Análisis del tiempo muerto de un detector Geiger-Müller

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1 ENINV IE 2005 Encuentro de Investigación en Ingeniería Eléctrica Zacatecas, Zac, Marzo 7 8, 2005 Análisis del tiempo muerto de un detector Geiger-Müller Alejandro Chacón Ruiz, Areli Arcos Pichardo, Salvador Rodriguez Neri, Araceli Pinedo Solís, Paulina Amador Valenzuela, y Héctor René Vega Carrillo Centro de estudios, Unidad Académica de Estudios Nucleares, UAZ, ZACATECAS ZAC Tel: (492) , ext 69, correo-e:achacon@cantera.reduaz.mx, a2@cantera.reduaz.mx, a3@hotmail.com Resumen Se derivaron expresiones para determinar el tiempo muerto de un detector Geiger-Müller utilizando el método de la fuente dividida. Con estas expresiones se midió el tiempo muerto de un detector Geiger-Müller y se comparó con el resultado obtenido con un osciloscopio. El detector gaseoso se caracteriza por su voltaje de operación y el tiempo muerto, que es el intervalo mínimo necesario que requiere para procesar dos eventos consecutivos. Para el caso de los detectores Geiger-Müller existen tres métodos para determinar el tiempo muerto: el método de la fuente dividida, el de las fuentes múltiples y utilizando un osciloscopio. Para el caso de la fuente dividida en la literatura se señalan varias expresiones para calcular el tiempo muerto a partir de las tasas de conteo de un par de fuentes pero para ninguna de éstas se señala el error debido a la propagación de incertidumbres. A partir de la ecuación fundamental hemos derivado varias expresiones para calcular el tiempo muerto y para cada una se derivó una expresión para la propagación de las incertidumbres. AbstractMathematical expresions have been obtained to calculate de dead time using the count rates obtained with the split source method. The dead time of a Geiger- Mueller detector was also obtained using the osciloscope procedure. The dead time

2 Alejandro Chacón Ruiz et al : tiempo muerto de un detector Geiger-Müller 25 is the minimum time interval required by a detector, with gas as detection medium, to process two consecutive events. For Geiger-Mueller there are three methods, the osciloscope, the split source and the multiple sources. In the literature there are several expressions proposed to calculate the dead time, none of these is provided with the function to estimate the uncertainty. From the basics several expressions for dead time were derived, for each an expression to estimate the error was also obtained. Palabras Clave Tiempo Muerto, Geiger Müeller, Incertidumbre. I. INTRODUCCIÓN EL tiempo muerto de un sistema de conteo esta definido como el tiempo mínimo que transcurre cuando se leen partículas adyacentes y son reconocidas con dos pulsos por separado,(das and Akaho 2003, Tsoulfanidis 983). En un detector exista la posibilidad de que un evento verdadero sea perdido por la ocurrencia rápida de dos eventos consecutivos, este tiempo muerto en algunos casos esta asociado al proceso de detección y en otros casos a los componentes electrónicos (Knoll 2000), estas pérdidas pueden ser importantes para altas tasas de conteo por lo tanto es necesario incluir una corrección en las tasas de conteo medidas. Debido a esto, algunos trabajos han sido desarrollados para proponer modelos que combinan el modelo paralizable y el no paralizable, (Lee and Gardner 2000) otros, se enfocan a definir procesos experimentales alternativos (Vega-Carrillo 989, Gardner and Liu 997). En este estudio se realizó un análisis del tiempo muerto en función de la ecuación fundamental con soluciones aproximadas y exactas y se comparó con el obtenido con un osciloscopio. Para las expresiones derivadas se obtuvo la ecuación correspondiente de la incertidumbre asociada II. MATERIALES Y MÉTODOS A partir de la ecuación fundamental del modelo no paralizable se analizó el tiempo muerto y se derivaron las expresiones haciendo algunas simplificaciones utilizando el método de la fuente dividida, se midió el tiempo muerto de un sistema de detección y se comparó con el obtenido con un osciloscopio. A. Derivación de las expresiones Al medir una fuente radiactiva que produce (R) cuentas por segundo, el sistema de medición detecta (C) cuentas por segundo, la diferencia entre éstas es directamente proporcional al tiempo muerto, a mayor tiempo muerto mayor la diferencia. En un sistema de detección con un detector gaseoso, como el Geiger-Müller (GM) el tiempo muerto se debe preferentemente al contador GM. El método de la fuente dividida que se presenta esquemáticamente en la figura, consiste en tener 2 fuentes que juntas producen (R 2 ) cuentas por segundo y por separado cada fuente produce tasas de conteo de R y R 2 tomando en cuenta el fondo, la relación entre las tasas netas es: La ecuación anterior se reduce a, (R B) (R 2 B) = (R 2 B) R R 2 = R 2 B ()

3 26 EN INV IE 2005 Encuentro de Investigación en IE, 7 8 Marzo, 2005 Figura. Se muestra un esquema del método de la fuente dividida Sin embargo el detector y la electrónica tienen una limitante en procesar los eventos que se caracterizan con el tiempo muerto τ. Así cuando se realizan mediciones en realidad obtenemos tasas de conteo medidas (C) que son inferiores a las tasas reales, esto es, C C 2 = C 2 B (2) Donde C < R, C 2 < R 2 y C 2 < R 2. Adoptando el modelo no paralizable, la relación entre C y R es R = C (3) τc Así, sustituyendo la ecuación (3) en la (2) se obtiene, C τc C 2 τc 2 = C 2 τc 2 B τb (4) Resolviendo la ecuación (4) para τ se obtiene una expresión que contiene a C, C 2, C 2 y B com variables. La ecuación (4) se puede resolver en forma exacta y haciendo algunas aproximaciones. A. Solución exacta. Resolviendo la ecuación (4) en forma exacta se obtiene : τ = C C 2 C 2 B F F 2 F 3 (5) donde F = F 2 = C 2 C B C C 2 C 2 B (6) C 2 2 C 2B C 2 C 2 C 2 B (7) F 3 = C C 2 C 2 C C 2 B C C 2 B C 2 C 2 B (8) La incertidumbre asociada de la ecuación (4), se determina utilizando la Ley de propagación de incertidumbre (Vega Carrillo 2004),

4 Alejandro Chacón Ruiz et al : tiempo muerto de un detector Geiger-Müller 27 τ = τ C τ τ σc 2 C 2 C 2 C 2 C 2 τ B B (9) si definimos F 4 como: F 4 = (C C 2 C 2 B F F 2 ) la incertidumbre asociada de la ecuación (5) es, τ = 2C 2 2(C C 2 B) F 2 F 2F 3 (C 2C 2 C 2 BC 2 B)F 4 F3 2 2C (C 2 2C 2 B) F F 2 2F 3 (C C 2 C BC 2 B)F 4 F 2 3 c c 2 2B(C 2 B) F F 2 (C B) F 2 F 2F 3 (C C 2 C BC 2 B)F 4 2F 2 3 2C 2 (C 2 C 2 ) F F 2 (C C 2 ) F 2 F 2F 3 (C C 2 C C 2 C 2 C 2 )F 4 F 2 3 c 2 B (0) Las ecuaciones (5) y (0) nos permiten obtener τ y στ 2 modelo no paralizable. a partir de la solución exacta del A.2 Aproximación eliminando los valores de τ con potencias superiores Escribiendo la ecuación (4) como, C (τc 2 )(τc 2 )(τb) (τc )(τc 2 )(τc 2 )(τb) C 2(τC )(τc 2 )(τb) (τc )(τc 2 )(τc 2 )(τb) C 2(τC )(τc 2 )(τb) (τc )(τc 2 )(τc 2 )(τb) B(τC )(τc 2 )(τc 2 ) (τc )(τc 2 )(τc 2 )(τb) = 0 () Como τ es muy pequeña, τ 2 y τ 3 se desprecian y la solución de la ecuación () se reduce a, τ = C C 2 C 2 B 2C C 2 2C 2 B (2)

5 28 EN INV IE 2005 Encuentro de Investigación en IE, 7 8 Marzo, 2005 por lo tanto: ó τ = C 2 B (C C 2 ) 2(C 2 B C C 2 ) τ = C C 2 (C 2 B) 2(C C 2 C 2 B) (3) (4) la incertidumbre asociada de la ecuación (3) es, τ = C 2 (BC C 2 C 2 ) 2(BC 2 C C 2 ) 2 2(BC 2 C C 2 ) B(BC C 2 C 2 ) 2(BC 2 C C 2 ) 2 2(BC 2 C C 2 ) B(BC C 2 C 2 ) 2(BC 2 C C 2 ) 2 2(BC 2 C C 2 ) C (BC C 2 C 2 ) 2(BC 2 C C 2 ) 2 2(BC 2 C C 2 ) B C C 2 C 2 (5) A.3 Solución general sin fondo Resolviendo la ecuación (4) suponiendo que la tasa de conteo del fondo es pequeña en comparación con las otras tasas de conteo. Bajo esta consideración la ecuación (4) se reduce a, C C 2 = C 2 (6) τc τc 2 τc 2 La solución exacta de la ecuación (6) esta dada por τ = C C 2 C C 2 C 2 C C 2 C2 2 C C2 2C 2 C 2C 2C 2 C 2C2 2 (7) C C 2 C 2 La incertidumbre asociada de la ecuación (7) es: τ = C 2 2G 2 C2 2 C 2 2C C2 2 C 2 C2 2 2G G 2 C C 2 G C G 2 C 2G 2 C2 2 C 2C 2 C2 C 2 C2 2 2G G 2 C C 2 G C 2 G 2 C C 2

6 Alejandro Chacón Ruiz et al : tiempo muerto de un detector Geiger-Müller 29 C2 C 22G 2 C C 2 2 2G G 2 C C 2 G C 2 G 2 C 2 (8) G = C 2 C 2C 2 C C 2 2 C 2 C 2 C2 2 C C 2 C 2 2 (9) G 2 = C C 2 C 2 (20) La primer aproximación de solución general sin fondo. Una aproximación es eliminando τ 2 y τ 3, desarrollando la ecuación se obtiene C ( τc 2 ) C 2 ( τc ) ( τc ) ( τc 2 ) = C 2 τc 2 C τc C 2 C 2 τc C 2 τc 2 τc τ 2 C C 2 = C 2 τc 2 (C C 2 2τC C 2 )( τc 2 ) τc τc 2 τ 2 C C 2 = C 2 despreciando τ 2 C C 2 2τC C 2 τc C 2 τc 2 C 2 τc τc 2 = C 2 C C 2 2τC C 2 τc C 2 τc 2 C 2 C 2 ( τc τc 2 ) = 0 C C 2 2τC C 2 τc C 2 τc 2 C 2 C 2 τc C 2 τc 2 C 2 = 0 C C 2 C 2 2τC C 2 = 0 por lo tanto el tiempo muerto es, La incertidumbre asociada a la ecuación (2) es, τ = C C 2 C 2 2C C 2 (2) τ = C C 2 C 2 2C C 2 2C 2C 2 C C 2 C 2 2C C 2 2C C2 2 4C 2 C2 2 C C 2 C 2 (22)

7 30 EN INV IE 2005 Encuentro de Investigación en IE, 7 8 Marzo, 2005 Segunda aproximación de la solución general sin fondo usando series. Otra posible aproximación de la ecuación (6) está basada, en un desarrollo por series Esto da como resultado, cuya incertidumbre asociada es: B. Procedimiento experimental x x... C ( τc ) C 2 ( τc 2 ) C 2 ( τc 2 ) = 0 C τc 2 C 2 τc 2 2 C 2 τc 2 2 = 0 τ(c 2 C 2 2 C 2 2) = C C 2 C 2 τ = τ = C 2 (C C 2 ) C 2 C2 2 C2 2 2C (C C 2 C 2 ) (C 2C2 2 C2 2 )2 C 2 C2 2 C2 2 2C (C C 2 C 2 )C 2 (C 2C2 2 C2 2 ) C 2 C2 2 C2 2 2C 2 (C C 2 C 2 ) (C 2 C2 2 C2 2 )2 C 2 C2 2 C2 2 (23) C (24) C 2 (25) C 2 (26) Para probar las expresiones derivadas se midió, con el método de la fuente dividida, el tiempo muerto de un GM para lo cual se utilizó una fuente circular de Óxido de Uranio natural U 2O 8, dividida en dos piezas. La fuente se colocó en la posición más próxima a un detector Geiger- Müller. Los tiempos de acumulación de las cuentas se controló con un cronómetro. El tiempo muerto se determinó utilizando el método de la fuente dividida de la siguiente forma: El disco completo se definió como C C 2 = C 2 (figura ) y se obtuvo la tasa de conteo. El semi-disco izquierdo se definió como C y se obtuvo la tasa de conteo. El semi-disco derecho se definió como C 2 y se obtuvo la tasa de conteo. Se registra la medición del fondo y se definió como B, se obtuvo la tasa de conteo. Cada fuente se midió 0 veces, cada medición se hizo por 20 segundos para C, C 2, C 2. Del cada conjunto de mediciones se obtuvo el promedio y la desviación estándard. La contribución de la radiación de fondo se obtuvo midiendo en 20 ocasiones, cada una por 20 segundos de este conjunto también se calculo el promedio y la desviación estándard, estos valores se utilizaron para hacer las correcciones de las tasas de conteo de las fuentes. Para obtener el tiempo muerto con el osciloscopio se utilizó una fuente gamma de 37 Cs con una actividad de 726 ± 200 MBq. Para el método del oscilocopio se utilizó un Osciloscopio Tektronix TDS3034B, a 300 Mhz, Phosphor Digital Oscilloscope, con éste se observaron los pulsos del GM mientras la fuente de 37 Cs se aproximó al detector.

8 Alejandro Chacón Ruiz et al : tiempo muerto de un detector Geiger-Müller 3 Figura 2. Disco de Oxido de Uranio natural U 2 O 8, Fuente dividida. III. RESULTADOS La medición de fondo y de las fuentes de oxido de uranio da como resultado la tabla. En la tabla 2 tenemos los datos del tiempo muerto exacto y aproximado de forma teórica y el observado en el osciloscopio, estos valores son mayores a los reportados para detectores semiconductores (Das and Akaho 2003), debido al proceso físico de la detección de los detectores gaseosos cuyo tiempo muerto varía de las decenas de microseg, hasta las centenas de mseg.(knoll 2000) Los valores obtenidos con todas las fórmulas y con el osciloscopio no muestras diferencias estadísticamente significativas. Sin embargo en situaciones prácticas es necesario contar con una expresión simple que nos de resultados correctos. La ecuación de τ es la exacta pero el cálculo es algo complicado, la ecuación de τ 4 es una expresión confiable, sencilla y semejante a la ecuación exacta. En la literatura (Cember 996, Chase and Rabinowitz 967) se reportan expresiones que tienen diferencias significativas entre los diferentes autores con respecto al tiempo muerto. TABLA I Datos experimentales de la fuente de U 2 O 8. F C cps] C 2 cps] C 2 cps] B cps] σ X C,C 2, C 2 y B. IV. CONCLUSIONES El tiempo muerto y su incertidumbre asociada son necesarias para poder caracterizar el detector y conocer los limites de una detección confiable. Chase y Robinowitz (967) publican varias expresiones para calcular el τ usando el método de la fuente dividida. Cember(996), Tsoulfanidis(983) y Knoll (2000) recomiendan algunas de estas expresiones, pero en ningún caso indican la expresión para obtener las incertidumbres. Por lo que las expresiones aquí derivadas se deben utilizar para evaluar este fenómeno. El método del osciloscopio es simple de ejecutar

9 32 EN INV IE 2005 Encuentro de Investigación en IE, 7 8 Marzo, 2005 TABLA II Tiempo muerto mseg] τ ecuación (5) ± τ 2 ecuación (7) ± τ 3 ecuación (3) ± τ 4 ecuación (23) ± τ 5 ecuación (2) ± τ 6 osciloscopio ± Exactos, aproximados y con osciloscopio. Figura 3. Tiempo muerto observado en el osciloscopio pero implica la necesidad de contar con un instrumento con ciertas características, además que este tiene poca precisión y exactitud. De las fórmulas derivadas encontramos que la ecuación (2) es muy simple y su resultado es prácticamente igual que la ecuación (5) por lo cual se recomienda usar la expresión simple. REFERENCIAS ] Chase, G.D. and Rabinowitz, J.L., Principles of Radioisotope Methodology, Burgess, Minneapolis, Minn., (Third edition, 967). 2] Das H.A. and Akaho, E.K.H., Dead Time based correction for the combined electronic losses in INAA based on short-lived radionuclides, J. Trace Microprobe Tech., 2(4), , ] Knoll, G.F., Radiation Detection and Measurements, John Wiley and Sons. New York, ] Robin, P.G. and Lianyan, L., On extending the accurate and useful counting rate range of GM counter detector systems, Applied Radiation and Isotopes, 48, 0-2, ] Sang, H.L. and Robin, P.G., A new G-M counter dead time model, Applied Radiation and Isotopes, 53, , ] Tsoulfanidis, N., Measurement and Detection of Radiations, Hemisphere Publishing Corporation, New York, ] Vega-Carrillo, H.R., Método para medir el Tiempo Muerto, Revista de la Sociedad Química de México, 33(3), 22-24, ] Vega-Carrillo, H.R., cd-rom]. Hipertexto del Laboratorio de Mediciones Nucleares, Universidad Autónoma de Zacatecas, 2004.