ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DE UNA ESTRUCTURA

Transcripción

1 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DE UNA ESTRUCTURA 1. Hipótesis empleadas Las hipótesis que supondremos en este capítulo son: Material elástico lineal. Estructura estable La estructura es cargada lentamente. La estructura admite superposición. Asumiremos en una primer etapa del análisis que no hay intercambio de energía térmica, o sea que el proceso es adiabático. Obsérvese que de acuerdo a lo planteado la estructura puede ser tanto una estructura isostática como una hiperestática. Figura 1: Esquema de una estructura sometida a cargas y de los desplazamientos resultantes Para estudiar este problema consideraremos una estructura cualquiera como la que se indica en la figura 1 que tiene varios apoyos de diferente tipo y que tiene un conjunto de fuerzas P i aplicadas. Consideraremos en un sentido amplio de la palabra que llamaremos fuerzas fuerzas generalizadas) tanto a las fuerzas como a los momentos aplicados sobre la estructura. El conjunto de las n fuerzas aplicadas podemos representarlas por medio de un vector P que representa las cargas aplicadas sobre la estructura: P P 1. P n 1

2 Consideraremos ahora los desplazamientos desplazamientos generalizados) que están asociados a las fuerzas anteriormente definidas. Estos serán los desplazamientos de los puntos en que están aplicadas las fuerzas generalizadas cuando estas son fuerzas propiamente) y los giros de los puntos en que están aplicadas las fuerzas generalizadas cuando éstas son momentos). En ambos casos tanto giros como desplazamientos que consideraremos como desplazamientos generalizados) están orientados en la misma dirección y sentido que las fuerzas P correspondientes. Los desplazamientos estarán expresados en la unidad de longitud empleada y los giros en radianes. Tomaremos siempre como origen de los desplazamientos la posición que tiene la estructura cuando está descargada, es decir que cuando el vector P 0 los desplazamientos serán nulos. En consecuencia, si llamamos δ i al desplazamiento asociado a la fuerza P i tendremos que los desplazamientos pueden ser expresados también como un vector que llamaremos δ: δ δ 1. δ n Puede pensarse que con esta forma de analizar el problema se este perdiendo generalidad pues solo estamos considerando los desplazamientos de los puntos donde hay fuerzas aplicadas, pero en realidad esto no es así, pues si quisiéramos conocer el desplazamiento de un punto cualquiera en cualquier dirección alcanzaría con agregar ese desplazamiento y una fuerza en ese punto con la misma dirección y tomar la fuerza igual a cero. 2. Flexibilidad y rigidez En la medida que asumimos linealidad y el principio de superposición tendremos que un desplazamiento cualquiera δ i puede expresarse como una combinación lineal de las cargas P j. δ i F ij P j j1 Donde F ij sera el desplazamiento δ i que se produce como consecuencia de una fuerza aplicada P j 1. En forma matricial esa relación se puede expresar de la forma: 1) δ FP La matriz F de dimensión n n es conocida como la matriz de flexibilidad. Esta matriz es independiente del valor de las fuerzas aplicadas y solo depende de la estructura. Puede observarse que de alguna manera expresa el criterio intuitivo de flexibilidad, pues cuanto más grande es un término de la matriz F, el desplazamiento será más grande para la misma fuerza aplicada). Es claro suponer que en general las fuerzas P producirán desplazamientos de los puntos de aplicación. No obstante ello existen casos en los que es posible que no existan desplazamientos, como cuando colocamos una fuerza P q en un apoyo o colocamos más fuerzas que las necesarias para definir el estado de carga en un punto en una estructura plana las necesarias serían hasta dos fuerzas no colineales y un giro y en las estructuras espaciales serían hasta tres fuerzas independientes y tres momentos independientes). En estos casos podríamos tener desplazamientos nulos en todos los puntos para algún vector de cargas P 0. Salvo en estos casos donde las cargas están aplicadas en los apoyos o las fuerzas aplicadas en los hechos son nulas, en el resto de los casos la estructura sí se comporta elásticamente no como un cuerpo rígido) deberá trasmitir esfuerzos y en consecuencia habrá desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas. Evitando las situaciones particulares anteriormente planteadas se puede concluir que todo vector fuerza P 0 produce un vector desplazamiento δ 0. En lo sucesivo aceptaremos que se cumple esta propiedad. Esto es lo mismo que decir que la matriz de flexibilidad F no es singular o que su determinante es diferente de cero. En estas condiciones la matriz de flexibilidad es invertible. Su inversa K es denominada matriz de rigidez. La matriz de rigidez permite calcular las fuerzas en función de los desplazamientos: 2) K F 1 P Kδ 3) 2

3 En este caso la fila i de la matriz K sera el vector fuerza P que es necesario aplicar para lograr que se produzca un desplazamiento unitario δ i 1 y que todos los demás sean nulos. Esta matriz que es de dimensión n n, también responde al criterio intuitivo de rigidez, que es contrario al de flexibilidad. Cuanto más grande es un término de la matriz K, la fuerza necesaria, para producir un determinado desplazamiento, tendrá que ser más grande. La formulación de la relación, entre las fuerzas y los desplazamientos, con la matriz de flexibilidad conduce a los métodos de las fuerzas, mientras que la formulación con la matriz de rigidez conduce a los métodos de los desplazamientos, como veremos más adelante. 3. Energía de deformación de la estructura Sabemos que el trabajo realizado por cualquier fuerza P i tiene la forma: W i δi 0 P i ds Además, sabemos que las reacciones que se producen en los apoyos, dado que estos no se desplazan, no producen trabajo. Se puede agregar que de acuerdo a las hipótesis que hemos asumido, no existe intercambio con el exterior de energía térmica y la energía cinética es despreciable. Por otro lado el material es elástico y lineal, o sea que toda la energía que recibe se convierte en energía potencial, en la forma de energía de deformación de la estructura, que denominaremos U. En estas condiciones es claro que el trabajo de las fuerzas aplicadas se debe convertir en su totalidad en energía de deformación de la estructura. O sea que: 4) U W W i i1 i1 δi 0 P i ds 5) Para calcular el trabajo W de las fuerzas aplicadas, teniendo en cuenta las hipótesis adoptadas de linealidad y superposición, tendremos que el trabajo no depende de la forma que es cargada la estructura y que solo depende de la carga total aplicada. Dado que podemos cargar de cualquier manera la estructura se puede elegir cargarla de manera que todas las cargas aumenten en forma simultanea conservando la proporcionalidad. Es claro que en esas condiciones los desplazamientos también serán proporcionales a las cargas aplicadas. Luego el diagrama desplazamiento-fuerza en cada punto de aplicación de las fuerzas tiene la forma mostrada en la figura 2. Y en consecuencia: Figura 2: Se aplican las cargas proporcionalmente W i 1 2 P iδ i 6) Entonces: 3

4 U W W i 1 P i δ i δt P 1 2 P T δ 7) i1 i1 Teniendo en cuenta que: δ FP Sustituyendo en la expresión 7 obtenemos: 8) U W 1 2 P T FP 9) Obsérvese que la expresión del trabajo obtenida tiene solo términos de fuerzas al cuadrado, o sea que es una forma cuadrática en las fuerzas P i. Esta forma cuadrática esta caracterizada por la matriz F. 4. Propiedades de la matriz de flexibilidad Teorema 1. F es una matriz simétrica, es decir que f pq f qp para todo p y q. Demostración Si p q es obvio que se cumple la igualdad. En el caso que p q podemos demostrarlo utilizando el teorema de Betti o recorriendo otro camino de carga, como a continuación se hace. Elegiremos un sistema de cargas de manera que si i p e i q entonces P i 0 o sea que solo son distintas de cero las fuerzas P p y P q. Según 9 sabemos que: W 1 2 P T FP 1 2 y que: δ p f pp P p + f pq P q δ q f qp P p + f qq P q fpp P 2 p + f pq P p P q + f qp P p P q + f qq P 2 q ) Ahora procederemos a cargar la estructura de otra manera: 1. Cargo inicialmente P p de cero hasta P p, manteniendo P q 0. Es claro que en el punto de aplicación de P q no se produce trabajo pues P q 0. Sabemos por 10 que al completar esta carga se tendrá que: W 1 2 P pf pp P p 1 2 f ppp 2 p 13) Y que los desplazamientos serán: 10) 11) 12) δ p f pp P p δ q f qp P p 14) 15) 2. A continuación, cargo P q de cero a P q dejando P p constante. Ahora tendremos trabajo de las fuerzas aplicadas en los dos puntos. Tenemos entonces que los desplazamientos en los puntos se incrementan: δ p f pq P q δ q f qq P q 16) 17) En el punto de aplicación de la fuerza P p, como se indica en la figura 3, se tendrá que: W p P p f pq P q. Por su parte en el punto de aplicación de la fuerza P q tenemos, como se indica en la figura 4, que: W q 1 2 f qqp 2 q 4

5 Figura 3: P p en función de p Figura 4: P q en función de q Sumando los trabajos producidos en las dos etapas de carga tenemos que: W 1 2 f ppp 2 p + f pq P p P q f qqp 2 q 18) Como en las condiciones que estamos suponiendo el trabajo no depende de la forma que se colocó la carga, podemos igualar la expresión 18 con la 10. Entonces tendremos que: W 1 2 f ppp 2 p + f pq P p P q + f qp P q P p + f qq P 2 q ) 1 2 f ppp 2 p + f pq P p P q f qqp 2 q 19) Eliminando los términos similares y simplificando obtenemos que: f pq f qp 20) que es lo que queríamos demostrar. Teorema 2. La forma cuadrática definida por la matriz de flexibilidad F es semidefinida positiva, es decir que. P P T FP 0 Demostración Si existiera un vector P tal que la forma cuadrática fuera negativa, al aplicar esa carga a un cuerpo que no tiene energía de deformación, en vez de entregarle nosotros trabajo, estaríamos recibiendo trabajo del solido. 5

6 Esto nos permitiría generar trabajo con esa estructura y por otro lado la estructura quedaría con energía de deformación negativa. Esto obviamente no es posible. Cabe agregar que si pudiéramos hacerlo generaríamos energía con esa estructura y terminaríamos con los problemas energéticos del mundo. Luego queda demostrado que la forma cuadrática es semidefinida positiva. Como consecuencia de lo anterior se puede ver fácilmente que ninguno de los términos diagonales de la matriz F es negativo. O sea que F ii 0 para todo i. En caso que no fuera así tendríamos que al aplicar solamente la fuerza P i estaríamos teniendo que la forma cuadrática toma valores negativos, contradiciendo lo que habíamos inferido anteriormente. Teorema 3. Sea entonces Demostración Tenemos que: U UP 1... P n ) W 1 2 P T FP f ik P k U 1 2 j1 f jk P j P k 21) Cuando derivamos podemos distinguir cuatro casos: Un primer caso cuando j i y k i, en este caso al derivar se hacen cero las derivadas. Un segundo caso cuando j i y k i. Un tercer caso cuando k i y j i. Un cuarto caso cuando k i y j i. En estos últimos tres casos aparecen términos en la derivada. 1 2 f ik P k k i f ji P j + f ii P i 22) j1 j i Por simetría de F sabemos que el segundo término de la suma es igual a jn 1 2 j1 j i f ij P j Y en consecuencia es lo mismo que el primer termino. Luego se tiene que: kn k i f ik P k + f ii P i 23) Entonces, el segundo termino es el que falta en la primera sumatoria y obtenemos que: f ik P k 24) Que es lo que queríamos demostrar. Teorema 4. Segundo Teorema de Castigliano Sea U UP 1... P n ) W 1 2 P T FP entonces δ i 6

7 Demostración Sabemos del teorema anterior que: f ik P k 25) Y por otro lado de la expresión 1 δ i F ik P k 26) Juntando ambas expresiones se obtiene lo que se queríamos demostrar. Teorema 5. La forma cuadrática definida por la matriz de flexibilidad es definida positiva. Sea U UP 1... P n ) W 1 2 P T FP Entonces la forma cuadrática además de ser semidefinida positiva es también definida positiva o sea que además se cumple que U 0 solo cuando P 0. Demostración Sabemos que la forma cuadrática no toma valores negativos y que tiene un mínimo U 0 para P 0. Si tuviera otro valor de P 0 que anule a U éste también tendría que ser un mínimo de la forma cuadrática. Luego se tienen que anular todas las derivadas parciales de U en relación a P i para todo i tal que 1 i n. Usando el teorema 3 y el segundo teorema de Castigliano teorema 4) tendremos que se cumple para todo i que: f ik P k δ i 0 27) Luego, como todos los δ i 0 tenemos que el vector desplazamiento δ 0. Por las consideraciones que hicimos en la sección 2 sabemos que si el vector P es distinto de cero entonces δ también es distinto de cero. Llegando a un absurdo pues habíamos supuesto que existía un valor de P distinto de cero que anulaba U, con lo que hemos demostrado que con las hipótesis realizadas la forma cuadrática es definida positiva. 5. Energía de deformación con flexión y directa Como hemos visto las tensiones normales en un estado de flexión y directa puede expresarse de la forma: σ zz N 1 + e xx A ρ 2 + e ) yy y ρ 2 x 28) σ xx 0 29) σ yy 0 30) Por ahora no consideraremos la energía de deformación generada por: Torsión que no aparece en problemas planos y solo aparece en problemas espaciales) Cortante que es generalmente despreciable en relación a la generada por flexión) En general sabemos que la energía de deformación se puede expresar como: U 1 T : DdV 2 V 31) T : D σ xx ɛ x + σ yy ɛ y + σ zz ɛ z + 2τ xy ɛ xy + 2τ xz ɛ xz + 2τ yz ɛ yz 32) 7

8 En el caso que estamos considerando, donde el origen de los ejes se encuentra en el baricentro de la sección y los ejes x e y son ejes principales de la sección, tenderemos que: T : D σ zz ɛ zz σ2 zz E Sustituyendo obtenemos: U 1 L N 2 dz 2 0 A EA 2 1 L N 2 2 EA 2 dz 0 A 1 + e xx ρ 2 y + e ) 2 yy da ρ 2 x 1 + e xx ρ 2 + e yy y ρ 2 x ) 2 da Desarrollando la integral en el área y teniendo en cuenta que los ejes son baricéntricos y principales tenemos que: 1 + e xx A ρ 2 + e ) 2 ) yy y ρ 2 da e xx x A ρ e yy y ρ 2 + e2 xx 2 x ρ 4 + 2e xe y xy y ρ 2 yρ 2 + e2 yy 2 x ρ 4 da x ) Entonces U 1 2 U 1 2 L 0 L A e2 x ρ 4 I y e2 y y ρ 4 I x A x 1 + e2 x ρ 2 + e2 y y ρ 2 x ) N e2 x 0 EA ρ 2 + e2 y y ρ 2 dz x N 2 AE + M ) y 2 + M x 2 dz 34) EI y EI x En definitiva obtenemos cuando tomamos ejes principales) que la energía de deformación de la acción combinada de directa y flexión en ambas direcciones, es la suma de la energía de deformación producida por cada una de las tres solicitaciones. 6. Desde el ángulo de la matriz de rigidez En la expresión 5 se hubiera podido sustituir el vector P obteniendo la energía de deformación como una forma cuadrática de los desplazamientos, cuyos coeficientes quedan definidos por la matriz K. Si se procede en esa forma se obtiene que: 33) U W 1 2 δt Kδ 35) Teniendo en cuenta las propiedades de la matriz F y que K F 1 se puede concluir que la matriz K es: Simétrica. No singular. Y que la forma cuadrática que define es: Definida positiva. Razonando en forma análoga a la realizada con la matriz de flexibilidad se puede concluir que si la energía de deformación se expresa en función de los desplazamientos, se tendrá que: P i δ i Esta expresión es conocida como el primer teorema de Castigliano. 8

9 9 Estos apuntes fueron elaborados por: Dr. Ing. Atilio Morquio Ing. Lucía Delacoste Colaboraron en la corrección: Br. María Laura Reboredo Ing. Valentina Machín Ing. Agustin Spalvier