ÍNDICE 1.- CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS...3

Transcripción

1 Página 1 de 71 ÍNDICE 1.- CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS Breve introducción histórica Técnicas de planificación y control de proyectos Definiciones Tipo de actividades en función del grado de conocimiento de su duración Objetivos del proyecto CAPÍTULO 2: EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL Y SU SIMULACIÓN Modelado de la duración de actividades aleatorias en C Actividades de duración aleatoria y dbon. conocida Método de la transformada inversa Método de Box y Muller para la simulación de valores de una distribución normal Actividades de duración aleatoria y dbon. desconocida Optimización de la red mediante GAMS El método del camino crítico El código GAMS Valoración de resultados Valoración del número borroso...37

2 Página 2 de CAPÍTULO 3: EL PROGRAMA INFORMÁTICO Simulación de la duración de las actividades aleatorias. C Funcionamiento general del programa Código del programa Simulación de la red de actividades. GAMS CAPÍTULO 4: RESULTADOS La red Simulación de la duración de las actividades aleatorias Resultados de la simulación α-corte 0.7 del tiempo de finalización del proyecto Instante más temprano en que pueden comenzar las actividades que salen del nodo i Holguras libres de las actividades Holguras totales de las actividades Resumen de los resultados Simulación de la red tomando valores medios de duración de las actividades aleatorias y valoraciones de las actividades de duración borrosa...69

3 Página 3 de 71 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS Breve introducción histórica La planificación y programación de proyectos complejos, sobre todo grandes proyectos unitarios no repetitivos, comenzó a ser motivo de especial atención al final de la Segunda Guerra Mundial, cuando se difundió el Gráfico de Gantt. Hasta finales de los cincuenta ésta fue la única herramienta que se tenía; en esta época, la Oficina de Proyectos Especiales de la Marina de los Estados Unidos de América, en colaboración con las compañías Lockheed (fabricantes de proyectiles balísticos) y Booz, Allen & Hamilton (ingenieros consultores), se plantean un nuevo método para solucionar el problema de planificación, programación y control del proyecto de construcción de submarinos atómicos armados con proyectiles «Polaris», en el que era necesario coordinar y controlar, durante un periodo de cinco años a 250 empresas, 9000 subcontratistas y numerosas agencias gubernamentales. En julio de 1958 se publica el primer informe del programa, al que denominan Proqramme Evaluation and Review Technique (PERT Técnica de revisión y evaluación de proyectos), decidiendo su aplicación en octubre del mismo año y consiguiendo un adelanto de dos años sobre los cinco previstos. Para 1960 se construyeron en Estados Unidos los primeros submarinos que transportaban y lanzaban mísiles balísticos de combustible sólido (SLBM, del inglés solid-propellant submarinelaunched ballistic missiles). Estos mísiles de cabeza nuclear (mísiles

4 Página 4 de 71 Polaris) pueden alcanzar objetivos situados a Km. de un submarino sumergido. A mediados de la década de 1960, la Marina estadounidense desarrolló un misil antisubmarino de gran alcance guiado por inercia. Este misil podía ser disparado por los cañones para torpedos de cualquier submarino. A finales de la década de 1960, los misiles Polaris fueron sustituidos en parte por un nuevo tipo de SLBM de más largo alcance: el misil Poseidón, que puede transportar hasta diez cabezas nucleares. El éxito que tuvo esta herramienta propició su difusión que ha sido enorme en todo el mundo. En Estados Unidos, la Administración Pública sólo considera ofertas de empresas privadas que se presenten diseñadas siguiendo esta técnica; el proyecto Apolo, que permitió que el hombre pusiera el pie en la Luna, también fue programado mediante PERT. Con este método se comienza descomponiendo el proyecto en una serie de actividades, entendiendo por actividad la ejecución de una tarea que necesita para su realización la utilización de uno o varios tipos de recursos (mano de obra, maquinaria, materiales, tiempo, etc.), considerando como característica fundamental su duración. Paralelamente con los trabajos de investigación del PERT, otro sistema fue elaborado también, corrigiendo ciertos defectos del primero, simplificando la presentación y culminando en una metodología llamada C.P.M. Fue en 1957, que el equipo de investigación de la compañía DuPont, dirigido por J. E. Kelley y M. R. Walker, crearon una técnica, similar al PERT, a la que denominaron Critical Path Method (CPM, Método del Camino Critico), la cual se utilizaba para la programación de cierres de mantenimientos de plantas de procesamiento químico, alcanzando con su uso espectaculares resultados en las plantas. Este método es muy

5 Página 5 de 71 parecido al PERT y su diferencia fundamental es la nomenclatura (lógico si se tiene en cuenta que son resultados de investigaciones independientes) y que, posteriormente, J. E. Kelley introdujo una relación entre el coste y la duración de las actividades, cosa que el PERT no tenía en cuenta, al estimar la duración de las actividades para un nivel de coste dado. Por otra parte, mientras que CPM trabaja con duraciones deterministas para las tareas, el PERT, más centrado en los aspectos temporales, utiliza estimaciones probabilísticas para éstas. Sin embargo, ambos métodos son muy similares y suelen presentarse de forma combinada Técnicas de planificación y control de proyectos En un negocio o industria, es habitual que se establezcan tareas que hay que desarrollar existiendo un determinado orden para llevarlas a cabo. Podemos buscar varios objetivos: Determinar el menor tiempo posible para acabar el proyecto. Determinar, cuando la ejecución de las actividades puede alargarse o acortarse con más o menos coste, que duración debe tener cada actividad para acabar el proyecto en un tiempo dado a coste mínimo. En procesos que requieren el uso de determinados recursos, decidir como secuenciar las tareas para conseguir distintos objetivos compatibles con la disponibilidad temporal de esos recursos.

6 Página 6 de 71 Lo que resulta común a ambos planteamientos, es la existencia de unas tareas a desarrollar y unas precedencias entre ellas, siendo el objetivo desarrollar una adecuada planificación de las mismas en orden a un objetivo dado. Un proyecto es, por tanto, un conjunto de actividades interrelacionadas entre sí, cada una con una duración y unos recursos necesarios para llevarla a cabo. Definir un proyecto consiste en definir todas las actividades que configuran el proyecto, sus relaciones de precedencia y sus requerimientos de tiempo y recursos para llevarla a cabo. Para resolver el problema del tiempo mínimo, se desarrollaron las dos técnicas nombradas anteriormente, siendo una para duraciones deterministas y otra para duraciones estocásticas. PERT (Program Evaluation and Review Technique) CPM (Critical Path Method) Método del camino crítico Hoy en día esta herramienta sigue siendo esencial en lo que a la dirección de proyectos se refiere, por lo que el estudio de sus características y propiedades sigue vigente, incluyendo situaciones más complejas y reales Definiciones En relación con la planificación de proyectos, es preciso introducir una serie de definiciones:

7 Página 7 de 71 Red de actividades Es una red que representa un proyecto y que visualiza gráficamente las relaciones de precedencia en la realización de actividades. Una red de actividades está formada por arcos y nodos. Los arcos representan las actividades y los nodos establecen las relaciones de precedencia, de modo que las actividades que llegan a un nodo tienen que haber acabado para poder empezar las actividades que salen de dicho nodo. Holgura de una actividad Se dice que una actividad tiene una determinada holgura, cuando un retraso en la finalización de esa actividad no influye en el tiempo de finalización del proyecto. Podemos distinguir dos tipos de holgura: Holgura libre Cantidad en que se puede retrasar el comienzo o ejecución de una actividad más allá de su instante más temprano posible, sin afectar al inicio de cualquier actividad posterior. Holgura total cantidad en que se puede retrasar el comienzo o ejecución de una actividad más allá de su instante más temprano posible, sin retrasar el proyecto Actividad crítica Una actividad se denomina crítica cuando no hay holgura al determinar sus instantes de inicio y final, esto es, cuando cualquier retraso en la finalización de esa actividad supone un retraso en el final del proyecto.

8 Página 8 de 71 Camino crítico Camino de la red formado exclusivamente por actividades críticas Tipos de actividades de un proyecto en función del grado de conocimiento de su duración. 1.- Actividades de duración constante. Son actividades cuya duración se conoce con exactitud. Por ejemplo, puede darse el caso de que antes de empezar un proyecto en una empresa, la plantilla necesite una formación especial. Una actividad perteneciente a ese proyecto sería un curso de formación a los empleados de, por ejemplo, una semana de duración. 2.- Actividades de duración aleatoria duración aleatoria y distribución conocida Son actividades cuya duración no se conoce con exactitud, y se considera aleatoria. Sin embargo, se dispone de datos históricos de duración por lo que para este tipo de actividades se puede, en algunos casos, ajustar una distribución de probabilidad conocida o, al menos, representarla apropiadamente con la función de distribución empírica de los datos. Más adelante se especificará que tipos de distribuciones se han considerado en este proyecto.

9 Página 9 de Duración aleatoria sin datos que permitan sugerir una distribución concreta. Para este caso, y de acuerdo con lo que se verá más adelante, se propone como modelo de distribución de los datos una ley Beta de parámetros (p,q) en un intervalo [a,b]. Las características de una Beta así definida son: p E ij p + q (1.1) [ D ] = a + ( b a) (1.2) [ ] ( b a) V D ij = 2 p q 2 ( p + q) ( p + q + 1) 4.- Actividades de duración desconocida o imprecisa. Son actividades cuya duración es de naturaleza determinista pero desconocida, y para la que no se dispone de datos históricos, por ejemplo, porque sea la primera vez que se realiza. En este tipo de actividades se requiere la opinión de expertos, que normalmente la manifestarán en forma de intervalos o de lo que se conoce como un número borroso (fuzzy number) Estos expertos darán tres valores: Un primer valor por debajo del cual, la posibilidad de que acabar el proyecto es nula, un valor de tiempo máximo, esto es, nunca se acabará la actividad en un tiempo por encima de ese valor, un último valor, o rango de valores, que representa el valor de tiempo o periodo, en el cual es en todo caso posible que acabe la actividad.

10 Página 10 de 71 Por ejemplo, nos pueden decir que cierta actividad, no durará, en ningún caso menos de 14 días ni más de 21, pero que lo más normal es que dure entre 16 y 17 días. Se nos presentan aquí dos problemas, qué ocurre si hay varios expertos?, Cómo modelamos la opinión de los expertos? Objetivos del proyecto. Como se ha visto, el método PERT es una técnica fundamental para la planificación de proyectos, usada desde los años 50. Sin embargo, se da frecuentemente el caso de que las duraciones de las diferentes actividades de la red o son aleatorias o, siendo de naturaleza determinista pero de tipo novedoso, su valor solo puede ser estimado de forma vaga o imprecisa a través de la opinión de expertos en actividades semejantes. Es importante hacer en este punto un comentario a cerca de este tipo de actividades en las que su duración sólo puede ser estimada a través de la opinión de expertos, ya que requieren del uso de lógica borrosa. En un conjunto clásico definido sobre un intervalo U se asigna el valor 0 ó 1 a cada elemento del mismo para indicar la pertenencia o no a dicho conjunto. Esta función puede generalizarse de forma que a cada elemento de U se le asigne un valor del intervalo [0,1] que indique el grado de pertenencia de ese elemento al conjunto en cuestión. Esta función se llama función de pertenencia y el conjunto por ella definida Conjunto Borroso. Es decir, mientras que en un conjunto clásico los elementos pertenecen o no (0 o 1), en la lógica borrosa pertenecen con un cierto grado del intervalo [0,1].

11 Página 11 de 71 Recibe el nombre de núcleo del número borroso a los elementos del intervalo U cuyo grado de pertenencia a ese conjunto es 1 y soporte a los elementos cuyo grado de pertenencia es mayor de cero. El α-corte de un número borroso son los elementos del intervalo U cuyo grado de pertenencia a ese conjunto es superior a α. Por lo tanto, si α=1, el α-corte será el núcleo mientras que si α=0, el α-corte será en soporte núcleo α- corte 0.6 soporte Figura 1.1: Representación de un número borroso El objetivo del proyecto es establecer un algoritmo que integre la opinión de expertos que permita obtener información más flexible, pero más útil, que la proporcionada por el método PERT-CPM convencional y al tiempo, desarrollar un programa que trabaje con actividades cuyas duraciones sean, no sólo de tipo vago, sino también derterministas y aleatorias. Mediante este algoritmo, se simulará una red de actividades, que será descrita más adelante, y que incluirá actividades de duración, tanto aleatoria, como imprecisa, es decir, actividades de tipo borroso.

12 Página 12 de 71 Las actividades de duración constante, en lo relativo al proyecto, pueden ser consideradas de la misma forma que las actividades aleatorias, ya que una vez simulado el valor de éstas, se tratan ambas de la misma manera. Otra parte importante del proyecto es la simulación de los valores de duración de las actividades de carácter aleatorio. Esto se realiza mediante un algoritmo programado en lenguaje C++ y cuyo código y funcionamiento serán descritos en capítulos posteriores. Como resultado de estas simulaciones, se obtendrá, para la red descrita, el tiempo de finalización del proyecto, qué actividades presentan una mayor criticidad, es decir, cuáles son más tendentes a ser actividades críticas y se propondrá una función de distribución para el tiempo de llegada a cada nodo, incluyendo una función de distribución para la finalización del proyecto. Lógicamente, al considerar algunas de las duraciones inciertas, los resultados vendrán dados en forma de número borroso, y por tanto habrá que hacer una estimación de los resultados para poder trabajar con ellos. Para ello se ha elegido un método que da más importancia a los valores del número borroso según estén éstos más próximos al núcleo, esto es, cuanto mayor sea su grado de pertenencia al grupo. Este método también será explicado más adelante, cuando se hable de la valoración de la holgura de las actividades.

13 Página 13 de 71 CAPÍTULO 2. EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL Y SU SIMULACIÓN El proyecto consta de tres partes diferenciadas. La principal, con la que se modela la red del proyecto, se realiza mediante el programa GAMS. La simulación de la duración de las actividades aleatorias se realiza mediante un programa en C++. El tercer programa, usado para obtener las conclusiones, es Microsoft Excel. Veamos uno a uno el uso de estos programas Modelado de la duración de actividades aleatorias mediante C++ Mediante un programa realizado en C++ simulamos las duraciones de las actividades aleatorias. De estas actividades podemos distinguir dos tipos, unas en las que podemos proponer una distribución de probabilidad y otras en las que no es posible hacer esto. El programa calcula primero una serie de números aleatorios del intervalo [0,1] que serán usados para el cálculo de las duraciones de las actividades. Estos números se obtienen a partir de algoritmos aritméticos; de hecho, son mecanismos deterministas, aunque pueden a todos los efectos considerarse como aleatorios; son números pseudoaleatorios. Los generadores que se han diseñado están basados en el método congruencial, que tiene su raíz en el concepto matemático de relaciones de congruencia y números congruentes.

14 Página 14 de 71 Sean x, y, m pertenecientes al conjunto de los números naturales. Se dice que x es congruente con y, módulo m, si y sólo si, x e y dan el mismo resto al dividir por m y se representa por x ( m) y Sean a, b Ν 0, m Ν. Se dice que la sucesión x n nєu0 está generada por el método congruencial si y sólo si m n +1 n + (2.1) x ax b donde x n Є0,...,m-1, siendo x 0 la semilla de la sucesión que es un valor dado por el programador, m se le denomina módulo y a recibe el nombre de multiplicador y x n+1 es el mayor entero congruente con a x n +b que es menor que m, es decir: axn + b (2.2) xn+ 1 = axn + b m m Donde ax n + b m es la función parte entera. El número aleatorio asociado al valor de x n+1 así obtenido es la parte decimal de (2.3) ax n + b, esto es: m u n+ 1 = x n+ 1 m axn + b = m

15 Página 15 de Actividades de duración aleatoria y distribución conocida Para la simulación de los valores de duración de actividades aleatorias se aplica el método de la transformada inversa en los casos de distribución exponencial, Pareto, Weibull, uniforme, triangular y en los dos casos de tablas de duraciones. En el caso de la distribución normal, se aplica el método de Box y Muller El método de la transformada inversa. Este método de generación de aleatorios utiliza la función de distribución del tiempo de duración de la actividad considerada. La función de distribución toma valores del intervalo [0,1] y se define por F( t) = P( T t) Es decir, nos da como resultado la probabilidad de que la duración de una actividad sea menor que un tiempo t. Al estar definida en el intervalo [0,1], una vez que el programa calcula un aleatorio de dicho intervalo por el método explicado en el apartado 2.1, se iguala ese valor a la función de distribución y se despeja el valor de t, que será el tiempo simulado en ese caso. Se puede ver gráficamente en el siguiente diagrama, en el que se representa una función de distribución de una variable definida en el intervalo [a,b]. El valor de duración t se obtiene al calcular cual es el valor del intervalo [a,b] cuya imagen es u (aleatorio generado previamente).

16 Página 16 de 71 F(x) 1 u a t b figura 2.1:método de la tranformada inversa Las distribuciones propuestas en este proyecto en las que se ha usado este método para la simulación de los valores de duración son los siguientes: 1º.- Datos según una distribución exponencial La función de distribución de una distribución exponencial es: (2.4) 1 e F( x) = o λx si 0 si < 0 El programa toma un valor u del intervalo [0,1] generado previamente e introduciendo como dato de entrada el valor de λ se aplica el método de la transformada inversa obteniendo: λx 1 (2.5) u = 1 e x = log(1 u) λ

17 Página 17 de 71 2º.- Datos según una distribución de Pareto La distribución de Pareto es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros a y b cuya función de distribución es: b (2.6) F( x) = 1, x b x a Aplicando el método de la transformada inversa, el programa toma como datos de entrada los parámetros a y b y un aleatorio de los generados previamente del intervalo [0,1], de manera que: (2.7) b u = 1 x a x = a b 1 u 3º.-Datos según una distribución Weibull La distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros k y λ cuya función de distribución es: (2.8) F( x; k, λ) = 1 e k x λ Aplicando el método de la transformada inversa, el programa toma como datos de entrada los parámetros k y λ y un aleatorio de los generados previamente del intervalo [0,1], de manera que: k x λ k (2.9) u = 1 e x = λ( ln( u)) 1

18 Página 18 de 71 4º.- Datos según una distribución uniforme La distribución uniforme está definida en el intervalo [a, b]s siendo su función de distribución: x a (2.10) F( x) = b a El programa toma como datos de entrada los valores de a y b y toma uno de los aleatorios del intervalo [0,1] generados previamente. Con la función de distribución, y aplicando el método de la transformada inversa, x a (2.11) u = x = ( b a) u + a b a 5º.- Datos según una triangular Las distribuciones triangulares tienen una función de densidad de la forma (2.11) x a k f ( x) = m a b x k b m a x b m z b

19 Página 19 de 71 Su gráfica es de la forma: figura 2.2: distribución triangular Los valores de a, b y m son datos de entrada del programa y el valor de k se obtiene obligando a que la integral en el intervalo [a,b] de la función de densidad sea 1. De esta forma: Para la simulación, usando el método de la transformada inversa, hay que hallar la función de distribución de probabilidad a partir de la función de densidad: (2.13) + = b z m x b m b m b a b a b a m m x a a b a m a x x F ) ( ) ( ) )( ( 1 ) )( ( ) ( ) ( = = + b m m a a b k dx m b x b k dx a m a x k 2 1

20 Página 20 de 71 Los pasos de la simulación son: 1.- Obtener un aleatorio u del intervalo [0,1] 2.- Si u < m a b a 2 ( x a) ( b a)( m a) = u x = a + ( b a)( m a) u 3.- En otro caso m a ( b m) ( b x) = u x = b b a ( b a)( b m) ( b m)( b a)(1 u) 6º.- Datos según una tabla de duraciones El usuario introduce en el programa el valor de las duraciones observadas históricamente para una actividad y las veces que esta duración se ha repetido a lo largo del tiempo. El programa calcula con estos datos las frecuencias relativas para cada valor de la duración y la frecuencia acumulada. Con este último dato y uno de los aleatorios del intervalo [0,1] calculado, obtiene un valor para la duración de la actividad. Por ejemplo, si tenemos tres valores observados para una cierta actividad:

21 Página 21 de 71 Duración de la actividad T 1 T 2 T 3 Repeticiones N 1 N 2 N 3 N1 N2 N f1 = f2 = f3 = Frecuencia relativa N1 + N2 + N3 N1 + N2 + N3 N1 + N Frecuencia acumulada 1 f 1 f N f + f + f + f = 3 Si 0<u<f 1, la duración de la actividad es T 1 Si f 1 <u<f 2, la duración de la actividad es T 2 Si f 2 <u<f 3, la duración de la actividad es T 3 7º.-Datos según una tabla de duraciones continuas Es un caso parecido al explicado en el apartado anterior. La diferencia con respecto a éste es que en este casa las duraciones de las actividades vienen definidas por un intervalo y la frecuencia relativa con que ese intervalo ha sido observado, es decir: Duración X 1 X X 2 X 2 <X X 3 X 3 <X X 4 Frec. relativa f 1 f 2 f 3 El programa calcula un aleatorio del intervalo [0,1] y la frecuencia acumulada para cada intervalo. Con estos datos, el cálculo de la duración de la actividad se realiza de la siguiente forma:

22 Página 22 de Búsqueda del primer intervalo i, que cumpla que la frecuencia acumulada de dicho intervalo sea mayor que el aleatorio u. Se obtienen así los siguientes datos necesarios para el cálculo de la duración: X i1... Valor inferior del intervalo i X i2... Valor superior del intervalo i F i... Frecuencia acumulada del intervalo i F i-1... Frecuencia acumulada del intervalo i Cálculo de la duración de la actividad mediante la ecuación: X i2 X i1 (2.14) duracion = X i1 + ( u Fi 1 ) F F i i Método de Box y Muller para la simulación de valores de una distribución normal La distribución normal de media µ y desviación típica σ tiene por función de distribución ( x µ ) x 1 2 2σ (2.15) F( x) = e x 2 π 2 Es por tanto imposible aplicar en este caso el método de la transformada inversa por la complicación de despejar x de la función de distribución.

23 Página 23 de 71 La simulación de los valores de una distribución normal mediante el método de Box y Muller necesita de dos valores aleatorios del intervalo [0,1] u 1, u 2. De acuerdo con este método (2.16) x = µ + σ cos( 2 π u 2 ) 2 log( u1) Actividades de duración aleatoria y distribución desconocida Hay ocasiones en las que no es sencillo proponer una determinada distribución para la duración de una actividad. Para solventar esta dificultad tradicionalmente se ha supuesto una distribución para la que es sencillo obtener la media y la varianza a partir de valores mas intuitivos y sencillos de conocer, la distribución Beta. Así pues, haciendo esta suposición, lo que es necesario conocer es la duración más optimista de la actividad (a; el mínimo), la duración más pesimista (b; el mínimo) y la duración más probable (m; la moda). A partir de estos valores la práctica usual es estimar los valores de la media y la varianza a partir de las ecuaciones 2.16 y 2.17 (2.17) Λ E D i, j = a + b + 4m 6 (2.18) Λ V D i, j ( b a) = 36 2 Para la obtención de los parámetros p y q a partir de los cuales simular los valores de duración, se igualan las ecuaciones 2.17 y 2.18 a las ecuaciones 1.1 y 1.2 respectivamente.

24 Página 24 de 71 Obtención de valores aleatorios de una distribución B(p,q). Simulación. 1º.- El usuario introduce los parámetros a (duración mínima), b (duración máxima) y m (duración más probable) 2º.- Obtención de los valores de p y q ) 12( 1 ) 5 ( ) 5 (4 ) 5 (4 2 a b a b a b m a b m a b m p = p a b m p a b q + = 5 4 ) ( 6 3º.- Se seleccionan dos números aleatorios u 1 y u 2 4º.- Se obtiene p u X 1 1 = p u X 1 1 = 5.- Si X+Y 1 Y X X a b a t + + = ) ( En otro caso: Vuelta al punto 3º.

25 Página 25 de Optimización de la red de actividades mediante GAMS GAMS (General Algebraic Modeling System) es un lenguaje algebraico de modelado de alto nivel que ha sido diseñado específicamente para el desarrollo e implantación de modelos de optimización con una formulación más directa para los programadores y más inteligible para los usuarios con una razonable formación en álgebra lineal El método del camino crítico Este método se aplica cuando las duraciones de las actividades se suponen conocidas o estimadas con exactitud y obtiene la duración total necesaria para acabar el proyecto, la programación de las actividades y la clasificación de éstas en críticas y no críticas. Como ya se ha dicho, una actividad se denomina crítica cuando no existe holgura al determinar sus instantes de inicio y final, es decir, cuando cualquier retraso en la finalización de esta actividad (tanto porque empezara más tarde del instante previsto como porque se alargara su duración) supone un retraso en el final del proyecto. Una actividad no crítica, sin embargo, tendrá holgura, pudiendo ser adelantada o retrasada dentro de unos límites sin afectar a la duración total del proyecto. El método del camino crítico se lleva a cabo en dos pasadas, una hacia delante y otra hacia atrás. En la primera se determinan los instantes más tempranos en que pueden comenzarse las actividades y acaba determinando la duración total del proyecto. En la segunda se calculan, yendo hacia atrás y partiendo de la duración total del proyecto, los instantes más tardíos en que pueden acabar las

26 Página 26 de 71 actividades.. Una vez obtenidos estos valores, resulta fácil determinar las cuáles son las actividades críticas. A lo largo del proyecto se usará la siguiente notación: d ij : Duración de la actividad que va del nodo i al nodo j. t i: Instante más temprano del nodo i (es el instante más temprano en que pueden comenzar las actividades que salen de ese nodo) T i : Instante más tardío de nodo i (es el instante más tardío en que pueden acabar las actividades que llegan a ese nodo) Fase hacia delante (determinación de los instantes más tempranos): 1. Etiquetar el nodo inicial con tiempo 0, es decir, t 1 =0 2. Elegir un nodo j tal que todos los anteriores estén unidos directamente a él por un arco ya hayan sido etiquetados (p,q,...,v). Etiquetar el nodo j con el máximo de las etiquetas de estos nodos más la longitud del arco que los une, es decir, t j =maxt p +d pj, t q +d qj,..., t v +d vj, 3. Repetir el paso 2 hasta etiquetar el nodo final n, entonces t n es la duración mínima del proyecto Fase hacia atrás (determinación de los instantes más tardíos) 1. Etiquetar el nodo final con el tiempo de duración mínima del proyecto, es decir, T n =t n. 2. Elegir un nodo j tal que todos los nodos posteriores unidos directamente a él por un arco ya hayan sido etiquetados (p,q,...,v). Etiquetar el nodo j con el mínimo de las etiquetas de estos nodos menos la longitud del arco que los une, es decir, t j =mint p -d pj, t q -d qj,..., t v -d vj,

27 Página 27 de Repetir el paso 2 hasta etiquetar el nodo inicial. Con esto acaba el procedimiento del cálculo de los instantes más tempranos y más tardíos. Ahora es fácil identificar las actividades críticas. Una actividad (i,j,) será critica si verifica T i = t i, T j = t j, y T j -T i = t j - t i =d ij. Como ya se ha dicho, existen dos tipos de holguras de una actividad: Holgura total de la actividad (i,j) denotada por TF ij : Cantidad en que se puede retrasar el inicio de la actividad (i,j) más allá de su instante más temprano posible sin retrasar el proyecto. Su valor viene dado por TF ij =T j -t i -d ij. Holgura libre de la actividad (i,j) denotada por FF ij : Cantidad en que se puede retrasar el inicio de la actividad (i,j) más allá de su instante más temprano posible sin afectar al inicio de cualquier actividad posterior. Su valor viene dado por FF ij =t j -t i -d ij. Por lo tanto, si una actividad cumple que TF ij = FF ij, entonces la actividad puede ser programada en cualquier instante del intervalo de tiempo [t i,t i ] sin afectar a ninguna otra actividad. Si por el contrario cumple TF ij > FF ij, entonces cualquier retraso superior a FF ij afectará a todos los eventos y actividades posteriores, teniendo que retrasar en la cantidad que exceda a la holgura libre el comienzo de todas las actividades que salen del nodo j.

28 Página 28 de El código GAMS Veamos ahora como se programa el método del camino crítico en GAMS y que particularidades tiene el uso de lógica borrosa. Lo primero que hay que definir en el programa son los índices y los parámetros o constantes. Como índices únicamente tendremos dos: -i, j para definir los vértices de la red de actividades, de manera que i, define los nodos salientes y j los entrantes -k para definir los parámetros de las duraciones, ya que tienen todas que estar definidas en forma de número borroso. De esta forma, k 1 y k 4 definen el soporte del número borroso mientras que k 2 y k 3 definen su núcleo. Los parámetros son los valores que se mantienen constantes a lo largo de la simulación y en este caso están definidos en forma de matriz excepto el valor del α-corte, que tomaremos como 0.7 aunque se pueden considerar otros valores. Las matrices de datos son tres: 1.- duración(i, j, k) parámetro k de la duración de la actividad (i, j)

29 Página 29 de 71 Las actividades aquí definidas en este ejemplo son: -Actividad 1-2: es una actividad de duración constante o aleatoria y valor 4 unidades de tiempo -Actividad 1-3: es una actividad de duración borrosa en la que el soporte, o rango de valores en los que la duración de la actividad oscilará es [4,15] unidades de tiempo y el núcleo o valores más probables de duración es [6,10] -Actividad 1-4: actividad de duración borrosa en la que el núcleo no es intervalo, sino el valor de duración Conexión (i,j) es una matriz en la que las filas representan los nodos salientes y las columnas los entrantes. La matriz toma valor 1 si los nodos están conectados o 0 en otro caso. Esta matriz la utilizará el programa en la fase hacia delante del método del camino crítico. Cuando se llegue a esa fase, se explicará el por qué de esa matriz 3.-Conexion2 (i,j) es una matriz como la anterior en la que los valores que son 0, se han sustituido por el valor Esta matriz se usará en la fase hacia atrás que más adelante se explicará junto con el por qué del cambio de los valores que son 0 por otros próximos a 0. Una vez definido los índices y parámetros, se definen las variables que se van a usar.

30 Página 30 de T(i, k) Valor del parámetro k en el que alcanzamos el vértice i en la fase hacia delante. Con la notación usada en el apartado anterior, estos valores corresponden con los t i. Al usar duraciones borrosas, los instantes más tempranos de llegada al nodo i estarán dado en forma de número borroso, por lo que es necesario usar no sólo el índice i que indique el nodo, sino también el índice k que indica el parámetro del número borroso. 2.-T2(i,k) valor del parámetro k en que alcanzamos el vértice i en la fase hacia atrás. Con la notación usada en el apartado anterior, estos valores corresponden con los T i. Como en el caso anterior, este valor estará dado en forma de número borroso y por tanto es necesario el uso del parámetro k. 3.- cotasuperior Es el valor de máxima duración del proyecto. En el proyecto hay 10 nodos, por lo que este valor se corresponde con T 10 =t 10. Este instante de llegada al nodo 10 es un número borroso y el valor cotasuperior es el máximo del soporte del número borroso, es decir, el valor por encima del cual, la probabilidad de acabar el proyecto es nula 4.-valor_superior Valor superior del alphacorte del numero borroso que representa la duración total del proyecto, es decir, t valor_inferior Valor inferior del alphacorte del numero borroso que representa la duración total del proyecto, es decir, t 10

31 Página 31 de 71 Gráficamente estos valores son: T valor_superior valor_inferior cota_superior figura 2.3: 6.-holgura_libre(i, j, k) Es la holgura libre de la actividad i-j, calculada como se ha explicado antes. Es un número borroso y por tanto no solo necesitamos los índices i y j para definir los nodos comienzo y final de la actividad, sino también el índice k para definir el parámetro del número borroso. 7.-holgura_total(i, j, k) Parámetro k (puede, por tanto, ser un número borroso) de la holgura total de la actividad i-j. 8.-Th(i, j, k), Ta(i,k) Variables auxiliares para el cálculo la resta de números borrosos que necesitaremos para el calculo de las holguras y para la fase hacia detrás del método del camino crítico. Cuando se llegue a las ecuaciones, se explicará el por qué es necesaria estas variables para la resta.

32 Página 32 de 71 La última parte del programa son las ecuaciones. Es en esta parte donde decimos al programa que es lo qué queremos que haga y qué es lo que tiene que optimizar. Veamos las ecuaciones más representativas que se usan el la optimización y cálculo de holguras de la red de actividades. -Inicio(k).. T(1,k)=0 Definimos el instante en el que vamos a iniciar el proyecto. Lo normal es que sea en el instante 0. Por ello, todos los parámetros k del instante en que alcanzamos el primer vértice de la red es 0. -Fase_del(i,j,k).. T( i, k) ( T ( j, k) + duracion( j, i) ) conexion( j, i) Esta ecuación supone la fase hacia delante del método del camino crítico. Tiene en cuenta para el cálculo el resto de vértices de la red y como resultado, para cada vértice, dará un resultado de la forma: T i >T, es decir, el instante de llegada es un valor superior a un cierto valor T. El programa minimiza este instante, de modo que el resultado que obtiene el usuario es T i =T. Como se trabaja con números borrosos, para cada vértice i, esta ecuación calcula el instante de para cada índice k. Fijándose un poco más al detalle en como funciona esta ecuación se verá la función de la matriz conexion (i,j) definida en los parámetros. Supongamos que en una cierta red de actividades, el nodo 3 está conectado directamente con los nodos 1 y 2, de modo que la matriz conexión(i,j) toma el valor 1 para conexion(1,3) y conexion(2,3). Sabemos que el valor de las duraciones de las actividades 1-3 y 2-3 es, respectivamente, 5 y 8 unidades de tiempo y que t 1 y t 2 son, respectivamente, 0 y 5 unidades. Para el cálculo del instante en que

33 Página 33 de 71 alcanzamos el nodo 3, el programa resuelve esa ecuación nodo por nodo, de forma que: T 3 (T 1 +duracion 1,3 ).conexion 1,3 =(0+5)x1=5 T 3 (T 2 +duracion 2,3 ).conexion 2,3 =(5+8)x1=13 Para el resto de nodos, como no hay conexión directa, el valor de conexion i,j es 0, por lo que el resto de ecuaciones tendrán como resultado que T 3 0. Por lo tanto, el programa, desechando resultados, obtiene que T Más tarde, este resultado será minimizado, por lo que el programa devolverá el valor 13 para el instante T 3. Lógicamente, al ser duraciones borrosas, la suma definida en esta ecuación es una suma de números borrosos. La suma de estos números, se hace parámetro a parámetro, es decir, el valor mínimo del soporte del primer número borroso, se suma con el valor mínimo del soporte del segundo número y el máximo, con el máximo. De la misma forma que los soportes, se suman los núcleos de los números. -acaba... cotasup=t(i=10,k=4) Esta ecuación nos da como el resultado el resultado de la variable cotasup explicada anteriormente. Se puede ver en el gráfico 2.3 el resultado que devuelve esta ecuación. -igual... T(10,k)=T2(10,K) Una vez acabada la fase hacia delante empieza la fase hacia atrás del método del camino crítico. Como se ha dicho, lo primero que se hace en esta fase es igualar los tiempos t y T (que en el programa están definido como T y T2) del último nodo, que en este caso es el 10. Al

34 Página 34 de 71 ser un número borroso, esta igualdad hay que hacerla parámetro a parámetro. De ahí el uso del índice k en esta ecuación. -ecuaciones auxiliares... Antes de empezar la fase hacia atrás del método del camino crítico, hay que definir estas ecuaciones que nos van a permitir restar números borrosos ya que nos es una resta directa, parámetro a parámetro, como si ocurría en la suma. No solo usaremos restas en esta fase del método, sino también en el cálculo de holguras. En el primer caso, restaremos las duraciones de las actividades a los tiempos obtenidos en la fase hacia atrás y en el segundo, las duraciones obtenidas en la fase hacia delante y las duraciones de las actividades a las duraciones obtenidas en la fase hacia atrás. Si tenemos dos números borrosos: A=(A a ; A n,a m ;A b ) B=(B a ; B n,b m ;B b ) La resta A-B se define como: (2.19) A-B=(A a -B b ; A n -B m, A m -B n ; A b -B a ) Por lo tanto, la resta de dos números borrosos, podemos definirla como la suma del primer número y el segundo número cambiando en este último el orden de los parámetros y su signo. Las variables auxiliares serán:

35 Página 35 de 71 Para restar duraciones de las actividades: (2.20) Duracion(i,j) =(d a ; d n,d m ;d b ) th=-1x(d d ; d m,d n ;d a ) Para restar tiempos: (2.22) t(i) =(t a ; t n,t m ;t b ) ta=-1x(t d ; t m,t n ;t a ) -Fase_at(i,j,k).. T 2( i, k) ( T 2( j, k) duracion( j, i) ) (1/ conexion2( j, i)) En esta fase, obtenemos los tiempos definidos en el apartado anterior como T i. Veamos como funciona la ecuación. Se parte del instante de llegada al ultimo nodo, T 10, que ha sido obtenido anteriormente al igualar el valor del tiempo de la fase hacia atrás de ese nodo con el tiempo obtenido para ese nodo en la fase hacia delante y se va calculando ese valor para el resto de nodos T j. De esta forma, si el nodo j está directamente unido a nodo i y el valor de T i ya ha sido calculado, la ecuación dará un valor de la forma T j T. En caso de no estar unido, el valor que toma la matriz conexion2 es un valor muy próximo a 0, que al dividirlo a 1, dará un valor muy elevado, por lo que el resultado de la ecuación seria T j M siendo M un valor muy elevado. Por lo tanto, para el nodo j habrá un conjunto de soluciones de la forma T j <T 1, T j <T 2... T j <T n, de manera que la solución final será que el tiempo de llegada en la fase hacia atrás del nodo j es el menor de los T 1,T 2...T n.

36 Página 36 de 71 Este proceso se repite para todos los nodos de la red hasta llegar al nodo inicial en el que se tiene que obtener T 1 =0, o al estar trabajando con números borrosos, una valoración del número, de la forma que se verá en el siguiente apartado, próxima a 0. -cal_holg_lib(i,j,k)... H_lib(i,j,k)=T(j,k)+ta(i,k)+th(i,j,k) Calculamos aquí el parámetro k de la holgura libre de una actividad (i, j). La ecuación para el cálculo de esta holgura está obtenida directamente de la definición de holgura libre. El programa, para todos aquello (i,j) que estén directamente unidos, calcula, parámetro a parámetro por ser un número borroso, la holgura de esa actividad (i,j) como el valor de tiempo obtenido para el vértice j en la fase hacia delante menos el tiempo obtenido en la fase hacia delante del vértice i y menos la duración de la actividad que une i con j. Como tenemos una resta, el programa lo que hará será sumar al tiempo obtenido en la fase hacia delante para el vértice j las variable auxiliar de tiempo calculada anteriormente para el vértice i y la variable auxiliar para la duración de la actividad (i,j). -cal_holg_tot(i,j,k)... H_tot(i,j,k)=T2(j,k)+ta(i,k)+th(i,j,k) Calculamos aquí el parámetro k de la holgura total de una actividad (i, j). La ecuación para el cálculo de esta holgura está obtenida directamente de la definición de holgura total. El programa, para todos aquello (i,j) que estén directamente unidos, calcula, parámetro a parámetro por ser un número borroso, la holgura total de esa actividad (i,j) como el valor de tiempo obtenido para el vértice j en la fase hacia atrás menos el tiempo obtenido en la fase hacia delante del vértice i y menos la duración de la actividad que une i con j. Al igual que para la holgura libre, el programa sumará al tiempo obtenido en la fase hacia

37 Página 37 de 71 atrás para el vértice j las variable auxiliar de tiempo calculada anteriormente para el vértice i y la variable auxiliar para la duración de la actividad (i,j) Valoración de resultados Los resultados que se obtienen de GAMS serán tablas que incluyen, para cada una de las simulaciones: Instantes más tempranos en que pueden comenzarse las actividades que salen de cada nodo i, es decir, los valores de tiempo obtenidos para cada vértice en la fase hacia delante del método del camino crítico Instantes más tardíos en que pueden acabar las actividades que llegan a i, es decir, los valores de tiempo obtenidos para cada vértice en la fase hacia atrás del método del camino crítico Rango de valores para los que la posibilidad de acabar el proyecto dentro de esos límites es superior a 0.7, es decir, el α- corte 0.7 del instante de finalización del proyecto Para las actividades que componen la red, los valores de holgura libre y holgura total Valoración del número borroso Como ya se ha dicho, las salidas de GAMS, son en forma de número borroso, lo que hace complicada su interpretación al no ser un número concreto, sino un intervalo de números con diferentes posibilidades de ocurrencia. Por ello, en las tablas de obtenidas en EXCEL, para cada uno de los resultados en forma de número borroso, se ha hecho una valoración obteniendo así un número como resultado.

38 Página 38 de 71 Si partimos de un número borroso de la forma (A; m 1,m 2 ;B), la función de pertenencia será: = otro b x m m b x b m x m m x a a m a x x 0 1 ) ( µ Para un α-corte cualquiera, el rango de valores incluidos quedará definido por: (2.22) A(α)=[a+(m 1 -a)α, b+(m 2-b )α] El punto medio del α-corte será: (2.23) α α = 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 1 b a m m a b M Valoramos ahora el número borroso dando más importancia a aquellos valores que están más próximos al núcleo, ya que estos son los valores que son más probables que tome tanto el tiempo de llegada al nodo como la holgura. Para ello elegimos un función de distribución F(α)=α n. La valoración del número borroso la hacemos mediante la integral: 1 2 ) ( ) ( 2 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( = = = = n n a b m m a b d n b a m m a b d f M A V n n α α α α α α

39 Página 39 de 71 De manera que si n=2 (2.23) b + a ( m + m V ( A) = + 2 ) ( b a)

40 Página 40 de 71 CAPÍTULO 3. EL PROGRAMA INFORMÁTICO Simulación de la duración de las actividades aleatorias.c Funcionamiento general del programa El programa se ejecuta tantas veces como número de simulaciones queramos hacer. Lo primero que obtiene para cada simulación es una matriz cuadrada de números aleatorios del intervalo [0,1]. Las filas de la matriz corresponden con los nodos salientes y las columnas con los entrantes. De esta forma, la actividad 2-3, en caso de ser aleatoria, tomará como semilla para el cálculo de la duración el valor que ocupe la posición 2-3 en la matriz de aleatorios. Hay casos en los que la simulación de la duración necesita dos semillas, como es el caso de distribución normal mediante el método de Box y Muller. Cuando así sea, se usarán los aleatorios de las posiciones i-j y j-i. Es lógico, ya que si existe la actividad 2-3, por definición, la actividad 3-2 no puede existir. El programa reserva espacio en el disco para otra matriz de las mismas dimensiones que la anterior donde se almacenan los datos de duración de las actividades. En caso de que la actividad no exista, o no sea aleatoria, el valor de duración devuelto por el programa es -1.

41 Página 41 de 71 Si la actividad existe y su duración es aleatoria, se despliega un menú con las opciones disponibles y se guarda en la matriz de resultados el valor simulado de duración para una vez acabada la simulación, imprimirlo por pantalla. El diagrama de flujo viene representado por la figura 3.1

42 Página 42 de 71 Número de simulaciones n i=0 i<n? NO SI FIN Generación matriz de aleatorios Existe la actividad i-j y es aleatoria? NO SI SALIDA -1 Menú de opciones Cálculo de duración según opción SALIDA duración FIGURA 3.1 diagrama de flujo i=i+1

43 Página 43 de Código del programa #include <iostream.h> #include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #define DIM 40 #define PI #define E int main() int conta,contb,contc,contd,contsim,i,j; int opc,resp, sim; int num_nodos; float m_aleat[dim][dim]; int a,b,x,m,semilla; float sem2; float u,u2; float param1,param2,param3,param4; float duración; float tiempo; float betap, betaq,beta1,beta2; /*parámetros especificos para el calculo de duraciones aleatorias segun una tabla*/ int obs,aleatorio; float suma_total; int matrix1[dim][dim]; float matrix2[dim][dim],matrix3[dim][dim]; float m_result[dim][dim]; int reda[dim][dim], redb[dim][dim]; printf("\ncuantos nodos tiene el proyecto?:"); scanf("%d",&num_nodos); for(conta=0;conta<num_nodos;conta++) for(contb=0;contb<num_nodos;contb++) if(conta==contb) reda[conta][contb]=-1; else if(reda[contb][conta]>0)

44 Página 44 de 71 reda[conta][contb]=-1; else printf("\nexiste la actividad %d - %d y es aleatoria?...\nno-0\nsi- 1\n",contA+1,contB+1); scanf("%d", &resp); if(resp==1) reda[conta][contb]=1; else reda[conta][contb]=-1; for(conta=0;conta<num_nodos;conta++) for(contb=0;contb<num_nodos;contb++) if(reda[conta][contb]==-1) redb[conta][contb]=-1; else printf("\n\n\n\n\nelige una opcion para la actividad %d - %d\n",conta+1, contb+1); printf("\n1.-introducir datos segun una distribución EXPONENCIAL"); printf("\n2.-introducir una TABLA de datos de duraciones"); printf("\n3.-triangular"); printf("\n4.-introducir datos segun una distribución NORMAL"); printf("\n5.-actividad de duración aleatoria UNIFORME"); printf("\n6.-introducir datos segun una distribución de PARETO"); printf("\n7.-introducir datos segun una distribución WEIBULL"); printf("\n8.-distribución beta de parámetros p,q"); printf("\n9.-introducir una tabla con datos de duraciones continuos\n"); scanf("%d",&opc); redb[conta][contb]=opc;

45 Página 45 de 71 printf("\ncuantas simulaciones desea realizar?:"); scanf("%d", &sim); a=256; b=197; m=32000; x=200; for(contsim=0;contsim<sim;contsim++) printf("\n\n\n\nsimulacion %d",contsim+1); /*CALCULO DE LA MATRIZ DE ALEATORIOS*/ for(contc=0;contc<num_nodos;contc++) for(contd=0;contd<num_nodos;contd++) x=a*x+b; semilla=(x%m); sem2=semilla; m_aleat[contc][contd]=sem2/m; x=semilla; for(contc=0;contc<num_nodos;contc++) for(contd=0;contd<num_nodos;contd++) if (reda[contc][contd]==-1) m_result[contc][contd]=-1; else printf("\nactividad %d - %d", contc+1, contd+1); if (redb[contc][contd]==1) printf("\nintroduce el parámetro LAMBDA de la distribución exponencial:\n"); scanf("%f", &param1); u=m_aleat[contc][contd]; duracion=-(1/param1)*log(1-u); m_result[contc][contd]=duración; else if (redb[contc][contd]==2) printf("\ncuantas observaciones hay?:"); scanf("%d",&obs);

46 Página 46 de 71 for(i=0;i<2;i++) for(j=0;j<obs;j++) if(i==0) printf("\nduracion de la actividad %d\n",j+1); scanf("%d",&matrix1[i][j]); else printf("\nobservaciones de la duración de la actividad %d\n",j+1); scanf("%d",&matrix1[i][j]); suma_total=0; for(i=1;i<2;i++) for(j=0;j<obs;j++) suma_total=suma_total+matrix1[i][j]; for(i=0;i<4;i++) for(j=0;j<obs;j++) if((i==1) (i==0)) matrix2[i][j]=matrix1[i][j]; else if(i==2) matrix2[i][j]=matrix1[1][j]/suma_total; else if(j==0) matrix2[i][j]=matrix2[2][j]; else matrix2[i][j]=matrix2[i-1][j]+matrix2[i][j-1];

47 Página 47 de 71 u=m_aleat[contc][contd]; for(j=0;j<=obs;j++) if(j==0) if(u<=matrix2[3][0]) aleatorio=matrix1[0][j]; else if((u>matrix2[3][j-1])&&(u<=matrix2[3][j])) aleatorio=matrix1[0][j]; m_result[contc][contd]=aleatorio; else if (redb[contc][contd]==3) printf("\nintroduce el valor minimo de duración 'a':"); scanf("%f", &param1); printf("\nintroduce el valor maximo de duración 'b':"); scanf("%f", &param2); printf("\nintroduce el valor del tiempo para el que se da el vertice 'm':"); scanf("\%f", &param3); u=m_aleat[contc][contd]; if (u<=(param3-param1)/(param2-param1)) duracion=param1+sqrt((param2-param1)*(param3-param1)*u); else duracion=param2-sqrt((param2-param3)*(param3-param1)*(1-u)); m_result[contc][contd]=duracion; else if (redb[contc][contd]==4) printf("\nintroduce la media:"); scanf("%f", &param1); printf("\nintroduce la varianza:"); scanf("%f", &param2); u=m_aleat[contc][contd]; u2=m_aleat[contd][contc]; duracion=param1+param2*(sqrt(-2*log(u))*cos(2*pi*u2)); m_result[contc][contd]=duración;