estimaciones de pobreza para areas pequeñas en costa rica: una aplicación de los estimadores de contracción de james stein

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1 Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones (2 : cimpa ucr ccss issn: estimaciones de pobreza para areas pequeñas en costa rica: una aplicación de los estimadores de contracción de james stein Jorge A. Barquero Roger E. Bonilla Recibido/Received: 22 Feb 2006; Aceptado/Accepted: 22 Jan 2007 Resumen En este artículo se prueban dos posibles métodos para estimar la pobreza en áreas pequeñas, los cuales se utilizaron para corregir los estimadores directos de las encuestas periódicas, apoyándose en la estimación censal: el método de regresión del tipo P it = β 0 + β P io, en donde P it son los valores de la pobreza en las fuentes periódicas y P i0 son los correspondientes valores censales; y el llamado método de contracción basado en la teoría de los estimadores de contracción de James Stein: ( θ it = σ + ˆ2 θ i + ψ it + ψit ˆσ 2 θ it, con variancia V ( θ it =ˆσ 2 ˆσ4 ˆσ 2 + ˆψ, que consiste en contraer los estimadores de it las fuentes periódicas θ it hacia los valores paramétricos θ i, cuando la variancia del estimador en el área pequeña ψ it es relativamente grande, o bien contraerlo a los estimadores de la fuente periódica θ it cuando la variancia de los parámetros ˆσ 2 es relativamente grande. Los estimadores de contracción tienen un menor error cuadrático medio que los obtenidos por regresión, y produjeron intervalos de confianza más pequeños que los obtenidos por regresión y estimación directa. Palabras clave: Estimación, estimadores de contracción, regresión lineal, pobreza. Centro Centroamericano de Población (CCP & Escuela de Antropología y Sociología, Universidad de Costa Rica. San Pedro 2060, San José, Costa Rica. jbarquero@ccp.ucr.ac.cr. Centro Centroamericano de Población (CCP & Escuela de Estadística, Universidad de Costa Rica. San Pedro 2060, San José, Costa Rica. rebonill@ccp.ucr.ac.cr. 83

2 84 J. A. Barquero R. E. Bonilla Rev.Mate.Teor.Aplic. (2007 4(2 Abstract This paper evaluates two methods in order to estimate the poverty at small areas, both were used to correct the direct estimators from the periodical data sources with the help of the only available parametrical data source (Census. The first method is so-called regression-method, of the type P it = β 0 + β P io, where P it are the poverty values at the periodic source data and P i0 are the corresponding parametric values(census; and the second one is called shrinking-method, based on an approach of the James-Stein shrinking estimators: ( θ it = σ + ˆ2 θ i + ψ it + ψit ˆσ 2 θ it, with variance V ( θ it =ˆσ 2 ˆσ4 ˆσ 2 + ˆψ, consisting to shrink the periodical data source it estimators θ i towards the parametrical values θ i, when the variance of the estimator at the small area ψ i is relatively big. Otherwise, to shrink towards the periodical data source estimators θ i when the parametrical variance ˆσ 2 is relatively big. Suggested shrinking-method estimators had smaller average quadratic errors, than those from regression-method, and produces smaller confidence interval than both regressionmethod and direct estimations. Keywords: Estimation, shrinkage estimators, linear regression, poverty. Mathematics Subject Classification: 93E99, 62J07, 62J05. Introducción Un área pequeña es una subpoblación para la cual las estimaciones directas son inadecuadas, debido a que si la muestra de la subpoblación es pequeña, entonces el estimador directo tendrá una alta variabilidad que hace que éste sea ineficiente (Larsen, En la actualidad, la demanda de estimaciones para áreas pequeñas ha aumentado mundialmente debido a que pueden ser un insumo importante para el diseño de políticas públicas y programas sociales, así como para la orientación adecuada de fondos públicos, la planificación regional, la toma de decisiones de pequeñas empresas, entre otras aplicaciones (Rao, Los métodos de estimación en áreas pequeñas se usan para reducir la variancia de los estimadores directos. Estos métodos están ampliamente documentados en Ghosh & Rao (994, Malec et. al. (999 y Malec et. al. (997, aplicado en el conteo de probabilidades de selección desigual, especificando un modelo jerárquico bayesiano que incluye un modelo de regresión logística para la estimación de los porcentajes esperados. Farell et. al. (997 usa en su modelo procedimientos bayesianos empíricos para estimar los parámetros de un modelo de regresión logística, asociado a los porcentajes esperados en áreas pequeñas. Otros trabajos recientes en estimación en áreas pequeñas incluyen el desarrollo de métodos para el modelaje espacio-temporal de conteos (Wakefield & Elliott, 999 y de promedios de variables cuantitativas a través de modelos de regresión anidados (Singht et. al., 998. En 96, James & Stein (96 probaron un resultado trascendental en la estadística matemática. Los autores probaron que si la dimensión p de un vector de una variable

3 estimaciones de pobreza para áreas pequeñas en costa rica 85 X es mayor que dos, entonces el estimador de James-Stein para ì, o sea el parámetro poblacional es: ( ˆµ JS = p 2 X 2 X y tiene un error cuadrático medio pequeño. Durante los últimos 25 años, numerosos artículos han aparecido en la literatura estadística y econométrica en donde se estudian las aplicaciones y las extensiones del estimador de James-Stein. El estimador de James- Stein es un caso particular de un estimador de contracción, ya que el factor (p 2/ X 2 contrae el estimador de máxima-verosimilitud de X a una media central (Manton et. al., Aplicación a la pobreza en Costa Rica En este trabajo se estima la pobreza en las áreas pequeñas de Costa Rica (cantones, mediante una variante del estimador de contracción de James Stein, y de forma alternativa se estima también con un enfoque de regresión. La pobreza es un fenómeno social complejo, con múltiples dimensiones que resultan difíciles de medir satisfactoriamente. En los últimos años las mediciones de pobreza se han concentrado en captar empíricamente dos de estas dimensiones: la insuficiencia de ingresos de un hogar para satisfacer determinadas necesidades de consumo, y el grado de de satisfacción de un conjunto de necesidades que se definen socialmente como básicas o necesarias. Estos dos enfoques, respectivamente, han dado lugar a dos procedimientos para la medición de la pobreza: el Método de Línea de pobreza (LP y el Método de Necesidades Básicas Insatisfechas (NBI (Feres & Mancero, 200a y 200b. En Costa Rica las estimaciones ofíciales de pobreza aplican el procedimiento LP a nivel de grandes agregados geográficos, mediante las llamadas Encuestas de Hogares de Propósitos Múltiples (EHPM, que ejecuta periódicamente el Instituto Nacional de Estadística y Censos (INEC. El tipo de diseño estadístico de las EHPM no permite realizar estimaciones confiables y actualizadas de la pobreza a nivel de áreas pequeñas, ya que sólo posibilita obtener información representativa para las seis grandes regiones de planificación en que está dividido el país. Los Censos de Población del país son la única fuente de datos conocida que permite estimaciones a mayores niveles de desagregación, pero como éstos se realizan cada 0 años, aproximadamente, su información se desactualiza con el tiempo, con el problema adicional de que sólo permite la estimación de pobreza por NBI. No obstante, se constató que las dos mediciones de la pobreza con censo y encuesta, están asociadas de forma satisfactoria (r=0.7, p < 0.05, aunque con pérdida de asociación a través del tiempo. Esto motivó la aplicación que se explica en el siguiente apartado.

4 86 J. A. Barquero R. E. Bonilla Rev.Mate.Teor.Aplic. (2007 4(2 2 Métodos y datos 2. Notación matemática Sea i = {, 2, 3,...c} el número de áreas pequeñas en el país, y t = {, 2, 3,...,y} el año de la estimación; se supuso que el número de hogares en el área pequeña i en el tiempo t, se define como H it ;yx it como el número de hogares pobres. Entonces: P it = X it H it ( es el porcentaje paramétrico de pobreza en el área pequeña i en el tiempo t estimado directamente con ˆP it. P i0 es el porcentaje ( paramétrico inicial de la pobreza en el tiempo t =0. Sea θ it = log Pit P it estimada a partir de ˆθ ( ( i0 = log ˆPi0 ˆP y θ i0 = log Pi0 io P i0 en donde var (ˆθit = ψ it = n it ˆθ it ( ˆθ it (2 Si θ it N(θ io,σ 2 entonces ˆθ i0 θ it N(θ i0,ψ it. La distribución marginal de ˆθ it N(θ i0,σ 2 + ψ it. La función de máximo-verosimilitud de ˆθ it con variancia compuesta σ 2 + ψit se define como L = t i 2π σ 2 + ˆψ exp it { 2 } (ˆθ it θ i0 2 (σ 2 + ψ it Para la estimación de σ 2, la variancia del θ it es necesario ejecutar una rutina numérica que optimice (3, que es equivalente a minimizar la función { log } 2π + log(σ 2 + ˆψ it + (ˆθ it θ i0 2 σ 2 + ˆψ (4 it con respecto a σ 2 Una vez obtenido ˆσ, es fácil derivar t i ( ˆψit E(θ it ˆθ it,θ i0, ˆσ 2, ˆψ it = θ it = ˆσ 2 + ˆψ it ( = θ i0 + + ˆσ2 ˆψ it ( ˆσ 2 θ i0 + + ˆψ it ˆσ 2 ˆσ 2 + ˆψ it ˆσ it En este trabajo la rutina numérica fue realizada con un programa escrito en R+ (R Development Core Team, 2005, en una Pentium PC de 2.80 GHz. El programa tomó cerca de 3 minutos para realizar iteraciones. El nivel de precisión se definió en ˆθ it (3

5 estimaciones de pobreza para áreas pequeñas en costa rica 87 en donde θ it es el llamado estimador de contracción, ya que si ˆψit es más grande con respecto a σ 2, entonces el estimador se contraerá a θ io, de lo contrario se contraerá a ˆθ it. La variancia de ˆθ se define como var(θ it ˆθ it,θ i0, ˆσ 2, ˆψ it =ˆσ 2 ˆσ 4 ˆσ 2 + ˆψ it (6 Realizando la transformación inversa del logit se tiene que el estimador de pobreza contraído en el área pequeña i en el tiempo t, queda definido como ˆP it = eˆθ it +eˆθ it (7 Con variancia estimada con el método delta ( ( var P = ˆσ 2 ˆσ 4 ˆσ 2 + ˆψ it ( eˆθ it ( + eˆθ it 2 2. (8 Y la estimación por intervalo al 95% de confianza, definido como P it ±.96 var( P it. (9 Datos y procedimiento general Se definió como área pequeña al cantón de Costa Rica, con la información de la base de datos del Censo Nacional de Población y Vivienda 2000 (INEC, 2006, para obtener el cálculo del θ io inicial. Y se utilizaron las bases de datos de las EHPM de los años , para obtener los respectivos ˆθ it. Por su parte, se realizó una estimación alternativa basada en un modelo de regresión lineal de primer orden del tipo P it = β 0 + β + P io (0 de tal forma que la estimación de la pobreza en el área pequeña i en el tiempo t, resultó del valor ˆP it estimado por el modelo de regresión. Para validar las estimaciones por contracción y regresión, se calculó primero a nivel de regiones y se comparó con la estimación directa que permite la EHPM. Se obtuvo una mejor asociación de las estimaciones de pobreza, a nivel regional, con el método de contracción, por lo que se procedió a aplicarlo a los cantones. Se generaron intervalos de confianza al 95% para las estimaciones cantonales, para compararlas con las estimaciones directas y las obtenidas con el método por regresión. Y finalmente se establecieron ordenamientos (rankings entre cantones más y menos pobres, y se construyó un mapa de pobreza actualizado para el país al año 2004.

6 88 J. A. Barquero R. E. Bonilla Rev.Mate.Teor.Aplic. (2007 4(2 Estimación Estimada por Estimada por directa contracción regresión Región Central 7,2 7, 6,5 Chorotega 34,0 33,8 29,0 Pacifico Central 24,8 24,9 25,7 Brunca 40,5 39,8 32,9 Huetar Atlántica 23,5 23,0 30, Huetar Norte 26,0 25,4 3,8 Cuadro : Estimaciones del porcentaje de hogares pobres según región. Costa Rica, Fuente: Barquero & Bonilla, con información base suministrada por el INEC. 3 Resultados Al comparar los resultados obtenidos por región con los distintos métodos, los de contracción presentaron una mayor consistencia con la estimación directa para la que está diseñada la encuesta (Cuadro. El análisis exploratorio de la información a nivel de región mostró que la correlación entre P it y P io, se va debilitando entre más se aleja del momento censal (2000. El error cuadrático medio de los estimadores de contracción fueron menores que los estimadores obtenidos por el método alternativo de regresión (Figura. Figura : Error cuadrático medio ( 000 de los dos métodos de estimación, Costa Rica 2004 La pruebas de normalidad de Shapiro-Wilks demostró que el supuesto de normalidad para los ˆθ it se cumple al nivel de significancia del 5%. Al realizar la estimación para las áreas pequeñas (cantones, los estimadores de contracción generan intervalos de confianza al 95% más precisos que los estimadores por el método alternativo de regresión y las estimaciones directas (Larsen, El Anexo muestra el resultado de las estimaciones de contracción de la pobreza para las áreas pequeñas (cantones de Costa Rica entre

7 estimaciones de pobreza para áreas pequeñas en costa rica 89 La Figura 2 muestra el mapa de pobreza para Costa Rica para el año 2004, que posibilitó el resultado de las estimaciones de contracción para las áreas pequeñas (cantones. Figura 2: Porcentaje de pobreza estimada con estimadores de contracción, Costa Rica En el mapa se observa que las regiones más pobres están ubicadas principalmente en las zonas fronterizas, al norte con Nicaragua y al sur con Panamá, así como en la Península de Nicoya, específicamente la cuenca del Golfo de Nicoya. En general, los resultados son coincidentes con estudios a nivel regional que muestran que estas zonas acusan un mayor deterioro de servicios básicos como vivienda e infraestructura y un mayor estancamiento en indicadores como el empleo y la generación de ingresos para los hogares (Estado de la Nación, El Cuadro 2 muestra un ordenamiento (ranking de los cantones más pobres y menos pobres de Costa Rica, estimados en este trabajo, para los años 2000 y Cantones más pobres Upala, zona norte 64.8 Coto Brus, zona sur 60.8 Coto Brus, zona sur 62.7 Buenos Aires, zona sur 55. Los Chiles, zona norte 58.8 Upala, zona norte 53.7 Nandayure, zona noroeste 56.4 Hojancha, zona noroeste 49.9 Guatuso, zona norte 49.9 Nandayure, zona noroeste 49.4 Cantones menos pobres Moravia, norte de la capital 7. Moravia, norte de la capital 6.7 Santo Domingo, región central 8.4 Santo Domingo, región central 7.4 Alajuela, región central 9.0 Mtes de Oca, este de la capital 8.9 Mtes de Oca, este de la capital 9. San Rafael, región central 9.2 Costa Rica 20.6 Costa Rica 2.7 Cuadro 2: Cantones más y menos pobres según los estimadores de contracción, Costa Rica 2000 y 2004.

8 90 J. A. Barquero R. E. Bonilla Rev.Mate.Teor.Aplic. (2007 4(2 Las regiones menos pobres en Costa Rica para el año 2004, obtenidas en este trabajo, están ubicadas hacia el centro del país, en donde se localiza el Gran rea Metropolitana (GAM, zona en la que vive la mayor parte de la población del país y donde se encuentran la ciudad capital de San José y tres de las ciudades más importantes del país. Hacia el este y el noreste de la ciudad de San José se encuentran las regiones menos pobres de Costa Rica. A nivel de cantones, los resultados muestran desigualdades al interior de las regiones más grandes, en los que están ubicados, así como cambios en el orden de incidencia de la pobreza en el periodo de estudio. Como cabría esperar, el procedimiento de estimación asignó mayor pobreza a los cantones de las regiones más pobres, pero también estimó que la incidencia de la pobreza en tales cantones es mucho mayor a la que presenta la región en su conjunto. En algunos cantones la situación de pobreza aumenta o disminuye en el periodo, con una dinámica o dirección distinta a la de sus regiones de pertenencia. Por ejemplo, los cantones de Upala (65% y Coto Brus (63%, de las regiones Huetar norte y Brunca (al sur del país, respectivamente; presentaban en el 2000 un nivel de pobreza de poco más del doble de sus regiones, situación que no mejoró sustancialmente en el 2004 cuando su nivel alcanzó 6% y 54%, respectivamente, en tanto la pobreza en la Región Huetar Norte aumentó de 28% a 27%, y en la Brunca de 35% a 40%, entre el 2000 y el Los resultados muestran que los cantones menos pobres se concentran en las zonas metropolitanas y urbanas de la Región central del país, región con el menor porcentaje de hogares pobres de Costa Rica, pero que entre el 2000 y el 2004 aumentó su nivel de pobreza de 5 a 7 por ciento. Algunos cantones como Moravia, Santo Domingo, Montes de Oca y Alajuela redujeron su nivel de pobreza a valores menores al 9%, ensanchando la brecha social con respecto a las zonas más pobres. 4 Discusión final Los resultados de este trabajo demuestran que los estimadores de contracción, pueden ser una alternativa para la estimación de distintos indicadores para áreas pequeñas. Los métodos ensayados proveen así de un modelo que permitiría mantener actualizadas las estimaciones de distintos fenómenos sociales, como el caso de la pobreza, a nivel de áreas pequeñas para las que nose cuenta con información directa de las fuentes periódicas de datos existentes en el país. Hasta donde estos resultados son válidos y confiables? Un elemento que podría restar validez a los resultados obtenidos, es el efecto de la variancia en contracciones sucesivas. En el presente trabajo se hizo el supuesto que la variancia de los pseudo-parámetros es mínima en el proceso de contracción. Al momento del Censo es más válido dicho supuesto, pero conforme se alejan en el tiempo las estimaciones en áreas pequeñas, la variabilidad generada por la diferencia entre los métodos de estimación de la pobreza, se va debilitando y se gana por el efecto de acumulación de la variancia en el proceso iterativo. Una pregunta a responder sería: Cómo se afectan las estimaciones en áreas pequeñas el efecto de las variancias acumuladas en el proceso de contracciones sucesivas?

9 estimaciones de pobreza para áreas pequeñas en costa rica 9 Sin embargo, los resultados obtenidos son consistentes con la literatura encontrada, complementando los resultados de Larsen (2003, lo que permite afirmar que los estimadores (contraídos en áreas pequeñas, tienen menores errores cuadráticos medios que los estimadores directos y, en el caso del presente trabajo, también que los obtenidos por el método de regresión propuesto. Los hallazgos de este trabajo contribuyen a presentar evidencia de que las estimaciones para áreas pequeñas sirven para resolver problemas específicos, como es el del cálculo de la pobreza en cantones de Costa Rica, brindando información útil para el apropiado diseño de políticas públicas y programas sociales a niveles geográficos desagregados. Referencias [] Instituto Nacional de Estadística y Censos (2005 Encuesta de Hogares de Propósitos Múltiples de Costa Rica, San José, Costa Rica. Disponible también en URL: [2] Farrell, P.J.; MacGibbon, B.; Tomberlin, T.J. (997 Empirical Bayes Eetimators of small area proportions in multistage designs, Statist. Sinica 7: [3] Feres, J.C.; Mancero, X. (200a Enfoques para la medición de la pobreza. Breve revisión de la literatura, Serie Estudios Estadísticos y Prospectivos 4, CEPAL, Santiago de Chile. [4] Feres, J. C.; Mancero, X. (200b El método de las necesidades básicas insatisfechas (NBI y sus aplicaciones en América Latina, Serie Estudios Estadísticos y Prospectivos 7, CEPAL, Santiago de Chile. [5] Ghosh, M.; Rao, J.N.K. (994 Small area estimation: an appraisal, Statist. Sci. 9: [6] James, W.; Stein, C.M. (96 Estimation with quadratic Llss, in Proc. 4th Berkeley Symp. Math. Statist. Prob., Vol. : [7] Larsen, M.D. (2003 Estimation of small-area proportions using covariates and survey data, Journal of Statistical Planning and Inference 2: [8] Malec, D.; Sedransk, J.; Moriarity, C.L.; Leclerc, F.B. (997 Small area inference for binary variables in the National Health Interview Survey, J. Amer. Statist. Assoc. 92: [9] Malec, D.; Davis, W.W.; Cao, X. (999 Model-based small area estimation of overweight prevalence using sample selection adjustment, Statist. Med. 8: [0] Manton, J.H.; Krishnamurthy, V.; Vincent Poor, H. (998 James-Stein state filtering algorithms, IEEE Transactions on Signal Processing 46(9. [] Programa Estado de la Nación (2005 Undécimo Informe del Estado de la Nación en Desarrollo Humano Sostenible. San José, Costa Rica. [2] Rao, J.N.K. (2003 Small Area Estimation. Wiley, New York.

10 92 J. A. Barquero R. E. Bonilla Rev.Mate.Teor.Aplic. (2007 4(2 5 Anexo Cuadro 3. Porcentaje de hogares pobres obtenidos según los estimadores de contracción por cantón, Costa Rica Cantón/ Prov Cantón/ Prov SAN JOSE HEREDIA San José Heredia Escazú Barva Desamparados Santo Domingo Puriscal Santa Bárbara Tarrazú San Rafael Aserrí San Isidro Mora Belén Goicoechea Flores Santa Ana San Pablo Alajuelita Sarapiquí Coronado GUANACASTE Acosta Liberia Tibás Nicoya Moravia Santa Cruz Montes de Oca Bagaces Dota Carrillo Curridabat Cañas Pérez Zeledón Abangares León Cortés Tilarán ALAJUELA Nandayure Alajuela La Cruz San Ramón Hojancha Grecia PUNTARENAS San Mateo Puntarenas Atenas Esparza Naranjo Buenos Aires Palmares Montes de Oro Poás Osa Orotina Aguirre San Carlos Golfito Alfaro Ruíz Coto Brus Valverde Vega Parrita Upala Corredores Los Chiles Garabito Guatuso LIMON CARTAGO Limón Cartago Pococí Paraíso Siquirres La Unión Talamanca Jiménez Matina Turrialba Guácimo Oreamuno El Guarco Fuente: Barquero & Bonilla, con información de base suministrada por el INEC.

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