La fuerza gravitatoria entre dos masas viene dada por la ley de gravitación universal de Newton, cuya expresión vectorial es

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1 LGUNS CUESTIONES TEÓICS SOE LOS TEMS Y.. azone si las siuientes afimaciones son vedadeas o falsas a) El tabajo que ealiza una fueza consevativa sobe una patícula que se desplaza ente dos puntos, es meno si se ealiza a lo lao de la línea ecta que une ambos puntos b) El sino neativo que apaece en todas las expesiones que definen al campo avitatoio se debe a que la inteacción avitatoia siempe es atactiva. a) En pime lua, ecodemos qué se entiende po fueza consevativa: - Es consevativa toda aquella fueza paa la cual el tabajo ealizado en un desplazamiento a lo lao de un camino ceado es nulo. F d 0 - Ota definición, equivalente a la anteio, nos dice que fueza consevativa es aquella paa la cual, el tabajo ealizado en un desplazamiento ente dos puntos, es independiente del camino escoido, sólo depende de los puntos inicial y final. Seún la seunda definición, vemos claamente que el tabajo ealizado po la fueza consevativa ente dos puntos va a se el mismo sea cual sea el camino escoido, no siendo meno po un camino en conceto, aunque sea más coto. La afimación es, po consiuiente, falsa. b) La cuestión se efiee al sino neativo que apaece en la mayoía de las expesiones de campo avitatoio ceado po masas puntuales, esfeas... nalicemos las pincipales expesiones. La fueza avitatoia ente dos masas viene dada po la ley de avitación univesal de Newton, cuya expesión vectoial es F M m G u En ella, el sino neativo maca pecisamente el caácte atactivo de la inteacción, siempe teniendo en cuenta que, en dicha expesión, el sistema de efeencia está colocado en una de las dos masas. El campo avitatoio (fueza avitatoia ejecida po unidad de masa) F / G M u u m m/ Vemos que el sinificado del sino neativo es el mismo que en la fueza. Las líneas de campo, adiales, entan en la masa M que cea el campo. M m Eneía potencial: En la expesión Ep G, el sino poviene, en pate, del sino coespondiente a la fueza avitatoia. Peo no olvidemos que esa fómula lleva asociado un oien de potencial, un punto de efeencia en el que consideamos que la eneía potencial es nula. Y en esa expesión el oien está situado en el infinito, y eso hace que la eneía potencial almacenada po un cuepo en cualquie punto del espacio sea neativa. Si colocáamos el oien en oto punto, como la supeficie teeste, como ocue en la expesión Ep m h, válida paa altuas mucho menoes que el adio del planeta, el sino neativo desapaece, ya que la eneía potencial avitatoia aumenta con la distancia a la masa que cea el campo. Ep Paa el caso del potencial V, el azonamiento es el mismo que paa la eneía potencial. V m

2 Como conclusión, podemos deci que el enunciado es cieto, peo con la matización de que no es el único facto que influye en dicho sino. También influyen el sistema de efeencia escoido y el oien de potencial.

3 . Dos satélites idénticos y, desciben óbitas ciculaes de difeentes adios, >, alededo de la Tiea. Conteste azonadamente a las siuientes peuntas: a) Cuál de los dos tiene mayo eneía cinética?. b) Si los dos satélites estuviean en la misma óbita y tuviesen distinta masa m < m, Cuál de los dos tendía más eneía cinética? La eneía cinética de un cuepo en movimiento viene dada po Ec mv Paa el caso de un satélite que descibe una óbita cicula de adio alededo de un planeta, la velocidad se denomina velocidad obital. Su expesión se obtiene a pati de la ª ley / v G M de Newton Σ F m a F m an m/ vob / / De este modo, la eneía cinética del satélite queda G M G M G M m Ec mv m m, donde m es la masa del satélite, y M la del planeta. Visto esto, podemos esponde fácilmente a las cuestiones planteadas. a) Las eneías cinéticas coespondientes a ambos satélites seán Ec ; Ec Como ambas masas son idénticas, la eneía cinética va a depende exclusivamente de la distancia. Vemos que el satélite, que está a mayo distancia, tendá meno eneía cinética. Po tanto, el satélite con mayo Ec seá el, que se encuenta más ceca. b) hoa ambos satélites se encuentan en óbitas de iual adio, peo las masas son difeentes. plicando las mismas expesiones del apatado a), vemos que el satélite de mayo masa tendá mayo eneía cinética. En este caso, seá el.

4 3. a) Explique el concepto de velocidad de escape y deduzca azonadamente su expesión. b) Qué ocuiía en la ealidad si lanzamos un cohete desde la supeficie de la Tiea con una velocidad iual a la velocidad de escape? La velocidad de escape paa un planeta se define como la velocidad a la que había que lanza un cuepo desde la supeficie del planeta paa que escapaa de su atacción avitatoia, alejándose indefinidamente. En este cálculo se despecia el ozamiento con la atmósfea. esolvemos el poblema empleando conceptos eneéticos: En pime lua tenemos en cuenta que, al no tene en cuenta el ozamiento, la única fueza que va a actua sobe el movimiento del cohete seá la avitatoia, que es consevativa. Po lo tanto, la eneía mecánica del cohete se mantendá constante. Datos: M, : masa y adio del planeta m: masa del poyectil v 0 v v e Sistemas de efeencia: mediemos las distancias desde el cento del planeta. El oien de eneía potencial avitatoia lo colocamos a una distancia infinita del cento planetaio, po lo que la expesión usada paa la Ep seá Ep Consideaemos dos situaciones: Inicial: Lanzamiento del cohete desde la supeficie teeste con velocidad v e. mve Ec E M Ec + Ep Ep mve Final: el cohete se aleja indefinidamente. En el límite cuando la distancia tiende a infinito, la velocidad (y la Ec) tiende a ceo, al iual que la eneía potencial, ya que el oien de Ep está colocado en el infinito. EM EM ( Ec + Ep ) 0 E M plicando la consevación de la eneía mecánica: / EM mve 0 mv / e ve GM GM v e Puesto en función de la avedad en supeficie v e 0 Nótese que la velocidad de escape desde la supeficie de un planeta sólo depende de las caacteísticas (masa, tamaño) del planeta. No impota la masa del poyectil. (Evidentemente, paa acelea un poyectil de más masa hasta esa velocidad se necesitaá un mayo esfuezo, peo eso es ota cuestión) También puede hablase de velocidad de escape desde una cieta altua h sobe la supeficie. El concepto es el mismo, solo que en lua de pondemos +h.

5 b) En la ealidad la situación física difiee de lo explicado anteiomente. La pesencia de la atmósfea teeste intoduce una fueza no consevativa, la fueza de ozamiento, que no puede se despeciada. De hecho, a las elevadas velocidades de las que estamos hablando, tendá un valo muy ande. El efecto que poduce este ozamiento es una disminución de la velocidad (de la Ec) y una disipación de eneía en foma de calo, po lo que la eneía mecánica del cohete no se mantendá constante y disminuiá confome se eleva seún la expesión E W M De este modo, al sali de la atmósfea no tendá eneía suficiente como paa alejase indefinidamente, y lleaá un momento, a una cieta altua, en que el cohete se pae y vuelva a cae hacia la Tiea. Foz 4. En una eión del espacio existe un campo avitatoio unifome de intensidad, epesentado en la fiua po sus líneas de campo. a) azone el valo del tabajo que se ealiza al taslada la unidad de masa desde el punto al y desde el al C. b) nalice las analoías y difeencias ente el campo descito y el campo avitatoio teeste. a) Nos encontamos ante un campo avitatoio de intensidad constante. La fueza avitatoia que ejeceá este campo sobe una patícula de masa m colocada en su inteio vendá dada po m, y también seá constante. El tabajo que ealiza esta fueza en un desplazamiento, que en eneal se calcula con la inteal W F d, podá hacese en este caso, al se la fueza constante, con la expesión F F cos α sí, en el desplazamiento de a, el tabajo seá W F m d cos90 º 0 es pependicula al desplazamiento. F W. J, ya que la fueza En el desplazamiento de a C, el tabajo seá WC F m d cos 0º m d. Obtenemos un tabajo positivo, ya que la fueza favoece el desplazamiento. En este caso, ya que nos dicen que la unidad de masa, el tabajo seá d W C b) El campo avitatoio descito es simila al campo avitatoio teeste al nivel de la supeficie, consideando la apoximación de que los desplazamientos efectuados son muy pequeños en compaación con el adio teeste ( T 6400 km ). En ese caso teeste puede considease un campo constante y unifome con todas las caacteísticas del campo de esta cuestión. La única difeencia está en su oientación. La diección y sentido del campo teeste es la vetical y su sentido hacia abajo, aunque esto último puede se también una cuestión de punto de vista, del sistema de efeencia escoido.

6 5. a) Si el ceo de eneía potencial avitatoia de una patícula de masa m se sitúa en la supeficie de la Tiea, cuál es el valo de la eneía potencial de la patícula cuando ésta se encuenta a una distancia infinita de la Tiea? b) Puede se neativo el tabajo ealizado po una fueza avitatoia?, Puede se neativa la eneía potencial avitatoia? a) Paa esponde a esta cuestión debemos emontanos al concepto de eneía potencial y al oien de su expesión. Eneía almacenada po una patícula de masa m colocada a una cieta distancia de M, debido a la acción de la fueza avitatoia. Patimos de la expesión eneal Ep W F sí tendemos: Ep F d u + Ep Ep d u d Debemos escoe ahoa el oien de potencial. Nos dicen que paa T, Ep 0. valoes en el esultado anteio Sustituimos estos Y la expesión quedaá Ep + T Haciendo ahoa el límite paa Ep ( + ) T T Este es el esultado buscado b) El tabajo que ealiza una fueza, en eneal, viene dado po la expesión W F d esultante de la opeación seá:, y el sino Positivo si la fueza (o aluna de sus componentes) va a favo del desplazamiento. Neativo si la fueza (o aluna de sus componentes) se opone al desplazamiento. La fueza avitatoia, como cualquie fueza, puede ealiza tabajo oponiéndose al desplazamiento de una patícula. Po ejemplo, si lanzamos un cuepo hacia aiba con una cieta velocidad inicial, duante el movimiento de subida la fueza avitatoia se opondá al desplazamiento y ealizaá un tabajo neativo, que estaá eneía cinética al cuepo. La eneía potencial avitatoia seá positiva o neativa dependiendo del sistema de efeencia escoido. Escoiendo el oien de eneía potencial a una distancia infinita de la masa M que cea el campo, la M m eneía potencial almacenada po una patícula que esté a una distancia, seá Ep G.

7 Como vemos, seá siempe neativa en ese caso. Esto es debido a que el oien de Ep lo hemos colocado en el punto en el que mayo Ep puede almacenase, ya que esta manitud aumenta con la distancia. Si colocáamos el oien en oto punto, como la supeficie teeste, como ocue en la expesión Ep m h, válida paa altuas mucho menoes que el adio del planeta, el sino neativo desapaece, ya que la eneía potencial avitatoia aumenta con la distancia a la masa que cea el campo. La eneía seía positiva paa altuas positivas, po encima de la supeficie, y neativa paa altuas po debajo de la supeficie. Como conclusión, la eneía potencial avitatoia sí puede se neativa, dependiendo del oien de potencial escoido.

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