Espacio vectorial ESPACIO VECTORIAL. 8.- Intersección y suma de subespacios vectoriales

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1 ESPACIO VECTORIAL.- Itroducció.- Espacio Vectorial.- Subespacios vectoriales 4.- Geeració de Subespacios vectoriales 5.- Depedecia e idepedecia lieal 6.- Espacios vectoriales de tipo fiito 7.- Cambio de base e u espacio vectorial 8.- Itersecció suma de subespacios vectoriales U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía

2 ESPACIO VECTORIAL. Itroducció E geeral, el álgebra trata de úmeros, matrices, vectores, aplicacioes de operacioes etre los elemetos de dichos cojutos. Las matemáticas segú ua cocepció primitiva, so la ciecia del úmero de la catidad. El puto de vista clásico distiguía las distitas ramas de las matemáticas segú la aturaleza de los objetos que estudiaba: la aritmética es la ciecia de los úmeros; la geometría estudiaba los objetos e el espacio; el aálisis estudiaba las fucioes, etc. Si embargo, cada vez co maor frecuecia, técicas resultados de ua parte de las matemáticas se mostraba útiles e otra rama. U cojuto es ua colecció de etidades; los úmeros forma u cojuto que perteece a ua categoría bie defiida el cuerpo de los úmeros reales e el reio aimal u caballo es u elemeto del cojuto de aimales mamíferos. Ahora bie, u cojuto de ladrillos o costitue ua casa; es ecesario dotar a estos cojutos de ua estructura defiida mediate diferetes reglas o aiomas; así obteemos las estructuras de grupo, cuerpo, espacio vectorial. Estas categorías se ecuetra e todas las ramas de la matemática, e la física e otras ciecias. No so decisivos los objetos co los que se opera sio las relacioes etre ellos. Así surge las primeras estructuras algebraicas (grupos, aillos, cuerpos, etc.), que permite agrupar a cojutos de elemetos de aturaleza mu distita, pero que tiee relacioes propiedades comues. Aquí vemos la estructura de espacio vectorial que es la propia de los vectores es aplicable a las matrices, a los poliomios a las fucioes que permite idetificar matrices como vectores resolver múltiples problemas geométricos. Costitue ua base sólida para el desarrollo de los temas de geometría. Tato es así que se describe el álgebra como la geometría que se escribe a la geometría como el álgebra que se dibuja.. Espacio Vectorial Defiició: Sea V u cojuto dode hemos defiido ua le u operació itera, que desigaremos por + V V. Sea K u cuerpo (comutativo) sea, por último, ua operació etera que desigaremos por K V V. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía

3 Diremos que (V,+, ) tiee estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K, o simplemete que (V,+, ) es u K-espacio vectorial cuado se verifique las codicioes siguietes: a b c a b c para cualesquiera a, b,c V. [A] Asociativa: [A] Eistecia de elemeto eutro: Eiste u elemeto que desigaremos V que verifica que a a a para cualquier a V. [A] Eistecia de elemeto simétrico: Para cualquier a V eiste u úico elemeto de V, que desigaremos por - a tal que a ( a) ( a) a. [A4] Comutativa: a b b a para cualesquiera a,b V. Observemos que (V,+) debe ser, por tato, u grupo comutativo. [A5] (a b) a b para cualquier K cualesquiera a,b V. [A6] ( )a a a para cualesquiera, K cualquier a V. [A7] a ( ) a para cualesquiera, K cualquier a V. [A8] El elemeto uidad del cuerpo K, que desigaremos por, verifica a a para cualquier a V. Usualmete a los elemetos del espacio vectorial V los deomiaremos vectores, auque o lo sea e el setido físico, a los elemetos del cuerpo K escalares. Alguos ejemplos de espacios vectoriales E el tema de Sistemas, matrices determiates hemos estudiado que M ( ), m K, es u K-espacio vectorial, siedo + la suma producto por escalares usuales etre matrices. R, N, es u espacio vectorial, siedo + la suma producto por escalares usuales etre -uplas. (E particular, el cuerpo R, el plao R, el espacio R so espacios vectoriales). El cojuto de los poliomios de grado meor o igual que e ua variable idetermiada es u espacio vectorial. Es fácil comprobar, lo propoemos como ejercicio, que si e el cojuto de las fucioes reales de variable real que desigaremos por F(R), defiimos las operacioes: Suma de fucioes: f+g es la fució que verifica (f+g)()=f()+g() Producto por u úmero real : f es la fució que verifica (f)()= f() Etoces (F(R),+,) es u R-espacio vectorial R. R. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía

4 Propiedades de los espacios vectoriales:. a para cualquier a V. Demostració Podemos escribir a ( )a a a a.. para cualquier K. Demostració Podemos escribir ( ).. a, o bie, a. Demostració Supogamos, e primer lugar, que, etoces eiste su iverso, multiplicado la epresió dada por dicho iverso se obtiee a = a Supogamos ahora que a. Por reducció al absurdo, si tambié fuera, etoces, igual que ates, eiste multiplicado la epresió dada por dicho iverso se obtiee a = a cotra la hipótesis de partida! para cualquier K para cualquier a V. 4. a a Demostració a ( ( ))a a ( )a ( )a a para cualquier K para cualquier a V. 5. a a Demostració (a ( a)) a ( a) ( a) a para cualquier K para cualesquiera a,b V. 6. a b a b Demostració a b a ( b) a ( b) a b para cualesquiera, K para cualquier a V. 7. a a a Demostració a ( ( a)) a ( a) a a U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 4

5 8. Si a a, siedo a. Demostració Sea a a, sumado el opuesto de a, que es a, a ambos miembros se obtiee a a a, luego aplicado la propiedad podemos afirmar que si a, etoces ha de ser (-)= 9. Si a b, siedo a b. Demostració Sea a b, sumado el opuesto de b, que es b, a ambos miembros se obtiee a b (a b), luego aplicado la propiedad podemos afirmar que si, etoces ha de ser (a b) a b. Subespacios vectoriales Defiició: Sea(V,+,.) u K-espacio vectorial F ua parte o vacía de V, diremos que F es u subespacio vectorial de V si solo si (F,+,.) e u K-espacio vectorial Teorema: Caracterizació de los subespacios vectoriales Sea F ua parte o vacía del K-espacio vectorial V. F es u subespacio vectorial de V, co las operacioes + iducidas por V, si solo si se verifica las dos codicioes siguietes: i) Para cualesquiera a, b F su suma a b F. Es decir, la operació itera e V es ua operació itera e F. ii) Para cualesquiera K, a F el producto a F. Es decir, la operació etera e V es ua operació itera e F. Demostració Si (F,+,) es K-espacio vectorial se cumple por defiició de K-espacio vectorial las dos codicioes. Recíprocamete supoiedo que se verifica las dos codicioes hemos de comprobar que se verifica los ocho aiomas de espacio vectorial. Ahora bie la operació itera + e F es: [A]: Asociativa por ser + asociativa e V. [A]: El elemeto eutro F, basta tomar e la codició ii). [A]: El elemeto opuesto de cualquier vector F es el vector - F pues basta tomar e la codició ii). [A4]: Comutativa por ser + comutativa e V. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 5

6 Luego (F,+,) es u grupo comutativo. Los otros 4 aiomas se verifica de maera imediata por ser F ua parte de V, V u K-espacio vectorial. Observació Las codicioes ateriores equivale a la siguiete: Sea F ua parte o vacía del K-espacio vectorial V. F es u subespacio vectorial de V co las operacioes + iducidas por V si solo si se verifica: a b F para cualesquiera escalares, K cualesquiera vectores a,b F. Los cojutos V cumple siempre las codicioes de subespacio vectorial del K- espacio vectorial V les deomiaremos subespacios impropios de V. Alguos ejemplos de subespacios vectoriales El cojuto de -uplas de R que costitue la solució del sistema homogéeo defiido por toda ecuació matricial de la forma AX=O, dode A (R), es M m u subespacio del R-espacio vectorial R. La comprobació es imediata si cosideramos dos solucioes S. S del sistema homogéeo AX=, es decir, AS =AS =. Etoces ( S S ) A( S ) A( S ) AS AS (AS ) (AS ) A El subcojuto,, siedo, R R es u subespacio vectorial del R- espacio vectorial R. La comprobació se propoe como ejercicio. Si embargo, R, siedo, R o es u subespacio vectorial del espacio vectorial R, puesto que R o es u subcojuto de R. Es H=, siedo R u subespacio vectorial del espacio vectorial R? No puesto que o cotiee al elemeto eutro de la suma, vector ulo (,) H. 4. Geeració de Subespacios vectoriales: A partir de ahora cuado escribamos V os estaremos refiriedo al K-espacio vectorial V. Nos plateamos el problema de poder costruir subespacios vectoriales de u espacio vectorial dado V a partir de u vector o varios vectores estableciedo las codicioes ecesarias las relacioes eistetes etre dichos vectores. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 6

7 Defiició: Sea a a,..., vectores de V. Llamaremos combiació lieal de los vectores a,..., a V a todo vector v V de la forma v a a..., siedo,..., K. Proposició Sea a a,..., vectores de V. El cojuto formado por todas las combiacioes lieales posibles de los elemetos a a,..., costitue u subespacio vectorial del espacio vectorial V. E efecto: si observamos la caracterizació de los subespacios vectoriales obliga a que cualquier combiació lieal de elemetos del subespacio sea del subespacio e este cojuto los elemetos so combiacioes lieales de los vectores a a,...,. A dicho subespacio se le deota: Ca a La a,...,,..., a,..., a v V / v a... a, K, i,..., i E cuo caso diremos que a a,..., es u sistema geerador del subespacio vectorial a,..., a. Es iteresate observar como, por ejemplo, los tres colores primarios (rojo, amarillo azul) permite, mediate combiació de ellos, obteer los restates colores. Ejemplos: El vector (,7,5) R verifica (,7,5)=(,,)+(,,). Luego es combiació lieal de los vectores (,,),(,,) R Puede epresarse el vector (,4,-)R como combiació lieal de los vectores (,,) (,,) R? Se os pide estudiar si eiste solució para la ecuació vectorial: 4 (,,)+(,,)=(,4,-) ( ) Vemos que, e este caso, el sistema tiee solució úica =4 =-, luego podemos epresar: (,4,-) 4(,,) - (,,) U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 7

8 Puede epresarse el vector (5,4)R como combiació lieal de los vectores (,), (,) (,) R? Se os pide estudiar si eiste solució para la ecuació vectorial: (,) (,)+(,)=(5,4) Vemos que, e esta ocasió, el sistema tambié tiee solució pero o es úica. E efecto: Si tomamos Pero si tomamos, luego podemos epresar: (5,4) (,) (,) (,) 6, luego tambié podemos epresar: (5,4) -(,) 6(,) (,) Teemos, por tato, tatas combiacioes lieales de los vectores dados que proporcioa (5,4) como úmeros reales (R). Puede epresarse el vector (,,)R como combiació lieal de los vectores (,,) (,,) R? Se os pide estudiar si eiste solució para la ecuació vectorial:!! (,,)+(,,)=(,,). Vemos que, e este caso, el sistema o tiee solució, luego el vector (,,) o es combiació lieal de los vectores (,,) (,,). Se cosidera el espacio vectorial P() de los poliomios de ua variable de grado meor o igual a, co coeficietes reales. Se puede epresar el poliomio 5-7 como combiació lieal de los poliomios +, -, +? U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 8

9 Plateamos la ecuació vectorial 5 7( ) ( ) ( ) resulta 5 7 ( ) igualado coeficietes: Eiste solució, la respuesta es sí, se puede epresar como 4 combiació lieal. Epresar v (,,) a (,,) b (,, ) como perteeciete al subespacio vectorial L. a,b siedo Epresamos v (,, ) como combiació lieal de los vectores a v a b (,,) (,,) Por tato, v a b. b 5. Depedecia e idepedecia lieal. Defiició: Sea a,..., a vectores de V. Diremos que los vectores a a,..., V so liealmete depedietes, cuado eista los elemetos,..., K o todos ulos, tales que a... a. Tambié se dice que costitue u sistema ligado. Ejemplo: El sistema de vectores (, 4),(,6) es ligado Puesto que (, 4) ( 6, ) admite otras solucioes además de la trivial, e particular (, ) (, 4) ( 6, ). Defiició: Sea a,..., a vectores de V. Diremos que los vectores a,..., a V so liealmete idepedietes, cuado o sea liealmete depedietes, es decir, cuado si a... a.se deduce obligatoriamete que i, i,...,. Tambié se dice que costitue u sistema libre. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 9

10 Ejemplo: El sistema de vectores (, ), (, ) es libre. Puesto que (, ) (, ) e solo admite la solució trivial. Proposició: Los vectores a a,..., so liealmete depedietes si solo si uo de ellos es combiació lieal de los restates. Demostració: Cosideremos que eiste u vector que es combiació lieal de los restates. Puede ser el primero si perder geeralidad, a tal que a a a..., siedo,..., K a a... a obteiedo ua combiació lieal de los vectores igualada al vector ulo co al meos u escalar, el primero -, distito de cero por tato los vectores a a,..., so liealmete depedietes. Ahora supogamos que los vectores so liealmete depedietes luego, eiste al meos u escalar distito de cero tal que a... a, supogamos que es se puede multiplicar por el iverso de la ecuació vectorial a... a resultado a a... a despejado a a... a se cumple que el vector a es combiació lieal de los restates a a,..., El vector ulo que clase de sistema es? Si cosideramos u sistema formado por u vector a es evidete que forma u sistema libre, pero el sistema es tal que, se cumple para cualquier valor de,. luego es ligado. Todo subespacio vectorial es lógicamete u sistema ligado. Ahora, si cosideramos u sistema formado por dos vectores ab, es fácil observar si so liealmete depedietes o idepedietes, puesto que si uo debe ser combiació U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía

11 lieal del otro (e caso de ser el sistema ligado) ecesariamete debe ser proporcioales; geométricamete sigifica que los vectores so de la misma direcció. Ejemplo: El sistema de vectores (, 4),(,6) es ligado, Ejemplo: puesto que (, 4) ( 6, ) El sistema de vectores (, ), (, ) es libre, puesto que (,) (, ), Proposició: Sea H a,..., a u sistema libre etoces todo subcojuto de H es libre. Demostració: Por ser libre H o ha igú vector que sea combiació lieal de los restates cualquier subcojuto de H cumple la misma codició. Proposició: Sea H a,..., a u sistema ligado etoces todo cojuto que cotega a H es ligado. Demostració: Por ser ligado H eiste, al meos; u vector combiació lieal de los restates cualquier cojuto que cotega a H, matiee la combiació lieal, e efecto, si H es tal que a a a... co a,..., a, b,..., bm H se tiee que a a... a b... b. m Proposició: Cualquier sistema de vectores que cotega al vector ulo es ligado. Demostració: Por la proposició aterior teiedo e cueta que el vector ulo costitue u sistema ligado. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía

12 Ejemplos: Estudiar la depedecia lieal de los siguietes vectores de espacio vectorial R v (,,);v (,,);v (,7,). Vamos a ver si la ecuació vectorial tiee solucioes distitas de la trivial: v v v (,,) (,,) (,, ) ( 7,,) la ecuació es equivalete al sistema homogéeo 7 7 que es compatible determiado puesto que el rago de la matriz de los coeficietes es tres, el sistema sólo admite la solució trivial los vectores v, v, v so liealmete idepedietes. Estudiar la depedecia lieal de los siguietes vectores de espacio vectorial R u (,,); u (,,); u (,, ). Vamos a ver si la ecuació vectorial tiee solucioes distitas de la trivial: u u u (,,) (,,) (,,) (,, ) la ecuació es equivalete al sistema homogéeo que es compatible idetermiado puesto que el rago de la matriz de los coeficietes es dos meor que el úmero de icógitas, el sistema admite solucioes distitas de la trivial; eiste dos vectores liealmete idepedietes el otro es combiació lieal de ellos ( u u u ). Por tato, el sistema es ligado. Defiició: El rago de u sistema de vectores es igual al úmero máimo de vectores liealmete idepedietes que cotiee. Ejemplos: E los ejemplos ateriores el rago de { v v v,, } es tres so los tres vectores liealmete idepedietes el rago de { u, u, u } es dos, siedo dos el maor úmero de vectores liealmete idepedietes. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía

13 6. Espacios vectoriales de tipo fiito Defiició: Sea H a,..., a u subcojuto de V. Diremos que H es u sistema geerador de V si para todo vector v V eiste,..., K tal que v a a.... Ejemplo: El sistema H (, ), (,), (,) es geerador del espacio vectorial R. E efecto: cualquier vector de R se puede escribir (, ) (, ) (, ) (, ) puesto que ua solució puede ser ; ;. Defiició: Ua base de u espacio vectorial V es u subcojuto de V que sea sistema geerador libre. Ejemplos: El sistema B (,),(,) es ua base del espacio vectorial R. E efecto: B es libre pues so dos vectores liealmete idepedietes, al o ser proporcioales cualquier vector de R es combiació lieal de los vectores de B, (, ) (, ) (, ) puesto que ;. r de B. Tambié se puede comprobar usado el rago: r luego B es libre sigifica que el vector (, ) es combiació lieal de los vectores Los vectores v Los vectores v (,,);v (,,);v (,7,);v (,,) 4 (,, ); v (,, ) de espacio vectorial R so liealmete de espacio vectorial R so liealmete depedietes, luego o puede formar ua base de R. idepedietes, pero cualquier vector de R es combiació lieal de los vectores de B si U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía

14 se cumple (,, ) (,, ) (,, ) puesto que ; / resulta la codició que imposibilita a B como sistema geerador de R luego o puede formar ua base de R. Ejemplo: Estudiar si B=,,,,,,,, es base de R. Estudiamos r =r =r luego B o es libre, por tato o puede ser base de R. =<º de vectores de B, Proposició: La epresió de cualquier vector de V respecto a ua base de V es úica. Demostració: Sea B e,..., e ua base del espacio vectorial V. Por ser B base es libre sistema geerador, por tato, v V eiste,..., K tales que v e e.... Ahora si los escalares,...,, o so úicos eistirá otros,..., K tales que v e... e restado las dos epresioes del vector v queda vv e... e e... e ( ) e... ( ) e. Utilizado que los vectores de B so liealmete idepedietes resulta:... ;...;. Defiició: Los escalares (,..., ) tales que v e e... so las coordeadas del vector v respecto de la base B e,..., e del espacio vectorial V. E cosecuecia, fijada ua base cualquiera B=u, u,, u de V podemos establecer la siguiete aplicació: V K tal que u u u,,, Esta aplicació es obviamete biectiva además verifica: U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 4

15 (,,,),,,,,,,,,,,,,,, siedo,,,,,, las coordeadas respectivas de e de B. Diremos que los K-espacios vectoriales V K so isomorfos. Ejemplo: Sabiedo que B= vector (,,) respecto de B. respecto Buscamos los tres escalares que so la solució úica de la ecuació vectorial: (,,)=(,,)+(,,)+z(,,) La aterior ecuació defie el sistema. z z Luego (,-,-) so las coordeadas del vector (,,)respecto de B, es decir: (,,)=(,,)-(,,)-(,,) Observació: Para idetificar al vector v podemos utilizar la epresió aalítica v e... e, o sus coordeadas (,..., ) respecto de la base B, pudiedo escribir. dichas coordeadas mediate la matriz columa. Por ejemplo: si escribimos (,,). respecto de la base B e e e,, del espacio vectorial R estamos idicado al vector e, puesto que: e e e e,,, siedo los restates vectores: e e e e e e e e,,. E geeral (,,...,) idica,, al primer vector de la base; (,,,...,) idica al segudo vector de la base así sucesivamete hasta el último vector (,...,,) del espacio vectorial V. Defiició: Llamaremos base caóica, B c, a la base: B e (,,..., ), e (,,,..., ),..., e (,,...,, ), del espacio vectorial V. c Defiició: Los vectores,,,,,,,, es ua base de R, hallar las coordeadas del e e vector v respecto de la base,..., tales que v e e... so las compoetes del B e,..., e del espacio vectorial V. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 5

16 Proposició: Todo espacio vectorial V distito del tiee al meos ua base. Demostració: Por ser V u espacio vectorial de tipo fiito, admite u sistema fiito de G a,...,a. geeradores Si G es libre, a es base de V. Si a,..., a o es libre, eiste algú vector a i que es combiació lieal de los restates, supogamos que es a, El sistema a,..., a sigue siedo geerador de V. si tambié es libre, a es base. E caso cotrario, reiteramos el proceso, que si o es libre resulta ligado uo de los vectores, por ejemplo, a es combiació lieal de los restates; el proceso es fiito por ser G fiito hasta obteer u sistema geerador libre por cosiguiete base o úicamete queda a ). ecesariamete base de V (V distito del Corolario Todo sistema geerador cotiee ua base. Proposició: Si V es u espacio vectorial geerado por vectores, etoces cualquier sistema libre de V tiee como mucho vectores. Demostració: Sea a,..., a u sistema geerador del espacio vectorial V. Si b,..., b s es u sistema libre de V. El cojuto de vectores a,..., a, b es ligado (a que b V a,..., a es sistema geerador de V) la combiació lieal a... a b da lugar a la eistecia de algú i (o puede ser b co ), por cosiguiete, podemos quitar u vector a i (por ejemplo a ) queda a,..., a, b como sistema geerador del espacio vectorial V. Repitiedo el proceso resulta a,..., a, b, b que es ligado, obteiédose el sistema geerador a,..., a, b, b. Así sucesivamete, llegaríamos a: Si <s b,..., b, b,..., b es absurdo. libre b b s U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 6,..., sería u sistema geerador lo cual

17 Si =s b b Si s< b bs as a,..., es libre sistema geerador, por tato base de V.,...,,,..., sistema geerador del espacio vectorial V. Solamete es posible que s, es decir todo sistema libre tiee como mucho vectores liealmete idepedietes. Teorema de la base Todas las bases de u espacio vectorial tiee el mismo úmero de vectores. Demostració: B u u Sea,..., B v,..., v m dos base de u mismo espacio vectorial V. Por ser B B bases so sistemas libres sistemas geeradores de V, aplicado la proposició aterior: B es sistema geerador B es sistema libre m. B es sistema geerador B es sistema libre m. Como m m =m. Defiició: El úmero de elemetos de cualquier base de u espacio vectorial se deomia dimesió del espacio vectorial. Escribiremos dim(v). Si B es ua base de V, se tiee que dim(v) = cardial de B. Ejemplos: E los espacios vectoriales R, R, R,...,R, P () M m las dimesioes so:,,,...,, +, m. respectivamete. La dimesió del subespacio impropio, por coveio, es cero es el úico espacio vectorial que o tiee base. Si F es u subespacio vectorial del espacio vectorial V, etoces se cumple que: dim( F) dim( V). Proposició: Sea H u sistema de vectores del espacio vectorial V, se cumple que r(h)=dim<h>. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 7

18 Teorema Si V u espacio vectorial de dimesió B cojuto de vectores de V, etoces, las afirmacioes siguietes so equivaletes:. B es ua base de V.. B es u sistema geerador de V.. B es u sistema libre. Demostració: Por defiició de base si B es ua base de V es u sistema geerador de V. Cuado B es sistema geerador de V: r(b)=dim<b>=dim(v)= por tato B es libre. Sea B=a,..., a u sistema libre de vectores del espacio vectorial V, falta demostrar que H es u sistema geerador de V. Sea V etoces a,..., a, es ligado por ser el úmero máimo de vectores liealmete idepedietes por tato a... a co algú i ; o puede ser puesto que sio B o sería libre por tato co lo cual a... a siedo B u sistema geerador de V al ser u sistema libre resulta ua base de V. Teorema de la base icompleta Sea V u espacio vectorial de dimesió sea a,..., a s co s < u sistema libre. Siempre puede ecotrarse -s vectores de V, as,..., a tales que el cojuto a,..., as, as,..., a sea ua base de V. Demostració: Sea a,..., a s u sistema libre de V, luego eistirá al meos u elemeto a s de V tal que a,..., a, a es u sistema libre (si o fuera así sería s=). s s Si a,..., as, as es u sistema libre de V, luego eistirá al meos u elemeto a s de V tal que a,..., as, as, as es u sistema libre (si o fuera así a,..., as, as es ua base s+=). Es evidete que el proceso aterior se acaba después de -s veces, siedo a,..., as, as,..., a ua base de V. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 8

19 Corolario (prologació de la base) Sea V u espacio vectorial de dimesió sea F u subespacio vectorial de V siedo a,..., a s ua base de F, se puede ecotrar ua base de V que cotiee a los vectores a,..., a s. Proposició: El cojuto de todas las solucioes de u sistema de ecuacioes lieales homogéeas de m ecuacioes icógitas es u subespacio vectorial del espacio vectorial K, siedo la dimesió meos el rago de la matriz de los coeficietes. Demostració: Sea el sistema homogéeo a.... a a.... a m m.... AX. Si r(a)=r.... a... arr ar r... a... queda quedado r ecuacioes r icógitas... ar... arrr arr r ar... liealmete idepedietes por tato -r parámetros que idica la dimesió del subespacio vectorial. Ecuacioes de u subespacio vectorial U subespacio vectorial F de u espacio vectorial V queda idetificado coocida ua base de F o uas ecuacioes paramétricas o por sus ecuacioes cartesiaas. Siedo posible pasar de uas ecuacioes a otras, obteer ua base determiar su dimesió. Ejercicio: Sea el subespacio vectorial F geerado por los siguietes vectores de espacio vectorial R : u (,,); u (,,); u (,, ). Se pide: a) Dimesió ua base F. b) Uas ecuacioes paramétricas de F. c) Ecuacioes cartesiaas o implícitas de F. d) A partir de las ecuacioes cartesiaas otras ecuacioes paramétricas distitas del apartado aterior. e) El vector (,,) perteece o o a F? f) Ua base del espacio vectorial R que cotega a los vectores de ua base de F U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 9

20 Solució: a) Se tiee que H u u u ; ; es ligado por tato F H u ; u. Teemos que { u u ; } es ua base del espacio vectorial F su dimesió es, el cardial de cualquier base. b) Veamos, uas ecuacioes paramétricas de V. Como F V se tiee que u u,,,,,,, o bie, Ecuacioes paramétricas del subespacio vectorial F, pues dado valores a los parámetros, se obtiee las coordeadas de los vectores de F, siedo la dimesió de F el úmero de parámetros liealmete idepedietes que tiee sus ecuacioes paramétricas. c) Elimiado los parámetros obteemos las ecuacioes cartesiaas o implícitas de F. rh ( ) r por el teorema de Rouche-Fröbeius r luego es la ecuació cartesiaa o implícita que idetifica a F; las coordeadas de cualquier vector de F cumple la ecuació aterior. Podemos observar que la dim F=dim V- úmero de ecuacioes liealmete idepedietes. Cuado F=V o ha ecuacioes cartesiaas. d) Se puede pasar de las ecuacioes cartesiaas a las ecuacioes paramétricas, simplemete resolviedo el sistema de ecuacioes. E uestro caso, co ua sola ecuació se despeja ua icógita quedado e fució de las otras dos otras ecuacioes paramétricas de F. e) Las ecuacioes permite saber que vectores so del subespacio vectorial F. Sustituedo las coordeadas e las ecuacioes -.++.=, evidetemete o se cumple, por tato la respuesta es que,, F. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía

21 f) Ampliamos la base de F del apartado a) { u u ; } co el vector del apartado e) puesto que o es de F coseguimos { u ; u ;(,,)} ua base del espacio vectorial R. 7. Cambio de base e u espacio vectorial Sea V u K-e.v. de dim B= u, u,, u, B=u u u,,, dos bases de V tales u au au au u a u a u a u que: Por ser u, u,, u V, puede epresarse e u a u a u a u fució de los vectores de la base B coocidas ai, ai,, ai las coordeadas de, i =,,, respecto de B. u i Todo vector v V se puede epresar e fució, tato de los vectores de B como de B. Desigemos por,,,,,, las coordeadas del vector v respecto de las bases B B respectivamete, etoces: v u u u = u u u Se trata de estudiar la relació que eiste etre las coordeadas,,,,,, para ello se sustitue e la ecuació aterior las epresioes aalíticas de los vectores de la base B obteemos: au au a u a u au au a u a u a u u u u Operado e el primer miembro resulta: a a a u a a a u a a a u = u u u Idetificado los coeficietes de los vectores u i, para cada i=,,, puesto que la epresió de u vector respecto de ua misma base es úica, por cosiguiete: a aa a aa a aa Este sistema de ecuacioes se deomia ecuacioes del cambio de la base B a la base B. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía

22 Escrito e forma matricial a a a a a a a a a a a a Si llamamos X, X, P= a a a, abreviadamete la a a a ecuació matricial aterior se escribe X PX, dode P es la matriz que defie el cambio de la base B a la base B. Diremos que P es la matriz de paso de B a B. Observacioes:. P tiee por columas las coordeadas de los vectores de la base B respecto de la base B. rago(p)=, pues sus columas so las coordeadas de los vectores de la base B, luego P es ua matriz regular (iversible) por tato P.. Si P es la matriz de paso de B a B, etoces Ejemplo: Sea B= base B a la base caóica B C = P es la matriz de paso de B a B.,,,,,,,, ua base de R, hallar las ecuacioes de cambio de la,,,,,,,, viceversa. a) Desigemos por (,,z) ( c, c,z c ) las coordeadas, respectivas, de u vector cualquiera de R respecto de B B C. Como las coordeadas de los vectores de la base B viee e fució de los vectores de la base caóica B C, escribiremos directamete la ecuació matricial del cambio de la base B a la base caóica B C : c c ; X C =PX z z c La matriz P= tiee por columas las coordeadas de los vectores de la base B respecto de la base caóica B C. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía

23 b) La ecuació matricial del cambio de la base B C a la base caóica B se obtiee despejado e la ecuació aterior: z z z c c c - X=P X C c c z La matriz P - = tiee por columas las coordeadas de los vectores de la base B C respecto de la base B. c Ejemplo: Sea B=u,u,u B =u,u,u dos bases de R, siedo: u,,, u,,, u,, u,,, u,,, u,, ; Se pide las ecuacioes de cambio de la base B a la base B viceversa. Realizaremos el ejercicio por dos procedimietos diferetes: er Procedimieto Dado que los vectores de las bases B B está e fució de la base caóica B C, podemos escribir directamete las ecuacioes matriciales de cambio de la base B a la base B C, de la base B a la base B C. Desigemos por (,,z), (,,z ) ( c, c,z c ) las coordeadas, respectivas, de u vector cualquiera de R respecto de B, B B C. Así teemos: c c Ecuació matricial del cambio de B e B C z z c z c c c z Ecuació matricial del cambio de B e B C Igualado ambas epresioes: =. z z Despejado sucesivamete se obtiee las ecuacioes pedidas: U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía

24 U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 4 a) Ecuació matricial del cambio de B e B z = z z z 4 6 b) La ecuació matricial del cambio de B e B z = z z z º Procedimieto a) Para hallar la ecuació matricial del cambio de base de B e B obteemos, previamete, las coordeadas de los vectores de la base B e fució de los vectores de la base B.,,,,,,,, 4 B,4, u,,,,,,,, B,, u,,,,,,,, 6 B,6, u Luego z z 4 6 b) La ecuació matricial del cambio de B e B se obtiee despejado e la aterior: z = z 6 4 z z

25 8. Itersecció suma de subespacios vectoriales Teorema Sea E E dos subespacios vectoriales del espacio vectorial V, etoces E es u subespacio vectorial del espacio vectorial V. E Demostració: E E V/ E E. Sabiedo que E E so subespacios vectoriales se cumple la caracterizació de subespacios. Primeramete E E V luego: ab, E a b E Esubesp., K, a, be E ab, E a b E E subesp. abe E. Por tato, la itersecció de subespacios es otro subespacio, si embargo la uió E E V/ E o E o es u subespacio vectorial del espacio vectorial V. Cotraejemplo: Sea E E etoces E E a que E E. Obsérvese que los subespacios so proporcioales a u vector la suma o es proporcioar a iguo de los dos. La uió o es u subespacio vectorial, pero todo sistema de vectores geera u subespacio vectorial que cotiee a todas las combiacioes lieales posibles de vectores del sistema. Defiició: Sea E E dos subespacios vectoriales del espacio vectorial V. Llamaremos suma de E E al subespacio vectorial geerado por E E. E E E E Proposició: Se cumple que E E E E. V/, E E Demostració: E efecto: Si E a,..., a r E b,..., b s etoces E E a,..., ar, b,..., bs. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 5

26 E E a... r a b b r... s s co E E luego EE V/, E E obviamete E E V/, E E cumpliédose la igualdad. Defiició: Sea E E dos subespacios vectoriales del espacio vectorial V. Llamaremos suma directa de E E a la suma cuado Proposició: E E se escribe E E. La suma de dos subespacios E E es suma directa si sólo si eiste dos úicos vectores E E tales que. Demostració: Sabemos que E E E E V/, E E, luego E, E. Si además eistiera E, E tales que, etoces E se tiee que E E E como E E resulta Recíprocamete, veremos que E E, si E E E E siedo dos formas de descomposició del vector, salvo que. Defiició: Sea E E dos subespacios vectoriales del espacio vectorial V. Si se cumple E E V, diremos que E E so subespacios suplemetarios, e cuo caso se verifica las dos codicioes siguietes: E E V E E. Cuado E E so subespacios suplemetarios es se dice que es la proecció de sobre E es la proecció de sobre E Ejemplo: El plao vectorial R puede escribirse como suma directa de dos rectas vectoriales (subespacios de dimesió uo) o coicidetes. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 6

27 Ejemplo: El espacio vectorial R puede escribirse como suma directa de ua recta vectoriales (subespacio vectorial de dimesió uo) u plao vectorial (subespacio vectorial de dimesió ) cuo úico vector comú sea el vector ulo. Teorema Sea B B dos bases de los subespacios vectoriales E E, respectivamete, del espacio vectorial V. La suma E E es directa si solo si se verifica las dos codicioes siguietes: i) B B. ii) B B es u sistema libre de V. Siedo B B ua base de E E. Demostració Supogamos que E E, es decir, E E. Veamos que i) B B. Si B B B E E E absurdo, a que el vector B E ulo o puede perteecer a igua base. Ahora, la seguda codició ii) B B es u sistema libre de V. Sea B a,..., a r B b,..., b s la ecuació vectorial a... r a b b r... s s a... r a r b... s b s como ates E E E E E E a... rar... r Blibre b... sbs... s Blibre B B a a,...,, b,..., b es libre. r s Si se cumple las dos codicioes i) ii) etoces E E E a... rar a... rar b... sbs E b... sbs... r... s E E, es decir E E es suma ii) directa.. Luego U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 7

28 Proposició: Sea E E dos subespacios vectoriales del espacio vectorial V. Se cumple que: dim( E ) dim( E ) dim( E E ) dim( E E ) Demostració: Sea B e,..., e k ua base de E E ; completamos la base hasta obteer ua base B e,..., ek, ak,..., ar de E, otra B e,..., ek, bk,..., bs de E. Ahora B B e,..., ek, ak,..., ar, bk,..., bs es tal que e... kek k ak... rar k bk... sbs e... e a... a b... b, resulta b... b u k k k k r r k k s s E E k k s s vector de E E cua base es B e,..., e k, por tato k... s quedado e e a a B e,..., e, a,..., a base de E, siedo k k k k r r k k r por cosiguiete,... k k... r. Queda demostrado que B B e,..., ek, ak,..., ar, bk,..., bs es ua base de E +E co la siguiete dimesió. dim(e +E ) = r+s-k = dim( E ) dim( E ) dim( E E ) dim( E ) dim( E ) dim( E E ) dim( E E ) Corolario: Si E E dim( E E) dim( E) dim( E ) Teorema Todo subespacio vectorial F de u espacio vectorial V de dimesió admite, al meos u subespacio suplemetario F de V. Además si dim(f)=p, etoces dim(f )=-p. Defiició: Se dice que u subespacio vectorial H del espacio vectorial V es u hiperplao si solo si dim(h)=dim(v)-. E cosecuecia, todo subespacio vectorial suplemetario de u hiperplao tiee dimesió uo. Ejemplo: El plao vectorial R el hiperplao será cualquier recta vectorial. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 8

29 Ejemplo: El espacio vectorial R el hiperplao será cualquier plao vectorial. Ejemplo: Sea los subespacios vectorial F=<(,,),(,,-),(,,)> G=<(,,),(,,),(,,-),(,6,)> del espacio vectorial R. Se pide: bases, ecuacioes paramétricas ecuacioes cartesiaas de los subespacios F+G F G. Solució: Determiemos los subespacios F G: el r ua base B F (,,),(,,) dado lugar a las ecuacioes paramétricas elimiado los parámetros. El r 6 ecuacioes paramétricas ua base B G (,,),(,, ) dado lugar a las. elimiado los parámetros Para obteer el subespacio itersecció F G sólo ecesitamos jutar las ecuacioes cartesiaas de ambos subespacios dim( F G )=. co ua posible base B FG (,,) U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía 9

30 E el caso del subespacio suma F+G jutamos los vectores de las bases quitamos los vectores que sea liealmete depedietes: B B (,,),(,,),(,, ) F G el rago r resultado dim(f+g)=, por tato, F+G=R co las ecuacioes paramétricas o más secillamete evidetemete o tiee ecuacioes cartesiaas, a que es el espacio vectorial R., pero, U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia Cartografía

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