Autorizada la entrega del proyecto al alumno: Fernando Báñez Chicharro LOS DIRECTORES DEL PROYECTO: Aurelio García Cerrada. Juan Luis Zamora Macho

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1 Autorizada la entrega del proyecto al alumno: Fernando Báñez Chicharro LOS DIRECTORES DEL PROYECTO: Aurelio García Cerrada Fdo: Fecha: Juan Luis Zamora Macho Fdo: Fecha: Vº Bº del Coordinador de Proyectos Álvaro Sánchez Miralles Fdo: Fecha:

2 PROYECTO FIN DE CARRERA CONTROL DE FILTROS ACTIVOS DE POTENCIA SERIE EN SISTEMAS DE DISTRIBUCIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA AUTOR: Fernando Báñez Chicharro MADRID, Junio 21

3 A mi yaya

4 AGRADECIMIENTOS Me gustaría aprovechar este espacio para agradecer a todas las personas que me han prestado su ayuda y apoyo para llevar a acabo este proyecto, sin ellas no hubiese sido posible. Quiero agradecer a mis directores de proyecto, Juan Luis Zamora Macho y Aurelio García Cerrada, por su dedicación y acertada dirección. Gracias a Omar Pinzón Ardila, ya que una parte del trabajo realizado se ha basado en estudios anteriores realizados por él. Muchas gracias también por las ilustraciones utilizadas en su tesis doctoral, para modificarlas e incluirlas en el proyecto. Así mismo, me gustaría agradecer a Javier Roldán Pérez su ayuda y sus sugerencias durante todo el proyecto, como también el poder utilizar alguna de las ilustraciones de su Proyecto Fin de Carrera. Gracias a los miembros del taller, por el tiempo que han dedicado a ayudarme a resolver problemas. A la Universidad Pontificia Comillas y a los miembros del departamento de Electrónica y Automática por haberme dejado usar sus instalaciones. A mis padres, por haberme ayudado durante estos largos años de la carrera y haberme aguantado en los periodos de exámenes. No quisiera olvidarme tampoco de mis familiares, Andrea y mis amigos, que me han mostrado su apoyo y me han dado ánimos durante todo este tiempo. i

5 CONTROL DE FILTROS ACTIVOS DE POTENCIA SERIE EN SISTEMAS DE DISTRIBUCIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA Autor: Báñez Chicharro, Fernando. Directores: García Cerrada, Aurelio. Zamora Macho, Juan Luís. Entidad Colaboradora: ICAI Universidad Pontificia Comillas. RESUMEN DEL PROYECTO Tradicionalmente, la calidad del servicio eléctrico se ha identificado con la continuidad en el suministro, pero desde hace unos años se han venido incorporando nuevos conceptos como la calidad de la onda y la atención comercial. El mantenimiento de la calidad de la onda depende de múltiples factores, desde los propios del sistema eléctrico hasta la actuación de los consumidores en la red. El concepto que nos atañe en esta memoria es el de la calidad de la onda, debido al incremento en la cantidad de equipos sensibles a perturbaciones en la red. Más del 5% de estas perturbaciones en la red eléctrica están relacionadas con la tensión, donde interesará estudiar la diferencia de la forma de onda con respecto a la ideal. Los tipos de perturbaciones más conocidos son las caídas y los aumentos de tensión, la aparición de armónicos y, para sistemas trifásicos, los desequilibrios en la red. El uso de filtro pasivos LC, junto con los bancos de condensadores para compensar la potencia reactiva, es un recurso que se ha venido utilizando para mejorar la calidad de la onda. La reducción del coste y el aumento de la fiabilidad de la electrónica de potencia y los procesadores de señal digital (DSP) durante la última década han hecho que se centre la atención en el estudio de los filtros activos de potencia (FAP). Estos filtros nacen como una solución a los problemas detectados en los filtros pasivos. Los filtros activos de potencia serie (FAPS) se utilizan para cancelar los ii

6 armónicos que aparecen en la red y, también, para proteger la carga ante caídas o subidas de tensión. En este último caso se conocen con el nombre de Dynamic Voltage Restorer (DVR). En la Figura R.1 se puede observar el esquema de un filtro activo de potencia serie. Los algoritmos de control de los filtros activos son complicados, y no existe, actualmente, un estándar en la industria. Este proyecto persigue investigar sobre un algoritmo de control para el filtro activo de potencia serie: el control repetitivo. Se analizará el funcionamiento de este control para mejorar la calidad de la tensión de red en puntos de conexión de cargas delicadas: eliminación de armónicos y compensación de variaciones de las tensión, incluidos huecos. Los algoritmos se han diseñado usando Matlab, y la mayor parte de las pruebas de los algoritmos se han realizado bajo simulación con el entorno Simulink. También se ha desarrollado un prototipo monofásico para la prueba de los algoritmos en un entorno real. En este prototipo, se ha sustituido el inversor por un amplificador de audio por su fácil implementación. Para los ensayos se ha usado Real-Time XPC Target también en el entorno de Simulink. Figura R.1: Esquema general de un filtro activo de potencia serie. iii

7 PROJECT ABSTRACT Traditionally, quality in the electrical service has been identified with the continuity in the supply, but from some years on new concepts has been incorporated, such as quality on the wave and costumer service. The quality of the wave depends on a lot of factors, from the own electrical system to the consumers of the electric-power system. The concept that is going to be developed throughout this project is the quality of the wave, due to the increase of sensitive equipments to the net s disturbances. Over of 5% of this net s disturbances are related with voltage, where will be interesting the study of the differences between the waveform of the net and the ideal one. The best-known net s disturbances are voltages falls and surges, harmonic s apparition and in three-phase systems, net s imbalances. The use of passive LC filters, together with capacitor banks that compensate the reactive power, is a resource that has been used to improve the quality of the voltage wave. The cost reduction and the improvement on the reliability of power electronic and digital signal processors (DSP) during the last decade focused the attention on the research of active power filters (APF). These filters were born as a solution to the problems that appears in passive filters. The series active power filters (SAPF) are used to remove net s harmonics and, also, to protect the load to falls or surges. In this last situation, these filters are known as Dynamic Voltage Restorer (DVR). In Figure R.1 a scheme of a series active power filter can be viewed. The control algorithms for active power filters are complicated and, nowadays, there is no standard solution on the sector. This project aims to research a control algorithm for series active power filters: the repetitive control. The operation of this control will be analyzed to improve the quality of the main voltage over the sensitive s loads: harmonics cancellation and compensation of voltage variations, including gaps. iv

8 The algorithms are designed using Matlab software, and most of the tests were realized under simulation with Simulink. In addition, a single-phase prototype was developed to carry out the test of the different algorithms in a real environment. In this prototype, an audio amplifier, for its simplicity of implementation, has replaced the inverter. For the test has been used Real-Time XPC Target, also with Simulink. Figure R.1: General scheme of a series active power filter. v

9 Documento nº 1 MEMORIA

10 Índice de la memoria Parte I Memoria... 1 Capítulo 1 Introducción Introducción Estado del arte Perturbaciones en la red Elementos de compensación de las perturbaciones de la red Filtros activos de potencia Clasificación de los filtros activos de potencia Filtros activos paralelos Filtros activos de potencia serie Combinación de un filtro activo de potencia serie y paralelo Dynamic Voltage Restorer (DVR) Motivación del proyecto Objetivos Metodología / Solución desarrollada Análisis del problema Diseño del control Simulación Ensayo de laboratorio Recursos / Herramientas empleadas Estructura de la memoria Capítulo 2 Filtros Activos de Potencia Serie y DVR s Introducción Modelos del sistema en tiempo continuo I -

11 2.2.1 Modelo en T, modelo en L y modelo simplificado Modelo detallado Modelo para bajas frecuencia Modelo para frecuencias medias Modelo para altas frecuencias Ecuaciones de modelado del sistema Conclusiones Modelo del sistema en tiempo discreto Identificación de la planta Control de un filtro activo de potencia serie Sólo un control externo a la planta (RC) Control externo a la planta (RC) + control interno del filtro (realimentación en variables de estado) Conclusiones Capítulo 3 Control Repetitivo Introducción Características Fundamentos del control repetitivo en tiempo continuo Fundamentos del control repetitivo en tiempo discreto Bloques del control repetitivo Diseño del control C 1 (z) Estabilidad Estudio sobre estabilidad Conclusiones Precisión Función de transferencia del error respecto a la referencia Función de sensibilidad complementaria Máximo ancho de banda del control repetitivo Diseño del filtro Q(z) Influencia del filtro Q(z) en el error del control repetitivo Estudio comparativo de filtros Q(z) Filtro Binomial II -

12 Filtro Sinc Filtro tipo peine (Comb Filters) Filtro tipo IIR Elección de la ganancia de compensación K q Conclusiones Diseño de la ganancia K x Influencia de K x en la estabilidad del control repetitivo Influencia de K x en el error Conclusiones Diseño del filtro L(z) Adaptación redondeando al valor de N Filtro L(z) Conclusiones Capítulo 4 Diseño del control para el DVR Introducción Control Repetitivo Realimentación en variables de estado + Control Repetitivo Realimentación en variables de estado Control Repetitivo Capítulo 5 Simulaciones Cargas R-L Factor de potencia = Sin tensión de red Tensión de red con armónicos Factor de potencia = Tensión de red con armónicos Factor de potencia = Tensión de red con armónicos Carga rectificadora R = 11 Ω L = mh R = 11 Ω 6.57 mh R = 8 Ω mh III -

13 5.3 Conclusiones Capítulo 6 Conclusiones y futuros desarrollos Introducción Resumen Conclusiones finales Futuros desarrollos Bibliografía 18 Parte II Anexos ANEXO A ESQUEMA DEL AMPLIFICADOR DE AUDIO ANEXO B IMPLANTACIÓN DEL CONTROL REPETITIVO Parte III Estudio económico IV -

14 Índice de figuras Figura 1.1: Esquema simplificado del origen de un hueco de tensión Figura 1.2: Esquema de un filtro activo de potencia paralelo Figura 1.3: Esquema de un filtro activo de potencia serie Figura 1.4: Esquema de un filtro activo de potencia serie-paralelo Figura 1.5: Esquema de un UPS Figura 1.6: Esquema de un SSTS Figura 1.7: Diagrama de flujo de la metodología seguida Figura 2.1: Esquema de conexión de un DVR Figura 2.2: Esquema básico de un DVR Figura 2.3: Modelo en "T" de un transformador Figura 2.4: Modelo en "L" de un transformador Figura 2.5: Modelo simplificado de un transformador Figura 2.6: Modelo "detallado" de un transformador Figura 2.7: Modelo para bajas frecuencias de un transformador Figura 2.8: Modelo para frecuencias intermedias de un transformador Figura 2.9: Modelo para frecuencias altas de un transformador Figura 2.1: Circuito equivalente monofásico de un DVR con el modelo simplificado del transformador Figura 2.11: Diagrama de Bode de P trafo (z) Figura 2.12: Esquema del sistema con sólo un control externo (RC) Figura 2.13: Diagrama de Bode de la planta sin control interno V -

15 Figura 2.14: Esquema del sistema con un control interno y otro externo (RC) Figura 2.15: Esquema de la realimentación en variables de estado de la planta Figura 2.16: Mapa de polos y ceros de las funciones de transferencia del sistema sin el control interno en tiempo continuo a) y discreto b) Figura 2.17: Diagrama de Bode de la planta con el control interno Figura 2.18: Diagrama de Bode de las plantas original y equivalente con control interno, en tiempo discreto Figura 2.19: Diagrama de Black de la planta original y de la equivalente con control interno, en tiempo discreto Figura 3.1: Sistema de control en tiempo continuo Figura 3.2: Diagrama de bloques de la implementación del control repetitivo fundamental en tiempo continuo Figura 3.3: Diagrama de Bode del lazo abierto del control repetitivo Figura 3.4: Diagrama de bloques del RC tipo plug-in en tiempo continuo Figura 3.5: Sistema de control en tiempo discreto Figura 3.6: Diagrama de bloques de la implementación del control repetitivo fundamental en tiempo discreto Figura 3.7: Diagrama de bloques del RC plug-in en tiempo discreto Figura 3.8: Diagrama de bloques del RC plug-in utilizado Figura 3.9: Diagrama vectorial de la condición de estabilidad Figura 3.1: Amplitud del error para distinta amplitud de frecuencias y desfases Figura 3.11: Diagrama de Bode de un ejemplo del error introducido por el control repetitivo Figura 3.12: Posición del filtro Q(z) en el control repetitivo Figura 3.13: Esquema de un filtro paso banda Figura 3.14: Comparación de filtros binomiales con distinto orden Figura 3.15: Filtro FIR con M=25 con y sin ventana de filtrado VI -

16 Figura 3.16: Filtro paso banda (12.5Hz-2kHz) sinc con ventana Hamming de orden Figura 3.17: Comb filter Figura 3.18: Diagrama de Bode de filtros FIR con distinto M Figura 3.19: Valores de K x que aseguran la estabilidad para distintos valores del error de modelado en modulo y fase Figura 3.2: Módulo del error del RC en función del ángulo de W(z) para distintos valores de K x Figura 3.21: Diagrama de Bode de filtros L(z) según Padé de distintos ordenes. 71 Figura 3.22: Diagrama de Bode del filtro L(z) para distintos valores de l e Figura 3.23: Posición del filtro L(z) Figura 3.24: Diagrama de Bode del RC con filtro L(z) con aproximación de Padé de primer orden Figura 3.25: Diagrama de Bode de un RC con L(z) y f p =53 Hz(azul) y un RC con L(z) y f p =5 Hz(verde) Figura 4.1: Diagrama de Bode del filtro Q(z) para el control repetitivo Figura 4.2: Mapa de polos y ceros a) y diagrama de Nyquist b) del término M 1 (z), demostrando su estabilidad Figura 4.3: Diagrama de Bode (solo amplitud) de la Ec. 3.17, para K q ajustado a) y sin ajustar b) Figura 4.4: Error del control para el caso de K q ajustada a) y sin ajustar b) Figura 4.5: Diagrama de Bode a) y Black b) de la planta equivalente Figura 4.6: Mapa de polos y ceros a) y diagrama de Nyquist b) del término M 1 (z), demostrando su estabilidad Figura 4.7: Diagrama de Bode (solo amplitud) de la Ec. 3.17, para K q ajustado a) y sin ajustar b) Figura 4.8: Error del control para el caso de K q ajustada a) y sin ajustar b) VII -

17 Figura 5.1: Tensiones en PCC (1), sobre la carga sensible (2) y con la que actúa el DVR (3) solo con el RC Figura 5.2: Error que se produce sólo con el RC Figura 5.3: Tensiones en PCC (1), sobre la carga sensible (2) y con la que actúa el DVR (3) solo con el RC ajustando K q Figura 5.4: Error que se produce sólo con el RC y ajustando K q... 9 Figura 5.5: Tensiones en PCC (1), sobre la carga sensible (2) y con la que actúa el DVR (3) usando sólo el RC Figura 5.6: Error que se produce sólo con el RC Figura 5.7: Tensiones en PCC (1), sobre la carga sensible (2) y con la que actúa el DVR (3) usando el RC y ajustando K q Figura 5.8: Error que se produce sólo con el RC y ajustando la K q Figura 5.9: Tensiones en PCC (1), sobre la carga sensible (2) y con la que actúa el DVR (3) usando sólo el RC Figura 5.1: Error que se produce sólo con el RC Figura 5.11: Tensiones en PCC (1), sobre la carga sensible (2) y con la que actúa el DVR (3) usando sólo el RC Figura 5.12: Error que se produce usando sólo el RC Figura 5.13: Tensiones en PCC (1), sobre la carga sensible (2) y con la que actúa el DVR (3) usando sólo el RC Figura 5.14: Error que se produce usando sólo el RC Figura 5.15: Tensiones en PCC (1), sobre la carga sensible (2) y con la que actúa el DVR (3) usando sólo el RC Figura 5.16: Error que se produce usando sólo el RC Figura 5.17: Tensiones en PCC (1), sobre la carga sensible (2) y con la que actúa el DVR (3) usando sólo el RC Figura 5.18: Error que se produce usando sólo el RC Figura A.1: Acondicionamiento del amplificador de audio TDA VIII -

18 Figura B.1: Implementación del control repetitivo con todos los controles causales IX -

19 Índice de tablas Tabla 1.1: Posibles perturbaciones de la onda de tensión Tabla 1.2. Valores máximos permitidos de las tensiones de los armónicos en la red de suministro, expresados en porcentaje de la tensión nominal Tabla 1.3: Comparación filtros pasivos LC y activos de potencia Tabla 1.4: Comparación de tres sistemas para proteger cargas sensibles frente a perturbaciones en la tensión Tabla 2.1: Valores del transformador Tabla 2.2: Situación de los polos del sistema con el control interno Tabla 4.1: Valores de los parámetros del sistema Tabla 4.2: Valores de las ganancias de realimentación Tabla 5.1: Valores de la amplitud de las perturbaciones de la red para distintas frecuencias X -

20 Parte I MEMORIA - 1 -

21 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN 1.1 INTRODUCCIÓN Tradicionalmente, la calidad del servicio eléctrico se ha identificado con la continuidad en el suministro, pero desde unos años a la actualidad se han venido incorporando nuevos conceptos como la calidad de la onda y la atención comercial [2]. El mantenimiento de la calidad de la onda depende de múltiples factores, desde los propios del sistema eléctrico hasta la actuación de los consumidores en la red. El concepto que nos atañe en esta memoria es el de la calidad de la onda, debido al incremento en la cantidad de equipos sensibles a perturbaciones en la red. Más del 5% de estas perturbaciones en la red eléctrica están relacionadas con la tensión, donde interesará estudiar la diferencia de la forma de onda con respecto a la ideal. Los tipos de perturbaciones más conocidos son las caídas y los aumentos de tensión, la aparición de armónicos y, para sistemas trifásicos, los desequilibrios en la red. El uso de filtros pasivos LC, junto con los bancos de condensadores para compensar la potencia reactiva, es un recurso que se ha venido utilizando para mejorar la calidad de la onda. La reducción del coste y el aumento de la fiabilidad de la electrónica de potencia y los procesadores de señal digital (DSP) durante la última década han hecho que se centre la atención en el estudio de los filtros activos de potencia (FAP). Estos filtros nacen como una solución a los problemas detectados en los filtros pasivos. Los filtros activos de potencia serie (FAPS) se utilizan para cancelar los armónicos que aparecen en la red y, también, para proteger la carga - 2 -

22 ante caídas o subidas de tensión. En este último caso se conocen con el nombre de Dynamic Voltage Restorer (DVR). Los algoritmos de control de los filtros activos son complicados, y no existe, actualmente, un estándar en la industria. En este capítulo se hará, en primer lugar, una introducción a los conceptos necesarios que se van a tratar y un estudio de los anteriores trabajos de investigación en este campo. Se analizará en detalle las perturbaciones de la red, mencionando de donde proceden y se describirán los efectos más importantes que producen en los sistemas. Se compararán los filtros activos con los tradicionales, con el objetivo de ver las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos y se podrá concluir porque los filtros activos se están imponiendo en los últimos años. Después, se describirán los diferentes tipos de filtros activos de potencia, viendo los usos de cada uno y se analizarán los diferentes esquemas posibles. En último lugar de este estado del arte, se prestará especial atención a los trabajos anteriormente realizados en el campo de los filtros activos de potencia serie y DVR. Seguidamente, y teniendo en cuenta todo lo anterior, se expondrán los diversos factores que motivan la realización de este proyecto, para seguir con los objetivos que se persiguen y la metodología y herramientas que se ha seguido y utilizado para llevarlo a cabo. 1.2 ESTADO DEL ARTE En este apartado se hará primero una introducción a cuales son las principales perturbaciones que aparecen en el sistema eléctrico, definiéndolas y marcando algunos máximos permitidos. Se echará un vistazo a posibles soluciones para contrarrestar estas perturbaciones indagando más a fondo en los filtros activos de potencia. Por último, se hará una revisión sobre los trabajos ya realizados con los filtros activos de potencia

23 1.2.1 PERTURBACIONES EN LA RED El nivel de perturbación en algunos puntos de la red puede llegar a afectar negativamente a algunos de los usuarios conectados [35]. Ello exige limitar el nivel de estas emisiones nocivas o instalar dispositivos de compensación o bien instalar equipos que protejan a los usuarios. Las autoridades de cada país fijan unos criterios normativos para asegurar que los niveles de perturbación no sobrepasen un nivel de compromiso. Las autoridades fijan los máximos niveles permitidos de emisión para los diferentes equipos que se conectan y los niveles mínimos de inmunidad que tienen que soportar [2]. La norma europea EN 516 [39] define y uniformiza el producto electricidad en toda la Unión Europea, describiendo como debe ser la electricidad que se suministre a cada cliente, o los niveles máximos de perturbaciones que puede existir en cada punto de la red de suministro [1]. La calidad de la onda hace referencia a la onda de tensión de suministro y a las perturbaciones asociadas a la misma. La onda de tensión ideal es sinusoidal, con amplitud y frecuencias determinadas y constantes y con simetría de fases. En la Tabla 1.1 se muestran las perturbaciones asociadas a la onda de tensión

24 Característica Frecuencia Perturbación asociada Variaciones de frecuencia Variaciones lentas Variaciones rápidas Parpadeo (flicker) Amplitud Interrupciones breves Hueco Sobretensiones temporales Sobretensiones transitorias Simetría de fases Formas de onda Desequilibrio Tensión armónica Tensión interarmónica Tabla 1.1: Posibles perturbaciones de la onda de tensión. A continuación se resumen las perturbaciones y desequilibrios de tensión más importantes y se muestran los niveles máximos de los armónicos propuestos en la norma [39](Tabla 1.2)

25 Armónicos impares Armónicos pares No múltiplos de 3 Múltiplos de 3 Orden del Tensión Orden del Tensión Orden del Tensión armónico relativa armónico relativa armónico relativa 5 6. % 3 5. % 2 2. % 7 5. % % 4 1. % % 15.5 % % % 21.5 % % % % % Tabla 1.2. Valores máximos permitidos de las tensiones de los armónicos en la red de suministro, expresados en porcentaje de la tensión nominal. Las tensiones armónicas son las tensiones sinusoidales cuya frecuencia es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental de la tensión de alimentación (5 Hz). Los armónicos se miden como la amplitud relativa de su valor eficaz frente al de la frecuencia fundamental. Se consideran los límites para cada armónico de la Tabla 1.2 y un máximo de un 8 % para la tasa de distorsión armónica total, durante el 95 % del tiempo [1]. Las ecuaciones de amplitud relativa del armónico h, v h, y la tasa de distorsión armónica total, THD v son las Ec. 1.1 y Ec Ec. 1.1: v h 1 V V h 1 Ec. 1.2: THD 4 2 v v h h2-6 -

26 Los armónicos en los sistemas de distribución de energía eléctrica tienen su origen en la existencia de cargas no lineales conectadas al sistema eléctrico. Todas las cargas son, en mayor o menor medida no lineales, sin embargo, en condiciones nominales la relación entre la tensión y la corriente es lineal. Existen numerosas cargas no lineales en los sistemas eléctricos que hacen circular corrientes no sinusoidales en la red, circulando a través de las impedancias del sistema y produciendo armónicos de tensión, es por ello que también se desarrollan sistemas para evitar estas corrientes como en [1] y [2]. A continuación se detallan algunas de las cargas no lineales más relevantes [1]: Los rectificadores monofásicos son la principal fuente de distorsión en los usuarios residenciales. Los rectificadores polifásicos dentro de las cargas industriales. Los convertidores c.a. c.a. Los hornos de arco. Las lámparas de descarga. Los transformadores. La frecuencia del sistema debe ser 5 Hz. En sistemas síncronos interconectados se permite una variación de ± 1 % durante el 95 % del tiempo y de ± 4 % - ± 6 % durante el 1 % del tiempo. Se considera que existe un hueco de tensión cuando la suministrada disminuye bruscamente por debajo del 9 % de la contratada y por encima del 1 %, recuperándose al cabo de poco tiempo. Son los problemas más importantes y costosos. Los huecos de tensión están normalmente producidos por cortocircuitos procedentes de una falta en una línea de transmisión o de distribución, como está modelado en el esquema simplificado de la Figura 1.1, donde la magnitud y la fase del hueco de tensión en el PCC viene definida por la Ec. 1.3 [9], siendo Z f y Z s las impedancias de la falta y de la red, respectivamente, y considerando la impedancia de la carga infinito

27 Figura 1.1: Esquema simplificado del origen de un hueco de tensión. Ec. 1.3: V hueco Z E Z f f Z s ELEMENTOS DE COMPENSACIÓN DE LAS PERTURBACIONES DE LA RED Una solución tradicional para mitigar los armónicos en la red, era el empleo de filtros pasivos (fundamentalmente LC). Sin embargo, el avance en la tecnología y la reducción de precios que ha hecho que se vayan imponiendo cada vez más los dispositivos avanzados (en este proyecto se trata el filtro activo de potencia serie). Los filtros pasivos son dispositivos que varían su impedancia en función de la frecuencia y que fundamentalmente se componen de elementos pasivos. Estos dispositivos modifican la respuesta en frecuencia de la red, de tal manera que podrían llegar a alterar el camino de los armónicos. En la Tabla 1.3 se recogen algunas ventajas y desventajas de cada solución

28 Dispositivo Ventajas Desventajas Filtros LC Filtros activos de potencia Sencillos. Robustos y económicos. Pueden mitigar huecos de tensión. Inteligentes. Imposible modificar parámetros de sintonización. Respuesta en frecuencia depende de la impedancia de la red. No mitigan los huecos de tensión. Complejos. Más caros. Tabla 1.3: Comparación filtros pasivos LC y activos de potencia FILTROS ACTIVOS DE POTENCIA Un convertidor c.c c.a. o inversor es un circuito electrónico capaz de transformar la corriente continua en corriente alterna. Este funcionamiento permite su utilización en numerosas aplicaciones industriales. Cuando es una red eléctrica se conecta con la carga la salida de un inversor con una estrategia de control destinada a eliminar los armónicos (de corrientes o tensiones), se dice que el conjunto trabaja como un filtro activo de potencia [36]. Los dispositivos electrónicos de potencia permiten el diseño de inversores que pueden actuar como fuente de corriente o como fuentes de tensión. Existen diferentes topologías posibles, que determinan las capacidades del sistema. Los principios de funcionamiento de los filtros activos de potencia fueron establecidos en [37], aunque actualmente su evolución sigue estando muy presente

29 1.2.4 CLASIFICACIÓN DE LOS FILTROS ACTIVOS DE POTENCIA Los filtros activos se comportan idealmente como fuentes de corriente o de tensión controladas, y como tales se pueden conectar en serie o en paralelo o una combinación de ambas. En [1] se clasifican y explican las diferentes combinaciones, que aquí solo se exponen: Filtros activos paralelos Su esquema se muestra en la Figura 1.2. Su objetivo es inyectar una corriente para compensar los armónicos que consume la carga y evitar que se propaguen por el resto del sistema eléctrico. i S i L i DC v S z S v L i L L L R L i FA v L i FA + V C _ C L S 123 Control V C Figura 1.2: Esquema de un filtro activo de potencia paralelo Filtros activos de potencia serie Su esquema se muestra en la Figura 1.3. Su objetivo original es la disminución de los armónicos de la tensión que existe en la red de suministro, aunque también puede compensar huecos de tensión, denominándose entonces DVR. Son los dispositivos que se tratan en este proyecto, así que se explicarán con más profundidad en los aparatados y capítulos siguientes

30 v S v FA v L v S z S v S + v FA _ v L Carga Crítica V C + _ C L S 123 Control v S v C Figura 1.3: Esquema de un filtro activo de potencia serie Combinación de un filtro activo de potencia serie y paralelo La combinación de un filtro activo serie y paralelo da lugar a sistemas universales de acondicionamiento con excelentes prestaciones que garantizan tanto la circulación de corrientes sinusoidales equilibradas en el lado de la fuente, como protección de la carga ante perturbaciones en la red [38]. Su esquema se muestra en la Figura 1.4. El filtro activo serie aplica la tensión necesaria para forzar que los armónicos de la corriente de la carga circulen por el filtro activo paralelo. v S v FA v L i L i L v S z S v S + v FA _ L + V C _ C L i FA i L i FA Carga Crítica No Lineal S 123 S 456 Control v S v C i L i FA Figura 1.4: Esquema de un filtro activo de potencia serie-paralelo

31 1.2.5 DYNAMIC VOLTAGE RESTORER (DVR) En el Capítulo 2 se hace un estudio más exhaustivo del modelado y de las ecuaciones de estos dispositivos, aquí se hablará más de investigaciones pasadas. Existen otros sistemas que tienen objetivos como los del DVR, cuyas diferencias se muestran en la Tabla 1.4 y que se enumeran a continuación [1]: UPS (Uninterruptible Power Supply). SSTS (Solid State Transfer Switch). Figura 1.5: Esquema de un UPS. Figura 1.6: Esquema de un SSTS. En [9] se hace un estudio sobre diferentes posibles topologías para los DVR. En [1] el mismo autor hace un estudio sobre como diseñar y controlar este tipo de dispositivos. Analiza cómo colocarlos y protegerlos, así como diferentes estrategias para distintos tipos de cargas. En [12] se presenta un control selectivo de armónicos con realimentación para añadir fácilmente a un DVR, consiguiendo así la eliminación de armónicos sin apenas influir en la compensación de los huecos de tensión

32 Dispositivo Ventajas Desventajas UPS Pueden compensar interrupciones. Alto coste por kw. Pérdidas elevadas. DVR Pocas pérdidas. Coste Difícil de proteger. No puede compensar en interrupciones. SSTS Bajas pérdidas sin carga. Bajo coste si la segunda alimentación está presente. Puede compensar en interrupciones y caídas de tensión. Beneficio/coste elevado si la segunda alimentación presente en independiente. Necesita una segunda alimentación sin perturbaciones. Difícil asegurar una alimentación sin perturbaciones. Respuesta lenta. Tabla 1.4: Comparación de tres sistemas para proteger cargas sensibles frente a perturbaciones en la tensión. En [3] se propone un control para un DVR con una prealimentación y una realimentación para mitigar los huecos de tensión. En [29] se estudia la efectividad del DVR para contrarrestar los huecos de tensión, llegando a la conclusión de que cumplen con el objetivo, pero que más investigación se hace necesaria. En [25] se estudian diferentes formas de control para los filtros activos de potencia serie y de la determinación de la referencia. Por un lado, se analizan controles lineales como el RST y PID y, por otro, un nuevo control de la banda de histéresis. Se demuestra la validez de un control basado en lógica difusa. Los resultados conseguidos en simulación con el control con banda difusa de histéresis son mejores que los obtenidos con los controles RST y PID. En [34] se diseña y analiza el uso de un DVR con un control deslizable (sliding mode control). Las técnicas de control de estructura variable pueden ser

33 muy útiles en dispositivos de potencia estándar. Este método elimina el uso de la detección de los huecos, mejorando la respuesta dinámica. En [27] se hace un análisis del compensador del control repetitivo como un filtro FIR, concluyendo que este método de diseño es efectivo. En [32] se hace un estudio de dos formas diferentes de implantar controles repetitivos que funcionen con señales de frecuencia variables, llegando a la conclusión de que el control de orden variable alcanza mejores resultados que el de orden fijo. En [33] se propone un DVR para compensar huecos de tensión largos y armónicos. El método para incorporar la compensación de armónicos fue realizado mediante un control de histéresis. Se muestra el diseño de los componentes del DVR y se muestra como afecta el factor de potencia de la carga en este diseño. El control repetitivo se usó por primera vez en un filtro activo de potencia en [1]. En [2] se continúan con las investigaciones y se establecen formas más avanzadas del control repetitivo. En [5] se presenta un sistema de control basado en el control repetitivo para un DVR de cinco niveles. El control está dividido en tres subsistemas, uno para eliminar el pico de resonancia que aparece, otro es el control repetitivo propiamente y, el último, mantiene constante las tensiones en los FC. En [3] y [4] se realiza un estudio y las simulaciones de un DVR controlado por un control repetitivo con prealimentación en tiempo continuo. Se concluye que el control repetitivo aplicado a un DVR permite que, con solo un control, eliminar tres tipos de perturbaciones: huecos de tensión, armónicos y desequilibrios. Con este control se consigue una respuesta transitoria rápida y un error nulo de seguimiento en régimen permanente para referencias y perturbaciones sinusoidales que tengan por frecuencias múltiplos de la fundamental. El control puede ser implementado usando una referencia estacionaria o rotativa

34 1.3 MOTIVACIÓN DEL PROYECTO La probada eficacia en combatir las caídas de tensión de los DVR es una de las razones principales por las que sigue atrayendo la investigación. En la actualidad, no existe ninguna estrategia de control estandarizada para estos dispositivos, y el control repetitivo ha dado buen resultado en los estudios realizados previamente, por lo que esta parece una buena ocasión para seguir investigando en el uso del control repetitivo como sistema de control de este tipo de dispositivos. 1.4 OBJETIVOS Estudio del control repetitivo en su funcionamiento para seguir señales periódicas, analizando sus ventajas e inconvenientes. Diseño e implementación de un control repetitivo a un filtro activo de potencia serie y que también funcione como DVR. Unificación del presente proyecto con el que realiza Javier Renedo Anglada, Control de filtros activos de potencia paralelo, y crear un filtro activo serie-paralelo. El control deberá poder compensar armónicos de corriente para que la intensidad de la red sea sinusoidal (filtro paralelo) y compensar armónicos de tensión y huecos de tensión, para que la tensión que alimenta a la carga sea también sinusoidal (filtro serie y DVR). Estudio de diferentes tipos de controles para el seguimiento de referencias periódicas y comparación con el repetitivo, viendo ventajas y desventajas

35 1.5 METODOLOGÍA / SOLUCIÓN DESARROLLADA Los documentos base sobre los que se ha trabajado y se ha partido para la realización del proyecto son [1], [2], [3] y [4]. Se ha partido de los estudios previos realizados en ellos y se han adaptado al problema que se trata aquí. La metodología de trabajo que se ha seguido para la realización del proyecto se expone de manera sistemática en la Figura 1.7. Por supuesto, todo este proceso tiene una contante realimentación para corregir o mejorar diseños anteriores, por lo que no fue extraño volver más de una vez al principio del diagrama con nuevos datos e ideas. En primer lugar se trabaja en tiempo continuo pero, dado que toda la implementación se tiene que desarrollar en digital, una vez los controles se simularon, se pasaron a tiempo discreto, retocándolos o rediseñándolos si hiciera falta. Analisis del problema Diseño del control Simulación Ensayo de laboratorio Figura 1.7: Diagrama de flujo de la metodología seguida ANÁLISIS DEL PROBLEMA En [1] y [2] se trata el modelado de un filtro activo de potencia paralelo y en [3] y [4] uno de potencia serie. A partir de lo tratado en ellos, se estudian otras posibilidades de modelado y se discute la propiedad del uso de cada una de ellas, analizando sus limitaciones. El modelado de los sistemas se realizó primero en tiempo continuo, para pasar después a su discretización. En un primer momento se trabajó sobre una planta general pero, para la posterior utilización de los controles en un prototipo real, se midió las

36 características del transformador con el fin de poder conseguir un modelo lo más realista posible al prototipo para poder realizar los ensayos con el menor grado de incertidumbre DISEÑO DEL CONTROL A partir del modelo del sistema escogido, se pasa a diseñar el control del sistema. Se ha diseñado, básicamente, desde dos estrategias: 1. Control interno de la planta más uno externo, el control repetitivo. 2. Únicamente un control externo, el repetitivo. A partir de estas estrategias, se diseñan dos controles para después pasar a compararlos, tanto analíticamente como en simulación y ensayos SIMULACIÓN Una vez se han obtenido los controles que se quieren testear, se simula con ellos mediante la herramienta Simulink de Matlab. En ella, se simulará bajo diferentes circunstancias y se compararán los resultados entre los controles diseñados y se contrastará con lo que se había calculado analíticamente. Las simulaciones en Simulink se realizan mediante dos herramientas distintas: con funciones de transferencia y mediante electrónica de potencia. El modelo de funciones de transferencia es más parecido a lo diseñado mientras que, el de electrónica de potencia, es más realista ENSAYO DE LABORATORIO Para los ensayos de laboratorio es necesario la utilización de un prototipo que permita realizar los experimentos y tomar las mediciones que sean necesarias. En primer lugar hay que aprender a manejar el hardware y software que se va a utilizar y familiarizarse con él. Una vez se ha conseguido esto, se pasa al

37 montaje del prototipo que se usará. Por último, se realizan ensayos con las mismas condiciones que se han empleado en las simulaciones con el fin de poder realizar comparaciones. 1.6 RECURSOS / HERRAMIENTAS EMPLEADAS Para la realización del proyecto se dispuso de las siguientes herramientas informáticas y de hardware: Se utilizó la programación en Matlab y diferentes toolbox del sistema para la realización de los cálculos analíticos y de diseño. Los modelos obtenidos primero se validaron en Matlab y, posteriormente, se pasa a la simulación. Para las simulaciones de los modelos analizados y de los casos de estudio se utilizó Simulink, una toolbox muy conocida de Matlab. Las simulaciones se realizaron siempre sobre los sistemas diseñados y que ya habían sido previamente validados. Para las pruebas en el prototipo, se utilizaba así mismo Simulink, junto con la extensión Real-Time XPC Target, que es un software de tiempo real. El transformador, las fuentes de tensión, bobinas, resistencias, condensadores, etc. para el montaje del prototipo y las diferentes pruebas experimentales. Este material se encuentra disponible en el laboratorio de electrónica de potencia y en el laboratorio de accionamientos eléctricos. El prototipo realizado se instalará en el laboratorio de electrónica de potencia del ICAI

38 1.7 ESTRUCTURA DE LA MEMORIA El presente proyecto se ha dividido en 7 capítulos, que contienen toda la información básica para poder seguir las explicaciones, y 2 apéndices con información y documentación adicional. En el Capítulo 1 se hace una breve introducción a la memoria y se presenta un estudio previo sobre el campo que se va a tratar, analizando y presentando investigaciones anteriores. En base a ello, se indicaran las motivaciones del proyecto, los objetivos que se persiguen conseguir y la metodología seguida y las herramientas utilizadas para su desarrollo. En el Capítulo 2 se presentarán los Filtros Activos de Potencia Serie (FAPS) y los DVR. Se analizará lo que se busca con ellos y su funcionamiento y estructura. Teniendo ya presente el objetivo que se pretende conseguir con ellos, se diferenciarán las distintas posibilidades de modelado en tiempo continuo, y en tiempo discreto. Por último, se comentarán las distintas posibilidades que se plantean sobre cómo abordar el problema del control y, además, se analizará la estabilidad de la planta. En el Capítulo 3 se trata el control repetitivo. Se expondrá la teoría básica del control así como las posibles implementaciones. En el Capítulo 4 se especifica se realizan los dos diseños teorizados en los capítulos anteriores. En el Capítulo 5 se dan los resultados de las simulaciones de un DVR que usa los controles diseñados en el capítulo anterior En el Capítulo 6 se darán las conclusiones obtenidas de los capítulos anteriores, y se compararán los resultados experimentales con los teóricos calculados y simulados. Por último, en este mismo Capítulo se propondrán posibles opciones para seguir con la línea de investigación, así como diferentes posibilidades sobre cómo solucionar los problemas encontrados

39 Capítulo 2 FILTROS ACTIVOS DE POTENCIA SERIE Y DVR S 2.1 INTRODUCCIÓN Los filtros activos de potencia serie son dispositivos que se encargan de proteger cargas sensibles frente a las perturbaciones de la red. Cuando estos filtros están más destinados a proteger a la carga de caídas o subidas de tensión hablamos de ellos como DVR s. El DVR es, esencialmente, una fuente de tensión conectada en serie mediante un transformador a la red. Originalmente, como se acaba de comentar, estaban concebidos para aminorar las caídas de tensión pero, si se los diseña con un control apropiado, su rango de aplicaciones se puede ver extendido [3]. El funcionamiento básico del DVR consiste en inyectar en serie una tensión en fase con la de suministro de la carga, que sea suficiente para restablecer la tensión a su nivel inicial. Un esquema de conexión típico se puede ver en la Figura 2.1. Figura 2.1: Esquema de conexión de un DVR

40 El esquema básico de un DVR se muestra en la Figura 2.2 con las partes de que está compuesto. v S v FA v L v S z S v S + v FA _ v L Carga Crítica Almacenamiento de energía L S 123 Control v S v C Figura 2.2: Esquema básico de un DVR. Hay que señalar, además, que hace falta poner un condensador en paralelo con el transformador, para que actúe como filtro LC (junto con la inductancia del transformador), y así eliminar los armónicos de alta frecuencia que introduce la frecuencia de conmutación del dispositivo actuador. En este capítulo se estudian las posibilidades de modelado del filtro activo serie y se plantearán las ecuaciones que rigen su comportamiento. Se plantearán diversas formas de control analizando las ventajas de cada una. Se hará uso de la Transformada de Laplace para el modelado de las ecuaciones dinámicas del filtro activo. 2.2 MODELOS DEL SISTEMA EN TIEMPO CONTINUO En algunos casos, para el diseño de los DVR, se puede diseñar teniendo en cuenta el modelo de la carga y considerándolo en el sistema. Sin embargo, estos sistemas sólo son posibles cuando se conoce el equipo sensible a las perturbaciones que se quiere proteger y que éste se pueda modelar para introducir en las ecuaciones que se tratan posteriormente. En el caso que se trata aquí, dado

41 que se quiere diseñar un sistema que sirva en la mayor variedad posible de casos, no se tendrá en cuenta la carga a la hora de modelar el sistema. El transformador a través del cual se inyecta la tensión en la red es el elemento de más difícil modelado del sistema, dado que puede saturarse por las altas frecuencias en las oscilaciones de la tensión. Se hace necesaria una evaluación de estas oscilaciones para modelar de forma apropiada el transformador. Todo transformador puede ser modelado por una serie de inductancias con sus capacidades en paralelo a tierra y sus capacidades entre lados del transformador. Este tipo de modelado tiene una gran precisión pero es más complicado que otro tipo de modelados [21]. Tradicionalmente y en [3] y [4] se ha considerado el modelo del transformador en su forma en L, que es una simplificación del modelo en T. A continuación se describen las diferentes formas de modelado del transformador que pueden ser tenidas en cuenta dependiendo de las circunstancias MODELO EN T, MODELO EN L Y MODELO SIMPLIFICADO Son las formas tradicionales de modelado de transformadores, sus circuitos se pueden ver en la Figura 2.3 y Figura 2.4, respectivamente. Debido al reducido valor de la corriente magnetizante frente a la que circula por los devanados del primario y del secundario, se suele trabajar con el circuito equivalente aproximado en L. Con esta aproximación no se introducen errores apreciables y se simplifican mucho los cálculos [24]. En este proyecto, tal y como se hace en [3] y [4], se supondrá un modelo aún más simplificado, sin tener en cuenta la rama magnetizante del transformador. Se supondrá que se puede usar este modelo siempre que la inductancia magnetizante sea del orden de diez veces mayor que la de dispersión total del transformador, y se comprobará más tarde esta suposición mediante simulación

42 Ls1 Ls2 Rs1 Rs2 Rm Lm Figura 2.3: Modelo en "T" de un transformador. Ls1 Ls2 Rs1 Rs2 Rm Lm Figura 2.4: Modelo en "L" de un transformador. Ls1 Ls2 Rs1 Rs2 Figura 2.5: Modelo simplificado de un transformador MODELO DETALLADO Un circuito equivalente más detallado del transformador fue propuesto en [22] y puede verse en la Figura

43 Figura 2.6: Modelo "detallado" de un transformador. Los componentes de este esquema son: i. Un transformador ideal con la relación de transformación. ii. Las capacidades C p y C s, de las ramas del primario y el secundario respecto a tierra. iii. La capacidad C ps entre primario y secundario. iv. La inductancia de dispersión equivalente L w del primario y el secundario. v. La resistencia equivalente del primario y el secundario R w, referida al secundario. vi. La impedancia de magnetización Z h, compuesta de una resistencia y una inductancia. Aunque esta es una representación detallada del transformador, está claro que los elementos del circuito tendrán una contribución diferente al sistema para cada rango de frecuencias, volviéndose algunos incluso innecesarios. Como resultado de esta consideración, el modelo tratado se puede dividir en modelos de baja, media y alta frecuencia [23], que se presentan a continuación Modelo para bajas frecuencia Para frecuencias inferiores a 5 Hz, la capacidad entre el primario y el secundario C ps tiene poca influencia y aparece como un circuito abierto, al contrario que la impedancia de magnetización, que es significante. El circuito equivalente se puede ver en la Figura 2.7. Se puede usar hasta frecuencias de 2 khz

44 Figura 2.7: Modelo para bajas frecuencias de un transformador Modelo para frecuencias medias En el rango medio de frecuencias, aproximadamente entre los 2 khz y los 8 khz, el modelo a usar se muestra en la Figura 2.8. Figura 2.8: Modelo para frecuencias intermedias de un transformador Modelo para altas frecuencias A frecuencias altas, las capacidades del circuito son las que mandan. Este modelo se utiliza para frecuencias superiores a los 8 khz. Su representación aparece en la Figura 2.9. Figura 2.9: Modelo para frecuencias altas de un transformador

45 2.2.3 ECUACIONES DE MODELADO DEL SISTEMA Dado que en el presente trabajo lo que se pretende es corregir las perturbaciones que vengan de la red hasta el décimo armónico, 5 Hz, los modelos de alta y media frecuencia quedan descartados. En principio el modelo para frecuencias bajas sería el más preciso a la hora de modelar el sistema, pero dado que los componentes que se utilizarán posteriormente para la realización del filtro y los aparatos de medición tienen unas tolerancias de error, se estima que lo que puede aportar este modelo en comparación con la complejidad es demasiado elevado, por ello, en principio, se escogen los modelos en L y T como modelos de referencia. Además, dado que la inductancia de magnetización es más de diez veces superior a las de dispersión, se modelará con el modelo simplificado. Figura 2.1: Circuito equivalente monofásico de un DVR con el modelo simplificado del transformador. Un circuito de prueba típico con un DVR instalado se puede ver en la Figura 2.1 [4]. Distintos tipos de cargas se pueden conectar al punto común de acoplamiento (PCC), incluyendo cargas lineales, no lineales y sensibles. En él, v s es la tensión de la red, Z s modela la impedancia de la línea, i s es la corriente que circula por la red, distribuyéndose en el PCC en i que es la que circula por el

46 equipo sensible e i r por otras cargas conectadas. i t es la corriente por el transformador e i c es la corriente que circula por el condensador de filtrado. La tensión v pcc es la medida en el punto PCC y u es la tensión de salida del DVR. R y L son la resistencia e inductancia de dispersión del transformador, ambas referidas al secundario, y C f es el condensador usado junto con la inductancia de dispersión del transformador para filtrar los armónicos de alta frecuencia que puede producir el DVR. Finalmente, u c y v son las tensiones en el condensador y en la carga sensible, respectivamente. De la Figura 2.1, se puede deducir la ecuación Ec Ec. 2.1: v( t) v ( t) u ( t) Y tomando como variables de estado i t y u c y como entradas u e i (que se considera como perturbación) y como única salida v, se puede plantear el sistema en ecuaciones de estado (Ec. 2.2). pcc c Ec. 2.2: d dt R 1 1 i t ( t) L L it ( t) L u 1 c( t) uc ( t) C f i ( t) u( t) uc ( t) i( t) t v( t) 1 1 C f u( t) i( t) Una cosa que hay que tener en cuenta y que no aparece en las funciones de transferencia ni en las ecuaciones es que un transformador no deja pasar la componente continua de la señal, es decir, tiene un cero a frecuencia cero aunque este no aparezca en la función de transferencia. Este hecho será muy importante más adelante CONCLUSIONES Un transformador no deja pasar la componente continua de la señal, es decir, tiene un cero a frecuencia cero aunque este no aparezca en la función de transferencia

47 Siempre que se pueda se usa el modelo simplificado. Es el menos preciso, pero para lo que aquí se va a tratar es suficiente, y simplifica mucho los cálculos. 2.3 MODELO DEL SISTEMA EN TIEMPO DISCRETO Una vez se tiene el modelo de la planta en tiempo continuo, según la Ec. 2.2, se pasa a discretizarla utilizando un método de simulación invariante de orden cero [6]. Para ello, en Matlab se puede usar la instrucción c2d. Ya que el amplificador de audio que se utiliza como actuador tiene un ancho de banda mucho mayor que la frecuencia de muestreo que se va a utilizar, éste se puede modelar como una ganancia. La ganancia del amplificador es, aproximadamente, de 3 db, compensándose a la salida del sistema de control resultando, de esta manera, una ganancia unitaria [2]. Además, hay que incluir un retraso entre la salida del control y la tensión que se aplica por el DVR, que modela el tiempo que necesita el control para hacer sus cálculos 2.4 IDENTIFICACIÓN DE LA PLANTA Una vez que se tienen las ecuaciones de la planta en tiempo discreto, hace falta medir los parámetros que configurarán el sistema. En primer lugar se pasará a medir el transformador, deduciendo de esta manera las inductancias y resistencias de dispersión y la inductancia de magnetización. El transformador que se va a utilizar posteriormente en los ensayos tiene una relación de transformación de 22 : 38 V con una potencia de 1.7 kva. En la Tabla 2.1 se muestran los valores obtenidos mediante las mediciones del transformador

48 Fase (deg) Amplitud (db) UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS Parámetro Primario Secundario R s.65 Ω 1.2 Ω L s mh 2.2 mh L m H Tabla 2.1: Valores del transformador. El condensador que se utiliza en paralelo con el transformador es de 1 μf. La función de transferencia resultante del transformador en tiempo discreto, usando un periodo de muestreo de.2 ms, con estos valores medidos es la que se muestra en la Ec En la Figura 2.11 se muestra el diagrama de Bode del transformador. Ec. 2.3: P ( z.9375) z) z 1.841z.8698 trafo ( Frecuencia (Hz) Figura 2.11: Diagrama de Bode de P trafo (z)

49 2.5 CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO DE POTENCIA SERIE En el diseño de los filtros activos de potencia serie, es de suma importancia el diseño del control, y existen múltiples estrategias en el diseño de los mismos. Como se ha comentado anteriormente en el apartado 2.2, no se tendrá en cuenta la carga en el diseño. Aquí se han pensado dos tipos de estrategias, ambas basadas en el control repetitivo, que se expondrán en este apartado SÓLO UN CONTROL EXTERNO A LA PLANTA (RC) Esta estrategia se basa en, a partir de la planta estimada en el epígrafe 2.4, diseñar un control repetitivo para controlar el sistema, sin la ayuda de ningún otro. El esquema del sistema con esta estrategia de control es la de la Figura 2.12, donde v es la tensión de la carga a proteger y u la tensión que inyecta el DVR. El diagrama de Bode de la planta sigue siendo el mismo que el que se muestra en la Figura Hay que tener en cuenta que la planta actual P(z) es la de la Ec. 2.3 añadiéndole un retraso por los cálculos del control. Su diagrama de Bode se muestra en la Figura ref - Control(z) u P(z) v Figura 2.12: Esquema del sistema con sólo un control externo (RC)

50 Fase (deg) Amplitud (db) UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS Frecuencia (Hz) Figura 2.13: Diagrama de Bode de la planta sin control interno CONTROL EXTERNO A LA PLANTA (RC) + CONTROL INTERNO DEL FILTRO (REALIMENTACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO) En esta estrategia de control, a la función de transferencia del transformador estimada en el epígrafe 2.4 se la hace primero un control interno para eliminar el pico de resonancia que tiene en torno a los 2 khz. Este control interno es una realimentación en variables de estado. Con esto, en teoría, se consigue volver al sistema más seguro, sobre todo a frecuencias cercana a los 2 khz comentados, que podrían hacer que el sistema saturase o se volviese inestable

51 u c ref - Control externo(z) u Control interno(z) P(z) v i t Figura 2.14: Esquema del sistema con un control interno y otro externo (RC). K 1 i t u K 3 Z -1 P(z) v K 2 u c Figura 2.15: Esquema de la realimentación en variables de estado de la planta. El esquema del sistema con el control interno y el control externo se muestra en la Figura 2.14 y el esquema de la realimentación en variables de estado se muestra en la Figura 2.15, donde v es la tensión que hay que controlar, u c e i t son la tensión del condensador de filtrado y la corriente que circula por el transformador, respectivamente. u es la tensión que inyecta el DVR, K 1, K 2 y K 3 son las ganancias de realimentación y z -1 es el retraso que introducen los cálculos. Lo que hace este control, básicamente, es colocar los polos de la planta donde se quieran para, así, pasar de tener unos polos poco amortiguados a que estén amortiguados de forma aceptable. La manera de diseñar este control interno es, partiendo de la planta en tiempo continuo calculada en el apartado 2.4, se sacan los polos de la función de transferencia del sistema, que serán los que estén poco amortiguados, como se puede ver en Figura

52 Imaginario Imaginario UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS 1.5 x a) /T.45/T.35/T b).25/t.3/t.2/t.15/t /t /t.9 2.5e+19 3e e+19 2e+19 1e+19 5e+18.5/T.5/T /T.5/T Real x /T.35/T.3/T.2/T.25/T Real.15/T.1/T Figura 2.16: Mapa de polos y ceros de las funciones de transferencia del sistema sin el control interno en tiempo continuo a) y discreto b). Para colocar los polos se va a usar una configuración de Butterworth, que lo que hace es repartir los polos dejando la misma separación entre ellos, en este caso, 45º. Para ello, se deja igual el polo real y son los otros dos los que se recolocan. Con esta configuración se espera un amortiguamiento en los polos no reales de.77. Para transformar estos polos a tiempo discreto se usa la transformación y ahora se vuelve a plantear el sistema de ecuaciones de variables de estado en tiempo discreto, pero añadiendo una nueva variable de estado, que será la que modele el retraso que hay entre la actuación del control y la tensión que realmente aplica el DVR en cada momento. El nuevo sistema queda como en la Ec. 2.4, donde A ij es el elemento (i,j) de la matriz A en tiempo discreto (epígrafe 2.3), y η(k) = u control (k-1), siendo la u control la actuación del control. Ya no se tiene en cuenta en el planteamiento la i, porque se la ha considerado una perturbación (epígrafe 2.2.3)

53 UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS Ec. 2.4: ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( k u k k u k i B A A B A A k k u k i c t c t Con este sistema y con la ayuda del comando de Matlab place, se sacan las ganancias de realimentación, y se plantea de nuevo el sistema teniéndolas en cuenta (Ec. 2.5) Ec. 2.5: ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( k u k k u k i k v k u k k u k i K K K B A A B A A k k u k i c t c t c t Como se puede comprobar en la Tabla 2.2, los polos se sitúan tal como se habían diseñado, y se consigue aumentar su amortiguamiento. En la Figura 2.17 se puede apreciar el diagrama de Bode de la nueva planta, apreciándose como se ha conseguido eliminar la resonancia que aparecía, que era el principal objetivo. Polos Amortiguamiento i i Tabla 2.2: Situación de los polos del sistema con el control interno.

54 Fase (deg) Amplitud (db) UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS Frecuencia (Hz) Figura 2.17: Diagrama de Bode de la planta con el control interno CONCLUSIONES La estrategia de solo usar el control externo deja, en teoría, al sistema más desprotegido que si se usa un control externo y otro interno. La estrategia de usar un control interno más otro externo es más complicada y elaborada que la de sólo un control externo. En las Figura 2.18 y Figura 2.19 se muestran los diagramas de Bode y Black de las plantas con los dos esquemas que se han expuesto. En ellos se observa como, efectivamente, el control interno consigue eliminar el pico de resonancia que aparecía en la planta original. También se aprecia como, para ambos casos, hace falta el control externo para volver el sistema estable

55 Fase (deg) Amplitud (db) UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS 3 2 C. Ext. C.Ext. + C. Int Frecuencia (Hz) Figura 2.18: Diagrama de Bode de las plantas original y equivalente con control interno, en tiempo discreto

56 Amplitud (db) UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS 25 2 C. Ext. C. Ext + C. Int Fase (deg) Figura 2.19: Diagrama de Black de la planta original y de la equivalente con control interno, en tiempo discreto

57 Capítulo 3 CONTROL REPETITIVO 3.1 INTRODUCCIÓN El control repetitivo (RC) es una técnica de control que se aplica en sistemas que requieren el seguimiento de referencias periódicas y en aplicaciones de regulación expuestas a perturbaciones periódicas. El RC ha sido utilizado con anterioridad por diversos autores [1], [2] para el rechazo y seguimiento de perturbaciones en sistemas de control. La idea original es tratada por Inoue [8] para el seguimiento de señales periódicas en fuentes de alimentación. Esta técnica ya ha sido empleada con éxito en diferentes áreas como el control de CDs y discos duros, la robótica, las máquinas de control numérico, la supresión de vibraciones y los rectificadores electrónicos [14]. Este tipo de sistema de control se basa en la translación temporal de la señal de referencia o la perturbación, aprovechando de esta manera las condiciones de simetría de la señal para lograr un error de seguimiento nulo a las frecuencias de interés, las armónicas en nuestro caso. 3.2 CARACTERÍSTICAS En esta sección se van a tratar las características y condiciones del RC. En un primer lugar se hará una aproximación a dichas características en tiempo continuo y, a continuación, se pasará a hablar de ellas en tiempo discreto

58 3.2.1 FUNDAMENTOS DEL CONTROL REPETITIVO EN TIEMPO CONTINUO En la Figura 3.1 se muestra un sistema de control con realimentación en tiempo continuo. P(s) es el modelo a controlar y C(s) el control que se utilizará para ello. Se supondrá que la perturbación d(t) es periódica de periodo t p. d(t) r(t) e(t) _ C(s) u(t) P(s) y(t) Figura 3.1: Sistema de control en tiempo continuo. Para seguir sin error una señal sinusoidal de pulsación ω h se hace necesario diseñar un control que tenga polos en s = ±jω h. Toda función periódica de periodo t s tiene muchas componentes sinusoidales de pulsación como en la Ec Ec. 3.1: y h,1,2, t s donde ω 1 corresponde a la pulsación fundamental o de primer armónico de la señal periódica de referencia. En un regulador de este estilo, con polos en s =, s = ±jhω 1 (h =, 1, 2, ), su función de transferencia tiene la forma que se muestra en Ec. 3.2, donde C N (s) es el numerador del control, que no tiene ceros que puedan cancelarse con los polos. Ec. 3.2: C ( s) C( s) 1 e N st p Este tipo de control consigue seguir en lazo cerrado los armónicos y la componente continua de la señal de entrada r(t) y se puede implementar tal como

59 se muestra en la Figura 3.2, dando en ese caso la función de transferencia que se muestra en la Ec Ec. 3.3: st e C( s) 1 e p st p x(t) e -st p y(t) Figura 3.2: Diagrama de bloques de la implementación del control repetitivo fundamental en tiempo continuo. La Figura 3.3 muestra el diagrama de Bode del control de la Ec En él se puede observar como el control presenta ganancia infinita a las frecuencias armónicas, empezando desde la frecuencia cero, realizando la función de un integrador puro, que es muy importante tener en cuenta en este caso, como se comentará más adelante. Este hecho asegura un error de seguimiento nulo para todas señales a estas frecuencias. El control repetitivo se ha probado con una configuración plug-in, como la que se muestra en la Figura

60 Figura 3.3: Diagrama de Bode del lazo abierto del control repetitivo. Regulador Repetitivo Plug-in Q(s) e -st K x G x (s) d(t) r(t) e(t) _ C 1 (s) P(s) y(t) C(s) Figura 3.4: Diagrama de bloques del RC tipo plug-in en tiempo continuo

61 3.2.2 FUNDAMENTOS DEL CONTROL REPETITIVO EN TIEMPO DISCRETO El uso de este tipo de controles se lleva a cabo usando un microprocesador, por lo que hace falta estudiar el diseño de este control en tiempo discreto. d(k) r(k) e(k) _ C(z) u(k) P(z) y(k) Figura 3.5: Sistema de control en tiempo discreto. En la Figura 3.5 se muestra un sistema de control con realimentación en tiempo discreto. P(z) es la planta a controlar y C(z) el control que se utilizará para ello. La referencia r(k) son las muestras de una señal periódica de periodo t p y se supondrá que la perturbación d(k) es periódica de periodo t p o un múltiplo. Para que la discretización sea exacta se tomará como periodo de muestreo t s un submúltiplo de t p. Ec. 3.4: t N t p s La relación entre t p y t s viene dada en Ec. 3.4, renombrada ahora como N. Con la referencia de Ec. 3.2 se puede diseñar un control repetitivo con N polos sobre el círculo unidad, que tendrá por función de transferencia la que se muestra en Ec Ec. 3.5: C ( z) C( z) 1 z N N Un control de este tipo se puede implantar como se muestra en la Figura 3.6, teniendo en ese caso una función de transferencia como la de Ec

62 x(k) z -N y(k) Figura 3.6: Diagrama de bloques de la implementación del control repetitivo fundamental en tiempo discreto. Ec. 3.6: z C( z) 1 z N N Tal como en el caso de tiempo continuo, este control consigue perseguir todos los armónicos de la señal de referencia r(k) hasta la frecuencia de Nyquist (f s /2 Hz), incluyendo nuevamente la componente continua, teniendo una respuesta en frecuencia similar a la de tiempo continuo, obviamente sólo hasta la frecuencia de Nyquist. En la mayoría de las ocasiones, el control repetitivo se ha implantado con una configuración plug-in, como la que se muestra en la Figura 3.7, donde G (z) es un regulador previo al control repetitivo y F id (z) es el sistema a controlar. Este tipo de estructura es ampliamente usada [1],[2],[4] debido a que tiene unas cualidades de estabilidad más libres que el regulador repetitivo convencional [13] y a las propiedades que presenta en torno a la rapidez. Regulador Repetitivo Plug-in Q(z) z -N K x G x (z) d(k) r(k) e(k) _ G c (z) F id (z) y(k) C(z) P(z) Figura 3.7: Diagrama de bloques del RC plug-in en tiempo discreto

63 3.3 BLOQUES DEL CONTROL REPETITIVO En esta sección se explicará la función que cumple cada bloque del control repetitivo plug-in, en qué sección del capítulo se encuentra una explicación más detallada y la notación que se va a utilizar en los siguientes apartados cuando se reagrupen términos. En la presente memoria se utiliza un control tipo plug-in con alguna modificación con respecto al presentado en la Figura 3.7. El diagrama completo utilizado se presenta en la Figura 3.8. Regulador Repetitivo Plug-in Q(z)K q L(z)W(z) K x G x (z) d(k) r(k) e(k) _ C 1 (z) P(z) y(k) C(z) Figura 3.8: Diagrama de bloques del RC plug-in utilizado. La explicación de cada uno de los bloques es la que sigue a continuación: W(z) representa la función retraso. Se puede escribir como se muestra en la Ec Ec. 3.7: i W ( z ) n1 W i z in Q(z) representa un filtro que limita el ancho de banda del regulador. Se tratarán sus funciones y su diseño más en detalle en el apartado 3.8 del presente capítulo. K q es una ganancia de compensación que funciona para corregir problemas de ganancia del filtro Q(z) a la frecuencia fundamental. Funciona junto al filtro Q(z) y se explica en el epígrafe L(z) es un filtro adaptativo. Se utiliza para adaptar el sistema de control a cambios en la frecuencia fundamental de la perturbación. Se estudiará con más detalle en el epígrafe

64 G x (z) es un compensador. Está definido por el diseñador, y se utiliza para garantizar la estabilidad del sistema de control. Su elección se discute en el epígrafe Por comodidad se define H(z)=Q(z)L(z)W(z). K x es una ganancia constante y positiva de realimentación. Se utilizará para garantizar la estabilidad. Se estudia en con detenimiento en el apartado 3.9. P(z) representa la planta que se quiere controlar. C 1 (z) es un control externo al repetitivo. Su función es asegurar la estabilidad del sistema en lazo cerrado sin el control repetitivo y mejorar la rapidez del sistema. Se explica su diseño en la sección DISEÑO DEL CONTROL C 1 (Z) En primer lugar, se procede al diseño del control C 1 (z), que es un control que funciona externo al control repetitivo. Como se ha comentado anteriormente, en este proyecto se va a utilizar la configuración tipo plug-in para el control repetitivo. Esto significa que el control C 1 (z) es distinto de cero, cuando es nulo estamos ante una configuración de repetitivo a secas. Tradicionalmente [1], [2], [4], el control C 1 (z) se selecciona como C 1 (z) = 1. La función del control C 1 (z) es la de asegurar la estabilidad del sistema en lazo cerrado y en mejorar la rapidez del sistema todo lo posible. Hay que tener que, como se comenta posteriormente en el apartado 3.7, habrá frecuencias a las que el control repetitivo no actúe, quedándose solo el C 1 (z) para controlar la planta P(z). En un sistema como el que se trata aquí y, debido al cero que aparece en la planta a frecuencia cero (epígrafe 2.2.4), el control C 1 (z) ha de ser un control proporcional, no puede haber ninguna integración en él. La planta no puede actuar en la componente continua, luego en el error, si la señal y[k] tiene componente

65 continua, el sistema no será capaz de corregirla, integrándose siempre en el control hasta que sature. 3.5 ESTABILIDAD La estabilidad del control repetitivo es un asunto delicado y muy importante. Muchos autores buscan criterios robustos para garantizar la estabilidad como Inoue [8]. El criterio que se va a utilizar en este proyecto es el mismo que ya ha sido utilizado por otros autores [1], [2], [3], [4] por su eficacia y simplicidad. En esta sección se explicará este criterio y se darán las condiciones que han de cumplirse para asegurar que el sistema sea estable ESTUDIO SOBRE ESTABILIDAD Prestando atención a la Figura 3.8, se pueden deducir las relaciones Ec. 3.8-Ec Ec. 3.8: E( z) R( z) Y( z) Ec. 3.9: Y( z) P( z) U( z) D( z) Ec. 3.1: U( z) E( z) C1 ( z) K G ( z) V( z) Ec. 3.11: V( z) H( z)( V( z) E( z)) Combinando las Ec. 3.8-Ec. 3.11, se obtiene la Ec. 3.12: x x Ec. 3.12: R( z) D( z) 1 H( z) E( z) 1 P( z) C1( z) 1 H( z)[1 KxGx( z) Gp( z)] donde G p (z) se define en la Ec Por tanto, la función de transferencia del error E(z) respecto a la referencia se muestra en la Ec. 3.14, donde definimos M 1 (z) y M 2 (z) en las Ec Ec Ec. 3.13: G p P( z) ( z) 1 P( z) C 1 ( z)

66 UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS Ec. 3.14: )] ( ) ( )[1 ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 z G z G K z H z H z C z P z R z E p x x Ec. 3.15: ) ( ) ( 1 1 ) ( 1 1 z C z P z M Ec. 3.16: )] ( ) ( )[1 ( 1 ) ( 1 ) 2( z G z G K z H z H z M p x x Para garantizar la estabilidad del sistema basta con asegurar que tanto M 1 (z) como M 2 (z) son estables. La estabilidad de M 1 (z) se consigue con el control C 1 (z). Si G p (z) es estable, algo que también se ha asegurado con el control C 1 (z) entonces, aplicando el teorema de la ganancia pequeña [1], [2], una condición suficiente para garantizar la estabilidad se da en la Ec Ec. 3.17: s rad t e z z G z G K z H s t j z M p x x s / y con 1 ) ( ) ( )[1 ( ) ( Llamando T(z)=1-K x G x (z)g p (z)=1-m(z) se tiene la Ec Ec. 3.18: 1 ) ( ) ( max z T z H Ec. 3.19: s t j t e z H s 1 ) ( Bajo la suposición de la Ec. 3.19, la condición suficiente de estabilidad se reduce a la Ec En la Figura 3.9 se muestra la región donde se cumple la condición de estabilidad dada por la Ec Ec. 3.2: 1 ) ( z T

67 Figura 3.9: Diagrama vectorial de la condición de estabilidad. Para que se cumpla la Ec. 3.19, además de que se cumpla Q(z) 1 y L(z) 1, que ya se sabe que si se cumple, se necesita asegurar la Ec Ec. 3.21: W ( z) 1 Para minimizar M(z), se sugiere seleccionar el compensador G x (z) como en ^ la Ec. 3.22, donde P ( z) es el modelo estimado de la planta y G p ( z) es el modelo de la planta en lazo cerrado y es un sistema de fase mínima. Para poder emplear ^ este criterio es necesario que G p ( z) no tenga ceros inestables (fuera del circulo unidad), porque si no G x (z) se convierte en un sistema inestable. También puede ^ ser recomendable, en el caso de que G p ( z) tenga ceros muy cercanos al círculo unidad tampoco utilizar este criterio, ya que significa que G x (z) puede estar cerca de convertirse en inestable. Un análisis aún más detallado sobre la estabilidad se puede encontrar en [1]. ^ Ec. 3.22: ^ 1 p G ( z) G x 1 P( z) C1( z) ( z) ^ P( z) ^ Para el caso que se menciona anteriormente, se resume aquí un criterio de selección expuesto por K. Zhou y D. Wang en [14] basado en H. L. Broberg y R. G. Moylet en [16]

68 Lo que se busca seleccionando G x (z) como en la Ec es que al multiplicarse por G p (z) su valor sea 1. Como se indica en [14], se escoge G x (z) tal como en la Ec. 3.23, donde: B(z -1 ) y A(z -1 ) son el numerador y el denominador de G p (z). B - (z -1 ) es la parte que no se puede cancelar (es decir, los ceros inestables) o que no se quiere cancelar (los ceros próximos a la inestabilidad) para conseguir un margen de estabilidad para Gx(z) y B - (z -1 ) es la parte cancelable. B - (z) se obtiene de B - (z -1 ) con z -1 reemplazado por z. b es un número escalar seleccionado tal que b [B -1 (1)] 2. n u es el número de ceros no cancelables y z -un hace realizable el filtro. Ec. 3.23: n z u 1 A( z ) B ( z) Gx ( z) 1 B ( z ) b CONCLUSIONES Si para alguna frecuencia se cumple Q(z)=, en ese caso el término M 2 (z)=1, cumpliéndose la Ec y asegurándose su estabilidad, por lo que la estabilidad viene determinada por el término M 1 (z). En el caso de cumplirse T(z)=1, es decir, que el modelo de la planta sea exacto, se podría elegir < K x < 2 para garantizar la estabilidad. Se recomienda el uso de < K x < 1 para dar cierto margen de estabilidad teniendo en cuenta los errores de modelado de la planta [1], [2]. Tampoco se recomienda usar valores de K x muy pequeños, ya que hacen muy lenta la respuesta en lazo cerrado, como se explica en [14]. En el caso de que la planta no esté correctamente estimada, es decir, G x (z), entonces G x (z)g p (z) 1 y el ajuste de K x podría no ser suficiente para garantizar la estabilidad, como se puede recordar de la Ec y se muestra en la Figura 3.9. En ese caso se diseña el filtro Q(z) como un filtro paso bajo (en el caso de estudio del presente proyecto tendrá que ser un

69 paso bando para evitar que el control actúe en la componente continúa, como se comentará más adelante) para disminuir o eliminar la acción del control repetitivo a frecuencias altas, donde la incertidumbre es mayor [1], cumpliéndose así la Ec PRECISIÓN En esta sección se estudia la precisión en régimen permanente del control repetitivo, analizando de dónde proceden los errores que surjan y se estudiarán herramientas que permitan evaluar su comportamiento en distintas circunstancias FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL ERROR RESPECTO A LA REFERENCIA Si se recuerda de la Ec. 3.14: G error 1 1 H( z) ( z) 1 P( z) C1 ( z) 1 H( z)[1 M( z)] G ( z) ep La función de transferencia del error se ha renombrado como G error (z), el primer término de la ecuación, G ep (z) se corresponde con la función de transferencia del sistema sin el control repetitivo. Y el segundo término, G rcp (z) se corresponde con el error que introduce el control repetitivo en el sistema. Si el modelo de la planta es perfecto y además se cumple que M(z)=1, entonces la función de transferencia del error introducido por el control repetitivo toma el valor G erc ( z) Ec. 3.24: G erc ( z) 1 H( z) Ec. 3.25: H( z) H( ) e j ( ) H - 5 -

70 Si se descompone H(z) en módulo y fase, como en la Ec. 3.25, se puede obtener la amplitud del error para diferentes valores de ω, como se ve en la Figura 3.1. Además, en la Figura 3.11 se muestra la interpretación gráfica del error que introduce el sistema. En ella se observa como el error del control repetitivo, y por lo tanto el del sistema de control, es nulo cada 36º, es decir, cada vez que estamos en alguna de las frecuencias armónicas, como se podía apreciar en los picos de resonancia de la Figura 3.3. Para ello es necesario, además, que H(z) tenga módulo unidad. Figura 3.1: Amplitud del error para distinta amplitud de frecuencias y desfases

71 Figura 3.11: Diagrama de Bode de un ejemplo del error introducido por el control repetitivo FUNCIÓN DE SENSIBILIDAD COMPLEMENTARIA La función de sensibilidad complementaria se utiliza en muchas referencias como [2] para estudiar el comportamiento del regulador repetitivo. Se define la función de sensibilidad complementaria como en la Ec. 3.26, expresión que coincide con el valor de G erc (z). Igual que anteriormente, si se supone que M(z)=1, la Ec se simplifica a la Ec Ec. 3.26: Ec. 3.27: M s 1 H( z) ( z) 1 H( z)(1 M ( z)) M s ( z) 1 H( z) La diferencia fundamental entre G erc (z) y M s (z) es la interpretación y forma de representación que se le dé. Si el valor de la función de sensibilidad a una frecuencia es cero, significa que la perturbación se rechaza completamente a esa frecuencia. Por el contrario, si ese valor es distinto de cero, significa que al entrar esa frecuencia al control este la aumenta tanto como valga el módulo de M s (z)

72 3.7 MÁXIMO ANCHO DE BANDA DEL CONTROL REPETITIVO En el caso más optimista, si se conoce con cierto grado de precisión la planta, es posible conseguir una buena compensación dinámica con el control repetitivo. Sin embargo, las incertidumbres de la planta, sobre todo a alta frecuencia pueden llegar a comprometer la condición de estabilidad tratada, como se ha comentado en la sección 3.5. En caso de que esto ocurra, es necesario eliminar la acción del control repetitivo. Esto se consigue con el filtro Q(z) incluido en el control. El ancho de banda del control repetitivo está asociado con la frecuencia de corte del filtro Q(z) teniendo en cuenta la Ec entonces, la frecuencia máxima de corte del filtro Q(z) se puede calcular como en la Ec. 3.28, donde ω CR es la pulsación que cumple con la condición de la Ec y t s es el tiempo de muestreo. Ec. 3.28: 1 M ( z e j t RC s ) 1 CR rad s t / s Originalmente [1], [2], el ancho de banda del control venia limitado tal como se acaba de describir,. Sin embargo, en el caso que se trata aquí, no solo hace falta limitar el ancho de banda por las incertidumbres de la planta, sino también porque, como ya se comentó en la sección 2.2.4, al tener nuestro sistema un cero en, por mucho que el sistema detecte que hay una componente de continua que tiene que eliminar, el transformador nunca dejará pasar la actuación del control que pretende eliminarla y, como ya se mencionó en la sección 3.2.1, el control repetitivo actúa como un integrador puro, pudiendo llegar a saturarse. Es por esta razón que en este proyecto el ancho de banda del control no empieza en la frecuencia cero, si no que tiene que empezar después de cero para evitar esta actuación del control repetitivo en caso de haber una componente de continua en la señal. Así mismo, es muy importante conseguir que vuelva a actuar antes de la frecuencia fundamental

73 3.8 DISEÑO DEL FILTRO Q(Z) La posición del filtro Q(z) se muestra en la Figura x(k) z -N Q(z) y(k) Figura 3.12: Posición del filtro Q(z) en el control repetitivo. Se va a tratar aquí la influencia del filtro Q(z) en la estabilidad y precisión del sistema. El módulo de Q(z) no afecta a la condición de estabilidad siempre que este sea menor que la unidad. La fase tampoco afecta a la estabilidad, pero puede hacer que disminuya la acción de compensación para las frecuencias de diseño INFLUENCIA DEL FILTRO Q(Z) EN EL ERROR DEL CONTROL REPETITIVO Se vuelve a recordar la Ec. 3.14, ya que es sobre la que se trabajará para averiguar la influencia que ejerce Q(z). G error ( z) 1 1 H ( z) 1 P( z) C1 ( z) 1 H ( z)[1 M ( z)] G ( z) ep G erc ( z) Como lo que se quiere tratar es la influencia del filtro Q(z), el término del error del sistema sin el control repetitivo no participa en el análisis, luego quedando sólo el segundo término y descomponiéndolo queda la Ec Si se supone que la planta está bien estimada (G x (z) = G p (z)), L(z) = 1 y W(z) = 1 y se utiliza la Ec. 3.4 para poner el término del retraso en función de las frecuencias, queda la Ec Ec. 3.29: G erc ( z) 1 1 Q( z) L( z) W ( z) Q( z) W ( z) L( z)[1 K G ( z) G x x p ( z)]

74 Ec. 3.3: G erc ( z) 1 1 Q( z) e Q( z) e j2 f fp j2 (1 f fp K x ) Lo que se quiere conseguir es anular el error que introduce el control repetitivo a las frecuencias armónicas, luego basta hacer que se anule el término del numerador a dichas frecuencias, entonces se tiene que cumplir la Ec j2 fp f Ec. 3.31: 1 Q( z) e En el caso que Q(z) = 1, entonces la Ec se cumple siempre que f / f p = k con k =, 1, 2, 3 y por lo tanto el error que introduce el repetitivo y el de todo el sistema es nulo. Si Q(z) no es perfecto, es decir, no es constante de módulo 1 y añade fase a alguna frecuencia, podemos modelar el filtro como una ganancia y un ángulo tal como en Ec. 3.32, donde A p es el módulo del filtro a la frecuencia de interés y γ p es el ángulo a dicha frecuencia. Ec. 3.32: Q ( f ) p A e p j p Si se sustituye la Ec en la Ec se tiene la Ec. 3.33, que para que se anule se tienen que cumplir las siguientes condiciones simultáneamente: Ec. 3.33: 1 A e p j2 p e j2 f fp 1 A e p j2 ( f fp p ) 1. El módulo de Q(z) a esa frecuencia tiene que ser Siempre que no se cumpla alguna de estas condiciones, el error que introduce el control repetitivo ya no será nulo y, por lo tanto, también habrá que tener en cuenta el error introducido por la planta. Que el modulo de Q(z) no sea uno en las frecuencias de interés es un problema, pero sólo afecta al módulo del error, no hace que los ceros cambien de frecuencia, eso sólo se consigue cambiando la fase. El mayor problema que se

75 puede encontrar es que el filtro Q(z) desplace los polos del control repetitivo de cómo se tenían en la Figura 3.3, que estaban situados en los armónicos de la frecuencia fundamental, a otras frecuencias no previstas. En el caso de que ocurriese esto, la nueva frecuencia a la que se situarían los polos se muestra en la Ec Ec. 3.34: f f p p k f ( k p ) f p ESTUDIO COMPARATIVO DE FILTROS Q(Z) En el diseño del filtro Q(z) existen múltiples opciones, siempre teniendo en cuenta las consideraciones del apartado para minimizar el error que se produzca. El diseño óptimo del filtro Q(z) sería según la Ec. 3.35, y teniendo fase lineal para todo el ancho de banda del control como en la Ec Ec. 3.35: Q( z) Q( z) 1 ci ci, cs cs Ec. 3.36: Q ( e j ) k ci cs De forma general, un filtro paso banda de fase lineal se puede escribir [1] como en la Ec. 3.37, donde ωt D es el retardo que introduce el filtro, y ω ci y ω cs son las pulsaciones de corte inferior y superior respectivamente. Para el control repetitivo, como se ha dicho anteriormente, este retardo debe ser cero. Ec. 3.37: Q( e j ) e j t D ci ci cs cs También puede utilizarse un filtro con un retardo de valor constante kωt s con k un número entero positivo para compensar un retraso estimado de la planta. Aunque este filtro no sea causal, no ofrece ningún problema para integrarlo en el control repetitivo, ya que se puede compensar quitando retrasos de W(z), siempre que el orden del filtro sea menor que el retraso que introduce el control repetitivo

76 Ec. 3.4, es decir, que la estructura final sea causal. En tiempo continuo, un filtro con las características de la Ec es fácilmente aproximable mediante un filtro de Bessel. Para diseñar un filtro paso banda se utiliza el esquema de la Figura 3.13, donde PA(z) y PB(z) son los filtros paso alto y paso bajo, respectivamente. x(k) PA(z) PB(z) y(k) Figura 3.13: Esquema de un filtro paso banda. En tiempo discreto, normalmente se tiende a utilizar un filtro FIR de fase cero, aunque también se pueden usar otras configuraciones. En [1], [2], [17] se proponen algunos filtros que se resumirán aquí junto con algún otro Filtro Binomial Es un filtro tipo FIR con retraso de fase nulo. En un caso general, este tipo de filtros no son realizables, pero, tal como se ha dicho en la sección 3.8.2, si se compensa quitando retrasos de W(z) se convierte en realizable. La estructura general de un filtro de este tipo se muestra en la Ec. 3.38, donde M es el orden del filtro. Idealmente, el filtro Q(z) debería tener una pendiente acentuada y una frecuencia de corte en función de las necesidades del diseñador. Con esta estructura, la pendiente depende del orden del filtro, aunque la fase es cero en todas las situaciones. El filtro resultante de la Ec es un filtro paso bajo que habrá convertir a paso banda. Ec. 3.38: ( z z M / 2 1) 2 M M En la Figura 3.14 se muestra el Bode de filtros binomiales con distinto orden y se aprecia como la pendiente cambia significativamente segú se incrementa el orden del filtro

77 Fase (deg) Amplitud (db) UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS -1-2 M=2 M=6 M=1 M= Frecuencia (Hz) Figura 3.14: Comparación de filtros binomiales con distinto orden Filtro Sinc Es un filtro tipo FIR con retraso de fase nulo. Los coeficientes del filtro se obtienen a partir de la respuesta impulsional, con expresión la de la Ec. 3.39, donde ω nyq es la pulsación de Nyquist, ω c es la pulsación de corte y k varía entre M y +M, que es el orden del filtro (que se escogerá del mismo orden que la binomial con el fin de poder comparar). c c c Ec. 3.39: sinc( k ) sinc( k ) nyq nyq Un inconveniente de diseñar los filtros mediante la respuesta impulsional es que se produce un rizado, ligeramente acusado, tanto en la banda pasante como en la banda de rechazo como se puede observar en la Figura Para evitar este rizado se aplica una ventana de pesos para alisar la respuesta en frecuencia [1]. La ventana para el alisado que se ha utilizado será la ventana de Hamming. c

78 Figura 3.15: Filtro FIR con M=25 con y sin ventana de filtrado. Otra manera de obtener los coeficientes del filtro es, mediante los coeficientes de la respuesta impulsional obtenidos en la Ec. 3.39, aplicarles una fórmula de optimización, como aparece en [17], obteniendo como resultado un filtro sin los rizados que se comentaban. Sin embargo, el coste computacional de la optimización es mayor y se obtienen parecidos resultados, luego aquí se usara el método de los coeficientes con la ventana de Hamming. En la Figura 3.16 se muestra un ejemplo del diagrama de Bode de un filtro paso banda de tipo sinc con frecuencias de corte 12,5 Hz y 2 khz y M = 2. En él se observa que el problema que aparece es que, la velocidad de la pendiente de subida del filtro es mucho menor que la de bajada y, como consecuencia de ello, en 5 Hz no consigue llegar tener módulo unidad

79 Fase (deg) Amplitud (abs) UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS Frecuencia (Hz) Figura 3.16: Filtro paso banda (12.5Hz-2kHz) sinc con ventana Hamming de orden Filtro tipo peine (Comb Filters) Se ha estudiado la posibilidad de diseñar un filtro que solo permita el paso de las frecuencias de interés: la componente fundamental y sus armónicos (hasta el que se quiera atender). Es, así mismo, un filtro tipo FIR, pero en esta ocasión no de fase nula. Un filtro de este tipo puede verse, en su forma más simple, como un filtro notch en el que los ceros ocurren periódicamente en su banda de paso. En la Figura 3.17 se muestra como sería la respuesta de este tipo de filtros, en verde la ideal y en rojo una plausible

80 Figura 3.17: Comb filter. Un problema de este tipo de filtros es que no tienen fase nula, sin embargo, si se conoce el desfase que aportan al sistema puede ser compensado como ya se ha comentado anteriormente. Una ventaja que tiene este tipo de filtros es que podría hacer la función del filtro Q(z) para la que originalmente se diseñó, y la del filtro L(z) que se explica más adelante en la sección 3.1. En [18] se pueden ver estos filtros con más detalle y algoritmos de diseño para ellos. El autor [17] intentó el diseño de este tipo de filtros mediante una fórmula de optimización, sin éxito Filtro tipo IIR A pesar de que la opción convencional sea la de diseñar el filtro Q(z) como un filtro tipo FIR de fase nula, también se puede plantear la opción de diseñarlo como un filtro tipo IIR que tenga un desfase. Aquí se mostrará una introducción de porque esto es posible. El mayor problema que se encuentra al diseñar los filtros Q(z), y que es de vital importancia que se haga bien, es que la pendiente de subida y bajada del filtro paso banda sea lo suficientemente rápida. Un filtro paso alto con estructura tipo IIR se puede diseñar según la Ec. 3.4 donde M es el orden del filtro. Ec. 3.4: ( z ) z M