IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea la regió defiida por las siguietes iecuacioes: x/2 + y/3 1 ; - x + 2y 0; y 2. (2 putos) Represete gráficamete dicha regió y calcule sus vértices. (1 puto) Determie e qué putos la fució F(x,y) = 3x 6y + 4 alcaza sus valores extremos y cuáles so éstos. Solució ( y ( Fució Objetivo F(x,y) = 3x 6y + 4. Restriccioes: Que so las desigualdades x/2 + y/3 1; - x + 2y 0; y 2; y las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x/2 + y/3 = 1; - x + 2y = 0; y = 2. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -3x/2 + 3; y = x/2; y = 2; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes de las rectas de dos e dos. De y = x/2 e y = -3x/2 + 3, teemos x/2=-3x/2 + 3, es decir x=-3x +6, luego 4x=6, por tato x = 6/4 = 3/2 de dode y = 3/4. El puto de corte es A(3/2,3/4) De y = x/2 e y = 2, teemos x = 4. El puto de corte es B(4,2) De y = 2 e y = -3x/2 + 3; teemos 2 = -3x/2 + 3, es decir 4 = -3x + 6, luego 3x = 2, por tato x = 2/3. El puto de corte es C(2/3,2) Vemos que los vértices del recito so: A(3/2,3/4), B(4,2) y C(2/3,2). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) = 3x 6y + 4 e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(3/2,3/4), B(4,2) y C(2/3,2). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(3/2,3/4) = 3(3/2) 6(3/4) + 4 = 4; F(4,2) = 3(4) 6(2) + 4 = 4; F(4,2) = 3(2/3) 6(2) + 4 = -6; F(2,4) = 2(2)+2(4)+1 = 13; F(0,3) = 2(0)+2(3)+1 = 7. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 4 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e los vértices A(3/2,3/4) y B(4,2), es decir e todo el segmeto que ue el vértice A co el vértice B, y el míimo absoluto es -6 (el valor meor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(2/3,2). EJERCICIO 2_A El beeficio esperado de ua empresa, e milloes de euros, e los próximos ocho años viee dado por la 2 -t + 7t si 0 t < 5 fució B defiida por B(t) = 10 si 5 t 8 dode t idica el tiempo trascurrido e años. 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua (2 putos) Represete gráficamete la fució B y explique cómo es la evolució del beeficio esperado durate esos 8 años. (1 puto) Calcule cuádo el beeficio esperado es de milloes de euros. Solució El beeficio esperado de ua empresa, e milloes de euros, e los próximos ocho años viee dado por la 2 -t + 7t si 0 t < 5 fució B defiida por B(t) =, dode t idica el tiempo trascurrido e años. 10 si 5 t 8 Represete gráficamete la fució B y explique cómo es la evolució del beeficio esperado durate esos 8 años. Para 0 t < 5, B(t) = -t 2 +7t Su gráfica es trozo de parábola co las ramas hacia abajo ( ), porque el º que multiplica a t 2 es egativo (-), luego es cócava (e Adalucí. La abscisa del vértice es el úmero que aula la 1ª derivada B (t). B(t) = -t 2 +7t, B (t) = -2t +7, de B (t) = 0 teemos -2t +7 = 0, luego t = 7/2 y el vértice es V(7/2,B(7/2)) = = V(7/2,49/4) = V(3 5,12 25), que es u máximo relativo. Como coocemos el vértice V, B crece ( ) e (0,3 5) y decrece ( ) e (3 5,5) Los putos de corte so: Para t = 0, puto (0,B(0)) = (0,0). Para B(t) = 0, teemos -t 2 + 7t = 0 = t(-t + 7), de dode t = 0 y t = 7 (fuera del domiio de la parábol. Puto (0,0). Como estamos e u segmeto teemos que darle el valor del otro extremo (por la izquierd, es decir B(5 - ) = -(5) 2 + 7(5) = 10 Si 5 t 8, B(t) = 10, cuya gráfica es la recta (e este caso segmeto) paralela al eje de abscisas OX de ecuació y = 10. Por otro lado hemos observado que la fució coicide e x = 5, es decir es cotiua e x = 5. Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica de B es: Observado la gráfica vemos que el beeficio crece, desde 0 milloes de euros, el año 0 hasta milloes de euros, el año 3 5 (vértice), decrece desde milloes de euros, el año 3 5 (vértice) hasta 10 milloes de euros, el año 5 y desde el año 5 al año 8 se matiee costate e 10 milloes de euros. Calcule cuádo el beeficio esperado es de milloes de euros. Vemos que el beeficio perteece al itervalo 0 t < 5, dode la fució es B(t) = -t 2 +7t, luego teemos que resolver la ecuació -t 2 +7t = 11 25, y tomar sólo las solucioes e 0 t < 5. De -t 2 +7t = 11 25, teemos t 2 7t = 0. 2

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua -(-7) ± ± 2 t = =, de dode t = 9/2 = 4 5 años y t = 5/2 = 2 5 años, vemos que el beeficio 2 2 esperado de años se da e el año 2 5 y e el año 4 5 EJERCICIO 3_A Parte I Se dispoe de dos uras A y B. E la ura A hay diez bolas, umeradas del 1 al 10 y e la ura B hay 3 bolas, umeradas del 1 al 3. Se laza ua moeda, si sale cara se extrae ua bola de la ura A y si sale cruz se extrae de la B. (0 5 putos) Calcule la probabilidad de obteer cara y u 5. (0 5 putos) Halle la probabilidad de obteer u 6. c) (1 puto) Calcule la probabilidad de obteer u 3. Solució Se dispoe de dos uras A y B. E la ura A hay diez bolas, umeradas del 1 al 10 y e la ura B hay 3 bolas, umeradas del 1 al 3. Se laza ua moeda, si sale cara se extrae ua bola de la ura A y si sale cruz se extrae de la B. Lo vamos a realizar mediate u diagrama de árbol y tambié utilizaremos la Regla de Laplace (º de casos favorables etre º de casos posibles). Llamemos A, B, i A, o A, i B y o B a los sucesos siguietes, sacar bola de la ura A, sacar bola de la ura B, "sacar el º i de la ura A", "o sacar las bolas 5 y 6 de la ura A", "sacar el º i de la ura B", "o sacar el º 3 de la ura B". Además teemos p(a) = 1/2 = 0 5, p(b) = 1/2 = 0 5, p(i A ) = 1/10 = 0 1, p(o A ) = 8/10 = 0 8, p(3 B )=1/3, p(o B ) = 2/3. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Calcule la probabilidad de obteer cara y u 5. p(cara y 5) = p(a 5 A ) = p(a).p(5 A /A) = (0 5) (0 1) = 0 05 Halle la probabilidad de obteer u 6. El 6 sólo está e la ura A p(6) = p(cara y 6) = p(a 6 A ) = p(a).p(6 A /A) = (0 5) (0 1) = 0 05 c) Calcule la probabilidad de obteer u 3. El 3 está e la ura A y e la ura B. p(3) = p(a).p(3 A /A) + p(b).p(3 B /B) = (0 5) (0 1) + (0 5) (1/3)

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3_A Parte II U fabricate produce tabletas de chocolate cuyo peso e gramos sigue ua ley Normal de media 125 g y desviació típica 4 g. (1 puto) Si las tabletas se empaqueta e lotes de 25, cuál es la probabilidad de que el peso medio de las tabletas de u lote se ecuetre etre 124 y 126 gramos? (1 puto) Si los lotes fuese de 64 tabletas, cuál sería la probabilidad de que el peso medio de las tabletas del lote superase los 124 gramos? Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y σ σ geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Trabajamos e ua ormal N(0,1), para lo cual teemos que tipificar la variable e la distribució muestral de medias, es decir Z = X µ σ / U fabricate produce tabletas de chocolate cuyo peso e gramos sigue ua ley Normal de media 125 g y desviació típica 4 g. Si las tabletas se empaqueta e lotes de 25, cuál es la probabilidad de que el peso medio de las tabletas de u lote se ecuetre etre 124 y 126 gramos? Datos del problema: Tabletas N(µ, σ) = N(125, 4); µ = 125; σ = 4; = 25; σ 4 X N(µ, ) = N(125, ) = N(125, 4/5) = N(125, 0 8) 25 Me está pidiedo el porcetaje de la probabilidad p(124 X 126) Luego p(124 X 126) = {tipificamos} = p( Z ) = p(-1 25 Z 1 25) = 0'8 0'8 = p(z 1 25) - p(z ) = p(z 1 25) [1 - p(z 1 25)] = 2 p(z 1 25) 1 = {Mirado e la tabla} = = = La probabilidad pedida es Si los lotes fuese de 64 tabletas, cuál sería la probabilidad de que el peso medio de las tabletas del lote superase los 124 gramos? Me está pidiedo el porcetaje de la probabilidad p( X 124) σ 4 Como ahora = 64 la distribució muestral de medias es N(µ, ) = N(125, ) = N(125, 4/8) = 64 = N(125, 0 5) Luego p( X 124) = {tipificamos} = p(z ) = p(z -2) = 1 - p(z -2) = 1 [1 - p(z 2)] 0'5 = p(z 2) = {Mirado e la tabla} = La probabilidad pedida es OPCIÓN B EJERCICIO 1_B (3 putos) Sea las matrices: A= ; B= 2 ; C= -5 ; D= 2 ; E= Calcule los valores de los úmeros reales x, y,z, para que se verifique la siguiete igualdad etre matrices: E x A B = y C + z D. Solució 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua (3 putos) Sea las matrices: A= ; B= 2 ; C= -5 ; D= 2 ; E= Calcule los valores de los úmeros reales x, y, z, para que se verifique la siguiete igualdad etre matrices: E x A B = y C + z D De E x A B = y C + z D teemos -5 - x = y -5 + z 2, es decir y 1z -2 1x -2y+1z -2-x -2y+1z -5 - x 3 = -5y + 2z, luego -5-3x = -5y+2z, por tato -5-3x = -5y+2z. Igualado 5 4 2y -3z 5 4x 2y-3z 5-4x 2y-3z -2-x = -2y+z -x+2y -z = 2 -x+2y -z = 2-5-3x= -5y+2z, es decir -3x+5y-2z = 5 (F 2-3 F 2 ) -y + z = x = 2y-3z -4x-2y+3z = -5 (F 3-4 F 1 ) -10y+7z = -13 (F 3-10 F 2 ) -x+2y -z = 2 -y + z = -1-3z = -3, de dode z = 1, -y + (1) = -1, luego y = 2, por tato -x+2(2)-(1) = 2, es decir x = 1. Los valores pedidos so x = 1, y = 2 y z = 1. EJERCICIO 2_B Sea la fució f(x) = x 3 3x 2 1. (1 5 putos) Determie la mootoía y los extremos relativos de f. (0 75 putos) Calcule su puto de iflexió. c) (0 75 putos) Teiedo e cueta los apartados ateriores, represétela. Solució Sea la fució f(x) = x 3 3x 2 1. Determie la mootoía y los extremos relativos de f. Recordamos que la mootoía sale del estudio de la primera derivada f (x). Los putos dode se aula f (x) puede ser los extremos relativos. Si f (x) > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ) (Se dibuja hacia arrib. Si f (x) < 0, f(x) es estrictamete decreciete ( ) (Se dibuja hacia abajo). Como f(x) = x 3 3x 2 1, teemos f (x) = 3x 2-6x. De f (x) = 0, teemos 3x 2-6x = 0 = x (3x 6), de dode x = 0 y 3x 6 = 0, luego x = 2, y las solucioes so x = 0 y x = 2, que será los posibles extremos relativos. Como f (-1) = 3(-1) 2 6(-1) = 9 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ) e (-,0). Como f (1) = 3(1) 2 6(1) = - 3 < 0, f(x) es estrictamete decreciete ( ) e (0,2). Como f (3) = 3(3) 2 6(3) = 9 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ) e (2,+ ). Por defiició x = 0 es u máximo relativo y vale f(0) = (0) 3 3(0) 2 1 = -1 Por defiició x = 2 es u míimo relativo y vale f(2) = (2) 3 3(2) 2 1 = -5 Calcule su puto de iflexió. Recordamos que la curvatura sale del estudio de la seguda derivada f (x). Los putos dode se aula f (x) puede ser los putos de iflexió. Si f (x) > 0, f(x) es covexa ( ) (e Adalucí. Si f (x) < 0, f(x) es cócava ( ) (e Adalucí. Como f(x) = x 3 3x 2 1, teemos f (x) = 3x 2-6x y f (x) = 6x - 6. De f (x) = 0, teemos 6x - 6 = 0, de dode x = 1, que será el posible puto de iflexió. 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Como f (0) = 6(0) - 6 = - 6 < 0, f(x) es cócava ( ) e (-,1). Como f (2) = 6(2) - 6 = 6 > 0, f(x) es covexa ( ) e (1,+ ). Por defiició x = 1 es u puto de iflexió de f que vale f(1) = (1) 3 3(1) 2 1 = -2. c) Teiedo e cueta los apartados ateriores, represétela. Co los datos del apartado ( y ( ya podríamos hacer u esbozo de la gráfica. No obstate veremos el comportamieto e ±. lim (x 3 3x 2 1) = x lim (x 3 ) = - ; x lim ( x 3 3x 2 1) = x + lim (x 3 ) = + x + Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica es : EJERCICIO 3_B Parte I Se cooce los siguietes datos de u grupo de persoas, relativos al cosumo de u determiado producto: Cosume No cosume Hombre Mujer Se elige e ese grupo ua persoa al azar. Calcule la probabilidad de que: (0 5 putos) Sea mujer. (0 75 putos) Habiedo cosumido el producto, se trate de ua mujer. c) (0 75 putos) Sea mujer y o cosuma el producto. Solució Se cooce los siguietes datos de u grupo de persoas, relativos al cosumo de u determiado producto: Cosume No cosume Hombre Mujer Completamos la tabla de cotigecia sabiedo que tato la suma e horizotal como e vertical da los totales. He puesto e egrita los úmeros que he completado. Sea mujer. p(silla uev = p(m) = Cosume = C No cosume =C c Totales Hombre=H Mujer=M Totales Total mujeres Total persoas = 37/

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Habiedo cosumido el producto, se trate de ua mujer. Total mujeres que cosume p(mujer/cosume) = p(m/c ) = Total cosume c) Sea mujer y o cosuma el producto. = 25/ p(mujer y o cosume) = p(m C C ) = Total mujeres que o cosume Total persoas = 12/ EJERCICIO 3_B Parte II Ua variable aleatoria sigue ua ley Normal co media descoocida y desviació típica 2 4. Se quiere estimar la media poblacioal, co u ivel de cofiaza del 93%, para lo que se toma dos muestras de distitos tamaños. (1 puto) Si ua de las muestras tiee tamaño 16 y su media es 10 3, cuál es el itervalo de cofiaza correspodiete? (1 puto) Si co la otra muestra el itervalo de cofiaza es (9 776, ), cuál es la media muestral? Cuál es el tamaño de la muestra? Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/2,x + z1 α/2 = (a, dode z 1-α/2 y z α/2 = - z 1-α/2 es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/2 ) = 1 - α/2 σ Tambié sabemos que la media es x = (a + /2, el error máximo de la estimació es E = z1 α /2, para σ el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α /2 = 2 E, de dode E = (b /2, 2 2 z 1- α/2. σ 2 z 1- α/2. σ por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. Ua variable aleatoria sigue ua ley Normal co media descoocida y desviació típica 2 4. Se quiere estimar la media poblacioal, co u ivel de cofiaza del 93%, para lo que se toma dos muestras de distitos tamaños. Si ua de las muestras tiee tamaño 16 y su media es 10 3, cuál es el itervalo de cofiaza correspodiete? Datos del problema: σ = 2 4, = 16, x = 10 3, ivel de cofiaza = 93% = 0 93 = 1 - α, de dode α = De 1 α = 0 93, teemos α = = 0 07, de dode α/2 = 0 07/2 = De p(z z 1-α/2 ) = 1 - α/2 = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad o viee, y la más próxima es que correspode a z 1-α/2 = 1 81 (iterpolado z 1-α/2 = ), por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 7

8 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/2,x + z1 α/2 = 2'4 2'4 10'3-1'81,10'3 + 1'81 = (9 214, ) Si co la otra muestra el itervalo de cofiaza es (9 776, ), cuál es la media muestral? Cuál es el tamaño de la muestra? Datos del problema: a = 9 776, b = , luego σ = 2 4, z 1-α/2 = Hemos visto que la media era x = (a + /2 = ( )/2 = z 1- α/2. σ 2 z 1- α/2. σ 2 1'81.2'4 De = = E b - a 11'224-9'776 = 36, es decir el tamaño míimo es = 36. 8

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