17.- PARABRISAS RESOLUCIÓN

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1 17.- PARABRISAS La sección de control de calidad de una fábrica de parabrisas elige, aleatoriamente, una muestra de 100 parabrisas producidos por una determinada máquina y registra la longitud de los parabrisas seleccionados. En la siguiente tabla, están indicados los datos, agrupados, de las longitudes de los parabrisas de la muestra, a la izquierda del correspondiente histograma. Calcula un valor aproximado para la media de longitudes de los parabrisas de la muestra seleccionada. En los cálculos intermedios, utiliza dos cifras decimales, presentando el resultado final redondeado a las décimas. RESOLUCIÓN En el menú Estadística, introducimos en la lista1 las marcas de clase y en la lista2 la frecuencia absoluta. Para obtener una lista con los valores de los parámetros estadísticos, seleccionamos el comando Calc / Una variable, obteniendo las siguientes pantallas: Observamos que la media es aproximadamente 5.5 cm.

2 18.- ANALGÉSICO Se sabe que la concentración C, en miligramos por litro, de un analgésico en la circulación C(t) = 10 e t e 2t. sanguínea, t horas después de su ingestión, está dada por: ( ) 1) Cuál es la concentración, aproximada, de analgésico una hora y treinta minutos después de su ingestión? Presenta el resultado redondeando a las centésimas. 2) Se sabe que el analgésico tiene el efecto deseado cuando su concentración es superior a 0,5 miligramos por litro. Suponemos que el analgésico fue ingerido a las 9 horas. Utilizando la calculadora gráfica, indica una aproximación del intervalo en que se produce el efecto deseado. Presenta los resultados en horas y minutos, con los minutos redondeados en unidades. RESOLUCIÓN 1) Pretendemos saber la ordenada cuya abcisa es 1.5 (corresponde a 1 hora y 30 minutos) Vamos a escribir la expresión en el editor de funciones (menú Gráficos y tablas) y a diseñar el gráfico utilizando la siguiente ventana de visualización. Para calcular la ordenada que corresponde a X=1.5, seleccionamos el comando Análisis / Resolución gráfica / CalY

3 La concentración es, aproximadamente, de 1,73 miligramos por litro. 2) En esta pregunta vamos a ver durante cuánto tiempo es superior a 0,5 miligramos por litro, o sea, vamos a resolver la siguiente inecuación: 10 ( e t e 2t ) > 0. 5 En el editor de funciones (menú Gráficos y tablas) escribimos en Y1 el primer miembro de la inecuación y en Y2 el segundo miembro de la inecuación. Utilizamos la misma ventana de visualización que en el ejercicio anterior. El resultado de la inecuación se encuentra en el intervalo entre las dos intersecciones. Para calcular los puntos de intersección usamos el comando Análisis / Resolución gráfica / Intersección, obteniendo el siguiente resultado. El primer punto tiene de coordenadas (0,05; 0,5) y el segundo punto tiene de coordenadas (2,94; 0,5). Así, el medicamento comienza a hacer efecto 0,05x60=3 minutos después de ser tomado y deja de hacer efecto 2,94 horas después de ser tomado, o sea, 2 h y 56 minutos (2 horas y 0,95x60=56) El medicamento fue tomado a las 9h 00 m, luego comenzará a hacer efecto a las 9h y 3m y dejará de hacer efecto a las 11 h y 58 m. La duración del efecto del medicamento es de 2,89 h oras (2, =2,89), o sea, 2 horas y 53 minutos (0.89x60=53.4)

4 19.- SALARIO MENSUAL La evolución de la masa salarial de un conjunto de trabajadores se puede explicar a veces por medio de modelos matemáticos. En una empresa dada se hace un estudio comparativo de la evolución de los salarios (en euros) de dos trabajadores A y B, entre 1998 y Sobre el trabajador A, el valor del salario mensual en cada año en el período comprendido entre 1998 y 2006, está representado en la siguiente tabla y en el diagrama de dispersión. Sobre el trabajador B se sabe que, en 1998, recibía mensualmente 652 euros y que, en los años siguientes, referentes al período en estudio, el valor de su salario mensual puede ser obtenido a través del modelo: v n 1 n = 652 1, La variable n está asociada a los años relativos al período en estudio, concretamente, n=1 corresponde a 1998, n=2 corresponde a 1999, etc. Utilizando la calculadora, indica un valor aproximado del coeficiente de correlación lineal entre las variables descritas en la tabla (años / salario), referente al trabajador A. Presenta el resultado con dos cifras decimales. Interpreta ese valor, teniendo en cuenta el diagrama de dispersión correspondiente.

5 RESOLUCIÓN Introducimos las dos columnas en dos listas del menú Estadística Consideramos el año 1998 como año 1 y así sucesivamente. Los años se introducen en la lista1 y los salarios en la lista2. Para calcular directamente la recta de regresión, basta seleccionar el comando Calc / Regresión lineal El resultado indica que la recta de regresión es Y=aX+b, siendo a=16.7 y b=883.4, es decir, Y=16.7 X + 883,4, con un coeficiente de correlación r=0.9898, correlación positiva fuerte. Utilizando el método gráfico, una vez introducidos los datos en las listas, seleccionamos el comando ConfGraf / Opciones y modificamos los parámetros de visualización del gráfico de dispersión.

6 En el gráfico de dispersión se muestra la recta de regresión, cuya ecuación aparece en el cuadro de mensajes, cuando se activa el cursor de recorrido. El coeficiente de correlación es de 0,99, verificándose una correlación positiva fuerte entre la variación de los años y el correspondiente aumento de salarios.

7 20.- VENTA DE BILLETES Un campo de futbol debe tener una bancada destinada a los socios, que tenga cabida para 4000 espectadores. Si por cada billete se piden 10 euros, se prevé que las entradas de esas localidades queden agotadas. Basándose en experiencias anteriores, se sabe que si el precio de cada billete aumenta un cierto porcentaje, x, sobre el valor base (10 euros), el número de espectadores baja la mitad de ese porcentaje. Por ejemplo, si el precio de los billetes aumenta un 10%, x=0,1, el número de espectadores sufre un descenso del 5%.. Suponiendo cierto el modelo anterior y considerando siempre un aumento porcentual, x, sobre el precio base (10 euros), responde las siguientes cuestiones: 1) Demuestra que, si x es el aumento porcentual del precio de cada billete para estas localidades, la rentabilidad por la venta de billetes R, está dada por: Ten en cuenta que: R(x) = x x , con 0 x 2 El precio de cada billete, p, en función del aumento porcentual, x, está dado por p(x)=10(1+x) El número de espectadores, n, en función del aumento porcentual, x, está dado por n(x)= x. 2) Uno de los directivos del club sugiere que el precio de cada billete sea de 20 euros, para ser maximizadas las ganancias. Pero un segundo directivo se opone, diciendo que lo ideal es mantener el precio de cada billete en 10 euros. En un pequeño texto, comenta el argumento de cada uno de los directivos del club, teniendo en cuenta el objetivo de maximizar las ganancias. Debes incluir en la respuesta: El valor del porcentaje, x, que la dirección del club debe aplicar sobre el precio base (10 euros), para que se maximicen las ganancias y el respectivo valor de las ganancias (en caso de discrepar de la opinión de cada uno de los dos directivos) Un argumento, fundamentado, referente a la propuesta de cada uno de los dos directivos, diciendo si se está o no de acuerdo. Todos los elementos obtenidos en la utilización de la calculadora gráfica que se consideren relevantes en la respuesta. RESOLUCIÓN 2) Para saber cuál es el valor del porcentaje x que la dirección debe aplicar para conseguir maximizar los ingresos por billetes, debemos hallar el máximo de la función. De esta forma, introducimos la expresión en el editor de funciones. La ventana de visualización debe tener la siguiente configuración

8 Con el gráfico diseñado, vamos a calcular el máximo, usando el comando Análisis / Resolución gráfica / Max. Así podemos verificar que para maximizar el valor de los ingresos por billetes se debe aumentar el precio del billete en un 50%, obteniéndose un ingreso de euros. Uno de los directores sugiere que el precio del billete pase a ser 20, o sea, tenga un aumento de 100% (x=1). Si pedimos a la calculadora el valor de la ordenada cuya abcisa es 1, verificamos que en esta situación el ingreso obtenido es de (Hay que elegir el comando Análisis / Resolución gráfica / CalY, dando a X el valor 1)

9 El otro director sugiere que se mantenga el precio del billete en 10 euros, o sea, que no haya aumentos (X=0). En este caso, al pedir la ordenada del punto cuya abcisa es 0, verificamos que el ingreso obtenido es de (Hay que elegir el comando Análisis / Resolución gráfica / CalY, dando a X el valor 0) Las propuestas de los dos directores son equivalentes. Ninguna de las dos propuestas maximiza el ingreso por la venta de billetes.

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