1 Aplicaciones de Máximos y Mínimos

Transcripción

1 Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martínez Concha Facultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo Departamento de Matemática y CC Emilio Villalobos Marín 1 Aplicaciones de Máximos y Mínimos Aplicaciones al campo de la mecánica Sea! F : D! R 3 un campo de Fuerza de nido en ciento dominio D de R 3. Consideremos ahora una partícula de masa m que se mueve a lo largo de una trayectoria! r (t) bajo la acción de este campo de fuerza. La ecuación de movimiento de la partícula esta dada por la segunda ley de Newton:! F (! r (t)) = m! r " (t) () Si el campo vectorial! F es conservativo, esto es,! F = rv, entonces: 1 m k! r 0 (t)k + V (! r (t)) = c, donde c es una constante. El primer término se llama energía cinética y el segundo corresponde a la función potencial V: Si diferenciamos la expresión anterior usando la regla de la cadena: d 1 m k! r 0 (t)k + V (! r (t)) = m! r 0 (t)! r 00 (t) + rv (! r (t))! r 0 (t) = 0 h m! r 00 (t) + rv (! i r (t))! r 0 (t) = 0 () m! r 00 (t) + rv (! r (t)) = 0 Por tanto, m! r 00 (t) = rv (! r (t)) =! F (! r (t)) lo que demuestra la ecuación de Newton () : 1.0. De nición Un punto! r o D se llama posición de equilibrio si la fuerza en ese punto es cero:! F (! r o ) = 0:Un punto! r o que sea de equilibrio se llama estable si para todo > 0 y " > 0; podemos escoger números o > 0 y " o > 0 tales que un punto situado en cualquier lugar a una distancia menor que o de! r o ;después de recibir inicialmente energía cinética en una cantidad menor que " o, permanecerá para siempre a una distancia de! r o menor que y poseera energía cinética menor que ": Así, si tenemos una posición de equilibrio, la estabilidad en! r o signi ca que una partícula que se mueve lentamente cerca de! r o siempre permanecerá cerca de! r o y se mantendrá moviendose lentamente. Ahora, si tenemos un punto de equilibrio inestable! r o, entonces! r (t) =! r o resuelve la ecuación de Newton! F (! r (t)) = m! r " (t) ; pero las soluciones cercanas pueden alejarse de! r o conforme trascurra el tiempo. 1

2 1.0.3 Proposición 1 i) Los puntos críticos de un potencial son posiciones de equilibrio. ii) En un campo conservativo, un punto! r o en el cual el potencial alcance un mínimo local estricto, es una posición de equilibrio estable. Demostración 1) La primera a rmación es bastante obvia debido a la de nición de campo! conservativo: F = rv; los puntos de equilibrios! r o son exactamente los puntos críticos de V, en los cuales rv (! r o ) = 0 ) Para probar la a rmación ii), haremos uso de la ley de conservación de energía. Tenemos 1 m k! r 0 (t)k + V (! r (t)) = 1 m k! r 0 (0)k + V (! r (0)) Escojamos un pequeña vecindad de! r o ; y asumamos que la partícula tienen poca energía cinética. Conforme t crece, la partícula se aleja de! r o sobre una trayectoria! r (t) y V (! r (t)) crece pues V (! r (0)) es un mínimo estricto, de modo que la energía cinética debe decrecer. Si la energía cinetica inicial es su cientemente pequeña, entonces, para que la partícula escape de la vecindad de! r o ; fuera de la cual V ha crecido en una cantidad de nida, la energia cinetica tendria que volverse negativa, lo cual es imposible. Asi, la particula no puede escapar de la vecindad De nición Sea una partícula en un campo de potencial V restringido a mantenerse sobre la super cie de nivel S dada por la ecuación (x; y; z) = 0 con r 6= 0: Si en la ecuación de Newton! F (! r (t)) = m! r " (t) () ; reemplazamos! F con la componente de! F paralela a S, aseguramos que la partícula permanecerá en S: Proposición i) Si en un punto P sobre la super cie S el potencial V j S tiene un valor extremos, entonces el punto P es una posición de equilibrio sobre la super cie. ii) Si un punto P S es un mínimo local estricto del potencial Vj S, entonces el punto P es una posicion de equilibrio estable.

3 Ejemplo Sea el campo gravitacional cerca de la super cie de la tierra; esto es, sea! F = (0; 0; mg) donde g es la aceleración de gravedad. Determine la función potencial gravitacional y cuáles son las posiciones de equilibrio, si una partícula con masa m esta restrigida a la esfera g (x; y; z) = x + y + z r = 0; (r > 0)? Cuáles son estables?. Tenemos que F z = mg =) V (x; y; z) = Usando el método de los multiplicadores de Lagrange podemos localizar los extremos posibles, tenemos que: L (x; y; z; ) = V (x; y; z) + g (x; y; z) L (x; y; z; ) = mgz + x + y + z r L x (x; y; z; ) = x = 0 =) 6= 0 y x = 0 (1:0) L y (x; y; z; ) = y = 0 =) 6= 0 y y = 0 (:0) L z (x; y; z; ) = mg + z = 0 =) = mg y z 6= 0 (3:0) z L (x; y; z; ) = x + y + z r = 0 ( :0) Reemplazando (1:0); (:0); (3:0) en ( :0) z r = 0 =) z = r y = mg r Luego, se deduce que los puntos P 1 = (0; 0; r) y P = (0; 0; r) son posiciones de equilibrio Aplicaciones a la geometría Ejemplo Determine la distancia mínima desde el origen (0,0,0) a la super cie S del elipsoide x + y + z 9 = 1: Solución Sabemos que la distancia entre un punto P y el origen está dada por la función d(x; y; z) = p x + y + z : Sin embargo, por razones de simplicidad en los cálculos, en lugar de la función anterior vamos a considerar la función f(x; y; z) = x + y + z en atención a que f tendra un mínimo en un punto si y solo si d lo tiene. Se trata de obtener los extremos condicionados de la función distancia f(x; y; z) = x + y + z sujeta a la condición x + y + z 9 = 1: Formemos la función auxiliar de Lagrange F (x; y; z; ) = (x + y + z ) + (x + y + z 9 1) 3

4 y consideremos entonces el sistema. F x (x; y; z; ) = x + x = 0 F y (x; y; z; ) = y + 1 y = 0 F z (x; y; z; ) = z + 9 z = 0 F (x; y; z; ) = x + y + z 9 De las tres primeras ecuaciones obtenemos 1 = 0 x(1 + ) = 0 =) x = 0 ó = 1 y( + 1 ) = 0 =) y = 0 ó = z(1 + 1 ) = 0 =) z = 0 ó = 9 9 Sustituyendo y = z = 0 en la cuarta ecuación produce x 1 = 0 =) x = 1 : Reemplazando x = z = 0 en la cuarta ecuación produce y 1 = 0 =) y = Sustituyendo x = y = 0 en la cuarta ecuación produce z 9 1 = 0 =) z = 3 Luego, se obtienen seis puntos críticos P 0 = (1; 0; 0) ; P 1 = ( 1; 0; 0) ; P = (0; ; 0) ; P 3 = (0; ; 0) P = (0; 0; 3) ; P 5 = (0; 0; 3) : Evaluando la función en los puntos encontrados deberá haber un máximo y un mínimo f(1; 0; 0) = 1; f(0; ; 0) = ; f(0; 0; 3) = 9 Se tiene que el mínimo de f se encuentra en los puntos (1; 0; 0) y es igual 1. y el máximo está localizado en los puntos (0; 0; 3) y vale 9: Ejemplo Determine la distancia mínima y máxima del origen a la curva de interseccion del paraboloide x + y 7 + z = 0 y el plano x + y + z = 0: Solución.

5 Igual que el ejemplo anterior resulta mas conveniente hallar los extremos del cuadrado de la distancia respecto del origen en vez de la función distancia d (x; y; z) = p x + y + z Por consiguiente, se trata de obtener los extremos condicionados de la función distancia f(x; y; z) = x + y + z sujeta a las condiciones g(x; y; z) = x + y 7 + z = 0 y h(x; y; z) = x + y + z = 0 Formemos la función auxiliar de Lagrange F (x; y; z; 1 ; ) = (x + y + z ) + 1 x + y + z y consideremos entonces el sistema. F x (x; y; z; 1 ; ) = x(1 + 1 ) + = 0 (1) F y (x; y; z; 1 ; ) = y(1 + 1 ) + = 0 () F z (x; y; z; 1 ; ) = z = 0 (3) F 1 (x; y; z; 1 ; ) = x + y 7 + z = 0 () F (x; y; z; 1 ; ) = x + y + z = 0 (5) 7 + (x + y + z ) De las dos primeras ecuaciones se obtiene 1 = 1 ó y = x Consideremos primero el caso 1 = 1:A partir de (1) se obtiene = 0 : Sustituyendo estos valores en (3) z = 1 : Reemplazando z en () y (5), produce x + y 5 3 x + y = 0 = 0 Resolviendo el sistema se obtienen los puntos críticos P 0 = 1; 1 ; 1 1 ; P 1 = ; 1; 1 Al evaluar ambos r puntos en la función distancia, obtenemos d (x; y; z) = r 3 = Consideremos ahora y = x, a partir de las ecuaciones () y (5) se obtiene x + z 7 = 0 x + z = 0 Resolviendo el sistema se obtienen los puntos críticos P 3 = 1 p ; 1 p p! ; 1 ; 5

6 Al evaluar todos estos puntos en la función distancia, obtenemos p 1 d ; 1 p p! ; 1 = 1 p 9 p Como la curva de intersección del paraboloide y el plano es cerrada, las distancias máxima y minima absoluta del la curva al origen son: d max = 1 r p ; dm{n = p Ejemplo Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscrita en el elipsoide x a + y b + z = 1 con sus caras paralelas a los planos coordenados. c Solución. Sea P(x,x,z) el vértice de la caja que esta en el primer octante donde x > 0; y > 0; z > 0: Por la simetria del problema se desea maximizar la función volumen f(x; y; z) = 8xyz sujeta a la condición g(x; y; z) = x a + y b + z c 1 = 0 Formemos la función auxiliar de Lagrange x F (x; y; z; ) = 8xyz + a + y b + z c 1 y consideremos entonces el sistema. F x (x; y; z; ) = 8yz + a x = 0 (1) F y (x; y; z; ) = 8xz + b y = 0 () F z (x; y; z; ) = 8xy + c z = 0 (3) F (x; y; z; ) = x a + y b + z c 1 = 0 () Multiplicando las ecuaciones(1), ()y (3) por x; y; x respectivamente, produce Entonces, obtenemos 8xyz + a x = 0 (1:1) 8xyz + b y = 0 (:) 8xyz + c z = 0 (3:3) a x = b y = c z = 8xyz 6

7 Para obtener el volumen máximo se requiere que x; y; x 6= 0 y 6= 0 Concluimos entonces que x a = y b = z c Sustituyendo esta expresión en la ecuación (), obtenemos 3 x a 1 = 0 =) x = a p 3 Así, sucesivamente se tiene un único punto crítico ap P 0 = 3 ; b c p ; p 3 3 Por lo tanto, la caja tiene un volumen máximo dado por ap3 b c f max ; p ; p = p 3 abc Aplicaciones al campo de la economía Supongase que la producción de cierto producto de una compañía manufacturera es una cantidad Q, donde Q es una función de f(k; L) donde K es la cantidad de capital (o inversión) y L es la cantidad de trabajo realizado. Si el precio del trabajo es p, el precio del capital es q y la compañia no puede gastar más de B dólares, cómo podemos hallar la cantidad de capital y de trabajo que maximice la producción Q? Solución: Se esperaría que si se incrementa la cantidad de capital o de trabajo, entonces la producción deberá incrementarse; 0 También se esperaria que conforme se añada trabajo a una cantidad dada de capital, obtendremos menos productos adicionales por nuestro esfuerzo, esto < 0 De manera < 0 Con estas hipótesis sobre Q, es razonable esperar que las curvas de nivel de la producción- llamadas isocuantas- Q(K; L) = c;se vean como las esbozadas en la gura, con c 1 < c < c 3: 7

8 L B/p Q = c B/q K Podemos interpretar la convexidad de las isocuantas como sigue: si nos movemos hacia la derecha a lo largo de una isocuanta dada, se emplea más capital para reemplazar una unidad de trabajo y producir la misma cantidad. La restricción de presupuesto signi ca que debemos mantenernos dentro del triángulo acotado por los ejes y la recta pl+qk = B: Geometricamente, es claro que producimos más al gastar nuestro dinero de tal manera que seleccionemos la isocuanta que solamente toca, pero no cruza, la recta presupuesto. Como el punto máximo está en la frontera de nuestro dominio, aplicaremos el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el máximo. Para maximizar Q = f(k; L) sujeto a la restricción pl + qk = B; buscamos los puntos críticos de la función auxiliar Así queremos: H (K; L; ) = f (K; L) + (pl + qk B) H K (K; L; ) = f K (K; L) + q = 0 =) f K (K; L) = Q K (K; L) = q H L (K; L; ) = f L (K; L) + p = 0 =) f L (K; L) = Q L (K; L) = p H (K; L; ) = pl + qk B = 0 =) pl + qk B = 0 Con estas ecuaciones podemos encontrar los puntos críticos de la función Q: Luego, usando derivación implicita podemos determinar el punto donde se maximiza la producción. En el ejemplo anterior, representa algo interesante. Más adelante vamos a interpretar : Sean k = qk y l = pl, de modo que k es el valor en dólares del capital empleado, y l es el valor en dolares del trabajo empleado, entonces las ecuaciones se convierten en: H (k; l; ) = f (k; l) + (l + k B) H k (k; l; ) = f k (k; l) + = 0 =) f k (k; l) = Q k (k; l) = H l (k; l; ) = f l (k; l) + = 0 =) f l (k; l) = Q l (k; l) = H (k; l; ) = l + k B = 0 =) l + k B = 0 8

9 Comparando con las primeras dos ecuaciones del caso anterior se = = Así, en el punto óptimo de producción, el cambio marginal en la producción por dólar de inversión de capital adicional, es igual al cambio marginal de la producción por dólar de trabajo adicional, y es este valor común. En el punto óptimo, el intercambio de un dólar de capital por un dólar de trabajo no cambia la producción. Fuera del punto óptimo, la producción marginal es distinta, y un intercambio, o el otro, incrementan la producción. Ejemplo Suponga que la producción total de una compañia está dada por la función P = P (K; L) = K 1= L 1= donde K denota el número de unidades de capital usado y L es el número de unidades de trabajo usado. a) Suponga que cada unidad de capital K cuesta 1 millón de dólares y cada unidad de trabajo L cuesta 7 millones de dólares.considere el problema de maximizar la producción total P si el presupuesto total es de 10 millones de dólares. b) Suponga que el capital K aumenta en una razón de % por año, y el trabajo L aumenta en una razón de 5% por año. Determine la razón de crecimiento de la producción P por año. Solución: Tenemos que extremar P = P (K; L) = K 1= L 1= bajo la condición K + 7L 10 = 0 Sea la función auxiliar de Lagrange F (K; L:) = K 1= L 1= + (K + 7L 10) y consideremos entonces el sistema. F K (K; L:) = 1 K 3= L 1= + = 0 (1) F L (K; L:) = 1 K1= L 1= + 7 = 0 () F (K; L:) = K + 7L 10 = 0 (3) Multiplicando (1:0) por K y (:0) por L; produce: K 1= L 1= + K = 0 (1:1) K 1= L 1= + 1L = 0 (:1) Restando las últimas ecuaciones tenemos: K 1L = 0 9

10 Entonces (K 7L) = 0 =) = 0o (K 7L) = 0 Si = 0 nos quedamos sin restricion, luego 6= 0y(K 7L) = 0 =) K = 7 L Reemplazando el resultado anterior en (3:0) ;queda 7 0 L + 7L = 10 =) L = 1 entonces K = Asi, se tienen un único punto crítico en P 0 = 3 ; 0 : 1 10 Por tanto, la produccion maximizada será P 3 ; 0 1= 1= 10 0 = ii) Supongamos que K y L aumentan en una razón de % y 5%, respectivamente, por año dk dl = 0; 0K (1:0) = 0; 05L (:0) Usando la regla de la cadena sobre la función P (K; L) tenemos: dp + = 1 K 3= L Sustituyendo (1:0) y (:0) @t + 1 K1= (3:0) dp dp = 1 K 3= L 1= (0; 0K) + 1 K1= L 1= (0; 05L) 1 = K 1= L 1= 0; ; 05 Reemplazado en la expresion anterior P = K 1= L 1= dp Finamente, se tiene: = 0; 035P;lo que signi ca que la producción aumenta 3,5% por año. 10

11 Ejemplo Una compañia planea gastar dólares en publicidad. Cuesta dólares un minuto de publicidad en la televisión y dólares un minuto de publicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales en televisión e y minutos de comerciales en la radio, su ingreso, en miles de dólares, esta dado por f (x; y) = x y + xy + 8x + 3y: Como puede la empresa maximizar su ingreso invirtiendo en la publicidad? Solución: Se desea maximizar la función f (x; y) = x y + xy + 8x + 3y bajo la restricción g(x; y) = 3x + y 10 = 0: Consideremos la función auxiliar L (x; y; ) = x y + xy + 8x + 3y + (3x + y 10) Primero,apliquemos la condición necesaria de punto crítico rl (x; y; ) = 0: L x (x; y; ) = x + y = 0 (1) L y (x; y; ) = y + x + 3 = 0 () L (x; y; ) = 3x + y 10 = 0 (3) De la ecuaciones (1) y ()se obtiene y = 3 + x 8 (1:1) ; x = + y 3 (:1) Reemplazando (:1) en (1:1) queda: y = 3 + ( + y 3) 8 =) y = 7 + 8y 80 Luego, se tiene y = 0 7 (1:) Asi, (1:) en (:1) produce: x = 19 7 (:) Sustituyendo (1:) y (:) en (3:0), obtenemos: 1 = 0 =) = 1 : 73 Entonces (1:) y (:) nos da un único punto crítico P 0 = 8 ; Determinemos la naturaleza de este punto critico usando el criterios de la segunda derivada. Elhessiano para f (x; y) es 73 H 8 ; 69 = 9 f xx f xy f xy f yy = = 7 > 0 y f xx 8 ; 69 8 = < 0 11

12 73 Por lo tanto, la función es máxima en el punto P 0 = 8 ; Así, la empresa tendria que comprar minutos de comerciales en televisión y 69 minutos de comerciales en radio Problemas Propuestos de Aplicaciones 1.- Sea una partícula que se mueve en un campo de potencial en R dado por V (x; y) = 3x + xy + x + y + y + : Hallar los puntos de equilibrio estable si los hay. 1 Solución : Hay un único punto de equilibrio estable en ; 1.- Sea una partícula moviéndose en un campo de potencial en R dado por V (x; y) = x + xy y 8x 6y: Hallar todos los puntos de equilibrio. Cuáles, si los hay, son estable? Solución : Hay un único punto de equilibrio inestable en (; 1) : 3.- Sea una partícula restringida a moverse sobre la esfera x + y + z = 1; sujeta a fuerzas gravitacionales, asim como al potencial adicional V (x; y; z) = x + y:hallar los puntos de equilibrio estable, si los hay. Solución : Hay un único punto de equilibrio estable en + m g 1= ( 1; 1; mg).- Usando la información anterior, encuentre el punto óptimo para la función de producción Q (K; L) = AK L 1, donde A y son constantes positivas y 0 < < 1; que se usa para modelar la econonomía nacional. Q es, entonces, la producción agregada de la economía para una entrada de capital y trabajo dada. KQ Solución:En el óptimo: = pl Una compañia usa aluminio, hierro y magnesio para producir acccesorios de automóviles. La cantidad de accesorios que puede producir usando x toneladas de aluminio, y toneladas de hierro y z toneladas de magnesio es Q (x; y; z) = xyz: El costo de la materia prima es: aluminio 6 dólares por tonelada; hierro dólares por tonelada ; y magnesio 8 dolares por tonelada. Cuántas toneladas de aluminio, hierro y magnesio deberán usarse para manufacturar 1000 accesorios al menor costo posible? Solución: x = 0 3p p 3, y = ; z = 5 3p Una Pyme cuenta con dólares para importar dos tipos de bebidas energéticas. Si x son la unidades de bebidas energéticas que se importarán desde Holanda, y se estima que venderán 1x unidades de esta bebidas a un x + 6 precio de 00 dólares cada una. Si y son la unidades de bebidas energéticas que se importarán desde Alemania, estimandose que venderán y unidades, a un y + 3 precio de 00 dólares cada una.. 1

13 Si el costo por unidad vendida de cada bebida es de 50 dólares. a) Determine cuantas unidades de cada bebida energética deben importar para maximizar su utilidad. b) Determine la utilidad máxima. Solución:La función utilidad esta dada por la diferencia entre el precio de venta de las bebidas y el costo de importación a) 78; 5 bebidas Holandesas y 81; 5 bebidas Alemanas. b) Utilidad U(78; 5; 81; 5) = 51; 7 dólares. 7.- La función de producción de una compañía es Q (x; y) = xy: El costo de producción es C (x; y) = x + 3y:Si esta compañía puede gastar C (x; y) = 10; cuál es la máxima cantidad que puede producir? Solución: P 5 ; 5 =