ESPACIO VECTORIAL. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

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1 Tema 1.- ESPACIOS VECTORIALES!ESPACIO VECTORIAL!SUBESPACIO VECTORIAL!BASE Y DIMENSIÓN N DE UN ESPACIO VECTORIAL Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra Lineal consistió en resolver sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas, comenzaremos este curso estudiando la estructura de espacio vectorial. Los vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos con otros (por la ley del paralelogramo ) ) y multiplicarse por un número n real: Pero, qué es un vector libre del plano? Definimos como el conjunto de vectores con. Es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un vector de (definición n algebraica de vector), y viceversa. Sin embargo, para muchas aplicaciones físicas f (incluyendo las nociones de fuerza, velocidad, aceleración n y momento) es importante pensar en un vector no como un punto sino como una entidad que tiene longitud y dirección. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

2 Tanto en Física F como en Ingeniería un vector se caracteriza por dos magnitudes (longitud y dirección) y se representa por un segmento recto dirigido. Un vector en el plano puede ubicarse en diferentes lugares. Sin embargo, con independencia de dónde esté situado, si la longitud y dirección n no varían an se trata del mismo vector. El conjunto de los vectores libres del plano ( ) es sólo s un ejemplo entre los muchos ejemplos de objetos matemáticos ticos que pueden sumarse entre sí s y multiplicarse por números n reales, y que además s satisfacen unas mismas propiedades. Este ejemplo de los vectores libres del plano (o el de los vectores libres del espacio) es importante porque su representación n geométrica ayuda a entender la definición n general de vector. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso Algunos ejemplos que podemos mencionar son: " los propios números n reales, " los números n complejos, " los vectores en el plano, " los vectores en el espacio, " los polinomios de grado menor o igual que n, " las funciones reales de variable real con dominio D, " las funciones continuas en un intervalo, " las funciones derivables en un punto, " las funciones integrables en un intervalo, "... Un vector puede ser un número, n una n-tupla, un polinomios, una función n continua, etc. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

3 También n hay magnitudes físicas f de tipo vectorial con las mismas propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,... Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras similares, es conveniente axiomatizar éstas y dar un nombre al ente resultante. Aunque este primer tema tiene el inconveniente de trabajar en el mundo abstracto de los espacios vectoriales arbitrarios, también n presenta una gran ventaja. La abstracción n resulta ser matemáticamente ticamente eficiente en el sentido de que ahora pueden demostrarse resultados generales cuya validez afecta a todos los espacios vectoriales. Es decir, una vez que se establecen los hechos sobre los espacios vectoriales en general, se pueden aplicar estos hechos a todos los espacios vectoriales. De otro modo, habría a que probar cada hecho una y otra vez, para cada nuevo espacio vectorial que nos encontráramos ramos (y existen un sin fin de ellos). Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso En este curso, básicamente b trabajaremos con cuatro espacios vectoriales. En el tema 1 definimos la estructura de espacio vectorial y trabajaremos con los espacios vectoriales siguientes: #, normalmente n=3 o n=4. #, normalmente n=2 o n=3. En el tema 2 estudiamos el espacio vectorial de las matrices reales de m filas y n columnas, que denotamos: Por último, en el tema 6 trabajaremos también n con espacios vectoriales de funciones reales de variable real y continuas sobre un intervalo. A continuación, n, presentamos un ejemplo introductorio que proporciona una motivación n para desarrollar las matemáticas ticas subsecuentes. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

4 Ejemplo introductorio: vuelos espaciales y sistemas de control De doce pisos de altura y con un peso de 75 toneladas, el US Columbia se elevó majestuosamente de la plataforma de lanzamientos en una fresca mañana ana de un domingo de ramos de abril de Producto de diez años a de investigaciones y desarrollos intensivos, el primer transbordador espacial de los Estados Unidos era un triunfo de la ingeniería a de sistemas de control, que abarca muchas ramas de la ingeniería: aeronáutica, química, eléctrica, hidráulica y mecánica. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso Los sistemas de control de transbordador espacial son absolutamente críticos durante el vuelo. Como el transbordador tiene un fuselaje inestable, necesita una vigilancia constante por computador durante el vuelo atmosférico. Los sistemas de control envían una corriente de instrucciones a las superficies de control aerodinámicas y a 44 pequeños impulsores de propulsión a chorro. La figura 1 muestra un sistema de control con retroalimentación n en ciclo cerrado que controla el ángulo de inclinación n del cono de nariz del transbordador durante el vuelo. Los símbolos s! muestran dónde d se añaden aden las señales de diversos sensores a las señales del computador que fluyen por la parte superior de la figura. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

5 Inclinación requerida Rapidez de cambio requerida de la inclinación " " " Aceleración requerida de la inclinación! K 1! K 2! Rapidez de cambio de la inclinación 1 Error en la rapidez de cambio de la inclinación Unidad de medición inercial s Controlador G 1 (s) Dinámica del transbordador Error en la aceleración de la inclinación Acelerómetro Giróscopo de rapidez de cambio s 2 G 2 (s) Inclinación de la nariz FIGURA 1 Sistemas de control de la inclinación de la nariz para el transbordador espacial. (Fuente: Control Systems Engineering, por Norman S. Nise, Benjamin-Cummings Publishing, 1992, p.274. Esquema simplificado basado en Space Shuttle GN&C Operations Manual, Rockwell International, 1988.) Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso Matemáticamente, ticamente, las señales de entrada y salida de un sistema de control son funciones. Es importante, para las aplicaciones, que estas señales puedan sumarse, como en la figura 1, y multiplicarse por escalares. Estas dos operaciones con funciones tienen propiedades algebraicas que son en todo análogas a las operaciones de sumar vectores en y multiplicar un vector por un escalar, como se verá en los ejemplos de espacios vectoriales que estudiaremos en este y otros capítulos del curso. Por esta razón, el conjunto de todas las posibles entradas (funciones) se llama espacio vectorial.. Los fundamentos matemáticos ticos de la ingeniería a de sistemas descansan sobre los espacios vectoriales y las funciones, y necesitamos extender la teoría a de vectores en para incluir tales funciones. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

6 Un poco de historia El matemático alemán Grassmann es reconocido como el primero que introdujo la idea de un espacio vectorial (aunque no lo llamó de esta manera, sino sistema de números hipercomplejos) y de independencia lineal en Desafortunadamente su trabajo era muy difícil de leer y no recibió la atención que merecía. Peano en su libro Calcolo geometrico (1898) acalaró el trabajo de Grassmann y estableció los axiomas de espacio vectorial como los conocemos en la actualidad. En este mismo libro iintrodujo las operaciones de conjuntos. Sus notaciones #, $ y % son las que todavía utilizamos, aunque no fueron aceptadas de inmediato. La definición axiomática de Peano de un espacio vectorial también tuvo muy poca influencia durante muchos años. Su aceptación se produjo en 1918, después de que Hermann Weyl la repitiera en su libro Space, time, matter, una introducción a la teoría de la relatividad general de Einstein. También podemos mencionar a William R. Hamilton, que durante los veinte últimos años de su vida, dedicó la mayor parte de su creación matemática a desarrollar la tería de un tipo especial de números, los cuaterniones. Con estos trabajos cimentó la moderna noción de vector. Todavía hoy se utiliza la notación i, j, k de Hamilton para los vectores de la base canónica en el espacio tridimensional. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso Hermann Günther G Grassmann ( ) nació y murió en Stettin, Alemania (hoy Polonia). Dio clases en la escuela superior de su pueblo natal, y en 1844 publicó un libro donde presentaba varias ideas nuevas de geometría n dimensional y espacios vectoriales. Como Grassmann no estaba adiestrado como matemático tico investigador, su libro es de difícil lectura, y no recibió tanto reconocimiento como ahora. Giuseppe Peano ( ) matemático tico italiano. Se graduó en la Universidad de Turín, Donde enseñó durante el resto de su carrera. También n dio clases en una academia militar cercana, de la cual fue forzado a renunciar cuando comenzó a explicar su nuevo simbolismo.. Peano es bien conocido por su definición n axiomática de los números naturales. Además s de las matemáticas, ticas, también n intervino en la mejora de la educación n en escuelas secundarias y en lingüí üística. William Rowan Hamilton ( ) matemático tico irlandés s nacido y fallecido en Dublín. Hamilton fue un niño o prodigio que manifestó tener un talento precoz para las matemáticas. ticas. Realizó un trabajo importante sobre óptica que ayudó a demostrar la naturaleza ondulatoria de la luz. Sin embargo su obra más m s importante, fue la que él l llamó de los cuaterniones, a principios de los años a Tres cuartos de siglo más m s tarde la idea de álgebra no conmutativa desarrollada por Hamilton iba a ser la base de la mecánica cuántica y también n serviría a para la propia comprensión n de la estructura interna del átomo. Hermann Weyl ( ) físico y matemático tico alemán, nacido en Elmshorn. Desde 1933 hasta 1952 trabajó en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS) de Princeton (USA). Realizó importantes investigaciones sobre la teoría a cuántica, la mecánica ondulatoria y la relatividad. Mi trabajo siempre ha tratado de fusionar la verdad con la belleza, sin embargo, cuando he tenido que escoger entre una y otra, por lo común n he elegido la belleza Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

7 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL REAL Sean (cjto. números n reales) y # operación n interna en V # operación n externa en V con dominio de operadores Definiremos cuando V es un espacio vectorial real Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso Como hemos visto, partimos de un conjunto no vacío V, cuyos elementos se denotan..., y se denominan vectores y del cuerpo conmutativo (estructura algebraica) de los números n reales. En general se puede trabajar con cualquier cuerpo conmutativo K y en este curso surgirán n algunos ejercicios con espacios vectoriales complejos ( K= = ). La ley de composición n interna se suele denotar con el símbolo s de la suma ( + ) y se suele denominar suma de vectores. Es una aplicación n que a cada par de elementos de V les hace corresponder el elemento, también n de V,,, denominado suma de e. La ley de composición n externa con dominio de operadores (en general, con dominio de operadores K) es una aplicación n que denominamos producto por un escalar y denotamos con el símbolos del producto ( ) que a todo elemento de V y a todo elemento & de (o K) hace corresponder el elemento. OBSERVACIÓN.- Es la suma de polinomios una ley de composición n interna sobre el conjunto de los polinomios de grado exactamente 2? Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

8 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL 1.- Para ( + ) (operación n interna) se cumple: 2.- Para ( ) (op. externa con dominio ) se cumple: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso Los elementos de un espacio vectorial reciben el nombre genérico de vectores y en general se utiliza la notación vectorial (,...) para denotarlos. Esto no es obstáculo para que en algunos casos particulares (polinomios, matrices, funciones,...) se utilice la notación propia en cada caso. Los axiomas 1.- de la definición de espacio vectorial real se refieren a la suma de vectores, los axiomas 2.- c.- y 2.- d.- se refieren exclusivamente a la multiplicación por escalares (números reales) y las propiedades 2.- a.- y 2.- b.- son las propiedades distributivas de una operación con respecto a otra. A continuación presentamos varios ejemplos de espacios vectoriales. Para comprobar que tienen estructura de espacio vectorial deberíamos ver que se satisfacen los 8 axiomas de la definición con las operaciones suma y producto por un escalar definidas. Este trabajo es muy sencillo y se basa exclusivamente en propiedades de los números reales (no olvidar que estamos trabajando, en principio, con espacios vectoriales reales). Dado que también es una labor muy tediosa omitiremos las comprobaciones, pero hay que insistir en que es absolutamente necesario comprobar los 8 axiomas. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

9 EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES -EJEMPLO 1.- conjunto de los vectores libres del espacio $ Cómo se suman dos vectores libres? $ Cómo se multiplica un vector por un número n real? $ Cuál l es el vector nulo? Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso EJEMPLO 2.- $ Cómo se suman dos vectores libres? $ Cómo se multiplica un vector por un número n real? $ Cuál l es el vector nulo? Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

10 -EJEMPLO 3.- Conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n. $ Cómo se suman dos polinomios? (coeficiente a coeficiente) $ Cómo se multiplica un polinomio por un número n real? (se multiplica cada coeficiente por el número n real) $ Cuál l es el polinomio nulo? Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso EJEMPLO 4.- Conjunto de las funciones reales de variable real con dominio. $ Cómo se suman dos funciones? $ Cómo se multiplica una función n por un número n real? $ Cuál l es la función n nula? Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

11 EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES suma: producto por un escalar: vector nulo: vector opuesto: suma: producto por un escalar: vector nulo: vector opuesto: suma: producto por un escalar: vector nulo: vector opuesto: suma: producto por un escalar: vector nulo: vector opuesto: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso Propiedades.- Sea V un e. v. real: Al multiplicar cualquier escalar por el vector nulo obtenemos el vector nulo. Al multiplicar cualquier vector por el escalar 0 obtenemos el vector nulo. Esta propiedad no es tan obvia como puede parecer Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

12 COMBINACIONES LINEALES Sea V un espacio vectorial real: cuando es combinación n lineal de tales que: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso COMBINACIÓN N LINEAL.- COMENTARIOS.- Dados los vectores y los escalares & 1, & 2,..., & n (números reales),, el vector definido por: se llama combinación lineal de los vectores : Algunas combinaciones lineales de los vectores son, por ejemplo: El vector (2,1,1) de (1,1,0) de. El polinomio x 2 +1 de x 3 +x 1, x+2 y 1 de. no es combinación n lineal de los vectores (1,0,0) y no es combinación n lineal de los polinomios Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

13 Para comprobar si un vector es combinación n lineal de m vectores de se plantea la ecuación n vectorial siguiente: Utilizando las definiciones de las operaciones suma de vectores de y producto de un vector de por un escalar realizamos la operación: Teniendo en cuenta que dos vectores de son iguales si todas sus componentes son iguales dos a dos, tenemos el siguiente sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas : Si el sistema es compatible determinado, entonces lineal de los vectores Si el sistema es incompatible, entonces de los vectores El sistema nunca puede ser compatible indeterminado. es combinación NO es combinación n lineal Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso En el espacio vectorial real de los polinomios reales de grado menor o igual que n se procede del mismo modo que en el espacio vectorial real. Tenemos que tener en cuenta que dos polinomios de grado menor o igual que n son iguales si coinciden todos y cada uno de sus coeficientes, incluido el término t independiente. De este modo tendremos un sistema de n+1 (ATENCIÓN!!! N!!!) ecuaciones lineales con m incógnitas. A continuación n resolvemos un par de ejercicios en los que trabajamos con el concepto de combinación n lineal de vectores en los espacios vectoriales introducidos en los ejemplos 2 y 3 de este capítulo: y. Destacar que es necesario conocer las definiciones de suma de vectores (o polinomios) y producto de un vector (o polinomio) por un escalar. Además s tenemos que tener claro qué significa que dos vectores de sean iguales (o que dos polinomios de sean iguales). SUGERENCIA.- Utilizar las técnicas t de resolución n de sistemas de ecuaciones lineales conocidas (método de Gauss), que explicaremos con detalle en el Tema 5 de este curso. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

14 SUBESPACIOS VECTORIALES Algunos subconjuntos de un espacio vectorial V son a su vez espacios vectoriales con las operaciones definidas en V. Estos subconjuntos se denominan subespacios vectoriales. SUBESPACIO VECTORIAL.- es un subespacio vectorial de V,, si es espacio vectorial con las operaciones definidas en V. % Subespacios vectoriales impropios % Subespacios vectoriales propios: : cualquier subespacio vectorial de V distinto de y V. Antes de dar ejemplos de subespacios vectoriales, es conveniente dar dos resultados que hacen relativamente sencillo determinar si un subconjunto S de V es subespacio vectorial de V. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso Para demostrar que ' ( S ) V es subespacio vectorial de V,, NO ES NECESARIO comprobar los 8 axiomas de la definición n de espacio vectorial. Un subconjunto S no vacío o de V es s.v. de V si y sólo s si cumple: Un subconjunto S no vacío o de V es s.v. de V si y sólo s si cumple: Para demostrar que S ) V es subespacio vectorial de V,, basta con comprobar que es un subconjunto no vacío (pues todo espacio vectorial ha de contener al menos el vector nulo, luego es conveniente comprobar que el vector nulo es un vector de S) ) y que S es cerrado bajo las operaciones suma de vectores y producto por un escalar.. El resto de las propiedades son heredadas por S. Esto es lo que significan las dos caracterizaciones de subespacio vectorial que acabamos de enunciar. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

15 En la práctica, para demostrar que S NO es s. v. de V o o!! Basta con comprobar una de estas tres cosas! Presentaremos a continuación algunos ejemplos de conjuntos con dos operaciones (suma y producto por un escalar) que no tienen estructura de espacio vectorial. Para demostrar que un conjunto no es espacio vectorial es suficiente comprobar que no satisface alguno de los ocho axiomas de la definición, pero basta con comprobar una de las tres condiciones arriba mencionadas. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso EJEMPLO 1.- El conjunto de los números n enteros no tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones habituales de suma y producto por un escalar real. El conjunto de todos los números enteros con las operaciones normales de suma y producto por un escalar no tiene estructura de espacio vectorial, ya que el producto no es una operación cerrada. escalar 0.5*1 = 0.5 entero no entero -EJEMPLO 2.- El conjunto de los polinomios de grado exactamente 2 no tiene estructura de espacio vectorial. El conjunto de los polinomios de grado exactamente 2 no tiene estructura de espacio vectorial, ya que la suma no es una operación cerrada. p(x) = x 2 q(x) = -x 2 +x+1 son polinomios de grado 2,, pero su suma es un polinomio de primer grado p(x) + q(x) = x+1 Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

16 INTERSECCIÓN N DE SUBESPACIOS VECTORIALES.- Si S, T son subespacios vectoriales de V,, entonces: 1. S $ T es subespacio vectorial de V. 2. S $ T es el mayor de todos los subespacios vectoriales de V incluidos en S y T. La unión n de subespacios vectoriales de V no es necesariamente un subespacio vectorial de V. En el siguiente apartado veremos una manera de encontrar y construir subespacios de un espacio vectorial V.. Este método m nos será de gran utilidad para demostrar, sin emplear las caracterizaciones de subespacio vectorial del apartado anterior, que un subconjunto no vacío o de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso SUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO POR UNA PARTE FINITA DE UN E. V. Sea V un espacio vectorial real. Sea G un conjunto (no vacío) de vectores de V: Definimos como el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

17 -Ejemplos. Ejemplos.- Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso ! SUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO POR UNA COLECCIÓN N FINITA DE VECTORES DE V.-! En un mismo subespacio vectorial es posible encontrar distintos sistemas de generadores! Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

18 Cómo encontrar distintos sistemas de generadores de un subespacio vectorial? Cómo demostrar que S es s.v. de V? Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso EJEMPLO- Demostrar que Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

19 Algoritmo para hallar una base del subespacio vectorial engendrado por una familia G de vectores Sea vectorial. Para hall llar una base del subespacio podemos proceder del modo siguiente: 1.- Formar la matriz A de r filas y n columnas con los vectores de G como filas. 2.- Realizar operaciones elementales de fila hasta llegar a una matriz B escalonada y equivalente a la matriz A. 3.- Las filas no nulas de B constituyen una base del subespacio engendrado por G. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL En el estudio del Álgebra Lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal entre vectores. Podemos plantearnos la siguiente pregunta. Existe una relación n especial entre los vectores y?, o escrito de otro modo: Es decir, el vector nulo se puede escribir como una combinación n no trivial de y. En este caso se dice que los vectores son linealmente dependientes.. En general, se tienen las siguientes definiciones: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

20 es un sistema libre (o son vectores linealmente independientes) ) si: es un sistema ligado (o son vectores linealmente dependientes) ) si: A continuación n enunciamos algunas propiedades de los sistemas libres y ligados que nos pueden resultar útiles másm adelante. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso SISTEMA LIBRE. SISTEMA LIGADO.- PROPIEDADES.- Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

21 Las consecuencias siguientes son resultados que se demuestran de forma inmediata a partir de los conceptos de sistema libre de vectores y sistema ligado de vectores. 1. Todos los vectores de un sistema libre son no nulos. 2. Si un sistema de vectores contiene al vector nulo, entonces es un sistema ligado. 3. sistema libre sii 4. Un sistema de dos vectores es un sistema ligado si y sólo s si uno de los vectores es múltiplo del otro. 5. Si a un sistema ligado se le añaden a aden nuevos vectores, resulta otro sistema ligado. 6. Todo subconjunto de un sistema libre es un sistema libre. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso PRUEBAS PARA LA DEPENDENCIA LINEAL La consecuencia 3.- nos permite decir cuando un conjunto formado por un único vector de un espacio vectorial V es un sistema libre y cuando es un sistema ligado. Del mismo modo, la consecuencia 4.- es una condición n necesaria y suficiente para que una familia formada por dos vectores de un espacio vectorial V sea linealmente dependiente. Cuando disponemos de una colección n de más m s de dos vectores tendremos que recurrir necesariamente, en principio, a la definición n para demostrar que se trata de un sistema libre o un sistema ligado. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

22 Para comprobar si una familia de vectores es linealmente dependiente o linealmente independiente vamos a utilizar, en muchos casos, el concepto de rango de una matriz. Hablaremos de rango de una matriz en un tema posterior, pero como es un concepto que muchos alumnos ya conocen, conviene decir que, en general, resulta más m s cómodo c y másm sencillo estudiar la dependencia o independencia lineal de una familia de vectores utilizando el concepto de rango de una matriz. A partir del momento en el que definimos el concepto de rango de una matriz resolveremos ejercicios de sistemas libres y ligados utilizando la idea del rango de una matriz. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso BASES Y DIMENSIÓN N DE UN ESPACIO VECTORIAL En este apartado presentaremos el concepto fundamental de una base de un espacio vectorial. Como veremos, una base es un conjunto generador eficiente que no contiene vectores innecesarios. De hecho, se puede construir una base a partir de un conjunto generador desechando algunos vectores innecesarios. Además, conocer una base de un espacio vectorial es muy útil para comprender el espacio y sus propiedades. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.- B s. libre B s. generador de V es una base del e.v. real V si: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

23 -EJEMPLOS DE BASES.- -EJEMPLO 1.- base canónica nica -EJEMPLO 2.- base canónica nica Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso EXISTENCIA DE BASES.- Todo e.v. V engendrado por un sistema de generadores finito tiene al menos una base. Todas las bases del e.v. V poseen el mismo número n de elementos. Entonces: DIMENSIÓN N DE UN ESPACIO VECTORIAL.- El número n de elementos que posee una base cualquiera de un e.v. V, recibe el nombre de dimensión n del e.v. V (dim V). Esta información n resulta muy útil como se verá posteriormente Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

24 -CONSECUENCIAS.- Si V es un e.v. con dim V = n,, entonces: En un espacio vectorial de dimensión n no puede haber más m s de n vectores linealmente independientes n vectores l.i. de un e.v. V de dimensión n constituyen una base de V Un s.g. de n vectores de un e.v. V de dimensión n constituye una base de V Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso Dos perspectivas de una base Cuando se usa el teorema de la reducción n de un conjunto generador, la eliminación n de vectores de un conjunto generador debe terminar cuando el conjunto generador resulta linealmente independiente. Si se elimina otro vector, no será combinación n lineal de los vectores restantes y por lo tanto el conjunto resultante ya no generará el mismo espacio vectorial V. Una base también n es un conjunto linealmente independiente que es lo másm grande posible. Si B es una base de V y si B se agranda con un vector, digamos, de V, entonces el nuevo conjunto ya no puede ser linealmente independiente, porque B genera V y es por lo tanto una combinación lineal de los vectores de B. Ejemplo.- Los siguientes tres conjuntos de muestran cómo c un conjunto linealmente independiente de dos vectores de puede agrandarse para formar una base de y cómo c un agrandamiento adicional destruye la independencia lineal del conjunto. Este mismo ejemplo lo podemos ver desde otra perspectiva: Un conjunto generador de formado por 4 vectores puede encogerse para dar una base, pero una contracción n adicional destruye la propiedad de ser generador. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

25 Cuando se conoce la dimensión n de un espacio o subespacio vectorial, la búsqueda b de una base se simplifica con el resultado que damos a continuación, n, que dice que si un conjunto tiene el número n correcto de elementos, entonces basta con demostrar que el conjunto es linealmente independiente o bien que genera el espacio. El teorema es de importancia crítica en numerosos problemas de aplicaciones (que tienen que ver con ecuaciones diferenciales o en diferencias, por ejemplo) donde la independencia lineal es mucho másm fácil de comprobar que la propiedad de generar. Según n la consecuencia 3.-, conocida la dimensión n de un e.v. V (, ), cómo encontrar una base B de V?: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso COORDENADAS DE UN VECTOR Sea V e.v. real con base de V. únicos tales que: A los escalares (únicos( nicos) ) se les llama coordenadas del vector en la base B. Hallar las coordenadas del vector en la base canónica nica de en la base de Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

26 DIMENSIÓN N DE UN SUBESPACIO VECTORIAL Sea S s.v. de V y B base de S si : número de elementos de una base de S Si dim V = n, y S es un s.v. de V, entonces: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso Cómo encontrar una base B de un subespacio vectorial S? B = G es s.g. de S Hay que demostrar que B = G es s. libre Cómo encontrar una base B de un espacio vectorial V? Para encontrar una base de vectores l.i. de, pues, basta con hallar n Para hallar una base de, basta con hallar n + 1 polinomios l.i. de, pues Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso

27 RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES Sea V espacio vectorial real y F una colección n de vectores de V. Se llama rango de F ( r ( F ) ) al número máximo m de vectores linealmente independientes de F. Volveremos a estudiar el concepto de rango de una familia de vectores dentro del marco de la teoría a de matrices. Esto nos permitirá desarrollar métodos m másm eficientes para calcular el rango de una familia de vectores y también n para hallar una base de un subespacio vectorial generado por una familia de vectores. Si F es un subconjunto del e.v. V que consta de m vectores y dim V = n Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso Conceptos preliminares ESPACIO VECTORIAL ESCALAR VECTOR Concepto Ejemplos básicos Condiciones Propiedades Coordenadas COMBINACIÓN LINEAL SUBESPACIO VECTORIAL DEPENDENCIA LINEAL INDEPENDENCIA LINEAL Concepto Condiciones S. V. PROPIO S. V. IMPROPIO SISTEMA GENERADOR Resultados interesantes BASE Dimensión de un espacio vectorial Resultados interesantes COORDENADAS Resultados interesantes Relación Dimensión de un subespacio vectorial Rango de un sistema de vectores Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso