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1 IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A JRCICIO 1 ( putos) Sea las matrices: A ; B 0-1 y C Determie X e la ecuació matricial XA B C Solució Teemos que resolver la ecuació matricial XA B C De XA B C, teemos XA B+C Si det(a) A 0, existe la matriz iversa A -1, y podemos multiplicar por la derecha la expresió XA B+C por A -1 obteiedo XA A -1 (B+C) A -1, de dode XI (B+C) A -1, es decir X (B+C) A Adjutos A seguda (-1)(-+) -1 0, luego existe la matriz iversa A -1 (1/ A )Adj(A t ) 1 fila A ; A t ; Adj(A t ) ; A -1 (1/-1) X (B+C)A -1 ; B+C I Luego X (B+C)A -1 X I A -1 A JRCICIO Sea la fució f(x) x-1 x-1 (1 puto) Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució f e el puto (0,1) (1 puto) studie la mootoía de f c) (1 puto) Halle Ias asítotas, los putos de corte co los ejes y represete gráficamete la fució Solució Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució f(x) x-1, e el puto (0,1) x-1 Al darme el puto (0,1) me está diciedo que calcule la recta tagete e x 0, y que f(0) 1 Sabemos que la recta tagete e x 0 es y-f(0) f (0)(x-0) De f(x) x-1 x-1, teemos f (x) 1(x-1)-(x-1) 1, por tato f (0) 1/(-1) 1 (x-1) (x-1) La recta tagete pedida es y - 1 1(x-0), es decir y x+1 studie la mootoía de f Recordamos que la mootoía sale del estudio de la primera derivada Si f (x) > 0, f(x) es estrictamete creciete (Se dibuja hacia arrib Si f (x) < 0, f(x) es estrictamete decreciete (Se dibuja hacia abajo) 1 Como f (x) siempre es mayor que cero, (recordamos que o está defiida e x 1/, º que aula (x-1) el deomiador), la fució f(x) siempre es creciete, por tato o tiee i máximos i míimos c) Halle Ias asítotas, los putos de corte co los ejes y represete gráficamete la fució f(x) x-1 x-1 Sabemos que el domiio de ua fució racioal es R {solucioes deomiador 0} 1

2 IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Las asítotas verticales (AV) suele ser los úmeros que aula el deomiador, después hay que comprobar que lim f(x) Las asítotas horizotales so las rectas y b, co lim f(x) b x a x Dom(f(x)) R- {solucioes de x 1 0} R {1/} x-1 Como lim f(x) lim -0 5/0+ -, la recta x 1/" es ua AV x 1/ + x 1/ + x-1 x-1 lim f(x) lim -0 5/0- + x 1/ x 1/ x-1 x-1 x Como lim f(x) lim {térmios de mayor grado} lim x + x + x-1 x + x lim (1/) 1/, la recta y 1/" es x + ua AH Sabemos que e los cocietes de fucioes poliómicas la AH e + y e - es la misma La fució f(x) x-1 es ua fució homográfica, y su gráfica es ua hipérbola co los ejes desplazados x-1 Dádole u valor a f(x), a izquierda y derecha del la AV x 1/, sabemos dode está situada este caso e el II y IV cuadrate, de los uevos ejes que so las asítotas Como me pide los cortes co lo ejes estos valdrá: Para x 0, f(0) 1 Puto (0,1), corte co el eje OY Para f(x) 0, teemos x - 1 0, de dode x 1 Puto (1,0), corte co el eje OX Tambié sabemos que la gráfica de ua hipérbola uca toca i atraviesa las asítotas Teiedo e cueta lo aterior, u esbozo de la gráfica es (e azul la fució, y e rojo las asítotas): JRCICIO Parte I Se cosidera dos sucesos A y B, asociados a u espacio muestral, tales que p(a B) 1, p(a B) 0 y p(a/b) 0 6 (1 5 putos) Halle las probabilidades de los sucesos A y B (0 5 putos) Determie si el suceso B es idepediete del suceso A Solució Halle las probabilidades de los sucesos A y B Teemos p(a B) 1, P(A B) 0 y P(A/B) 0 6 p(a B) Por otro lado sabemos que p(a B) p(a)+ p(b) - p(a B) y que p(a/b) p(b) p(a B) De p(a/b), sustituyedo teemos /p(b), por tato p(b) 0 / p(b) De p(a B) p(a)+ p(b) - p(a B), sustituyedo teemos 1 p(a)+0 5-0, por tato p(a) 0 8 Determie si el suceso B es idepediete del suceso A Sabemos que A y B so idepedietes si p(a B) p(a)p(b) p(a B) 0, y p(a)p(b) Como p(a B) p(a)p(b), los sucesos A y B o so idepedietes

3 IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua JRCICIO Parte II l gasto que hace las familias españolas e regalos de Navidad sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 84 euros Para estimar esta media se seleccioó ua muestra aleatoria y se obtuvo el itervalo de cofiaza (509 41; 59 79), co u ivel de cofiaza del 97% (0 5 putos) Cuál ha sido la media de la muestra escogida? (1 5 putos) Qué tamaño teía la muestra? Solució Sabemos que si ua variable aleatoria X sigue ua ormal N(µ, ), la distribució muestral de medias X sigue ua ormal N(µ, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I(µ) x z 1 α/,x + z1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1), que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es z1 α /, para el itervalo de la media z 1-α/ De z 1 α /, obteemos el tamaño de la muestra es e N(µ, ) Si me da el itervalo de cofiaza (a,, teemos e cueta que el error es b - a, y que el puto medio del itervalo, es decir a + b, será x que es la media muestral Cuál ha sido la media de la muestra escogida? Datos: Itervalo (509 41; 59 79) (a, ; 84; 1 - α 97% 0 97, de dode α 0 0 De (a, sabemos que la media muestral es x (a+/ ( )/ 54 6 Qué tamaño teía la muestra? z 1-α/ Sabemos que el tamaño de la muestra es Del itervalo (a, sabemos que (b-/ ( )/ Sólo me queda calcular el puto crítico z 1-α/ De p(z z 1-α/ ) 1 - α/ 1-0 0/ 0 985, que miramos e la tabla de la N(0,1) y correspode a u puto crítico z 1 - α/ 17 z 1-α/ l tamaño de la muestra pedido es ' ' OPCIÓN B JRCICIO 1 (1 5 putos) Platee, si resolver, el siguiete problema de programació lieal: "Ua empresa fabrica camisas de dos tipos, A y B l beeficio que obtiee es de 8 euros por cada camisa que fabrica del tipo A, y de 6 euros por cada ua del tipo B La empresa puede fabricar, como máximo, camisas, y las del tipo B ha de supoer, al meos, el 60% del total Cuátas camisas debe fabricar de cada tipo para obteer el máximo beeficio?" (1 75 putos) Represete la regió defiida por las iecuacioes: y x, y +x 6, x 4y+ Calcule el máximo de F(x,y) y +x e la regió aterior e idique dóde se alcaza Solució Platee, si resolver, el siguiete problema de programació lieal: "Ua empresa fabrica camisas de dos tipos, A y B l beeficio que obtiee es de 8 euros por cada camisa que fabrica del tipo A, y de 6 euros por cada ua del tipo B La empresa puede fabricar, como máximo, camisas, y las del tipo B ha de

4 IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua supoer, al meos, el 60% del total Cuátas camisas debe fabricar de cada tipo para obteer el máximo beeficio?" Llamamos x camisa tipo A Llamamos y camisa tipo A Para determiar las iecuacioes y la fució Beeficio F(x,y), poemos u cuadro de doble etrada que os lo simplificará Tipo A Tipo B Máximo y F(x,y) Camisas x y Topes camisas Más de 0 Más de 60% del total Beeficio 8 6 8x + 6y Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes: x + y ; x 0; y 60% de (x+y), es decir y 0 6x+0 6y, luego 0 4y 0 6x La fució que maximiza el beeficio es F(x,y) 8x + 6y Represete la regió defiida por las iecuacioes: y x, y +x 6, x 4y+ Calcule el máximo de F(x,y) y +x e la regió aterior e idique dóde se alcaza Primeramete trasformamos las desigualdades y x, y +x 6, x 4y+ e igualdades, y ya su gráfica es ua recta, y x, y +x 6, x 4y+ Despejamos la y, y dibujamos las rectas correspodietes: y x; y -x+6; y x/4-/4 Fijádoos e las desigualdades: y x; y -x+6; y x/4-/4, la regió factible y sus vértices A, B y C so: Calculamos los vértices resolviedo las ecuacioes de las rectas de dos e dos: y x; y -x+6; y x/4-/4 De y -x+6 e y x/4-/4, teemos -x+6 x/4-/4, de dode -8x+4 x-, luego 9x 7, por tato x e y0 el puto de corte es A(,0) De y x e y x/4-/4, teemos x x/4-/4, de dode 4x x-, luego x -, por tato x-1 e y-1 el puto de corte es B(-1,-1) De y x e y -x+6, teemos x -x+6, de dode x 6, luego x e y el puto de corte es C(,) Los vértices de la regió so A(,0), B(-1,-1) y C(,) Cosideremos la fució F(x, y) y +x l Teorema Fudametal de la Programació Lieal, afirma que la fució F alcaza su máximo y su míimo absoluto e la regió acotada, y que este extremo debe está situado e algú vértice del recito (si 4

5 IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua coicide e dos vértices cosecutivos, la solució es todo el segmeto que los ue), por lo que evaluamos F e los putos ateriores: F(,0) (0) +() 6, F(-1,-1) (-1) +(-1) -, F(,) () +() 6 Teiedo e cueta lo aterior vemos el míimo absoluto de la fució F e la regió es - (el valor meor e los vértices) y se alcaza e el puto (-1,-1), y el máximo absoluto es 6 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e los putos (,0) y (,); por tato el máximo absoluto se alcaza e todo el segmeto que ue los putos (,0) y (,) JRCICIO Sea la fució f: R R defiida mediate f(x) (1 puto) s f cotiua e x 0? s cotiua e su domiio? (1 puto) s f derivable e x 0? s derivable e su domiio? c) (1 puto) Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x 1 Solució s f(x) cotiua e x 0? s cotiua e su domiio? Vemos que el domiio de f(x) es todo R f(x) es cotiua e x 0 si f(0) lim f(x) lim f(x) x 0 f(0) e -0 1; lim f(x) lim (e -x ) e -0 1; lim x 0 x 0 x 0 + f(x) lim (x x +1) Como los tres valores so iguales, la fució f(x) es cotiua e x 1, por tato es cotiua e su domiio R s f(x) derivable e x 0? s derivable e su domiio? Vemos que el domiio de f(x) es todo R - e si x < 0 f(x) f (x) x -1 si x > 0 f(x) es derivable e x 0 si lim f (x) lim f (x) (stamos viedo la cotiuidad de la derivad x 0 lim f (x) lim (-e -x ) -1; lim f (x) lim (x 1) -1 Como lim f (x) -1 x 0 x 0 x 1 derivable e x 1, por tato es derivable e su domiio R c) Halle la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x 1 Sabemos que la recta tagete e x 1 es y-f(1) f (1)(x-1) Tambié sabemos que x 1 está e la rama x > 0, luego f(x) x x + 1 y f (x) x 1 De f(x) x x + 1, teemos f(1) De f (x) x 1, teemos f (1) -1 La recta tagete pedida es y-(-1) ()(x-1), es decir y x- lim f (x), la fució f(x) es x + 1 JRCICIO Parte I l 70% de los visitates de u museo so españoles l 49% so españoles y mayores de edad De los que o so españoles, el 40% so meores de edad (1 puto) Si se escoge, al azar, u visitate de este museo, cuál es la probabilidad de que sea mayor de edad? (1 puto) Se ha elegido, aleatoriamete, u visitate de este museo y resulta que es meor de edad, cuál es la probabilidad de que o sea español? Solució Llamemos s, s C F, M y M C N a los sucesos siguietes, visitate español, visitate o español, " mayor de edad" y " meor de edad, respectivamete 5

6 IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua De el 70% de los visitates de u museo so españoles, teemos p(s) 70% 0 7, y por el suceso cotrario p(f) 1 p(s) De el 49% so españoles y mayores de edad, teemos p(s M) 49% 0 49 De los que o so españoles, el 40% so meores de edad, teemos p(n/f) 40% 0 4 Trasladamos estos datos a ua tabla de cotigecia s s C F Totales Mayor M M C N Totales Calculamos de p(n/f) 0 4, p(n F) para completar la tabla p(n/f) 0 4 { defiició} [p(n F)]/[p(F)], de dode p(n F) p(f)p(n/f) Los datos e egrita los hemos obteido sumado o restado de los totales Si se escoge, al azar, u visitate de este museo, cuál es la probabilidad de que sea mayor de edad? Me está pidiedo p(m), y la tabla me dice que p(m) 0 67 Se ha elegido, aleatoriamete, u visitate de este museo y resulta que es meor de edad, cuál es la probabilidad de que o sea español? Me está pidiedo p(f/n) p(f N) p(f/n) {por defiició} (0 1)/(0 ) 0 66 p(n) JRCICIO Parte II Los jóvees adaluces duerme u úmero de horas diarias que se distribuye segú ua ley Normal de media descoocida, µ, y desviació típica horas A partir de ua muestra de 64 jóvees se ha obteido ua media de 7 horas (1 puto) Halle u itervalo de cofiaza, al 97%, para la media poblacioal µ (1 puto) Mateiedo la misma cofiaza, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para estimar la media de horas de sueño, cometiedo u error máximo de 0 5 horas? Solució Sabemos que si ua variable aleatoria X sigue ua ormal N(µ, ), la distribució muestral de medias X sigue ua ormal N(µ, ) Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I(µ) x z 1 α/,x + z1 α/ dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1), que verifica p(z z 1-α/ )1-α/ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es z1 α /, para el itervalo de la media z 1-α/ De z 1 α /, obteemos el tamaño de la muestra es e N(µ, ) Halle u itervalo de cofiaza, al 97%, para la media poblacioal µ Datos: ; 64; x 7; 1 - α 97% 0 97, de dode α 0 0 De p(z z 1-α/ ) 1 - α/ 1-0 0/ 0 985, que miramos e la tabla de la N(0,1) y correspode a u puto crítico z 1 - α/ 17 6

7 IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua l itervalo de cofiaza para estimar la media es: I(µ) x z 1 α/,x + z1 α/ 7-'17,7+'17 (6 4575, 7 545) Mateiedo la misma cofiaza, cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para estimar la media de horas de sueño, cometiedo u error máximo de 0 5 horas? z 1-α/ Sabemos que el tamaño de la muestra es z 1-α/ l tamaño de la muestra pedido es '17 0' , por tato 0 7

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