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1 Universidad Autónoma de Madrid Máster en Matemáticas y Aplicaciones Trabajo final de Fundamentos de Análisis Matemático Espacios de Hardy y sucesiones de interpolación para funciones holomorfas Marta de León Contreras

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3 Índice general.1. Espacios de Hardy en el disco unidad Espacios H p (R 2 +) Dual de los espacios H p Sucesiones de interpolación

4 Prólogo. En este trabajo se presenta una introducción de la teoría de los espacios de Hardy complejos y las sucesiones de interpolación. Estos espacios fueron introducidos por F. Riesz, quien los llamó después espacios de Hardy, por su publicación en 1915 On the mean value of the modulus of an analytic function. El objetivo de esta memoria es proporcionar una visión general de los espacios de Hardy, de modo que el lector pueda tener una ligera idea de en qué consisten estos espacios y cuáles son sus propiedades más importantes. Por esta razón, con el fin de que fuese un texto no muy largo, no se incluyen las demostraciones de algunos resultados que requerirían a su vez de otros resultados previos. Sin embargo, con el fin de que pueda comprenderse todo lo que se aborda en este trabajo, cuando un resultado no está demuestrado, cito el texto en el que se puede encontrar. 4

5 .1. Espacios de Hardy en el disco unidad Definición.1.1 Sea 0 < p <. Definimos el espacio H p (D) como el conjunto de funciones f(z) analíticas en D tales que sup f(re iθ ) p dθ <, 0 r<1 y H (D) como el espacio de todas las funciones f : D C analíticas y acotadas. Además, si f H p (D) y 1 p <, si f H p (D) y 0 < p < 1, y si f H (D), ( ) 1 f p = sup f(re iθ ) p p dθ 0 r<1 f p = sup f(re iθ ) p dθ 0 r<1 f = sup f(z). z <1 Nota.1.2 En algunos libros, se definen los espacios H p (D) como el conjunto de funciones analíticas f : D C, tales que ( 1 π ) 1 sup f(re iθ ) p p dθ <, 0 r<1 2π Como se puede comprobar, ambas formulaciones son equivalentes. Proposición.1.3 Sea G C un abierto, v : G R una función subarmónica, K G un subconjunto compacto y h : K R una función continua en K tal que h es armónica en el interior de K. Si v h en K, entonces v h en K. Definimos v 1 = v h. Supongamos, por reducción al absurdo, que v 1 (z) > 0 para algún z intk. Ya que v 1 es continua en K, v 1 alcanza su máximo m en K, y como v 1 0 en K, el conjunto E := {z K : v 1 (z) = m} es un subconjunto compacto no vacío de intk. Sea z 0 E. Entonces, para algún r > 0, tenemos que B(z 0, r) intk, pero algún subarco de z z 0 = r está en E c. Por lo tanto, v 1 (z 0 ) = m > 1 v 1 (z 0 + re iθ )dθ. 2π Esto significa que v 1 no es subarmónica en intk, pero por el terema del valor medio para funciones armónicas, v h es subarmónica en intk, lo cual es una contradicción. Nota.1.4 De la definición anterior y de la desigualdad de Hölder se deduce que H (D) H p (D) H q (D), para 0 < q < p <. 5

6 Sea 0 < p <. Ya que, para cada f analítica, f p es subarmónica, en virtud de la Proposición.1.3 se tiene ( ) 1 π que M p (f, r) = f(reiθ ) p p dθ es creciente en r. Por tanto, f p = lim M p (f, r). r 1 El mismo resultado se tiene para p = pero es consecuencia del principio del módulo máximo. Ejemplo.1.5 Veamos algunos ejemplos de funciones de H p (D). 1. Las funciones acotadas están en H p (D), para todo 0 < p <. 2. f(z) = 1 (1 z) γ es no acotada y tiene un polo en D. f está en Hp (D) si, y sólo si, γ < 1 p. Proposición Para p 1, p es una norma en H p (D) y (H p (D), p ) es un espacio de Banach. 2. Para p 1, la convergencia en norma p es más fuerte que la convergencia uniforme en compactos. 3. Si f(z) = ( n=0 n=0 a n z n es holomorfa en D, entonces f H 2 (D) n=0 a n 2 ) 1 2 a n z n y g(z) = b n z n. a n 2 <. Además, f 2 = n=0 y H 2 (D) es un espacio de Hilbert con el producto escalar f, g := n=0 Vamos a probar primero 2. a n b n, siendo f(z) = Sean p 1, f H p (D) y un compacto K D. Entonces, existe 0 < r < 1 tal que K D(0, r). Elegimos R (r, 1) y denotamos por Γ = D(0, R), de modo que Γ = {t = Re iθ, conθ [, π]}. De la fórmula integral de Cauchy, se sigue que f(z) = 1 f(t) 2πi t z dt, z K. Por tanto, para cada z K, R (r, 1), se tiene que f(z) = 1 2πi Γ f(re iθ )Re iθ Re iθ z dθ 1 2π en virtud de la desigualdad de Hölder. Por consiguiente, ( ) 1 1 p sup f(z) z K 2π f(re iθ ( ) 1 ) 1 R r dθ p 2π De este modo, si {f n } H p (D) y f n f en H p (D), con f H p (D), entonces para cada compacto K D. ( ) 1 1 p sup f n (z) f(z) z K 2π n=0 f p R r, f p 1 r. (.1.1) f n f p, 1 r 1. Sea f H p (D). Es claro que f p 0, y que f p = 0 f = 0. Para cada λ C, ya que λf p = λ p f p, se tiene que λf p = sup 0 r<1 ( λf(reiθ ) p dθ ) 1 p = λ f p. Por último, como consecuencia de la desigualdad de Minkowski para integrales, se tiene que f + g p f p + g p, para cada f, g H p (D) Veamos H p (D) es completo con la métrica d(f, g) := f g p. 6

7 Sea {f n } H p (D) una sucesión de Cauchy. Entonces, para cada ɛ > 0, existe un n 0 N tal que, para cada n, m n 0 se tiene que f n f m p < ɛ. De (.1.1) aplicada a f n f m se deduce que {f n } es de Cauchy con respecto a la métrica que genera la topología de las funciones holomorfas, que es un espacio métrico completo, luego existe f holomorfa en D tal que f n f uniformemente en cada compacto. Veamos que f H p (D) y que f n f en H p (D). Ya que {f n } es de Cauchy en H p (D), se tiene que, para cada 0 r < 1, y cada n, m n 0, M p (f n f m, r) = ( ) 1 π f n(re iθ ) f m (re iθ ) p p dθ < ɛ, y como f n f uniformemente en D(0, r), para cada 0 r < 1, resulta lim M p(f n f m, r) = M p (f f m, r) < ɛ. n En particular, para m = n 0, se tiene que f f n0 H p (D), luego f H p (D). Además, por lo anterior se tiene que, para cada m n 0, f f m p < ɛ, y esto significa que f n f en H p (D). ( ) ( 3. Haciendo uso de que f(re iθ ) 2 = f(re iθ )f(re iθ ) = a n r n e inθ a k r k e ), ikθ se tiene que M 2 (f, g) = ( 2π n=0 a n 2 r 2n ) 1 2. Por tanto, f 2 2 = 2π n=0 n=0 k=0 a n 2, y f H 2 (D) a n 2 <. En el apartado 1. hemos visto que H 2 (D) es completo. Además,, es un producto escalar y está bien definido, en virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Por tanto, H 2 (D) es un espacio de Hilbert. Nota.1.7 Si p (0, 1), la aplicación p no es una norma, pero H p (D) es un espacio vectorial y d(f, g) = f g p define una distancia sobre él. Para el siguiente Teorema necesitamos de otro resultado previo, cuya demostración puede consultarse en la página 308 de [6]. n=0 Proposición.1.8 Sean R > 0, Ω = D(0, R), f H(Ω), f(0) 0, y z 1,..., z N repetidos tantas veces según su multiplicidad. Entonces, f(0) N { r 1 π } α n = exp log f(re iθ ) dθ. 2π los ceros de f en D(0, r), Esta fórmula se conoce como Fórmula de Jensen. Nótese que la hipótesis f(0) 0, no nos molesta, pues en caso de que f tenga un cero de orden k en z = 0, aplicaríamos la fórmula a f(z)/z k. Teorema.1.9 Sea f una función analítica en D, no idénticamente nula, y {z n } sus ceros en D, repetidos tantas veces según su multiplicidad. Entonces, π log f(reiθ ) dθ está acotada si, y sólo si, (1 z n ) <. Supongamos que f tiene un cero de multiplicidad m 0 en el origen, luego f(z) = αz m +, α 0. Denotamos al resto de sus ceros por a n, n N, y los ordenamos de modo que 0 < a 1 a 2. Por la 7

8 fórmula de Jensen, 1 π log f(re iθ ) dθ = 2π a n <r log r a n + log( α rm ). Nótese que ambos miembros de la igualdad son crecientes en r. Supongamos que existe C > 0 tal que log f(reiθ ) dθ C y fijamos N N. Entonces, para cada r > a N, 1 2π N log r a n a n <r log r a n C log( α rm ). Tomando r 1 y elevando e a cada miembro de la desigualdad anterior, obtenemos que, para cada N N, En virtud de la Proposición??, esto implica que Recíprocamente, supongamos que que esto implica que 0 < α e C N a n. (1 a n ) <. (1 a n ) <. Por nociones básicas sobr productos infinitos sabemos a n <, y aplicando exponenciales a la fórmula de Jensen, obtenemos a n <r { a n 1 π } exp log f(re iθ ) dθ < α. 2π Definición.1.10 Se dice que una función f : D C tiene límite no tangencial L en un punto e iθ0 cuando para cada α (0, π 2 ), donde S α(θ 0 ) = {z D : lim f(z) = L z e iθ 0 z S α(θ 0) arg(e iθ0 z) < α}. (D) La siguiente Proposición no la vamos a probar, pues requiere de otros resultados previos, pero nos será útil en lo que sigue. En caso de duda, ver [5]. Proposición.1.11 [Fatou] Si f : D C es analítica y acotada en D, tiene límite valores frontera no tangenciales en casi todo punto en la circunferencia unidad. Nótese que, si una función tiene límite no tangencial, entonces tiene límite radial y este coincide con el tangencial. En lo que sigue, denotaremos f(e iθ ) := lim f(z). z e iθ La proposición anterior nos dice que si f está acotada y es analítica en D, f(e iθ ) = lim f(z) existe para z e iθ caso todo θ. 8

9 Proposición.1.12 Sea {z n } C, tales que 0 < z n < 1, n N, y (1 z n ) <. Entonces, el producto infinito B(z) = converge uniformemente en cada disco D(0, R) = {z C : z n z n z n z 1 z n z z R}, R < 1. Además: 1. Cada z n es un cero de B(z), con multiplicidad igual al número de veces que aparece en la sucesión, y B(z) no tiene más ceros que estos en D. 2. B(z) < 1, z D. 3. B(e iθ ) = 1 a.e. Sea R < 1. Para cada z D(0, R), 1 z n z n z 1 z n z = z n z n 2 z z n z n + z n z z n (1 z n z) = (z n + z n z)(1 z n ) z n (1 z n z) Ya que z n (1 a n ) <, se sigue que z n z n 2(1 z n ) 1 R. z n z converge uniformemente en D(0, R). Como R < 1 1 z n z era arbitrario, se tiene que el producto anterior converge uniformemente en cada D(0, R), R < 1. Por tanto, z n z n z representa una función analítica B(z) en D. z n 1 z n z Además, para cada n N, B(z n ) = 0 y B(z) 0, para cada z D \ {z n }. Por otra parte, para cada z D, luego para cada N N, Vamos a probar 3. N z n z n z n z n z n z 1 z n z = z n z 1 z n z < 1, z n z < 1, y por consiguiente B(z) < 1, z D. 1 z n z Nótese que, por lo que acabamos de probar en 2., para cada z D, B (z) < 1, luego en virud de la Proposición.1.11, para casi todo ξ (D), el límite no tangencial B(ξ) = lim z ξ B(z) existe y coincide con el límite radial. Ya que z n > 0, para cada n N, podemos escribir log B(0) = log z n < 0, n N, se tiene que log z n >. log z n. Ya que Sea 0 < r < 1 con r z n, n N. De la fórmula de Jensen se sigue que log B(0) = ( ) zn log + 1 log B(re iθ ) dθ, r 2π z n <r (1 z n ) < y 9

10 es decir, luego Tomamos p tal que n>p Entonces, log z n = ( ) zn log + 1 log B(re iθ ) dθ, r 2π z n <r 1 π log B(re iθ ) dθ = ( ) r log 2π z n z n <r ( ) 1 log. z n ( ) 1 log < ɛ, y r < 1 tan cerca de 1 que z n < r, n = 1, 2,..., p. z n 1 π log B(re iθ ) dθ 2π p ( ) r log z n o, tomando r < 1 suficientemente cerca de 1, 1 π log B(re iθ ) dθ > 2ɛ. 2π Esto significa que p lim sup 1 log B(re iθ ) dθ 0. r 1 2π Pero lim B(re iθ ) = B(e iθ ) a.e. y log B(re iθ ) 0. r 1 Del lema de Fatou para el límite superior se tiene que 1 π log B(e iθ ) dθ 0. 2π Ya que B(e iθ ) 1, tenemos que log B(e iθ ) = 0 a.e. Definición.1.13 Sea {z n } C, tales que 0 < z n < 1, n N, y forma B(z) = z n z n z n z 1 z n z, z D, ( ) 1 log ɛ, z n se denomina producto de Blaschke y representa una función analítica en D. Se puede permitir que un número finito de z n sean cero, en cuyo caso B(z) = z m z n z n siendo m < la multiplicidad del 0 como cero de B(z). (1 z n ) <. Toda función de la z n z 1 z n z, z D, Teorema.1.14 Sea f H p (D), con 0 < p. Entonces, existe un producto de Blaschle B(z) y una función G(z) H p (D), sin ceros en D, tal que f(z) = B(z)G(z). 10

11 Hacemos el caso 0 < p <. El caso p = se haría de manera análoga. Sea 0 r < 1. De la desigualdad entre la media aritmética y la geométrica, se sigue que Por el Teorema.1.9, 1 2π p log f(re iθ ) dθ log 1 2π f(re iθ ) p dθ log C. (1 z n ) <, siendo {z n } son los ceros de f(z) en D. Por tanto, el producto de Blaschke B(z) formado por los ceros de F, define una función analítica y G(z) = f(z) B(z) Definimos, para cada N N, N z n z n z B N (z) = z n 1 z n z. no tiene ceros en D. Ya que B(z) converge absolutamente en D, para cada r < 1, B N (z) B(z), cuando N uniformemente en D(0, r). Tomamos un r < 1 tal que z n r, para cada n N. Entonces, pero, para cada N N, G N (z) = para cada r < 1 fijo, G N (re iθ ) p dθ = lim N f(re iθ p ) B N (re iθ ) dθ, f(z) B N (z) es analítica en D, luego G N(z) p es subarmónica en D y, por tanto, G N (re iθ ) p dθ lim sup G N (Re iθ ) p dθ. R 1 Sin embargo, para Nfijo, B N (Re iθ ) 1 uniformemente, cuando R 1, luego lim sup R 1 De este modo, para cada r < 1, Finalmente G N (Re iθ ) p dθ = lim R 1 sup G N (re iθ ) p dθ 2πC, N N. y como r < 1 era arbitrario, concluimos que G H p (D). G(re iθ ) p dθ 2πC, f(re iθ ) p dθ 2πC. Nota.1.15 De la demostración anterior se deduce que sup r<1 G(re iθ ) p dθ sup r<1 Por otra parte, ya que f = BG y B(z) 1, z D, se tiene que sup r<1 Por tanto, podemos concluir que f p = G p. f(re iθ ) p dθ sup r<1 f(re iθ ) p dθ. g(re iθ ) p dθ. 11

12 Corolario.1.16 Sea f H p (D). Entonces, f(z) = B(z)(g(z)) 1 p, donde B(z) es un producto de Blaschke y g H 1 (D) no tiene ceros en D. Por el Teorema.1.14, f = BH, con H H p (D) sin ceros en D. Tomamos g(z) = (H(z)) p, z D. Es claro que g H 1 (D) y no tiene ceros en el disco porque H tampoco los tiene. Teorema.1.17 Sea p > 0 y f H p (D). Entonces, para casi todo e iθ, f(e iθ ) p dθ = f p, 0 < p < 1 lim z e iθ f(z) = f(e iθ ) existe y es finito y f(e iθ ) p dθ = f p p,, p 1. Suponemos f 0. Por el Teorema.1.14, f = BG, donde B es un producto de Blaschke y G H p (D), sin ceros en D. Además, por la Nota.1.15, f p = G p. En virtud del Corolario.1.16, G(z) = (h(z)) 1 p, luego h H 1 (D) y donde el valor frontera h(e θ ) existe a.e. h 1 = lim sup h(re iθ ) dθ = h(e iθ ) dθ, r 1 Para casi todo θ, existe lim G(z) = lim (h(z)) 1 p = G(ei θ ). Entonces, como lim B(z) = B(e iθ ), para casi z e iθ z e iθ z e iθ todo θ, se tiene que lim f(z) = B(e iθ )G(e iθ ) = f(e iθ ) para casi todo θ. z e iθ Finalmente, si 0 < p < 1, teniendo en cuenta que B(e iθ ) = 1 a.e., f p = G p = h 1 p p = h 1 = h(e iθ ) dθ = G(e iθ ) p dθ = f(e iθ ) p dθ. Si p 1, se obtiene la misma cadena de igualdades pero cada una de las normas están elevadas a las raíz p-ésima. Teorema.1.18 Si f H p (D), lim f(re iθ ) f(e iθ ) p = 0, r 1 donde f(e iθ ) es el valor frontera de f(z), que por el Teorema.1.17 existe a.e. 12

13 Ya que f H p (D), podemos escribir f(z) = B(z)G(z), donde G H p (D) y no tiene ceros en D, y B(z) es el producto de Blaschke formado por los ceros de f(z). Si r < 1 y 0 < p < 1, se tiene que f(e iθ ) f(re iθ ) p dθ B(re iθ ) p G(e iθ ) G(re iθ ) p dθ + B(e iθ ) B(re iθ ) p G(e iθ ) p dθ G(e iθ ) G(re iθ ) p dθ + B(re iθ ) B(e iθ ) p G(e iθ ) p dθ. Si p 1, se tienen desigualdades similares, salvo que las integrales están afectadas por la raíz p-ésima. Teniendo en cuenta que B(z) 1, lim B(re iθ ) = B(e iθ ) a.e, y que G(e iθ ) p L 1 (, π), del Teorema de r 1 la convergencia dominada se sigue que lim r 1 B(re iθ ) B(e iθ ) p G(e iθ ) p dθ = 0. Por tanto, queda probar que lim G(e iθ ) G(re iθ ) p dθ = 0. r 1 Nótese que si p 1, entonces podemos escribir G(re iθ ) = 1 2π P r (θ t)f (e iθ )dt, donde P r denota el núcleo de Poisson en el disco. Por el Teorema.1.17, ya que G H p (D), G(e iθ ) L p (, π), luego por la propiedad de aproximación de la identidad de P r, obtenemos que lim r 1 G(re iθ ) G(e iθ ) p dθ = 0. Supongamos p 1 2. Ya que G(z) 0, para cada z D, podemos tomar H(z) = G(z). Entonces, H(z) H 2p (D), con 2p 1. Por tanto, G(re iθ ) G(e iθ ) p dθ = ( [H(re iθ ) H(e iθ )][H(re iθ ) + H(e iθ )] p dθ H(re iθ ) H(e iθ ) 2p dθ ) 1 2 ( ) 1 ( H(re iθ ) + H(e iθ ) 2p 2 π dθ C H(re iθ ) H(e iθ ) 2p dθ donde C es independiente de r, pues G H 2p (D). Ya que 2p 1, por lo que probamos en el caso anterior, π sabemos que lim H(re iθ ) H(e iθ ) 2p dθ = 0, luego el resultado se tiene para p 1 r 1 2. Si p 1 4, hacemos de nuevo la sustitución H(z) = G(z) y procedemos como arriba, usando el resultado que acabamos de probar. Siguendo este procedimiento, podemos probar el resultado para p 1 8, p 1 16, etc, luego el teorema queda demostrado. Nota.1.19 Si p =, el Teorema anterior no es cierto. En efecto, supongamos que f H (D) y f(e iθ ) f(re iθ ) 0, cuando r. Necesariamente, f(e iθ ) es continua, lo cual no es cierto, pues existen muchas f H (D) con f(e iθ ) no continuo. Sin embargo, si definimos f = ess θ sup f(e iθ ), 13

14 entonces si f H (D), entonces f H p (D) para cada p > 0, y por tanto f(e iθ ) existe a.e. y podemos usar el teorema anterior. Definición.1.20 Definimos H p (D) = {f : D C : f H p ( D)}. Como es usual, definimos la relación de equivalencia f g si f = g a.e., de modo que H p (D) esta formada por las clases de equivalencias según la relación. Nótese que H p (D) L p (, π), más precisamente, H p (D) es un subespacio vectorial de L p (, π), pues es cerrado bajo la suma y la multiplicación por escalares. Veamos que H p (D) es también topológicamente cerrado. Para cada φ L p (, π), ( φ p = φ(t) p dt ) 1 p. En lo que sigue, para f H p (D) utilizaremos la norma con la notación del Teorema.1.17: Si p 1, ( f p = f(e iθ ) p dθ ) 1 p, y si 0 < p < 1, f p = f(e iθ ) p dθ. Nota.1.21 Es claro que H p (D) contiene a todas las funciones de la forma p(e iθ ) = a n e inθ, a n C, para cada n N. A estas funciones se las conoce como polinomios en e iθ. Sin embargo, podemos decir mucho más, como se muestra en el siguiente Teorema. Teorema.1.22 Sea 0 < p <. H p (D) es la clausura en L p del conjunto de los polinomios en e iθ. Demostración Para cada 0 < ρ < 1, definimos f ρ (z) = f(ρz). Sean f H p (D) y ɛ > 0. Por el Teorema.1.18 sabemos que existe un ρ < 1 tal que f ρ f p < ɛ 2. Sea S n (z) la n-ésima suma parcial de la serie de Taylor de f en el origen. Ya que S n (z) f(z) uniformemente en D(0, ρ), se tiene que, para n suficientemente grande, S nρ f ρ p < ɛ 2. Entonces, para p 1, en virtud de la desigualdad de Minkowski tenemos que S nρ f p < ɛ. Esto implica que f(e iθ ) pertenece a la clausura en L p de los polinomios en e iθ. Si p < 1, utilizamos la desigualdad (a + b) p 2 p (a p + b p ), siendo a, b > 0, y obtenemos el mismo resultado. Para acabar la prueba, debemos demostrar que H p (D) es cerrado. n=0 14

15 Supongamos que una sucesión {f n (e iθ )} H p (D) converge en media L p a ϕ(θ) L p (, π). Entonces, por el lema anterior, {f n (z)} es uniformemente acotada en cada disco D(0, R), R < 1. Por tanto, {f n } es una familia normal, luego existe una subsucesión {f nk (z)} que converge uniformemente en cada disco D(0, R), R < 1, a una función analítica f(z). Es claro que f H p (D). Veamos que ϕ(θ) = f(e iθ ) a.e. Sea ɛ > 0. Elegimos N N tal que, para cada n, m N, f n f m p < ɛ. Entonces, para m N y r < 1, ( f(re iθ ) f m (re iθ ) p dθ ) 1 p ( ) 1 = lim f nk (re iθ ) f m (re iθ ) p p dθ lim f n k f m p < ɛ. k k Por tanto, para cada m N, se tiene que f f m p < ɛ. Esto significa que f f n p 0, cuando n, y ϕ(θ) = f(e iθ ) a.e. Con un argumento similar al de la demostración anterior se tiene que H (D) es cerrado..2. Espacios H p (R 2 +) Denotamos por R 2 + = {z C : Imz > 0}. Definición.2.1 Sea 0 < p <. Una función analítica en R 2 + se dice que pertenece a H p (R 2 +) si existe una constante C > 0 tal que f(x + iy) p dx C, y 0. Además, definimos H (R 2 +) como el conjunto de las funciones analíticas y acotadas en R 2 +. Teorema.2.2 Sean f H p (R 2 +), p 1. Entonces, para casi todo t R, 1. existe lim z t f(z) = f(t), 2. f(t) L p (, ) 3. f(z) = 1 π y (x t) 2 + y 2 f(t)dt,, para cada z R2 +. Ver página 153 de [5]. Teorema.2.3 Si f H p (R 2 +), p 1 y para cada w = i z i+z, z R2 + (w es el resultado de realizar la aplicación conforme que va del semiplano superior al disco) se tiene que g(w) = f(z), entonces g(w) H p (D). Por el Teorema.2.2, f(z) = 1 π y z t 2 f(t)dt, donde f(t) L p (, ). Por el cambio de variables w = i z i+z, obtenemos obtenemos g(re iθ ) = 1 1 r 2 2π 1 + r 2 2rcos(θ τ) g(eiτ )dτ), 15

16 ( poniendo f(t) = g Entonces, i t i+t ). f(e iτ ) p dτ = 2 f(t) p 1 + t 2 dt 2 f(t) p dt <. Esto significa que f(reiθ ) p dθ está acotado. Por tanto, f H p (D). Este Teorema también es válido para 0 < p < 1. Para ver la demostración detallada consultar [5]. Nota.2.4 El recíproco del Teorema anterior no es cierto, esto es: g(ω) H p (D) f(z) H p (R 2 +). La correcta equivalencia sería la siguiente: Para cada ω = i z i+z, z R2 +, tal que g(w) = f(z), g(ω) H p (D) f(z) (z + i) 2 p H p (R 2 +). Los resultados que hemos visto en la sección anterior para el disco pueden traducirse para el semiplano..3. Dual de los espacios H p En esta sección vamos a considerar principalmente el círculo unidad. Por tanto, vamos a tratar sólo con los valores frontera f(e iθ ) de las funciones de H p (D), esto es, con el espacio H p ( D), que ya hemos visto anteriormente que se trata de un subespacio cerrado de L p (, π). Resultados similares se obtienen para el semiplano superior por métodos análogos. Notación. Por simplificar la notación vamos a referirnos por H p a H p ( D). Llamamos H p (0) = {f H p : f(eiθ )dθ = 0}. Recordemos primero la siguiente definición. Definición.3.1 Sean X un espacio de Banach y S un subespacio cerrado de X. Para cada x X, se define la clase de equivalencia de x módulo S es el subespacio [x] = {x + y : y S} = x + S, y el espacio cociente por X/S = {[x] : x X}. Es fácil verificar que X/S es un espacio vectorial. Teorema.3.2 Si 1 < p < y 1 p + 1 q = 1, Lq /H q tiene como dual a H p (0) y H p tiene como dual L q /H q (0). Nota.3.3 Esta asimetría es uno de los resultados de trabajar en el disco unidad. Ésta desaparece si trabajamos en el semiplano superior. Sea Λ : L q /H q C un funcional lineal acotado. Nótese que Λ define un funcional lineal acotado en L q (, π), luego para cada f L q (, π), por el Teorema de representación de Riesz tenemos que existe un único L L p (, π) tal que Λ(f) = Λ(f + H q ) = 16 f(e iθ )L(e iθ )dθ.

17 Además, si g H q, Λ(g) = 0. En particular, para cada n = 0, 1, 2,..., e inθ L(e iθ )dθ = 0. Por tanto, L(e iθ ) tiene una serie de Fourier de la forma A n e inθ y, ya que L(e iθ ) L p (, π), L(e iθ ) H p (0). Recíprocamente, cualquier L(e iθ ) H p (0) define un funcional lineal Λ : L q /H q C tal que Λ(f) = Λ(f + H q )) = f(e iθ )L(e iθ )dθ, f L q /H q. Por otra parte, si L(e iθ ) L q (, π) y f H q (0) es arbitrario, para cada g H p, la forma lineal Λ(g) = (L(e iθ + f(e iθ ))g(e iθ )dθ no depende de f H q (0). Por tanto, L + H q (0) es un funcional lineal acotado en H p. Recíprocamente, tomamos Λ cualquier funcional lineal en H p. Por el Teorema de Hahn-Banach, podemos extenderlo a L p (, π), y por tanto, existe un L L q (, π), tal que Λ(g) = L(e iθ )g(e iθ )dθ, g L p (, π). Restringiéndonos a H p, Λ es dado por la clase de equivalencia de f en H q (0), esto es [f] = f + H q (0). Siguiendo el mismo procedimiento que en la demostración anterior, se obtiene el siguiente resultado: Teorema.3.4 El dual de L 1 /H 1 es H (0), y el dual de H 1 es L /H (0). En el semiplano superior se tiene el siguiente resultado: Teorema.3.5 Para 1 p <, con 1 p + 1 q = 1, el dual del espacio Hp (R 2 +), es el espacio L q /H q. Los resultado anteriores de dualidad nos dan algunos teoremas de aproximación por funciones de H p. Vamos a presentarlos para el disco unidad, pero de manera análoga se verifican para el semiplano superior. Teorema.3.6 Sea f L p (, π), 1 < p < y llamamos f H p p = inf{ f h p : h H p }. Entonces, { } 1. f H p π p = sup f(eiθ )g(e iθ )dθ, g H q (0), y g q = Existe un h 0 H p con f H p p = f h 0 p. 3. Existe un g 0 H q (0), g 0 q = 1, con f H p p = f(eiθ )g 0 (e iθ )dθ. 1. Esto es una expresión métrica de la dualidad entre L p /H p y H q (0). 2. Sea h n H p (D) con f h n p f H p p, cuando n. Entonces, h n p es acotado y por tanto existe una subsucesión {h nj } que converge débilmente en L p a un cierto h 0. Es claro que h 0 H p (D). Entonces, 17

18 f h nj f h 0 débilmente cuando j. Por tanto, como H p (D) es un espacio de Banach y p es semicontinua inferior débil, se tiene que f H p p f h 0 p lim j inf f h n j p = f H p p. 3. Del Teorema de extensión de Hahn Banach, existe un funcional lineal Λ : H p /H p C de norma 1 tal que Λ(f + H p ) = f H p p. Del Teorema.3.2, existe g 0 H q (0) con g 0 q = 1, tal que Λ(f + H p ) = f(eiθ )g 0 (e iθ )dθ..4. Sucesiones de interpolación. Definición.4.1 Una sucesión {z n } R 2 + se dice que es una sucesión de interpolación en el semiplano superior si, dada cualquier sucesión acotada {c n } C, existe una f H (R + 2 ) tal que, para cada n N f(z n ) = c n. En esta sección vamos a ver que es posible determinar todas las sucesiones de interpolación en términos de una condición geométrica. Condiciones necesarias Lema.4.2 {z n } R 2 + es una sucesión de interpolación si, y sólo si, existe una constante K > 0 tal que, para cada N N, si c n 1, n = 1,..., N, existe una f H (D), con f K, de modo que f(z n ) = c n, n = 1, 2,..., N. (K no depende de N). Supongamos que existe un K > 0 en las condiciones del lema. Sean {c n } C una sucesión cualquiera con c n 1 y, para cada N N, sea F N H (R 2 +) con f N K, tal que para n = 1, 2,..., N. f N (z n ) = c n, Ya que f N K, existe una subsucesión de {f N } que converge uniformemente en cada compacto en R 2 + a una función f H (R 2 +) con f K. Es claro que esta f verifica, para cada n N, f(z n ) = c n. Recíprocamente, supongamos que {z n } es una sucesión de interpolación. Definimos, para cada L N, Nótese que l = S L = {{f(z n )} : f H (R 2 +), f L} l. S L. Además, S L es cerrado en l, para cada L N. En efecto, sean L N y {f k } S L. L=1 Si {c n } l verifica f k (z n ) c n = sup n N f k (z n ) c n 0, cuando k, entonces podemos extraer una subsucesión {f kj } j=1 que converja uniformemente en cada compacto en R2 + a f H (R 2 +). Entonces, f L, y f(z n ) = c n, n N. Por tanto, {c n } S L y S L es cerrado en l. Por tanto, S L es cerrado en l, para cada L N. 18

19 En virtud del Teorema de la categoría de Baire, algún S L contiene una esfera de radio ρ > 0, centrada en un punto de la sucesión {f 0 (z n )} S L. Esto significa que, si c n f 0 (z n ) ρ, para cada n N, entonces existe un f H (R 2 +), con f L y f(z n ) = c n, n N. Por tanto, si d n ρ, n N, podemos encontrar un g H (R 2 +), g 2L, con g(z n ) = d n, n N. (Basta poner c n = d n + f 0 (z n ) y g = f f 0 ). Se sigue que si a n 1, n N, podemos encontrar un h H (R 2 +) con h 2L ρ cada n N. El resultado se obtiene con K = 3L/ρ. y h(z n) = a n, para Lema.4.3 Sea {z n } es una sucesión de interpolación en R 2 +. Entonces, existe δ > 0 tal que, para cada n N, z n z k z n z k δ > 0. (.4.2) k n Del Lema.4.2 sabemos que, si {z n } es una sucesión de interpolación en R 2 +, existe un K > 0 tal que, para cada n N, podemos encontrar un f H (R 2 +) con f K y 1, si k = n, f(z k ) = 0, si k n. De acuerdo con el Teorema.1.14, podemos formar un producto de Blaschke B(z) de los ceros {z k }, k n de f(z), de modo que f(z) = B(z)g(z), siendo g H (R 2 +) y g = f K. Para cada n N, se tiene que B(z n ) = z n z k z n z k δ > 0, k n luego, 1 = f(z n ) = B(z n ) g(z n ) K B(z n ). El resultado sigue tomando δ = 1 K. Hemos visto que (.4.2) es una condición necesaria para que {z n } R 2 + sea una sucesión de interpolación. Veamos que también es una condición suficiente. Lema.4.4 Si, para cada n N, entonces k n z n z k z n z k δ > 0, k n Im(z n )Im(z k ) z n z k log(1/δ). Para k, n N, k n, sean z k = x k + iy k, z n = x n + iy n, con x n, x k, y n, y k R. Se tiene que 0 < z n z k z n z k < 1, y 2 1 z n z k z n z k = z n z k 2 z n z k 2 z n z k 2 = (x n x k ) 2 + (y n + y k ) 2 (x n x k ) 2 (y n y k ) 2 z n z k 2 = 4y ny k z n z k 2. 19

20 Denotando P k = zn z k, z n z k se tiene que 2 log 1 P k = log 1 1 (1 Pk 2) = m=1 (1 P 2 k )m m 1 P 2 k = 4Im(z n)im ( z k ) z n z k 2. Ya que k n 2 log(1/p k ) 2 log(1/δ), se tiene el resultado. Definición.4.5 Una medida positiva µ (no necesariamente finita) definida en R + 2 se dice que es una medida de Carleson si, y sólo si, existe una constante K > 0 tal que, para cada f H 1 (R + 2 ), f(z) dµ(z) K f 1. R + 2 Las medidas de Carleson tienen una importante caracterización geométrica que viene dada por el siguiente Teorema. Ya que el concepto de medida de Carleson y la siguiente propiedad sólo la vamos a usar de pasada para probar el Teorema de interpolación, no vamos a entrar en detalles en la demostración, pero en caso de duda puede verse en [5], página 258. Teorema.4.6 (Carleson) Una medida µ es de Carleson si, y sólo si, para cada x R y h > 0, existe una constante C > 0 independiente de x y de h tal que µ((x, x + h) (0, h)) Ch. Lema.4.7 Si, para cada n N, la medida µ en R 2 + dada por z n z k z n z k δ > 0, k n dµ(z) = n N Im(z n )dδ zn (z), es una medida de Carleson. Vamos a probar que, para cada x 0 R y cada h > 0, µ([x 0, x 0 + h] (0, h)) (1 + 5 log 1 δ )h. Esto hace que µ sea una medida de Carleson por el Teorema.4.6. Sean x 0 R y h > 0. Denotamos S = [x 0, x 0 + h] (0, h). Tenemos que ver que Im(z n ) (1 + 5 log 1 δ )h, z n S y dicha condición se dará si demostramos que, para cada N N, Im(z n ) (1 + 5 log 1 δ )h. z n S n N 20

21 Sea N N grande. Si no existe z k, 1 k N con z k S, la desigualdad que queremos probar es cierta. Supongamos que existen algunos z k S, 1 k N. Si para algún z n de esos se tiene que Im(z n ) h/2, entonces la desigualdad deseada es cierta. En efecto, en virtud del Lema.4.4, k n Nótese que si z k S, k n, entonces Im(z n )Im(z k ) z n z k log(1/δ). Im(z n ) z n z k h, pues z n z k 2 = (x n x k ) 2 + (y n + y k ) 2 h 2 + 4h 2 = 5h 2, siempre que Im(z n ) h/2. Por lo tanto, y como Im(z n ) h, 1 10h Im(z k ) 1 2 log 1 δ, z n S n N Im(z k ) (h + 5h log 1 δ ), z k S luego la desigualdad deseada se cumple para cada N N. Supongamos que existen z k S para 1 k N, pero ninguno de ellos cumple Im(z k ) h 2. En ese caso, descomponemos el cuadrado S en un rectángulo superior R y dos cuadrados debajo S 1,1 y S 1,2. Ya que no hay nigún z k, 1 k n con z k S y Im(z k ) h 2, no existe tal z k en R. Por consiguiente, z k S 1 k N Im(z k ) = z k S 1,1 1 k N Im(z k ) + Si existe in z n S 1,1, 1 k N, con Im(z n ) h 4, entonces z k S 1,2 1 k N Im(z k ). Im(z k ) (1 + 5 log 1 δ )h, mientras que 2 si S 1,1 no tiene z k en él, para 1 k N, entonces z k S 1,1 1 k N Im(z k ) = 0. z k S 1,1 1 k N De la misma forma, si S 1,2 tiene en él un z n, 1 n N, con Im(z n ) h 4, se tiene que Im(z k ) (1 + 5 log 1 δ )h 2, y si S 1,2 no tiene ningún z k en él, con 1 k N, entonces Im(z k ) = 0. z k S 1,2 1 k N z k S 1,2 1 k N Si existen z k, 1 k N en S 1,1 pero todos ellos tienen Im(z k ) < h 4, dividimos S 1,1 en un reactángulo superior y dos cuadrados inferiores de lado h 4, S 1,1,1 y S 1,1,2, y vemos si existe un z n, 1 n N con Im(z n ) h 8 o si ningún z k está en ellos, para 1 k N. Haciendo la misma construcción en S 1,2, si existen z k, 1 k N en ellos, pero ningunoo cumple Im(z k ) h 4, y seguimos este procedimiento, parando cuando encontremos por primera vez un cuadrado inferior el cual, o no tiene z k, 1 k n en él, o tiene uno con Im(z k ) 1 2 de ese lado del cuadrado. Este proceso no puede continuar indefinidamente, pues estamos buscando sólo un número finito (N) de z k. 21

22 La construcción que acabamos de describir nos da un número finito de intervalos que no se solapan, I 1, I 2,..., I p dentro del intervalo I = [x 0, x 0 + h], teniendo cada uno de ellos longitud I dividido por alguna potencia de 2. Cada I k es la base de un cuadrado, llamémoslo S (k), que está en S y todos los z k, 1 k N, que pertenecen a S están en la unión de los S (k). Cada S (k) tiene en él un z k, 1 k N, con Im(z k ) 1 2 I k. De lo comentado al principio de la prueba, tenemos que, para k = 1,..., p, z j S (k) 1 j N Im(z j ) (1 + 5 log 1 δ ) I k. Por lo tanto, esto es, z j S 1 j N Im(z j ) p k=1 z j S (k) 1 j N z k S 1 k N Im(z j ) (1 + 5 log 1 p δ ) I k (1 + 5 log 1 δ ) I, k=1 Im(z k ) (1 + 5 log 1 δ )h. Teorema.4.8 (Teorema de Carleson) Una sucesión {z n } en el semiplano superior con z n z k z n z k δ > 0, k n para cada n N, es una sucesión de interpolación. Por el Lema.4.2, es suficiente probar que existe un K > 0 tal que, para cada N N, y cada c n C, n = 1, 2,..., N, con c n 1, existe un f H (R 2 +) con f K y f(z n ) = c n, n = 1, 2,..., N. Sea N N. Consideremos el producto de Blaschke finito Para 1 n N, B N (z n) = β n 2iIm(z n ), siendo B N (z) = β n = N ( ) zn z k. z n z k k=1 1 k N k n ( zn z k Por tanto, β n δ, 1 n N, en virtud de la hipótesis. z n z k Dados los números c n, c n 1, 1 n N, podemos encontrar la siguiente f H (R 2 +) con f(z n ) = c n, 1 n N: f(z) = f 0 (z) = B N (z) N ). c n B N (z n)(z z n ) = 2iB N(z) 22 N Im(z n ) β n c n z z n.

23 Cualquier otra f H (R 2 +) con f(z n ) = c n, 1 n N es de la forma f 0 + B N G, donde G H (R 2 +), y recíprocamente. Por lo tanto, vamos a ver que si f 0 BH tiene una cota independiente de N. Si tiene una cota K, entonces habrá una f H (R 2 +) con f K y f(z n ) = c n, n = 1, 2,..., N, siendo K independiente de N y el resultado quedará probado. Vamos a usar la teoría de dualidad vista anteriormente. Ya que B N (x) 1, x R, se tiene que f 0 B N H = inf{ f 0 B N G : G H }. Por un análogo al Teorema.3.6 para el semiplano superior, { } f 0 B N H f 0 (x) = sup B N (x) f(x)dx : f H1 (R 2 +), f 1 1. Para cada f H 1 (R 2 +), tenemos que N f 0 (x) B N (x) f(x)dx = 2i Im(z n ) β n c n x z n f(x)dx = 4π N c n β n Im(z n )f(z n ). Ya que β n δ y c n 1, f 0 (x) B N (x) f(x)dx 4π δ N Im(z n ) f(z n ). De acuerdo con el Lema.4.7, la medida que asigna masa Im(z n ) a cada punto z n es una medida de Carleson. Por lo tanto, para cada f H 1 (R 2 +), 4π δ Im(z n ) f(z n ) 4π δ C f 1. Por consiguiente, tenemos que f 0 B N H 4π δ C. Por tanto, f 0 B N H está acotado y la cota no depende de N. 23

24 Bibliografía. [1] L.V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill. [2] L. Bernal González, Análisis Real y Complejo (notas para el máster universitario en Matemática avanzada) [3] L. Carleson, J. Garnett, Interpolating sequences and separation properties. J. d Analyse Math. 28 (1975). [4] P.L. Duren, Theory of H p Spaces, Dover Publications, inc. [5] P. Koosis, Introduction to H p Spaces, Cambridge University Press. [6] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill. [7] R. L.Wheeden, A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis. 24

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