MECÁNICA CUÁNTICA EN MODELOS EXÁCTAMENTE RESOLUBLES

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1 TEMA 3 MECÁNICA CUÁNTICA EN MODEOS EXÁCTAMENTE RESOUBES. Intoucción En st ta consiaos agunos os ás ipotants concptos sutaos a cánica cuántica; toos os nto capo o qu poíaos consia aspctos atáticos ativant sncios. Más aant cuano nos nfntos a concptos concnints con aspctos atáticos un poco ás copjos poos apoanos n a anaogía con os sistas ás sips paa faciita a copnsión.. a patícua ib Una patícua ib s aqua qu no stá sujta a ninguna fua o baa potncia s ib paa ovs n un spacio sin íits. Una patícua ib b va s un punto vista cásico un oviinto ctiíno; oviinto qu aos coincii con j. Así a cuación Scöing paa a patícua ib sá E E 3. Si acos E k 3. a cuación 3. qua n a foa k 3.3 a soución gna a cuación ifncia 3.3 s A cos k B snk 3.4 o quivantnt C p ik D p ik 3.5 on C D son constants istintas A B spctivant. Una patícua ib poía sta sotia a un potncia po ntoncs ést bía s inpnint a posición; s ci constant. Un potncia constant aía uga a una ngía potncia constant qu únicant suponía un scaao a ngía tota a patícua ib. Nosotos paa a patícua ib sip suponos V. a quivancia nt as cuacions pu justificas a siguint foa: D acuo con a intia Eu paa núos copjos p ik cosk isnk p ik cosk isnk D as os iguaas antios suano stano obtnos cos k {p ik p ik}/ snk {p ik p ik}/ i Con o cua ik ik ik ik Acos k Bsnk A ib / A ib / C D.

2 as funcions p ± ik son funcions popias opao onto ina i con vaos popios ± k. Si tnos n cunta a cuación 3. vos qu os vaos popios ± k coincin con ± E ; s ci con onto ina cásico p una patícua ib con ngía cinética E. D acuo con a ación Bogi a ongitu ona asociaa a una patícua ib sá: λ. 3.6 p E E stao a patícua ib n qu D v cuación 3.5 conuc a una ik función ona C qu psnta una ona pana viajano n a icción j con sntio acia a ca con onto ina p E. Po contaio si s C a función ona s D ik psnta una ona pana viajano n a icción j con sntio acia a iquia con onto ina p E. Paa vaos C D no nuos v cuación 3.5 stao a patícua consist n a supposición os onas panas qu viajan abas n j po qu van sntios contaios. Pusto qu a función ona 3.5 no s anua paa ningún vao a ica función no pu s noaiaa n too spacio on tin psncia. Es fácint vificab qu * 3.7 E poucto * psnta a nsia pobabiia s ci a pobabiia nconta a patícua n a unia ongitu. Paa una patícua ib usano una ik as os funcions C o D ik obtnos * constant inpnint ; po o tanto a pobabiia nconta una patícua ib s a isa n cuaqui punto j. Esto s sinónio sconoc coptant cua s su posición Δ. o cua acuo con pincipio inctiub s cont con co qu conocaos actant su onto ina p E si ik C o p E si D ik. Pusto qu no a ninguna sticción n a constant k savo qu acuo con a cuación 3. b s un núo a ésta pu tn un vao cuaquia. Esto ipica qu a ngía a patícua ib pu tn cuaqui vao a positivo po consiguint no stá cuantiaa. 3. a patícua n una caja onoinsiona Si a patícua apatao antio s obigaa a panc n una gión finita spacio finia po a on a s una ongitu finita ntoncs sista s conocio coo patícua n a caja. Est sista siv coo oo sip agunos sistas as intés físico: oviinto tasación oécuas

3 gass ias 3 ctons n a bana conucción os tas ctons π n iocabuos conjugaos oécuas acionaas. Pusto qu oo a patícua n a caja s atáticant sip pu s utiiao paa a copnsión concptos canocuánticos ipotants sin qu coaos pigo pnos n tas atáticant ngoosos. Pu afias qu ningún oto sista canocuántico s capa a tanta infoación con tan poca anipuación atática. a cuación Scöing paa a patícua n a caja s a isa qu paa a patícua ib si asuios qu potncia nto a caja a s iso n cuaqui punto s ci V ct. Así V E E V E V k E V sino k 3.8 Noant toaos V nto a caja po si no fua así no s ningún ' poba a qu sip poos ac E E V. Paa asguanos qu a patícua panc confinaa nto a caja suponos un potncia infinito fua a s ci V si < o > a. Esto nos pit scibi as siguints conicions contono:. paa < o > a. 3. a as conicions 3 asguan qu a función ona s continua n intvao a. Si toaos a cuación 3.4 A cosk Bsnk coo soución a cuación Scöing cuación 3.8 cupiinto a conición contono obiga a qu a constant A a función ona sa co. Así a función ona qua ucia a Bsnk 3.9 Po ota pat cupiinto a conición contono 3 ig qu agunto ka sa un útipo π aians 4. Esta conición pu scibis coo ka nπ n 3 3. D a cuación 3. vos qu a constant k stá cuantiaa: nπ k n 3 3. a 3 a patícua ib tabién pu svi coo oo paa st tipo sistas sip qu a caja tnga una ongitu u gan. 4 E cupiintot a conición contono 3 tabién s consigu acino B po coo A b s co paa qu s cupa a conición contono tníaos s ci qu n conta a ipótsis patia no abía patícua nto a caja. 3

4 Evano 3. a cuaao sustituno k po vao ao n a cuación 3.8 tnos E V n π a Si n a psión antio toaos V sustituios po obtnos finant / π spjaos E n E n a on vos caant qu coo conscuncia a conición contono 3 a ngía a patícua n a caja stá cuantiaa a igua qu a constant k. D as cuacions as soucions a cuación Scöing a patícua n a caja qu cupan as conicions contono quias son funcions tipo nπ Bsn n a on a constant B pu obtns noaiano a función. Así a * nπ a B sn B a a B a vano vao obtnio B a a cuación 3.3 tnos nπ sn n a a os núos ntos n 3 son os núos cuánticos a patícua n a caja anáogos a os núos cuánticos qu apacn n átoo Bo; con a ifncia qu aquí tas núos cuánticos no bn postuas a pioi sino qu sugn foa natua coo conscuncia as conicions contono. En a figua 3. s ustan as ts pias funcions 3 paa n 3 spctivant sus spctivos cuaaos nsias pobabiia. Nóts qu tanto n coo n tinn n- noos vaos on tanto a función coo su cuaao s anuan. Evintnt os tos a no s consian noos. Paa n a patícua tin un soo áio nsia pobabiia justo n io a caja n a/. Paa n a patícua tin os áios nsia pobabiia n a/4 n 3a/4. Paa n 3 a patícua tin ts áios nsia pobabiia n a/6 n 3a/6 5a/6. Sabías nconta una foa sistática ocaia os áios nsia pobabiia paa un stao cuaquia núo cuántico n?. 4

5 3 3 a Figua 3. a ína gusa s a función a gaa cuaao a función a cuación 3. paa a ngía a patícua n a caja usta qu os nivs ngía pitios son invsant popocionas a cuaao a ongitu a caja. Po tanto a ia qu a s ac ás gan as ngías s acn ás pquñas paa un iso vao n. n 6 4 Engía n unias /8a V Figua 3. En a figua 3. vos un iagaa nivs ngía paa os cuato pios staos. Nóts qu a ngía niv ás bajo n no s co sino /8a. 5

6 Uno pu pguntas po qué niv ás bajo ngía paa a patícua n a caja no s co? Ha os aons ipotants paa qu no sa así: a pia s qu si a ngía s co n b s co po tanto a función ona π paa n sn sutaía s co n cuaqui punto a caja. Esto a a sía quivant a ci qu a patícua no ist n pi stao. a sguna aón tin qu v con pincipio inctiub Hisnbg. En fcto si a ngía s co ngía qu suta s toa a ngía cintica a vocia tabién sá co po tanto onto ina p sutaía co. D sta foa a inctiub onto ina sía Δp. Po ota pat a áia inctiub paa conociinto a posición a patícua s Δ a a qu sabos qu a patícua stá nto a caja. E poucto as inctiubs a posición onto ina sía Δ Δp o cua contaic pincipo inctiub. Nóts qu a patícua ib pu tn ngía co sin vioa pincipio inctiub a qu Δ. Es intsant nota qu spaciao nt os nivs ngía conscutivos aunta a ia qu aunta n. En fcto 8a 8a Δ E En En [ n n ] n 3.5 Aás coo s uc a cuación 3.5 a ia qu a ancua a caja s ás pquña ao s spaciao nt os nivs conscutivos ngía. Po contaio a ao vao a no s spaciao. En íit cuano a patícua ib spaciao ΔE s ota foa v qu a ngía a patícua ib no stá cuantiaa s ci toa vaos continuos. E iso aonainto poos ac con patícuas asas acoscópicas asas gans. Paa st tipo patícuas spaciao nt os nivs conscutivos ngía s nuo; s ci a ngía no stá cuantiaa. EJERCICIO 3. Dusta qu conjunto funcions ona a patícua n a caja nπ n sn constitu un constitu un conjunto otonoa funcions. Es a a ci usta qu a * n δ n si n si n EJERCICIO 3. Obtn a función ona a patícua n a caja paa caso n qu a caja sté cntaa n oign coonaas s ci a / a /. E potncia V sá V si a / a / V si > a /. 6

7 Aua.- Pus pati A cosk Bsnk apica as siguints conicions contono a / a /. Soución.- nπ n cos si n ipa 3 5 a a a a Si nπ n sn si n pa 4 6 a a Si a / > n Obsévs qu cuano n s ipa a función ona n s una función siética o pa; s ci cup. En cabio si n s pa a función ona n s una función antisiética o ipa; s ci cup. 4. a patícua n una caja biinsiona E oo a patícua n a caja s fácint tnsib a os o ts insions. Paa caso biinsiona a cuación Scöing s E 3.6 Dnto a caja a ngía potncia s co fua a s infinita: V si [ a] [ b] V si [ a] /o [ b] Coo opao H poos consiao coo a sua os opaos inpnints H H poos usa a técnica spaación vaiabs 5 ac a siguint sustitución: X Y 3.7 Roganiano a cuación 3.6 sustituno n a a 3.7 obtnos Y X Y E X X Y 5 a spaación vaiabs a cuación vaos popios a patícua n una caja bi o tiinsiona s un caso paticua a factoiación a función popia un opao sua opaos inpnints. 7

8 8 E Y Y X X Y Y E X X 3.8 a iguaa 3.8 sóo pu s cita si abos téinos son iguas a una isa constant tn n cunta qu téino a iquia únicant pn n cabio a ca soo pn. Po convnincia aos qu sta constant sa igua a una cantia qu psntaos po / E. D sta foa a pati a cuación 3.8 obtnos as os cuacions ifncias siguints: E Y Y 3.9 E E X X E E X X E X X sino E E E 3. Coo pu obsvas os tansfoao poba biinsiona n os pobas onoinsionas inpnints. as soucions as cuacions son a conocias; s ci a n sn a X π 8 a n E con n 3 3. b sn b Y π 8 b E con 3 3. D acuo con a cuación 3.7 a función ona paa a patícua n a caja biinsiona sá b sn a n sn ab 4 π π 3.3 a ngía v cuacions b a n E E E 3.4 Pu copobas qu a función ona aa po a cuación 3.3 sta noaiaa:

9 ab a * 4 nπ π sn sn. ab a b Aás os funcions cuasquia n pq sán otogonas a nos qu p n q s ci a nos qu san a isa función. Esto útio o poos psa n a siguint foa b n pq δ pδ nq 3.5 En caso paticua una caja biinsiona cuaaa a b a ngía tota acuo con a cuación 3.4 sá E n 3.6 8a En caso una caja cuaaa poos nconta soucions gnaas cuano ifnts cobinacions os núos cuánticos n an iso vao paa n. Po jpo E E 8a 8a Esto significa qu os staos os cuas son staos istintos stán obnt gnaos. Aás sta gnación povin una sitía básica sista: as iccions son inistinguibs. as funcions ona a patícua n a caja biinsiona pun s psntaas coo supficis sutants a istosión una supfici pana ctangua ta coo s usta n a figua 3.3. E stao funanta n s un abobainto positivo n pano figua 3.3a stao n figua 3.3b stá psntao po un abobainto positivo ia pat pano a caja cosponint abobainto ngativo o uniinto a ota ia pat. Nóts qu os staos n n stán gnaos paa a caja biinsiona cuaaa sus funcions ona pun acs coincii con un sip gio 9º ao un j ppnicua a pano a caja po su cnto. a figua 3.4 iusta una ana sncia psnta as funcions ona paa a caja biinsiona. Paa un stao ao con núos cuánticos n pano a caja s ivi n n ctánguos po jpo si n 3 n6 caa ctánguo s tiqutao o pnino si n sa ona abobainto s positivo o ngativo uniinto. as fontas nt istintos ctánguos psntan os noos a función ona s ci os ugas goéticos on a función ona cabia signo po tanto s nua. Obsévs qu n a icción abán n- noos intas qu n a icción abán - noos. 9

10 Figua 3.3 Figua 3.4

11 En a figua 3.5 s an ibujao as nsias pobabiia n. paa una patícua n una caja biinsiona cuaaa paa ifnts vaos os núos cuánticos n a sab: 3 3. Pusto qu a nsia pobabiia s obtin vano a cuaao a función ona os uniintos a función ona onas ngativas a figua 3.4 s convitn tabién n abobaintos. Evintnt os noos a función ona pancn n as figuas psntativas a nsia pobabiia. En a figua 3.5 pu obsvas coo s ógico spab qu núo picos caa iagaa nsia pobabiia s igua a poucto n. Figua 3.5

12 5. E fcto tún Consios una caja onoinsiona ongitu a ta foa qu potncia n to iquio -a sa infinito n to co tnga un vao finito V. Aás suponos qu a baa potncia V tin una ancua b. En st apatao s tata consia copotainto a patícua con una ngía E < V a cua s ncunta iniciant confinaa n a gión copnia nt a s ci n a ona I a figua 3.6. Engía I II III V E D acuo con a cánica cásica ica patícua nunca poía scapa a ona I. Sin bago nosotos ncontaos qu a toía cuántica pic una pobabiia finita no nua nconta a patícua ás aá a baa; s ci n a ona III. Ta coo s apcia n a figua 3.6 os consiao ts gions cuos potncias son os siguints: Rgión I: V paa a < < Rgión II V V paa b Rgión III V paa b < < Aás consiaos V paa a paa qu a patícua sut stictant confinaa po a pat iquia ta coo ocu n a patícua n caja. A continuación tataos obtn una psión paa a pobabiia nconta a patícua n a gión III. a cuación Scöing onoinsiona s scibi n a foa E V b -a b Figua 3.6 V E qu poos 3.7 Eainos a soución a cuación 3.7 paa caa una as ts gions consiaas n a figua 3.6.

13 Rgión I a < < V a cuación 3.7 s convit n a cuación Scöing paa caso a patícua ib E k I con k I 3.8 a soución paa a antio cuación ifncia s coo a os visto Ap ik B p ik 3.8bis I I Rgión II b V V a cuación 3.7 s convit n k II con k II V E 3.9 ' Si acos ' k II k II a antio cuación ifncia qua k II foant iéntica a a obtnia paa a gión I po tanto con igua soución ' po k conuc a II k II ' ' D p ik C p ik II II I ' k II k II i k II qu vao a a antio cuación II C p k D p k 3.3 II II Rgión III b < < V a cuación 3.7 a igua qu ocu n a gión I s convit n a cuación E Scöing paa caso a patícua ib k III con k III k I. a soución n pincipio sía I F p ik I G p ik I s ci soapainto os onas ibs oviénos n sntios contaios una acia a ca a ota acia a iquia; po coo n a gión III no ist a posibiia qu a ona vnga a ca no a pa conta a qu bota a ifncia o qu ocu n a gión I G b s co. Así paa a función ona n a gión III tnos E F p ik con k 3.3 I I II I k III as conicions contono n n b son: I II b b II I 3 III II 4 II b III b 3

14 E núo vcs qu a patícua ipacta n a baa n povnint s a iquia s popociona a A intas qu núo vcs qu a patícua consigu atavsa a baa n b s popociona a F. Po tanto coficint tansisión χ sá F χ 3.3 A E paso a patícua a tavés a pa sá posib si χ >. Apicano as conicions contono tnos: A B C D C k II b D k II b F ik b ik I ik I k II k II I A iki A kiic kii D I 3.34 ik ik A B k C D 3.35 I II 4 k II b k II b k II C kii D ik I F ik I b 3.36 E sista cuacions antio pu scibis coo ik I A k ik B k II A B C D k II b k II b C D I k II b C II C k k II II k II b D ik I D ik I F ik I b F 3.37 Coo vos sista antio suta intinao a qu obtnos A B C D n función F. a soución vaa a cabo con Matática s a siguint: i A i B C D bk I Z i bk I Z i bk I Z i bk I Z i F bk bk I Z i F Z Z i F Z Z Z i 4Z I Z Z 4Z Z i F Don Z V E / kii k I E / k k / II V E 3.4 I E Pu copobas a pati as cuacions qu a ación nt os coficints A C D s A [ iz C iz D]

15 Si a baa s gusa s ci si b s gan E << V tnos D >> C. Po tanto coo una apoiación poos spcia n a cuación 3.43 téino izc fnt a iz D. Así tnos A c. 3.4 iz D i A bk I Z i 4 F Z i Z 3.44 Con o cua copjo conjugao sá Z i * i F Z A Z bk I 4 i A 6Z bk * I Z F Z A A 3.45 D a cuación antio tnino n cunta a cuación 3.3 paa coficint tansisión χ tnos bk F 6Z I Z χ 3.46 A Z Dsacino cabio Z k II / k poos scibi a cuación 3.46 n a foa I 4kI k II bk χ II k II k 3.47 I 4kI kii 6E V E D acuo con as cuacions po tanto kii ki V coficint tansisión qua 6 χ 3.48 E V E bk II V En a cuación 3.48 vos qu facto cav coficint tansisión a tavés II a baa s bk a qu 6E V E / V pn únicant os vaos ativos E V. Tnino n cunta vao k II ao po a cuación 3.9 tnos [ bk b II / p V E ] 3.49 Evintnt coficint tansisión no sá co a no s qu V con o cua tníaos a patícua n a caja pas infinitas o qu b o qu sa. Pu obsvas a cuación 3.49 qu paa unos vaos aos V E b coficint tansisión aunta a isinui a asa a patícua s ci as patícuas nos asa n iguaa conicions son ás pntants. Est fcto pntación a tavés una baa potncia po una patícua cua ngía s cásicant insuficint paa sata ica baa s o qu s conoc coo fcto tún canocuántico. 5

16 En quíica st fcto pica po jpo fnóno conocio coo invsión a sobia n oécuas piaias coo NH 3 PH 3 AsH 3. N Engía N [I] [II] V E Figua 3.7 E PH 3 n a foa [I] con una ngía E < V pu pasa a a foa [II] sin sata a baa atavsánoa po fcto tún. 7. E osciao aónico E oviinto pióico aiao po una patícua ta foa qu a acación iviia po spaainto sa una constant s ic qu s un oviinto aónico sip. Coo jpo gnaiao oviinto aónico sip consiaos a pocción sob j X to un aio vcto con oign n oign coonaas qu aia una otación n pano XY con vocia angua ω constant v figua 3.8. Y O X Figua 3.8 6

17 Vaos a osta qu a pocción aio vcto sob j X tin una acación tipo a k. D acuo con a figua 3.8 vao instantáno sá a vocia instantána punto sá a acación cos cosωt 3.5 t v ω snωt 3.5 v a ω cosωt ω 3.5 t t D a cuación 3.5 vos qu a / ω ct ; con o cua copobaos qu oviinto stuiao s aónico sip. Si coo pu obsvas n a figua 3.8 asociaos una asa a punto a conjunto a asa oviinto qu va aaos osciao aónico. Su ngía cinética sá p T v 3.53 a ngía potncia poos ncontaa a pati a ación funanta f V on f s a fua qu actúa sob sista tnino a staua su posición quiibio. Paa caso uniinsiona poos no utiia a notación vctoia scibi V f 3.54 Po c. 3.5 f a f ω k 3.55 Sino k ω 3.56 a aaa constant fua o constant a Hook. Si a vocia angua a scibios n téinos a fcuncia ν osciao ω π / T πν a constant fua suta k 4π ν 3.57 Nóts qu a constant fua s sipnt a fua po unia spaainto tnint a staua a patícua a a posición. D as cuacions tnos V k V k V k V 3.58 coo vos os toao citio qu a ngía potncia a patícua s co n. Cobinano as cuacions a ngía tota osciao sá T V p k E

18 Aoa vaos a consia un sista ao ipotancia páctica po su anaogía con oo oviinto vibaciona as oécuas iatóicas. S tata os asas iguas o istintas conctaas po un u ia u qu cup a Hook CM Figua 3.9 Suponos qu psntan as posicions instantánas as asas spctivant spcto a cnto asas. Si finios as coonaas intnas 3.6 CM on M. D as cuacions poos obtn: M CM 3.6 CM 3.6 M a ngía tota sista sá CM 3.63 M k E 3.64 t t D as cuacions poos obtn spctivant CM t t M t t CM t M t M t CM t 3.65 CM t t M t t CM t M t M t CM t 3.66 vano as cuacions a a cuación 3.64 tnino n cunta qu obtnos CM μ E M k t t

19 on os tnio n cunta a finición asa ucia / μ / /. Si aoa ponos as vocias ontos inas CM / t / t n función os cosponints P X p CM tnos finant E P X CM p M μ k 3.68 on téino PX CM M un too intas qu téino cinética ás potncia. psnta a ngía cinética tansación sista coo p μ k psnta a ngía vibación Ignoano a tansación sista coo un too o consiano cnto asas fijo a ngía tota osciao quaá p E μ k 3.69 Si copaaos a cuación obtnia 3.69 con a qu os obtnio antiont n caso una única asa oviénos con un oviinto aónico sip vos qu a única ifncia foa s qu n caso osciao copusto os asas os utiia a asa ucia. E paso a a cánica cuántica o poos aia sustituno p i. Así opao aitoniano sá H k opao 3.7 si consiaos osciao aónico os asas poníaos μ n uga. a cuación Scöing inpnint tipo k E H E quaá 3.7 a cuación ifncia antio 3.7 pu sovs iant étoo stána saoos n sis potncias v po jpo vin ta 4. Esta vía s bastant ngoosa no apota ningún concpto físico nuvo. Es po o qu nosotos vaos a utiia un étoo u gant qu sin ua sá gan utiia paa un cuso ás avanao Quíica Física. E étoo s noina étoo a factoiación s váio paa cuaqui cuación ifncia tipo f λ. Nóts k qu a cuación 3.7 pu scibis coo ; sino po tanto f k / λ /. 9

20 Concos scibino a cuación ifncia 3.7 n a foa k / / k / / k / E 3.7 Don facto qu os sacao fua coct tin insions ngía. En / fcto a cuación 3.57 s tin / / k ν k πν po tanto coa qu ν tin insions ngía. Coo conscuncia o antio coct a cuación 3.7 po tanto caa suano ico coct b s ainsiona. A continuación vaos a aia un cabio vaiabs qu iin as constants qu acopañan a a vaiab. Est cabio sá: / / / k ξ ξ s ainsiona 3.73 D sta foa ξ 3.73 / ξ ξ k / / * / k / / ξ / k / / ξ ξ k ξ v * / / 3.74 Sustituno as cuacions n a cuación 3.7 obtnos k / ξ E ξ 3.75 E téino nt cocts a cuación 3.75 nos pit intui a posibiia psa sa foa ifncia cuaaos n función una sua po ifncia. Si s tataa sips núos a sustitución sía iniata po no bos p vista qu staos tatano con opaos éstos tinn un ágba istinta a a os núos as. EJERCICIO 3.3 Dusta a siguint ación ξ ξ ξ ξ ξ ξ 3.76 D as cuacions tnos

21 / k ξ ξ E 3.77 ξ ξ A continuación finios os nuvos opaos - opao cación: b ξ / ξ opao aniquiación: b ξ / ξ Con as finicions 3.79 b b a cuación 3.77 s scib coo / k b b / E D a cuación 3.56 antio qua k / / ω fcuncia angua. Po tanto a cuación ω b b / E ω b b E ω / sino ω b b E ' 3.8 ' E E ω / 3.8 EJERCICIO 3.4 Dosta qu os opaos cación b aniquiación b finios po as cuacions spctivant psntan a siguint ga conutación [ b b ] 3.8 Rsovaos aoa a cuación vaos popios 3.8 paa stao funanta. aaos a stao funanta osciao aónico a cua cosponá autovao ngía ás bajo E. a cuación 3.8 quaá po tanto ' ω b b E ' utipicano abos ibos a cuación antio po opao b po a iquia tnos ' ω b b b E b 3.83 Po ota pat a cuación 3.8 tnos bb b bb b b qu vaa a a cuación 3.83 nos pit scibi

22 ω b ' b b E b ω b b b E ω b ' 3.84 Pusto qu ω s una cantia positiva a cuación 3.84 psnta una contaicción ' a qu os ncontao un stao sista b cua ngía E ω s infio a vao qu os consiao ás bajo cosponint a stao funanta E. Coo a ucción a cuación 3.84 s cont a única ' posibiia paa copatibiia 3.84 co qu E ' cospona a stao funanta s qu b. Esta concusión nos pitiá obtn. En fcto b ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ n ξ nc C p ξ / 3.85 on C s una constant qu s obtin iant noaiación a función. Paa obtn a ngía E vaos a función obtnia paa a a cuación vaos popios 3.8. Tnos: ξ / ' ξ / ωb b C E C C c ξ / ' ξ / ω b ξ / ξ E C ω b ξ ξ / ξ ξ / E ' ξ / ω ' / b E ξ E ' c.3.8 ω E 3.86 Pusto qu a tnos a función ona a ngía paa stao funanta staos n conicions obtn as funcions as ngías os staos citaos utiiano convnintnt os opaos cación aniquiación. Paa o vaos a pati a cuación 3.8 paticuaiaa paa stao funanta ' ' ω b b E obsva qu E Si a cuación antio a utipicaos po a iquia po opao ω b b b b b tnos Aás [ b b ] b b bb qu vaa a a antio cuación conuc a b ω bb ω b b ω b 3.87 b D a cuación 3.87 copaánoa con a cuación 3.8 concuios qu os ncontao una función popia ' b cua ngía cogia s E ω. Tnino

23 n cunta quin s opao b a psión aa po a cuación 3.85 a finición 3.8 paa a ngía cogia tnos ξ / C ξ / ξ / / b ξ ξ C ξ ξ ξ / C ξ 3.88 ' E E ω ω E / ω 3.89 Si a cuación 3.87 a utipicaos po a iquia po opao ω b b b b ω [ b ] b tnos Po ota pat [ b b ] b b bb qu vaa a a cuación antio conuc a ω b bb b ω [ b ] ω b b[ b ] ω [ b ] 3.9 A igua qu ants a cuación 3.9 copaánoa con a cuación 3.8 concuios qu os ncontao una función popia b cua ngía cogia s E ω. a obtnción E s iniata: b ' b C b b ξ / ξ ξ / ξ / ξ / ξ ξ ξ / 4 ξ ξ / C ξ C 3.9 ' E E ω / ω E / ω 3.9 Pocino sta ana poos nconta un conjunto infinito po nuab soucions funcions ngías: E v / con v 3.93 v v b v ω a función popia v pu psas n a foa v v v ξ / ξ C H ξ 3.94 on H son os aaos poinoios Hit v ξ H ξ 3

24 H ξ ξ H ξ 4ξ 3 H 3 ξ 8ξ ξ 4 H 4 ξ 6ξ 48ξ.. Dsagaos aoa cabio vaiabs paa tn v n uga v ξ. Paa / / / / / k k o coos a cuación 3.73: ξ. Si acos β a ación nt ξ sá ξ β /. vano sta útia ación a a cuación ona 3.94 noaiano a función acuo con * v v v v pu obtns a fóua gna siguint paa a función ona noaiaa osciao aónico: / / β / π β / v H v v v! 3.95 En a figua 3. s a ibujao a función ngía potncia fig. 3.a as cuatos pias funcions ona fig. 3.b as funcions nsia pobabiia cosponints a as antios funcions ona fig. 3.c. Figua 3. 4

25 Si coaos qu una función f s pa cuano f f ipa cuano f f a antio figua 3. vos qu 4 son funcions ona pas; n cabio 3 5 son ipas. A a isa concusión gaos si ainaos os poinoios Hit nóts qu facto utipicativo β sip s pa po o tanto a paia a función ona pná a paia poinoio Hit qu acopañ. / EJERCICIO 3.5 Utiiano Matática copuba qu qu si v s ipa. v si v s pa intas v v Un aspcto intsant a nota s co qu tanto n caso a patícua n a caja uniinsiona coo n osciao aónico núo noos stao funanta s co; cc unia n unia paa os sucsivos staos citaos. Esto suc n toos os pobas canocuánticos uniinsionas. E qu aunt núo noos a ia qu aunta a ngía po tanto núo cuántico cosponint s copnsib po co qu a ngía cinética stá ictant acionaa con a cuvatua a función ona coa qu a ivaa sguna / nos a a cuvatua una función. Po tanto a ia qu a ngía cinética s ao a función ona s ac ás iaa ; o o qu s o iso aunta núo noos. En caso osciao aónico tabién a un aunto a ngía potncia a ia qu aunta núo cuántico v. Esto s bio a qu a ia qu v aunta a función ona v s tin sob un intvao ao; s ci aunta a apitu a osciación a ngía potncia k / aqui vaos aos. 5

26 8. Toía cuántica onto angua: oto ígio E onto angua juga un ipotant pap n ucos sistas quíicos físicos n os qu os fctos cuánticos son oinants. En citos sistas onto angua sá una constant oviinto po tanto sta agnitu sá úti paa casifica os staos cuánticos. En st capítuo vos a constucción opaos canocuánticos paa onto angua sus coponnts vos cóo utiia os opaos scaa paa uci os vaos popios stos opaos. Finant utiiaos stos sutaos paa sov a cuación Scöing oto ígio sista os asas spaaas una istancia fija qu gia ao su cnto asas. Agunos stos sutaos sán paos n apatao siguint apatao 9 paa sov a cuación Scöing átoo iógno. 8. Rvisión cásica onto angua Consios una patícua asa qu scib una tactoia cicua aio ao oign. p E onto angua cásico a patícua s fin n coonaas catsianas po poucto vctoia i j k p 3.96 p p Don i j k p p i p j p k. D acuo con a cuación 3.96 as coponnts catsianas vcto sán p p p p p p p 3.97 Nóts qu as coponnts stán acionaas po una putación cícica as vaiabs. E poucto scaa onto angua consigo iso tin coo vos un spcia intés 3.98 Rsuta úti aina a vaiación con tipo vcto. Paa o consiaos pio a vaiación con tipo vcto onto ina p. D acuo con a sguna Nwton a fua sob una patícua asa s poucto a asa po su acación. Así 6

27 v p F a 3.99 t t D a antio cuación s uc qu si a fua sob una patícua s co a vaiación onto ina con tipo tabién suta nua; s ci onto ina s consva. Paa anaia a vaiación vcto onto angua con tipo consios onto a fua tabién aao toqu psntao po τ con spcto a oign coonaas. D acuo con a finición onto τ F c p τ 3. t Po ota pat p s tin p p t t t p 3. t t téngas n cunta qu / t p v p v v Copaano as cuacions concuios qu p τ t t 3. Po tanto si onto τ qu actúa sob una patícua s nuo a vaiación con tipo vcto onto angua sá co; s ci onto angua s consva. os opaos canocuánticos paa onto angua sus coponnts son fácint obtnibs a pati a cuación cásica 3.96 utiiano as gas iustaas n apatao ta. Así tnos i j k i j k i i p p p / / / 3.3 on poos ta as coponnts p p p p p p i i i 3.4 7

28 E on con s qu apiqun os opaos q i q j on q i q s ivant si qi q j ; po no o s si q i q j n st útio caso a qu spta on. E opao canocuántico paa sá 3.5 j EJERCICIO 3.6 Dusta qu opao sus coponnts inas íticos s ci auto-ajuntos. son opaos 8. Moviinto otaciona una patícua n pano patícua n un ing E jpo ás sncio oviinto otaciona s qu cospon a una patícua asa p qu va un oviinto stacionaio siguino una tactoia cicua aio. Suponos qu a patícua pos únicant ngía cinética qu pano a tactoia coinci con pano XY s ci suponos qu onto angua tin a icción j Z v cuación Pusto qu poba pantao tin sitía cicua s convnint utiia coonaas poas 6. a ngía cásica a patícua sá E p /p p p /p ; con o cua aiano as sustitucions p p obtnos a siguint i i psión paa opao aitoniano: H p 3.6 A antio aitoniano a qu añai a igaua ct; a cua s ás fáci ipon si utiiaos coonaas poas. as cuacions cabio sán: Y X tg actg 3.7 Paa as pias ivaas pacias tnos: 6 Pusto qu oviinto o os supusto n pano XY a coonaa s constant igua a π/. 8

29 9 ct 3.8 Anáogant 3.9 A pati as antios cuacions poos obtn as ivaas sgunas téngas n cunta qu s constant: 3. Anáogant 3. Tnino n cunta as cuacions tnos 3. Po ota pat as cuacions 3.7 s tin poéis copobao ápiant con atática:. Con o cua a cuación 3. qua 3.3 qu vaa a aitoniano cuación 3.6 conuc finant a H p 3.4 Tabién poos obtn a psión opao n coonaas sféicas. En fcto si tnos n cunta qu i téino acuo con as cuacions sá: 3.5 D actag / / / / / / qu vaas a a cuación 3.5 conuc a

30 o cua pit scibi n a foa i Obsévs qu n as cuacions os cabiao spctivant as ivaas pacias / / po as cosponints ivaas totas / /. Esto s posib poqu a s ct poba n coonaas sféicas pasa a pn una soa vaiab. Es ci un poba os vaiabs inpnints n coonaas catsianas s a convtio n vitu as igauas ipustas n un poba iéntico una soa vaiab a pasa a coonaas sféicas. EJERCICIO 3.7 Obtn a psión aitoniano 3.4 a pati os siguints atos: a a cuación cásica paa a ngía a patícua n ing E p b si a tactoia a suponos n pano XY ntoncs c opao vin ao n coonaas sféicas po i Nóts qu os opaos H conutan; s ci [ H ]. Esto ipica a istncia un conjunto copto funcions popias couns a abos opaos. Po tanto paa obtn as funcions popias a patícua n ing poos sov a cuación vaos popios n uga sov a H. Una v obtnias tas funcions ipustas as conicions contono as vaos a opao H paa obtn as ngías. Si aaos a autovao opao tnos a siguint cuación vao popio i Spaano vaiabs poos scibi i n C intgación. Raiano as intgas tnos on C s una ct i C on / 3.8 Si suaos π a ánguo nos ncontaos n iso punto spacio; po tanto b cupis a siguint conición contono 3

31 c. 3.8 π C C i π i i π cos π i sn π ± ± ± 3... Vos qu os vaos popios opao stán cuantiaos a qu sino ± ± ± Si noaiaos a función ona obtnia cuación 3.8 π π * C -i i C π C /π con o cua a función suta s π i sino ± ± ± vano a función ona antio a a cuación Scöing poos obtn aco coo jcicio H E E sino ± ± ± p D a cuación 3. s obsva qu cpto stao funanta toos os ás staos stán obnt gnaos os vaos ± c conucn a a isa c ngía E. Esto s bio a qu a ngía s inpnint sntio p otación o cua s ógico. Oto ta a staca s qu vao conuc a una función ona acptab poqu no a uga a una función nua sino a una constant n toos os puntos a / tactoia cicua π. A sta función constant cospon una ngía co ngía stao funanta. Po ota pat a cuación 3.9 vos qu a coponnt onto angua pu s positiva si > v figua 3.a o ngativa si < v figua 3.b. > > p Y p X a Y Figua 3. X b < < 3

32 a conición π po consiguint a cuantiación qu iva tanto paa coo paa a ngía E pu s contpaa coo una sticción paa os vaos a ongitu ona λ qu vita qu s poucan intfncias stuctivas n a función ona asociaa a gio a patícua. En fcto λ / p p / λ π λ p λ λ π 3. Vos po tanto qu a ongitu a cicunfncia scita po a patícua b s un útipo nto a ongitu ona asociaa a ica patícua. En a figua 3. vos a pat a as funcions ona oviinto otaciona a patícua n pano: / / / π i π cos π i sn. Figua 3. S an ibujao as funcions cosponints a os núos cuánticos 3. D acuo con a cuación 3. si λ si λ π si λ π si 3 λ π / 3 D a psntación as funcions ona paa a patícua n ing anio obsvaos a conión nt núo noos vao onto angua a ngía: a ia qu aunta núo noos o cua ocu cuano aunta núo cuántico aunta tanto onto angua coo a ngía. En otas paabas as funcions ona ás iaas tinn ao onto angua ao ngía. 3

33 Popias conutación os opaos onto angua Mucas as popias ipotants os opaos onto angua son conscuncia sus acions conutación. as popias conutación as coponnts opao s obtinn as cuacions 3.4 coo sigu: ] [ p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p i ] [ i i 3.4 c. i ] [ 3.3a Anáogant poos nconta i ] [ 3.3b i ] [ 3.3c as cuacions 3.3abc son fácis coa po a sitía cícica qu psntan sus tiqutas. Nóts po jpo qu si n a cuación 3.3a cabio obtngo a cuación 3.3b. A continuación vaos a osta qu opao conuta con cuaquia as coponnts opao. Paa o aos uso a siguint ación conutación 7 : A B A B A A B A ] [ ] [ ] [ Oitino po cooia os cicunfjos n os opaos A B s tin: [A B] A A B B A A I D [A B]A B B A obtnos A B [A B] B A qu sustituio n a cuación I conuc a [A B] A [A B] B A B A A A [A B] A B A B A A [A B] A [A B] Α Β Β Α Α A [A B] [Α Β] Α [A B] A [A B] [Α Β] Α

34 S tata osta qu [ ] [ ] [ ]. 3.5 Pusto qu as ts ostacions son iénticas s suficint con osta un sóo caso. Po jpo vaos a osta qu [ ]. En fcto [ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ] [ ] [ ] [ ] 3.6 Apicano a iguaa 3.4 s tin [ [ Anáogant [ [ c. 3.3a ] [ ] [ ] ] i i i 3.7 ] [ ] [ ] acuo con a cuación 3.3c ] i i i 3.8 Suano as cuacions tnos [ ] [ ] qu vao a a cuación 3.6 conuc finant a [ ]. as ostacions [ ] [ ] son iénticas a a aiaa s jan a stuiant coo jcicio. EJERCICIO 3.8 Haa as coponnts catsianas poucto vctoia. EJERCICIO 3.9 Dusta qu as acions conutación nt os coponnts pun ivas a ación i. Po qué no s co coo ocu n ágba vctoia poucto vctoia un vcto consigo iso s nuo? E significao físico as ivsas acions conutación obtnias s vint a a u pincipio inctiub; pusto qu conuta con toas as coponnts s ci po éstas no conutan nt si [ q p] si p q sino p q s sigu o qu sóo una as coponnts poán s ias siutánant. Aás acuo con toa 6 v ta opao uno os coponnts conjunto poán tn un conjunto copto funcions popias. 34

35 8.4 Opaos onto angua n coonaas poas os opaos a nuo sun s psaos n coonaas sféicas. a aón o s coo vos ás aant qu as funcions popias couns a a una as coponnts o son tabién funcions popias os opaos aitonianos sistas cuo potncia psnta sitía sféica coo s caso oto ígio átoo iógno. as cuacions tansfoación coonaas catsianas a coonaas sféicas son sn cos sn sn cos 3.9 as acions invsas sán accos as coonaas sféicas stán finias n os intvaos actg 3.3 π π 3.3 as acions goéticas nt abos tipos coonaas s ivan a siguint figua Z X Y Ha os cuacions tansfoación qu sutan sua ipotancia cuano quos aia un cabio coonaas. Si acos qu q psnt una as ts coonaas a pia cuación tansfoación s a siguint: q q q q 3.3 Esta ación nos pit tansfoa un opao ifncia pnint as coonaas n oto pnint. Paa as ivaas supios s tin n n n / q / q. a sguna cuación tansfoación ipotant s qui paa tansfoa intgas n a intgas n : π π f g

36 on 3.34 on q / q / q / q sino q. q q Utiiano a cuación tansfoación 3.3 s sncio aunqu bastant aboioso obtn as psions os opaos n coonaas sféicas. E sutao s siguint: i sn cot g cos icot g sn cos i sn sn sn E co qu a vaiab no apaca n ninguno os antios opaos s bio a a sitía sféica a otación. EJERCICIO 3. Daos os opaos A B copuba qu sip s posib factoia opao A B n a siguint foa: A B A i B A i B i[ A B] A i B A i B i[ A B] Opaos scaa paa onto angua En st apatao vaos a poc foa anáoga a coo sovios a cuación Scöing n caso osciao aónico. Utiiaos os aaos opaos scaa qu ás aant finios paa sov as cuacions autovaos os opaos. D a finición opao s iniato justifica 3.4 Utiiano a cuación 3.39 tnino n cunta qu [ ] i poos scibi i i i i

37 os opaos i i 3.4a 3.4b cibn nob opaos scaa ás aant vos a justificación sa noinación. Con a siboogía utiiaa paa os opaos scaa cuacions 3.4ab poos scibi a cuación 3.4 n a foa 3.43 EJERCICIO 3. Dusta as iguaas: 3.44 Rsoución.- Vaos a sov a pia as iguaas 3.44 jaos paa stuiant a soución a sguna. Utiiano a finición tnos i i I [ ] i i II [ ] i i III vano as cuacions II III a a cuación I obtnos i i i i cq. as acions psaas n as cuacions 3.44 pun utiias paa osta caáct ascnnt scnnt os opaos scaa spctivant. Utiiaos Y α β paa psnta as funcions popias toavía sconocias os opaos as cuas satisfacn as siguints cuacions vao popio: Yα β α Yα β 3.45a Yα β β Yα β 3.45b on α β son os vaos popios spctivant. Si opaos sob Y α Y Yα β α β β tnos c c. 3.45b Y Y Y α β α β α β Yα β β Yα β Anáogant opano sob Y α tnos β Y Yα β α β Y Yα β β α β

38 Yα β β Yα β 3.47 D a cuación 3.46 s uc qu a opa sob Y α β función con vao popio igua a β paa opao sutao Y α β constitu una nuva función cuo vao popio paa opao s β ; s ci fcto sob Y α β s aunta vao popio n una cantia. Anáogant 3.47 s obsva qu fcto sob Y α β s isinui su vao popio spcto opao n una cantia. EJERCICIO 3. Dusta qu conuta tanto con coo con ; s ci [ ] [ ]. EJERCICIO 3.3 Dusta qu conutao vin ao po [ ]. Si apicaos nuvant opao Yα β β Yα β sob a cuación 3.46 tnos 3.48 a pia as cuacions 3.44 ipica qu sustituia n a cuación 3.48 conuc a Yα β β Yα β Yα β Yα β β Yα β Yα β Yα β β Yα β Yα β β Yα β 3.49 D foa anáoga apicano opao a a cuación 3.47 pocino foa iéntica a coo os co paa obtn a cuación 3.49 s obtin Yα β β Yα β 3.5 as cuacions po un ao as po oto ustan qu a apicación os opaos scaa a a función Y gnan una si vaos popios scaonaos opao sino a ifncia nt os vaos conscutivos. Aás s obsva qu a apicación isinu vao popio. aunta vao popio intas qu a apicación Estas son as aons po as qu cibn nob opaos scaa ascnnt scnnt spctivant. α β 38

39 Pusto qu qu conuta con tabién conuta con c. 3.45a Y Y α β α β v cuación 3.5 suta sncio vifica. Po tanto poos obtn Yα β α Yα Anáogant poos obtn Yα β α Yα β β 3.5a 3.5b as cuacions antios 3.5ab ustan qu a ifncia o qu ocu con os vaos popios os opaos scaa no tinn ningún fcto sob os vaos popios opao. E fcto os opaos scaa sob as funcions couns os opaos Y C Y α β α β Y C Y α β α β Y α β funcions popias poos suio n as siguints psions 3.5a 3.5b on C C son constants nuéicas. Obsévs qu as cuacions 3.5 no son cuacions vaos popios téngas n cunta qu Y Y Y. α β α β α β 8.6 os vaos popios Pusto qu os opaos son ajuntos uno oto Y Y Y Y Y Y α β α β α β α β α β α β C C ; po tanto Yα β Yα β 3.53 on s a tnio n cunta a ga tunov paa a pia iguaa paa a sguna iguaa a cuación 3.5a paa a tca iguaa a ipótsis qu a función Y sté noaiaa paa a cuata útia iguaa. α β Po ota pat acuo con a cuación 3.43 s tin cua Y Y Y Y α β α β α β α β Y α β Yα β Yα β Yα β Yα β Yα β α Yα β Yα β β Yα β Yα β β Yα β Yα β ; con o Suponino nuvant qu as funcions Y α β stán noaiaas; qu acuo con a cuación 3.53 a intga Y s tnos Y α β α β Y Y α β β 3.54 α β α β 39

40 Anáogant poos obtn Y Y Y Yα β α β β 3.55 α β α β α β Suano ibo a ibo α β β con α β β obtnos α β β β α β 3.56 a siguaa 3.56 ipica qu paa un tinao vao α ist un ínio un áio vao β; os cuas signaos po β in β a spctivant. D as popias os opaos scaa siboiaas n as cuacions 3.5ab s tin 3.57a Y α β a Y α β in 3.57b a qu sgún a cuación 3.56 paa α no a un vao copatib β qu sa ao qu β a ni no qu β in. as cuacions 3.57ab inican qu os opaos / aniquian as funcions popias qu tngan áio/ínio vao popio paa un vao popio ao opao. Si aoa opaos sob a cuación 3.57a opao tnos n cunta qu tnos Y Y α β β Y α [ ] β a α β a a a α β a α β β 3.58 a a Anáogant opano sob a cuación 3.57b con tnos tnino n cunta qu α β β 3.59 in in D as cuacions obtnos β β β β β β β βin a a in in a a in β a β in absuo poqu inica qu β a < βin βa βin 3.6 Esto significa qu os vaos popios son siéticos ao co. Aás pusto qu sucsivas apicacions a a función popia Y α β gna funcions popias con vaos popios β in β in β 3 in β a b cupis ncsaiant qu β β β a in a 4

41 Paa cupiinto quiinto antio cuación 3.6 tnos os posibiias: a qu β a sa un útipo nto pa 4 con o cua β a sá un útipo nto. b qu β a sa un útipo nto ipa 3 5 con o cua β a sá un útipo sinto / 3 / 5 /. Estas acions vinn iustaas n a figua 3.3 paa os casos spcíficos n os qu β a 4 β a útipo nto β a 3 β a útipo sinto. β / 3/ / / 3/ β a 3 β 3 / a β / - β a 4 β a Figua 3.3 Coo s abitua vao popio áio opao copatib con un tinao vao α vao popio opao su psntas po os istintos vaos β copnios nt β in β a s ci nt - sun psntas po. Po tanto β β 3... o / 3 / 5 / 3.6a a in β ± ± ± 3... o ± / ± 3 / ± 5 / 3.6b D a cuación 3.58 sustituno β in β a obtnos os vaos popios opao o a cuación 3.59 sustituno : α 3.63 os vaos popios opao tanto on copatibs con antio vao α sán po as cuacions 3.45ab pun s scitas n a foa: Y Y 3.65a Y Y 3.65b 4

42 Pusto qu caa vao popio opao stá asociao con vaos ifnts poos afia qu caa función popia opao s vcs gnaa. os vaos popios pocción onto angua tota opao pun s intptaos físicant coo a n j : ϕ sino on cosϕ os istintos vaos copatibs con un vao ao po tanto α cosponán a as istintas posicions posibs vcto istintos ánguos ϕ spcto j. 8.7 as funcions popias Pusto qu os opaos conutan tnos un conjunto copto coún funcions popias; stas funcions as os siboiao po Y. En st apatao s tata nconta ico conjunto funcions popias. Rcoos a foa os opaos n coonaas sféicas cuacions spctivant: i sn sn sn Pusto qu opao no s función a vaiab a función Y pu spaas coo un poucto os funcions Θ Φ. vano sta función poucto a a cuación autovaos Y Y tnos sn Φ Θ sn sn Θ Φ Φ Θ Θ Φ sn Θ Φ sn sn obsévs qu n a útia psión os cabiao as ivaas pacias po ivaas totas. 4

43 43 Si n a psión antio iviios po Θ Φ utipicaos po sn oganiaos os téinos obtnos sn sn sn Φ Φ Θ Θ Θ cot g sn Φ Φ Θ Θ Θ Θ 3.66 a cuación 3.66 s cita paa cuaqui vao ; po tanto abos téinos a iguaa bn s iguas a una isa constant k. Es ci k g sn Θ Θ Θ Θ cot 3.67a k Φ Φ 3.67b Po ota pat acuo con a cuación 3.65b Y Y tnino n cunta a spaación vaiabs fctuaa a foa opao n coonaas sféicas tnos Φ Θ Φ Θ i Φ Φ i 3.68 Divano nuvo a cuación 3.68 s tin i Φ Φ 3.68 c. Φ Φ i Φ Φ 3.69 Copaano as cuacions 3.67b 3.69 concuios qu k. Con o cua a cuación 3.67b suta Φ Φ cua soución una v noaiaa s p / π i Φ con... ± ± 3.7a psión qu a conocíaos poqu s iéntica a a obtnia n caso oviinto otaciona una patícua n pano v cuación 3.. Paa a soución a cuación 3.67a una v sustituio k po s convnint aia cabio vaiab cos ; con o cua sn cos sn.

44 Raiano os cabios inicaos a cuación 3.67a suta Θ Θ Θ 3.7b Esta útia cuación s iéntica a a aaa cuación ifncia asociaa gn: p /. Es bin sabio qu paa qu a cuación ifncia asociaa gn tnga soución acptab s ncsaio qu sa un nto positivo o co qu p. En stas conicions as soucions a cuación ifncia asociaa gn son conocias con nob poinoios asociaos gn. Po consiguint stos poinoios asociaos gn tabién sán as soucions nusta cuación ifncia 3.7b con quiinto qu sa un nto positivo o co. En a taba siguint s an anotao agunos jpos funcions Θ poinoios asociaos gn n os qu os sco cabio cos. Dicas funcions a stán noaiaas. En a isa taba poos v tabién as cosponints funcions Φ. Θ Φ / / / π / 3/ cos / / π ± 3/ 4 / sn / / π p ± i / 5/8 3cos / / π ± / 5/ 4 sn cos / / π p ± i ± 5/6 / sn / / π p ± i as funcións Y Θ Φ son conocias coo aónicos sféicos. Estos aónicos sféicos aás s as soucions oto ígio apatao siguint apacn tabién n a soución a cuación Scöing átoo iógno. Rsuta instuctivo copaa a scunciación núo cuántico obtnio utiiano os opaos scaa v cuación 3.6b con qu suta apica Φ as conicions contono a a cuación ifncia k. En pi Φ caso tnos a posibiia núos ntos sintos. En cabio n sguno caso coo núo cuántico suta ipon a conición contono Φ Φ π a única posibiia s ; s ci núos ntos. E étoo os opaos scaa s ás gna qu a sip soución a cuación ifncia abaca un sguno tipo onto angua qu noinaos spín. Cuano no s aia un tatainto cuántico ativista coo s qu os co spín no sug os postuaos sino qu ncsita un postuao aiciona. a intoucción spín no causa ningún sajust n tatainto gna 44

45 onto angua qu os aiao a pati os opaos scaa. Es coo si a cánica cuántica stuvia ppaaa paa intouci sta nuva agnitu n su fouación. Pu copobas qu os aónicos sféicos constitun un conjunto otonoa funcions sía un jcicio u instuctivo copobao utiiano Matatica. Así poos scibi: Y Y ' ' π π * Y Y ' ' sn δ ' δ ' E oto ígio Dnoinaos oto ígio a sista constituio po os asas spaaas una istancia R constant qu pun gia ao su cnto asas. o Z C.M X Figua 3.4 Y o R / / D acuo con a cánica cásica a ngía cinética bia a a otación sá v v T 3.7 aano ω a a vocia angua otación i a a istancia a asa cnto asas C.M. v i i ω po tanto ω ω ω Iω T 3.73 i a on I s onto incia sista. Tnino n cunta qu onto angua vin ao po Iω tnos Iω po tanto poos scibi a cuación 3.73 n a foa T Iω I ω I I 3.74 D acuo con a cuación cásica paa a ngía cinética cuación 3.74 tnino n cunta una ngía potncia nua V poos scibi aitoniano coo 45

46 H 3.75 I Pusto qu I s una constant as funcions popias opao aitoniano tinn qu s as isas qu as opao ; a os visto qu éstas útias son os aaos aónicos sféicos. Así poos scibi Y EY I Y I EY 3.76 Dao qu acuo con a cuación 3.65a Y Y tnos IE E 3.77 I a cuación 3.77 usta qu a ngía otaciona stá cuantiaa. E stao funanta ngía cosponint a tin una ngía co. Obsévs qu os staos ngéticos oto ígio stán gnaos tanto coo vaos copatibs con. Únicant stao funanta a tn un único vao copatib con no stá gnao. 9. E átoo iógno E stuio canocuántico átoo iógno s ant ipotant poqu sus funcions ona sivn coo bas paa un tatainto cuántico apoiao sto ntos a taba pióica; así coo as oécuas qu foan. Vaos a consia caso ás gna as spcis onoctónicas ión o átoo caga nuca Z. Si N psntan spctivant a asa núco ctón a cuación Scöing s on N N N N N V N E N sino N N N as coonaas núco N 3.78 sino as coonaas ctón Z / V K sino [ N N N ] a ngía potncia sista pn únicant a istancia nt núco ctón a qu a fua nt abas patícuas s cnta N N N N as coonaas sista stán finias ta coo s inica n a figua

47 N CM N N / M N CM N N / M N CM N N / M sino M N a asa tota sista CM CM CM as coonaas cnto asas. Z CM X Y Z CM CM CM N N N N X Y Figua 3.5 Opano coo os co n apatao 7 paa osciao aónico os asas n una insión poos obtn a siguint psión paa a ngía cinética n as ts insions: T M X CM YCM ZCM μ t t t t t t on N intnas. pcm μ T 3.79 M μ p N μ s a asa ucia sista son as coonaas a ngía potncia Z V K 3.8 pn únicant as coonaas intnas / / [ ]. N N N pusto qu as cuacions cásicas paa a ngía cinética potncia spctivant nos pit scibi aitoniano n a foa 47

48 48 Z K M H CM μ μ 3.8 Don téino nt paéntsis pn únicant as coonaas intnas. Poos ac po tanto a siguint spaación vaiabs N N N N N N N N Con o cua a cuación ifncia 3.78 a poos spaa n os cuacions ifncias inpnints: CM CM CM N N CM CM CM N CM Z Y X E Z Y X M 3.8 E Z K μ μ 3.8 Don coo os visto μ s a asa ucia E N E E ngía tota sista. a cuación 3.8 s justo a cuación una patícua ib; n cabio a cuación 3.8 scib oviinto ativo ctón spcto núco. Únicant nos intsa ésta útia cuación; po tanto iinano os subínics poos scibi μ E Z K 3.83 s sobntin qu as únicas coonaas qu s contpan son as coonaas intnas s ci as coonaas ctón ativas a núco. En coonaas catsianas a no s posib ac ninguna spaación vaiabs ás; po n cabio si utiiaos coonaas sféicas sugias po a sitía sféica potncia toavía s posib coo vos a continuación aia una postio spaación vaiabs. E opao apaciano n coonaas sféicas vin ao po a psión sn sn sn 3.84 Tnino n cunta a cuación 3.38 qu nos a opao n coonaas sféicas finino opao D n a foa D 3.85 E opao apaciano vná ao po D D acuo con a cuación 3.86 poos scibi aitoniano H coo

49 H μ D μ Z K 3.87 a cuación 3.83 n a foa μ Z D E K 3.88 Si nos fijaos n a cuación 3.88 obsvaos qu opao qu apac n téino a ca / únicant pn as coonaas ; intas qu conjunto opaos qu apacn a a iquia sóo pnn a coonaa. Esto nos pit aia a siguint spaación vaiabs n a función ona : R Y 3.89 Sustituno a función 3.89 n a cuación Scöing 3.88 iviino postiont a iguaa sutant po R Y s tin 8 μ Z DR E K R Y R 3.9 Y a única posibiia congunt paa cupiinto a iguaa antio s qu abos téinos san iguas a una isa constant γ; s ci μ Z DR E K R γ R Y γ Y μ D R Z E K R γ R 3.9 Y γ Y 3.9 a pat Y a función ona nos suta faiia poqu son funcions popias opao ; s ci son os aaos aónicos sféicos qu os psntao po Y. Aás si copaaos a cuación 3.9 con a cuación 3.65a Y Y concuios qu γ γ 3.93 Po o tanto vano a cuación 3.93 a a 3.9 obtnos μ Z D E K R 3.94 a cuación 3.94 constitu a pat aia a cuación Scöing paa spcis atóicas onoctónicas coo s caso átoo iógno. 8 Téngas n cunta qu D soo actúa sob R; po o tanto D[ R Y ] Y DR. Aás pusto qu únicant actúa sob Y s tin R [ R Y ] Y. 49

50 A objto tansfoa a cuación ifncia 3.94 paa po intificaa con aguna cuación ifncia stána acos o siguint: a Tnos n cunta a finición 3.85 paa opao D D 3.95 n a útia iguaa os cabiao as ivaas pacias po ivaas totas poqu éstas apicaán a a función R a cua únicant pn a vaiab. b Raiaos una sustitución constants utiiano a psión aao aio Bo a qu no s ás qu vao aio a pia óbita paa átoo iógno sgún oo Bo. a ε μ π ε 4π K a 4π Kμ Kμ 3.96 obsévs qu a ifncia o qu os co paa obtn a cuación.39 os utiiao a asa ucia n uga a asa ctón. Con as psions spués un poco anipuación agbaica tansfoaos a cuación aia 3.94 n a cuación ifncia " ' E Z R R R 3.97 K a a " R sino R R R '. a cuación ifncia 3.97 cospon a un tipo cuacions ifncias conocias n física cásica coo cuación ifncia asociaa agu. Oitino toos os tas ativos a a soución ica cuación ifncia ios qu únicant tin soución acptab función soución R finita sip vao cuaao intgab cuano Z K E con n a n n 3.99 Pu copobas qu a psión.98 paa a ngía s a isa qu s obtnía n a soución oo atóico Bo. Aás vos qu sug iso núo cuántico n qu Bo ncsitaba intouci n a cuantiación onto angua. as funcions R obtnias coo soucions a cuación ifncia 3.97 son os poinoios asociaos gu noinaos fcuntnt funcions ona 5

51 aia. Su foa taaa pn os núos cuánticos n. Agunas stas funcions R n s an a continuación: R R Z / a 3 / p Z / a Z / a Z a p Z / 3 / a 5 / R Z / a p a 6 R R Z / a 3 Z / Z Z 3a 7a p 3 / 3 a 8 Z / a 7 6 Z Z a 6a p 3 / 3 a 4 7 / R3 Z / a p a 8 3 Z /3 Z / Z /3 as funcions ona aia cosponints a istinto vao núo cuántico n son otogonas si stán noaiaas coo o stán as antios s cup R n R ' ' R ' ' ' n R n n n n δ 3. En a figua 3.6 s an ibujao aguna as funcions ona aia paa átoo iógno. R n R R R R 3 R 3 /a Figua 3.6 En finitiva as funcions ona paa spcis atóicas onoctónicas pun s scitas n a foa R Y R Θ Φ 3. n n n 5

52 a función ona si stá noaiaa cup siguint quisito otonoaia n n ' ' ' n π π * n ' ' ' n sn δ ' n. n δ '. δ ' 3. a pobabiia nconta a ctón n una gión spacio n a qu as coonaas stén copnias nt spctivant vin aa po a psión 9 τ R Y sn 3.3 n Si nos intsa a pobabiia qu ctón tngan su coonaa copnia nt sin ninguna sticción n cuanto a os vaos bos intga a psión 3.3 spcto as vaiabs. Po tanto a pobabiia nconta ctón n una capa sféica cntaa n oign aio intio tio sá π π π π τ Rn Y sn Rn Téngas n cunta qu os aónicos sféicos stán noaiaos; s ci a intga π π Y sn va a unia. a función R n qu tina a pobabiia nconta ctón a una istancia núco cib nob función istibución aia. En a figua 3.7 s an ibujao agunas funcions istibución aia. R R R R R R R3 R3 Figua Téngas n cunta qu nto voun τ n coonaas sféicas vin ao po a psión τ sn. 5

53 Aunqu a función aia R no s co n oign v figua 3.6 a cosponint función istibución aia R si qu s co bio a facto utipicativo. E vao áio a función istibución aia R cospon a un vao a. Es costub noba as funcions ona átoo iógno iant os síboos s p f. E núo cuántico aao núo cuántico obita s qu tina síboo; así si obita s noina s si obita s noina p si obita s noina tc. E facto p i cpto cuano ac iaginaios a os aónicos sféicos; po tanto a as cosponints funcions ona. A nuo os quíicos n uga anja funcions ona iaginaias pan funcions ona as foaas a pati cobinacions inas acuaas. Paa o s cobinan funcions ona cosponints a iso vao os núos cuánticos n po istinto. Pusto qu a ngía átoo iógno no pn núo cuántico os funcions ona qu sóo ifian n ico núo cuántico son gnaas; po tanto cuaqui cobinación ina as sá tabién función popia aitoniano. Vaos caso as funcions ona n n n funcions cua noncatua poos abvia n a foa p p os stants son copjas. En fcto p spctivant. a pia stas ts funcions s a po as 5/ p Z /ao p Z /a cos 3.4a π p / 5 / Z ao p Z /a sn p i 3.4b 8 π / 5 / p Z ao p Z /a sn p i 3.4c 8 π Coo cos v ación nt coonaas catsianas sféicas a cuación 3.4a a poos scibi coo ct p Z /a p sta s a justificación po qué a noinación p. En cuanto a as funcions iaginaias p p tnos os foas ifnts cobinaas paa qu sutn funcions ona as: as funcions ona átoo iógno o cuaqui ota spci atóica onoctónica sun noinas obitas s un téino intoucio po Muikn. E téino función ona s utiia stictant paa psnta as funcions popias opao aitoniano un sista aisao; intas qu téino obita significa cuaqui función cuo cuaao s utiia paa psnta a nsia pobabiia usuant tiinsiona un sip ctón. Po tanto iguosant abano os téinos función ona obita únicant son concptos sinónios n sistas onoctónicos coo s caso átoo iógno. 53

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