1. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA. Definición del álgebra geométrica del espacio-tiempo

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1 EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DEL ESPACIO Y TIEMPO. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA Defncón del álgebra geométrca del espaco-tempo Defno el álgebra geométrca del espaco y tempo como el álgebra de las matrces cuadradas reales de dmensón, M ( R). Estas matrces, unto con la operacón de suma de matrces y multplcacón por números reales forman un espaco ectoral. Defno el producto geométrco de dos elementos del álgebra como su producto matrcal. La multplcacón de matrces les confere estructura de grupo contnuo y por lo tanto unto a la estructura de espaco ectoral forman un álgebra asocata con elemento undad, que es la matrz dentdad. No entraré en estos detalles de sobra conocdos. Espaco ectoral generador del álgebra geométrca Toda el álgebra geométrca puede ser generada medante suma y multplcacón de los elementos de un subespaco E de ella con dmensón. A los elementos de este subespaco los llamaré ectores geométrcos o smplemente ectores en un sentdo restrngdo, y a este subespaco lo llamaré espaco ectoral generador del álgebra geométrca, lo que podemos representar como M ( R) Cl( E). El espaco ectoral generador no es únco, y puede ser escogdo de dferentes maneras dando lugar a lo que aparentemente parecen dferentes álgebras geométrcas. Lo que sí es únco es su dmensón. Producto exteror Defno el producto exteror de dos ectores como aquella parte del producto matrcal (geométrco) que no puede ser expresada como combnacón lneal de los dos ectores y de la dentdad (números reales). En general, defno el producto exteror de tres o más ectores como aquella parte del producto geométrco que no puede ser expresada como combnacón lneal de productos de ectores en un número nferor en al menos una undad. El producto exteror, como su nombre ndca, nos da la parte del producto que corresponde a un aumento de dmensón geométrca. Por eemplo, el producto exteror de dos ectores nos da el área del paralelogramo, es decr, base por altura (perpendcular a la base). Análogamente el producto exteror de tres ectores nos da el olumen del paralelepípedo, es decr, área de la base por altura. El gran descubrmento de Hermann Grassmann es que el producto exteror es antconmutato, es decr, al conmutar dos ectores su sgno camba. Dedcaremos un capítulo al producto exteror y sus aplcacones geométrcas. Elementos homogéneos y su grado Un elemento homogéneo del álgebra es aquel que puede obtenerse como combnacón lneal de productos exterores del msmo número de ectores. Al número de ectores de estos productos exterores se le llama grado. Así pues, un elemento homogéneo es combnacón lneal de elementos del msmo grado. El producto exteror aumenta la dmensón geométrca, que es lo que ndca el grado. Así por eemplo, los ectores son elementos de grado. A los elementos que se obtengan como

2 RAMON GONZÁLEZ CALVET combnacones lneales de productos exterores de pares de ectores geométrcos se les llama bectores y tenen grado ; a los que se obtengan a partr de combnacones lneales de productos exterores de tres ectores se les llama trectores y tenen grado 3 y así sucesamente. Los bectores representan superfces (en sentdo amplo) y los trectores olúmenes (en sentdo amplo). Los elementos homogéneos del álgebra quedan clasfcados por su grado y forman subespacos. Entonces se dce que el álgebra geométrca es un álgebra graduada. Así, toda el álgebra aparece subddda en espacos ectorales formados por elementos homogéneos de la sguente manera: grado subespaco símbolo dmensón 0 números reales R ectores (subespaco generador) E bectores E 6 3 trectores 3 E olumen tetradmensonal E La dmensón de cada subespaco ene dada por los números combnatoros pues su base se obtene por combnacón de los elementos de la base del subespaco generador. El álgebra de Clfford es la unón de todos estos subespacos y, por la conocda fórmula que da la suma de los números combnatoros tenemos para un álgebra geométrca cualquera con un subespaco generador de dmensón n: dm n n n Cl n 0 n n ( E ) + + L + Para el caso concreto del álgebra del espaco-tempo obtenemos: dmcl ( E ) que es exactamente la dmensón del álgebra de matrces cuadradas reales de. El grado no es una característca ntrínseca de un elemento del álgebra, sno que depende del espaco ectoral escogdo como generador del álgebra. Módulo de un elemento del álgebra Defno el módulo de un elemento cualquera del álgebra como la raíz cuarta posta de su determnante: det( ) De aquí se sgue nmedatamente que el módulo del producto de dos elementos cualesquera es gual al producto de módulos: det ( u ) det( u) det( ) u ± u

3 EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DEL ESPACIO Y TIEMPO 3 Sólo en el caso de que los dos módulos sean magnaros tendremos el sgno menos en la gualdad. Hasta ahora, muchos autores defnían el módulo en un álgebra geométrca de forma arbtrara, lo que no es correcto y no tene generaldad. S ben el módulo de un ector del espaco-tempo ene dado empírcamente por la teoría de la relatdad, no es tan obo cuál es el módulo de cualquer otro elemento del álgebra. Una teoría coherente de las sometrías del álgebra geométrca, tal como se desarrollará en este lbro, exge que el módulo se dere del determnante. Perpendculardad y ortogonaldad Dré que dos elementos homogéneos con el msmo grado son perpendculares s antconmutan: w w y que tenen la msma dreccón s su producto conmuta. Tener la msma dreccón geométrca ya no mplca ser proporconales o lnealmente dependentes. Lo prmero es un concepto geométrco, mentras lo segundo es un concepto algebraco. Dré que dos elementos homogéneos son ortogonales s el cuadrado del módulo de la suma es gual a la suma o resta de cuadrados de sus módulos. + w ± w Los adetos perpendcular y ortogonal concden para elementos homogéneos en el espaco de tres dmensones pero ya no son déntcos para el álgebra geométrca de dmensones y hay que dstngurlos. El concepto de perpendculardad es puramente geométrco y asocado a las dreccones del espaco generador. El concepto de ortogonaldad es puramente algebraco, y generalza el teorema de Ptágoras. Undades geométrcas y teorema de Ptágoras A un elemento u del álgebra geométrca tal que su cuadrado sea ± la dentdad (que se dentfca con el ) y su determnante gual a uno le llamo undad geométrca: u ± det u Veamos el sguente teorema: El cuadrado de una combnacón lneal de undades geométrcas mutuamente perpendculares es un número real. S las undades son perpendculares es que antconmutan: u ± uu u u lo que nos llea a: Este requsto no se exge al álgebra bdmensonal Cl, pero sí es necesaro en el espaco-tempo.

4 RAMON GONZÁLEZ CALVET b λ u λ R b λλ uu λ u λ R u ± Una consecuenca muy mportante de este resultado es que el módulo de una combnacón lneal de undades geométrcas mutuamente perpendculares cumple el teorema de Ptágoras generalzado, es decr cada cuadrado con sgno + o (el sgno en realdad tene muy poca mportanca como se rá endo en este lbro): b ± b ± λ En el caso de módulo magnaro ( b < 0 ) tendremos un sgno menos delante. Conugado e nerso de un elemento del álgebra geométrca Se defne el nerso de un elemento cualquera del álgebra como aquel elemento que cumple : entendendo por la matrz dentdad. No todos los elementos del álgebra tenen nerso pues es condcón necesara y sufcente para que exsta el nerso que el determnante sea no nulo: det 0 Un teorema al respecto muy mportante es el de Frobenus 3 (878): Las úncas álgebras asocatas reales de dsón son los números reales, los números compleos y los cuaternones o ben álgebras que son somorfas a ellos (por eemplo sus representacones matrcales). Un álgebra de dsón es un álgebra en que todos sus elementos excepto el cero tenen nerso. Sendo en su tempo este teorema un aance, en realdad se acabó conrtendo en un freno conceptual, pues parecó que ya estaba todo descuberto y creó certo desdén para el resto de álgebras que contenían elementos sn nerso. Por eemplo, el álgebra geométrca no es de dsón. Tene elementos de módulo nulo y sn nerso que generan dscontnudades hperbólcas que se reflean en la estructura topológca del espaco-tempo. Defno el conugado * de un elemento del álgebra como aquel que cumple: Es una consecuenca tral de la propedad asocata que un elemento y su nerso sempre conmutan. 3 Véase L. S. Pontragun, Grupos contnuos, ed. Mr (Moscú, 978) p. 70. Un álgebra asocata es una estructura que contene un conunto de elementos y dos operacones: una suma y un producto. La suma es asocata, conmutata, tene elemento neutro (el cero) y elemento opuesto. El producto es asocato, tene elemento neutro (el o dentdad) y es dstrbuto respecto de la suma. Puede haber elemento nerso para algunos elementos aunque no sempre para todos. S el álgebra tene elemento nerso de cualquer elemento excepto el cero entonces se llama álgebra de dsón.

5 EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DEL ESPACIO Y TIEMPO 5 * det Por lo tanto, el conugado se obtene como: * det En algunos casos el conugado concde con el elemento. En otros camba el sgno de algunas componentes. En cualquer caso, otros autores han defndo dersos conugados en funcón del grado del elemento consderado, lo que no tenía generaldad. Esta defncón engloba todos los conugados correntemente utlzados, como el de los números compleos y los cuaternones, y generalza la defncón a cualquer elemento, aunque sea heterogéneo. El conugado e nerso son smplemente proporconales. Eerccos. Obténgase una fórmula que descrba el producto exteror de dos ectores en funcón del producto geométrco.. Explíquese cómo podemos obtener una nuea undad geométrca a partr de una combnacón lneal de undades geométrcas mutuamente perpendculares..3 Aplíquese el resultado anteror para obtener dos undades geométrcas nueas y e tales que e e. perpendculares entre sí a partr de { }, e. Aplíquese el resultado de. para obtener dos undades geométrcas nueas y e tales que e y e. perpendculares entre sí a partr de { } 0, e 0.5 Hemos dcho que el álgebra geométrca no es de dsón. Encuéntrense eemplos sencllos de matrces reales de dmensón sn nerso..6 Wllam Rowan Hamlton descubró los cuaternones el 6 de octubre de 83 con las sguentes leyes de formacón: k, k k, k k, k. Su representacón matrcal fel 5 es: a b c d b a d c a + b + c + d k c d a b a, b, c, d R d c b a a) Probar que es una subálgebra del álgebra geométrca del espaco-tempo. b) Calcular el módulo y demostrar que los cuaternones son álgebra de dsón. c) Calcular el conugado e nerso de un cuaternón. 5 A. D. Aleksandro, A. N. Kolmogoro, M. A. Laurente y otros, La matemátca: su contendo, métodos y sgnfcado, Alanza Unersdad nº 70, 5ª ed. (Madrd, 98) ol. III, p. 39.

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