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1 Benemérita Universidad Autónoma de Pueba Facutad de Ciencias Fisico-Matemáticas Vauación de Opciones Barreras Dobes Bajo e Método de Transformadas Tesis presentada a Coegio de Matemáticas como requisito parcia para a obtención de grado de Licenciado en Matemáticas Apicadas por C. Fiorea Aguiar Saavedra asesorada por Dr.Francisco Soano Tajonar Sanabria Pueba Pue. Mayo de 2011

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3 Benemérita Universidad Autónoma de Pueba Facutad de Ciencias Fisico-Matemáticas Vauación de Opciones Barreras Dobes Bajo e Método de Transformadas Tesis presentada a Coegio de Matemáticas como requisito parcia para a obtención de grado de Licenciado en Matemáticas Apicadas por C. Fiorea Aguiar Saavedra asesorada por Dr.Francisco Soano Tajonar Sanabria Pueba Pue. Mayo de 2011 i

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5 Dedicatoria Para mi querida famiia por su apoyo constante en os momentos buenos y maos, en especia para as tres mujeres que más quiero y admiro Emma Saavedra Veázquez Nohemí Aguiar Saavedra María Veázquez Lorenzo. Sin ovidar a os que me vieron emprender este viaje y que desgraciadamente ya no estan conmigo. i

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7 No estudio para saber más, sino para ignorar menos Sor Juana Inés de a Cruz iii

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9 Agradecimientos Gracias a Dios por cada rayo de uz que iumina mi camino permitiendome egar hasta este momento y cumpir con una meta más. Cuminar con esta etapa en mi vida da ugar a reconocer e esfuerzo de mis padres por formar a una hija, una mujer y ahora una profesiona. No es e ogro de una sóa persona, ustedes siempre estuvieron junto a mí. Lena de gratitud dedico unas paabras a mi madre esperando recompensen un poco e amor, a paciencia y os consejos que me da día a día, gracias por e apoyo incondiciona. A mi compañera de juegos, desveos y aventuras, por ser siempre mi sostén te doy gracias hermanita. Agradezco a os profesores que han contribuido en mi formación, en especia a mi tutora a Dra. Lidia Hernández que ha tenido a tarea de guiarnos durante nuestra estancia en a facutad, a Dr. Agustín Contreras en quién me apoyé más de una vez cuando as dudas me invadían y a mi director de tesis Dr. Francisco Tajonar por a enseñanza, e tiempo y amistad brindada. La estancia en a universidad no sóo me deja una formación académica, también una formación persona en a que intervinieron mis compañeros y amigos. La carrera que decidí estudiar requería de esfuerzo y discipina, pero con un amigo junto siempre fué más fáci, gracias chicos, me quedo con un poco de cada uno de ustedes. v

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11 Índice genera Introducción 1 1. Preeiminares Procesos Estocásticos y Cácuo Estocástico Procesos Estocásticos Fitración Martingaas Movimiento Browniano Proceso de Wiener Movimiento Browniano Geométrico Cácuo Estocástico Integra de Itô Regas Básicas de Diferenciación Estocástica Lema de Itô Opciones Qué es una Opción? Tipos de Opciones Modeo de Back-Schoes E Precio de un Activo como una Ecuación Diferencia Estocástica Dinámica de Precio de Subyacente Modeo de Back-Schoes Dinámica de Precio de a Opción De a ecuación de Back- Schoes a a Ecuación de Caor Función de Densidad Condiciona de Precio de un Activo Ecuación Backward (Hacia Atrás) Funciones de Densidad Función de Densidad de Transición Densidades de as Barreras Derivación de g Derivación de g Fórmuas de Vauación Rebaja a Acance Dobe knock-out en su Versión Ca vii

12 ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL Concusiones 41 Bibiografía 43 viii

13 Introducción En e marco ofrecido por e mundo de as finanzas, a matemática juega un pape de suma importancia, su tarea es construir modeos matemáticos de os procesos que se presentan en os mercados financieros. Uno de eos es conocer e comportamiento de precio de activo subyacente, es justo aquí donde comienza nuestra tarea. Las fórmuas de vauación de precios se han desarroado con e paso de os años. La primera fórmua de vauación de un contrato de opción fue una contribución de Louis Bacheier [1]. Sin embargo, su trabajo tenía imitaciones pues os precios de os activos podían tomar vaores negativos. Para e año de 1965, Pau Samueson [18], introduce e concepto de o que hoy se conoce como movimiento Browniano geométrico, este garantiza que un activo no tenga un precio negativo. Años más tarde (1973), Back y Schoes [2] obtienen una fórmua para vauar una opción europea sobre una acción que no paga dividendos. Merton [13], por su parte tuvo resutados simiares, pero su trabajo era aún más extenso, incuyendo a vauación de opciones con barrera. En e mercado de derivados, uno de os más usados usado y conocidos son precisamente as opciones barrera. Una de as razones por a cuaes as opciones barrera son muy popuares, se debe a hecho de ser más baratas que as opciones estándar, además ofrecen un tipo de protección simiar a as estándar. Una extensión natura de opciones con una barrera,es considerar as opciones barreras dobes, estas útimas son opciones que tienen una barrera por encima y por debajo de precio de bien subyacente, y a opción deja de tener vaor dentro y fuera, tan pronto como una de as dos barreras es acanzada. Aún cuando as opciones barrera dobe de tipo knock-out en su versión ca y put ya han sido anaizadas ver Kunitomo e Ikeda (1992) [11] y Geman y Yor(1996) [16], nuestro objetivo es encontrar fórmuas de vauación para opciones barrera dobe de tipo knock-out en su versión ca, as cuaes tienen una rebaja a acance de aguna de as barreras y aqueas que no tocan ninguna barrera durante e tiempo de madurez. Partiendo de modeo de Back-Schoes, se resueve a ecuación backward a través de método de separación de variabes con e fin de haar a función de densidad que permite vauar opciones barreras dobes de tipo knock-out, que se anuan tan pronto una de as barreras se acanza. Para e caso de as opciones que ofrecen un pago distinto de cero tan pronto se toca una de sus barreras, se encuentra a función de densidad de acanzar a barrera superior partiendo de a ecuación backward; considerando a transformada de Lapace, se ogra reducir a ecuación diferencia parcia a una ecuación diferencia ordinaria de segundo orden. Para encontrar a soución de dicha ecuación es necesario invertir 1

14 ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL a transformada de Lapace, en diversos artícuos se han utizado métodos numéricos para aproximar a inversa de a transformada de Lapace, e presente trabajo pretende encontrara convirtiendo a integra de ínea en una integra de contorno, o cuá permitirá encontrar expresiones cerradas para a vauación de opciones. Finamente, para determinar e vaor de a integra de contorno haada, se utiiza e Teorema de os Residuos de Cauchy. De manera simiar, se encuentra a función de densidad de acanzar a barrera inferior. Lo anterior nos permite obtener fórmuas de vauación para opciones ca dobe barrera de tipo knock-out, sin embargo, sóo nos centraremos en aqueas que ofrecen un reemboso a acance de una de sus barreras y en aqueas que sobreviven hasta e tiempo de madurez. La estrucutura de a tesis es a siguiente: E capítuo 1, expone as bases para e desarroo de trabajo. Primero se revisan conceptos de cácuo estocástico, uego se define e concepto de opción y se concuye con un anáisis de a fórmua de vauación de Back y Schoes. En e capítuo 3, se obtienen as funciones de densidad de transición y as densidades de barrera. E capítuo 4, exhibe as expresiones anaíticas encontradas para vauar as opciones ca barreras dobes de tipo knock-out. Finamente en e capítuo 5, se presentan as concusiones obtenidas a través de desarroo de a tesis. 2

15 Capítuo 1 Preeiminares En este capítuo se presentan en primer ugar as bases necesarias para e desarroo de trabajo de tesis. La teoría de procesos estocásticos es indispensabe para modear a dinámica de as variabes financieras, se hace énfasis en e concepto de movimiento Browniano geométrico pues es a base para construir un modeo que describa e precio de os activos y se observa a diferencia entre e cácuo diferencia y e cácuo estocástico. Una vez revisados os conocimientos matemáticos primordiaes para a ectura de éste trabajo, nuestra tarea es exponer conceptos financieros, se dá a definición de opción, una casificación genera y describimos os tipos de opciones que son utiizados frecuentemente en e mercado de derivados. Finamente, se hace un breve anáisis de a fórmua de Back y Schoes para a vauación de opciones Procesos Estocásticos y Cácuo Estocástico Procesos Estocásticos Considere un sistema que puede caracterizarse por estar en cuaquiera de un conjunto de estados previamente especificado. Suponga que e sistema evouciona o cambia de un estado a otro a o argo de tiempo de acuerdo a una cierta ey de movimiento, y sea X t e estado de sistema a tiempo t. Si se considera que a forma en que e sistema evouciona no es determinista sino provocada por agún mecanismo a azar, se puede considerar entonces que X t es una variabe aeatoria para cada vaor de índice t. Esta coección de variabes aeatorias define a un proceso estocástico, y sirve como modeo para representar a evoución aeatoria de un sistema a o argo de tiempo. La definición de proceso estocástico, puede enunciarse de a siguiente forma: Definición Un proceso estocástico es una coección de variabes aeatorias {X t : t T } parametrizada por un conjunto T, amado espacio parametra, y con vaores en un conjunto S amado espacio de estados. Observación Se toma como espacio parametra a conjunto T = {0, 1, 2,..... } o T = [0, ), os eementos de T se interpretan como tiempos. En e primer caso se dice que e proceso es a tiempo discreto, y en genera este tipo de procesos se denota por 3

16 CAPÍTULO 1. PREELIMINARES 1.1. PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y CÁLCULO ESTOCÁSTICO {X n : n = 0, 1,...}, mientras que en e segundo caso e proceso es a tiempo continuo, y se denota por {X t : t 0} [17].. Observación Cada X t, está definido sobre un espacio medibe (Ω, F) y toma vaores en otro espacio de medida (R, B(R)), en donde B(R) es a σ-ágebra de Bore sobre R (a σ-ágebra de Bore es a mínima σ-ágebra que contiene a todos os intervaos de a forma (, x], con x R). Observación Sean (Ω, F, P ) un espacio de probabiidad, es decir, Ω es un espacio muestra, F una σ-ágebra sobre Ω y P : F [0, 1] es una medida de probabiidad, T un intervao de tiempo (T = [0, )). Un proceso estocástico (de dimensión 1) es un mapeo X : Ω T R, ta que para cada t T a función X t : ω X(ω, t) X t (ω) : Ω R, satisface que Xt 1 ((, x]) F para toda x R, es decir, X t es una función F -medibe. Observación Si X t es un proceso estocástico, entonces para cada ω Ω a función t X(ω, t), es amada una trayectoria de proceso. Observación Un proceso es continuo si cada trayectoria es continua en cada punto de T. En genera un proceso estocástico sirve como modeo para representar a evoución aeatoria de un sistema a o argo de tiempo, por o tanto, es úti para describir e comportamiento de as variabes aeatorias en e tiempo Fitración Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabiidad para modear cierto experimento aeatorio. La σ-ágebra F es a estructura que agrupa a os eventos de experimento aeatorio a os cuaes se es puede cacuar su probabiidad. Suponga ahora que se consideran dos sub σ-ágebras F 1 y F 2 taes que F 1 F 2 F, entonces F 2 contiene más información que F 1, en e sentido de que un mayor número de conjuntos son considerados como eventos. Podemos definir una fitración como sigue: Definición Una fitración es una famiia F = (F t ) t T de σ-ágebras taes que F t F para toda t T. La famiia F es creciente en e sentido de que F s F t cuando s, t T y s t. Se puede ver a una fitración como una estructura de información dinámica. La interpretación es que representa a información disponibe en función de tiempo. Definición La fitración natura o canónica de un proceso X n es a sucesión de σ-ágebras definidas por F n = {X 1,..., X n }, n 1. 4

17 CAPÍTULO 1. PREELIMINARES 1.1. PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y CÁLCULO ESTOCÁSTICO Nótese que se puede adaptar un proceso estocástico a una fitración, a definición se da a continuación. Definición Se dice que un proceso X es adaptado a una fitración F = (F t ) t T si a variabe X t es F t -medibe, para todo t Martingaas E concepto de martingaa desempeña un pape esencia en e modeado de os mercados financieros y en a vauación teórica de muchos instrumentos financieros. Podemos definir una martingaa a tiempo discreto como sigue: Definición (Martingaa a tiempo discreto). E proceso estocástico X = (X n, n = 0, 1,..., ) es amado una martingaa a tiempo discreto con respecto a a fitración (F n, n = 0, 1,..., ), denotada por (X, (F n )), si E X n <, para toda n = 0, 1,.., X es adaptado a (F n ), E(X n+1 F n ) = X n, para todo n = 0, 1,.... Por otro ado, a tiempo continuo se tiene, Definición (Martingaa a tiempo continuo). E proceso estocástico X = (X t, t 0) es amado una martingaa a tiempo continuo con respecto a a fitración (F t, t 0), denotada por (X, (F t )), si E X t <, para toda t 0, X es adaptado a (F t ) t T, E(X t F s ) = X s, para todo 0 s < t Movimiento Browniano En 1828, e botánico Robert Brown [3] reportó en una revista científica que granos de poen suspendidos en una cierta sustancia y vistos a través de un microscopio, reaizaban un movimiento irreguar e inexpicabe, a cua se e conoce hoy en día como movimiento Browniano. E extraño movimiento fué objeto de discusión y controversia a partir de su divugación a a comunidad científica. Para dar una expicación satisfactoria de dicho fenómeno tomó años, pues debió aceptarse a teoría cinético moecuar de a materia y e trabajo de Einstein de 1905 [7]. Sin embargo, en 1900, Luis Bacheier en su tesis Theorie de a spécuation, a cua trata sobre e modeado de comportamiento aeatorio de os precios correpondientes a as acciones en a bosa de París, se anticipó a Einstein con a formuación matemática de movimiento Browniano, abordando un probema distinto a de a mecánica estadística o a de movimiento errático de partícuas de poen. Para e desarroo de trabajo, es necesario definir a continuación e concepto de movimiento Browniano. 5

18 CAPÍTULO 1. PREELIMINARES 1.2. PROCESO DE WIENER Definición Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabiidad fijo, e movimiento Browniano (estándar y unidimensiona) es una función ta que para cada t 0, a función W : [0, ) Ω R, W (t,.) : Ω R, es una variabe aeatoria definida en (Ω, F), a famiia de variabes aeatorias W (t, ), se denotará como {W t } t 0. Mientras que para cada ω Ω a función W (., ω) : Ω R, es continua en [0, ), as funciones W (., ω) son amadas trayectorias y se denotan por ω(t). La famiia {W t } t 0 satisface adicionamente as siguientes condiciones: 1. E proceso empieza en t = 0 con probabiidad 1, es decir, P {ω Ω W 0 (ω) = 0} = Para cuaquier conjunto de tiempos 0 t 1 t 2 t n, os incrementos W t1 W t0, W t2 W t1,..., W tn W tn 1 son independientes. 3. Para cuaesquiera tiempos t y s con 0 s < t, W t W s N (0, t s). 4. W t es una función continua en t Proceso de Wiener Las condiciones que aparecen en a definición de movimiento Browniano son consecuencia de as observaciones de fenómeno físico, pero no garantiza que ta objeto matemático exista. En 1923, e matemático Norbert Wiener (para mayores detaes consutar [19], de origen norteamericano, demostró a existencia y unicidad de un proceso con taes condiciones. Una primera diferencia entre e proceso de Wiener y e movimiento es que e primero considera una fitración F y e segundo no. Es decir, e movimiento Browniano es independiente de concepto de fitración. La segunda diferencia que se observa es a ausencia de requerimiento de incrementos independientes en e proceso de Wiener [19]. Definición Un proceso estocástico W t es un proceso de Wiener reativo a a fitración F si cumpe as siguientes condiciones: P {ωϵω W 0 (ω) = 0} = 1, W t es continuo en t, W t es adaptado a F, Si 0 s < t, entonces W t W s es independiente de F y W t W s N (0, t s). 6

19 1.3. Movimiento Browniano Geométrico CAPÍTULO 1. PREELIMINARES 1.3. MOVIMIENTO BROWNIANO GEOMÉTRICO En 1900, Bacheier en su tesis Theorie de a spécuation describió os precios de as acciones de a bosa de París por medio de movimiento Browniano, sin embargo, os precios de os activos no pueden ser descritos por e movimieno Browniano estándar, ya que os precios no parten de cero [19]. En 1973, Back-Shoes [2] y Merton [12] sugirieron otro proceso estocástico como un modeo para especuar precios. E movimiento Browniano geométrico se obtiene mediante una transformación exponencia de movimiento Browniano estándar. Específicamente, si W t es un movimiento Browniano estándar, µ es una constante (tendencia), σ es una constante positiva (voatiidad) y S 0 es e precio inicia conocido, entonces e proceso S t = S 0 e {(µ 1 2 σ2 )t+σw t}, es amado movimiento Browniano geométrico. Este proceso se utiiza para describir e cambio porcentua de precio de un activo. Note que n(s t ) = n(s 0 ) + (µ 1 2 σ2 )t + σw t. Por o tanto, a distribución de n(s t ) es norma con E[n(S t )] = n(s 0 ) + (µ 1 2 σ2 )t, V ar[n(s t )] = σ 2 t Cácuo Estocástico E cácuo estocástico o cácuo de Itô es una de as herramientas más úties en a matemática financiera moderna, sobre a cua descansa prácticamente toda a teoría económica. En términos estrictos, e objeto de estudio de cácuo estocástico es a integra y no a diferencia. Cuando se escribe una ecuación diferencia estocástica, se está pensando en una integra estocástica, así pues, una ecuación diferencia estocástica es una notación simpificada de una integra estocástica [19] Integra de Itô La integra estocástica o integra de Itô, denotada como, es e proceso estocástico ta que V t t 0 f(s)dw s, (1.1) [ n ] 2 ím E f(t i 1 )(W ti W ti 1 ) V t = 0 (1.2) n i=1 donde (W t ) t 0 es un movimiento Browniano estándar y 0 = t 0 < t 1 < t 2 < < t n = t es una partición de intervao [0, t], ta que t i t i 1 = t n, i = 1, 2,..., n. La convergencia 7

20 CAPÍTULO 1. PREELIMINARES 1.3. MOVIMIENTO BROWNIANO GEOMÉTRICO es en media cuadrática, es decir, en L 2 t (Ω, F, P ), en genera a convergencia en media q se define a continuación. Definición (Convergencia en L q ). Sea X nn N una sucesión de variabes aeatorias definidas sobre agún espacio fijo de probabiidad (Ω, F, P ) taes que E [ X n q ] < y cuando n. E [ X n X q ] 0 Es sumamente importante enfatizar que e integrando, f(s), e cua puede ser determinista o estocástico, está evauado en e extremo izquierdo de intervao [t i 1, t i ]. Esta eección es natura en finanzas, ya que se asegura que e futuro no interviene en as acciones presentes. La definición de integra estocástica requiere que a función f(s), se vaúe siempre en t i 1. Cuando f(s) = g(w s ), se supondrá que e vaor de f(s) depende sóo de os vaores pasados de W u, u s. Así mismo, se supondrá que 1. t 0 f(s)2 ds <, casi donde quiera, 2. t 0 E [ f 2 (s) ] ds <. La condición 1) garantiza que a integra de Itô, t 0 f(s)dw s, esté bien definida y a condición 2) asegura que a varianza de t 0 f(s)dw s, se mantenga finita. La integra de Itô cumpe as siguientes propiedades: Lineaidad: Si f y g son funciones taes que sus integraes de Itô existen y α, β R, entonces, t 0 (αf(s) + βg(s)) dw s = α t 0 f(s)dw s + β t 0 g(s)dw s. Isometría: Si f es una función ta que a integra de Itô existe, entonces [ ] t [ t ] t E ( f(s)dw s )2 = E f(s) 2 ds = E [ f(s) 2] ds Propiedad de Martingaa: Si f es una función ta que a integra de Itô existe, entonces siempre que 0 < u < t. [ t ] E f(s)dw s F u = 0 u 0 f(s)dw s, Recordemos que a convergencia es en media cuadrática, así En consecuencia [ n 2 ím E ( W ti ) 2 t] = 0. n i=1 8

21 CAPÍTULO 1. PREELIMINARES 1.3. MOVIMIENTO BROWNIANO GEOMÉTRICO Es decir, t 0 (dw s ) 2 ím n n ( W ti ) 2 = t. i=1 Por otro ado, se tiene De esta manera t 0 ím E n t 0 (dw s ) 2 = t. [ n ] W ti 1 (W ti W ti 1 ) 1 2 (W t 2 t) = 0. i=1 W s dw s ím n n W ti 1 (W ti W ti 1 ) = 1 2 (W t 2 t). i=1 En genera, a integra estocástica es e ímite en media cuadrática de una suma de términos que comprenden incrementos independientes de un movimiento Browniano geométrico. Sin embargo, en finanzas y economía, con frecuencia se simpifica esta notación a una ecuación diferencia estocástica de a forma a cua tiene sentido cuando se eva a su forma integra. ds t = µ(s t, t)dt + σ(s t, t)dw t. (1.3) Regas Básicas de Diferenciación Estocástica La diferencia principa entre e cácuo de variabes reaes y e cácuo estocástico, radica en que e cuadrado de una cantidad infinitesima es significativo en e segundo, mientras que no o es para e primero. Podemos resumir con o anterior, que as regas básicas de diferenciación estocástica, son como sigue Lema de Itô dt dw t dt 0 0 dw t 0 dt Definición Sea una función y = f(s t, t), cuyas derivadas parciaes de segundo orden son continuas. Entonces t f t y t = y u du + f ds u + 1 t 2 f 0 S u 2 0 Su 2 (ds t ) 2. (1.4) Es decir, dado que (dw t ) 2 = dt, conviene cacuar a diferencia de y = f(s t, t) considerando os términos de segundo orden en una expansión en serie de Tayor, [13]. 9

22 CAPÍTULO 1. PREELIMINARES 1.4. OPCIONES 1.4. Opciones dy = f S t ds t + f t dt ( 2 f St 2 (ds t ) f S t t (ds t)(dt) + 2 f t 2 (dt)2 ). (1.5) Las opciones son ejempos de vaores derivados que cotizan en a bosa de vaores, es decir, os vaores cuyo vaor depende de precio de os otros vaores más básicos denominados vaores primarios, como acciones o bonos. Aún cuando as opciones han cambiado con e paso de os sigos, a expansión sin precedentes de mercado de opciones ha comenzado recientemente con a introducción en 1973 de as opciones que cotizan en a bosa en Estado Unidos [14] Qué es una Opción? Una opción es un contrato que da a su poseedor e derecho a vender o comprar un bien subyacente a un precio fijo [14] Tipos de Opciones En genera, se pueden dividir as opciones en dos cases: Una opción (financiera) ca (de compra), o contrato de opción de compra, es un acuerdo entre dos partes que obiga (egamente) a una de as partes a vender un activo financiero, mientras que a a contraparte e otorga e derecho, más no a obigación de comprar dicho activo a un precio preestabecido en una fecha futura. Se supone que a compra-venta sóo se puede evar a cabo en a fecha de vencimiento. Se acostumbra decir que e comprador toma una posición arga y e vendedor una posición corta [19]. Una opción put (de venta), dá a propietario e derecho de vender un activo en una fecha dada a un precio determinado [14]. Suponga que e contrato de una opción se estabece a tiempo t (e presente) y que a compra-venta de activo en un precio predeterminado K, se eva a cabo en una fecha futura, T. E precio pactado K, es amado e precio de ejercicio (de a opción). En este caso, es importante mencionar que en e momento en que se ceebra e contrato no se paga a prima (o precio de derecho) sino hasta su vencimiento. Puesto que e vaor que puedan tener as opciones depende de otro bien, que es e bien subyacente, se conocen como derivados financieros. Las opciones más comerciaes son as siguientes: Opción Europea. Para una opción europea, a fecha de vencimiento T y e precio de ejercicio K están dados de antemano. En particuar, e tenedor no puede ejercer a opción con anterioridad a a fecha de vencimiento. Igua que para a mayoría de as opciones, 10

23 CAPÍTULO 1. PREELIMINARES 1.4. OPCIONES tiene sus versiones put y ca. Opción Americana. Otorga a tenedor e derecho de ejercer en cuaquier momento, antes de a fecha de vencimiento y en e vencimiento. Opción Asiática. Le da a tenedor e derecho de comprar (para un ca) o de vender (para un put) as acciones subyacentes a precio que es e promedio de precio de a acción hasta a fecha de vencimiento especificada T. Opción Compuesta. Una opción compuesta es una opción cuyo sub-yacente es otra opción. Evidentemente, a prima por ejercer una opción compuesta invoucra e vaor de otra opción, en consecuencia tiene dos fechas de vencimiento y dos precios de ejercicio. Opción Lookback. Le dan a tenedor e derecho de vender o de comprar (según sea put o ca) en un precio igua a máximo o mínimo de precio de a acción hasta a fecha pre-especificada T. Opción Potencia. Una opción potencia es una contrato en e que una de as partes (a posición arga) adquiere e derecho de recibir, en una fecha futura a diferencia entre e precio de una activo eevado a una potencia y e precio de ejercicio; como contraprestación e tenedor entrega una prima a a contraparte (a posición corta). Opciones Vania o Estándar. Una opción vania simpe es e tipo estándar de a opción, uno con una fecha de vencimiento simpe y precio de ejercicio y sin características adicionaes. Opciones con Barrera. Las opciones con barreras se pueden ejercer si durante a vida de a opción e precio de a acción subyacente es siempre mayor (o siempre menor) que cierto vaor X 0 (a barrera) o aternativamente, si esta barrera se acanza durante a vida de a opción. E vaor de derecho contingente de una opción barrera, depende de toda a historia bursáti. Las opciones barreras dependen de as trayectorias. Una opción que depende de a trayectoria es una opción cuyo pago no sóo depende de precio de bien subyacente a expirar; si no que también depende de a historia pasada. Las opciones barreras difieren de as opciones vainia en que parte de contrato de a opción es ocasionado si e precio de bien subyacente, S, acanza una cierta barrera, B, en un tiempo anterior a expirar. E derecho a ejercer a opción puede ser abandonado en esta barrera, una barrera out, o a barrera sóo existe si e precio de bien cruza un cierto vaor, una barrera in. Las opciones barrera pueden ser una opción put o una opción ca y son casificadas como: Up-and-out (Sube y sae): La opción caduca sin vaor si e precio de a acción sube hasta a barrera S = X 0, (i.e., a barrera es acanzada desde abajo) antes de día de vencimiento. 11

24 CAPÍTULO 1. PREELIMINARES 1.5. MODELO DE BLACK-SCHOLES Down-and-in (Baja y entra): La opción caduca sin vaor a menos que a barrera S = X 0 sea acanzada desde arriba antes de vencimiento. Down-and-out (Baja y sae): La opción caduca sin vaor si e precio de a acción cae hasta a barrera S = X 0 (i.e., a barrera es acanzada desde arriba) antes de vencimiento. Up-and-in (Sube y entra): La opción caduca sin vaor a menos que a barrera S = X 0 sea acanzada desde abajo antes de vencimiento. Opciones Barrera Dobe: Estas opciones son simiares a a opciones barrera, a diferencia es que as opciones barrera dobe, tienen una barrera por encima y por debajo de precio de subyacente. E inversionista podrá fijar dos ímites (barreras absorbentes) a os cuaes considere que e activo pueda egar. Si e activo toca aguno de eos, e inversionista será acreedor a vaor predeterminado, de o contrario a opción vadrá cero. Este tipo de opción es bastante popuar en e mercado de divisas - FOREX (e mercado FOREX es e mercado financiero de mayor tamaño y iquidez, a mayoría de as transacciones se evan a cabo entre e dóar estadounidense (USD), e euro (EUR), e yen (JPY), a ibra esterina (GBP), e franco suizo (CHF) y os dóares austraiano (AUD) y canadiense (CAD) )- y es utiizado por inversionistas que predicen cambios bruscos pero no saben con exactitud en qué dirección. Existen cuatro tipos de opciones dobe barrera: Ca up-and-out-down-and-out: si e subyacente toca a barrera superior o inferior a opción se desactiva. Ca up-and-in-down-and-in: si e subyacente toca cuaquiera de as dos barreras a opción se activa. Put up-and-out-down-and-out: si e subyacente toca a barrera superior o inferior a opción se desactiva. Put up-and-in-down-and-in: si e subyacente toca cuaquiera de as dos barreras a opción se activa. E presente trabajo de tesis se centra precisamente en éste tipo de opciones debido a hecho de ofrecer una protección simiar a as opciones estándar y ser más baratas que estas útimas. Nuestra tarea ahora es describir e precio de una opción con un modeo matemático Modeo de Back-Schoes En 1973, Fisher Back y Myros Schoes pubicaron su artícuo The Pricing of Options and Corporate Liabiities [2]. En su investigación, bajo e supuesto de un equiibrio genera (condiciones de no arbitraje), desarroaron un modeo para vauar opciones europeas sobre una acción que no paga dividendos y cuya dinámica es conducida por un movimiento geométrico Browniano. Back y Schoes obtienen una ecuación diferencia parcia de segundo orden (parabóica) y inea cuya soución es e precio de una opción europea. Esta 12

25 CAPÍTULO 1. PREELIMINARES 1.5. MODELO DE BLACK-SCHOLES ecuación es muy popuar en e sector financiero y representa a base para vauar diversos productos derivados [19] E Precio de un Activo como una Ecuación Diferencia Estocástica Antes de anáisis, véase que se puede modear e comportamiento de precio de un activo financiero mediante una ecuación diferencia estocástica. Una de as formas más sencias para presentar una ecuación estocástica, para modear e comportamiento de precio de un activo financiero consiste en describir primero su componente determinista o de tendencia y uego destacar a necesidad de agregar una componente de difusión o estocástica que modee os movimientos que se observan diariamente en precios. Sean S t e precio de un activo financiero a tiempo t, S 0 e precio inicia de activo y µ es e rendimiento (anuaizado) medio esperado. A tiempo t = 1, e precio de activo será S 0 más e rendimiento esperado, es decir, S 1 = S 0 + S 0 µ. De a misma manera, a tiempo t = 2, S 2 = S 1 + S 1 µ = S 0 + S 0 µ + (S 0 + S 0 µ)µ = S 0 (1 + µ) 2. En genera, e precio a tiempo t, está dado por S t = S t 1 + S t 1 µ = S 0 (1 + µ) t. (1.6) Si se sustituye una tasa de crecimiento compuesta n veces en cada periodo en (1.6), se tiene que Si se fija t y nt, entonces S t = S t 1 + S t 1 µ = S 0 (1 + µ n )nt. (1.7) S t = S 0 (1 + µ n )nt S 0 e µt. (1.8) De esta manera, e precio de activo que crece geométricamente con tiempo discreto a una tasa constante µ, ahora crece exponenciamente en tiempo continuo. Nótese que hemos encontrado una soución de a ecuación diferencia siguiente Una forma equivaente de escribir a ecuación anterior es ds t dt = µs t. (1.9) ds t 1 = µ. (1.10) S t dt Es decir, a tasa de crecimiento por unidad de tiempo es constante. Para dare reaismo a comportamiento de a dinámica de precio de un activo, se agrega un parámetro σ que representa a voatiidad (anuaizada) de activo en cuestión. También se agrega a variabe aeatoria dw t, a cua modea e riesgo de mercado, es decir, as fuctuaciones en os rendimientos que se observan todos os días. Observe que ahora S t es función de a variabe continua t. Se dice, en este caso que e precio de activo sigue un movimiento Browniano o simpemente, que e precio S t es og-norma. Finamente, se puede modear a dinámica de precio de un activo como 13

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