MATERIA FÍSICA ATÓMICA. Guía 5: Teoría de scattering por un potencial

Transcripción

1 MATERIA FÍSICA ATÓMICA Guía 5: Teoría de scattering por un potencial Problema 1 (Partícula libre): Utilizando una expansión en ondas esféricas, halle la expresión de la función radial para una partícula moviéndose con momento K en ausencia de fuerzas externas. Demuestre que si el momento K está alineado a lo largo del eje, la correspondiente función de onda se puede expresar como: e. 2 1 cosθ, donde es la función esférica de Bessel y ( es el polinomio de Legendre, ambos de orden l. Problema 2 (Esfera rígida): Considere la dispersión de una partícula con momento K z por un potencial central del tipo: a) Halle la descomposición en ondas parciales de los estados de scattering. A partir de las correspondientes funciones de onda radiales determine los desfasajes para las diferentes ondas parciales. b) Límite de baja energía: Demuestre que cuando 1 la mayor contribución a la sección eficaz de dispersión proviene de la onda parcial 0. Evalue en este caso la sección eficaz diferencial y muestre que la sección eficaz total es cuatro veces mayor que el valor clásico. c) Límite de alta energía: Calcule el valor asintótico de los desfasajes cuando 1. i) Muestre que a pesar de que esta situación ( 1) corresponde al límite clásico de la mecánica cuántica, la sección eficaz total es el doble del valor clásico. Explique cuál es el origen de este efecto. ii) Demuestre que en el límite de alta energía la sección eficaz diferencial deja de ser isotrópica. d) Aplicación: Considere que a bajas energías de impacto la dispersión de neutrones por protones puede ser modelizada por medio de un potencial del tipo esfera rígida. Sabiendo que un

2 experimento de dispersión realizado para un valor fijo de energía (K=3 10¹² cm ¹) arrojó los siguientes resultados cosθ dσ/dω (mb/sr) 0, evalúe aproximadamente los valores de los desfasajes correspondientes a las dos primeras ondas parciales ( 0 y 1). Utilice esta información para determinar el rango efectivo de la interacción. Problema 3 (Esfera blanda): Considere la dispersión de una partícula con momento K z por un potencial central del tipo pozo cuadrado: con ₀ 0. a) Halle la descomposición en ondas parciales de los estados de scattering y determine los desfasajes a partir de las funciones radiales. Compruebe que la información del potencial está sólo contenida en el factor de continuidad /. b) Límite de baja energía: Halle la expresión del desfasaje ₀ correspondiente a 0 y determine su valor asintótico cuando 1. Sabiendo que en el límite de baja energía la contribución más importante a la sección eficaz proviene de la onda parcial 0, analice el proceso de dispersión para diferentes profundidades del pozo ( ₀ ₀ ) considerando las siguientes situaciones particulares: i) Pozo poco profundo: En el límite ₀ 1, calcule el valor de la sección eficaz diferencial para 0 en términos de la longitud de dispersión:

3 tan ₀ lim y muestre que es isotrópica. ii) Teorema de Levinson: Demuestre que a baja energía ( 1) la sección eficaz total presenta un máximo como función de ₀ cuando ₀ 1/2. Verifique que la presencia del máximo en la sección eficaz está asociada con la aparición de un nuevo estado ligado. Para ello resuelva cualitativamente la ecuación de autovalores correspondiente a los estados ligados. iii) Efecto Ramsauer-Townsend: Encuentre la condición que debe cumplir ₀ para que a bajas energías ( 1). Note que bajo estas circunstancias la sección eficaz total es prácticamente nula, y la onda s ( 0) pasa a través del material sin ser distorsionada, lo que se conoce como efecto Ramsauer-Towsend. c) Resonancias: Calcule el valor asintótico del desfasaje cuando ₀ 1 (pozo muy profundo) y 1. Halle la condición de resonancia para las ondas parciales con 1. Calcule la sección eficaz alrededor del punto resonante y explique cualitativamente el origen de la resonancia. d) Aplicación: Si la interacción efectiva de un gas raro con electrones de 0.7 ev puede representarse mediante un pozo cuadrado de profundidad ₀ y rango a=10 ⁸ cm, mostrar que para un cierto valor de ₀ el desfasaje ₀ vale π/2, y ello corresponde a una divergencia de la sección eficaz en el límite de 0 (resonancia de energía cero). Para este caso, calcule numéricamente el desfasaje y la sección eficaz como función de. Problema 4 (Barrera cuadrada): Considere la dispersión de una partícula con momento K z por un potencial central del tipo barrera cuadrada: con ₀ 0. a) Halle la descomposición en ondas parciales de los estados de scattering para energías superiores e inferiores a las de la barrera y determine los respectivos desfasajes. Compruebe que en el límite de barrera infinita ( ₀ ₀ ) se recupera el valor del desfasaje correspondiente a la esfera rígida. b) Teorema óptico: Compruebe la validez del teorema óptico en el caso límite de barrera alta ( ₀ 1 a baja energía ( 1). c) Primera aproximación de Born: Utilice la expresión integral del desfasaje en primera aproximación de Born para calcular para las ondas parciales 0 y 1. Compare estos valores con los obtenidos en el punto a) considerando el límite de alta energía, con ₀/ 1.

4 d) Aplicación: Considere que la dispersión elástica entre átomos de Ne y F a la energía 0.1 ev puede representarse como una barrera finita de altura 50 ev y rango a = 0.5 Å. Calcule numéricamente la sección eficaz total determinando cuántas ondas parciales l es necesario sumar a esta energía para obtener un resultado con aceptable precisión (error menor al 1%). Compruebe que el número de ondas parciales que es necesario sumar depende de la energía de impacto, siendo el valor máximo de l proporcional a Ka. Problema 5 (Modelo unidimensional): Considere la dispersión de una partícula con momento K por un potencial unidimensional del tipo: 1 con, 0. a) Primera aproximación de Born: Evalúe la sección eficaz de dispersión elástica en la dirección hacia delante (forward direction) a partir de la amplitud de transición calculada en primera aproximación de Born. Especifique los límites de validez de esta aproximación. b) Aproximación semiclásica: Calcule la función de onda de scattering a partir del método semiclásico WKB. Discuta la validez de esta aproximación.

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