Revista Contaduría y Administración Editada por la División de Investigación de la Facultad de Contaduría y Administración de la UNAM

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1 Revista Editada por la Divisió de Ivestigació de la Facultad de de la UNAM Artículo origial aceptado (e correcció) Título: El efecto de la volatilidad del peso mexicao e los redimietos y riesgo de la Bolsa Mexicaa de Valores Autor: De Jesús Gutiérrez, Raúl y Edgar, Ortiz Calisto. Fecha de recepció: Fecha de aceptació: El presete artículo ha sido aceptado para su publicació e la revista. Actualmete se ecuetra e el proceso de revisió y correcció sitáctica, razó por la cual su versió fial podría diferir sustacialmete de la presete. Ua vez que el artículo se publica ya o aparecerá más e esta secció de artículos de próxima publicació, por lo que debe citarse de la siguiete maera: De Jesús Gutiérrez, Raúl y Edgar, Ortiz Calisto (2011), El efecto de la volatilidad del peso mexicao e los redimietos y riesgo de la Bolsa Mexicaa de Valores,, próxima publicació.

2 El efecto de la volatilidad del peso mexicao e los redimietos y riesgo de la Bolsa Mexicaa de Valores Fecha de recepció: Fecha de aceptació: Raúl de Jesús Gutiérrez 1 Edgar Ortiz Calisto 2 Resume El efecto de las colas pesadas origiado por los evetos extremos y los diferetes iveles de asimetría asociados a la alta volatilidad e aglomeracioes e los mercados fiacieros de ecoomías emergetes requiere de modelos más sofisticados para su modelació. El objetivo de esta ivestigació es aplicar la teoría de valores extremos (TVE) para cuatificar el riesgo de la cola de los redimietos diarios de la Bolsa Mexicaa de Valores bajo la agregació del riesgo del tipo de cambio durate el periodo de eero de 1971 a diciembre de Este aálisis sugiere el uso de la distribució de valor extremo geeralizada y la técica de bloques máximos para explicar el comportamieto asitótico de los redimietos extremos. Los resultados empíricos muestra el potecial de la medida VaR basada e la TVE para capturar las propiedades de colas pesadas e los redimietos de los mercados accioarios altamete volátiles a diferecia de los modelos VaR covecioales. Además, la evidecia empírica demuestra que los iversioistas iteracioales co posicioes fiacieras largas está más propesos a experimetar pérdidas más grades que los que toma posicioes cortas e el mercado accioario mexicao durate periodos de crisis fiacieras y depreciacioes de la moeda local. Palabras Clave: Devaluacioes, Crisis fiacieras, Mercados fiacieros emergetes, Medidas VaR, Teoría de valores extremos. Abstract The effect of heavy tails due to rare evets ad differet levels of asymmetry associated with high volatility clusterig i the emergig fiacial markets requires sophisticated models for statistical modellig of such stylized facts. This article applies extreme value theory (EVT) to quatify tail risk o the daily returs of Mexica stock market uder aggregatio of foreig exchage rate risk from Jauary 1971 to December This study focus o the block maxima method ad geeralized extreme value distributio (GEVD) to model the asymptotic behavior of extreme returs i US dollars. The empirical results show that EVT-Based VaR measured at high cofidece levels performs better tha simulatio historical ad delta-ormal VaR models o capturig fat-tails i the returs of highly volatile stock markets. Additioally, iteratioal ivestors holdig log positios i Mexica stock market are more proe to experiece larger potetial losses tha ivestors with short positios durig depreciatio of local currecy ad fiacial crisis periods. Keywords: Devaluatios, Fiacial crises, Emergig fiacial markets, Value at risk, Extreme value theory. 1 Uiversidad Autóoma del Estado de México; 2 Uiversidad Autóoma del Estado de México;

3 Itroducció E la actualidad, los mercados de divisas al cotado so los más líquidos y grades a ivel global. E su cojuto las operacioes de los mercados de divisas supera a las operacioes bursátiles de los pricipales mercados de diero y capital. E los últimos años, el desarrollo de los mercados cambiarios o sólo se ha reflejado de maera positiva e la coducció del comercio acioal e iteracioal, la política moetaria y la competitividad de los países desarrollados y e vías de desarrollo, sio tambié e la captació de eormes flujos de capital de iversió directa y de portafolio. E este setido, el dólar de Estados Uidos, a pesar de los problemas de su ecoomía, es la divisa más importate del mudo; es la divisa domiate de reservas iteracioales y sus trasaccioes costituye casi la mitad de las egociacioes globales de divisas; fialmete, es la moeda cotractual de ua gra mayoría de las trasaccioes reales y fiacieras iteracioales. Recietemete, esta divisa extrajera ha experimetado u desceso sigificativo e su valor co respecto a las pricipales moedas duras y alguas moedas exóticas del mudo durate el periodo , por ejemplo, 30.81, 19.70, 23.47, 40.73, y 7.86 por cieto e relació al dólar caadiese, ye, euro, fraco suizo, yua chio y real brasileño, respectivamete. De ahí que su posició de seigiorage sea cotiuamete cuestioada. Si embargo, debido a la fragilidad de la ecoomía mexicaa y su excesiva depedecia de sus relacioes ecoómicas co Estados Uidos, el dólar ha mateido su fortaleza frete al peso, a tal grado de alcazar ua apreciació del por cieto durate el mismo periodo. Desde la seguda mitad de los setetas del siglo pasado, después del colapso del sistema de paridad fija de los tipos de cambio, el comportamieto de la variabilidad del peso mexicao se ha covertido e u tópico de mayor relevacia para la competitividad y desempeño de la actividad ecoómica del país, e particular para el proceso de la iversió de portafolio iteracioal. Desde el puto de vista teórico y empírico, la iterrelació etre los precios de las accioes y los tipos de cambio ha sido ampliamete documetada auque co resultados variables para diferetes periodos de tiempo (Ramasamy y Yeug, 2005). De acuerdo co Michaelides (2003), el feómeo de la exposició del tipo de cambio extrajero tiee u efecto egativo e el comportamieto de la iversió de portafolio

4 iteracioal; es decir, reduce su atractivo para los iversioistas adversos al riesgo. Además, evidecia empírica reciete ha demostrado que esta variable macroecoómica juega u papel determiate e la composició, diversificació y rebalaceo del portafolio de iversió como alterativa para reducir el riesgo o sistemático (Hau y Rey, 2004; Gourichas y Rey, 2005). Por su parte, la iestabilidad e los mercados cambiarios icremeta sigificativamete tato la volatilidad como los redimietos extremos e los mercados accioarios, creado serios problemas e la estimació exacta de las pérdidas poteciales e las iversioes de portafolio al reducir el desempeño de las medidas covecioales de valor e riesgo (VaR, por sus siglas e iglés) propuestas por el Comité de Basilea. 3 Estas aproximacioes populares utilizadas e la regulació bacaria y la admiistració del riesgo de mercado e los últimos años se divide e dos grupos: los métodos paramétricos y los o paramétricos. Los métodos paramétricos coocidos como los modelos delta-ormal y GARCH (co iovacioes ormales y t-studet) suele subestimar el riesgo de los portafolios de iversió. Esto se atribuye a su limitado alcace para capturar apropiadamete el efecto de las colas pesadas o achas origiado por los evetos extremos, los cuales se cocetra fuera del iterior de la distribució de redimietos (Duffie y Pa, 1997; Vlaar, 2000). Por su parte, el método de simulació histórica o o paramétrico es más eficiete para recoger los evetos extremos origiados por desplomes bursátiles, burbujas fiacieras y devaluacioes e los tipos de cambio que suele ocurrir o sólo e períodos recesivos, sio tambié durate auges ecoómicos. No obstate, la aturaleza discreta de los redimietos e el iterior de la distribució empírica y la carecia de iformació muestral e las colas colleva a sobrestimar el riesgo de mercado (Zhao et al., 2010; De Jesús y Ortiz, 2011). E este cotexto, ua medida de riesgo alterativa más cosistete que calcula mejor la severidad de las pérdidas poteciales que excede el ivel del VaR, es la medida de exceso esperado (Expected Shortfall) itroducida por Artzer et al. (1997 y 1999), tambié coocida como valor e riesgo codicioal (CVaR). Estas medidas so 3 Para más detalles de los modelos iteros utilizados por los bacos para la determiació de los requerimietos de capital, véase Basle Committee o Bakig Supervisio (1996a).

5 propuestas e la literatura fiaciera como medidas de riesgo coheretes, ya que comparte las mismas propiedades cuado se aplica a distribucioes cotiuas. La medida CVaR, desde el puto de vista fiaciero, estima el riesgo de la cola de la distribució de maera más eficiete y coservadora al icorporar tato la frecuecia como el tamaño de los evetos extremos. Además, satisface la propiedad de subaditividad y la codició de covexidad que permite realizar u aálisis del riesgoredimieto e el cotexto de la teoría modera del portafolio de Markowitz (Rockafellar y Uryasev, 2000). Si embargo, la medida CVaR bajo el supuesto de ormalidad y para altos iveles de cofiaza subestima el riesgo, al o lograr recoger toda la iformació de las colas de la distribució de redimietos. Este problema, e gra medida, afecta el comportamieto de los iversioistas racioales, puesto que o cueta co suficiete iformació para tomar decisioes co respecto a la etrada o salida del mercado. Por lo aterior, el desafío de la cuatificació del riesgo se vuelve ua tarea más importate y crucial e las ecoomías emergetes, e dode la combiació de u desplome e el mercado de capital y ua devaluació abrupta e el tipo de cambio puede propiciar catastróficas pérdidas e las posicioes fiacieras corta y larga de los iversioistas iteracioales, pricipalmete como resultado de las grades fluctuacioes e liquidez de los mercados, esto es, variacioes e los precios de los activos y e el volume de diero caliete derivado de la exuberacia irracioal presete e las iversioes de portafolio y los fodos de cobertura iteracioales. La aturaleza de los movimietos extremos e los mercados accioarios es rara por defiició, por ello su estudio y estimació para altos percetiles, e geeral, represeta ua tarea difícil para los académicos y aalistas fiacieros, puesto que se requiere de u cojuto grade de datos y la utilizació de técicas estadísticas más sofisticadas. E años recietes, la teoría de valores extremos (TVE) ha sido utilizada ampliamete por los académicos y los participates e los mercados fiacieros, co el fi de modelar apropiadamete el comportamieto asitótico de las colas de la distribució de redimietos e u cotexto uivariado y, al mismo tiempo, estimar las pérdidas poteciales e térmios de moeda local e los países idustrializados y emergetes. Si embargo, la literatura existete sólo ha aplicado la teoría de valores

6 extremos a los redimietos de los ídices bursátiles y los pricipales tipos de cambio de maera idividual, por lo que la evidecia empírica sobre el aálisis de los redimietos fiacieros extremos icorporado el factor de riesgo del tipo de cambio y aplicado ua distribució de colas pesadas es aú muy limitada e la literatura fiaciera tato e ecoomías desarrolladas como emergetes. Cotribuyedo a sobrepoer esta limitació, el objetivo de esta ivestigació es aplicar la TVE para estimar el riesgo de la cola e los redimietos de la Bolsa Mexicaa de Valores (BMV) bajo la agregació del efecto de la variabilidad del tipo de cambio peso/dólar estadouidese para el periodo del 2 de eero de 1971 al 31 de diciembre de 2010 que icluye la adopció de varios regímees cambiarios, iicialmete de ua estrategia de tipo de cambio fijo a la fial adopció del libre mercado de cambios desde La motivació de la ivestigació es que como mercado emergete co fudametos macroecoómicos débiles e importates cambios estructurales y regulatorios e la actualidad, el Ídice de Precios y Cotizacioes de la BMV proporcioa ua extraordiaria oportuidad para aalizar u sigificate cojuto de datos extremos origiados o sólo por las crisis fiacieras, burbujas especulativas y auges ecoómicos, sio tambié por las recurretes devaluacioes y altas depreciacioes del peso mexicao a lo largo de este periodo de estudio. Ate esta situació la preguta que surge es la siguiete: cómo se comporta las colas de la distribució de redimietos de la BMV bajo la agregació del riesgo cambiario? La presete ivestigació está estructurada de la siguiete forma. Después de esta itroducció, e la secció 2 se preseta la revisió de la literatura. La secció 3 está dedicada a la descripció de los datos fiacieros y aálisis de sus propiedades estadísticas, así como el comportamieto de la volatilidad codicioal, resaltado el comportamieto de las colas pesadas o achas. La secció 4 revisa el marco teórico de la TVE, la aproximació estadística de la distribució de valor extremo geeralizada y la presetació de las medidas VaR basadas e la TVE. La secció 5 aplica la TVE para estimar el riesgo fiaciero de los redimietos de la BMV expresados e dólares. Fialmete, la secció 6 resume los resultados empíricos y preseta las coclusioes de este aálisis para la admiistració de riesgos. 4 E u reciete documeto el Baco de México (2009) describe detalladamete los regímees cambiarios adoptados por México desde 1954.

7 Revisió de la Literatura Desde el puto de vista teórico y práctico, el pricipal problema que ha efretado académicos y aalistas fiacieros e las diversas aplicacioes fiacieras, particularmete e aquellas relacioadas co la admiistració de riesgos, ha sido la selecció apropiada de la distribució de probabilidad para la modelació asitótica de los redimietos fiacieros. Diversos aálisis tradicioales ha propuesto la distribució ormal para describir el comportamieto de los redimietos fiacieros. Si embargo, la presecia de movimietos extremos o atípicos observados e la mayoría de las series fiacieras ha reducido su potecial para capturar totalmete el exceso de curtosis y los diferetes iveles de asimetría. De hecho, la omisió del feómeo de las colas pesadas, leptocurtosis y la forma apropiada de la distribució de redimietos puede geerar sigificativos sesgos e la estimació del VaR y, co ello, isuficietes requerimietos de capital para hacer frete a las pérdidas poteciales derivadas por cambios iesperados e los factores de riesgo de las posicioes de mercado de las istitucioes fiacieras. Por cosiguiete, múltiples modelos ha sido sugeridos e la literatura fiaciera para capturar la asimetría y las colas pesadas de los redimietos fiacieros etre ellas se icluye las distribucioes -stable, mixtura de ormales, t-studet y los procesos de difusió de saltos (Madelbrot, 1963; Fama, 1965; Hull y White, 1998; Heikkie y Kato 2002; Jorio, 1988). Por su parte, el problema de la asimetría presetado e los modelos ateriores ha sido tratado por Azzalii (1985 y 1986) y Feradez y Steel (1998), quiees co sólo agregar u parámetro de asimetría obtiee la distribució ormal sesga y la distribució t-studet sesgada, respectivamete. 5 Pese a que la mayoría de las distribucioes ateriormete mecioadas recoge apropiadamete los efectos de las colas pesadas o achas y la asimetría observados e los redimietos fiacieros. Si embargo, la carecia de solucioes de forma cerrada y la limitació e el aálisis de las colas de maera idepediete reduce el potecial de estas distribucioes e la estimació del verdadero riesgo extremo. 5 Para u aálisis más detallado de las propiedades de la distribució t-studet sesgada y su extesió al cotexto multivariado, véase Azzalii y Capitaio (2003).

8 E respuesta a las icosistecias y desvetajas que preseta los modelos previos para capturar la magitud y la probabilidad de los evetos extremos. La TVE proporcioa u cojuto de herramietas sólidas para eteder y modelar el comportamieto estadístico de los evetos catastróficos raros capturados e las colas de las distribucioes empíricas de las series fiacieras. Auque, el desarrollo de la TVE se iicio e los campos de la hidrología, climatología y seguros; su aceptació como herramieta complemetaria e la admiistració del riesgo cuatitativo e los mercados fiacieros ha crecido otablemete durate las últimas décadas, pricipalmete para el caso de ecoomías idustrializadas. U trabajo pioero se atribuye a Logi (2000), quie estima el riesgo de los redimietos del ídice accioario S&P500, y ecuetra que la medida VaR basada e la TVE proporcioa mejores resultados que los modelos paramétricos. Por su parte, u aálisis que modela el riesgo catastrófico e los mercados iteracioales de Estados Uidos, Japó y Lodres icluye a Cotter (2006). U trabajo que cotribuye a la estimació del parámetro del ídice de la cola y cuatificació del riesgo extremo icluye a Daielsso y de Vries (2000). Utilizado datos de frecuecia baja de los ídices accioarios DAX y S&P500, McNeil (1999) y McNeil y Frey (2000) muestra el potecial de la distribució de Pareto geeralizada (DPG) e la medició del riesgo relacioado co las colas de la distribució de redimietos. Asimismo, Gilli y Këllezi (2006) aplica la técica de valores extremos para medir el VaR y CVaR para los ídices accioarios Dow Joes Euro Stoxx 50, FTSE100, Hag Seg, Nikkei225 y S&P500, utilizado la DPG. Co respecto a la evidecia empírica e los mercados emergetes, destaca los trabajos de Jodeau y Rockiger (2003) y Susmel (2001), quiees emplea la DPG para comparar el comportamieto asitótico de las colas de la distribució etre mercados idustrializados y emergetes. Mietras que Gecay y Selcuk (2004) estima el VaR para diferetes mercados emergetes utilizado como herramieta la TVE y la DPG. Feradez (2003) preseta evidecia empírica sobre los redimietos del ídice accioario chileo (IPSA). Por su parte, da Silva y Medes (2003) y Ho et al. (2000) usa la teoría estadística de extremos basada e el procedimieto de bloques máximos para aalizar las pérdidas catastróficas e los pricipales mercados accioarios asiáticos. Assaf (2006) aplica la TVE para aalizar los mercados fiacieros de Egipto, Jordaia, Marruecos y Turquía, y ecuetra evidecia empírica de que los redimietos

9 fiacieros preseta propiedades de colas pesadas sigificativamete. Aalizado la cola iferior de la distribució asitótica de redimietos e el mercado accioario de Ateas, Tolikas y Brow (2006) muestra que los parámetros de la distribució de valores extremos so muy variables y la cola aalizada adopta ua tedecia cada vez meos pesada a través del tiempo. Fialmete, u estudio más reciete que aaliza los redimietos extremos y calcula el VaR y CVaR e los mercados accioarios de Brasil y México icluye a De Jesús y Ortiz (2011). E cuato a estudios empíricos que ha aplicado las técicas de la TVE para aalizar el comportamieto de los redimietos extremos e los tipos de cambio destaca el trabajo de Daielsso y de Vries (1997), quiees estima el ídice de la cola para redimietos itradía de tres divisas del mercado Forex. 6 De maera similar, Loreta y Phillips (1994) aplica la TVE para aalizar el comportamieto asitótico de las colas de la distribució de redimietos para las pricipales divisas duras de Europa y ye japoés. Por su parte, Hols y de Vries (1991) y Koedijk et al. (1990) proporcioa evidecia empírica para los redimietos semaales del dólar caadiese y las divisas del Sistema Moetario Europeo co referecia al dólar estadouidese, respectivamete. Cuatro estudios más recietes tambié aplica la TVE para estimar el VaR de los tipos de cambio. Aggarwal y Qi (2009) aaliza el comportamieto asitótico de los valores extremos e los tipos de cambio de ueve países de la regió da Asia respecto al dólar estadouidese y el ye japoés. Asimismo, Gavril (2009) preseta evidecia sobre el desempeño limitado de las metodologías tradicioales VaR y obtiee resultados más cofiables aplicado la TVE para el caso del euro respecto a cuatro divisas: fraco suizo, libra esterlia, leu de Rumaia, y dólar de Estados Uidos. Por su parte, Yag (2010) estima el VaR del yua de Chia cotra el dólar de Estados Uidos y el euro; emplea para su estudio u modelo GARCH y la teoría de valores extremos. Yag reporta que el ajuste de las colas de la GDP es muy alto y el VaR de gra cofiabilidad. Fialmete, Wag, Wu, Che y Zhou (2010) muestra que el alto grado de ajuste de la distribució de Pareto geeralizada para las observacioes de las colas de los redimietos del yua Chio, permite obteer medidas VaR y CVaR más robustas para la estimació de los riesgos e los tipos de cambio. No obstate, la evidecia empírica sobre valores extremos e los tipos de cambio exóticos de la regió de América Latia 6 Ye/Marco Alemá, Ye/Dólar Estadouidese y Marco Alemá/Dólar Estadouidese.

10 es casi ula debido a la carecia de datos, e particular para los países de Argetia, Brasil y México. Descripció y Aálisis de los Datos Fiacieros Co el fi de estudiar el efecto de la variabilidad del tipo de cambio e los redimietos y riesgo de la Bolsa Mexicaa de Valores, la presete ivestigació utiliza los precios de cierre diarios del Ídice de Precios y Cotizacioes de la BMV y el tipo de cambio para el periodo del 4 de eero de 1971 al 31 de diciembre de Cabe destacar que el periodo de estudio icluye las pricipales crisis y devaluacioes del peso mexicao e icluso el choque de la reciete crisis fiaciera global, cuyo impacto se reflejó e los mercados accioarios y cambiarios de todo el mudo. Ambas series fiacieras fuero obteidas de la base de datos de Bloomberg. La serie de los iveles del ídice bursátil se trasforma a dólares estadouideses, totalizado 10,047 observacioes después de obteer las series estacioarias, es decir, los redimietos r t = 100(l(P t )-l(p t-1 )). La moeda base para los aálisis a realizarse es el dólar de Estados Uidos porque e las últimas dos décadas las iversioes iteracioales deomiadas e dólares e la Bolsa Mexicaa de Valores ha sido mayoritarias, más del 90 por cieto, y e relació a la capitalizació total los motos de dicha iversió ha fluctuado etre 45% y 65%; adicioalmete, la iversió de portafolio extrajera frecuetemete ha sido mayor que la iversió extrajera directa; dada la volatilidad de la Bolsa Mexicaa de Valores y retiros masivos de iversioes e la Bolsa podría ocasioar gra iestabilidad e icluso crisis de la ecoomía mexicaa; fialmete debe recoocerse que el dólar de Estados es la divisa de referecia iteracioal para los iversioistas iteracioales. 7 El cuadro 1 resume las propiedades estadísticas de los redimietos e dólares de la BMV. Durate el periodo de estudio, el ídice bursátil ha experimetado u crecimieto espectacular alcazado u redimieto promedio positivo de por cieto (14.01 por cieto aual). La presecia de redimietos altos y positivos e la BMV se atribuye al hecho, de que como ecoomía emergete, ha logrado ua mayor expasió ecoómica que otros países de América Latia y, por ede, ha atraído crecietes 7 La capitalizació de la Bolsa Mexicaa de Valores ascedió a mil milloes de dólares de Estados Uidos e diciembre de Véase: World Federatio of Exchages (2011). E 2010 la iversió extrajera directa ascedió a $17.7 miles de milloes de dólares e tato que la iversió extrajera de cartera ascedió a $23.7 miles de milloes de dólares (ISI Emergig Markets Blog (2011)).

11 iversioes a sus mercados de capital como resultado de sus atractivos redimietos, la liberalizació de los flujos de capital etre países idustrializados y emergetes, pero sobretodo los esfuerzos de las autoridades por mateer la eficiecia y trasparecia e sus respectivos mercados fiacieros, reduciedo imediatamete la magitud de poteciales choques de liquidez egativos. Asimismo, La BMV se ha covertido e u importate mecaismo dode es posible ivertir por ua gama más amplia de iversioistas sofisticados, e particular, los fodos de pesioes, las aseguradoras y las sociedades de iversió estadouideses que busca estrategias de diversificació, formado portafolios grades de títulos de capital que e gra medida replica a este ídice accioario emergete a pesar de que su etoro cotiúa siedo riesgoso. Por esta razó, los redimietos expresados e dólares preseta ua alta desviació estádar del 2.07 por cieto ( por cieto aual). Este hecho tambié es sustetado por la amplia diferecia etre el redimieto promedio y los redimietos míimo y máximo observados, resultado de la alta e iestable volatilidad exhibida a través de tiempo, especialmete e los periodos , y cuado se presetaro las pricipales devaluacioes abruptas e el peso mexicao como se puede observar e la gráfica 1. De hecho, cabe resaltar que el redimieto míimo ocurrió el 6 de agosto de 1982 durate la crisis de la deuda extera, mietras que el redimieto máximo ocurrió el 18 de oviembre después del desplome del ídice accioario S&P500 y durate u periodo de extrema volatilidad. De esta maera, la evidecia cofirma que la BMV está asociada a u alto riesgo como cosecuecia de la sesibilidad de los redimietos accioarios a las variacioes del tipo de cambio. Cuadro 1 Estadísticas básicas de los redimietos diarios e dólares de la BMV Media Máximo Míimo Desv. Est. Sesgo Curtosis JB Nota: Los resultados de las estadísticas básicas so expresados e porcetajes para el periodo de aálisis del 4 de eero de 1971 al 31 de diciembre de Desv. Est. represeta la desviació estádar de los redimietos; JB es el estadístico Jarque-Bera de la prueba de ormalidad. Asimismo, los redimietos accioarios se desvía sigificativamete de la ormalidad, es decir, preseta propiedades de colas pesadas o achas debido al exceso de curtosis (47.02) y sesgo sigificativamete egativo (-2.23). La evidecia de sesgo egativo demuestra que los redimietos extremos egativos suele ocurrir más frecuetemete

12 que los redimietos extremos egativos; este hallazgo idica que las colas de la distribució de redimietos preseta diferetes características estadísticas. La prouciada asimetría cargada a la izquierda observada e los redimietos de la BMV es pricipalmete atribuida a las severas y recurretes devaluacioes experimetadas por el peso mexicao a lo largo de la historia. Este hecho estilizado característico de los mercados accioarios idustrializados es opuesto a los resultados obteidos e las pricipales ecoomías emergetes de América Latia, e dode los redimietos accioarios e moeda local preseta u ligero comportamieto de asimetría e la distribució de redimietos (De Jesús y Ortiz, 2011). El hecho estilizado de la asimetría es ampliamete explicado por la alta variabilidad y posibles cambios estructurales que icremeta la volatilidad de los redimietos fiacieros. La Gráfica 1 muestra que las series de los redimietos fiacieros preseta periodos de traquilidad dode los precios de los ídices accioarios se comporta más o meos estables seguidos de periodos relativamete volátiles, caracterizados por cambios grades e los precios que geeralmete ocurre e racimos; es decir, evidecia de heteroscedasticidad codicioal, tambié comúmete coocido como el efecto clusterig o volatilidad e aglomeracioes demostrado por Egle (1982) y Bollerslev (1986) Gráfica1: Redimietos e Dólares de la Bolsa Mexicaa de Valores. De acuerdo co la estimació del cuarto mometo, los redimietos de la serie fiaciera preseta evidecia de exceso de curtosis extremadamete alta y estadísticamete sigificativa. Esto cofirma que las colas de la distribució de redimietos de la BMV tiede a ser más pesadas que las colas de la distribució

13 ormal, obviamete atribuido a la mayor desidad probabilística. De acuerdo co los empíricos estudios de Fama (1965); Praetz (1972); Blattberg y Goedes (1974); Ko (1984); Tucker (1992) y Kim y Ko (1994), el feómeo de leptocurtosis ha sido sigificativamete más fuerte e los redimietos de frecuecia alta o diarios que e los datos de frecuecia baja u horizotes de tiempo más largos. La ausecia de ormalidad e los redimietos fiacieros tambié es cofirmada por la prueba estadística Jarque- Bera debido su alto valor y probabilidad igual a cero. Por otra parte, el Gráfico QQ es cosiderado otra herramieta estadística alterativa que permite explicar la estructura pricipal e los mercados accioarios y el comportamieto asitótico de los valores extremos capturados e las colas de la distribució de redimietos de las series fiacieras. La gráfica 2 muestra los cuatiles de la distribució empírica cotra los cuatiles de las distribucioes ormal y t-studet, respectivamete. E ambas gráficas claramete se puede observar que los redimietos de la BMV preseta propiedades de colas pesadas o achas y diferetes iveles de asimetría, puesto que las colas de la distribució empírica so más achas que las colas de la distribució ormal y t-studet auque e meor medida co respecto a esta última. Auque el feómeo de las colas pesadas es característico de las series fiacieras de frecuecia alta; este hecho estilizado es más prouciado y evidete e los mercados accioarios emergetes que e los idustrializados porque si los redimietos fiacieros realmete sigue ua distribució ormal, todas las observacioes debería permaecer sobre la líea recta de 45 grados cuado se grafica cotra los cuatiles de la distribució ormal. Si embargo, las observacioes se desvía de la líea recta e los putos extremos o colas, presetado mayor variabilidad que las observacioes capturadas e la parte cetral de la distribució empírica.

14 C u a t i l e s N o r m a l C u a t i l e s E m p í r i c o s 60 C u a t i l e s t - s t u d e t C u a t i l e s E m p í r i c o s Gráfica 2: Q-Q de los redimietos diarios cotra las distribucioes ormal y t- studet. De esta maera, el feómeo de las colas pesadas origiado por los evetos extremos o atípicos y los diferetes iveles de asimetría e los redimietos fiacieros asociados a la volatilidad e aglomeracioes requiere u trato y estudio especial, esto es, teorías fiacieras robustas efocadas específicamete a explorar la aturaleza de la distribució de redimietos fiacieros extremos. E este setido, la técica de la teoría de valores extremos juega u papel importate e la descripció del comportamieto asitótico de los evetos raros capturados profudamete e las colas de la distribució empírica.

15 Teoría de Valores Extremos Distribució de Valor Extremo Geeralizada y Estimació de los Parámetros Los evetos atípicos o extremos exhibidos e los mercados fiacieros so defiidos como los redimietos diarios más pequeños y grades. Estos movimietos extremos que experimeta los precios de las series fiacieras está asociados a las correccioes de los mercados fiacieros durate periodos ormales de operació y periodos de extrema volatilidad, derivados de los colapsos fiacieros tales como las caídas precipitosas e los ídices accioarios, crisis fiacieras, devaluacioes de las moedas, burbujas fiacieras o escádalos fiacieros, y que muchas de las veces so producto de los cotagios fiacieros como fue el caso de la crisis subprime. De acuerdo co el aálisis empírico de la distribució de frecuecia de pérdidas, Johase y Sorette (2001) ha demostrado que los colapsos fiacieros preseta características estadísticas muy similares a la de los outliers, por lo que debe ser tratados y estudiados de maera especial co modelos más sofisticados. Los fudametos matemáticos de la TVE basados e cotribucioes heurísticas y discusioes teóricas fuero origialmete propuestos por Fisher y Tippett (1928) y Gedeko (1943). Existe dos teorías para modelar el comportamieto de los valores extremos: el procedimieto estadístico de los bloques máximos y la técica de picos sobre u umbral (Peaks over Threshold). 8 Este estudio aplica la primera aproximació para aalizar los redimietos de las colas y cuatificar el riesgo catastrófico asumido por los iversioistas iteracioales. La técica de bloques máximos se cetra e la colecció de observacioes máximas y míimas extraídas de cada uo de los bloques o submuestras durate u periodo de tiempo fijo. El uso del método de bloques máximos o míimos reduce la depedecia exhibida e los datos fiacieros de frecuecia alta ocasioada por la heteroscedasticidad codicioal (Diebold et al., 2000). Desafortuadamete, la iexistecia de ua regla óptima o método estadístico robusto obliga a seleccioar la logitud del bloque de maera arbitraria. El teorema de Fisher-Tippett-Gedeko es la base fudametal de la TVE. Supógase que so variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas 8 Para ua explicació técica más detallada del método de picos sobre u umbral, véase Embrechts, Kluppelberg y Mikosch (1997).

16 co fució de distribució y defiiedo a como el valor máximo de las variables aleatorias. 9 Además, si existe dos sucesioes de úmeros ormalizadas y, co tal que, 10 dode H es ua fució de distribució o degeerada, etoces H perteece a ua de las siguietes familias: Gumbel: Fréchet: H r exp r 0,, r 0, r 0 0 Weibull: H r exp r 1,, r 0, r 0 0 De acuerdo co la reparametrizació sugerida por Jekiso (1955), esta familia de distribucioes se puede expresar como la distribució de valor extremo geeralizada (DVEG), es decir, (1) dode si y si. Para suficietemete grade e itroduciedo los parámetros de localizació y escala, la fució de distribució o degeerada se puede expresar de la siguiete maera: (2) 9 De maera similar, el míimo de los redimietos extremos egativos observados e u periodo de días de operació se defie como. d 10 La otació " " sigifica covergecia e distribució, véase Mittik y Rachev (1993) para más detalles.

17 si y sólo si la fució de distribució perteece al máximo domiio de atracció de y dode represeta el ídice de la cola de la distribució de valor extremo geeralizada. E este cotexto, el sigo del ídice de la cola es clave para describir el comportamieto de la cola de la distribució asitótica e idetificar el tipo de distribució que se utiliza para ajustar los datos fiacieros reales. De esta maera, si el parámetro del ídice de la cola de la distribució es estrictamete egativo, implica que la fució de distribució se ecuetra e el máximo domiio de atracció de la distribució de Fréchet geeralmete válida para modelar las series fiacieras. Existe varios casos particulares de distribucioes cuyas colas decae e forma poliomial que icluye a las distribucioes -estable, Cauchy, t-studet y la mixtura de ormales etre las más importates. Cuado se dice que la fució de distribució perteece al máximo domiio de atracció de la distribució de Weibull, la cual carece de eficiecia para explicar el comportamieto asitótico de los redimietos de las series fiacieras. Alguos ejemplos de estos tipos de distribucioes so la uiforme y la beta. Fialmete, si, la fució de distribució se ecuetra e el máximo domiio de atracció de la distribució de Gumbel que icluye a las distribucioes ormal, expoecial, gama y logormal. Esta última distribució se caracteriza por teer ua cola pesada o acha más moderada. Por su parte, la estimació de los parámetros de la DVEG implica ua tarea verdaderamete difícil e el aálisis y estimació de los percetiles de los redimietos fiacieros extremos, e particular, el parámetro del ídice de la cola. E este marco, existe varias técicas para estimar los parámetros de localizació, escala e ídice de la cola de la DVEG etre las más potetes se ecuetra el método de máxima verosimilitud, el método de mometos y el método de mometos de probabilidad poderado. Cada uo de estos métodos tiee sus vetajas y desvetajas estadísticas, pricipalmete cuado se depede del tamaño y frecuecia de los evetos raros o atípicos.

18 E este aálisis se emplea el método de máxima verosimilitud e combiació co la técica de bloques máximos. Este procedimieto proporcioa estimadores cosistetes y asitóticamete ormales, el cual permite obteer errores estádar e itervalos de cofiaza. Además, la evidecia empírica ha sustetado que los estimadores de máxima verosimilitud so más eficietes, esto es, satisface las codicioes de regularidad al meos para e idepedecia e los datos, icluso las propiedades de los estimadores de máxima verosimilitud aú se cumple ate la presecia de depedecia e los datos, pero siempre y cuado la iterdepedecia sea débil (Smith, 1985). De esta maera, las fucioes de verosimilitud de la DVEG para los redimietos máximos y míimos está defiidas por el logaritmo de la fució de desidad cojuta de las observacioes, es decir, (3) 1 1 log 1 1 log,, m i i m i i i r r m r l (4) 1 1 log 1 1 log,, m i i m i i i r r m r l E cosecuecia, los parámetros descoocidos de la DVEG so estimados maximizado las fucioes de verosimilitud logarítmicas para ua muestra específica, la cual se derivada del tamaño del bloque seleccioado. Prueba de Bodad de Ajuste Ua importate tarea complemetaria que se debe llevar a cabo ua vez que los parámetros descoocidos de la DVEG ha sido estimados, es cuatificar la icertidumbre del modelo estimado. E otras palabras, la validació estadística de que ta bueo es el modelo para explicar apropiadamete el comportamieto asitótico de los datos dispoibles a través de pruebas de bodad de ajuste. E la literatura, desde u puto de vista estadístico, existe diversas pruebas de bodad de ajuste etre las más importates se puede mecioar la prueba de Kolmogorov, prueba de Sherma y prueba de Aderso-Darlig. La mayoría de ellas verifica la bodad de ajuste del

19 modelo estimado comparado las distribucioes teórica y empírica como ua medida distacia. Bajo la hipótesis ula de que los redimietos fiacieros sigue ua distribució de valor extremo geeralizada. Este aálisis utiliza la prueba de Aderso- Darlig (AD) para validar el modelo estimado, puesto que se cetra pricipalmete e medir las discrepacias e las colas de la distribució asitótica. El estadístico de la prueba de Aderso-Darlig (1954) se defie de la siguiete forma: dode es la fució de distribució empírica de la variable aleatoria, es la fució de distribució acumulada estimada, e este caso la DVEG, represeta el tamaño de la muestra utilizada para estimar los parámetros descoocidos de la distribució asitótica y es su muestra ordeada. De hecho, literatura existete ha demostrado que la prueba de Aderso-Darlig e muestras pequeñas, suele ser la más poderosa etre u amplio cojuto de pruebas de bodad de ajuste. Esto se debe a que utiliza ua fució poderada que proporcioa mayor peso a las observacioes de la regió de las colas que a las observacioes cocetradas e el iterior de la distribució (Stephes, 1976; D Agostio y Stephes, 1986). La prueba de razó de verosimilitudes es otro método estadístico alterativo importate que permite sustetar la estabilidad de la distribució de valor extremo geeralizada. Este aálisis proporcioa iformació adicioal acerca de los estimadores del ídice de la cola para cada periodo de tiempo o tamaño del bloque y el tipo de distribució asitótica utilizada para ajustar los redimietos extremos. E otras palabras, la prueba estadística verifica que la estimació del parámetro del ídice de la cola es sigificativamete diferete de cero. Este hecho implica que es iapropiado asumir que la distribució asitótica de los redimietos extremos se ecuetre e el máximo

20 domiio de atracció de la distribució de Gumbel, es decir, la distribució de redimietos de las series fiacieras tiee colas más pesadas o achas que la distribució ormal. El estadístico de la prueba de razó de verosimilitudes se puede expresar de la siguiete forma: dode es el valor máximo de la fució logarítmica de verosimilitud de la distribució de valor extremo geeralizada o modelo o restrigido y es el valor máximo de la fució logarítmica de la distribució de Gumbel o modelo restrigido. El estadístico sigue ua distribució Chi cuadrada co u grado de libertad. 11 Medidas VaR Basadas e la Teoría de Valores Extremos La admiistració de riesgos cuatitativa e los mercados fiacieros defie a la medida VaR como la máxima pérdida esperada de ua posició de mercado o portafolio de iversió durate u horizote de tiempo para u ivel de cofiaza dado. E este setido, el VaR se puede defiir como el percetil de la distribució de redimietos co sigo egativo, es decir, Las implicacioes ecoómicas y fiacieras derivadas de la distribució de redimietos extremos e la Bolsa Mexicaa de Valores bajo la agregació del riesgo cambiario so ilustradas estimado el VaR para las posicioes fiacieras larga y corta. Para u ivel de probabilidad, el percetil extremo se obtiee ivirtiedo la DVEG, utilizado los parámetros de localizació, escala e ídice de la cola estimados. De esta maera, el VaR para los redimietos positivos correspodiete a la posició corta puede ser expresado como 11 Los grados de libertad se determia de la diferecia etre el úmero de parámetros de cada distribució.

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