ELABORADO POR JULIO CESAR MACIAS ZAMORA TRABAJO, ENERGIA Y POTENCIA

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1 3.5. Trabajo mecánico, potencia y energía. 1. Un paquete es lanzado por un plano inclinado 0º con la horizontal con una elocidad de 8m/s en un punto del plano. Llega a un punto situado 7 m más arriba de y se detiene. El coeficiente de fricción entre el paquete y el plano ale. a) 0.0 b) 0.15 c) 0.13 d) 0.5 e) 0.10 V = 8 m/s 0 d = 7 m Figura µ N Sd = h ½ m V = 0 ealizamos un gráfico que describa la situación indicada en el enunciado del problema. Posteriormente, utilizamos la ecuación general de la relación entre trabajo y energía. W FNC = E E 0 La única fuerza no conseratia existente para este ejercicio es la fuerza de fricción. La referencia la tomaremos en el punto. - fkd = U - K Del diagrama de cuerpo libre adjunto podemos erificar que N S = cos0, además, h = dsen0. Y NS - µ cos0 d = dsen0 ½ m - µ gcos0 d = gdsen0 ½ µ gcos0 = - gdsen0 + gd sen 0 µ = gd cos0 µ = 0.13 espuesta: c X a f 0 cos0 sen0 Figura 467. De los extremos de una cuerda que pasa por una polea están suspendidos dos cuerpos. de masa m y de masa 3m. Si se deja en libertad al sistema y no se consideran fuerzas de fricción, la aceleración que adquieren los cuerpos ale: a) 9.8m/s b) 4.9m/s c) 19.6m/s d) 14.7m/s e) 0 Se muestra a continuación el gráfico que representa la situación indicada en el enunciado del ejercicio. Debido a que no hay fuerzas no conseratias, se cumple que E INICIL = E FINL 0 = U m + K m + U 3m + K 3m 0 = h + ½ m + (3m)g(-h) + ½ (3m) h = m = gh Situación inicial Situación final a m V0 = 0 m 3m V0 = 0 h h a Niel de referencia 3m Figura 468 Esta es el cuadrado de la elocidad de ambos bloques cuando han recorrido una distancia h. Si consideramos que la aceleración es constante, podemos utilizar las ecuaciones de cinemática para encontrar la aceleración de las partículas. = 0 + ah gh = 0 + ah 177

2 a = ½ g a = 4.9 m/s espuesta: b 3. Un cuerpo de 10 g de masa está moiéndose en un instante dado con una elocidad de 10m/s sobre una superficie horizontal. Si el coeficiente de fricción entre el cuerpo y la superficie es 0. la distancia que recorrerá el cuerpo a partir de ese instante antes de pararse ale: a) m b) 5.51 m c) m d) 51.0 m e) m Utilizamos la relación general entre el trabajo y la energía mecánica. W FNC = E E 0 - f d = 0 - K µ Nd = ½ m V = 10 m/s µ d = ½ m d = µ g 100 d = (0.)(9.8) d = 5.51m f d Figura 469 N espuesta: b 4. Una masa de 0 g cae libremente desde una altura de m. Cuando ha caído 0,5 m su energía cinética será: a) Igual a la energía potencial que tenía antes de caer b) La mitad de la energía potencial inicial. c) Un cuarto de la energía potencial inicial. d) El doble de la energía potencial inicial. e) Cuatro eces la energía potencial inicial. 0.5 m Niel de referencia h = 0 Debido a que no existen fuerzas disipatias (no conseratias) tenemos que la energía mecánica se consera E 0 = E U = K h = m Se obsera que la energía cinética es igual a la energía potencial que tenía la partícula al inicio, que no es lo mismo que si se siguiera simplificando más h = ½ m 9.8(0.5)= 0.5 = 3.13 m/s Figura 470 espuesta: a 178

3 5. La ariación de energía cinética de una partícula al recorrer 10 m es de 50 J. La fuerza neta en dirección del moimiento será: a) 0 N b) 15 N c) 10 N d) 5.0 N e).5 Utilizamos el teorema de trabajo energía W NETO = K K 0 F NETd = K F NET = K/d F NET = 50J/10 m = 5.0 N espuesta: d 6. Si una masa m cae erticalmente una altura h, en un medio con rozamiento, la ariación de la energía potencial de la partícula estará determinada por: a) h Frh donde Fr = fuerza de rozamiento b) h c) Frh d) mh(g-fr) e) Ninguna de las anteriores De acuerdo al teorema trabajo energía tenemos que W NETO = - U Fr Donde la única fuerza que realiza el trabajo neto es la fuerza de fricción Fr, y tiene la dirección opuesta con el desplazamiento. - Frh = - U Frh = U espuesta: c h Niel de referencia Figura 471 h = 0 7. Un cuerpo cuyo peso es de 10 N, sale de y llega a, con rapidez igual a 0. Cuál era el alor de la energía? a) 00 J b) 400 J c) 600 J d) 800 J e) 1000 J 0 m 45 Figura 47 El enunciado no indica que existe fricción o alguna otra fuerza no conseratia, por lo tanto la energía mecánica existente en el punto debe ser la misma que la existente en el punto. Si tomamos como referencia el punto tendremos que E = E K = U En el punto sólo existe energía cinética, debido a que la referencia está tomada en este punto. En el punto sólo hay energía potencial graitacional, puesto que la partícula se detiene en este punto. 179

4 E = h E = (10N)(0m) E = 00 J espuesta: a 8. Cuál de los alores siguientes corresponde a la potencia desarrollada por el motor de un auto cuyo peso de 1500 N, que se desplaza sobre una pista recta horizontal con una rapidez constante de 50 m/h enciendo una fuerza de resistencia total de 700 N? a) W b) W c) W d) W e) W La potencia se define como el trabajo realizado en el tiempo, esto es, W P = t pero sabemos que el trabajo está definido en función de la fuerza aplicada sobre la partícula y del desplazamiento realizado. F x P = t y recordando que el desplazamiento entre el tiempo es la elocidad, tenemos P = F Debido a que el ehículo se muee con rapidez constante la fuerza que ence a la de fricción es la misma que la de fricción, esto es 700 N, y la elocidad es m/s (50 m/h) P = (13.89m/s)(700N) = Watt espuesta: c 9. Qué potencia media se requiere para subir una masa de 1,0 g a 10,0 m de altura en 10,0 s en un campo graitacional de 10,0 m/s. a) 10 W b) 0.10 W c),0 W d) 0,50 W e) 5.0 W F h = 10 m La potencia media es el trabajo diidido entre el tiempo. P = W/t Del gráfico mostrado en la izquierda, podemos concluir que la fuerza F que sube al cuerpo es el peso del objeto. P = ()(H)/t P = (1g)(10m/s )(10m)/10s P = 10 Watt. Figura 473 espuesta: a 180

5 10. Un cuerpo de 10 g es lanzado hacia arriba por un plano inclinado 30º con la horizontal, con una elocidad de 0 = 10 m/s; recorre una distancia d y se para. Si el coeficiente de rozamiento es 0,5, la distancia d será: a) 3,50 m b) 7,10 m c) 14, m d) 1,3 m e) 17,7 m Nos guiamos con el diagrama que representa a los datos presentados en el enunciado. En el moimiento existe una fuerza disipatia (no conseratia) que es la fricción, por tanto aplicamos la ecuación general que relaciona al trabajo de las fuerzas no conseratias con el cambio de la energía mecánica. espuesta: b W FNC 1 f d = h m µ N d = m d sen 30 d d = g = E S d = 7.1m E ( µ cos30 + sen 30 ) FINL ( µ cos30 + sen 30 ) INICIL = m 100 d = (9.8)(0.5* cos 30 + sen 30 ) V0 = 10 m/s d f NS 30 Figura 474 V = 0 cos30 cos30 h 11. Para empujar una caja de 5 g por el suelo, un obrero ejerce una fuerza de 190 N, dirigida debajo de la horizontal. Cuando la caja se ha moido 3.3 m, cuánto trabajo se ha realizado sobre la caja por: a) el obrero b) la fuerza de la graedad, y c) la fuerza normal del piso sobre la caja? (Tomado del libro Física, esnic, Halliday y Krane) ealizamos un gráfico ilustratio para tener la idea de lo que está sucediendo con la caja. Figura 475 d = 3.3 m 181

6 Podemos darnos cuenta que la fuerza que aplica el hombre a la caja es la causante del moimiento de ella. continuación presentamos el diagrama de cuerpo libre de la caja para analizar el trabajo que realiza cada fuerza. N N f f d = 3.3 m a) El trabajo realizado por el hombre es W = F x W = 190N(3.3m)(Cos ) W = 581 J b) El trabajo realizado por el peso es W = F x W = (3.3m)(Cos90 ) W = 0 c) El trabajo realizado por la reacción normal es W = F x W = N(3.3m)(Cos90 ) W = 0 1. Un baúl de 5.3 g se empuja hacia arriba 5.95 m a una elocidad constante por un plano inclinado a 8.0 ; actúa sobre él una fuerza horizontal constante. El coeficiente de fricción cinética entre el baúl y el plano inclinado es de Calcule el trabajo efectuado por a) la fuerza aplicada, y, b) la fuerza de graedad. (Tomado del libro Física, esnic, Halliday y Krane) continuación presentamos un diagrama en el que se muestra la situación descrita en el enunciado del problema. Para calcular el trabajo realizado por la fuerza aplicada, debemos conocer primero cuál es el alor de ella. Para tener el alor de la fuerza, aplicamos las leyes de Newton. Fx = 0 f N 8 Y cos8 sen8 Fx 8 F Figura 478 Fy X Fx f sen 8 = 0 F cos 0 µ N sen 8 = 0 Fy = 0 Fy + N cos8 = 0 Figura 476 ( ) ( 1) F sen 0 cos8 = N eemplazamos la ecuación () en (1) Fcos8 - µ Fsen8 + µ cos8 - sen8 = 0 F(cos8 - µ sen8 ) = (sen8 - µ cos8 ) F = (sen8 - µ cos8 )/(cos8 - µ sen8 ) F f N 8 d Figura

7 F = 5.3(9.8)(sen8-0.19cos8 )/(cos8-0.19sen8 ) F = 195 N Por tanto el trabajo realizado es: W = 195 N(3.3 m)cos8 W = 568. J El trabajo realizado por la fuerza de graedad (el peso) es: W = 5.3(9.8)(3.3)cos118 W = J 13. Una bola de béisbol es lanzada con una elocidad de 36.6 m/s. Precisamente antes de que la coja una persona al, mismo niel donde fue lanzada, su elocidad se reduce a 33.5 m/s. Cuánta energía se ha desperdiciado a causa del arrastre del aire? La masa de la bola es 55g. (Tomado del libro Física, esnic, Halliday y Krane) Utilizamos el teorema de Trabajo Energía para calcular el trabajo neto, el mismo que será igual al trabajo realizado por la fricción (arrastre) del aire. W NETO = K FINL K INICIL W NETO = ½ m ½ m 0 W NETO = ½ (0.55g)( ) W NETO = J. El resultado negatio indica que se pierde energía por medio de la fricción, y esa energía puede haberse transformado en calor, o en algún otro tipo de energía. 14. Un hombre que corre tiene la mitad de la energía cinética de un niño de la mitad de la masa que él posee. El hombre aumenta su elocidad en 1 m/s y luego tiene a misma energía cinética que el niño. Cuáles eran las elocidades originales del hombre y del niño? (Tomado del libro Física Uniersitaria, esnic, Halliday y Krane) Planteamos dos ecuaciones, una cuando el niño y el hombre tienen diferente energía cinética, y la otra cuando tienen igual energía cinética. K HOME = ½ K NIÑO ½ MV = ½ (½ m ) MV = ½ m demás, según datos del problema, M = m mv = ½ m 4V = V = (1) Cuando el hombre aumenta su elocidad en 1 m/s (V+1) la energía cinética del niño será igual a la que él posee. K HOME = K NIÑO ½ M(V+1) = ½ m m(v+1) = m (V+1) = () eemplazamos la ecuación (1) en la ecuación () (V+1) = 4V 183

8 (V+1) = V V + = V = V( - ) V =.41 m/s = V = 4.8 m/s 15. Una pelota pierde el 15% de su energía cinética cuando rebota en una acera de concreto. qué elocidad deberá usted lanzarla hacia abajo erticalmente desde una altura de 1.4 m para que rebote a esa misma altura? Desprecie la resistencia del aire. (Tomado del libro Física, esnic, Halliday y Krane) H V0 V = 0 H Tenemos dos situaciones, una cuando la pelota es lanzada hacia abajo (supondremos que es lanzada erticalmente), y la otra, cuando la partícula pierde el 15% (V 15%V = 0.85V) de su elocidad y rebota. V0 =V - 15%V Situación 1 K 0 + U 0 = K f (eferencia en el piso) ½ m 0 + H = ½ 0 + gh = (1) V Situación K 0 = U f ½ mv 0 = H Figura 479 V 0 = gh Pero V 0 = 0.85 V 0 = = gh =.768gH () eemplazamos () en (1) 0 + gh =.768gH 0 = 0.768gH 0 = 0.768(9.8)(1.4) 0 = 9.66 m/s L 15 Figura

9 16. Un camión que ha perdido los frenos desciende por una pendiente a 18 m/h. Por fortuna existe una rampa de escape al pie de la colina. La inclinación de la rampa es de 15. Cuál debería ser la longitud mínima L para que el camión llegue al reposo, al menos momentáneamente? (Tomado del libro Física, esnic, Halliday y Krane) h L 15 Figura 481 Del gráfico dado en el ejercicio podemos relacionar la altura h, con respecto al niel horizontal, por medio de un triángulo rectángulo. Sen15 = h/l h = L sen15 Debido a que no existen fuerzas disipatias (no conseratias), la energía mecánica inicial es igual a la energía mecánica final. E 0 = E K 0 = U ½ m = h = gh = glsen15 ntes de reemplazar los datos, transformamos los 18 m/h en m/s. m 1h 1000m 18 = 35.56m / s L = 49.3 m h 3600s 1m 17. Un joen está sentado en la parte superior de un montículo de hielo. Se da a sí mismo un pequeño impulso y comienza a deslizarse hacia abajo. Determine a qué altura, con respecto al piso, abandona el hielo. (Tomado del libro Física, esnic, Halliday y Krane) Figura 48 H h eferencia plicamos la conseración de la energía para encontrar la altura a la que se separa el niño del hielo. Figura 483 E 0 = E U = K h = ½ m quí H = y h + h = g( h) = (1) Pero el alor de es desconocido, este alor lo calculamos por las leyes de Newton. demás, la reacción normal es cero en este punto al desprenderse el hombre de la superficie semiesférica. y Fy = mac α cosα = m g cosα = α Figura 484 x = x + h x = h α x h 185

10 cosα = h h g = = g ( h ) eemplazamos este último resultado en la ecuación (1) g( h) = g ( h) = 4( h) 4( h) = + h 4 4h = + h 3 = 5h = ( + h)( h) 3 h = En la figura mostrada a) Qué tanto debe comprimirse el resorte de manera que la esfera de 0.5 g pueda recorrer completamente el aro ertical? b) Cuál es la fuerza ejercida por el aro sobre la esfera en la posición? El aro carece de fricción y la constante de elasticidad del resorte es de 980 N/m. (Tomado del libro Dinámica de Singer) h h 0.9 m Figura 485 a) Como no existen fuerzas disipatias (fuerzas no conseratias) la energía mecánica inicial es igual a la energía mecánica final. Tomaremos como referencia la superficie horizontal. Cuando está comprimido el resorte no existe energía cinética porque la partícula está en reposo, y tampoco existe energía potencial graitacional porque en este punto h = 0. En el punto la partícula tiene energía cinética (la normal en este punto ale cero porque la partícula pasa con la elocidad necesaria para completar la uelta y pierde contacto momentáneamente con la pista) y energía potencial graitacional con altura igual a. E INICIL = E FINL U ELÁSTIC = U GVITCIONL + K ½ x = h + ½ m nalizamos el punto por medio de las leyes de Newton para calcular la elocidad en ese punto. ac Figura 486 eemplazamos este resultado en la ecuación de conseración de energía x = () + Fy = ma = m = g C 186

11 x = 5 K 5(0.5)(9.8)(0.9) x = 980 x = 0.15 m x = 15 cm b) En ese punto (punto ) la fuerza que ejerce el aro es la reacción normal. Guiándonos en el diagrama de cuerpo libre del bloque en el punto tenemos Fx = ma C N = m Figura 487 El alor de la elocidad lo calculamos por el análisis de energía entre el punto y el origen. E INICIL = E FINL U ELÁSTIC = U GVITCIONL + K ½ x = h + ½ m = x h m 980(0.15) *0.5*9.8*0.9 = 0.5 = 6.46 m /s eemplazamos en la ecuación que obtuimos mediante la segunda ley de Newton. N = 0.5g(6.46 m /s )/0.9 m N = 14.7 N 19. Dos resortes de masa despreciable, ambos de constante = 00 N/m, están fijos en los extremos opuestos de una pista plana. Un bloque de 5.00 g se empuja sobre el resorte izquierdo, comprimiéndolo 15 cm. El bloque (inicialmente en reposo) se suelta después. Toda la pista es lisa excepto la sección entre y, si µ = entre el bloque y la pista a lo largo de, y la longitud es 5.0 cm, determine donde se detiene el bloque, cuando se mide a partir de. (Lección parcial, I Término ) 15 cm N ac Figura 488 asta con analizar la situación inicial y final del recorrido, aplicando la relación entre el trabajo que realizan las fuerzas no conseratias y la ariación de la energía mecánica. W FNC = E FINL E INICIL - f d = 0 ½ x 187

12 La única fuerza no conseratia es la fuerza de fricción cinética, y la energía mecánica final es cero porque la partícula se detiene, y no hay cambio en la altura, con respecto al niel de referencia que es la superficie horizontal. f N - µ Nd = - ½ x - µ d = - ½ x d = ½(00)(0.15 )/5(9.8)(0.080) d = m = 57.4 cm quí d es la longitud que recorre el bloque sobre la superficie rugosa, por tanto el bloque recorre 5 cm al ir de a, luego 5 cm al regresar de a, y finalmente recorre 7.4 cm de a. Por tanto el bloque queda ubicado a 7.4 cm a la derecha de. Figura Un cuerpo de g se deja caer desde una altura de 1 m sobre un resorte ertical de masa despreciable, cuya constante elástica es = 000 N/m. Cuánto es lo máximo que se comprime el resorte? Use g = 10 m/s. (Examen parcial de Física I, I Término ) Situación inicial Situación final h y Niel de referencia x Fgura 490 Hacemos un gráfico que represente la situación inicial y la final. Se puede apreciar en el gráfico que no existen fuerzas disipatias (no conseratias), por tanto, la energía mecánica inicial es igual a la energía mecánica final. E INICIL = E FINL h = ½ x (y + x) = ½ x y + x = ½ x (10)(1) + (10)x = ½ (000)x 50 x x 1= 0 x = 0.15 m El resorte se comprime 15. cm 188

13 1. El resorte de la figura 485 tiene una constante elástica de 5000 N/m y ha sido comprimido 0.0 m con el bloque. El bloque tiene 00 g de masa y µ = 0.30 con el plano inclinado y no está soldado al resorte. qué distancia x toca el piso? (Examen parcial de Física I, II Término ). 1.0 m 30 X Figura 491 Debemos aeriguar cuál es la elocidad con la que sale el bloque del plano. plicamos el teorema de trabajo energía. La referencia la ubicamos en el punto en donde se suelta el resorte, o sea, al niel del suelo. W FNC = E FINL E INICIL W FNC = E FINL E INICIL - fd = ½ m + h ½ x - µ cos30 d = m + dsen30 - x 5000(0.) (0.)(9.8)(1.)(0.3cos30 + sen30 ) = 0. = m /s Para calcular x aplicamos la ecuación de la trayectoria (moimiento parabólico) gx y = xtan30 cos sen 30 = 0.577x 0.09x 0.09x x = 3.56 m 0.577x 0.6 = 0. Un bloque de 10 g se suelta desde el reposo en el punto que está en la parte superior de un plano inclinado, como se muestra en la figura 486, existe rozamiento sólo en el tramo de la trayectoria, en donde µ = 0.. En el punto C está el inicio de un resorte que cumple la Ley de Hooe y cuya constante elástica es de 1 N/m, determine: a) La pérdida de energía del sistema en el tramo. b) La distancia que se comprime el resorte después de detener al bloque. (Examen parcial de Física I, II Término ). 1 m 4 m C 30 x a) La pérdida de energía iene dada por el trabajo que realiza la fuerza de fricción cinética Wf = - f d = - µ Nd = - µ dcos30 = - 0. (10)(9.8)(1)Cos30 Figura 49 Wf = J b) plicamos el teorema de trabajo energía para poder calcular este alor, tomando en cuenta que el niel de referencia lo ubicaremos en el punto de máxima compresión del resorte. W FNC = E FINL E INICIL 189

14 = ½ x - h En donde h tiene relación con la distancia, d, que recorre el bloque sobre el plano inclinado, y esta es 5 + x. Note que se forma un triángulo rectángulo de tal manera que h = dsen30 = (5 + x)0.5 h = x = ½ (1)x 10(9.8)( x) 6x 49x 8.03 = 0 esoliendo la ecuación por medio de la fórmula general para ecuaciones cuadráticas, obtenemos x = m 190

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