintas, que se dan en un tiempo determinado. Estos sonidos son las notas musicales, sus nombres se deben al monje Benedictino Guido d Arezo, inspirado en un himno a San Juan, escrito en latin como los textos eclesiasticos de ese tiempo. Ut queant laxis REsonare fibris MIra gestorum FAmuli tuorum SOLve polluti LAbii Reatun Sancte Joannes que en español significa: Para que tus siervos puedan cantar libremente las maravillas de tus actos, elimina toda mancha de culpa de sus sucios labios, oh San Juan. Al darle nombre a las notas ya era más facil recordarlas, porque eran solo 7; sin embargo para crear una melodía son necesarias más de 7 notas, entonces lo que se hace es repetir estas mismas notas dependiendo si el sonido buscado es más grave o más agudo, alcanzando así 60 sonidos diferentes, que abarcan una frecuencia de los 20Hz a los 20kHz, que es precisamente la respuesta en frecuencia del oído de un ser humano. Para poder diferenciar estos 60 sonidos mediante 7 notas musicales, se agregó un subindice a cada una de las notas. Por ejemplo al Do central del piano, lo llamamos Do 3 y un Do anterior Do 2 y a un Do posterior Do 4. Entre cada uno de estos Do, exis- 11

18 te una distancia que en música se llama intervalo, y este intervalo en especial es la Octava. Por supuesto hay otros intervalos entre cada una de las notas, por ejemplo para saber el intervalo que existe entre Re y Fa, se cuentan las siguientes notas Re Mi Fa, en total son tres notas, por lo tanto, el intervalo es de 3 a. Además de estos conceptos utilizados en la creación musical, vamos ahora a hablar de otro concepto importante que es La Escala Diatónica, en ella se encuentran agrupadas las siete notas musicales ordenadas en forma ascendente o descendente. A partir de ella se determina la técnica para tocar un instrumento. La Escala diatónica se da en dos formas una Mayor y la otra Menor. Se puede decir que la escala mayor contiene ocho notas en forma ascendente y se divide en dos tetracordes, que estan unidos por un tono. En otras palabras para formar una escala diatónica, se sigue una regla, a partir de un tono raíz: (Tono T) (Semitono St) T T St T T T St Do Re Mi Fa Sol La Si Do A su vez esta tiene siete grados más la repetición del primero, que se representan con números romanos, además se les asignan los siguientes nombres. I. Tónica. II. Supertónica o sobretónica. III. Mediante o 1 a modal. IV. Subdominante. V. Dominante. VI. Superdominante o sobredominante o 2 a modal. VII. Sensible. Otra escala de igual importancia, es la escala cromática en la cual se encuentran incluidas las alteraciones de las notas como los sostenidos y los bemoles, en resumen son 12 notas. Y por qué crear alteraciones? Fue necesario crear alteraciones, porque en el sistema musical ya existían semitonos como el de Mi y Fa o el de Si y Do. Propiamente un sostenido altera a la nota raíz un semitono (medio tono) hacia arriba, por ejemplo con la nota Sol, si le agregamos este signo, tenemos entonces sol. Con el bemol en cambio alteramos la nota medio tono hacia abajo, por ejemplo si tenemos un La y le agregamos una, nos queda La. En la Figura?? se muestra la escala 12

19 G # 4# # 4# # # 4# # 4# # 4# # # G # #2# #2# #2# # #2# #2# # Figura 1.1: Escala Cromática con sostenidos y bemoles crómatica en forma ascendente con sostenidos y en forma descendente con bemoles. En la melodía son muy importantes los intervalos, a continuación se presentan los tipos de intervalos más utilizados. 1. En los intervalos armónicos las dos notas que lo forman se producen simultaneamente. 2. En los intervalos melódicos una nota suena antes que la otra. 3. En un intervalo simple la distancia entre las notas es menor a una octava. 4. En un intervalo compuesto la distancia entre las notas es mayor a una octava. Ahora hablaremos de la tesitura, que es la distancia entre el sonido más grave y más agudo que puede emitir un instrumento. El sistema de tonalidades se crea por la necesidad de transportar la melodía a un ámbito aceptable para la voz o el instrumento utilizado Armonía Antes de empezar a hablar del concepto de armonía, veremos dos definiciones, la consonancia y la disonancia. En la consonancia tenemos dos sonidos que se emiten simultaneamente y dan una sensación de estabilidad o equilibrio. Por otra parte la disonancia se da entre dos sonidos que al producirse simultaneamente nos causa una sensación de choque o tensión. Pitágoras matemático griego, dijo al respecto que dos sonidos son consonantes según la proporción que tengan sus frecuencias. Por ejemplo entre un Do 1 y un Do2 la proporción es 2:1; entre un Sol 2 y un Do 2 es de 3:2. Sin embargo más adelante en 13

20 el siglo XIX, Hermann Von Helmholtz, con su teoría de la afinidad sonora, concluyó, que dos sonidos son más consonantes mientras más armónicos compartan. Se define el concepto de armonía como la unión y combinación de sonidos simultaneos y diferentes, los cuales siguen una línea melódica. Aunque la armonía tal y como la conocemos ahora, tuvo una evolución importante desde su nacimiento en la edad media, por medio del organum, que era un sistema de melodía paralela, en el cual se tocaban dos notas, la voz principal y otra nota, a una 5 a o 4 a inferior, dando lugar a una segunda voz. En esta misma época tuvo lugar el motete, que es una serie de notas que se tocan sobre un solo sonido de fondo. Posteriormente en el renacimiento, el italiano Giovanni Pierlugi da Palestrina, crea una Misa a 6 voces, empleando la polifonía de forma ejemplar y demostrando al papa Marcello II, que esta forma de componer era más original y bella. Conforme el tiempo pasó, se crearón formas especiales de armonía como el contrapunto que es una técnica de composición donde las distintas voces de una obra polifónica mantienen su independencia y tienen la misma importancia melódica. Por tanto, en la armonía se toman en cuenta tanto los sonidos que anteceden a una nota, como los que van después de ella, además de ver las notas que hay por encima o por debajo de la nota en cuestión. Más adelante, en 1722, Rameau en su Tratado de Armonía muestra la creación de los Acordes, menciona que el acorde básico es llamado triada, o acorde de 5 a, ya que parte de una nota raíz, más otra nota a una 3 a superior y otra a una 5 a superior, que en total son tres notas. Posteriormente se integró a la musica el acorde de 7 a, que resulta de añadir una cuarta nota a la triada, a una 7 a de distancia de la nota raíz. Más adelante se formaron los acordes de 9 a, 11 a y 13 a, aunque no entraron muy bien en la música clásica por su disonancia, sin embargo son utilizados normalmente en el Jazz. En la construcción de todos estos acordes la distancia que hay entre una nota y otra es de una tercera. Para poder combinar los diferentes tipos de acordes, se utilizan una serie de Normas de Progresión Armónica, en este caso aplicadas a un coro de cuatro voces, 14

21 que entre el soprano y el contralto, o entre el soprano y el tenor, se permiten intervalos armónicos máximos de una octava y entre el tenor y el bajo se permite, como máximo un intervalo de 15 a o de 2 octavas. A su vez, esta combinación de acordes genera Movimientos Armónicos, como son: el movimiento directo, cuando ambas voces siguen la misma dirección melódica, el movimiento oblicuo, cuando una nota permanece y la otra asciende o desciende y el movimiento contrario, cuando ambas notas o voces toman direcciones opuestas ya sea para acercarse o para alejarse Ritmo Consideramos al Ritmo como la repetición de un patrón a lo largo del tiempo, musicalmente hablando es la ordenación de los sonidos y los silencios en el tiempo, siguiendo la periodicidad de un patrón. Una parte esencial del ritmo es el pulso el cual es la secuencia de golpes, que se repiten a lo largo del tiempo en forma regular y que estan separados entre sí por el mismo periodo de tiempo. Otra parte clave en el ritmo es el tempo que representa la velocidad a la que se interpreta la melodía. Se crearon diferentes nombres del tempo, a los que se llamó indicadores de movimiento por ejemplo, para una velocidad constante, se usan los siguientes: grave, lento, largo, adagio, andante, moderato, allegro, vivace y presto. A pesar de que ya se tenían indicadores de movimiento, no eran muy precisos para marcar el tempo, según como el compositor lo había creado; es por esto que más adelante, en 1816, Johann Nepomuk Maelzel patentó el metrónomo, que sirve para determinar con precisión el tempo en la interpretación de cualquier obra musical. Consiste de un pendulo que al ir de un lado a otro produce un chasquido, que es equivalente a un pulso. Actualmente existen metrónomos electrónicos y prácticamente todos los programas secuenciadores, editores de partituras tienen uno. 15

22 1.2. Música Digital Se presentan a continuación algunas implementaciones que las ciencias de la computación han logrado realizar en el ámbito de la musica Composición Asistida por Computadora Se llama Composición Asistida por Computadora a un conjunto de programas, que ayudados por dispositivos de procesamiento de señales tienen como fin ayudar en la creación musical. Para llegar a esto pasaron muchos años desde la maquina de Charles Babbage cuando Ada Augusta ( ) proponía que el lenguaje de la música, pudiera ser interpretado por una maquina, no importando la complejidad y la extensión de la obra. Aunque en esos años esto no fue posible, más adelante con la llegada de la ILLIAC Hiller e Isaacson crearon la Illiac Suite considerada como la primera composición hecha por una máquina MIDI El protocolo de comunicaciones entre instrumentos musicales MIDI por sus siglas en ingles, nace por la necesidad de interconectar hardaware y software entre sistemas de música electrónica, propiamente MIDI es un lenguaje digital de comandos, que permite conectar instrumentos musicales entre ellos mismos y a la vez con una computadora digital, o con otros dispositivos como secuenciadores y sintetizadores. Fabricantes como Roland y Secuential Circuits acordaron definir en 1983 el estándar OSI MIDI 1.0 de hardaware y software. En la parte de software es un lenguaje que convierte la musica emitida por los instrumentos en codigo binario, que a su vez, es interpretado por una serie de comandos. Mientras que en el hardware se compone de un transmisor (MIDI OUT) y un receptor (MIDI IN), los cuales utilizan conectores DIN de 5 terminales, conectados a un circuito integrado de comunicaciones (UART 6850), programado a una velocidad de bauds. 16

23 1.3. Resumen Se han presentado los conceptos musicales que utilizamos para componer una pieza musical, como la inspiración, la melodía, el ritmo y la armonía. Además de profundizar un poco en el origen de las notas, los intervalos, las escalas diatónica y cromática, los sostenidos y los bemoles. Tambien se mencionaron conceptos como la consonancia y la disonancia, además de la armonía, entre otros. En cuanto al ritmo, vimos que era un pulso y algunos indicadores de movimiento. Respecto a la musica digital, se presentaron los sistemas Cac y su evolución en el proceso de composición musical. 17

24 Capítulo 2 Métodos Numéricos en la Música En este capítulo se presentan los conceptos enfocados en el diseño de MCG, como lo es una nota, una escala o un acorde, pero desde el punto de vista matemático. Además veremos como se forma una octava MIDI, un tono MIDI y un acorde MIDI entre otros Representación Numérica de Notas y Sonidos Sistema Digital de Notas Como ya se mencionó en el capítulo anterior,una nota es un sonido y es el elemento básico de la música. Ahora definimos una nota mediante la siguiente función N(f, r, m) donde f es la frecuencia de la nota, r el tiempo de la nota y m la melodía asociada a la nota. Existe una relación entre cada una de las notas y esta se da por su frecuencia. Dos notas estan separadas por la constante = Para obtener la frecuencia de cualquier nota musical se utiliza la siguiente expresión: f n = 2 n 12 fref (2.1) donde f ref es la frecuencia de referencia y n es el número de semitonos a partir de dicha frecuencia de referencia. Si tenemos un Do 3 y queremos obtener su frecuencia, sabemos que f ref es por acuerdo internacional 440 hertz y n el número de semitonos de La 4 a Do 3, que son 21 hacia atras o hacia abajo, por tanto, la formula nos queda: f = (440) = 130,81Hz (2.2) 18

25 . Ahora bien, una octava MIDI se compone de las 12 notas de la escala cromática, que a su vez se asocian con una sección del teclado de un sintetizador. A su vez el teclado de un sintetizador tiene n cantidad de octavas. Tenemos tambien al tono MI- DI como al elemento Xij de la matriz X. Físicamente esta representado por cada una de las teclas de un sintetizador MIDI, a su vez, estos tonos se agrupan en la matriz X, mediante notas y octavas, donde las columnas son las notas y las filas son las octavas, esta agrupación permite al sistema MIDI transmitir y recibir notas, sin importar su octava. Para obtener el tono MIDI aplicamos el teorema del residuo, obteniendo la siguiente expresión: n = j(12) + i. (2.3) Vamos a definir ahora una escala MIDI en forma diatónica y en forma cromática. La escala diatónica es un conjunto con los siguientes elementos n, n + 2, n + 4,..., n + 12, donde n, es el tono o la nota raíz, que es donde comienza la escala. Por otra parte, tenemos a la escala cromática que es un conjunto donde los elementos son tonos consecutivos n, n+1, n+2, n+3,..., n+12. Un vector horizontal es el conjunto de notas musicales que son parte de la melodía en una pieza musical. Por ejemplo si la melodía tiene notas como G5, G5, C5, B4, C5, D5, el vector quedaría como: Vv= G5, G5, C5, B4, C5, D5 y los correspondientes tonos MIDI como: Vh= 55,55,60,59,60,62 Un vector vertical es el conjunto de acordes o voces musicales, que son parte de la armonía en una pieza musical. La forma de este vector va a depender de la voz o el acorde que estemos utilizando. Ejemplo: Vv= C5, E5, G5 acorde mayor 19

26 G!3!!2 Figura 2.1: Famila de acordes de C Tabla 2.1: Forma canónica de la famila de acordes de C Tono de Do Mayor No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+4, n+7 36, 40, 43 1a n, n+3, n+8 40, 43, 48 2a n, n+5, n+9 43, 48, Tipos de Acordes Un acorde se forma con dos o mas notas, vamos ahora a definir los tipos de acordes más comunes, para poder utilizarlos en el M. C. G.. En los siguientes acordes todos parten de una nota raíz que definiremos como n y a partir de ella construiremos el resto del acorde. Además se muestra un pentagrama indicando las notas pertenecientes a cada acorde, así como la 1a, 2a y 3a inversión respectivamente. Se representa también, mediante figuras de piano la posición de las notas de dicho acorde. Mostramos una tabla en cada acorde con sus características como su fórmula o vector MIDI y sus tonos MIDI, en forma hexadecimal. Cabe mencionar que en los acordes que se forman por cinco notas o más, en las figuras de piano, solo se muestran cuatro notas, ya que la nota raíz es tomada en cuenta como bajo del acorde y las 4 ultimas notas como el acorde en si mismo. 1. C Acorde de Do mayor. En la Figura 2.1 se muestra el acorde de Do mayor en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.1 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.2 el mapa en el teclado de Do mayor. 2. Cm Acorde de Do menor. En la Figura 2.3 se muestra el acorde de Do menor en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.2 la forma canónica 20

27 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Figura 2.2: Familia de acordes de C en el teclado G x!! x!2x!3! Figura 2.3: Famila de acordes de Cm del acorde y finalmente en la Figura 2.4 el mapa en el teclado de Do menor. 3. C6 Acorde de Do sexta. En la Figura 2.5 se muestra el acorde de Do sexta en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.3 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.6 el mapa en el teclado de Do sexta. 4. Cm6 Acorde de Do menor sexta. En la Figura 2.7 se muestra el acorde de Do menor sexta en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.4 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.8 el mapa en el teclado de Do menor sexta. 5. C7 Acorde de Do septima. En la Figura 2.9 se muestra el acorde de Do septima en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.5 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.10 el mapa en el teclado de Do septima. 6. Cm7 Acorde de Do menor septima. En la Figura 2.11 se muestra el Tabla 2.2: Forma canónica de la famila de acordes de Cm Tono de Do Menor No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3, n+7 36, 39, 43 1a n, n+4, n+9 39, 43, 48 2a n, n+5, n+9 43, 48, 52 21

28 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Figura 2.4: Familia de acordes de Cm en el teclado G!3!4!!2! Figura 2.5: Famila de acordes de C6 Tabla 2.3: Forma canónica de la famila de acordes de C6 Tono de Do Sexta No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+4, n+7, n+9 36, 40, 43, 45 1a n, n+3, n+5, n+8 40, 43, 45, 48 2a n, n+2, n+5, n+9 43, 45, 48, 52 3a n, n+3, n+6, n+10 45, 48, 52, 55 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.6: Familia de acordes de C6 en el teclado G x!! x!2x!3! Figura 2.7: Famila de acordes de Cm6 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.8: Familia de acordes de Cm6 en el teclado 22

29 Tabla 2.4: Forma canónica de la famila de acordes de Cm6 Tono de Do menor sexta No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3, n+7, n+9 36, 39, 43, 45 1a n, n+4, n+6, n+9 39, 43, 45, 48 2a n, n+2, n+5, n+8 43, 45, 48, 51 3a n, n+3, n+6, n+10 45, 48, 51, 55 G x!2x!! x!3! x!4x!! Figura 2.9: Famila de acordes de C7 Tabla 2.5: Forma canónica de la famila de acordes de C7 Tono de Do Septima No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+4, n+7, n+10 36, 40, 43, 46 1a n, n+3, n+6, n+8 40, 43, 46, 48 2a n, n+3, n+5, n+9 43, 46, 48, 52 3a n, n+2, n+6, n+9 46, 48, 52, 55 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.10: Familia de acordes de C7 en el teclado 23

30 G x!2x!! x!3! x!4x!! Figura 2.11: Famila de acordes de Cm7 Tabla 2.6: Forma canónica de la famila de acordes de Cm7 Tono de Do menor septima No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3, n+7, n+10 36, 39, 43, 46 1a n, n+4, n+7, n+9 39, 43, 46, 48 2a n, n+3, n+5, n+8 43, 46, 48, 51 3a n, n+2, n+5, n+9 46, 48, 51, 55 acorde de Do menor septima en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.6 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.12 el mapa en el teclado de Do menor septima. 7. Cdim Acorde de Do disminuido. En la Figura 2.13 se muestra el acorde de Do disminuido su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.7 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.14 el mapa en el teclado de Do disminuido. 8. C+ Acorde de Do aumentado. En la Figura 2.15 se muestra el acorde de Do aumentado su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.8 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.16 el mapa en el teclado de Do aumentado. 9. C7+5 Acorde de Do septima más cinco. En la Figura 2.17 se muestra Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.12: Familia de acordes de Cm7 en el teclado 24

31 G x!2x!! x!3x! x!4!! Figura 2.13: Famila de acordes de Cdim Tabla 2.7: Forma canónica de la famila de acordes de Cdim Tono de Do disminuido No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3, n+6, n+9 36, 39, 42, 45 1a n, n+3, n+6, n+9 39, 42, 45, 48 2a n, n+3, n+6, n+9 42, 45, 48, 51 3a n, n+3, n+6, n+9 45, 48, 51, 54 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.14: Familia de acordes de Cdim en el teclado G z!2! z!3z!! x! Figura 2.15: Familia de Acordes de C+ Tabla 2.8: Forma canónica de la familia de acordes de C+ Tono de Do aumentado No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+4, n+8 36, 40, 44 1a n, n+4, n+8 40, 44, 48 2a n, n+4, n+8 44, 48, 52 25

32 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Figura 2.16: Familia de acordes de C+ en el teclado x!3z! x!2! x!4x! z!! G z!! Figura 2.17: Familia de acordes de C7+5 el acorde de Do septima más cinco su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.9 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.18 el mapa en el teclado de Do septima más cinco. 10. C7b5 Acorde de Do septima bemol quinta. En la Figura 2.19 se muestra el acorde de Do septima bemol quinta su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.10 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.20 el mapa en el teclado de Do septima bemol quinta. 11. C7b9 Acorde de Do séptima bemol novena. En la Figura 2.21 se muestra el acorde de Do séptima su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.11 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.22 el mapa en el teclado de Do séptima bemol quinta. Tabla 2.9: Forma canónica de la familia de acordes de C7+5 Tono de Do séptima más cinco No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+4, n+8, n+10 36, 40, 44, 46 1a n, n+4, n+6, n+8 40, 44, 46, 48 2a n, n+2, n+4, n+8 44, 46, 48, 52 3a n, n+2, n+6, n+10 46, 48, 52, 56 26

33 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.18: Familia de acordes de C7+5 x!3x! x!2! x!4x!! G x!! Figura 2.19: Familia de acordes de C7b5 Tabla 2.10: Forma canónica de la familia de acordes de C7b5 Tono de Do séptima bemol quinta No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+4, n+6, n+10 36, 40, 42, 46 1a n, n+2, n+6, n+8 40, 42, 46, 48 2a n, n+4, n+6, n+10 42, 46, 48, 52 3a n, n+2, n+6, n+8 46, 48, 52, 54 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.20: Familia de acordes de C7b5 x!2! x!3x!!4x!! G x!! Figura 2.21: Familia de acordes de C7b9 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.22: Familia de acordes de C7b5 27

34 Tabla 2.11: Forma canónica de la familia de acordes de C7b9 Tono de Do séptima bemol novena No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3, n+6, n+9 40, 43, 46, 49 1a n, n+3, n+6, n+9 43, 46, 49, 52 2a n, n+3, n+6, n+9 46, 49, 52, 55 3a n, n+3, n+6, n+9 49, 52, 55, 58 G!3!4!!2! Figura 2.23: Familia de acordes de Cmaj7 12. Cmaj7 Acorde de Do séptima menor mayor. En la Figura 2.23 se muestra el acorde de Do séptima menor mayor en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.12 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.24 el mapa en el teclado de Do séptima menor mayor. 13. Cm7b5 Acorde de Do menor séptima bemol quinta. En la Figura 2.25 se muestra el acorde de Do menor séptima bemol quinta su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.13 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.26 el mapa en el teclado de Do menor séptima bemol quinta. 14. C7sus4 Acorde de Do séptima suspendida cuarta. En la Figura 2.27 Tabla 2.12: Forma canónica de la familia de acordes de Cmaj7 Tono de Do séptima menor mayor No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+4, n+7, n+11 36, 40, 43, 47 1a n, n+3, n+7, n+8 40, 43, 47, 48 2a n, n+4, n+5, n+9 43, 47, 48, 52 3a n, n+1, n+5, n+8 47, 48, 52, 55 28

35 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.24: Familia de acordes de Cmaj7 G x!2x!! x!3x! x!4x!! Figura 2.25: Familia de acordes de Cm7b5 Tabla 2.13: Forma canónica de la familia de acordes de Cm7b5 Tono de Do menor séptima bemol quinta No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3, n+6, n+10 36, 39, 42, 46 1a n, n+3, n+7, n+9 39, 42, 46, 48 2a n, n+4, n+6, n+9 42, 46, 48, 51 3a n, n+2, n+5, n+8 46, 48, 51, 54 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.26: Familia de acordes de Cm7b5 29

36 G! x!3!!4x! x!!2 Figura 2.27: Familia de acordes de C7sus4 Tabla 2.14: Forma canónica de la familia de acordes de C7sus4 Tono de Do séptima suspendida cuarta No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+5, n+7, n+10 36, 41, 43, 46 1a n, n+2, n+5, n+7 41, 43, 46, 48 2a n, n+3, n+5, n+8 43, 46, 48, 51 3a n, n+2, n+5, n+8 46, 48, 51, 54 se muestra el acorde de Do séptima suspendida cuarta en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.14 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.28 el mapa en el teclado de Do séptima suspendida cuarta. 15. C9 Acorde de Do novena. En la Figura 2.29 se muestra el acorde de Do novena en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.15 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.30 el mapa en el teclado de Do novena. 16. Cm9 Acorde de Do novena menor. En la Figura 2.31 se muestra el acorde de Do novena menor en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.16 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.32 el mapa en el teclado de Do disminuido. 17. C9+5 Acorde de Do novena más cinco. En la Figura 2.33 se muestra Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.28: Familia de acordes de C7sus4 30

37 G! x!3!!4x! x!2! Figura 2.29: Familia de acordes de C9 Tabla 2.15: Forma canónica de la familia de acordes de C9 Tono de Do novena No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3 n+6, n+10 40, 43, 46, 50 1a n, n+3, n+7, n+9 43, 46, 50, 52 2a n, n+4, n+6, n+9 46, 50, 52, 55 3a n, n+2, n+5, n+8 50, 52, 55, 58 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.30: Familia de acordes de C9 x!2! x!3x!!4! x!! G x!! Figura 2.31: Familia de Acordes de Cm9 Tabla 2.16: Forma canónica de la familia de acordes de Cm9 Tono de Do novena menor No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+4, n+7, n+11 39, 43, 46, 50 1a n, n+3, n+7, n+8 43, 46, 50, 51 2a n, n+4, n+5, n+9 46, 50, 51, 55 3a n, n+1, n+5, n+8 50, 51, 55, 58 31

38 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.32: Familia de acordes de Cm9 x!3x! z!!4! x! z!! G x!2z!! Figura 2.33: Familia de acordes de C9+5 el acorde de Do novena aumentada quinta en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.17 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.34 el mapa en el teclado de Do novena más cinco. 18. C9b5 Acorde de Do novena bemol quinta. En la Figura 2.35 se muestra el acorde de Do novena bemol quinta en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.18 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.36 el mapa en el teclado de Do novena bemol quinta. 19. Cmaj9 Acorde de Do novena menor mayor. En la Figura 2.37 se muestra el acorde de Do novena menor mayor en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.19 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.38 el mapa en el teclado de Do menor mayor. Tabla 2.17: Forma canónica de la familia de acordes de C9+5 Tono de Do séptima menor mayor No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+4, n+6, n+10 40, 44, 46, 50 1a n, n+2, n+6, n+8 44, 46, 50, 52 2a n, n+4, n+6, n+10 46, 50, 52, 56 3a n, n+2, n+6, n+8 50, 52, 56, 58 32

39 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.34: Familia de Acordes de C9+5 G x!2x!! x!3x!!4! x!! Figura 2.35: Familia de Acordes de C9b5 Tabla 2.18: Forma canónica de la familia de acordes de C9+5 Tono de Do novena bemol quinta No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+2, n+6, n+10, 40, 42, 46, 50 1a n, n+4, n+8, n+10 42, 46, 50, 52 2a n, n+4, n+6, n+10 46, 50, 52, 54 3a n, n+4, n+6, n+8 50, 52, 54, 58 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.36: Familia de Acordes de C9+5 G!2!3!!4!! Figura 2.37: Familia de acordes de Cmaj9 33

40 Tabla 2.19: Forma canónica de la familia de acordes de Cmaj9 Tono de Do novena menor mayor No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3, n+7, n+10 40, 43, 47, 50 1a n, n+4, n+7, n+9 43, 47, 50, 52 2a n, n+3, n+5, n+8 47, 50, 52, 55 3a n, n+2, n+5, n+9 50, 52, 55, 59 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.38: Familia de acordes de Cmaj9 20. C11 Acorde de Do oncena. En la Figura 2.39 se muestra el acorde de Do oncena en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.20 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.40 el mapa en el teclado de Do oncena. 21. C11b9 Acorde de Do oncena bemol novena. En la Figura 2.41 se muestra el acorde de Do oncena bemol novena en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.21 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.42 el mapa en el teclado de Do oncena bemol novena. 22. C11+ Acorde de Do oncena aumentada. En la Figura 2.43 se muestra el acorde de Do oncena aumentada en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.22 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.44 el mapa en el teclado de Do oncena aumentada. x!2x! G!!3! x!!4! x!! Figura 2.39: Familia de acordes de C11 34

41 Tabla 2.20: Forma canónica de la familia de acordes de C11 Tono de Do oncena No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3, n+7, n+10 43, 46, 50, 53 1a n, n+4, n+7, n+9 46, 50, 53, 55 2a n, n+3, n+5, n+8 50, 53, 55, 58 3a n, n+2, n+5, n+9 53, 55, 58, 62 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.40: Familia de acordes de C11 x! x!!3! x! x!!4x! x! x!2! G x!! Figura 2.41: Familia de acordes de C11b9 Tabla 2.21: Forma canónica de la familia de acordes de C11b9 Tono de Do oncena bemol novena No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3, n+6, n+10 43, 46, 49, 53 1a n, n+3, n+7, n+9 46, 49, 53, 55 2a n, n+4, n+6, n+9 49, 53, 55, 58 3a n, n+2, n+5, n+8 53, 55, 58, 61 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.42: Familia de acordes de C11b9 35

42 G x! z!!2x! z!!!3! x! z!!4x! z!! Figura 2.43: Familia de acordes de C11+ Tabla 2.22: Forma canónica de la familia de acordes de C11+ Tono de Do oncena aumentada No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3, n+7, n+11 43, 46, 50, 54 1a n, n+4, n+8, n+9 46, 50, 54, 55 2a n, n+4, n+5, n+8 50, 54, 55, 58 3a n, n+1, n+4, n+8 54, 55, 58, 62 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.44: Familia de acordes de C11+ 36

43 G x!!2x!!3! x!!4x!! Figura 2.45: Familia de acordes de C13 Tabla 2.23: Forma canónica de la familia de acordes de C13 Tono de Do trecena No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+4, n+7, n+11 46, 50, 53, 57 1a n, n+3, n+7, n+8 50, 53, 57, 58 2a n, n+4, n+5, n+9 53, 57, 58, 62 3a n, n+1, n+5, n+8 57, 58, 62, C13 Acorde de Do trecena. En la Figura 2.45 se muestra el acorde de Do trecena en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.23 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.46 el mapa en el teclado de Do trecena. 24. C13b9 Acorde de Do trecena bemol novena. En la Figura 2.47 se muestra el acorde de Do oncena en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.24 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.48 el mapa en el teclado de Do trecena bemol novena. 25. C7/6 Acorde de Do septima sobre sexta. En la Figura 2.49 se muestra el acorde de Do séptima sobre sexta en su forma tradicional, también tenemos en la Tabla 2.25 la forma canónica del acorde y finalmente en la Figura 2.50 el mapa en el teclado de Do séptima sobre sexta. Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.46: Familia de acordes de C13 37

44 G x!!!2x! x!!3! x! x!!4x! x!! Figura 2.47: Familia de acordes de C13b9 Tabla 2.24: Forma canónica de la familia de acordes de C13b9 Tono de Do trecena bemol novena No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3, n+7, n+11 46, 49, 53, 57 1a n, n+4, n+8, n+9 49, 53, 57, 58 2a n, n+4, n+5, n+8 53, 57, 58, 61 3a n, n+1, n+4, n+8 57, 58, 61, 65 Posición Raíz Primera Inversión Segunda Inversión Tercera Inversión Figura 2.48: Familia de acordes de C13b9 G! x!3!! x!4! x!2! Figura 2.49: Familia de acordes de C7/6 Tabla 2.25: Forma canónica de la familia de acordes de C7/6 Tono de Do séptima sobre sexta No. Inversión Fórmula o Vector Tono MIDI Posición Raíz n, n+3, n+5, n+6 39, 42, 44, 45 1a n, n+2, n+3, n+9 42, 44, 45, 51 2a n, n+1, n+7, n+10 44, 45, 51, 54 3a n, n+6, n+9, n+11 45, 51, 54, 65 38