Revista Contaduría y Administración Editada por la División de Investigación de la Facultad de Contaduría y Administración de la UNAM
|
|
- Belén Montes Espejo
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Revista Editada por la Divisió de Ivestigació de la Facultad de de la UNAM Artículo origial aceptado (e correcció) Título: El efecto de la volatilidad del peso mexicao e los redimietos y riesgo de la Bolsa Mexicaa de Valores Autor: De Jesús Gutiérrez, Raúl y Edgar, Ortiz Calisto. Fecha de recepció: Fecha de aceptació: El presete artículo ha sido aceptado para su publicació e la revista. Actualmete se ecuetra e el proceso de revisió y correcció sitáctica, razó por la cual su versió fial podría diferir sustacialmete de la presete. Ua vez que el artículo se publica ya o aparecerá más e esta secció de artículos de próxima publicació, por lo que debe citarse de la siguiete maera: De Jesús Gutiérrez, Raúl y Edgar, Ortiz Calisto (2011), El efecto de la volatilidad del peso mexicao e los redimietos y riesgo de la Bolsa Mexicaa de Valores,, próxima publicació.
2 El efecto de la volatilidad del peso mexicao e los redimietos y riesgo de la Bolsa Mexicaa de Valores Fecha de recepció: Fecha de aceptació: Raúl de Jesús Gutiérrez 1 Edgar Ortiz Calisto 2 Resume El efecto de las colas pesadas origiado por los evetos extremos y los diferetes iveles de asimetría asociados a la alta volatilidad e aglomeracioes e los mercados fiacieros de ecoomías emergetes requiere de modelos más sofisticados para su modelació. El objetivo de esta ivestigació es aplicar la teoría de valores extremos (TVE) para cuatificar el riesgo de la cola de los redimietos diarios de la Bolsa Mexicaa de Valores bajo la agregació del riesgo del tipo de cambio durate el periodo de eero de 1971 a diciembre de Este aálisis sugiere el uso de la distribució de valor extremo geeralizada y la técica de bloques máximos para explicar el comportamieto asitótico de los redimietos extremos. Los resultados empíricos muestra el potecial de la medida VaR basada e la TVE para capturar las propiedades de colas pesadas e los redimietos de los mercados accioarios altamete volátiles a diferecia de los modelos VaR covecioales. Además, la evidecia empírica demuestra que los iversioistas iteracioales co posicioes fiacieras largas está más propesos a experimetar pérdidas más grades que los que toma posicioes cortas e el mercado accioario mexicao durate periodos de crisis fiacieras y depreciacioes de la moeda local. Palabras Clave: Devaluacioes, Crisis fiacieras, Mercados fiacieros emergetes, Medidas VaR, Teoría de valores extremos. Abstract The effect of heavy tails due to rare evets ad differet levels of asymmetry associated with high volatility clusterig i the emergig fiacial markets requires sophisticated models for statistical modellig of such stylized facts. This article applies extreme value theory (EVT) to quatify tail risk o the daily returs of Mexica stock market uder aggregatio of foreig exchage rate risk from Jauary 1971 to December This study focus o the block maxima method ad geeralized extreme value distributio (GEVD) to model the asymptotic behavior of extreme returs i US dollars. The empirical results show that EVT-Based VaR measured at high cofidece levels performs better tha simulatio historical ad delta-ormal VaR models o capturig fat-tails i the returs of highly volatile stock markets. Additioally, iteratioal ivestors holdig log positios i Mexica stock market are more proe to experiece larger potetial losses tha ivestors with short positios durig depreciatio of local currecy ad fiacial crisis periods. Keywords: Devaluatios, Fiacial crises, Emergig fiacial markets, Value at risk, Extreme value theory. 1 Uiversidad Autóoma del Estado de México; jg2005mx@yahoo.com.mx 2 Uiversidad Autóoma del Estado de México; edgaro@servidor.uam.mx
3 Itroducció E la actualidad, los mercados de divisas al cotado so los más líquidos y grades a ivel global. E su cojuto las operacioes de los mercados de divisas supera a las operacioes bursátiles de los pricipales mercados de diero y capital. E los últimos años, el desarrollo de los mercados cambiarios o sólo se ha reflejado de maera positiva e la coducció del comercio acioal e iteracioal, la política moetaria y la competitividad de los países desarrollados y e vías de desarrollo, sio tambié e la captació de eormes flujos de capital de iversió directa y de portafolio. E este setido, el dólar de Estados Uidos, a pesar de los problemas de su ecoomía, es la divisa más importate del mudo; es la divisa domiate de reservas iteracioales y sus trasaccioes costituye casi la mitad de las egociacioes globales de divisas; fialmete, es la moeda cotractual de ua gra mayoría de las trasaccioes reales y fiacieras iteracioales. Recietemete, esta divisa extrajera ha experimetado u desceso sigificativo e su valor co respecto a las pricipales moedas duras y alguas moedas exóticas del mudo durate el periodo , por ejemplo, 30.81, 19.70, 23.47, 40.73, y 7.86 por cieto e relació al dólar caadiese, ye, euro, fraco suizo, yua chio y real brasileño, respectivamete. De ahí que su posició de seigiorage sea cotiuamete cuestioada. Si embargo, debido a la fragilidad de la ecoomía mexicaa y su excesiva depedecia de sus relacioes ecoómicas co Estados Uidos, el dólar ha mateido su fortaleza frete al peso, a tal grado de alcazar ua apreciació del por cieto durate el mismo periodo. Desde la seguda mitad de los setetas del siglo pasado, después del colapso del sistema de paridad fija de los tipos de cambio, el comportamieto de la variabilidad del peso mexicao se ha covertido e u tópico de mayor relevacia para la competitividad y desempeño de la actividad ecoómica del país, e particular para el proceso de la iversió de portafolio iteracioal. Desde el puto de vista teórico y empírico, la iterrelació etre los precios de las accioes y los tipos de cambio ha sido ampliamete documetada auque co resultados variables para diferetes periodos de tiempo (Ramasamy y Yeug, 2005). De acuerdo co Michaelides (2003), el feómeo de la exposició del tipo de cambio extrajero tiee u efecto egativo e el comportamieto de la iversió de portafolio
4 iteracioal; es decir, reduce su atractivo para los iversioistas adversos al riesgo. Además, evidecia empírica reciete ha demostrado que esta variable macroecoómica juega u papel determiate e la composició, diversificació y rebalaceo del portafolio de iversió como alterativa para reducir el riesgo o sistemático (Hau y Rey, 2004; Gourichas y Rey, 2005). Por su parte, la iestabilidad e los mercados cambiarios icremeta sigificativamete tato la volatilidad como los redimietos extremos e los mercados accioarios, creado serios problemas e la estimació exacta de las pérdidas poteciales e las iversioes de portafolio al reducir el desempeño de las medidas covecioales de valor e riesgo (VaR, por sus siglas e iglés) propuestas por el Comité de Basilea. 3 Estas aproximacioes populares utilizadas e la regulació bacaria y la admiistració del riesgo de mercado e los últimos años se divide e dos grupos: los métodos paramétricos y los o paramétricos. Los métodos paramétricos coocidos como los modelos delta-ormal y GARCH (co iovacioes ormales y t-studet) suele subestimar el riesgo de los portafolios de iversió. Esto se atribuye a su limitado alcace para capturar apropiadamete el efecto de las colas pesadas o achas origiado por los evetos extremos, los cuales se cocetra fuera del iterior de la distribució de redimietos (Duffie y Pa, 1997; Vlaar, 2000). Por su parte, el método de simulació histórica o o paramétrico es más eficiete para recoger los evetos extremos origiados por desplomes bursátiles, burbujas fiacieras y devaluacioes e los tipos de cambio que suele ocurrir o sólo e períodos recesivos, sio tambié durate auges ecoómicos. No obstate, la aturaleza discreta de los redimietos e el iterior de la distribució empírica y la carecia de iformació muestral e las colas colleva a sobrestimar el riesgo de mercado (Zhao et al., 2010; De Jesús y Ortiz, 2011). E este cotexto, ua medida de riesgo alterativa más cosistete que calcula mejor la severidad de las pérdidas poteciales que excede el ivel del VaR, es la medida de exceso esperado (Expected Shortfall) itroducida por Artzer et al. (1997 y 1999), tambié coocida como valor e riesgo codicioal (CVaR). Estas medidas so 3 Para más detalles de los modelos iteros utilizados por los bacos para la determiació de los requerimietos de capital, véase Basle Committee o Bakig Supervisio (1996a).
5 propuestas e la literatura fiaciera como medidas de riesgo coheretes, ya que comparte las mismas propiedades cuado se aplica a distribucioes cotiuas. La medida CVaR, desde el puto de vista fiaciero, estima el riesgo de la cola de la distribució de maera más eficiete y coservadora al icorporar tato la frecuecia como el tamaño de los evetos extremos. Además, satisface la propiedad de subaditividad y la codició de covexidad que permite realizar u aálisis del riesgoredimieto e el cotexto de la teoría modera del portafolio de Markowitz (Rockafellar y Uryasev, 2000). Si embargo, la medida CVaR bajo el supuesto de ormalidad y para altos iveles de cofiaza subestima el riesgo, al o lograr recoger toda la iformació de las colas de la distribució de redimietos. Este problema, e gra medida, afecta el comportamieto de los iversioistas racioales, puesto que o cueta co suficiete iformació para tomar decisioes co respecto a la etrada o salida del mercado. Por lo aterior, el desafío de la cuatificació del riesgo se vuelve ua tarea más importate y crucial e las ecoomías emergetes, e dode la combiació de u desplome e el mercado de capital y ua devaluació abrupta e el tipo de cambio puede propiciar catastróficas pérdidas e las posicioes fiacieras corta y larga de los iversioistas iteracioales, pricipalmete como resultado de las grades fluctuacioes e liquidez de los mercados, esto es, variacioes e los precios de los activos y e el volume de diero caliete derivado de la exuberacia irracioal presete e las iversioes de portafolio y los fodos de cobertura iteracioales. La aturaleza de los movimietos extremos e los mercados accioarios es rara por defiició, por ello su estudio y estimació para altos percetiles, e geeral, represeta ua tarea difícil para los académicos y aalistas fiacieros, puesto que se requiere de u cojuto grade de datos y la utilizació de técicas estadísticas más sofisticadas. E años recietes, la teoría de valores extremos (TVE) ha sido utilizada ampliamete por los académicos y los participates e los mercados fiacieros, co el fi de modelar apropiadamete el comportamieto asitótico de las colas de la distribució de redimietos e u cotexto uivariado y, al mismo tiempo, estimar las pérdidas poteciales e térmios de moeda local e los países idustrializados y emergetes. Si embargo, la literatura existete sólo ha aplicado la teoría de valores
6 extremos a los redimietos de los ídices bursátiles y los pricipales tipos de cambio de maera idividual, por lo que la evidecia empírica sobre el aálisis de los redimietos fiacieros extremos icorporado el factor de riesgo del tipo de cambio y aplicado ua distribució de colas pesadas es aú muy limitada e la literatura fiaciera tato e ecoomías desarrolladas como emergetes. Cotribuyedo a sobrepoer esta limitació, el objetivo de esta ivestigació es aplicar la TVE para estimar el riesgo de la cola e los redimietos de la Bolsa Mexicaa de Valores (BMV) bajo la agregació del efecto de la variabilidad del tipo de cambio peso/dólar estadouidese para el periodo del 2 de eero de 1971 al 31 de diciembre de 2010 que icluye la adopció de varios regímees cambiarios, iicialmete de ua estrategia de tipo de cambio fijo a la fial adopció del libre mercado de cambios desde La motivació de la ivestigació es que como mercado emergete co fudametos macroecoómicos débiles e importates cambios estructurales y regulatorios e la actualidad, el Ídice de Precios y Cotizacioes de la BMV proporcioa ua extraordiaria oportuidad para aalizar u sigificate cojuto de datos extremos origiados o sólo por las crisis fiacieras, burbujas especulativas y auges ecoómicos, sio tambié por las recurretes devaluacioes y altas depreciacioes del peso mexicao a lo largo de este periodo de estudio. Ate esta situació la preguta que surge es la siguiete: cómo se comporta las colas de la distribució de redimietos de la BMV bajo la agregació del riesgo cambiario? La presete ivestigació está estructurada de la siguiete forma. Después de esta itroducció, e la secció 2 se preseta la revisió de la literatura. La secció 3 está dedicada a la descripció de los datos fiacieros y aálisis de sus propiedades estadísticas, así como el comportamieto de la volatilidad codicioal, resaltado el comportamieto de las colas pesadas o achas. La secció 4 revisa el marco teórico de la TVE, la aproximació estadística de la distribució de valor extremo geeralizada y la presetació de las medidas VaR basadas e la TVE. La secció 5 aplica la TVE para estimar el riesgo fiaciero de los redimietos de la BMV expresados e dólares. Fialmete, la secció 6 resume los resultados empíricos y preseta las coclusioes de este aálisis para la admiistració de riesgos. 4 E u reciete documeto el Baco de México (2009) describe detalladamete los regímees cambiarios adoptados por México desde 1954.
7 Revisió de la Literatura Desde el puto de vista teórico y práctico, el pricipal problema que ha efretado académicos y aalistas fiacieros e las diversas aplicacioes fiacieras, particularmete e aquellas relacioadas co la admiistració de riesgos, ha sido la selecció apropiada de la distribució de probabilidad para la modelació asitótica de los redimietos fiacieros. Diversos aálisis tradicioales ha propuesto la distribució ormal para describir el comportamieto de los redimietos fiacieros. Si embargo, la presecia de movimietos extremos o atípicos observados e la mayoría de las series fiacieras ha reducido su potecial para capturar totalmete el exceso de curtosis y los diferetes iveles de asimetría. De hecho, la omisió del feómeo de las colas pesadas, leptocurtosis y la forma apropiada de la distribució de redimietos puede geerar sigificativos sesgos e la estimació del VaR y, co ello, isuficietes requerimietos de capital para hacer frete a las pérdidas poteciales derivadas por cambios iesperados e los factores de riesgo de las posicioes de mercado de las istitucioes fiacieras. Por cosiguiete, múltiples modelos ha sido sugeridos e la literatura fiaciera para capturar la asimetría y las colas pesadas de los redimietos fiacieros etre ellas se icluye las distribucioes -stable, mixtura de ormales, t-studet y los procesos de difusió de saltos (Madelbrot, 1963; Fama, 1965; Hull y White, 1998; Heikkie y Kato 2002; Jorio, 1988). Por su parte, el problema de la asimetría presetado e los modelos ateriores ha sido tratado por Azzalii (1985 y 1986) y Feradez y Steel (1998), quiees co sólo agregar u parámetro de asimetría obtiee la distribució ormal sesga y la distribució t-studet sesgada, respectivamete. 5 Pese a que la mayoría de las distribucioes ateriormete mecioadas recoge apropiadamete los efectos de las colas pesadas o achas y la asimetría observados e los redimietos fiacieros. Si embargo, la carecia de solucioes de forma cerrada y la limitació e el aálisis de las colas de maera idepediete reduce el potecial de estas distribucioes e la estimació del verdadero riesgo extremo. 5 Para u aálisis más detallado de las propiedades de la distribució t-studet sesgada y su extesió al cotexto multivariado, véase Azzalii y Capitaio (2003).
8 E respuesta a las icosistecias y desvetajas que preseta los modelos previos para capturar la magitud y la probabilidad de los evetos extremos. La TVE proporcioa u cojuto de herramietas sólidas para eteder y modelar el comportamieto estadístico de los evetos catastróficos raros capturados e las colas de las distribucioes empíricas de las series fiacieras. Auque, el desarrollo de la TVE se iicio e los campos de la hidrología, climatología y seguros; su aceptació como herramieta complemetaria e la admiistració del riesgo cuatitativo e los mercados fiacieros ha crecido otablemete durate las últimas décadas, pricipalmete para el caso de ecoomías idustrializadas. U trabajo pioero se atribuye a Logi (2000), quie estima el riesgo de los redimietos del ídice accioario S&P500, y ecuetra que la medida VaR basada e la TVE proporcioa mejores resultados que los modelos paramétricos. Por su parte, u aálisis que modela el riesgo catastrófico e los mercados iteracioales de Estados Uidos, Japó y Lodres icluye a Cotter (2006). U trabajo que cotribuye a la estimació del parámetro del ídice de la cola y cuatificació del riesgo extremo icluye a Daielsso y de Vries (2000). Utilizado datos de frecuecia baja de los ídices accioarios DAX y S&P500, McNeil (1999) y McNeil y Frey (2000) muestra el potecial de la distribució de Pareto geeralizada (DPG) e la medició del riesgo relacioado co las colas de la distribució de redimietos. Asimismo, Gilli y Këllezi (2006) aplica la técica de valores extremos para medir el VaR y CVaR para los ídices accioarios Dow Joes Euro Stoxx 50, FTSE100, Hag Seg, Nikkei225 y S&P500, utilizado la DPG. Co respecto a la evidecia empírica e los mercados emergetes, destaca los trabajos de Jodeau y Rockiger (2003) y Susmel (2001), quiees emplea la DPG para comparar el comportamieto asitótico de las colas de la distribució etre mercados idustrializados y emergetes. Mietras que Gecay y Selcuk (2004) estima el VaR para diferetes mercados emergetes utilizado como herramieta la TVE y la DPG. Feradez (2003) preseta evidecia empírica sobre los redimietos del ídice accioario chileo (IPSA). Por su parte, da Silva y Medes (2003) y Ho et al. (2000) usa la teoría estadística de extremos basada e el procedimieto de bloques máximos para aalizar las pérdidas catastróficas e los pricipales mercados accioarios asiáticos. Assaf (2006) aplica la TVE para aalizar los mercados fiacieros de Egipto, Jordaia, Marruecos y Turquía, y ecuetra evidecia empírica de que los redimietos
9 fiacieros preseta propiedades de colas pesadas sigificativamete. Aalizado la cola iferior de la distribució asitótica de redimietos e el mercado accioario de Ateas, Tolikas y Brow (2006) muestra que los parámetros de la distribució de valores extremos so muy variables y la cola aalizada adopta ua tedecia cada vez meos pesada a través del tiempo. Fialmete, u estudio más reciete que aaliza los redimietos extremos y calcula el VaR y CVaR e los mercados accioarios de Brasil y México icluye a De Jesús y Ortiz (2011). E cuato a estudios empíricos que ha aplicado las técicas de la TVE para aalizar el comportamieto de los redimietos extremos e los tipos de cambio destaca el trabajo de Daielsso y de Vries (1997), quiees estima el ídice de la cola para redimietos itradía de tres divisas del mercado Forex. 6 De maera similar, Loreta y Phillips (1994) aplica la TVE para aalizar el comportamieto asitótico de las colas de la distribució de redimietos para las pricipales divisas duras de Europa y ye japoés. Por su parte, Hols y de Vries (1991) y Koedijk et al. (1990) proporcioa evidecia empírica para los redimietos semaales del dólar caadiese y las divisas del Sistema Moetario Europeo co referecia al dólar estadouidese, respectivamete. Cuatro estudios más recietes tambié aplica la TVE para estimar el VaR de los tipos de cambio. Aggarwal y Qi (2009) aaliza el comportamieto asitótico de los valores extremos e los tipos de cambio de ueve países de la regió da Asia respecto al dólar estadouidese y el ye japoés. Asimismo, Gavril (2009) preseta evidecia sobre el desempeño limitado de las metodologías tradicioales VaR y obtiee resultados más cofiables aplicado la TVE para el caso del euro respecto a cuatro divisas: fraco suizo, libra esterlia, leu de Rumaia, y dólar de Estados Uidos. Por su parte, Yag (2010) estima el VaR del yua de Chia cotra el dólar de Estados Uidos y el euro; emplea para su estudio u modelo GARCH y la teoría de valores extremos. Yag reporta que el ajuste de las colas de la GDP es muy alto y el VaR de gra cofiabilidad. Fialmete, Wag, Wu, Che y Zhou (2010) muestra que el alto grado de ajuste de la distribució de Pareto geeralizada para las observacioes de las colas de los redimietos del yua Chio, permite obteer medidas VaR y CVaR más robustas para la estimació de los riesgos e los tipos de cambio. No obstate, la evidecia empírica sobre valores extremos e los tipos de cambio exóticos de la regió de América Latia 6 Ye/Marco Alemá, Ye/Dólar Estadouidese y Marco Alemá/Dólar Estadouidese.
10 es casi ula debido a la carecia de datos, e particular para los países de Argetia, Brasil y México. Descripció y Aálisis de los Datos Fiacieros Co el fi de estudiar el efecto de la variabilidad del tipo de cambio e los redimietos y riesgo de la Bolsa Mexicaa de Valores, la presete ivestigació utiliza los precios de cierre diarios del Ídice de Precios y Cotizacioes de la BMV y el tipo de cambio para el periodo del 4 de eero de 1971 al 31 de diciembre de Cabe destacar que el periodo de estudio icluye las pricipales crisis y devaluacioes del peso mexicao e icluso el choque de la reciete crisis fiaciera global, cuyo impacto se reflejó e los mercados accioarios y cambiarios de todo el mudo. Ambas series fiacieras fuero obteidas de la base de datos de Bloomberg. La serie de los iveles del ídice bursátil se trasforma a dólares estadouideses, totalizado 10,047 observacioes después de obteer las series estacioarias, es decir, los redimietos r t = 100(l(P t )-l(p t-1 )). La moeda base para los aálisis a realizarse es el dólar de Estados Uidos porque e las últimas dos décadas las iversioes iteracioales deomiadas e dólares e la Bolsa Mexicaa de Valores ha sido mayoritarias, más del 90 por cieto, y e relació a la capitalizació total los motos de dicha iversió ha fluctuado etre 45% y 65%; adicioalmete, la iversió de portafolio extrajera frecuetemete ha sido mayor que la iversió extrajera directa; dada la volatilidad de la Bolsa Mexicaa de Valores y retiros masivos de iversioes e la Bolsa podría ocasioar gra iestabilidad e icluso crisis de la ecoomía mexicaa; fialmete debe recoocerse que el dólar de Estados es la divisa de referecia iteracioal para los iversioistas iteracioales. 7 El cuadro 1 resume las propiedades estadísticas de los redimietos e dólares de la BMV. Durate el periodo de estudio, el ídice bursátil ha experimetado u crecimieto espectacular alcazado u redimieto promedio positivo de por cieto (14.01 por cieto aual). La presecia de redimietos altos y positivos e la BMV se atribuye al hecho, de que como ecoomía emergete, ha logrado ua mayor expasió ecoómica que otros países de América Latia y, por ede, ha atraído crecietes 7 La capitalizació de la Bolsa Mexicaa de Valores ascedió a mil milloes de dólares de Estados Uidos e diciembre de Véase: World Federatio of Exchages (2011). E 2010 la iversió extrajera directa ascedió a $17.7 miles de milloes de dólares e tato que la iversió extrajera de cartera ascedió a $23.7 miles de milloes de dólares (ISI Emergig Markets Blog (2011)).
11 iversioes a sus mercados de capital como resultado de sus atractivos redimietos, la liberalizació de los flujos de capital etre países idustrializados y emergetes, pero sobretodo los esfuerzos de las autoridades por mateer la eficiecia y trasparecia e sus respectivos mercados fiacieros, reduciedo imediatamete la magitud de poteciales choques de liquidez egativos. Asimismo, La BMV se ha covertido e u importate mecaismo dode es posible ivertir por ua gama más amplia de iversioistas sofisticados, e particular, los fodos de pesioes, las aseguradoras y las sociedades de iversió estadouideses que busca estrategias de diversificació, formado portafolios grades de títulos de capital que e gra medida replica a este ídice accioario emergete a pesar de que su etoro cotiúa siedo riesgoso. Por esta razó, los redimietos expresados e dólares preseta ua alta desviació estádar del 2.07 por cieto ( por cieto aual). Este hecho tambié es sustetado por la amplia diferecia etre el redimieto promedio y los redimietos míimo y máximo observados, resultado de la alta e iestable volatilidad exhibida a través de tiempo, especialmete e los periodos , y cuado se presetaro las pricipales devaluacioes abruptas e el peso mexicao como se puede observar e la gráfica 1. De hecho, cabe resaltar que el redimieto míimo ocurrió el 6 de agosto de 1982 durate la crisis de la deuda extera, mietras que el redimieto máximo ocurrió el 18 de oviembre después del desplome del ídice accioario S&P500 y durate u periodo de extrema volatilidad. De esta maera, la evidecia cofirma que la BMV está asociada a u alto riesgo como cosecuecia de la sesibilidad de los redimietos accioarios a las variacioes del tipo de cambio. Cuadro 1 Estadísticas básicas de los redimietos diarios e dólares de la BMV Media Máximo Míimo Desv. Est. Sesgo Curtosis JB Nota: Los resultados de las estadísticas básicas so expresados e porcetajes para el periodo de aálisis del 4 de eero de 1971 al 31 de diciembre de Desv. Est. represeta la desviació estádar de los redimietos; JB es el estadístico Jarque-Bera de la prueba de ormalidad. Asimismo, los redimietos accioarios se desvía sigificativamete de la ormalidad, es decir, preseta propiedades de colas pesadas o achas debido al exceso de curtosis (47.02) y sesgo sigificativamete egativo (-2.23). La evidecia de sesgo egativo demuestra que los redimietos extremos egativos suele ocurrir más frecuetemete
12 que los redimietos extremos egativos; este hallazgo idica que las colas de la distribució de redimietos preseta diferetes características estadísticas. La prouciada asimetría cargada a la izquierda observada e los redimietos de la BMV es pricipalmete atribuida a las severas y recurretes devaluacioes experimetadas por el peso mexicao a lo largo de la historia. Este hecho estilizado característico de los mercados accioarios idustrializados es opuesto a los resultados obteidos e las pricipales ecoomías emergetes de América Latia, e dode los redimietos accioarios e moeda local preseta u ligero comportamieto de asimetría e la distribució de redimietos (De Jesús y Ortiz, 2011). El hecho estilizado de la asimetría es ampliamete explicado por la alta variabilidad y posibles cambios estructurales que icremeta la volatilidad de los redimietos fiacieros. La Gráfica 1 muestra que las series de los redimietos fiacieros preseta periodos de traquilidad dode los precios de los ídices accioarios se comporta más o meos estables seguidos de periodos relativamete volátiles, caracterizados por cambios grades e los precios que geeralmete ocurre e racimos; es decir, evidecia de heteroscedasticidad codicioal, tambié comúmete coocido como el efecto clusterig o volatilidad e aglomeracioes demostrado por Egle (1982) y Bollerslev (1986) Gráfica1: Redimietos e Dólares de la Bolsa Mexicaa de Valores. De acuerdo co la estimació del cuarto mometo, los redimietos de la serie fiaciera preseta evidecia de exceso de curtosis extremadamete alta y estadísticamete sigificativa. Esto cofirma que las colas de la distribució de redimietos de la BMV tiede a ser más pesadas que las colas de la distribució
13 ormal, obviamete atribuido a la mayor desidad probabilística. De acuerdo co los empíricos estudios de Fama (1965); Praetz (1972); Blattberg y Goedes (1974); Ko (1984); Tucker (1992) y Kim y Ko (1994), el feómeo de leptocurtosis ha sido sigificativamete más fuerte e los redimietos de frecuecia alta o diarios que e los datos de frecuecia baja u horizotes de tiempo más largos. La ausecia de ormalidad e los redimietos fiacieros tambié es cofirmada por la prueba estadística Jarque- Bera debido su alto valor y probabilidad igual a cero. Por otra parte, el Gráfico QQ es cosiderado otra herramieta estadística alterativa que permite explicar la estructura pricipal e los mercados accioarios y el comportamieto asitótico de los valores extremos capturados e las colas de la distribució de redimietos de las series fiacieras. La gráfica 2 muestra los cuatiles de la distribució empírica cotra los cuatiles de las distribucioes ormal y t-studet, respectivamete. E ambas gráficas claramete se puede observar que los redimietos de la BMV preseta propiedades de colas pesadas o achas y diferetes iveles de asimetría, puesto que las colas de la distribució empírica so más achas que las colas de la distribució ormal y t-studet auque e meor medida co respecto a esta última. Auque el feómeo de las colas pesadas es característico de las series fiacieras de frecuecia alta; este hecho estilizado es más prouciado y evidete e los mercados accioarios emergetes que e los idustrializados porque si los redimietos fiacieros realmete sigue ua distribució ormal, todas las observacioes debería permaecer sobre la líea recta de 45 grados cuado se grafica cotra los cuatiles de la distribució ormal. Si embargo, las observacioes se desvía de la líea recta e los putos extremos o colas, presetado mayor variabilidad que las observacioes capturadas e la parte cetral de la distribució empírica.
14 C u a t i l e s N o r m a l C u a t i l e s E m p í r i c o s 60 C u a t i l e s t - s t u d e t C u a t i l e s E m p í r i c o s Gráfica 2: Q-Q de los redimietos diarios cotra las distribucioes ormal y t- studet. De esta maera, el feómeo de las colas pesadas origiado por los evetos extremos o atípicos y los diferetes iveles de asimetría e los redimietos fiacieros asociados a la volatilidad e aglomeracioes requiere u trato y estudio especial, esto es, teorías fiacieras robustas efocadas específicamete a explorar la aturaleza de la distribució de redimietos fiacieros extremos. E este setido, la técica de la teoría de valores extremos juega u papel importate e la descripció del comportamieto asitótico de los evetos raros capturados profudamete e las colas de la distribució empírica.
15 Teoría de Valores Extremos Distribució de Valor Extremo Geeralizada y Estimació de los Parámetros Los evetos atípicos o extremos exhibidos e los mercados fiacieros so defiidos como los redimietos diarios más pequeños y grades. Estos movimietos extremos que experimeta los precios de las series fiacieras está asociados a las correccioes de los mercados fiacieros durate periodos ormales de operació y periodos de extrema volatilidad, derivados de los colapsos fiacieros tales como las caídas precipitosas e los ídices accioarios, crisis fiacieras, devaluacioes de las moedas, burbujas fiacieras o escádalos fiacieros, y que muchas de las veces so producto de los cotagios fiacieros como fue el caso de la crisis subprime. De acuerdo co el aálisis empírico de la distribució de frecuecia de pérdidas, Johase y Sorette (2001) ha demostrado que los colapsos fiacieros preseta características estadísticas muy similares a la de los outliers, por lo que debe ser tratados y estudiados de maera especial co modelos más sofisticados. Los fudametos matemáticos de la TVE basados e cotribucioes heurísticas y discusioes teóricas fuero origialmete propuestos por Fisher y Tippett (1928) y Gedeko (1943). Existe dos teorías para modelar el comportamieto de los valores extremos: el procedimieto estadístico de los bloques máximos y la técica de picos sobre u umbral (Peaks over Threshold). 8 Este estudio aplica la primera aproximació para aalizar los redimietos de las colas y cuatificar el riesgo catastrófico asumido por los iversioistas iteracioales. La técica de bloques máximos se cetra e la colecció de observacioes máximas y míimas extraídas de cada uo de los bloques o submuestras durate u periodo de tiempo fijo. El uso del método de bloques máximos o míimos reduce la depedecia exhibida e los datos fiacieros de frecuecia alta ocasioada por la heteroscedasticidad codicioal (Diebold et al., 2000). Desafortuadamete, la iexistecia de ua regla óptima o método estadístico robusto obliga a seleccioar la logitud del bloque de maera arbitraria. El teorema de Fisher-Tippett-Gedeko es la base fudametal de la TVE. Supógase que so variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas 8 Para ua explicació técica más detallada del método de picos sobre u umbral, véase Embrechts, Kluppelberg y Mikosch (1997).
16 co fució de distribució y defiiedo a como el valor máximo de las variables aleatorias. 9 Además, si existe dos sucesioes de úmeros ormalizadas y, co tal que, 10 dode H es ua fució de distribució o degeerada, etoces H perteece a ua de las siguietes familias: Gumbel: Fréchet: H r exp r 0,, r 0, r 0 0 Weibull: H r exp r 1,, r 0, r 0 0 De acuerdo co la reparametrizació sugerida por Jekiso (1955), esta familia de distribucioes se puede expresar como la distribució de valor extremo geeralizada (DVEG), es decir, (1) dode si y si. Para suficietemete grade e itroduciedo los parámetros de localizació y escala, la fució de distribució o degeerada se puede expresar de la siguiete maera: (2) 9 De maera similar, el míimo de los redimietos extremos egativos observados e u periodo de días de operació se defie como. d 10 La otació " " sigifica covergecia e distribució, véase Mittik y Rachev (1993) para más detalles.
17 si y sólo si la fució de distribució perteece al máximo domiio de atracció de y dode represeta el ídice de la cola de la distribució de valor extremo geeralizada. E este cotexto, el sigo del ídice de la cola es clave para describir el comportamieto de la cola de la distribució asitótica e idetificar el tipo de distribució que se utiliza para ajustar los datos fiacieros reales. De esta maera, si el parámetro del ídice de la cola de la distribució es estrictamete egativo, implica que la fució de distribució se ecuetra e el máximo domiio de atracció de la distribució de Fréchet geeralmete válida para modelar las series fiacieras. Existe varios casos particulares de distribucioes cuyas colas decae e forma poliomial que icluye a las distribucioes -estable, Cauchy, t-studet y la mixtura de ormales etre las más importates. Cuado se dice que la fució de distribució perteece al máximo domiio de atracció de la distribució de Weibull, la cual carece de eficiecia para explicar el comportamieto asitótico de los redimietos de las series fiacieras. Alguos ejemplos de estos tipos de distribucioes so la uiforme y la beta. Fialmete, si, la fució de distribució se ecuetra e el máximo domiio de atracció de la distribució de Gumbel que icluye a las distribucioes ormal, expoecial, gama y logormal. Esta última distribució se caracteriza por teer ua cola pesada o acha más moderada. Por su parte, la estimació de los parámetros de la DVEG implica ua tarea verdaderamete difícil e el aálisis y estimació de los percetiles de los redimietos fiacieros extremos, e particular, el parámetro del ídice de la cola. E este marco, existe varias técicas para estimar los parámetros de localizació, escala e ídice de la cola de la DVEG etre las más potetes se ecuetra el método de máxima verosimilitud, el método de mometos y el método de mometos de probabilidad poderado. Cada uo de estos métodos tiee sus vetajas y desvetajas estadísticas, pricipalmete cuado se depede del tamaño y frecuecia de los evetos raros o atípicos.
18 E este aálisis se emplea el método de máxima verosimilitud e combiació co la técica de bloques máximos. Este procedimieto proporcioa estimadores cosistetes y asitóticamete ormales, el cual permite obteer errores estádar e itervalos de cofiaza. Además, la evidecia empírica ha sustetado que los estimadores de máxima verosimilitud so más eficietes, esto es, satisface las codicioes de regularidad al meos para e idepedecia e los datos, icluso las propiedades de los estimadores de máxima verosimilitud aú se cumple ate la presecia de depedecia e los datos, pero siempre y cuado la iterdepedecia sea débil (Smith, 1985). De esta maera, las fucioes de verosimilitud de la DVEG para los redimietos máximos y míimos está defiidas por el logaritmo de la fució de desidad cojuta de las observacioes, es decir, (3) 1 1 log 1 1 log,, m i i m i i i r r m r l (4) 1 1 log 1 1 log,, m i i m i i i r r m r l E cosecuecia, los parámetros descoocidos de la DVEG so estimados maximizado las fucioes de verosimilitud logarítmicas para ua muestra específica, la cual se derivada del tamaño del bloque seleccioado. Prueba de Bodad de Ajuste Ua importate tarea complemetaria que se debe llevar a cabo ua vez que los parámetros descoocidos de la DVEG ha sido estimados, es cuatificar la icertidumbre del modelo estimado. E otras palabras, la validació estadística de que ta bueo es el modelo para explicar apropiadamete el comportamieto asitótico de los datos dispoibles a través de pruebas de bodad de ajuste. E la literatura, desde u puto de vista estadístico, existe diversas pruebas de bodad de ajuste etre las más importates se puede mecioar la prueba de Kolmogorov, prueba de Sherma y prueba de Aderso-Darlig. La mayoría de ellas verifica la bodad de ajuste del
19 modelo estimado comparado las distribucioes teórica y empírica como ua medida distacia. Bajo la hipótesis ula de que los redimietos fiacieros sigue ua distribució de valor extremo geeralizada. Este aálisis utiliza la prueba de Aderso- Darlig (AD) para validar el modelo estimado, puesto que se cetra pricipalmete e medir las discrepacias e las colas de la distribució asitótica. El estadístico de la prueba de Aderso-Darlig (1954) se defie de la siguiete forma: dode es la fució de distribució empírica de la variable aleatoria, es la fució de distribució acumulada estimada, e este caso la DVEG, represeta el tamaño de la muestra utilizada para estimar los parámetros descoocidos de la distribució asitótica y es su muestra ordeada. De hecho, literatura existete ha demostrado que la prueba de Aderso-Darlig e muestras pequeñas, suele ser la más poderosa etre u amplio cojuto de pruebas de bodad de ajuste. Esto se debe a que utiliza ua fució poderada que proporcioa mayor peso a las observacioes de la regió de las colas que a las observacioes cocetradas e el iterior de la distribució (Stephes, 1976; D Agostio y Stephes, 1986). La prueba de razó de verosimilitudes es otro método estadístico alterativo importate que permite sustetar la estabilidad de la distribució de valor extremo geeralizada. Este aálisis proporcioa iformació adicioal acerca de los estimadores del ídice de la cola para cada periodo de tiempo o tamaño del bloque y el tipo de distribució asitótica utilizada para ajustar los redimietos extremos. E otras palabras, la prueba estadística verifica que la estimació del parámetro del ídice de la cola es sigificativamete diferete de cero. Este hecho implica que es iapropiado asumir que la distribució asitótica de los redimietos extremos se ecuetre e el máximo
20 domiio de atracció de la distribució de Gumbel, es decir, la distribució de redimietos de las series fiacieras tiee colas más pesadas o achas que la distribució ormal. El estadístico de la prueba de razó de verosimilitudes se puede expresar de la siguiete forma: dode es el valor máximo de la fució logarítmica de verosimilitud de la distribució de valor extremo geeralizada o modelo o restrigido y es el valor máximo de la fució logarítmica de la distribució de Gumbel o modelo restrigido. El estadístico sigue ua distribució Chi cuadrada co u grado de libertad. 11 Medidas VaR Basadas e la Teoría de Valores Extremos La admiistració de riesgos cuatitativa e los mercados fiacieros defie a la medida VaR como la máxima pérdida esperada de ua posició de mercado o portafolio de iversió durate u horizote de tiempo para u ivel de cofiaza dado. E este setido, el VaR se puede defiir como el percetil de la distribució de redimietos co sigo egativo, es decir, Las implicacioes ecoómicas y fiacieras derivadas de la distribució de redimietos extremos e la Bolsa Mexicaa de Valores bajo la agregació del riesgo cambiario so ilustradas estimado el VaR para las posicioes fiacieras larga y corta. Para u ivel de probabilidad, el percetil extremo se obtiee ivirtiedo la DVEG, utilizado los parámetros de localizació, escala e ídice de la cola estimados. De esta maera, el VaR para los redimietos positivos correspodiete a la posició corta puede ser expresado como 11 Los grados de libertad se determia de la diferecia etre el úmero de parámetros de cada distribució.
Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B
Métodos Estadísticos de la Igeiería Tema 9: Iferecia Estadística, Estimació de Parámetros Grupo B Área de Estadística e Ivestigació Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragó Abril 200 Coteidos...............................................................
Más detallesREVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL
375 REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 376 Revisió de alguos idicadores para medir desigualdad Medidas de Desigualdad Para medir el grado de desigualdad e la
Más detallesMedidas de Tendencia Central
EYP14 Estadística para Costrucció Civil 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los
Más detallesTema 9 Teoría de la formación de carteras
Parte III Decisioes fiacieras y mercado de capitales Tema 9 Teoría de la formació de carteras 9.1 El problema de la selecció de carteras. 9. Redimieto y riesgo de ua cartera. 9.3 El modelo de la media-variaza.
Más detallesCuadro II.1 Valores absolutos de peso (kg) de niños y niñas < 5 años de Costa Rica, 1966. pc3. pc25 5.3 5.6 5.7 6.1 7.2 5.5 7.6 7.8 8.4 6.4 7.4 9.
II. CRECIMIENTO FÍSICO EN CENTROAMÉRICA Y REPÚBLICA DOMINICANA: MEDIDAS ABSOLUTAS PESO Y TALLA, POR EDAD Y SEXO Y COMPARACIÓN CON EL PATRÓN CRECIMIENTO LA OMS (2005) A. Por países 1. Costa Rica E los cuadros
Más detallesDISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)
Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico
Más detallesCRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS
CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS Curso Preparació y Evaluació Social de Proyectos Sistema Nacioal de Iversioes Divisió de Evaluació Social de Iversioes MINISTERIO DE DESARROLLO SOCIAL
Más detalles1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)
1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :
Más detallesTEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA
. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN. TEMA 3.- OPEACIÓN FINANCIEA Se deomia operació fiaciera a todo itercambio o simultáeo de capitales fiacieros pactado etre dos agetes, siempre que se verifique la equivalecia,
Más detallesASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS
APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS PROFESORES: MARIN JAIMES CARLOS JAVIER SARMIENTO LUIS JAIME UNIDAD 3: EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN EL VALOR PRESENTE NETO VPN Es ua
Más detalles7.2. Métodos para encontrar estimadores
Capítulo 7 Estimació putual 7.1. Itroducció Defiició 7.1.1 U estimador putual es cualquier fució W (X 1,, X ) de la muestra. Es decir, cualquier estadística es ua estimador putual. Se debe teer clara la
Más detallesCapítulo 2. Operadores
Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática
Más detalles16 Distribución Muestral de la Proporción
16 Distribució Muestral de la Proporció 16.1 INTRODUCCIÓN E el capítulo aterior hemos estudiado cómo se distribuye la variable aleatoria media aritmética de valores idepedietes. A esta distribució la hemos
Más detalles5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras
Más detallesUna de las herramientas más utilizadas por los analistas técnicos es la llamada media móvil.
Medias Móviles Ua de las herramietas más utilizadas por los aalistas técicos es la llamada media móvil. La media móvil de u istrumeto fiaciero es simplemete el promedio de u úmero, predetermiado, de valores
Más detallesModelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo
Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada
Más detallesTema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor
Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació
Más detalles2. LEYES FINANCIERAS.
TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),
Más detallesMedidas de riesgo, características y técnicas de medición: una aplicación del VaR y el ES a la tasa interbancaria de Colombia
BANCO DE LA REPUBLICA Gerecia Técica Medidas de riesgo, características y técicas de medició: ua aplicació del VaR y el ES a la tasa iterbacaria de Colombia Luis Ferado Melo Veladia Oscar Reialdo Becerra
Más detallesUNIVERSIDAD DE ATACAMA
UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL N o 3 Profesor: Hugo S. Salias. Primer Semestre 2012 1. El ivel
Más detallesEstimación puntual y por intervalos de confianza
Ídice 6 Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6.1 6.1 Itroducció.......................................... 6.1 6. Estimador........................................... 6. 6.3 Método de costrucció
Más detallesESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...}
ESTADÍSTICA BÁSICA 1.) Coceptos básicos: Estadística: Es ua ciecia que aaliza series de datos (por ejemplo, edad de ua població, altura de u equipo de balocesto, temperatura de los meses de verao, etc.)
Más detallesModulo IV. Inversiones y Criterios de Decisión. Inversión en la empresa. Análisis de Inversiones
Modulo IV Iversioes y Criterios de Decisió Aálisis de Iversioes 1. Iversió e la empresa 2. Métodos aproximados de valoració y selecció de iversioes 3. Criterio del valor actualizado eto (VAN) 4. Criterio
Más detallesSeñales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones
Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas
Más detallesAnálisis de datos en los estudios epidemiológicos II
Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices
Más detallesEstimación puntual y por intervalos
0/1/011 Aálisis de datos gestió veteriaria Estimació putual por itervalos Departameto de Producció Aimal Facultad de Veteriaria Uiversidad de Córdoba Córdoba, 30 de Noviembre de 011 Estimació putual por
Más detallesTransformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)
Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos
Más detallesANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES
ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES Las medidas de PML a ser implemetadas, se recomieda e base a las opcioes de PML calificadas como ecoómicamete factibles.
Más detallesAnálisis en el Dominio de la Frecuencia. Análisis en el Dominio de la Frecuencia. Sistemas de Control. Análisis en el Dominio de la Frecuencia
Aálisis e el Domiio de la Frecuecia Sistemas de Cotrol El desempeño se mide por características e el domiio del tiempo Respuesta e el tiempo es díficil de determiar aalíticamete, sobretodo e sistemas de
Más detallesMATEMÁTICAS FINANCIERAS
MATEMÁTIAS FINANIERAS Secció: 1 Profesores: ristiá Bargsted Adrés Kettlu oteido Matemáticas Fiacieras: Iterés Simple vs Iterés ompuesto Valor Presete y Valor Futuro Plaificació estratégica Matemáticas
Más detallesBIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal.
Departameto de Estadística Uiversidad Carlos III de Madrid BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalecia (trasversales) CONCEPTOS CLAVE 1) Características del diseño e u estudio de prevalecia, o trasversal
Más detallesTema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza.
Tema 9. Iferecia Estadística. Itervalos de cofiaza. Idice 1. Itroducció.... 2 2. Itervalo de cofiaza para media poblacioal. Tamaño de la muestra.... 2 2.1. Itervalo de cofiaza... 2 2.2. Tamaño de la muestra...
Más detallesPara efectuar la evaluación de los criterios de integración se utilizó correspondiente a las distancias relativas de Hamming. i=1
3.4 Evaluació de la implemetació y su compatibilidad co NC PAS:99:2008 La aplicació del modelo del CMI y la herramieta de medició (el CM ODUN) permitió cotrastar los resultados co lo establecido por la
Más detallesSoluciones Hoja de Ejercicios 2. Econometría I
Ecoometría I. Solucioes Hoja 2 Carlos Velasco. MEI UC3M. 2007/08 Solucioes Hoja de Ejercicios 2 Ecoometría I 1. Al pregutar el saldo Z (e miles de euros) de su cueta de ahorro cojuta a u matrimoio madrileño
Más detallesEstimación puntual y por Intervalos de Confianza
Capítulo 7 Estimació putual y por Itervalos de Cofiaza 7.1. Itroducció Cosideremos ua v.a X co distribució F θ co θ descoocido. E este tema vemos cómo dar ua estimació putual para el parámetro θ y cómo
Más detallesFórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)
Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio
Más detallesLey de los números grandes
Capítulo 2 Ley de los úmeros grades 2.. La ley débil de los úmeros grades Los juegos de azar, basa su sistema de gaacias, fudametalmete e la estabilidad a largo plazo garatizada por las leyes de la probabilidad.
Más detallesESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Cuado estamos iteresados e estudiar algua característica de ua població (peso, logitud de las hojas,
Más detallesAnálisis estadístico de datos simulados Estimadores puntuales
Aálisis estadístico de datos simulados Estimadores putuales Georgia Flesia FaMAF 5 de mayo, 2015 Aálisis estadístico Modelizació estadística: Elegir ua distribució e base a los datos observados. Estimar
Más detallesA N U A L I D A D E S
A N U A L I D A D E S INTRODUCCION Y TERMINOLOGIA Se deomia aualidad a u cojuto de pagos iguales realizados a itervalos iguales de tiempo. Se coserva el ombre de aualidad por estar ya muy arraigado e el
Más detallesMEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco
MEDIDAS DE RESUMEN Jorge Galbiati Riesco Las medidas de resume sirve para describir e forma resumida u cojuto de datos que costituye ua muestra tomada de algua població. Podemos distiguir cuatro grupos
Más detallesRevisión de conceptos: S 2 p ( 1 p ) Distribución binomial: Programa de Efectividad Clínica 2003 Bioestadística Vilma E. Irazola.
Programa de Efectividad Clíica 003 Bioestadística Vilma E. Irazola DATOS CATEGORICOS COMPARACION DE PROPORCIONES Revisió de coceptos: Cotiuos Tipos de datos Discretos Categóricos Ejemplo: Variable a a
Más detallesCADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida
CADENAS DE MARKOV Itroducció U proceso o sucesió de evetos que se desarrolla e el tiempo e el cual el resultado e cualquier etapa cotiee algú elemeto que depede del azar se deomia proceso aleatorio o proceso
Más detallesUNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento.
UNIDAD Nº 2 Leyes fiacieras: Iterés simple. Iterés compuesto. Descueto. 2.1 La Capitalizació simple o Iterés simple 2.1.1.- Cocepto de Capitalizació simple Es la Ley fiaciera segú la cual los itereses
Más detallesCONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS.
GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 8º. PRESTAMOS. 1.- Coceptos básicos de préstamos. CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS. Coceptos básicos de prestamos. Préstamo. U préstamo es la operació fiaciera que cosiste e la etrega,
Más detallesGlobal Venture Clasificadora de Riesgo
2 Global Veture Clasificadora de Riesgo L a clasificació de riesgo tiee como propósito pricipal el que los iversioistas y las istitucioes/empresas cuete co ua herramieta que les permita determiar los riesgos
Más detallesEstadística Descriptiva
Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 1) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Más detallesProgramación Entera (PE)
Programació Etera (PE) E geeral, so problemas de programació lieal (PPL), e dode sus variables de decisió debe tomar valores eteros. Tipos de PE Cuado se requiere que todas las variables de decisió tome
Más detallesCAL. CONTROL Y ASEGURAMIENTO DE CALIDAD
MCAL103/03 LIBRO: PARTE: TÍTULO: CAL. CONTROL Y ASEGURAMIENTO DE CALIDAD 1. CONTROL DE CALIDAD 03. Aálisis Estadísticos de Cotrol de Calidad A. CONTENIDO Este Maual cotiee los procedimietos para aalizar,
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO.001-.00 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella,
Más detallesCONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA El campo de la estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Motgomery
Más detallesMatemáticas Financieras Material recopilado por El Prof. Enrique Mateus Nieves. Financial math.
Matemáticas Fiacieras Material recopilado por El Prof. Erique Mateus Nieves Fiacial math. 2.10 DESCUENO El descueto es ua operació de crédito que se realiza ormalmete e el sector bacario, y cosiste e que
Más detallesMC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009
1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN APUNTES CURSO: ALGEBRA SUPERIOR INGENIERIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Medoza Primavera 2009 2
Más detallesUnidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:
Uidad 5 Aualidades vecidas Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: Calculará el valor de la reta de ua perpetuidad simple vecida. Calculará el valor actual de ua perpetuidad simple vecida. Calculará
Más detallesTeoría de colas. Andrés Ramos Universidad Pontificia Comillas http://www.iit.comillas.edu/aramos/ Andres.Ramos@comillas.edu TEORÍA DE COLAS 1
Teoría de colas Adrés Ramos Uiversidad Potificia Comillas http://www.iit.comillas.edu/aramos/ Adres.Ramos@comillas.edu TEORÍA DE COLAS 1 Ua cola se produce cuado la demada de u servicio por parte de los
Más detallesUNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida.
UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN características de asigació. método húgaro o de matriz reducida. Ivestigació de operacioes Itroducció U caso particular del modelo de trasporte es el modelo de asigació,
Más detallesUna serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0
Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada
Más detallesImposiciones y Sistemas de Amortización
Imposicioes y Sistemas de Amortizació La Imposició u caso particular de reta e el cual cada térmio devega iterés (simple o compuesto) desde la fecha de su aboo hasta la fecha fial. Imposicioes Vecidas
Más detallesCOMUNICACIÓN A 5272 27/01/2012
2012 Año de Homeaje al doctor D. Mauel Belgrao A LAS ENTIDADES FINANCIERAS: COMUNICACIÓN A 5272 27/01/2012 Ref.: Circular LISOL 1-545 CONAU 1-962 Exigecia de capital míimo por riesgo operacioal. Determiació
Más detallesEjemplos y ejercicios de. Análisis Exploratorio de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios.
ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS Ejemplos y ejercicios de Aálisis Exploratorio de Datos Descripció estadística de ua variable. Ejemplos y ejercicios..1 Ejemplos. Ejemplo.1 Se ha medido el grupo saguíeo de
Más detallesTEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:
TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a
Más detallesPRUEBAS DE HIPÓTESIS
PRUEBAS DE HIPÓTESIS E vez de estimar el valor de u parámetro, a veces se debe decidir si ua afirmació relativa a u parámetro es verdadera o falsa. Vale decir, probar ua hipótesis relativa a u parámetro.
Más detallesSolución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004
Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos
Más detallesInforme sobre el Cálculo de Errores de Muestreo Encuesta sobre Condiciones de Vida - ECV
Iforme sobre el Cálculo de Errores de Muestreo Ecuesta sobre Codicioes de Vida - ECV EUSKAL ESTATISTIKA ERAKUNDA INDICE. Itroducció...3 2. Método de expasió de Taylor...3 3. Cálculo de errores....4 3.
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)
Más detalles1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación)
Aputes: Matemáticas Fiacieras 1. Lecció 11 - Operacioes Fiacieras a largo plazo - Préstamos (Cotiuació) 1.1. Préstamo: Método de cuotas de amortizació costates E este caso se verifica A 1 = A 2 = = A =
Más detalleswww.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com
Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve El cocepto de límite Correo electróico: josearturobarreto@yahoo.com Zeó de Elea (90 A.C) plateó la
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea la regió defiida por las siguietes iecuacioes: x/2 + y/3 1 ; - x + 2y 0; y 2. (2 putos) Represete
Más detallesSELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las
Más detallesEncuesta y experimento de campo: redes sociales, confianza, información y desarrollo financiero 1
Ecuesta y experimeto de campo: redes sociales, cofiaza, iformació y desarrollo fiaciero 1 Soia Di Giaatale, Alexader Elbittar, María José Roa 2, Patricia López 3 Itroducció El objetivo geeral de la presete
Más detallesCapítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas
La importacia del factor de potecia e las redes eléctricas. Itroducció Las fuetes de alimetació o geeradores de voltaje so las ecargadas de sumiistrar eergía e las redes eléctricas. Estas so de suma importacia,
Más detallesCalculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Dibuje el recito
Más detallesANEXO 2 INTERES COMPUESTO
ANEXO 2 INTERES COMPUESTO EJERCICIOS VARIOS: 1. Adrés y Silvaa acaba de teer a su primer hijo. Es ua iña llamada Luciaa. Adrés ese mismo día abre ua cueta para Luciaa co la catidad de $3 000,000.00. Qué
Más detallesOPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES
MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6
Más detallesPolinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios
Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua
Más detallesDETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO
DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO Coteido: Resume ejecutivo I. Los estadígraos e la ormació de portaolios de activos iacieros II. Portaolios
Más detallesVALORACIÓN DE EMPRESAS
VALORACIÓN DE EMPRESAS Alfoso A. Rojo Ramírez Catedrático de Ecoomía Fiaciera y Cotabilidad (Uiversidad de Almería) Presidete de Auditor Valoració de empresas Justificació Alguos coceptos básicos de valoració.
Más detallesIMPACTO DE EVENTOS EXTREMOS EN LA GESTIÓN DE PORTAFOLIOS
IMPACTO DE EVENTOS EXTREMOS EN LA GESTIÓN DE PORTAFOLIOS INTRODUCCIÓN Flavia E. Matsuda Yamada Javier I. García Froti E el desarrollo de procedimietos para la gestió de riesgos fiacieros, la herramieta
Más detallesLA TEORÍA DE VALOR EXTREMO Y EL RIESGO OPERACIONAL: UNA APLICACIÓN EN UNA ENTIDAD FINANCIERA
Revista Igeierías Uiversidad de Medellí LA TEORÍA DE VALOR EXTREMO Y EL RIESGO OPERACIONAL: UNA APLICACIÓN EN UNA ENTIDAD FINANCIERA Jua Guillermo Murillo Gómez * Recibido: 31/08/2009 Aceptado: 05/10/2009
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO 009-010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B).
Más detallesESTIMACIÓN PUNTUAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA Autores: Ágel A. Jua (ajuap@uoc.edu), Máimo Sedao (msedaoh@uoc.edu), Alicia Vila (avilag@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Defiició Propiedades
Más detallesBINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON
págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:
Más detallesLA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción
CAPÍTULO SEIS LA TRANSFORMADA Z 6. Itroducció E el Capítulo 5 se itrodujo la trasformada de Laplace. E este capítulo presetamos la trasformada Z, que es la cotraparte e tiempo discreto de la trasformada
Más detallesEXAMEN DE TÉCNICAS PARA EL ANÁLISIS DEL MERCADO. 11-Septiembre-2014.
EXAMEN DE TÉCNICAS PARA EL ANÁLISIS DEL MERCADO. -Septiembre-04. APELLIDOS: DNI: NOMBRE:. Se quiere hacer u estudio sobre las persoas que usa iteret e ua regió dode el 40% de los habitates so mujeres.
Más detallesMATEMÁTICA. Unidad 3 Utilicemos funciones Reales de variable Real. Utilicemos medidas de tendencia central. Trabajemos con medidas de posición
MATEMÁTICA Uidad Utilicemos fucioes Reales de variable Real. Utilicemos medidas de tedecia cetral. Trabajemos co medidas de posició Objetivos de la Uidad: Resolverás situacioes que implique la utilizació
Más detalles0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1
IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A JRCICIO 1 ( putos) Sea las matrices: -1 4-1 - 1 5 - -6 A ; B 0-1 y C 0-1 1 0 1-0 -1 Determie X e la ecuació matricial
Más detallesINFERENCIA ESTADÍSTICA. CONTRASTE DE HIPÓTESIS
INFERENCIA ESTADÍSTICA. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 1. El peso medio de ua muestra aleatoria de 100 arajas de ua determiada variedad es de 272 g. Se sabe que la desviació típica poblacioal es de 20 g. A u ivel
Más detallesSOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN
Más detallesTeorías de falla bajo cargas estáticas
Teorías de falla bajo cargas estáticas Carlos Armado De Castro P. Coteido: - Itroducció - Falla de materiales dúctiles - Falla de materiales frágiles. Itroducció La falla es la pérdida de fució de u elemeto
Más detallesTema III: La Elección de Inversiones. Economía de la Empresa: Financiación. Prof. Francisco Pérez Hernández
Tema III: La Elecció de Iversioes Ecoomía de la Empresa: Fiaciació Prof. Fracisco Pérez Herádez La Elecció de Iversioes Para ayudar a la elecció de distitas operativas de iversió, se puede seguir distitos
Más detallesPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO 009-010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS. - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y,
Más detallesUnidad Central del Valle del Cauca Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Programa de Contaduría Pública
Uidad Cetral del Valle del Cauca acultad de Ciecias Admiistrativas, Ecoómicas y Cotables Programa de Cotaduría Pública Curso de Matemáticas iacieras Profesor: Javier Herado Ossa Ossa Ejercicios resueltos
Más detallesPRUEBA A ( ) ( ) p z p z 0.4988 1 0.4988 0.4988 1 0.4988 0.4988 1.96,0.4988 + 1.96 = 0.4521, 0.5455 441 441
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD LOGSE CURSO 007-008 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC SS - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe respoder
Más detalles17,8% -10,3% Recomendación de inversiones Marzo 2015 LA VOLATILIDAD APARECE EN LA RENTA FIJA PREFERENCIA EN RENTA VARIABLE RESUMEN ESTRATEGIA
Recomedació de iversioes LA VOLATILIDAD APARECE EN LA RENTA FIJA RESUMEN ESTRATEGIA RECOMENDACIÓN Mateemos la exposició eutral etre reta fija y reta variable. Si bie los riesgos asociados a Grecia y a
Más detallesAPLICACIÓN DEL PROGRAMA SPSS EN EL CONTROL DE CALIDAD DE PROCESOS Y PRODUCTOS QUÍMICOS
APLICACIÓN DEL PROGRAMA SPSS EN EL CONTROL DE CALIDAD DE PROCESOS Y PRODUCTOS QUÍMICOS Esperaza Mateos, Aa Elías, Gabriel Ibarra Uiversidad del País Vasco iapmasae@lg.ehu.es Resume Ua de las asigaturas
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió
Más detallesEl efecto de la volatilidad del peso mexicano en los rendimientos y riesgo de la Bolsa Mexicana de Valores
El efecto de la volatilidad del peso mexicano en los rendimientos y riesgo de la Bolsa Mexicana de Valores Fecha de recepción: 07.11.2011 Fecha de aceptación: 05.12.2011 Raúl de Jesús Gutiérrez Facultad
Más detallesPlanificación contra stock
Plaificar cotra stock 5 Plaificació cotra stock Puede parecer extraño dedicar u tema al estudio de métodos para plaificar la producció de empresas que trabaja cotra stock cuado, actualmete, sólo se predica
Más detallesCuadernos de Administración ISSN: 0120-3592 revistascientificasjaveriana@gmail.com Pontificia Universidad Javeriana Colombia
Cuaderos de Admiistració ISSN: 0120-3592 revistascietificasjaveriaa@gmail.com Potificia Uiversidad Javeriaa Colombia Varela, Rodrigo La decisió de iversió y sus complejidades. Ua crítica al artículo ``Metodología
Más detalles