2.1 De nici on de espacio vectorial,ejemplos y propiedades 2.2 Combinacioneslineales,dependenciae independencia lineales

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1 22 Tema 2. ESPACIOSVECTORIALES 2.1 De nici on de espacio vectorial,ejemplos y propiedades 2.2 Combinacioneslineales,dependenciae independencia lineales 2.3Sistemasgeneradores,basesydimensi on 2.4Subespaciosvectoriales

2 Matem aticas Espacios vectoriales 23 2 ESPACIOSVECTORIALES 2.1 DEFINICI ONDEESPACIOVECTORIAL,EJEMPLOSY PROPIEDADES DEFINICI ON DadouncuerpoIKyunconjuntonovac ³o U cualquiera,consideramos dos operaciones de nidas sobre el: 1.Leyde composici on interna 2.Leyde composici on externa U U +! U (u;v) 7! u+v: IK U ²! U ( ;u) 7! u: Elconjunto U tiene estructura de espacio vectorialsobreelcuerpo IK si y s olo si se veri can las siguientes propiedades: 1. (U;+) esungrupoabeliano. (a) 8u;v;w 2 U (b) 8u;v 2 U (u+v)+w=u+(v+w). u+v=v+u. (c) 90 U 2 U(elementoneutro) talque 8u 2 U 0 U +u=u+0 U =u: (d) 8u 2 U 9 u 2 U(elementoopuesto) talque u+( u)=( u)+u=0 U :

3 Matem aticas Espacios vectoriales ;¹ 2IK 8u 2 U (¹ u)=( ¹) u. 3. 8u 2 U 1 u=u ;¹ 2IK 8u;v 2 U ( +¹) u= u+¹ u; (u+v)= u+ v: Los elementos del conjunto U se denominan vectoresy los elementosdel cuerpo IK escalares. EJEMPLOS: Losejemplosm ascaracter ³sticos de espacio vectorial sonelplano,ir 2,elespaciotridimensional,IR 3,yengeneral,IR n, todos ellos con las operaciones habituales de suma entre vectores yproductopor escalares: (x 1 ;:::;x n )+(y 1 ;:::;y n )=(x 1 +y 1 ;:::;x n +y n ) (x 1 ;:::;x n )=( x 1 ;:::; x n ): PROPIEDADES Dado unespacio vectorial U sobre un cuerpo IK,se veri can las propiedades: 1. 8u 2 U 0 u=0 U IK 0 U =0 U IK 8u 2 U u=0 U ) =0 o u=0 U : IK 8u 2 U ( ) u= ( u).

4 Matem aticas Espacios vectoriales 25 NOTACI ON: A partir de ahora suprimiremos de la notaci on el s ³mbolo\ ",enlaoperaci onproductoentre elementosdel cuerpo, as ³ como entre estosylosdel espacio vectorial. Adem as, u v denotar au+( v). 2.2 COMBINACIONES LINEALES, DEPENDENCIA E IN- DEPENDENCIALINEALES DEFINICI ON Sean U unespaciovectorialsobreuncuerpoikyu 1 ;:::;u n 2 U. Sedicequeunvectorv2 U es combinaci on linealdelosvectores u 1 ;:::;u n siys olosiexisten 1;:::; n 2IKtalesque v= 1u nu n : DEFINICI ON Sean U unespaciovectorialyu 1 ;:::;u n 2 U. Sedicequelosvectoresu 1 ;:::;u n son linealmente independientes (fu 1 ;:::;u n gesunsistema libre)siys olosiningunodelosvectores sepuedeescribircomocombinaci onlinealdelosrestantes. En caso contrario se dice que los vectores u 1 ;:::;u n son linealmente dependientes(fu 1 ;:::;u n gesun sistema ligado).

5 Matem aticas Espacios vectoriales PROPOSICI ON Sean U unespaciovectorialsobreuncuerpoikyu 1 ;:::;u n 2 U. Losvectoresu 1 ;:::;u n son linealmentedependientessi ys olosi existenescalares 1;:::; n 2IK,notodosnulos,talesque 1u nu n =0 U : PROPOSICI ON Sean U unespaciovectorialsobreuncuerpoikyu 1 ;:::;u n 2 U. Losvectoresu 1 ;:::;u n sonlinealmenteindependientessiys olosi 8 1;:::; n 2IK 1u nu n =0 U ) 1= = n=0: PROPOSICI ON Sean U unespaciovectorialyu 1 ;:::;u n ;v 2 U. 1.Siexistei 2 f1;:::;ngtalqueu i =0 U,entonces fu 1 ;:::;u n g esunsistemaligado. 2.Si fu 1 ;:::;u n gesunsistemaligado,entonces fu 1 ;:::;u n ;vg estambi enunsistemaligado. 3.Si fu 1 ;:::;u n ;vgesunsistemalibre,entonces fu 1 ;:::;u n g estambi enunsistemalibre.

6 Matem aticas Espacios vectoriales SISTEMAS GENERADORES,BASES YDIMENSI ON DEFINICI ON Sean U unespaciovectorialsobreuncuerpoikys µ U. S es un sistema generador del espacio vectorial U si y s olo si cualquier vector v 2 U es combinaci on lineal de vectores de S, esdecir, 8v 2 U 9u 1 ;:::;u n 2 S 9 1;:::; n 2IK; talesque v= n X i=1 iu i : DEFINICI ON Un espacio vectorial es nitamente generadosi y s olo si posee alg un sistemagenerador nito DEFINICI ON Sean U unespaciovectorialyu 1 ;:::;u n 2 U. fu 1 ;:::;u n gesuna basedelespaciovectorial U siys olosi: ²Esunsistemalibre. ²Esunsistemagenerador. EJEMPLO: Labasecan onicadeir n es f¹e 1 ;¹e 2 ;:::;¹e n g,con ¹e 1 =(1;0;:::;0);¹e 2 =(0;1;:::;0);:::;¹e n =(0;:::;0;1):

7 Matem aticas Espacios vectoriales PROPOSICI ON Sea U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Si B= fu 1 ;:::;u n gesunabasedelespaciovectorial U,entonces cualquier vector de U se expresa, de forma unica, como combinaci on lineal de los vectores de la base,es decir, 8v 2 U 9 1;:::; n 2IK unicos,talesque v= n X i=1 iu i : NOTACI ON: v B =( 1;:::; n)eselvectordelas componenteso coordenadasdevenlabase B. v= 1u nu n, v B =( 1;:::; n): DEFINICI ON Sean U unespaciovectorialsobreuncuerpoikys µ U. X hsi=fu 2 U j 9u 1 ;:::;u n 2S 9 1;:::; n 2IK u= n iu i g: hsi es el conjuntode combinaciones lineales de elementosde S. i=1 OBSERVACI ON: S essistemageneradorde U () U= hsi PROPOSICI ON Sean U unespaciovectorialyu 1 ;:::;u n ;u 2 U. Siu2hu 1 ;:::;u n i,entonces hu 1 ;:::;u n ;ui=hu 1 ;:::;u n i.

8 Matem aticas Espacios vectoriales TEOREMA Todoespaciovectorial U 6= f0 U g nitamentegeneradotienebase PROPOSICI ON Todas las bases de un mismo espacio vectorial nitamente generado tienenel mismo n umero de vectores DEFINICI ON Sea U unespacio vectorial nitamente generado. Se denomina dimensi ondel espacio vectorial U,y se representa por dimu,aln umerodevectoresdeunacualquieradesusbases PROPIEDADES Si U esunespaciovectorial nitamentegeneradodedimensi on n, entonces: 1.u 1 ;:::;u m 2 U linealmenteindependientes )m n. 2. fu 1 ;:::;u m gsistemageneradorde U )m n. 3.u 1 ;:::;u n 2 U linealmente independientes ) fu 1 ;:::;u n g basede U. 4. fu 1 ;:::;u n gsistemageneradorde U ) fu 1 ;:::;u n gbasede U.

9 Matem aticas Espacios vectoriales SUBESPACIOS VECTORIALES DEFINICI ON Sea U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Un subconjunto novac ³o S de U esun subespacio vectorialde U siys olosi S es un espacio vectorial sobre IK respecto a las leyes de composici on heredadasde U PROPOSICI ON Sean U un espaciovectorial sobre un cuerpo IKy Sunsubconjunto no vac ³ode U. Son equivalentes: 1. S es unsubespaciovectorial de U. 2. 8u;v 2 S 8 2IK (a)u+v 2 S (b) u 2 S ;¹ 2IK 8u;v 2 S u+¹v 2 S: OBSERVACI ON: Si S es un subespacio vectorial de U, entonces 0 U 2 S. NOTA: f0 U gy U sonsubespaciosvectorialesde U (subespacios triviales). NOTA: dim(f0 U g)=0.

10 Matem aticas Espacios vectoriales PROPOSICI ON Si UesunespaciovectorialsobreuncuerpoIKySesunsubespacio vectorial de U,entonces toda combinaci on lineal de elementosde SperteneceaS: 8n 2IN 8u 1 ;:::;u n 2S 8 1;:::; n 2IK n X i=1 iu i 2S: PROPOSICI ON Si UesunespaciovectorialsobreuncuerpoIKyS µ U,entonces hsieselmenorsubespaciovectorialde U quecontieneas. NOTACI ON: hsi es el subespacio vectorial generado por S TEOREMA Si Uesunespaciovectorial nitamentegeneradoyvunsubespacio vectorial de U,entonces: 1.dimV dim U. 2.dimV=dim U ) U= V.