Trabajo No 2. Derivados Financieros

Transcripción

1 Trabajo No 2. Derivados Financieros Norman Giraldo Gómez Escuela de Estadística - Universidad Nacional de Colombia ndgirald@unal.edu.co Abril, Introducción El trabajo No 2 consiste de dos puntos: uno de teoría y otro con base en un programa en R. El punto con base en un programa en R depende los datos a utilizar: 1) igbc, 2) dax (el índice de la Bolsa en Alemania), 3) bovespa (el índice en la bolsa de Brasil), 4) colcap20, 5) S&P500, que se asignan en la lista de los grupos que está en la página web del curso. 2. Punto sobre Teoría 1. Considere el modelo para precios con base en la distribución Inversa Gaussiana, dado por S(t) =S(0)e X(t) ct, donde X(t) IG(µt, t 2 )yc>0, t =1, 2,... Ver en las Notas las propiedades básicas de la IG ( 1 ). a) Con base en la fgm de X IG(µ, ) encuentre la fgm de X c, indicada por M X c (z). b) Compruebe que la fgm de X(t) ct, M(z,t) =E(e X(t) ct ), cumple M(z,t) = [M X c (z)] t. c) Defina M(z, t, h):= M(z + h, t)/m (h, t). Compruebe que se cumple M(z, t, h) = [M(z,1,h)] t. d) Defina r>0 como la tasa de interés continua tal que r = log(1 + DTF(ea)), donde DTF(ea) es la tasa DTF efectiva anual. Compruebe que la ecuación en h, ln M(1, 1,h)=r equivale a: 1 2µ2 h 1 2µ2 (h +1) 1 Gaussian distribution = µ(r + c), (1) 1

2 y que, además, llamando b = 2µ 2 h, la ecuación (1) equivale a b b 1= r + c 2 (2) e) Compruebe que la función x x 1 para x 1 es decreciente y tiende a cero cuando x tiende a infinito. Justifique por qué la ecuación (2) tiene una solución única. Llame esta solución única b. A partir de b = h se define una h única 2µ 2 que es la que define la transformada de Esscher. f ) Defina los nuevos parámetros de la IG, a partir de la solución h, como: µ h = µ/ 1 (2hµ 2 /), h =. Entonces si X h (t) IG(µ h t, h t 2 )ys h (t) =S(0) exp(x h (t) ct) se debe cumplir que S(0) = e rt E(S h (t)). Compruebe esta identidad. 2. Considere el modelo para precios con base en la distribución Binomial, dado por S(t) = S(0)e X(t), donde X(t) =h(2z(t) t), para t =1, 2,..., con Z(t) Bin(t, p). Ver en las Notas las propiedades básicas de la Binomial ( 2 ). El objetivo de este punto consiste en aplicar la transformada de Esscher para obtener un nuevo valor para p, indicado por p α, tal que se cumpla S(0) = e rt E(S α (t)), donde S α (t) =S(0)e Xα(t) y X α (t) =h(2z α (t) t), Z(t) Bin(t, p α ) es el modelo binomial con el parámetro p α. Desarrolle los siguientes puntos. a) Con base en la fgm de Z Bin(1,p) encuentre la fgm de X = h(2z 1), indicada por M(z). b) Compruebe que la fgm de X(t), M(z,t) =E(e X(t) ), cumple M(z,t) =M(z) t. c) Defina M(z, t, α):= M(z + α, t)/m (α, t). Compruebe que se cumple M(z, t, α) = M(z,1,α) t, donde M(z,1,α)=q α e zh + p α e zh, p α = pe αh /(qe αh + pe αh )yq α = 1 p α. d) Defina r>0 como la tasa de interés continua tal que r = log(1 + DTF(ea)), donde DTF(ea) es la tasa DTF efectiva anual. Compruebe que la ecuación en α, M(1, 1,α)=e r equivale a p α = er e h (3) e h e h Note que no se requiere encontrar α sino p α. e) Compruebe que se cumple S(0) = e rt E(S α (t)). 3. Punto sobre Programación con R Este punto consiste en calcular el precio de una OCE para un contrato sobre un índice bursátil que se asignará entre los índices siguientes: 1) igbc, 2) dax (el índice de la Bolsa en 2 distribution 2

3 Alemania), 3) bovespa (el índice en la bolsa de Brasil), 4) colcap20, 5) S&P500 (el índice en la bolsa de NewYork). El precio se calculará utilizando varios modelos, con el fin de comparar y escoger un valor óptimo. Los modelos a utilizar son: 1. Log-Normal. 2. Inversa Gaussiana. Para esta parte lea el enunciado del punto No 1 de teoría. También lea el documento ([2]) en lo que tiene que ver con la metodología de la transformación de Esscher. 3. GARCH. Desarrollar los puntos siguientes mediante un programa en R con base en las sugerencias que se dan a continuación. Reporte los resultados que se indican en cada punto. 1. Lea los datos del índice bursátil asignado al grupo. Calcule los rendimientos logarítmicos del índice asignado. Reporte una gráfica de los rendimientos. Algunas de las instrucciones siguientes están dadas para el caso del índice S&P500, indicado por SP. library(statmod) library(foptions) source("fda.ig.r") source("fdp.ig.r") D = read.table("archivo.dat", header = TRUE, stringsasfactors = FALSE) attach(d) n = length(sp) ri = diff(log(na.omit(sp,1,1))) ts.plot(ri) (ui = mean(ri)) (si =sd(ri)) (S0 = SP[n]) 2. Ajuste una distribución IG (Inversa Gaussiana) a los datos x i = r i + min(r i ), por método de momentos. Reporte los valores estimados de µ y. c = abs(min(ri)) x = ri+c (mu = mean(x)) (lambda = mu^3/var(x)) 3. Encuentre el valor del parámetro de la transformación Esscher. Reporte este valor. Nota: como es necesario utilizar un procedimiento numérico para encontrar el parámetro h de la transformación Esscher, se requiere dar un intervalo inicial en donde está la solución. Se propone [12,250000]. En caso de no funcionar, ensayar otras opciones. 3

4 esscher <- function(b) { result <- sqrt(b) - sqrt(b-1) -(r+c)/sqrt(2*lambda) return(result) } lowerlimit < upperlimit < xmin <- uniroot(esscher, c(lowerlimit, upperlimit), tol = ) (b <- xmin$root) (h = lambda/(2*mu^2)-b) 4. Calcule los parámetros neutrales al riesgo µ h y h se indican por m.h y l.h, respectivamente. El valor m.h.1 corresponde al valor de µ h+1. (m.h = mu/sqrt(1-2*h*mu^2/lambda)) (m.h.1 = mu/sqrt(1-2*(h+1)*mu^2/lambda)) (l.h = lambda) 5. Escoja un valor K dentro de un intervalo de predicción con base en el modelo lognormal. A continuación se calcula este intervalo. Reporte el valor que escogió. (intervalo = c(s0*exp(min(ri)),s0*exp(max(ri)))) 6. Calcule el precio de una OCE con el modelo IG. k = coloque aqui su pronostico (k.bar = log(k/s0)+c) T = 6/12 r = (p1 = 1-fda.ig(k.bar, m.h.1, l.h)) (p2 = 1-fda.ig(k.bar, m.h, l.h)) (C = S0*p1-k*exp(-r*T)*p2) 7. Calcule la prima OCE con el modelo Black-Scholes (modelo Lognormal). BS = GBSOption( TypeFlag = "c", S = S0, X = k, Time = T, r = r, b = r, sigma = si*sqrt(250)) (BS@price) 8. Calcule la prima OCE con el modelo GARCH. Use las instrucciones explicadas en clase. O consulte en la librería foptions el modelo Heston-Nandi. 9. Concluya con una tabla comparativa de los resultados con los diferentes modelos. 4

5 4. Notas 4.1. La Distribución Inversa Gaussiana Una variable aleatoria continua X se dice que tiene una distribución Inversa Gaussiana X IG(µ, ), si su fdp está dada por: f(x) = ( ) exp 2πx 3 ( (x µ) 2 2µ 2 x ), x > 0 (4) Su función de distribución acumulada está dada por ( ( ) ) ( x F (x)=φ x µ 1 + e 2 µ φ ( ) ) x x µ +1 (5) Su función generadora de momentos está dada por M(z) =E(e zx )=e µ ( 1 1 2µ2 z ) (6) Su media y varianza están dados por: E(X) =µ, Var(X) =µ 3 /. La distribución IG tiene la propiedad reproductiva, ó equivalentemente, es infinitamente divisible. La propiedad se enuncia así: si X 1,...,X n son n variables aletorias i.i.d. IG(µ, ), entonces X = X X n se distribuye IG(µt, t 2 ) Modelos para Precios 1. El modelo LogNormal para los precios, ó modelo de marcha aleatoria geométrica con rendimientos normales, con parámetros (µ, σ) se define por S(t) =S(0) exp(µt + σx(t)), (7) donde X(t) N(0,t). Un modelo alterno, equivalente es asumir que los parámetros son (µ σ 2 /2,σ). En el primero se cumple que E(S(t)) = S(0) exp((µ + σ 2 /2)t), mientras que en el segundo E(S(t)) = S(0) exp(µt). 2. El modelo para los precios con base en la distribución Inversa Gaussiana se define por donde X(t) IG(µt, t 2 ), y c>0 es una constante. S(t) =S(0) exp(x(t) ct), (8) 5

6 4.3. Fórmulas para Valoración 1. Fórmula de Black-Scholes para el precio C de una Opción de Compra Europea (OCE): C = S 0 φ(d 1 ) Ke rt φ(d 2 ) donde r se define como una tasa tal que e r 1=dtf, con dtf la dtf efectiva anual, σ es la volatilidad, K el precio de ejercicio, S 0 el valor inicial del activo, y T es la duración del contrato en fracción de año. d 1 = ln(s 0/K)+(r + σ 2 /2)T σ T d 2 = ln(s 0/K)+(r σ 2 /2)T σ T 2. La relación de paridad OPE-OCE es C + Ke rt = P + S Presentación y Valor del trabajo La presentación se sugiere que sea con formato de artículo, es decir, título, autores (nombre, carnet, carrera, resumen, en la primera página y luego: desarrollo, conclusiones, bibliografía, con páginas numeradas. Elaborado en lo posible en world o latex. Se solicita no empastar (las pastas son un desperdicio de papel). El valor de este trabajo es 35 %. La fecha de entrega se fijará en clase. Referencias [1] Liang, Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing. World Scientific Press. [2] Gerber, H.U. and Shiu,E.S.W.(1994). Option Pricing by Esscher Transforms. TSA, vol