Soluciones múltiples para cierto tipo de problemas elípticos no lineales que aparecen en Astrofísisca. por. Hermann Mena

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1 Soluciones múltiples para cierto tipo de problemas elípticos no lineales que aparecen en Astrofísisca por Hermann Mena Tesis de Matemático en la Escuela Politécnica Nacional Quito, Ecuador 2003

2 Índice general 1. Introducción Teorema del Paso de Montaña Descripción del Problema Llamas Solares El problema en estudio Resultados Conocidos Modelo para llamas solares en ausencia de gravedad Modelo para llamas solares con gravedad Resultados Obtenidos Modificación del modelo de llamas solares sin gravedad Introducción Técnica variacional arbitrariamente grande El problema en R+ n Modificación del modelo de llamas solares con gravedad Introducción El problema en D R El problema en R+ n Conclusiones 48 1

3 Notaciones Notaciones generales y definiciones R n denota el espacio euclídeo real de dimensión n con el producto escalar usual (x, y) y norma asociada x 2 = (x, x). R+ n R n 1 R +. es la frontera del conjunto R n y es la clausura de. si tiene la clausura compacta en. representa la medida de, en la medida correspondiente. B R (x) R n es la bola en R n con centro x y radio R. ω n denota la bola n-dimensional de radio 1. D i u = u x i, D ij u = 2 u x i x j, etc. Si los números β i, para i=1,..,m son enteros 0; entonces β = (β 1,..., β m ) es un multi-índice. Notamos β = Σ m i=1β i y definimos D β u = β u x β x βm m Sea k un entero no negativo. C k () es el conjunto de las funciones que tienen todas las derivadas de orden k continuas en 1. C k () es el conjunto de las funciones en C k () que satisfacen: para todo 0 β k la función D β u se prolonga continuamente sobre. Notaremos C() a C 0 () y C () k C k (). El soporte de una función u : R se define como sopu = {x : u(x) 0} C k o () es el conjunto de las funciones en C k () que tienen soporte compacto en. Sean 0 < γ 1 y D un subconjunto acotado de R n tal que x 0 D. Diremos 1 C 0 () se notará, simplemente C() 2

4 que f : D R es una función Hölder continua con exponente γ en x 0 si f(x) f(x 0 ) [f] γ,x0 = sup x D x x 0 γ es finita. Cuando la expresión anterior es finita para γ = 1 diremos que la función f es Lipschitz continua en x 0. Diremos que f es uniformemente Hölder continua con exponente γ en D si [f] γ,d = f(x) f(y) sup x,y D,x y x y γ es finita. Y localmente Hölder continua con exponente γ en D si es uniformemente continua con exponente γ en subconjuntos compactos de D. Estos conceptos coinciden cuando D es compacto. C k,γ () denotará el espacio de Hölder y se constituye de las funciones en C k () cuyas derivadas parciales de k-ésimo orden son Hölder continuas con exponente γ en. C k,γ () es el conjunto de las funciones en C k,γ () cuyas derivadas parciales de k-ésimo orden son uniformemente Hölder continuas con exponente γ en. L p () = {u : R : u p dx < + }, con 1 p < + y norma u L p () =( u p dx ) 1 p. El espacio L 2 () está dotado del producto escalar (u, v) L 2 = uvdx. L () = {u : R : C > 0, u(x) C c.t.p x }. W 1,p () = { u L p () : g 1, g 2,.., g n L p () t.q. u ϕ } = g i ϕ ϕ Co () i = 1, 2,.., N x i ( Para u W 1,p () se notará u u x i = g i y u = x 1, u u x 2,.., x N ). El espacio W 1,p () está dotado de la norma o de la norma equivalente u W 1,p = u L p + N i=1 ( u pl + N u p x i i=1 3 u x i L p p L p ) 1 p

5 Notaremos H 1 () = W 1,2 (). El espacio H 1 está dotado del producto escalar W 1,p N ( u (u, v) H 1 = (u, v) L 2 +, v ) i=1 x i x i 0 () es el espacio que obtenemos al tomar la clausura de Co() 1 en W 1,p (). A W 1,p 0 () le proveemos de la topología inducida por W 1,p (). Además denotamos H0() 1 = W 1,2 0 (). L 2 4

6 Capítulo 1 Introducción El estudio de problemas a valor en la frontera asociados a ecuaciones diferenciales surge motivado por numerosos problemas prácticos originados en multitud de disciplinas diferentes como puede ser Mecánica, Astrofísica, Electromagnetismo, Ecología, etc. En estos casos los problemas a valor en la frontera constituyen un modelo matemático que describe (con mayor o menor precisión) la situación práctica considerada. Un tipo particular de estos, muy importante por sus aplicaciones, lo constituyen los problemas a valor en la frontera elípticos. A una clase particular de ellos dedicaremos el presente trabajo. Concretamente estudiaremos la existencia y multiplicidad de soluciones de problemas de valores en la frontera del tipo u + c(x)u = λf(u) u = h(x) (1.1) donde es un dominio acotado con frontera suave,, en R n (n 2) o R+, n = es el operador diferencial (de segundo orden) x 2 1 x 2 2 x 2 n usualmente llamado Laplaciano, f :], + [ R es una función Lipchitz continua no lineal 1, h es una funciôn acotada no negativa y c 0, c L () C(). Y también u + c(x)u = λm(y)f(u) u(z, 0) = h(z) (1.2) donde x=(z,y), es el semidisco D R de centro 0 y radio R en R n o R+. n Con las mismas hipótesis de (1.1) y m : R + R + una función de clase C 1 tal que + 0 ym(y)dy < +. 1 sujeta a algunas restricciones 5

7 Los problemas (1.1) y (1.2) corresponden a modificaciones de modelos para llamas solares en ausencia y presencia de gravedad respectivamente 2. Los modelos planteados son: y u = λf(u) R+ 2 u(x, 0) = h(x) x R (1.3) u = λe βy f(u) R 2 + u(x, 0) = h(x) x R (1.4) Una descripción detallada de estos problemas y los resultados conocidos al respecto se presentan en el Capítulo 2 y 3 respectivamente. En resumen ellos estudian (1.3) y (1.4) bajo las mismas hipótesis de (1.1) y (1.2). Teniendo en cuenta que (1.1) y (1.2) son equivalentes a problemas homogéneos de la forma ω + c(x)ω = λf(ω + τ) ω = 0 (1.5) ω + c(x)ω = λm(y)f(ω + τ) donde ω = u τ, y τ es solución de: ω(z, 0) = 0 (1.6) τ + c(x)τ = 0 τ = h(x) (1.7) En el presente trabajo estudiaremos (1.5) y (1.6) en lugar de (1.1) y (1.2) respectivamente. Diversos conceptos de solución de (1.5) y (1.6) pueden ser considerados 3 : solución clásica, solución débil, solución fuerte,... De entre ellos y motivados por las técnicas que aplicaremos, escogemos el de solución débil. Una función u H 1 0() (donde H 1 0() denota el espacio de Sobolev usual, ver [8]) se dice una solución débil de (1.5) o de (1.6) si u(x) v(x) + c(x)u(x)v(x)dx = λ f(u(x) + τ(x))v(x)dx 2 ver [10], [16], [20], [21] y [22] 3 ver [17]. 6

8 o u(x) v(x) + c(x)u(x)v(x)dx = λ m(y)f(u(x) + τ(x))v(x)dzdy respectivamente, para todo v H 1 0() (donde u = ( x 1, x 2,..., x n, )). Como es conocido 4 ciertas hipótesis de regularidad en las funciones f y h (así como en el dominio ) implican que tal solución débil es de hecho una solución clásica, (es decir, que u C 2 () y verifica (1.5) o (1.6) en el sentido usual). Un estudio completo de los problemas (1.1) y (1.2) para cualquier no linealidad de f está, hoy por hoy, inconcluso. Por esta razón restringiremos nuestro trabajo al estudio de problemas en los cuales f está sujeto a 1. Existe s 0 > 0 tal que f(s) >0, para todo s ]0, s 0 [ 2. f(s) = 0 para s 0 o s s 0 3. f(s) as σ, a R, a > 0 y 1 < σ < n+2 n 2 si n > 2 o σ > 1 si n=2 A lo largo del tiempo, se han desarrollado un gran número de técnicas propias del Análisis Funcional para el estudio de problemas de este tipo 5. Nosotros para llevar a cabo este estudio, utilizaremos principalmente técnicas de tipo variacional; estas consisten en reducir el problema de existencia de soluciones de (1.5) y (1.6) al problema equivalente de probar la existencia de puntos críticos de un funcional definido en un espacio de funciones adecuado. Recordemos que si E es un espacio de Banach, un funcional I : E R se dice de clase C 1 si I es derivable (en el sentido de Fréchet)con derivada I : E E continua (E es el dual de E), y u E se dice un punto crítico de I si I (u) = 0, llamándose, en este caso a I(u) nivel o valor crítico de I. Así en nuestro caso, si tomamos E = H0() 1 y Φ, Ψ : E R definidos por Φ(u) = 1 { u(x) 2 + c(x)u 2 (x)}dx λ F (u(x) + τ(x))dx 2 Ψ(u) = 1 { u(x) 2 + c(x)u 2 (x)}dx λ m(y)f (u(x) + τ(x))dzdy 2 para todo u E, entonces Φ, Ψ son de clase C 1 y si u E, Φ (u) y Ψ (u) vienen dados por (Φ (u))(v) = u(x) v(x) + c(x)u(x)v(x)dx λ f(u(x) + τ(x))v(x)dx (Ψ (u))(v) = u(x) v(x) + c(x)u(x)v(x)dx λ m(y)f(u(x) + τ(x))v(x)dzdy 4 ver por ejemplo [17] 5 ver [15] 7

9 para todo v E, por lo que u E es punto crítico de Φ si y solamente si u es una solución débil de (1.5). u E es punto crítico de Ψ si y solamente si u es una solución débil de (1.6). Los puntos críticos de funcionales más sencillos que pueden aparecer son los puntos extremos relativos del funcional. Entre ellos destacamos los extremos globales máximo o mínimo. Es claro que, para su estudio, podemos restringirnos al de la existencia de un mínimo global del funcional. Los métodos que estudian la existencia de tales mínimos globales se enmarcan dentro del llamado Método Directo del Cálculo de Variaciones, que tienen su origen en los trabajos de Tonelli [36]. Entre ellos destacamos los siguientes: 1. Si I es un funcional de clase C 1 definido en un espacio de Banach E reflexivo y es coercivo (lím u + I(u) = + ), débil inferiormente semi-continuo y acotado inferiormente, entonces I alcanza su ínfimo. 2. Si I es un funcional de clase C 1 definido en un espacio de Banach E, acotado inferiormente y satisface lo que se conoce como condición de Palais-Smale, entonces alcanza su ínfimo. La existencia de otro tipo de puntos críticos no necesariamente extremos del funcional puede probarse utilizando las teorías de Morse 6 y Ljusternik y Schnirelmann 7. En ambas teorías, fundamentadas en conceptos topológicos, se intenta como idea principal, reconocer los niveles críticos del funcional mediante un profundo conocimiento de los conjuntos de nivel A d = {u E : I(u) d} pues, a grosso modo, un cambio en las topologías A d1 y A d2, (d 1 < d 2 ), puede determinar la existencia de un nivel crítico c [d 1, d 2 ] del funcional 8. Por otra parte debemos citar los famosos Teoremas del Paso de Montaña 9, demostrado por Ambrosetti y Rabinowitz, y el de Punto de Silla 10, demostrado por Rabinowitz, representativos de lo que se conoce en la literatura matemática actual como métodos min-max para el estudio de existencia de puntos críticos. Ambos teoremas, inspirados más en la teoría de Ljusternik 6 ver [27] 7 ver [24] 8 ver sección 1, Capítulo 1 en [4] 9 ver [3] 10 ver [34] 8

10 y Schnirelmann que en la teoría de Morse, se basan en una aplicación de un teorema de deformación de Clark 11. Concretamente, mediante estos métodos se busca probar la existencia de niveles críticos c de la forma c = ínf S Γ máx u S I(u) donde Γ es una familia apropiada de subconjuntos S E que es invariante por algún tipo de deformaciones del espacio E. En los métodos min-max desempeñan un papel fundamental las condiciones de compacidad introducidas por Palais y Smale 12. Mediante la aplicación de métodos min-max, específicamente del Teorema de Paso de Montaña, probaremos en el Capítulo 3 la existencia de un intervalo Λ, tal que para todo λ Λ existen al menos tres soluciones estrictamente positivas de (1.5), para τ L σ+1 () suficientemente pequeña y un dominio acotado con frontera suave,. Estudiamos también (1.5) cuando ínf c(x) > 0 y es arbitrariamente grande, esto es, para x 0, tomamos la bola de centro x 0 y radio R contenida en, con R suficientemente grande. En este caso logramos eliminar las restricciones sobre τ, y obtener el mismo resultado. Cuando = y ínf c(x) > 0 probamos la existencia de una solución de (1.5) y su unicidad para λ suficientemente pequeño. La técnica utilizada es la de aproximar soluciones de (1.5) mediante soluciones de ω + c(x)ω = λf(ω + τ) Dr ω = 0 Dr (1.8) donde n D R = {(x 1,.., x n ) R+ n : x 2 i < R 2 } i=1 Con argumentos similares probamos la existencia de un intervalo Λ R + tal que para cada λ Λ, (1.6) tiene al menos tres soluciones positivas si R es suficientemente grande y = D R. Finalmente cuando = probamos la existencia de una solución de (1.6) y su unicidad para λ suficientemente pequeño Teorema del Paso de Montaña Intuitivamente el teorema del Paso de Montaña lo podemos interpretar de la siguiente manera: imaginemos que la Tierra es plana y viene modelada 11 ver [13] 12 ver [29], [30] y [32] 9

11 por R 2. Sea I : R 2 R, x I(x), donde I(x) representa la altura sobre el nivel del mar del punto x. Supongamos que el origen 0 está en un valle rodeado por un anillo de montañas, es decir, que existe un entorno Θ del origen tal que I(x) c 0 > I(0) x Θ Finalmente, supongamos también que hay un punto e fuera de Θ donde la altura es menor que c 0. Si nosotros deseamos ir de e a 0 es lógico que queramos hacerlo subiendo lo menos posible. Evidentemente, esto se conseguiría si existiese un camino que atravesase el anillo de montañas por el punto más bajo(paso de montaña). La altura más alta de este paso de montaña debería ser un nivel crítico de I y allí el valor de I sería igual a c = ínf p Λ máx x p I(x) c 0 Aquí Λ representa el conjunto de caminos continuos que unen e con 0. Para demostrar que c es un valor crítico de I necesitamos añadir alguna condición de compacidad sobre el funcional I. La hipótesis técnica de compacidad más conocida y frecuente de encontrar en la literatura matemática actual sobre teoría de puntos críticos, es la condición de Palais-Smale. La cual enunciamos a continuación. Definición (Condiciones (PS) y (P S) c ) Sea I : E R un funcional de clase C Se dice que I verifica la condición de Palais-Smale (PS) si de toda sucesión {u n } en E que cumple: (a) {I(u n )} está acotada, (b) {I (u n )} es convergente a cero, se puede extraer una subsucesión convergente. 2. Dado c R, se dice que I verifica la condición local de Palais-Smale en c (P S) c si de toda sucesión {u n } en E que cumple: (a) {I(u n )} es convergente a c, (b) {I (u n )} es convergente a cero, se puede extraer una subsucesión convergente. También vamos a considerar la siguiente condición introducida por Brezis, Coron y Nirenberg. 10

12 Definición (Condición (w P S) c ) Sea I : E R un funcional de clase C 1 y c R. Se dice que I satisface la condición débil de Palais-Smale en c (w P S) c si verifica la siguiente propiedad: Siempre que existe una sucesión {u n } en E tal que: 1. {I(u n )} es convergente a c, 2. {I (u n )} es convergente a cero, entonces c es un valor crítico de I. La siguiente proposición muestra las distintas relaciones entre estas condiciones. Proposición Sea I : E R un funcional de clase C 1 y c R. Se tiene: 1. Si I verifica la condición de Palais-Smale (PS), entonces I verifica la condición local de Palais-Smale (P S) c en c. 2. Si I verifica la condición local de Palais-Smale (P S) c en c, entonces I verifica la condición débil de Palais-Smale (w P S) c en c. A continuación presentamos una versión abstracta, a nivel de espacios de Banach, del Teorema de Paso de Montaña 13. Teorema (Ambrosetti-Rabinowitz) Sean E un espacio de Banach real e I : E R un funcional de clase C 1 que verifica la siguiente propiedad: (I 1 ) Existe un entorno abierto Θ de cero y un punto e / Θ tal que Si además se verifica (w P S) c con max{i(0), I(e)} < c 0 = ínf u Θ I(u) c = ínf h Γ máx t [0,1] I(h(t)) donde Γ = {h : [0, 1] E : h es continua y h(0)=0, h(1)=e}, entonces c es un valor crítico de I mayor o igual que c su demostración ver [4] 11

13 En la versión original de este teorema probada por Ambrosetti y Rabinowitz, ellos suponen una condición de compacidad (la (P S) c ) ligeramente más fuerte que (w P S) c. Fueron Brézis, Coron y Nirenberg 14 quienes dieron lugar a esta versión. Aunque su demostración sigue los mismos pasos que la original. Además Ambrosetti y Rabinowitz supusieron también una condición suficiente para (I 1 ), en lugar de ésta. En concreto, ellos supusieron: (I 2 ) ρ > 0 y α > 0 tales que I(u) > I(0) = 0, u B ρ (0) 0 I(u) α u B ρ (0) (I 3 ) e E 0 tal que I(e) = 0. Las condiciones (I 2 ) e (I 3 ) suelen presentarse con mucha frecuencia en funcionales surgidos o ligados a ciertos problemas de contorno no lineales que tienen a la solución cero por solución trivial y para los que se está interesado en encontrar otra solución. El Teorema de paso de montaña es muy útil para el estudio de la multiplicidad de puntos críticos. Específicamente cuando el funcional posee un mínimo relativo en un punto u E, es factible probar la existencia de otros puntos críticos distintos de u. Esta idea es fundamental en el trabajo que hemos realizado. 14 ver [9] 12

14 Capítulo 2 Descripción del Problema 2.1. Llamas Solares Nuestro objetivo es estudiar la existencia y multiplicidad de soluciones de (1.1) y (1.2), los cuales son modificaciones de modelos para llamas solares en ausencia y presencia de gravedad, respectivamente. El estudio de este fenómeno ha recibido gran atención en los últimos años, ver [6], [7], [10], [16], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [25], [26], [33], etc. Las llamas solares son erupciones candentes en la superficie del sol, y consisten en una conversión rápida de energía acumulada en forma de flujos de corriente extensiva bajo la superficie visible del sol, la fotósfera, y también en una parte muy tenue, medianamente caliente llamada la corona. La llama se produce al final de una moderada evolución del sistema eléctrico, razón por la cual casi todos los modelos que han sido propuestos hasta ahora, describen el estado de pre-llama como una evolución pseudoestática del campo magnético en la corona, relacionado con el problema general de encontrar secuencias de configuraciones de equilibrio. En los modelos más simples, el plasma coronal y el campo magnético se asume ocupan el semiespacio {x 3 > 0} sobre la fotósfera ({x 3 = 0}), y es dos invariante (de dimensión 1). Las justificaciones astrofísicas de estas suposiciones se encuentran en los artículos de J. Heyvaerts, J.M. Lasry, M. Schatzman y P. Witomski 1. Estos modelos se dividen principalmente en dos categorías. La primera en la cual el campo gravitacional no se toma en cuenta, modelos sin gravedad ( [7], [10], [20], [21], [22], etc.) y la otra, modelos con gravedad( [1], [16], [25], etc.). A continuación presentamos una breve introducción física de estos modelos. 1 ver [20], [21] y [22] 13

15 Para una descripción detallada ver [1], [21], [22], [25] y [33]. Sea R 3 + = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 3 > 0} y {e 1, e 2, e 3 } la base canónica usual (positiva) de R 3. La ecuación del equilibrio magnetostático del problema es p + j B + ρg = 0 (2.1) donde p(x) es la presión del gas, B(x) es el campo magnético, ρ(x) es la densidad del gas, g es la aceleración de la gravedad en la dirección negativa e 3 y j = 1 µ B = 1 rotb (2.2) µ es la densidad de corriente y la constante positiva µ la permeabilidad magnética. La ecuación (2.1) representa un balance magnetostático entre el gradiente de la presión, la fuerza de Lorentz (j B) y la fuerza gravitacional. Asumimos que el gas obedece la ley de los gases ideales ρ = mp (2.3) kt donde m es la masa del protón, k la constante de Boltzman y T(x) la temperatura del gas. Además se asume en (1.2) divb = 0 (2.4) así, las ecuaciones (2.2) y (2.4) son ecuaciones de Maxell. En lo que sigue se supondrá B. T = 0 (2.5) es decir, el plasma es isotérmico a lo largo de las líneas del campo. En el semiespacio R 3 + el sistema es x 1 invariante. Luego, como el campo magnético B deriva del vector potencial A = (A 1, A 2, A 3 ), la x 1 invarianza (A i = A i (x 2, x 3 )) implica que donde B 1 = 2 A 3 3 A 2. El campo gravitacional es vertical B = rota = (B 1, 3 A 1, 2 A 1 ) (2.6) g = g e 3 (2.7) donde g es una constante positiva. Si se nota A A 1 y B B 1, de las ecuaciones (2.1-7) se concluyen las 14

16 siguientes relaciones 2 donde T = T (A) (2.8) B = B(A) (2.9) A = d [ B 2 ] (A) + µp 0 (A)e β(a)x 3 (2.10) da 2 p(a, x 3 ) = p 0 (A)e β(a)x 3 (2.11) [β(a)] 1 = kt (A) mg (2.12) es la escala de presión del plasma isotermal y p 0 (A) (la presión en la fotósfera) es una función solamente de A, la misma suposición se realiza sobre B(A). Luego la configuración magnética (campo magnético, líneas de campo, presión, densidad) puede ser deducida de A, razón por la cual el problema se reduce a resolver (2.10); el cual es un problema elíptico no lineal en el semiespacio El problema en estudio Se estudia (2.10) bajo la suposición de que β(a) es una constante positiva, es decir que la temperatura T (A) = constante. Se nota λ f(s) d ( B 2 ) (s) (2.13) ds 2 y λf(s) d ds luego la ecuación (2.10) toma la forma ( ) µp 0 (s) (2.14) A = λ( f(a) + e βx 3 f(a)) (2.15) donde λ es un parámetro real positivo. Este parámetro describe un progresivo crecimiento de la corriente eléctrica y/o de la presión en la fotósfera. Cuando β = 0, caso sin gravedad, (2.15) ha sido estudiado por muchas personas, en particular el caso B 0 ( [6], [10], [20], [21], [22], [23], [26], entre otros). 2 ver [1], [25] 15

17 J.J. Aly y T. Amari, F. Dobarro y E. Lami Dozo estudian el caso especial cuando β > 0, esto es el problema a valores en la frontera A = λe βy f(a) R+ 2 A(x, 0) = h(x) x R (2.16) donde R 2 + = R R +, R + = {y R : y > 0} y f :], + [ R es una función de clase C 1 que satisface 1. Existe s 0 > 0 tal que f(s) > 0, para todo s ]0, s 0 [ 2. f(s) = 0 para s 0 o s s 0 3. f(s) as σ, a R, a > 0 y 1 < σ 0 < σ 4. Existe l > 0 tal que f(s 1 ) f(s 2 ) l s 1 s 2 para todo s 1, s 2 R En [1], [10], [16], [20], [21] y [22] los autores estan interesados en encontrar un rango positivo de λ s en el cual exista multiplicidad de soluciones de (2.16). La justificación física de esto es la relación entre la existencia de puntos decisivos en el conjunto de soluciones y en el cojunto de llamas, sugerido por J. Heyvaerts, J.M. Lasry, M. Schatzman y P. Witomski. Estos autores asumen una hipótesis adicional sobre f y sobre la cota de h para obtener la multiplicidad 1. σ 3 ] [ 2 2. Fijando η(σ), 1 existe k σ 1 0 > 0 tal que h(x) (P k (x)) η(σ) x R y donde P y (x) es el núcleo de Poisson para el semiespacio π(y 2 +x 2 ) R2 +. Sin embargo estas hipótesis son las únicas que no pueden ser justificadas físicamente. Para el caso n > 2 [10] y [16] suponen 1. f(s) as σ, a R, a > 0 y 1 < σ < n+2 n 2 la cual es menos restrictiva. Nosotros estudiamos si n > 2 o σ > 1 si n=2 u + c(x)u = λm(y)f(u) u(z, 0) = h(z) z R n 1 (2.17) 16

18 donde x = (z, y) R n 1 R +, m:r + R + una función de clase C 1, más general que e βy y u en lugar de A. y u + c(x)u = λf(u) u = h(x) (2.18) donde es un dominio acotado con frontera suave,, c 0, c L () C(). Para c > 0 estudiamos también el caso =. 17

19 Capítulo 3 Resultados Conocidos 3.1. Modelo para llamas solares en ausencia de gravedad A continuación presentamos resultados obtenidos por M. Calahorrano y F. Dobarro para el modelo de llamas solares en ausencia de gravedad 1, expuesto en el capítulo anterior. Los autores estudian la multiplicidad de soluciones de un problema de valores en la frontera del tipo u = λf(u) u = h(x) (3.1) donde es un dominio acotado con frontera suave,, en R n (n 2) o. Además f:]-, + [ R,una función Lipschitz continua que satisface (f-1) Existe s 0 > 0 tal que f(s) >0, para todo s ]0, s 0 [ (f-2) f(s) = 0 para s 0 o s s 0 y h acotada no negativa, no idénticamente nula, mín h < s 0. El problema (3.1) corresponde al modelo para llamas solares en ausencia de gravedad en el semiespacio R 2 +, propuesto por J. Heyvaerts, J.M. Lasry, M. Schatzman y P. Witomski Suponiendo la hipótesis adicional sobre f (f-3) f(s) as σ, a R, a > 0 y σ > 3 1 ver [10] u = λf(u) R+ 2 u(x, 0) = h(x) x R (3.2) 18

20 los autores prueban la existencia de al menos dos soluciones con diferentes comportamientos cuando y +. Una de ellas existe para cualquier valor positivo de λ y tiende a s 0. La otra tiende a 0 y existe si y solo si λ pertenece a un intervalo cercano a 0. Ellos prueban también que los posibles comportamientos cuando y + son 0 o s 0. Y conjeturan la existencia de una tercera solución cuando λ es cercano a cero. Teniendo en cuenta que (3.2) es equivalente a un problema homogéneo de la forma ω = λf(ω + τ) R+ 2 ω(x, 0) = 0 x R (3.3) donde ω = u τ, y τ es la única solución del problema de Poisson en el semiespacio, con valores al borde h. Es importante notar que, el posible comportamiento de las soluciones de (3.3) es el mismo de las soluciones de (3.2) cuando y +, esto es 0 o s 0. Como se menciona en [20], [21] y [22] el problema (3.2) (o el equivalente (3.3)) no solo es interesante en R 2 +, sino también en un dominio finito pero arbitrariamente grande, como por ejemplo en los semidiscos D R = {(x, y) R 2 + : x 2 + y 2 < R 2 } con R suficientemente grande. Motivados por esto los autores estudian el problema aproximado ω = λf(ω + τ) D R ω(x, 0) = 0 D R (3.4) Como (3.4) es equivalente a un problema de la forma de (3.1), asumiendo la hipótesis sobre f (f-3 ) f(s) as σ, a R, a > 0y 1 < σ < n+2 si n > 2 o σ > 1 si n=2 n 2 la cual es menos restrictiva que (f-3) Los autores estudian el problema ω = λf(ω + τ) donde ω = u τ, siendo τ solución de ω = 0 (3.5) τ = 0 τ = h(x) (3.6) y prueban mediante técnicas variacionales la existencia de un intervalo Λ R +, tal que para cada λ Λ existen al menos tres soluciones positivas de 19

21 (3.5), para τ L () suficientemente pequeña. Específicamente prueban Bajo las hipótesis anteriores sobre f. Para todo τ L () suficientemente pequeño, existe un intervalo ]λ, λ( τ L ())[, con λ > 0, tal que para todo λ ]λ, λ( τ L ())[ el problema (3.5) tiene al menos tres soluciones positivas. Más aún λ( τ L ()) + si Γ 0. Así el mejor resultado para llamas solares en ausencia de gravedad es Sean f, h definidas anteriormente y τ la solución única del problema de Poisson en el semiespacio R 2 +. Entonces para h suficientemente pequeña, que decrezca al infinito lo suficiente y R suficientemente grande, existe un intervalo ]λ (R), λ [ tal que λ ]λ (R), λ [ el problema (3.4) tiene al menos tres soluciones positivas Modelo para llamas solares con gravedad A continuación presentamos resultados obtenidos por F. Dobarro y E. Lami Dozo para el modelo de llamas solares en presencia de gravedad 2 propuesto por J.J. Aly y T. Amari u = λe βy f(u) R 2 + u(x, 0) = h(x) x R (3.7) donde β > 0, f :], + [ R tal que (f-1) Existe s 0 > 0 tal que f(s) > 0, para todo s ]0, s 0 [ (f-2) f(s) = 0 para s 0 o s s 0 (f-3) f(s) as σ, a R, a > 0 y 1 < σ 0 < σ (f-4)existe l > 0 tal que f(s 1 ) f(s 2 ) l s 1 s 2 para todo s 1, s 2 R y h acotada no negativa, no idénticamente nula, mín h < s 0 Los autores estudian la multiplicidad de soluciones de un problema de valores en la frontera del tipo u = λm(y)f(u) u(z, 0) = h(z) z R n 1 (3.8) donde (z, y) R n 1 R + con n 2, f, h bajo las restricciones anteriores y m:r + R + una función de clase C 1 (más general que e βy ) tal 2 ver [10] 20

22 que 0 < M = + 0 ym(y)dy < + (3.9) Por argumentos similares a los usados en [10], los autores estudian el problema relacionado ω + c(x)ω = λm(y)f(ω + τ) Dr ω = 0 Dr (3.10) donde D R es un semidisco de centro 0 y radio R, y τ solución de τ + c(x)τ = 0 τ(z, 0) = h(z) z R n 1 (3.11) bajo las mismas hipótesis de (3.7) y (f-3 ) f(s) as σ, a R, a > 0y 1 < σ < n+2 si n > 2 o σ > 1 si n=2 n 2 en lugar de (f-3). Los autores mediante técnicas variacionales prueban la existencia de un intervalo Λ R + tal que para cada λ Λ, (3.10) tiene al menos tres soluciones positivas si R es suficientemente grande. Por otro lado realizando una aproximación variacional con soluciones de (3.10), prueban la existencia de una solución de (3.8), y su unicidad para λ suficientemente pequeño. Específicamente prueban Sean f que verifica (f-1,2,3 ), m:r + R + una función de clase C 1 tal que m y m m 2 σ+1 verifique (3.9) y 3 k > 0 : (log. m) k y sea τ : R + una función de clase C 1, no idénticamente nula, entonces existe una constante positiva C = C(a, σ, k, supm, M) y λ t.q. si ( C τ L σ+1 m (R+ n ) < λ ) 1 σ 1 (3.12) entonces λ : λ < λ < λ C τ 1 σ L σ+1 m ( ) y existe R 0 = R 0 (λ) t.q. para todo R R 0, (3.10) tiene al menos tres soluciones positivas. 3 aquí representa la derivada usual en R. 21

23 y también Sean f, m, τ definidos anteriormente y λ R +. Además m decreciente, (R n ) n una sucesión en R + tal que R n + y (u n ) n una sucesión de soluciones positivas de (3.10) acotadas en D 1,2 (R+), n i.e. existe Γ > 0 tal que para todo n u n L 2 (D Rn ) < Γ, con R n en lugar de R, tal que para cada n, u n H0(D 1 Rn ). Entonces existe una subsucesión (notada también (u n ) n ) y una función u D 1,2 (R+) n tal que u n u débilmente en D 1,2 (R+) n y u es una solución clásica de (3.8). 22

24 Capítulo 4 Resultados Obtenidos 4.1. Modificación del modelo de llamas solares sin gravedad Introducción Estudiamos la multiplicidad de soluciones de un problema de valores en la frontera del tipo u + c(x)u = λf(u) u = h(x) (4.1) donde es un dominio acotado con frontera suave,, en R n (n 2) o R+. n Además f :], + [ R, satisface (f-1) Existe s 0 > 0 tal que f(s) >0, para todo s ]0, s 0 [ (f-2) f(s) = 0 para s 0 o s s 0 (f-3) f(s) as σ, a R, a > 0 y 1 < σ < n+2 si n > 2 o σ > 1 si n=2 n 2 (f-4) Existe l > 0 tal que f(s 1 ) f(s 2 ) l s 1 s 2 para todo s 1, s 2 R y h acotada no negativa, no idénticamente nula, mín h < s 0 y c 0, c L () C(). Teniendo en cuenta que (4.1) es equivalente a un problema homogéneo de la forma ω + c(x)ω = λf(ω + τ) donde ω = u τ, siendo τ solución de ω = 0 (4.2) τ + c(x)τ = 0 τ = h(x) (4.3) 23

25 Nosotros en la sección probamos mediante técnicas variacionales la existencia de un intervalo Λ R +, tal que para cada λ Λ existen al menos tres soluciones positivas de (4.2), para τ L σ+1 () suficientemente pequeña. Este resultado mejora el obtenido por M. Calahorrano y F. Dobarro en [10]. En la sección estudiamos el problema (4.2) con ínf c(x) > 0 y arbitrariamente grande, esto es, para x 0, tomamos la bola de centro x 0 y radio R contenida en, con R suficientemente grande. En este caso logramos eliminar las restricciones sobre τ, y obtener el mismo resultado de la sección 2. El problema (4.1) es una modificación de un modelo para llamas solares en ausencia de gravedad en el semiespacio R 2 +: u = λf(u) R+ 2 u(x, 0) = h(x) x R (4.4) para una descripción detallada del problema ver [10], [20], [21] y [22]. Motivados por esto, en la sección estudiamos ω + c(x)ω = λf(ω + τ) ω(x, 0) = 0 x R n 1 (4.5) y probamos la existencia de una solución de (4.5). La técnica utilizada es la de aproximar soluciones de (4.5) mediante soluciones de ω + c(x)ω = λf(ω + τ) Dr ω = 0 Dr (4.6) donde n D R = {(x 1,.., x n ) R+ n : x 2 i < R 2 } i= Técnica variacional Siguiendo los lineamentos de la sección anterior, notamos τ la solución de τ + c(x)τ = 0 τ = h(x) (4.7) luego el problema (4.1) es equivalente a ω + c(x)ω = λf(ω + τ) ω = 0 (4.8) 24

26 donde ω = u τ, y f, c, h definidas en la sección anterior. El problema (4.8), será estudiado en lugar de (4.1). Como f es positiva, el Principio del Máximo asegura que ínf ω ínf ω además ω = 0 es solución de (4.8) si y solo si λ = 0, puesto que min h < s 0. Luego toda solución de (4.8) es estrictamente positiva. Por otro lado en (4.7) τ alcanza su máximo y su mínimo sobre la frontera,i.e. ínf τ τ(x) sup τ Trabajamos en el espacio H0(), 1 con u 2 = u 2 dx y definimos, para todo τ no negativo t.q. τ L σ+1 () Γ <, el C 1 funcional Φ λ,τ : H0() 1 R como Φ λ,τ (u) = 1 { u 2 + c(x)u 2 } λ F (u + τ) 2 donde, F (s) = s 0 f(t)dt. Al realizar la formulación variacional de (4.8) se obtiene ω v + c(x)ωv = λ f(ω + τ)v v C 0 () luego es claro que si u es un punto crítico de Φ λ,τ (i.e. u H0() 1 t.q. Φ λ,τ(u) = 0, donde Φ λ,τ es el gradiente de Φ λ,τ ) entonces u es una solución débil de (4.8) y por regularidad una solución fuerte. Como f es acotado se prueba con facilidad que Φ λ,τ es coercivo, además Φ λ,τ verifica Palais-Smale para todo λ no negativo 1. Además Φ λ,τ alcanza su ínfimo global en una función u λ,τ para todo λ no negativo. Teorema 1 Bajo las hipótesis anteriores sobre f. Para todo Γ > 0 suficientemente pequeño, existe un intervalo ]λ, λ(γ)[, con λ > 0, tal que para todo λ ]λ, λ(γ)[ el problema (4.8) tiene al menos tres soluciones positivas. Más aún λ(γ) + si Γ 0. Para la demostración del Teorema 1 se siguen argumentos similares a los usados en [10], por lo cual son necesarios los siguientes lemas Lema 1 Existe ω 0 0, ω 0 no idénticamente nula, y λ > 0 tal que para todo λ > λ, y para todo τ 0, Φ λ,τ (ω 0 ) < 0 1 Se utilizan técnicas similares al caso c=0,ver [34] 25

27 Demostración.- Notemos B R (x 0 ) la bola de centro x 0 y radio R. Sea x 0 y R > 0 tal que B R (x 0 ). Luego para todo 0 < δ < R, B ρ (x 0 ) B R (x 0 ), donde ρ = R δ. Definimos s 0 si x x 0 ρ s ω δ,r (x) = 0 δ (R x x 0 ) si ρ x x 0 R 0 si x x 0 R aplicando las desigualdades de Hölder y Poincaré Φ λ,τ (ω δ,r ) = 1 2 ω δ,r c(x)(ω δ,r ) 2 dx λ F (ω δ,r + τ)dx ω δ,r 2 + c L (ω δ,r ) 2 dx λ F (s 0 + τ)dx 2 B R (x 0 ) B ρ(x 0 ) 1 2 ω δ,r 2 + c ( ) 1 L BR (x 0 ) n ω δ,r 2 λf (s 0 ) dx 2 ω n B ρ(x 0 ) = s2 0(1 + c L R) dx λf (s 2δ 2 0 ) dx B R (x 0 ) B ρ(x 0 ) B ρ(x 0 ) = s2 0(1 + c L R)(R n (R δ) n )ω n 2δ 2 donde ω n representa el volumen de la bola unitaria en R n. Luego si fijamos Si δ = tr, 0 < t < 1, se obtiene entonces Sea λ(δ) s2 0(1 + c L R)(R n (R δ) n ) 2F (s 0 )δ 2 (R δ) n λ(δ) = s2 0(1 + c L R) 2F (s 0 )R 2 ( 1 (1 t) n t 2 (1 t) n λf (s 0 )(R δ) n ω n Φ λ,τ (ω δ,r ) < 0 λ > λ(δ) > 0 y τ 0 ψ(t) 1 (1 t)n t 2 (1 t) n y t 1 tal que ψ(t 1 ) = mín ]0,1[ ψ(t). Sea δ 1 = t 1 R, ω o = ω δ1,r y λ = λ(δ 1 ), entonces se tiene ). Φ λ,τ (ω 0 ) < 0 λ > λ > 0 y τ 0 26

28 por otro lado ω 0 = s 0 ( ω n ) 1 2 R n 2 2 ( 1 (1 t1 ) n t 2 1 ) 1 2 Φ λ,τ (ω 0 ) si R + Lema 2 Existe una constante K=K(a, σ, ) tal que para todo λ < λ(γ) y u = Γ, Φ λ,τ (u) > 0 donde λ KΓ 1 σ Demostración.- Por (f-3) F (u + τ)dx = u+τ 0 f(t)dtdx luego utlizando desigualdades de Sobolev y Poincaré a(u + τ) σ+1 dx σ + 1 Φ λ,τ (u) = 1 2 u c(x)u 2 dx λ F (u + τ)dx 2 1 a(u + τ) σ+1 2 u 2 λ dx σ ( ) a 2 u 2 λ ( u L σ + 1 σ+1 () + τ L σ+1 ()) σ+1 1 ( ) a 2 u 2 λ (C() u + Γ) σ+1 σ + 1 donde C() es una constante que depende de. Si elegimos u = Γ, se tiene ( ( ) 1 a Φ λ,τ (u) Γ )Γ 2 2 λ σ 1 (C() + 1) σ+1 σ + 1 Fijamos σ + 1 K = 2a(C() + 1) σ+1 entonces para todo λ < λ(γ) KΓ 1 σ, se tiene Φ λ,τ (u) > 0. Observación i. De la definición de λ(γ) se concluye que si Γ 0 entonces λ + ii. Como τ 0,no idénticamente nula y mín τ < s 0, Φ λ,τ (0) y Φ λ,τ(0)(v) son negativos para todo λ > 0 y para todo v 0, v no idénticamente nula. 27

29 Lema 3 Para todo 0 < λ < λ(γ) existe u H 1 0() con u < Γ tal que Φ λ,τ (u) < 0 y Φ λ,τ(u) = 0 Demostración.- Del lema (2) conocemos que Φ λ,τ (u) > 0, para todo 0 < λ < λ(γ) y u = Γ; además Φ λ,τ (0) < 0 y Φ λ,τ(0)(v) 0. Considerando la solución de la ecuación dα dt = W (α(t)) α(0) = 0 donde W = V, V campo vectorial pseudo-gradiente para Φ λ,τ en el conjunto de los puntos regulares de Φ λ,τ, con 0 < λ < λ. Puesto que Φ λ,τ verifica Palais-Smale y es acotado por abajo, por el teorema 5.4 de [28] se tiene 1. α : [0, + [ H 1 0(), continua 2. Φ λ,τ (α(t)) estrictamente decreciente 3. α(t) u cuando t +, Φ λ,τ (u) = 0 por lo cual u verifica las condiciones requeridas. Prueba del Teorema 1.- Sean ω 0 y λ los definidos en el lema 1, por el lema 2 para Γ < ω 0, existe λ(γ) > 0 tal que, Φ λ,τ (u) > 0 para todo λ < λ y u = Γ. Como λ es independiente de Γ, por la Observación λ < λ(γ) para Γ suficientemente pequeño. Ahora para λ < λ < λ(γ) los lemas 1 y 2 se verifican. Consideremos la solución de la ecuación dβ = W (β(t)) dt β(0) = ω 0 y por argumentos similares a los del lema 3, existe û H0, 1 con û > Γ tal que, Φ λ,τ(û) = 0. Definimos c ínf Φ λ,τ (u) donde sup δ Θ u δ Θ = {γ C([0, 1], H 1 0()) : γ(0) = 0, γ(1) = ω 0 } aplicando el teorema del paso de montaña de Ambrosetti-Rabinowitz, ver [3], c se alcanza en una función ũ H 1 0(). Finalmente por el lema 3 se concluye la demostración. 28

30 Observación i. Si definimos µ R como se prueba que 1 µ mín 0 t Γ 2 t2 λ a (C()t + Γ)σ+1 σ + 1 Φ λ,τ (û) < µ Φ λ,τ (u) < 0 < Φ λ,τ (ũ) ii. Notemos que Γ pequeño no influye en τ L () = sup h, la cual es relevante en [10], [20], [21] y [22] arbitrariamente grande Ahora estudiaremos el problema (4.8) con ínf c(x) > 0 y arbitrariamente grande, esto es, para x 0, la bola de centro x 0 y radio R este contenida en, con R suficientemente grande. Sea W 1,2 0 () el espacio usual de Sobolev, con u 2 W 1,2 0 () = u2 + u 2 dx y Γ τ L 2 (). Si ínf c(x) > 0, entonces u 2 W 1,2 0 () 1 m donde m mín{ínf c(x), 1}. c(x)u 2 + u 2 dx (4.9) Siguiendo el mismo esquema de la sección anterior probaremos la existencia de intervalos Λ R +, tal que para todo λ Λ y todo Γ (4.8) tiene al menos tres soluciones positivas. A continuación se enuncia el teorema principal Teorema 2 Bajo las hipótesis. Para R suficientemente grande y para todo Γ > 0 existe un intervalo ]λ(r), λ(r)[, con λ(r) > 0, tal que para todo λ ]λ, λ[ el problema (4.8) tiene al menos tres soluciones positivas. Para demostrar el teorema 2 es necesario redefinir convenientemente λ y λ. Por ello, si definimos s 0 δ 1 4 si x x 0 ρ s ω δ,r (x) = 0 (R x x δ ) si ρ x x 0 R 0 si x x 0 R 29

31 donde δ 1. Entonces aplicando las desigualdades de Hölder y Poincaré Φ λ,τ (ω δ,r ) = 1 2 ω δ,r 2 L 2 () + 1 c(x)(ω δ,r ) 2 dx λ F (ω δ,r + τ)dx ω δ,r 2 L 2 () + 1 c(x)(ω δ,r ) 2 dx λ F (s 0 δ τ)dx 2 B R (x 0 ) B ρ(x 0 ) 1 2 ω δ,r 2 L 2 () + c L R ω δ,r 2 L 2 2 () λf (s 0 δ 1 4 ) dx B ρ(x 0 ) = s2 0(1 + c L R) dx λf (s 2δ 3 0 ) dx 2 B R (x 0 ) B ρ(x 0 ) B ρ(x 0 ) = s2 0(1 + c L R)(R n (R δ) n )ω n 2δ 3 2 donde ω n representa el volumen de la bola unitaria en R n. Luego si fijamos Si δ = tr, 0 < t < 1, se obtiene entonces Sea λ(δ) s2 0(1 + c L R)(R n (R δ) n ) 2F (s 0 )δ 3 2 (R δ) n λ(δ) = s2 0(1 + c L R) 2F (s 0 )R 3 2 ( 1 (1 t) n t 3 2 (1 t) n λf (s 0 )(R δ) n ω n Φ λ,τ (ω δ,r ) < 0 λ > λ(δ) > 0 y τ 0 ψ(t) 1 (1 t)n t 3 2 (1 t) n y t 1 tal que ψ(t 1 ) = mín ]0,1[ ψ(t). Sea δ 1 = t 1 R, ω o = ω δ1,r y λ = λ(δ 1 ), entonces se tiene y también ). Φ λ,τ (ω 0 ) < 0 λ > λ > 0 y τ 0 ω 0 L 2 () = s 0 ( ω n ) 1 2 R 2n 3 4 gracias a la modificación realizada, para n 2 ( 1 (1 t) n ω 0 L 2 () si R 30 t 3 2 ) 1 2

32 Como 2F (s) 0 lím s 0 + s 2 f(s) lím s 0 s por (f-3) y puesto que F es acotada, definimos = 0 b 2 sup F (s) < + (4.10) s>0 s 2 Lema 4 Para todo λ < λ y u W 1,2 0 () = Γ, Φ λ,τ(u) > 0. Proof.- Por (4.9) and (4.10) Φ λ,τ (u) = 1 2 Luego, si definimos u 2 + c(x)u 2 dx λ F (u + τ)dx m 2 u 2 W 1,2 0 () λb (u + τ) 2 2 m 2 u 2 W 1,2 0 () λb 2 ( u L 2 () + τ L 2 () )2 > m 2 u 2 W 1,2 0 () λb 2 ( u W 1,2 0 () + τ L 2 () )2 λ m 4b entonces para todo λ < λ, Φ λ,τ (u) > 0. Observación De la definición de λ, λ se sigue que para R suficientemente grande, λ < λ. Prueba del Teorema 2.- Sean ω 0 y λ(r) definidos antes, por el lema 4 existe λ > 0 tal que, Φ λ,τ (u) > 0 para todo λ < λ y u W 1,2 0 () = Γ. De la Observación para R suficientemente grande λ < λ y ω 0 > Γ. Finalmente realizando un desarrollo análogo a la demostración del teorema 1, la demostración concluye. 31

33 El problema en Sean W 1,2 0 (R+) n y V 1,2 c,0 (R+) n las completaciones de C0 (R+) n en ( (.) 2 2) 1 2 y ( c (.) 2 2) 1 2 respectivamente, donde. 2 es la norma usual de L 2 para el dominio respectivo. Si ínf c(x) > 0, entonces por (4.9), W 1,2 0 (R+) n V 1,2 c,0 (R+). n Definimos para todo λ 0 y para toda funcion no negativa τ tal que τ L σ+1 (R+ n ) <, el funcional Φ λ,τ, : W 1,2 0 (R+) n R Φ λ,τ, (u) = 1 u 2 + c(x)u 2 dx λ F (u + τ)dx 2 donde F (s) = t 0 f(t)dt. Φ λ,τ, está bien definido; además is u W 1,2 0 (R+), n por (f-3) e inmersión de Sobolev, se tiene que a 0 F (u + τ) (u + τ) σ+1 R+ n σ + 1 R+ n a σ + 1 ( u L σ+1 (R+ n ) + τ L σ+1 (R+ n ) ) σ+1 a σ + 1 (C s u W 1,2 0 (R+ n ) + τ L σ+1 (R+ n ) ) σ+1 donde C s es la constante usual de inmersión de Sobolev. Luego por (4.9) Φ λ,τ, (u) m 2 u W 1,2 0 (R+ n ) λ a σ + 1 (C s u W 1,2 0 (R+ n )+ τ L σ+1 (R+ n ) ) σ+1 (4.11) Es fácil probar que Φ λ,τ, is a C 1 funcional, luego si u W 1,2 0 () es un punto crítico de Φ λ,τ, entonces u es una solución débil y por regularidad una solución clásica de (4.5). Proposición i. Sea m definido como antes, entonces para todo λ < m, b Φ λ,τ, es coercivo y acotado por abajo. ínf c(x) ii.para todo λ < (4.5) tiene a lo más una solución en W 1,2 l 0 (R+). n Demostración.- i. Por (4.9) y (4.10) Φ λ,τ, (u) m 2 u 2 W 1,2 0 (R+ n ) λb (u + τ) 2 2 R+ n > m 2 u 2 W 1,2 0 (R+ n ) λb 2 ( u W 1,2 0 (R+ n ) + τ L 2 (R+ n ))2 ( ) m λb = u 2 2 λb u W 1,2 0 (R+ n ) W 1,2 0 (R+ n ) τ L 2 (R+ n ) λb 2 τ 2 L 2 (R+ n ) 32

34 luego, si λ < m b se verifica i. ii. La unicidad se prueba como en [1]. Si u 1 y u 2 son dos soluciones de (4.5) entonces ínf c(x) (u 1 u 2 ) 2 dx (u 1 u 2 ) 2 +c(x)(u 1 u 2 ) 2 dx λl (u 1 u 2 ) 2 dx R+ n R+ n R+ n Consideremos ahora el problema (4.6) y definamos Φ λ,τ,r : W 1,2 0 (D R ) R de manera análoga a Φ λ,τ,. Se verifica fácilmente que si R R, entonces W 1,2 0 (D R ) W 1,2 0 (D R ) W 1,2 0 () además para todo u W 1,2 0 (D R ), Φ λ,τ, (u) Φ λ,τ,r (u) Φ λ,τ,r (u), más precisamente Φ λ,τ,r (u) = Φ λ,τ,r (u) λ F (τ)dx D D R R (4.12) Observación Existe una constante positiva C = C(a, σ, Cs, m) tal que para todo λ < λ( τ L σ+1 (R+ n ) ) y para todo u: u W 1,2 0 (R+ n ) = τ L σ+1 (R+ n ), Φ λ,τ, (u) > 0, donde λ( τ L σ+1 (R+ n ) ) C τ 1 σ L σ+1 (R+ n ). Es suficiente aplicar (4.11) tomando además por (4.12) C (σ + 1)m [Cs + 1] σ 1 2a Φ λ,τ,r (u) > 0 u W 1,2 0 (D R ) u W 1,2 0 (D R ) = τ L σ+1 ( ) entonces por argumentos similares a los usados en el lema 3 Para todo λ < λ existe u R W 1,2 0 (D R ) con u R W 1,2 0 (D R ) < τ L σ+1 ( ) tal que Φ λ,τ,r (u R ) < 0 y Φ λ,τ,r(u R ) = 0. Es posible aproximar soluciones de (4.5) con soluciones de (4.6), para R suficientemente grande. Una condición suficiente se prueba a continuación. 33

35 Lema 5 Sean f, τ definidos anteriormente y λ R +. Además (R n ) n una sucesión en R + tal que R n + y (u n ) n una sucesión de soluciones positivas de (4.6) acotadas en W 1,2 0 (R+), n i.e. existe Γ > 0 tal que para todo n u n W 1,2 0 (D Rn ) < Γ, con R n en lugar de R, tal que para cada n, u n W 1,2 0 (D Rn ). Entonces existe una subsucesión (notada también (u n ) n ) y una función u W 1,2 0 (R+) n tal que u n u débilmente en W 1,2 0 (R+) n y u es una solución clásica de (4.5). Demostración.- Por las desigualdades de Calderón-Zygmund 2 para todo n, u n W 1,2 0 (D Rn ) H 2,p (D Rn ) y R > 0 fijo para cualquier D R u n H 2,p ( ) C( u n L p (D R ) + λf(u n + τ) L p (D R )) para todo n tal que R n > R. La constante C depende de D R, n, p y. Como (u n ) es acotada en W 1,2 0 (R+), n aplicando desigualdades Sobolev y Poincaré se tiene u n H 2,p ( ) C(C 1Γ + λ(sup f) D R 1 p ) para p tal que 1 < p < 2n n 2 si n 3 1 < p si n=2 y para todo n tal que R n > R. Por esto y los teoremas de inmersión de Sobolev en, existe una subsucesión ( (u n )) n tal que si n=2,3 u n u en C 1,α ( ) y si n 4 y 1 < p < min es fijo, u n u en L q ( ), n, 2n 2 n 2 1 q < np. n 2p Puesto que es un conjunto arbitrario tal que D Rn y R n +, se tiene que las convergencias anteriores son en C 1,α loc (Rn +) y L q loc (Rn +) respectivamente. En particular u n u en L 1 loc() (4.13) por otro lado, como (u n ) n es acotada en W 1,2 0 (), y reflexividad u n u debilmente en W 1,2 0 () (4.14) luego donde u n u debilmente en L p () (4.15) 2 p < 2n n 2 if n 3 2 p if n=2 2 ver [17] teoremas 9.9 y

36 Por (4.14), si probamos que para todo v C0 (R+) n f(u n + τ)vdx f(u + τ)vdx el lema queda demostrado. Para ello, sea v C0 (R+) n y consideremos la función f(u + τ) w = v u + τ Se verifica fácilmente que w L p (), donde 1 p + 1 p por (f-4) f(u n + τ)vdx = [ f(u n + τ) (u n + τ) + = 1. Ahora [ ] f(u + τ) f(u n + τ) (u n + τ) vdx + u + τ (u n + τ)wdx (4.16) ] f(u + τ) u + τ vdx 2l sop(v) u u n v dx (4.17) por (4.13),(4.15) y (4.17); (4.16) tiende a R f(u + τ)v si n + n Teorema 3 Sean Γ, λ definidas en la observación 4.1.4; y f, τ como en la sección anterior. Entonces para todo λ, 0 < λ < λ los mínimos locales u R de Φ λ,τ,r obtenidos en la observación 4.1.4, aproximan al mínimo local de Φ λ,τ, en B Γ, la bola de centro 0 y radio Γ en W 1,2 0 (R+). n Además ν ínf BΓ Φ λ,τ,, es mínimo global y el único punto crítico de Φ λ,τ,, si λ suficientemente pequeño (i.e. 0 < λ < ínf c(x) l ). Demostración.- Por el lema 5, solo necesitamos probar que Φ λ,τ,r (u R ) ν si R Para ello consideremos (u R ) R en C0 (R+) n tal que u R W 1,2 0 (D R ) y Φ λ,τ, (u R ) ν si R. Luego ν Φ λ,τ,r (u R ) Φ λ,τ,r (u R ) = Φ λ,τ, (u R ) λ F (τ)dx por (4.10) λ R+ n D F (τ)dx 0 si R. Por lo tanto R ν R ν si R D R Finalmente la unicidad se conluye directamente de la proposición (4.1.1). 35

37 4.2. Modificación del modelo de llamas solares con gravedad Introducción Estudiamos la multiplicidad de soluciones de un problema de valores en la frontera del tipo u + c(x)u = λm(y)f(u) u(z, 0) = h(z) z R n 1 (4.18) donde (n 2), y f :], + [ R es una función tal que (f-1) Existe s 0 > 0 tal que f(s) > 0, para todo s ]0, s 0 [ (f-2) f(s) = 0 para s 0 o s s 0 (f-3) f(s) as σ, a R, a > 0 y 1 < σ < n+2 si n > 2 o σ > 1 si n=2 n 2 (f-4) Existe l > 0 tal que f(s 1 ) f(s 2 ) l s 1 s 2 para todo s 1, s 2 R además, h acotada no negativa, no idénticamente nula, mín h < s 0 y c 0, c L () C() y m : R + R + es una función de clase C 1 tal que + ym(y)dy < + 0 El problema (4.16) es una modificación del modelo para llamas solares con gravedad en el semiespacio R 2 +, u = λe βy f(u) R 2 + u(x, 0) = h(x) x R (4.19) bajo las mismas hipótesis de sobre f, h y β > 0. Para una descripción detallada del problema ver [1], [16], [20], [21] y [22]. Teniendo en cuenta que (4.16) es equivalente a un problema homogéneo del tipo ω + c(x)ω = λm(y)f(ω + τ) ω(z, 0) = 0 z R n 1 (4.20) donde ω = u τ, siendo τ solución de τ + c(x)τ = 0 τ(z, 0) = h(z) z R n 1 (4.21) en la sección estudiaremos el problema relacionado ω + c(x)ω = λm(y)f(ω + τ) D R ω = 0 D R (4.22) 36

38 donde D R es un semidisco de centro 0 y radio R. Y probaremos mediante técnicas variacionales la existencia de un intervalo Λ R + tal que para cada λ Λ ; (4.20) tiene al menos tres soluciones positivas si R es suficientemente grande. Finalmente en la sección 3 realizando una aproximación variacional con soluciones de (4.20) probamos la existencia de una solución de (4.18) y su unicidad para λ suficientemente pequeño El problema en D R Fijamos como D R o, donde D R = {(x, y) R n 1 R : x 2 + y 2 < R 2, y > 0} y notamos L p m() al espacio usual L p () con peso m, 1 p < y por Vm 1,2 (), V 1,2 c,0 () a las completaciones de C0 () con la norma u 2 = u Vm 1,2 () 2 (x, y)m(y)dxdy + u 2 dxdy y la norma u 2 = u V 1,2 c,0 2 (x)c(x)dx + u 2 dx () respectivamente. Sea m : R + R + tal que 0 < M + 0 ym(y)dy < + (4.23) se puede probar 3 que para toda función u C0 () se tiene u 2 (x, y)m(y)dxdy M u 2 dxdy (4.24) Luego Vm 1,2 (D R ) H0(D 1 R ) V 1,2 c,0 (D R ) and Vm 1,2 (R+) n D 1,2 (R+) n donde H0(D 1 R ) es el espacio usual de Sobolev con la norma (.) L 2 (D R ) y D 1,2 (R+) n es la completación de C0 (R+) n con la norma (.) L 2 (R+ n ). Por otro lado, si R R, entonces V 1,2 c,0 (D R ) V 1,2 c,0 (D R ) V 1,2 c,0 () D 1,2 () (4.25) Existen muchos resultados de inmersión de espacios de Sobolev pesados in espacios de Lebesgue pesados. Un resultado situable en nuestro problema es 3 ver [16] 37

39 citado a continuación. Sea m : R + R + una función acotada, tal que existe k > 0 (logm) k (4.26) entonces la aplicación identidad es una inmersión de Vm 1,2 () en L p () 4 m p 2 para 1 < p < 2n si n 3 n 2 1 < p si n=2 mas precisamente, existe una constante K = K(k, supm) tal que u L p p m 2 () C s K u V 1,2 m () (4.27) donde C s es la constante usual de inmersión de Sobolev. Con el objeto de estudiar (4.20) mediante técnicas variacionales, definimos para todo λ 0 y para toda función τ no negativa t.q τ L σ+1 < + el m funcional Ψ λ,τ : V 1,2 c,0 (R+) n R Ψ λ,τ (u) = 1 2 { u 2 + c(x)u 2 } λ mf (u + τ) (4.28) R+ n donde F (t) = t 0 f(s)ds, m C1 (R + ) y m m 2 σ+1 satisface (4.23) y (4.26). Ψ λ,τ es un funcional de clase C 1, luego si u V 1,2 c,0 () es un punto crítico de Ψ λ,τ entonces u es una solución débil y por regularidad una solución clásica de (4.20). Observación i. Si consideramos Ψ λ,τ,r : V 1,2 c,0 (D R ) R, Ψ λ,τ,r (u) = 1 { u 2 + c(x)u 2 } λ mf (u + τ) 2 D R D R entonces sus puntos críticos son soluciones débiles y por regularidad soluciones clásicas de (4.22). Además si R R +, entonces para todo u V 1,2 c,0 (D R ) Ψ λ,τ,r (u) Ψ λ,τ,r (u) Ψ λ,0,r (u) mas precisamente Ψ λ,τ,r (u) = Ψ λ,τ,r (u) λ mf (τ) Ψ λ,τ,r (u) D D R R 4 m p 2 representa la función m elevada al exponente p 2. 38

40 Aquí D R con R = + representará el semiespacio. ii. Como f es acotada, se tiene que Ψ λ,τ,r es coercivo, acotado por abajo y verifica Palais-Smale para todo λ no negativo. Lema 6 Para cada R > 0, notamos θ R : R n R n la aplicación ( ) z θ R (z, y) R, y y Θ R, a la aplicación tal que η η R ηoθ R. Entonces i. r > 0, Θ R (V 1,2 c,0 (D r )) V 1,2 c,0 (θr 1 D r ) y si R 1, V 1,2 c,0 (θr 1 D r ) V 1,2 c,0 (D Rr ). ii. Si η C0 (R+), n no idénticamente nula, entonces η R L 2 ( ) + si R + (4.29) iii. Sea f como antes, y m tal que verifique (4.23). Entonces existe 0 < λ < t.q. si λ < λ, η C 0 (), η 0, no idénticamente nula y λ Q(η) 1 2 R+ n { η 2 + c L η 2 } R m(y)f (η) < λ (4.30) n+ existe r n > 0 tal que η R H0(D 1 R ), R, R: R función no negativa τ. a. Ψ λ,τ,r (η R ) < 0, R, R: R Rr n r n b. Ψ λ,τ,rrn (η R ) si R + Rr n r n y para toda Demostración.- i. Se sigue directamente de la definición de Θ R. ii. Observemos que η R 2 (z, y) = 1 R 2 η 2 θ R + (1 1 ) R 2 y η 2 θ R (z,y) luego, [ 1 η R 2 L 2 (R+ n ) = R n 1 R 2 η 2 + (1 1 ) R 2 y η 2 ] (4.31) como yη 2 > 0 se sigue (4.29). iii. Definimos λ inf{q(η) : η C0 (R+), n η 0, η 0} (4.32) b 2 sup F (s) < + (4.33) s>0 s 2 39

41 luego por (4.24) y como c(x) 0 m(y)f (η) bm 2 η 2 + c L ()η 2 entonces 0 < 1 bm λ < Sea λ > Q(η), puesto que η C0 (R+), n existe r n > 0 t.q. soporte η D Rrn, para todo R 1. Luego por i. y (4.25) η R V 1,2 c,0 (θr 1 D rn ) V 1,2 c,0 (D Rrn ) V 1,2 c,0 (D R ) para todo R Rr n r n, por simplicidad notaremos en lo que sigue Rr n R n. Luego por la observación Ψ λ,τ,r (η R ) Ψ λ,τ,rn (η R ) Ψ λ,0,rn (η R ) (4.34) Si definimos la función ξ : R + R ξ(r) 1 R η R 2 n 1 L 2 (R+ n ) = 1 η 2 + (1 1 ) R 2 R+ n R 2 [ R = zη 2 ] + n R 2 R yη + 1 R + n 2 y η 2 + n así aplicando ξ(r) ξ(1) a (4.31) η R 2 = D Rn η R 2 R n 1 η 2 y η 2 además y luego c(x)ηr 2 = D Rn m(y)f (η R ) = D Rn Ψ λ,0,rn R n 1 [ 1 2 c(x)η 2 R R n 1 c L m(y)f (η R ) = R n 1 η 2 m(y)f (η) ] η 2 + c L η 2 λ m(y)f (η) R+ n entonces Ψ λ,0,rn Rn 1 2 y por tanto de (4.34) y (4.35) se sigue a y b. ( η 2 + c L η 2 1 λ ) Q(η) (4.35) 40

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