RECOPILACIÓN DE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE OMÑ PRIMER NIVEL INSTANCIAS: INTERCOLEGIAL ZONAL REGIONAL PROVINCIAL - NACIONAL

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1 RECOPILACIÓN DE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE OMÑ PRIMER NIVEL INSTANCIAS: INTERCOLEGIAL ZONAL REGIONAL PROVINCIAL - NACIONAL ARIADNA ARFINI OSCAR FABIÁN OVANDO 1

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4 1. Ana, Ceci y Gabi son amigas. El sábado fueron a comprar los pasajes del tren para ir de vacaciones. Ana no llevaba dinero, entonces, entre Ceci y Gabi, pagaron los tres pasajes. Ceci puso $34 y Gabi $38. Cuánto debe devolverle Ana a Ceci? Cuánto debe devolverle a Gabi? SOLUCI ÓN 3 pasajes C + G = $34 + $38 = $72 Cada pasaje cuesta $ 72 = $24 3 Si C pagó $34 A debe $34 - $24 = $10 Si G pagó $38 A debe $34 - $24 = $14 A debe $10 + $14 = $24 2. ABDE es un rectángulo. BCD es un triángulo equilátero. El perímetro del polígono ABCDE es de 456 m. Si BC=68 m. Cuál es la longitud de AB? BCD equilátero per (ABCDE) = 456m BC = 68m AB? AB = ED AE = BD = BC = CD AB + BC + CD + DE + EA = 456m 4

5 2AB m = 456m = AB = 1 (456m m) = 126m 2 AB = 126m 3. Elsa gastó $24 en lácteos; llevo quesos, helados y flanes. Cada queso cuesta $4, cada helado cuesta $2 y cada flan cuesta $1. Cuántos artículos de cada clase pudo haber comprado? Da todas las respuestas posibles. gastó $24 1q $4 1h $2 1f $1 q h f - q h f - q h f - q h f Diego colecciona estampillas que pone en álbumes. Cada álbum tiene 32 páginas. En cada página pega igual número de estampillas. Tiene 3 álbumes completos y otro con s lo 5 páginas llenas. En el álbum incompleto tiene 60 estampillas. Cuantas estampillas tiene en total? 5

6 1a 32 pág. 3a completos + 5 p (*) 5p 60e 1p 1. 60e 1p 12e 5 Volviendo a (*) 3a completos + 5 p = 3. 32p + 5p = 101p 1p 12e 101p e = 1212e Total 1212e 5. El rectángulo ABCD tiene 48cm de perímetro y está formado por 3 cuadrados iguales. CE = EF = FD EM = 2CE Cuál es el perímetro de la figura rayada? per (ABCD) = 48cm BC = 3AB AD = 3AB AB = CD per (ABCD) = AB + BC + CD + AD = AB + 3AB + 3AB + AB = 8AB 6

7 8AB = 48cm = AB = 6cm per (QCDP) = 4. 6cm = 24cm CE = EF = FD = 2cm EM = FN = 2CE = 2. 2cm = 4cm per (MEFN) = 4cm + 2cm + 4cm = 10cm per (rayado) = 22cm + 10cm = 32cm 6. Con las cifras 5, 4, 3, 2 y 1, se quieren formar números de cinco cifras distintas. Si el 3 debe ocupar el lugar de las centenas o el de las decenas, cuántos números distintos se pueden armar? cifras posibilidades ab3cd posibilidades abc3d En total hay 24 posibilidades. 7

8 7. Cada cuadradito tiene 8 cm de perímetro. Con 6 cuadraditos iguales se forma esta figura. Cuál es el perímetro de la figura? Al cuadrado individual lo llamamos ABCD comenzando por el vértice izquierdo superior y continuando en sentido horario. A la figura la llamamos MPQQRSTUVWXYZ contando desde el vértice izquierdo inferior de cuadrado de la izquierda y en sentido horario. per ( ) = 8cm per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = 4AB = 8cm = AB = 2cm PS = SV = 3AB VW = WX = XY = YZ = ZM = MP = AB per (figura) = 3AB + 3AB + AB + AB + AB + AB + AB +AB = 12AB 12AB = 12. 2cm = 24cm per (figura) = 24cm 8. Blas tenía 18 figuritas el sábado pasado. El domingo y el lunes compró 10 figuritas cada día. El martes y el miércoles compró el doble de figuritas que el martes. Hoy, que es jueves y no compró figuritas, tiene en total 74 figuritas. Cuantas figuritas compró Blas el martes? sábado tenía 18 fig 8

9 domingo compró 10 fig lunes compró 10 fig jueves tiene 74 fig Entra martes y miércoles compró 74 fig 38 fig = 36 fig martes + miércoles = 2. martes = martes = miércoles martes = 36 2 fig = 18 fig. 9. Con vértices en los puntos que se dan, cuántos cuadriláteros se pueden dibujar? Enumérelos. ADEF BCFG AFGD EBCF ABEF BDFG AFGC EBCG ACEG BFDG EBDG EBDF Hay 12 cuadriláteros 10. El quiosquero compra 360 alfajores por semana. El quiosquero puede hacer sus compras en el supermercado o en un mayorista. En el supermercado, cada bolsa de 8 alfajores cuesta $3. En el mayorista, cada caja de 60 alfajores cuesta $20. Si le compra los alfajores al mayorista, cuánto dinero ahorra el quiosquero por semana? compra 360 a por semana 1b 8a $3 supermercado 1c 60a $20 mayorista En el supermercado: 8a $3 9

10 360a a. $3 = $135 8a En el supermercado los 360 a cuestan $135 En el mayorista 6oa $20 360a a. $20 = $120 60a En el mayorista los 360 a cuestan $120 Diferencia = supermercado - mayorista = $135 - $120 = $ Los triángulos ABC y EGF son equiláteros. El perímetro del ABC es 132 cm. AE = EC BD = DC EF = FC DG = GE Cuál es el perímetro de la figura rayada? ABC y EGF son equiláteros per (ABC) = 132cm AE = EC BD = DC EF = FC 10

11 DG = GE AB + BC + CA = 3AB 3AB = 132cm AB = cm = 44cm 3 AB = BC = CA = 44cm BD + DC = 44cm BD = DC 2BD = 44cm = BD = DC = 22cm AF = AE + EF = 22cm + 11cm = 33cm AE + EC = 44cm AE = EC = 22cm EC = EF + FC = 22cn EF = FC = 11cm per (ABDGFE) = AB + BD + DG + GF + FE + EA per (ABDGFE) = 44cm + 22cm + 11cm + 11cm +11cm + 33cm per (ABDGFE) = 132cm 12. Cuántos rectángulos hay en la figura? Numerando desde el cuadrito de arriba y de izquierda a derecha, queda 1 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9 11

12 10, 11, Quedan las siguientes combinaciones: (2, 3, 4), (5, 6, 7, 8, 9), (10, 11, 12), (2, 6, 10), (4, 8, 12), (1, 3, 7, 11, 13), (2, 3), (3, 4), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (10, 11), (11,12), (2, 6), (6, 10), (1, 3), (3, 7), (7, 11), (11, 13), (4, 8), (8, 12), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (1, 3, 7), (3, 7, 11), (7, 11, 13), (1, 3, 7, 11), (3, 7, 11, 13), (5, 6, 7, 8), (6, 7, 8, 9), (2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12), (2, 3, 4, 6,7, 8), (6, 7, 8, 10, 11, 12), (2, 6, 10, 3, 7, 11), (3, 7, 11, 4, 8, 12), (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13), (2, 3, 6, 7), (3, 4, 7,8), (6, 7, 10, 11), (7, 8, 11, 12) En total hay 54 rectángulos. 13. Un artesano vende el par de aros a $2 y las pulseras a $3 cada una. Pero tiene una oferta especial: vende un juego de un par de aros y una pulsera a $4. El sábado el artesano vendió: 72 pulseras, algunas en los juegos y otras sueltas y 80 pares de aros, algunos en los juegos y otros sueltos. El sábado vendió 52 juegos de oferta. Cuánto dinero se llevó el artesano ese día por el total de las ventas? par de aros $2 pulseras $3 c/u 52 juegos de oferta J P A CANT TOTAL 52 4 $ $ $56 $224 Recaudó $ La figura A se obtiene al cortar en una de las esquinas de un cuadrado de 24cm de perímetro, un cuadradito de 8cm de perímetro. Con dos figuras iguales a A se arma la figura B. Cuál es el perímetro de la figura B? 12

13 Llamamos ABCD al cuadrado original E está ente C y D G está ente B y C F está en el interior de ABCD y FC es diagonal de CEFG per (ABCD) = 24cm = AB = 6cm per (CEFG) = 8cm = CG = 2cm BG = DE = 6cm - 2cm = 4cm per (B1) = 6cm + 4cm + 2cm + 6cm + 6cm + 4cm + 2cm + 6cm = 36cm per (B1) = 36cm 15. Cuántos triángulos hay en la figura? De izquierda a derecha y de arriba hacia abajo quedan numerados así: 1, 2, 3, 4 13

14 5, 8, 9,12 6, 7, 10,11 Las combinaciones son las siguientes: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (1, 2), (3, 4), (6, 7), (10, 11), (5, 6, 7), (1, 2, 8), (10, 11, 12), (3, 4, 9), (9, 10, 11), (8, 7, 6), (3, 4, 12), (5, 1, 2) Se pueden formar 24 triángulos. 16. En la librería se vende: 1 caja de marcadores por $ 2 y 2 libros de cuentos por $5. La Sra. Luna compró 18 libros de cuentos y varias cajas de marcadores. Pagó con un billete de $ 50 y dos billetes de $ 20 y le dieron $ 11 de vuelto. Cuántas cajas de marcadores compró? caja marcadores $2 libros de cuentos $5 18 libros 1 2 $ = $45 Pagó $ $20 - $11 = $79 Pagó $79 18 libros $ 45 x marcadores = $79-45 = $34 x marcadores = 34 1 caja $2 x cajas $34 x = 34 2 = 17 cajas 17. La figura está formada por 9 cuadrados iguales. El perímetro de la figura es de 96 cm. Cuál es el perímetro del rectángulo sombreado? 14

15 per (figura) = 96cm per (sombreado)? AB = 1. 96cm = 6cm 2 per (sombreado) = 2. (18cm + 12cm) = 2. 30cm = 60cm 18. Cuántos rectángulos hay en la figura? Denominando a los pequeños rectángulos mirados de izquierda a derecha y desde arriba hacia abajo, queda: 1, 2, 3 4, 5, 6 7, 8, 9, 10 Las combinaciones posibles son: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10) (1, 2), (2, 3), (4, 5), (5, 6), (7, 8), (8, 9), (9, 10), (1, 4), (4, 7), (2, 5), (5, 8), (3, 6), (6, 9) (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9), (1, 4, 7), (2, 5, 8), (3, 6, 9), (8, 9, 10) (7, 8, 9, 10), (1,2, 4,5), (2, 3, 5, 6), (4, 5, 7,8), (5, 6, 8, 9) (1, 2, 4, 5, 7, 8), (2, 3, 5, 6, 8, 9), (1, 2, 3, 4, 5,6), (4, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) En total hay 40 rectángulos. 19. Don Enrique compró 100 lapiceras. Vende la mitad a $25 cada una y 10 lapiceras a $ 21 cada una. A cuánto debe vender cada una de las que le quedan para obtener, en total, $2380? compró 100l vendió 50l a $25 c/u 10l a $21 c/u 15

16 quiere ganar $ $ $21 = $1460 restan 40 l 40 l $ $1460 = $ l $920 1l = $ = $23 1l $ Un triángulo equilátero ABC está partido en 16 triangulitos equiláteros iguales como muestra la figura. Para bordear la parte sombreada se necesitan 112 cm de cinta. Cuál es el perímetro del triángulo ABC? per (sombra) = 112cm per (ABC)? Tomo las caras de los 4 pequeños que forman el borde son per (sombra) =. 112cm = 8cm = AD Si AB = 4AD = AB = 32cm AB = BC = CA = 32cm per (ABC) = 3 AB = 3. 32cm = 96cm per (ABC) = 96cm 21. Ana tiene 3 carteras blancas, 1 roja y 1 azul y 3 pares de zapatos azules, 1 par de zapatos rojos y 1 par de zapatos blancos. Siempre que sale lleva zapatos y cartera, pero nunca usa cartera y zapatos del mismo color. De cuántas maneras distintas puede combinar Ana sus carteras y sus zapatos? 16

17 Carteras Zapatos 3b b1, b2, b3 ; 1r ; 1a 3a a1, a2, a3; 1r; 1b c b b1 a a1 c b b1 a a2 c b b1 a a3 c b b1 r - c b b2 a a1 c b b2 a a2 c b b2 a a3 c b b2 r - c b b3 a a1 c b b3 a a2 c b b3 a a3 c b b3 r - c a r - - c a b - - c r a a1 - c r a a2 - c r a a3 - c r b Dos familias: papá, mamá y los chicos fueron al teatro. Los Pérez tienen 3 chicos, los Smith tienen 4 chicos. La entrada de una persona mayor cuesta $ 25. Los Smith pagaron $ 138 por todas sus entradas. 17

18 Cuánto pagaron los Pérez? Pérez: {mamá, papá, 2 chicos} = {m, p, 2c} P Smith : {mamá, papá, 4 chicos} = {m, p, 4c} S S $138 a $25 2a + 4c $ $25 + 4c = $138 = 4c = $88 = 1c = $22 P 2a + 3c 2. $ $22 = $50 + $66 = $116 Los Pérez pagaron $ Con tres piezas de madera: una cuadrada (A), de 48 cm de perímetro y dos rectangulares (B y C), se armó un cuadrado como muestra la figura. El perímetro del cuadrado formado con las tres piezas es de 76 cm. Cuál es el perímetro del rectángulo C? per (A1) = 48cm per (A + B + C) = 76cm per (A1) = 4PQ = 48cm = PQ = 12cm per (PTUV) = PQ + QT + TU + UM + MV + VR + RP 18

19 per (PTUV) = 12cm + 2QT + TU + 12cm + VR + 12cm = 76cm per (PTUV) = 36cm + 2QT + TU + VR = 76cm 4PT = per (A1+ B1+ C1) = 76cm = PT = TU = QM = 19cm PT = QT + PQ 19cm = QT + 12cm = QT = 19cm - 12cm = QT = 7cm PV = PR + RV 19cm = 12cm + RV = RV = 19cm - 12cm = RV= 7cm per (C1) = QM + MU + UT + TQ = 2 (QT + MU) per (C1) = 2. (19cm + 7cm) = 2. 26cm = 52cm per (C1) = 52cm 24. María practica tenis y natación. Juega al tenis todos los jueves y practica natación un día cada 3 (un día sí y los dos días siguientes no). Hoy es jueves y María practicó los dos deportes. Después de cuántos días, a partir de hoy, María volverá a practicar los dos deportes en el mismo día? J V S D L MA MI J V S D T T N - - N - - N - - N L MA MI J V S D L MA MI J T T - N - - N - - N - - N Pasan 21 días para que se repitan los juegos. 25. Sergio gana $ 135 por semana. Cada semana ahorra una suma fija de pesos. Al cabo de algún tiempo, ganó $ 2295 y de lo que ahorró gastó $ 50. Si todavía le quedan $ 171 ahorrados, cuánto ahorró Sergio por semana? 19

20 gana $135 por semana ganó $2295 y gastó $50 de lo que ahorró. $135 1 semana $2295 x semanas x = $ sem $135 = $17 Ahorra $k. 17 sem Gastó $50 de lo ahorrado $17k - $50 = $171 $17k = $171 - $50 k = $ 221 k = $ En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro, CD = AC y el cuadrilátero ACDE tiene 20 cm de perímetro. Cuál es el perímetro del ABCDE? per (ABC) = 18cm ABC equilátero per (ACDE) = 20cm per (ABCDE)? per (ABC) = 18cm = AB = BC = AC = 6cm AC = DC = 6cm per (ACDE) = AC + CD + DE + DE + EA = 20cm per (ACDE) = 6cm + 6cm + DE + EA = 20cm 20

21 DE + EA = 20cm - 12cm = 8cm per (ABCDE) = AB + BC + CD + DE + EA = 24cm 27. Cuántos rectángulos hay en la figura? (1), (2), (3), (4), (5),(6), (7), (8), (9), (2, 3), (4, 5), (6,7), (1, 4,5, 6, 7), (4, 5, 6,7), (4,5,6,7,8),(3, 8), (2, 4, 5, 6, 7), (2, 4, 5, 6, 7, 9), (4, 5, 6, 7, 9), (5,7,8), (2,4,5), (1, 4, 5, 6, 7, 8), (1, 4, 6), (5, 7, 9) Hay 24 rectángulos. 28. El sábado, la Sra. Juárez gastó $ 360 en la compra de ropa y zapatos. Gastó una cuarta parte en zapatos. Con el resto compró un pantalón a $ 85, una campera a $ 120 y un saco de lana. Cuánto pagó por el saco? gastó $360 zapatos 1 4. $36 queda $360 - $90 = $270 compra 1p $85 1c $120 1p + 1c = $85 + $120 = $205 1s = $270 - $205 = $65 1s $ Ezequiel ten a 84 figuritas en el álbum rojo y 20 figuritas en el álbum azul. Hoy pegó la misma cantidad de figuritas en cada álbum. Ahora tiene, en el álbum rojo, el triple de figuritas que en el azul. 21

22 Cuántas figuritas pegó en cada álbum? 84r, 20a pegó x fig r x fig a 84 + x = (20 + x) x = x = = 3x - x 24 = 2x = x = 12 fig Pegó 12 fig. 30. La figura ACDE tiene 882 cm de perímetro. BC = BD; AB es la mitad de BD Cuál es el perímetro del triángulo BCD? per (ACDE) = 882cm BC = BD CD = 282cm AB = 1 BD 2 per (BCD)? BC = BD = 200cm per (BCD) = BC + CD + BD = 200cm + 282cm + 200cm = 682cm 31. Dani tiene 6 lápices de distintos colores para regalar a dos amigos: Juan y Pedro. De cuántas maneras puede regalarlos? Indica qué lápices regala a cada amigo. 22

23 J P - J P - J P - J P L1 L2 - L2 L5 - L4 L2 - L5 L6 L1 L3 - L2 L6 - L4 L3 - L6 L1 L1 L4 - L3 L1 - L4 L5 - L6 L2 L1 L5 - L3 L2 - L4 L6 - L6 L3 L1 L6 - L3 L4 - L5 L1 - L6 L4 L2 L1 - L3 L5 - L5 L2 - L6 L5 L2 L3 - L3 L6 - L5 L L2 L4 - L4 L1 - L5 L En la figura de vértices ABCDE, se marcaron M, punto medio de AB y N, punto medio de ED. Al trazar los segmentos MN y BD, la figura queda partida en dos cuadrados y un triángulo equilátero. El cuadrado AMNE tiene 56 cm de perímetro. Cuál es el perímetro de la figura ABCDE? BCD equilátero. Como AM = MB y EN = ND, queda: AM = MB = EN = ND BC = CD = DB = MB per (AMNE) = 56cm per (AMNE) = AM + MN + NE + EA = 4AM = 56cm = AM = 14cm per (ABCDE) = AM + MB + BC + CD + DN + NE + EA = 7. 14cm per (ABCDE) = 98cm 33. En un campeonato de fútbol cada equipo juega 19 partidos en total. Cada vez que gana obtiene 3 puntos y cada vez que empata obtiene 1 punto. 23

24 Al final del campeonato, el equipo Olimpo obtuvo un total de 28 puntos. Cuántos partidos ganó, Cuántos partidos empató y Cuántos partidos perdió el equipo Olimpo? Da todas las posibilidades. G E P Son los casos posibles. 34. Cada caja contiene 8 paquetes y cada paquete, 6 alfajores. Para darle un alfajor a cada uno de los 615 chicos que participan del certamen, cuántas de estas cajas hay que comprar? 1c 8p 1p 6a 1c 6. 8a = 48a 615 chicos 1c 48a x 615a x = 615a = 12 cajas + resto 48a Hay que comprar 13 cajas a = 39a 12c, 6p, 3a 13 cajas 35. Con tres piezas cuadradas y tres rectangulares se armó esta figura. Cada pieza cuadrada tiene 32 cm de perímetro. Cada pieza rectangular tiene 22 cm de perímetro. Cuál es el perímetro de la figura? 24

25 El cuadrado de la izquierda tiene vértices ABCD, contando desde el inferior izquierdo y en sentido antihorario. El rectángulo de la izquierda tiene vértices EFCD, contando desde el inferior izquierdo y en sentido antihorario. El rectángulo grande tiene vértices EMND, contando desde el inferior izquierdo y en sentido antihorario. ABCD cuadrado = per (ABCD) = 4AB = 32cm = AB = 32 cm = 8cm AB = 8cm ABEF rectángulo = per (ABEF) = 22cm per (ABEF) = 2. (AB + AE) = 2. (8cm + AE) = 22cm 16cm + 2AE = 22cm = AE = 3cm per (AMNE) = 2. (3AB + AB + AE) = 2. (4AB + AE) per (AMNE) = 8AB + 2AE = 8. 8cm cm = 70cm per (AMNE) = 70cm 36. Cuántos rectángulos hay en la figura? Explica cómo los contaste. 4 Llamando a los rectángulos de la siguiente manera: 25

26 arriba 5 fila 1 arriba fila 2 abajo abajo 10 (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (2,6), (6, 10), (3, 79, (5, 4), (4, 8), (5, 4,8), (2, 6, 10), (1, 2, 3), (2, 3, 4), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (1, 2, 3, 4), (6, 7, 8, 9), (2, 3, 6, 7), (3, 4, 7, 8) En total hay 31 rectángulos. 37. Con una botella de gaseosa se llenan 6 vasos. Después de la fiesta quedaron 15 botellas vacías y 5 botellas por la mitad. Cuántos vasos se habían llenado en la fiesta? 1b 6v quedaron 15 b vacías b bebieron ( ) b = 35 2 b 1b 6v 35 b x = v = 105 v 2 2 Se llenaron 105 vasos. 38. La figura ABCDE tiene 63 cm de perímetro y los lados BC, CD, DE, y EA son iguales. En el rectángulo ABCE, BC es el doble de AB. Cuál es el perímetro del triángulo CDE? per (ABCDE) = 63cm BC = CD = DE = EA 26

27 BC = 2AB per (ABCDE) = AB + 2AB + 2AB + 2AB + 2AB = 9AB 9AB = 63cm = AB = 63 cm = 7cm 9 BC = CD = 2AB = 2. 7 cm = 14cm per (ECD) = AB + CD + DE = AB + 2AB + 2AB = 5AB = 5.7cm = 35cm per (ECD) = 35cm 39. Cuántos triángulos hay en la figura? Explica cómo los contaste. Numerando desde 1 hasta 12 de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba, quedan los siguientes triángulos: (1), (2), (3), (4), (5), (6). (7), (8), (9), (10), (11), (12), (2,3), (7, 2), (7, 8), (9, 11), (6, 11), (3, 8), (1, 2, 7), (4, 3, 8), (7, 8, 9), (6, 7, 8), (9, 10), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12), (9, 10, 11, 12), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), (9, 10, 11), (1, 2, 3, 4, 7, 8) En total son 32 triángulos. 40. Una arañita va y viene sobre una rama de 64 cm de largo. Primero va de una punta a la otra. Se da vuelta y va hasta la mitad de la rama; allí se da vuelta y va hasta la mitad del camino que recorrió la última vez. Hace esto dos veces más, recorriendo cada vez la mitad del camino anterior. Cuántos cent metros recorrió en total? Recorre los siguientes tramos: AB, BC, CD, DE, EF 27

28 AB = 64cm BC = 1 AB = 32cm 2 CD= 1 BC = 16cm 2 DE = 1 CD = 8cm 2 EF = 1 DE = 4cm 2 En total: 64cm + 32cm + 16cm + 8cm + 4cm = 124cm 41. El cuadrado grande tiene 72 cm de perímetro. Los cuadrados pequeños tienen lado igual a la mitad del lado del cuadrado grande. Cuál es el perímetro de la figura? Indicando los vértices de izquierda a derecha, queda: A, B, C, D M, L, F, E K, J, G I, H per (BCKG) = 72cm 2AM = KB KB = BC = 72 cm = 18cm 4 AB = CD = DE = EF = FG = GH = HI = IJ = JK = KL = LM = MA = 1 2 per (fig) = 12AB + BC = 12. 9cm + 18cm = 126cm 42. Cuántos rectángulos hay en la figura? 18 KB = cm = 9cm 2 28

29 Explica cómo los contaste. Llamando 1, 2, 3, 4 a los rectángulos verticales y 5, 6, 7, 8, 9 a los horizontales queda: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2), (3, 4), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (1, 2, 5, 6, 7, 8, 9), (2, 5, 6, 7, 8, 9), (5, 6, 7, 8, 9, 3), (3, 4, 5, 6, 7, 8. 9), (5, 6, 7, 8), (6, 7, 8, 9), (2, 3, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9) En total hay 27 rectángulos. 43. Un ascensor sale de la planta baja con 7 personas. Para en todos los pisos. En cada piso suben 2 personas. En los pisos pares bajan 3 personas y en los pisos impares no baja ninguna. Cuántas personas hay en el ascensor antes de que se abra la puerta en el piso 11? por piso suben 2p pisos pares bajan 3p pisos impares baja 0p Cuántas personas hay en el ascensor antes de que se abra la puerta en el piso 11? (es lo mismo que decir cómo iba cargado en el piso 10) 29

30 PISO SUBEN BAJAN PISO SUBEN BAJAN Antes que se abra la puerta del piso 11 hay: 7p + 2p. 7 pisos - 3p. 5 pisos = 12p 44. Con dos piezas cuadradas se armó esta figura. El lado del cuadrado pequeño mide 5 cm. El lado del cuadrado grande es el triple del lado del cuadrado pequeño. Cuál es el perímetro de la figura? ABFG cuadrado BCED cuadrado BC = CD = DE = BE = 5cm BF = 3BE = 3. 5cm = 15cm per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA per (fig) = 15cm + 5cm + 5cm + 5cm + 10cm + 15cm + 15cm = 70cm 45. Durante las vacaciones siempre uso calzas, pollera, remera y anteojos de sol. Tengo que ponerme la remera antes que los anteojos, y las calzas antes que la pollera. Durante Cuántos días me puedo vestir en un orden diferente? Explica en qué orden se viste cada día. 30

31 c, p, r, a r antes que a c antes que p c p r a - r a c p c r a p - r c a p c r p a - r c p a Hay 6 maneras distintas. 46. Agustín puede comprar una bicicleta en 12 cuotas de $ 78 cada una o en un único pago de $ 750. Cuánto ahorra si la compra en un único pago? 12 cuotas $78 c/u 1 pago $750 Si paga en cuotas: 12. $78 = $936 Diferencia = cuotas - contado = $936 - $750 = $ El cuadrilátero ABCD está partido en 2 triángulos: ABD y BCD. ABD es equilátero y tiene 36 cm de perímetro. BCD es isósceles, con BC = CD y tiene 32 cm de perímetro. Cuál es el perímetro del ABCD? ABC equilátero per (ABC) = 36cm AB = BD = AD = 1. 36cm = 12cm 3 BCD isosceles BC = CD 31

32 per (BCD) = BC + CD + BD = 32cm per (BCD) = 2BC + 12cm = 32cm = BC = 1 2 (32cm - 12cm) = 10cm per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = 12cm + 10cm + 10cm + 12cm per (ABCD) = 44cm 48. Una banda de rock está formada por un guitarrista, un baterista, un trompetista y un cantante. Para el saludo se ubican en una fila. Si el cantante nunca puede estar ni al principio ni al final de la fila, De cuántas maneras distintas pueden ubicarse? Da todas las posibilidades. g, b, t, c g b c t - t c g b - b c t g g c b t - t c b g - b c g t g c t b - t b c g - b t c g g t c b - t g c b - b g c t 49. Juan armó esta figura con tres fichas cuadradas y dos fichas rectangulares iguales. Las tres fichas cuadradas forman una rectangular La ficha rectangular tiene 56 cm de perímetro. Cuál es el perímetro de la figura que armó Juan? 32

33 Si llamamos A al vértice superior izquierdo y numeramos en el sentido de las agujas del reloj, queda determinada la figura ABCDEFGHIJKL. per (ABKL) = 56 cm BK = BC 3 BC = AB 2 (AB + BK) = 56 cm 2 ( 3 BC +BC) = 56 cm 8 BC = 56 cm BC = 7 cm y por lo tanto AB = 21 cm Per (figura) = 4 AB + 8 BC = = cm cm = 84 cm + 56 cm = 140 cm 50. Aldo, Carlos y Javier juegan con una máquina tragamonedas. Entre los tres gastan 40 monedas. Carlos gasta 12 más que Javier. Javier gasta la mitad de las que gasta Aldo. Cuántas monedas gasta cada uno? A + C + J = 40 (1) C - 12 = j j = A 2 A = 2 J Reemplazo A en (1) y queda: 2 J + C + J = 40 = 3 J + C = 40 C - 12 = J Es decir: 3 J + C = 40 J - C = -12 Sumando: 4 J + 0 = 28 = J = 7 J - C = C = 12 = - C = = - C = - 19 = C = 19 33

34 A + C + J = 40 = A = 40 = A = = A = 14 (A, C, J) = (14. 19, 7) 51. Cada semana María tiene 2 clases de inglés, 1 de dibujo y 1 de música. Debe elegir sus horarios de lunes a viernes, las clases de inglés no deben ser en días seguidos y no puede tener más de una clase por día. De cuántas formas distintas puede María armar sus horarios? Enuméralas. : 2 I, 1 D, 1 M de Lunes a Viernes I no se permite en días consecutivos. 34

35 LU MA MI JU VI LU MA MI JU VI 1 I D I M - 19 D I M I - 2 I M I D - 20 M I D I - 3 I - I D M 21 - I D I M 4 I - I M D 22 - I M I D 5 I D I - M 23 D I - I M 6 I M I - D 24 M I - I D 7 I D M I - 25 D I M - I 8 I M D I - 26 M I D - I 9 I - D I M 27 - I D M I 10 I - M I D 28 - I I D I 11 I D - I M 29 D I - M I 12 I M - I D 30 M I - D I 13 I D M - I 31 D M I - I 14 I M D - I 32 M D I - I 15 I - D M I 33 - D I M I 16 I - M D I 34 - M I D I 17 I D - M I 35 D - I M I 18 I M - D I 36 M - I D I I Lu, Mi - Mi, Vi I Lu, Ju - Ma. Ju I Lu, Vi - Mi - Vi 52. Alicia y Beatriz llevaban $50 cada una. Alicia compró 3 kg de helado y un postre. Para poder pagar tuvo que pedirle $4 prestados a Beatriz. Beatriz compró 1 kg de helado y un postre del mismo precio que el de Alicia; después de pagar y prestarle a Alicia los $4, le quedaron $16. 35

36 Cuánto costaba el postre? : A + B = $ 50 + $ 50 A 3 kg h + 1 p pidió $ 14 a B B 1 kg h + 1 p le sobraron $ 16 A = 3 kg h + 1 p = $ 54 B = 1 kg h + 1 p = $ 30 1 p = $ 54-3 kg h = $ 30-1 kg h $54 - $30 = 3 kg h - 1 kg h $ 24 = 2 kg h = 1 kg h = $ = $ 12 1 p = $30-1 kg h = $ 30 - $ 12 = $18 (h, p) = ($12, $18) 53. Con 6 fichas rectangulares, todas iguales, se armó esta figura. En cada ficha rectangular la longitud del lado mayor es cuatro veces la longitud del lado menor. El perímetro de una ficha es 30cm. Cuál es el perímetro de la figura? Llamando A al vértice inferior izquierdo y anotando en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj quedan determinados los vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L, M, N, Ñ AB = 4BC 36

37 per (ficha) = 2. (BC + 4 BC) = 2. 5 BC per (ficha) = 30 cm Entonces: 2.5 BC = 30 cm = 10 BC = 30 cm = BC = 3 cm AB = 12 cm AB = HI = Nñ = 12 cm BC = CD = DE = EF = FG = IJ = JK = KL = LM = MN = ÑA = 3 cm HG = HI - KJ = 12cm - 3cm = 9cm per (figura) = 3. AB BC + HG = cm cm + 9cm = 36 cm + 33 cm + 9cm = 78 cm per (figura) = 78 cm 54. En la figura se quiere pintar cada cuadradito de rojo o de azul. Los dos cuadraditos de la izquierda no pueden ser rojos a la vez. Los dos cuadraditos de la derecha no pueden ser rojos a la vez. De cuántas maneras puede hacerse? Llamemos a los cuadraditos de arriba 1, 2, 3 Llamemos a los cuadraditos de abajo 4, 5, 6 Quedan como pares: (1, 4), (2. 5). (3, 6) 1 y 4 no pueden ser R a la vez 3 y 6 no pueden ser R a la vez Dividimos el tablero en tres columnas. Cada una permite algunas combinaciones. Con la columna (1, 4) se pueden hacer las siguientes combinaciones: (A, A), (A, R), (R, A) (3) Con la columna (2, 5) se pueden hacer las siguientes combinaciones: (A, A), (A, R), (R, A), (R, R) (4) 37

38 Con la columna (3, 6) se pueden hacer las siguientes combinaciones: (A, A), (A, R), (R, A) (3) Si combinamos estos tres grupos entre s obtenemos: = 36 combinaciones A A A A A A 19 A R A R A R 2 A A A A R A 20 A R A R R R 3 A R A A A A 21 A A R R A A 4 A R A A R A 22 A A R R R A 5 A A A A A R 23 A R R R A A 6 A A A A R R 24 A R R R R A 7 A R A A A R 25 R A A A A A 8 A R A A R R 26 R A A A R A 9 A A R A A A 27 R R A A A A 10 A A R A R A 28 R R A A R A 11 A R R A A A 29 R A A A A R 12 A R R A R A 30 R A A A R R 13 A A A R A A 31 R R A A A R 14 A A A R R A 32 R R A A R R 15 A R A R A A 33 R A R A A A 16 A R A R R A 34 R A R A R A 17 A A A R A R 35 R R R A A A 18 A A A R R R 36 R R R A R A 55. Bruno, Diego y Fede fueron al supermercado. Bruno pagó con $50 y recibió $12 de vuelto. Diego y Fede pagaron, cada uno, con un billete de $100. Bruno y Fede gastaron entre los dos, $80. 38

39 El vuelto de Diego fue la mitad del vuelto de Fede. Cuánto gastó Diego? B pagó con $ 50 y recibió $ 12 Diego = Fede = $ 100 D? B + F = $ 80 $ 38 + F = $ 80 = F = $ 80 - $ 38 = $ 42 (gastó) Si F tenía $ 100 y gastó $ 42, le queda de vuelto $ 58 2vD = vf = vd = vf 2 = $58 2 = $29 Diego gastó $ $ 29 = $ Andrés compró 240 fichas, algunas rojas, algunas azules y otras verdes. Las rojas cuestan $ 4 cada una, las azules, $ 2 cada una y las verdes, $ 1 cada una. Gastó $ 640 en fichas. Si las azules costaran como las rojas y las rojas costaran como las azules, Andrés gastó $ 560. Cuántas fichas de cada clase compró Andrés? SOLUCION R + A+ V= 240 { 4R + 2A+ V= 640 2R + 4A = 560 Planteando determinantes: = det ( 4 2 1) = R = det ( ) = A = det ( ) = V = det ( ) = R = R = =

40 A = A = = 88 V = V = = 48 (R, A, V) = (104, 88, 48) 57. En la figura: ABC es un triángulo equilátero; ABD, ABE y ABF son triángulos isósceles. AD = DB = 3 2 AB; AE = EB = 3 2 AD; AF = FB = 3 2 AE; Perímetro de ABF = 124 cm. Cuáles son los perímetros de ABC; ABD y ABE? SOLUCION ABC equilátero ABD, ABE, ABF isósceles AD = DB = 3 2 AD AE = EB = 3 2 AD AF = FB = 3 2 AD per (ABF) = 124cm AD = 3 2 AB AE = 3 2 ( 3 2 AB) = 9 4 AB AF = AB = AB

41 AB + 2AF = 124cm AB AB = 124cm = AB =. 124cm = 16cm 31 AD = 3 AB = 3. 16cm = 24cm 2 AE = 9 AB = 9. 16cm = 36cm AF = 27 AB = cm = 54cm 8 8 per (ABC) = 3AB = 3. 16cm = 48cm per (ABD) = AB + 2AD = 16cm cm = 64cm per (ABE) = AB + 2AE = 16cm cm = 88cm 58. Con tres triángulos equiláteros se armó esta figura. El triángulo grande tiene 48 cm de perímetro. El lado del triángulo mediano es la mitad del lado del triángulo grande. El lado del triángulo pequeño es la mitad del lado del triángulo mediano. Cuál es el perímetro de la figura? Comenzando por el vértice inferior izquierdo y continuando en el sentido opuesto a las agujas del reloj enumeramos los vértices como A, B, G, F, D, E, C per (ABC) = 48 cm AB = BC = AC = 16 cm 2 BE = BC = BE = 16 2 cm = 8 cm BG = 1 BE = 8 cm = 4 cm 2 2 BG = GF = FD = GD = 4 cm per (figura) = AB + BG + GF + FD + DE + EC +CA = 16 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm + 8 cm + 8 cm + 16 cm = 60 cm 41

42 59. El abuelo retiró $145 del banco. S lo le dieron billetes de $2 y de $5. No le dieron ninguna moneda. Cuántos billetes de cada clase puede haber retirado? Enumera todas las posibilidades. Retiró $ 145 en billetes de $ 2 y de $ 5 B(2) B(5) B(2) B(5) B(2) B(5) Los 96 alumnos de quinto grado saldrán de excursión. El precio total de la excursión es de $544. La tercera parte de los chicos, como pagó por adelantado, pagó s lo $5. Cuánto pagó cada uno de los otros chicos? precio por 96 alumnos = $ 544 por 1.96 alumnos pagó $ 5 c/u 3.96 alumnos = 32 alumnos. $ alumno 5 = $ 160 Total adelantado = $ $ 160 = alumnos $ 384 = 1 alumno = $ = $6 61. Pedro tiene un juego con muchas piezas cuadradas todas iguales entre s y muchas piezas rectangulares todas iguales entre sí. 42

43 Con 2 piezas cuadradas se arma 1 pieza rectangular. Con las piezas del juego arma esta figura formada por 4 piezas rectangulares y 2 piezas cuadradas. Una pieza rectangular tiene 24cm de perímetro. Cuál es el perímetro de la figura? Comenzando por el vértice inferior izquierdo y continuando en el sentido opuesto a las agujas del reloj enumeramos los vértices como A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R 2 c = 1 r 4 r + 2 c per (r) = 24 cm = 2. (c + c + c) = 6. c (el lado) 24 cm = 6 c = c = 4 cm Los lados de la ficha miden (c, r) = (4cm, 8 cm) per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IJ + JK + KL + LM + MN + NO + OP + PQ + QR + RA = = 4. 8 cm cm = 32 cm + 56 cm = 88 cm 62. En una clase de educación física el profesor divide a los chicos en equipos de distinto número según la actividad. Si forma grupos de 7 no sobra ningún chico. Cuando forma equipos de 3, de 4 o de 6 siempre sobra 1 chico. Cuál es el menor número posible de chicos de esa clase? Número múltiplo de 7 Si es múltiplo de 3 sobra 1 Si es múltiplo de 4 sobra 1 Si es múltiplo de 6 sobra 1 43

44 Queda formado el siguiente sistema de ecuaciones: 3x + 1 = nro 4y + 1 = nro 6z + 1 = nro 7t = nro Los múltiplos de 7 son: Si tiene 49 chicos: 49 7 = = 16 (sobra 1); = 12 (sobra 1); = 8 (sobra 1) 63. Laura tiene dos kioscos cerca de su casa. En el kiosco A, por cada $ 10 que gasta le hacen un descuento de $ 1. En el kiosco B, por cada $ 19 que gasta le hacen un descuento de $2. Laura hace un gasto en el kiosco A y paga, con el descuento, $ 87. Si Laura hiciera ese mismo gasto en el kiosco B, cuánto deber a pagar, teniendo en cuento el descuento que hace el kiosco B? Si A gasta $10 descuento $1 Si B gasta $19 descuento $2 A gastó $x, le hicieron descuento y pagó $87 gasta $10 paga $9 gasta $x paga $87 x = 87.$x 9 = $ 96,66 gasta $19 paga $17 gasta $96,66 paga $y y = $96, = $ 86,48 19 Debería pagar $86,48 44

45 64. Los rectángulos ABGI y BDEF son iguales. BD = 2 AB El perímetro del rectángulo BDEF es de 54 cm. Los triángulos BCD y GHI son equiláteros. Cuál es el perímetro de la figura de vértices ABCDEFGHI? BD = FG = BG = AI = 2.AB AB = IG = BF = DE BC = CD = BD per (ABCDEFGHI) =? BD +DE + EF + FB = 54CM BD + DE + BD + DE = 2BD + 2 DE = 2. 2AB + 2AB = 6AB 6AB = 54cm = AB = 9cm BD = 2AB = 2. 9cm = 18cm per (ABCDEFGHI) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA = = 5AB + 4BD = 5AB AB = 13AB = 13. 9cm = 117 cm 45

46 65. Cuántos números impares divisibles por 5, hay entre 504 y 2001? Explica por qué. En [504, 2001] x impares divisibles por 5? Entre 0 y 100: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 Entre 0 y 100 hay 10 números impares divisibles por 5. Entre: INICIO FINAL CANTIDAD nros nros nros nros nros nros nros nros nros nros nros nros nros nros nros. En total hay 150 nros. impares múltiplos de 5 entre 500 y En la feria venden remeras y pantalones. 5 remeras cuestan $

47 Pedro compró 2 remeras y 3 pantalones. Juan compró 3 remeras y 2 pantalones. Pedro pagó $2 más que Juan. Cuántos $ pagó Pedro? r y p 5 r cuestan $ 30 Pedro 2 r + 3 p Juan 3 r + 2 p Pedro = Juan + $2 5 r $ 30 r $ 6 r $ 12 r $ 18 Pedro $ p = ($18 + 2p) + $2 (i) Juan $ p (i) $12 + 3p = $18 + 2p + $2 1p = 3p - 2p = $18 + $2 - $12 = $8 Pedro 2 r + 3 p = $ $8 = $12 + $24 = $ El cuadrado ABCD se partió en tres rectángulos como muestra la figura. El rectángulo AEGD tiene 60 cm de perímetro. AD = AB AB = 4 AE BC = 3 CF 47

48 Cuál es el perímetro del rectángulo FCGH? per (AEGD) = AE + EG + GD + DA AD = AE + EB AD = 4AE = AE = AD 4 AE = DG AD = EG = EH + HG AD = AB = 4AE 2. (AE + 4AE) = per (AEGD) = 60cm 10 AE = 60cm = AE = 6cm AB = BC = AD = DC = 4AE = 4. 6cm = 24cm AB = 24cm AB = AE + EB = 24cm = 6cm + EB = EB = HF = GC = 18cm AB = BC = 3CF = 24cm = 3CF = CF = HG = 8cm per (FGCH) = FC + GC + GH + HF = 8cm + 18cm + 8cm + 18cm = 52cm per (FGCH) = 52cm 68. Cuántos triángulos hay en la figura? Numerando los polígonos pequeños contando desde arriba hacia abajo y de izquierda a derecha, obtenemos las siguientes combinaciones: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (13), (14), (1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (5, 11), (1, 3, 5, 6, 9, 10, 11), (1, 3, 5, 6), (2, 4, 7, 8, 12,13, 14), (2, 4, 7, 8), (7, 12), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (5, 6, 7, 9, 10, 11, 12), (6, 7, 11, 12), 48

49 (6, 7, 8, 11, 12, 13, 14), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) En total hay 26 casos posibles. 69. Agustina, Betina y Camila fueron juntas a comprar un regalo de cumpleaños. Agustina llevaba $ 100 y pagó el regalo. El regalo costó $ 84. Repartieron el gasto en partes iguales. Betina le dio su parte. Camila sólo le dio la mitad de su parte. Cuánto dinero le quedó a Agustina? A + B + C = $8a pagó con $100 = vuelto = $100 - $84 = $16 pagó su parte $ 84 3 = $28 pagó la mitad $ 28 2 = $14 Lo que le quedó a A es: $16 + $28 + $14 = $ En la figura: ABCJ y EFGH son cuadrados iguales. DJ = DF y DE = 2 EF La figura tiene 154 cm de perímetro. Cuánto miden los lados del rectángulo DEIJ? 49

50 2EF = 2AB = ED = IJ AB = BC = EF = FG = GH = JA JD = JC + CD = AB +CD per (fig) = 154cm per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IJ + JA per (fig) = 6AB + CD + DE + HI + IJ = 154cm per (fig) = 6AB + 4CD = 154cm per (fig) = 6AB AB = 154cm per (fig) = 14AB = 154cm = AB = 154 cm = 11cm CD = 2AB = 2. 11cm = 22cm Los lados del rectángulo mayor son: (AB, AB + CD) = (11cm, 33cm) Ana se olvidó el número de su credencial pero recuerda que: tiene seis cifras todas distintas, entre las cifras no hay ni 0 ni 1, las seis cifras van de menor a mayor. Cuál puede ser el número de la credencial de Ana? Da todas las posibilidades En total, hay 25 casos posibles. 72. El Lunes Ana abrí una caja de caramelos. Todos los mediodías saca algunos caramelos de la caja. El miércoles a la tarde, quedaban los dos tercios del total de caramelos. El jueves a la tarde, quedaban 24 caramelos que eran la cuarta parte del total. Cuántos caramelos sacó Ana de la caja el jueves al mediodía? 50

51 Miércoles 2 3 T Jueves 1 4 T = 24 Había 24c. 4 = 96c El miércoles quedó 2. 96c = 64c = 8 3 = El jueves al mediodía Ana sacó c = 40c. 73. En la figura, BC = 2CD. El perímetro del rectángulo ABEF es 48 cm. El perímetro del rectángulo BCDE es el doble del perímetro del ABEF. Cuál es el perímetro del rectángulo ACDF? BC = 2CD per (ABEF) = 48cm per (BCDE) = 2 per (ABEF) per (ACDF)? AB = FE AF = BE 2(AB + AF) = 48cm AB + AF = 24cm BC + CD = 48cm De aquí: CD + 2CD = 3CD = 48cm = CD = 16cm 51

52 BC + CD = 48cm = BC = 48cm - CD = 48cm - 16cm = 32cm BC + CD = 48cm = CD = AF = 16cm AB = CD 2 = 8cm per (ACDF) = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 2(AB + BC + CD) = 2 (8cm + 32cm + 16cm) = 112cm 74. Escribo todos los números impares desde 1000 hasta Cuántas veces escribo el dígito cero? COMO DECENA COMO UNIDAD COMO CENTENA De todas las decenas y centenas surgen flechas que se dirigen a cada unidad, es decir todas las flechas confluyen en las unidades y quedan formados: Como decena: 10 veces x 5 impares = 50 veces Como centena: 10 veces x 5 impares = 50 veces 2 veces en nro 2 veces 2 veces en nro 2 veces Sumando las cantidades: 50 veces + 50 veces + 2 veces + 2 veces = 104 veces 75. En un campeonato, cada equipo jugó 24 partidos. Al final del campeonato: El equipo A no empató ningún partido y ganó 10 más de los que perdió. El equipo B no perdió ningún partido y empató 6 más de los que ganó. 52

53 Cuántos partidos ganó cada uno de los dos equipos en ese campeonato? SOLUCION G + P = 24 G = P + 10 G + E = 24 E = G + 6 Reemplazando, queda: G + P = 24 = P P = 24 = 2P = 14 = G = 17 P = 7 G + E = 24 = G + G + 6 = 24 = 2G = 18 = G = 9 E = Los triángulos ABJ, CDE, EFG y HIJ son iguales. La figura BCEGHJ tiene los 6 lados iguales y 90 cm de perímetro. DF = 18 cm y DE = EF. El triángulo CDE tiene 36 cm de perímetro. Cuál es el perímetro del rectángulo ADFI? ABJ = CDE = EFJ = HIJ per (BCEGHJ) = BC + CE + EG + GH + HJ + JB = 90cm BC = CE = EG = HJ = JB per (BCEGHJ) = 90cm = 6EC = EC = 15cm DE = EF; DF = 18cm DE = EF = 9cm = DF = 2DE CD + 9cm + 15cm = 36cm = CD = 12cm BC = CE = EG = GH = HJ = JB BC = CE = 15cm CD = 12cm AB = CD = 12cm AD = AB + BC + CD = 39cm 53

54 per (ADFI) = 2 (AD + DF) = 2 (39cm + 18cm) = 2. 57cm = 114cm 77. El viernes, antes del recital, se habían vendido 900 entradas. El sábado, se decidió vender las 300 entradas restantes a la mitad de su valor. Por la venta de todas las entradas se recaudaron $ Cuánto pagaron por su entrada los que compraron antes del sábado? V 900ev S 300ev. 1 2 T $50400 = 900ev + 300ev. 1 = 900ev + 150ev = 1050ev ev $ ev $ = $ Mirta, Alicia e Inés leyeron un mismo libro de menos de 300 páginas. Mirta leyó 7 páginas el primer día y el resto a 10 páginas por día. Alicia leyó 2 páginas el primer día y el resto a 11 páginas por día. Inés leyó 5 páginas el primer día y el resto a 9 páginas por día. Cuántas páginas tiene el libro? M, A, I < 300p M leyó menos de 300p - 7 en distintos días (< 293) A leyó menos de 300p - 2 en distintos días (< 298) I leyó menos de 300p - 5 en distintos días (< 295) M x A y I z 167 = = =

55 A M A I El rectángulo ABCD tiene 88 cm de perímetro. Al trazar una paralela al lado AB, el ABCD queda partido en un cuadrado y un rectángulo más pequeño. 55

56 El perímetro del rectángulo más pequeño es 14 cm menos que el perímetro del cuadrado. Cuánto miden los lados del rectángulo ABCD? Sean NM = AB = DC; N AD, M BC per (ABCD) = 88cm per (ABCD) - per (MNCD) = 14cm per (ABCD) = 4AB + 2NC AB + BM + MN + NA - NM - MC - CD - DN = 14cm AB - MC = 7cm AB = 7cm + MC 2AB + 2 (7cm + MC) = 88cm 2AB + 14cm + 2MC = 88cm AB + MC = 37cm = AB = 37cm - MC 7cm + MC = 37cm - MC MC + MC = 37cm - 7cm 2MC = 30cm = MC = 30 cm = 15cm AB = 7cm + MC = 7cm + 15cm = 22cm per (ABCD) = 2 (22cm + 37cm) = 118cm (AB, CD) = (22cm, 37cm) 80. Cuántos triángulos hay en la figura? 2 56

57 Explica cómo los contaste. De izquierda a derecha y de arriba hacia abajo quedan las siguientes columnas con triángulos numerados: 13, 14 7, 8, 11, 12, 9, 10 1, 2, 3, 4, 5, 6 Se forman las siguientes combinaciones: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13), (14), (13, 14), (11, 12), (9, 10), (7, 8), (5, 6), (3, 4), (1, 2), (1, 7), (2, 8), (6, 10), (11, 13), (12, 14), (5, 9), (5, 9, 11, 12), (2, 8, 11, 12), ( 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14), (3, 4, 5, 9), (2, 3, 4, 8), (7, 8, 11, 13), (9, 10, 12, 14) En total hay 34 formas de contar. 81. Ana compró: un libro de cuentos, una novela y un diccionario por $ 113. Si compraba sólo el libro de cuentos y el diccionario pagaba $ 81. Si compraba s lo la novela y el diccionario pagaba $ 87. Cuánto pagó por cada uno? c + n + d = $113 = d = $113 - c - n c + d = $81 = d = $81 - c n + d = $87 = d = $87 - n $81 - c = $87 - n = c = n - $6 n - c = $87 - $81 = $6 n - $6 + n + $87 - n = $113 n = $113 - $87 + $6 = $32 57

58 c = n - $6 = $32 - $6 = $26 d = $113 - c - n = $113 - $26 - $32 = $55 (n, c, d) = ($32, $26, $55) 82. En la figura, ACFG y BCDI son cuadrados. AB = BC; EC = 3 FE; DEHI es un rectángulo de 144 cm de perímetro. Cuál es el perímetro del ACFG? ACFG, BCDI cuadrados AB = BC = CD = DI = BI EC = 3FE EC = CD + DE CD = DI per (DEHI) = 2 (DE + DI) = 2. 72cm = 144cm 3FE - CD = DE De plantear: 2CD - ED = CD + ED 2CD - CD = ED + ED Queda: CD = 2DE per (DEHI) = 2 (ED + CD) = 2 (ED + 2ED) = 6ED = 144cm = ED = 24cm 2 (CD + ED) = 144cm CD + 24cm = 72cm = CD = 48cm CF = 2CD = 96cm per (ACFG) = 4CF = 4. 96cm = 384cm 83. Con las cifras , sin repetir, se arman todos los números pares de cuatro cifras, mayores que Cuántos y cuáles son? 58

59 Hay 40 casos posibles. 84. La figura ADEF está formada por dos triángulos iguales y un rectángulo. El perímetro de BDEF es 70 cm. El perímetro del triángulo CDE es 60 cm. CE = 4BC y AB = 3BC. Cuál es el perímetro de ADEF? BC + CD + DE + EF + FB = 70cm 2BC + AB + EC + DE = 70cm (*) CD + DE + EC = 60cm AB + DE + EC = 60cm (**) De (*) y (**) = 2BC = 70cm - 60cm = 10cm Si 2BC = 10cm = BC = 5cm AB = 3BC = AB = 15cm CE = 4BC = 20cm per (ABC) = CD + DE + EC = 60cm 59

60 per (ABC) = AB + DE + CE = 60cm DE = 60cm -AB - CE = 60cm -15cm - 20cm DE = 25CM per (ADEF) = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 2AB + 2BC + 2DE = 2. 15cm cm cm cm = = 30cm + 10cm + 50cm = 90cm per (ADEF) = 90cm 85. El jardinero tiene que plantar 372 plantitas durante esta semana. Trabaja de lunes a viernes. El lunes pone cierta cantidad, el martes pone el doble de las que puso el lunes, el miércoles, el doble de las que puso el martes y así sigue hasta el viernes, poniendo, cada día, el doble de las que puso el día anterior. Cuántas plantitas puso el lunes? Lu x Ma 2x Mi 2.2x Ju 2.2.2x Vi x Formemos la ecuación: 16x + 8x + 4x + 2x + x = 372p 31x = 372p x = p x = 12 p 86. En un diagrama, en cada fila horizontal hay una casilla más que en la anterior. 60

61 En las casillas se escriben los números desde el 1, consecutivamente, como se ve. Si se continúa este procedimiento, en qué fila se escribe el número 256? Siguiendo el procedimiento de la tabla podemos armar una tabla de valores: NRO. FILA PUNTO EXTREMO NRO. FILA PUNTO EXTREMO Veremos que el número 256 estará en la fila 23 en el tercer lugar. 87. La escuela organiza un sorteo. Hay 1000 rifas numeradas de 1 a 1000, repartidas en talonarios de 10 rifas cada uno. Antes del sorteo, se venden todas las rifas. Terminado el sorteo resultó que todos los que tenían una rifa terminada en 5, ganaron un libro de $ 8. Todos los que tenían una rifa terminada en 43, ganaron un disco de $ 12. El poseedor de la rifa número 167 ganó una radio de $ 340. Los demás números no ganaron nada. Cuánto se gastó en premios? Después de comprar los premios quedó una ganancia de $

62 A Cuánto se vendió cada talonario? 1000 rifas 100 talonarios de 10 rifas terminación en 5 libro de $8 terminación en 43 disco de $12 número 167 radio de $340 ganancia $740 A cuánto se vendió cada talonario? L) terminación en nros. 100 ganadores D) terminación en nros. 10 ganadores R) número ganador gastó = 100 g. $8 + 10g. $12 + 1g. $340 = $800 + $120 + $340 = $1260 ganancia = $740 recaudación = gasto + ganancia = $ $740 = $ t = $2000 = 1t = $ = $ La figura, de 96 cm de perímetro, está formada por un rectángulo donde AB = 4 BC y un triángulo isósceles con CD = DE. El rectángulo ABCE y el triángulo CDE tienen igual perímetro. Cuál es el perímetro del triángulo CDE? per (ABCD) = 96cm AB = EC = 4BC per (ABCE) = per (CDE) AB + 2BC + 2CD = 96cm 4BC + 2BC + 2CD = 96cm 62

63 3BC + CD = 48cm 3. 8cm + CD = 48cm = CD = 48cm - 24cm = 24cm 2CD + EC = 2CB + 2EC 96cm - 6BC + EC = 2BC + 2EC 96cm - 6BC + EC - 2BC - 2EC = 0 96cm - 8BC - EC = 0 EC + 8BC = 96cm 4BC + 8BC = 96cm = 12BC = 96cm = BC = 8cm AB = 4BC = 4. 8cm = 32cm = AB = 32cm per (ABCE) = 2. (32cm + 8cm) = 80cm per (ECD) = EC + CD + DE = 32cm cm = 80cm 89. Juan tiene 2700 bolitas y Matías tiene 150. Juan le entrega a Matías 75 bolitas por día. Dentro de cuántos días, Matías y Juan tendrán la misma cantidad de bolitas? J 2700 bolitas 75 bolitas días M 150 bolitas 75 bolitas días. x días. x días Para que tengan igual cantidad de bolitas: 2700 bolitas - 75 bolitas días 2700 bolitas bolitas = 150 bolitas días días = x días = x = 17 días. x días = 150 bolitas - 75 bolitas días. x días En 17 días tendrán la misma cantidad de bolitas.. x días 90. Se dispone de pintura de 3 colores distintos: verde, rojo y azul. Usando todos o algunos de los colores se quiere pintar cada casilla de un color de modo que las casillas que tienen un lado común sean de distinto color. De cuántas maneras se puede hacer? Explica cómo. 63

64 Realizamos un diagrama de Árbol tomando como primera bolita la verde y combinándola con la roja y la azul. De cada una de las segundas bolitas se trazan fichas que llevan a bolitas del tercer color y así sucesivamente con las primera bolitas rojas y azules. V R A R V R A R A R A R A R A V R A R R R A R A V A R A R V V R A V R R A R V A A R A V A V R A V A R A R V R A R A V R V R V A R R A V A R A R V A R V R V A V R A V A V A R V A V V R V R V R A V R A A R V R A V R V R A R A V R V A R V R V V A R A R R V A R A A V A R A V A R A V R V A R V A V A R V V A R V A R V A V A A V A V A V A R V R R V A V R A V A V R V A V A R R V R A R A V R A R V A V A V R V R A V A V R A V V A V R A R V R V A A V R V A V A V R V R V R V R A V R V R En total se pueden realizar 48 combinaciones. 91. Sofi escribe todos los números pares, menores que 2011 y que tienen la suma de las cifras igual a 18. Qué números escribe Sofi? Cuántos son? 64

65 En total hay 54 casos posibles. 92. Un cuadrado se corta en cuatro tiras rectangulares iguales. Se colocan las tiras en la formando un rectángulo como el de la figura, que tiene 170 cm de perímetro. Cuál es el perímetro del cuadrado que se recortó? per (fig) = 170cm 8l + 2a = 170cm a = 1 4 8l + l 2 = 170cm 16l + l = 340cm l = 20cm per (cuad) = 4. 20cm = 80cm 93. Daniel y Fabián juntan dinero para gastar en las vacaciones. Daniel tiene la mitad de lo que tiene Fabián. Si cada uno tuviera $ 13 más, entre los dos tendrían $ 218. Cuánto dinero tiene Fabián? 65

66 D = F 2 D + $13 + F + $13 = $218 F 2 3F 2 + F = $218 - $13 - $13 = $ 192 3F = 2. $192 F = $ F = $128 D = $ En un campo rectangular de 130 m de perímetro se separa un corral en forma de triángulo equilátero como muestra la figura. Para cercar el corral con 2 vueltas, se usan 102 m de alambre. Cuánto mide cada uno de los lados del campo rectangular? Tomando desde el vértice inferior izquierdo y contando en el sentido opuesto al de las agujas del reloj, lamamos a cada punto: A, B, C, D, E per (ACDE) = 130m per (ABE) = 51m CD = AB AB = BE = AE = AB = 17m 2 (AB + BC + CD) = 130 Como AE = CD = 17m, queda: 2 (17m + BC + 17m) = 130m 2BC = 130m - 68m = BC = 31m AC = AB + BC = 17m + 31m = 48m 95. Lucas tiene veinte billetes de $2, veinticinco billetes de $5 y ocho billetes de$10. Para comprar un libro que cuesta $102, de cuántas maneras puede reunir el dinero de modo que no le tengan que dar vuelto? Da todas las respuestas posibles. El libro cuesta $102 y quiere pagarlo con la siguiente cantidad de billetes que posee. 20b $2 25b $5 66

67 8b $10 Estas son todas las maneras distintas de hacerlo: Laura escribió un libro de 1276 páginas sobre el ñandú. Ella misma numeró todas las páginas a mano. Cuántas veces escribió el número 6? Como unidad 1 al veces 1 al = 120 veces 1201 al veces Total como unidad 120veces + 8 veces = 128 veces 67

68 Como decena 1 al veces 1 al = 120 veces 1201 al veces Total como decena 120veces + 10 veces = 130 veces Como centena 1 al veces Total general 128 veces veces veces = 358 veces 97. Juan tenía $240 para gastar durante el mes de agosto. Pudo ahorrar los tres octavos. En útiles gastó el doble de lo que gastó en diversión. En ropa gastó tanto corno gastó en útiles y en diversión. Cuánto dinero gastó en útiles? J $240 ahorró $240 R + U + D = 5. $240 8 R = U + D U = 2D 2D + D + 2D + D = $150 6D = $150 D = $ = $25 U = 2D = 2. $25 = $50 R = U + D = $50 + $25 = $ En la figura hay varios triángulos: CDE es equilátero; ABF es isósceles con AF = BF; ABF, BCF y AFE son iguales; ABF y CDE tienen igual perímetro. Si el pentágono ABCDE tiene 75 cm de perímetro, cuál es la longitud de AB? 68

69 CDE equilátero ABF isósceles = AF = BF ABF, BCF, AFE iguales per (ABF) = per (CDE) per (ABCDE) = 75cm AB? CD = DE = CE AB + BC + CD + DE + EA = 75cm AF + FA + FB = 3.CD FA = FB = BC = EA Sean: x = CD y = BC AB + 2y + 2x = 75cm AB + 2y = 3x Queda: 3x + 2x = 75cm = x = 75 5 cm = 15cm CD = DE = CE = x = 15cm per (ABF) = 45cm AB = 1 15 CE = AB = cm 2 2 BC = EA = 1 2 (45 cm cm) = 1 2 (90cm - 15cm) = 75 4 cm 99. Tres ladrones, A, B y C, se repartieron en partes iguales un botín. 69

70 La primera noche, mientras C dormía, A y B le quitaron la mitad de lo que tenía, y se lo repartieron en partes iguales. La segunda noche, mientras A dormía, B y C le quitaron la mitad de lo que tenía y se lo repartieron en partes iguales. La tercera noche, mientras B dormía, A y C le quitaron la mitad de lo que tenía y se lo repartieron en partes iguales. A la mañana siguiente se separaron para siempre. Determinar de cuánto dinero era el botín que se repartieron los tres ladrones. Botín (A, B, C) = (65, 50, 77) 100. Un marciano tiene 321 pesos en monedas de 1 peso, de 5 pesos y de 25 pesos. Si tiene igual cantidad de monedas de 1 peso que de 5 pesos, determinar cuántas monedas de cada clase puede tener. Dar todas las posibilidades. x + 5y + 25z = $321 x = y 6x + 25z = $321 Sea x = 16 = z = 1 $25 ($ $6) = 9 Sea x = 41 = z = 1 $25 ($ $6) = Esta mañana Alicia salió de compras. Gastó la cuarta parte del dinero que tenía al comprar un libro de cuentos. Después, con la mitad de lo que le quedó, compró un disco compacto. Cuando volvió a su casa, su abuela le regaló $ 7. Entonces contó cuánto dinero tenía y resultó ser la mitad de lo que tenía al salir de compras. Con cuánto dinero salió Alicia de compras esta mañana? 1 4 D libro 70

71 D disco $7 abuela D - 1 D - 3 D + $7 = 1 D $ 7 = 1 2 D D D D $7 = 1 (4D + 2D + 3D - 8D) = D = $ Para ver durante los tres días del fin de semana largo: sábado, domingo y lunes, se alquilan 6 películas de distintas clases: 3 de aventuras, 2 de dibujos animados y 1 musical. En el fin de semana se quiere ver una vez cada película y 2 películas de distinta clase cada día. De cuántas maneras puede hacerse? S D L S D L MA1 D1A2 D2A3 MA1 D1A3 D2A2 MA1 A2D1 A3D2 MA1 A3D1 A2D2 MA1 D1A2 A3D2 MA1 D1A3 A2D2 MA1 A2D1 D2A3 MA1 A3D1 D2A2 A1M D1A2 D2A3 A1M D1A3 D2A2 A1M A2D1 A3D2 A1M A3D1 A2D2 A1M D1A2 A3D2 A1M D1A3 A2D2 A1M A2D1 D2A3 A1M A3D1 D2A2 MA1 D2A2 D1A3 MA1 D2A3 D1A2 MA1 A2D2 A3D1 MA1 A3D2 A2D1 MA1 D2A2 A3D1 MA1 D2A3 A2D1 MA1 A2D2 D1A3 MA1 A3D2 D1A2 A1M D2A2 D1A3 A1M D2A3 D1A2 A1M A2D2 A3D1 A1M A3D2 A2D1 A1M D2A2 A3D1 A1M D2A3 A2D1 A1M A2D2 D1A3 A1M A3D2 D1A2 Hasta acá mantuve MA1para el sábado. 71

72 Un esquema similar ocurrir a para cada día. Ahí tendría = 96 maneras distintas para ver todas las películas. Combinando a M cada día con las variables A2 y A3, quedan = 288 maneras distintas de ver todas las películas el fin de semana largo Con dos cuadrados iguales y dos triángulos iguales se arman las figuras: A, B y C. La figura A tiene 74 cm de perímetro, la B tiene 84 cm de perímetro y la C tiene 82 cm de perímetro. Cuál es la longitud de cada uno de los lados de uno de los triángulos iguales? Sean ABOF BCDO cuadrados iguales Sea DEO = OEF = AFX = CDE = DEX escaleno AB + BC + CD + DE + DE + EF + FA = 74 AB + BC + CE + DE + DO + FO + FX + XA = 84 AB + BC + CE + EX + XD + DO + OF + FA = 82 Sean: AB = BC = CD = DO = FO = FA α DE = EF β CE = AX = XD = γ Queda: 4 α + 2 β = 74 4 α + 2 β + 2γ = 84 6 α + 2 γ = 82 Se simplifica dividiendo por 2: 2 α + β = 37 2 α + β + γ = 42 3 α + γ = 41 Si analizamos las dos primeras ecuaciones queda que: 72

73 γ = = γ = 5 Reemplazando en la tercera ecuación: 3 α + 5 = 41 α = ) α = 12 3 En la segunda ecuación queda: β + 5 = 42 = β = = β = 13 (α, β, γ) = (12, 13, 5) 104. Los Peli son socios de un videoclub que cobra $4 por el alquiler de una película para mayores y $3 por el alquiler de una película para niños. Cada mes alquilan películas para niños y películas para mayores y gastan $ 48 por mes. En enero alquilaron 3 películas para mayores. En febrero alquilaron un tercio de las películas para niños que alquilaron en enero. En marzo alquilaron más películas para mayores que en enero pero menos que en febrero. Cuántas películas para niños alquilaron en marzo? M = $4 y N = $3 E) 3. $54 + y. $3 = $48 F) x. $4 + y 3. $3 = $48 M) x. $4 + y. $3 = $48 E) 1 ($48 3. $4) = 1 ($48 $12) = 12 $3 $3 F) 1 12 ($48. $3) = 1 ($48 $12) = 9 $4 3 $4 3 < x < 9 x y mcd no no no no (x, y ) = (6, 8) En marzo alquiló 6 películas para mayores y 8 para niños Las barras de la figura A tienen igual ancho. La más pequeña es un cuadrado y entre dos consecutivas la diferencia de alturas es de 10 cm. Reordenándolas se arma la figura B que tiene 270 cm de perímetro. 73

74 Cuál es el perímetro de cada una de las barras? per (B) = 270cm AB = BC = CD = DE per de cada barra? MA + 10cm = KL KL + 10cm = IJ IJ + 10cm + GH MA = AB = BL IC + HK + JG + MF + LB + 8AB = 270cm IC = MA + 20cm HK = 10cm JG = 20cm FM = 30cm MA + 20cm+ 10cm + 30cm + MA + 8MA = 270cm = MA = cm = 19cm per (ABLM) = 4AB = 4. 19cm = 76cm per (BCKJ) = BC + CJ + JK + BK = 2 (BC + CJ) = 2 ( 19cm + 29cm) = 96cm per (CDHI) = CD + DH + HI + CI = 2 (CD + DH) = 2. (19cm + 39cm) = 116cm per (DEFG) = 2 (DE + EF) = 2. (19cm + 49cm) = 136cm 106. Sobre la mesa había un dado blanco, uno rojo, uno verde y 24 fichas iguales. Ana tomó un dado y 1 ficha, Ema tomó un dado y 2 fichas, Olga tomó un dado y 3 fichas. 74

75 Después, la que tenía el dado verde llevó tantas fichas como ya tenía, la que tenía el dado blanco llevó el doble de las fichas que tenía y la que tenía el dado rojo llevó 4 veces lo que tenía. Es posible que quedaran 4 fichas sobre la mesa? Explica por qué. A 1 D + 1F E 1D + 2 F O 1D + 3F B R V A E O 1 A O E 2 E A O 3 E O A 4 O A E 5 O E A 6 CASO 1 Sea A (B ) E (R ) O (V ) quedan 5 CASO 2 Sea A (B ) E (V ) O (R ) quedan 2 CASO 3 Sea A (R ) E (B ) O (V ) quedan 7 75

76 CASO 4 Sea A (B ) E (B ) O (R ) quedan 1 CASO 5 Sea A (R ) E (V ) O (B ) quedan 6 CASO 6 Sea A (V ) E (R ) O (B ) quedan Aldo y Bea escribieron cada uno una fracción. Aldo escribió una fracción que tiene el denominador 4 unidades mayores que el numerador. Bea escribió una fracción con numerador igual al de la fracción de Aldo y denominador 5 unidades mayores que el denominador de la fracción de Aldo. La fracción de Bea es equivalente a 1 2. Cuál es la fracción que escribió Aldo? Cuál es la fracción que escribió Bea? A B x y=x+4 x y+5 = 1 2 x x+9 = 1 2 x + 9 = 2x = x = 9 y = A) 9 13 B) Carlos tiene dos piezas triangulares pequeñas y dos piezas triangulares grandes. 76

77 Cada pieza triangular pequeña tiene 36 cm de perímetro. Cada pieza triangular grande tiene 48 cm de perímetro. Carlos arma: Con las dos piezas triangulares pequeñas, un rectángulo de 42 cm de perímetro. Con las dos piezas triangulares grandes, un rectángulo de 56 cm de perímetro. Con las 4 piezas, el rectángulo de la figura, de 74 cm de perímetro. Qué longitud tiene cada uno de los lados de las piezas triangulares? AB + BE + EA = 36cm AB + FA + BC = 37cm BE + BC + CE = 48cm BE + BC = 28cm FA + AB = 21cm (AB + FA) + BC = 37cm = BC = 37cm - 21cm = 16cm BE + BC = 28cm = BE = 28cm - 16cm = 12cm FA = BE = FA + AB = 21cm = AB = 21cm - 12cm = 9cm AB + BE + EA = 36cm = EA = 36cm - 9cm - 12cm = 15cm CE = 48cm - 12cm - 16cm = 20cm 109. Con papeles de colores: rojo, verde y azul, se quieren cubrir las franjas de este barrilete de manera que haya por lo menos una franja de cada color y que las franjas que tienen un lado en común sean de colores distintos. De cuántas maneras puede hacerse? 77

78 Existen dos casos, los colores se pueden dividir en (3, 2, 1) casillas y (2, 2,2) casillas Caso (3, 2, 1) Un color puede estar en las casillas 1, 3, 5 o en las 2, 4, 6. En c/u de estas opciones los otros colores pueden combinarse de 6 maneras distintas. Caso (2, 2, 2) Hay 2 maneras de dividir las casillas y agruparlas de a 2 i) Al primer color le asigno el grupo (2, 4), al segundo (3,5) y al tercero el (1,6) Relacionando estos minigrupos obtengo 6 combinaciones ii) ii) Otra manera similar es formar los minigrupos (2, 6), (1,5) y (3,4). Así obtengo 6 combinaciones distintas. En el caso (3, 2, 1) hay 12 combinaciones para cada color y en el caso (2, 2, 2) otras 12. En total hay 48 maneras de combinar todos los colores Caso (3, 2, 1) con tres R R A R A R V R V R V R A R A R V R V R V R A R V R V R A R A R A R V R A 78

79 V R V R A R A R A R V R A R V R V R V R A R A R V R A R V R A A R V A R Caso (3, 2, 1) con tres A A R A R A V A V A V A R A R A V A R A V A R A V A V A R A R A R A V A V R A V A V A V A R A R A V A R A V A R A V A R A V A V A R A R A R A V A Caso (3, 2, 1) con tres V V R V R V A V A V A V R V R V A V R V A V R V A V A V R V R V R V A V A V R V R A V A V A V R V 79

80 R V A V R V A V R V A V A V R V R V R V A V A V Caso (2, 2, 2) V R A R A V A R V R V A R A V A V R V A R A R V A V R V R A R V A V A R A R V V A R V R A A V R V A R R V A R A V V R A R V A A R V A V R R A V 110. La cooperadora de la escuela compró libros de cuentos. Por una promoción le regalaron 1 libro por cada docena de libros que compró. Le enviaron 273 libros en total. Compró libros de $ 8 y libros de $ 4. Pagó $ 1536 en total. Cuántos libros le regalaron? Cuántos libros de $ 8 y cuántos libros de $ 4 compró? regalan 1l por cada 12l de compra Total = 273l xl = $8 yl = $4 80

81 Pagó $1536 8x + 4y = $1536 x + y (x+y) = 273 Dividiendo por 2: 2x + y = ( 12 x + 12y + x + y) = x + 13 y = 3276 x + y = 252 y = 384-2x = x x = = 132 $8 y = = 120 $4 le regalaron 273l - 132l = 120l = 21l 111. La figura está partida en un cuadrado, un rectángulo y un triángulo. CD = DE El perímetro de BCDEF es 6 cm más que el perímetro del triángulo CDE. El perímetro del rectángulo ACEG es 38 cm. El perímetro de la figura es 50 cm. Cuánto mide cada uno de los lados de BCDEF? CD = DE per (BCDEF) = per (CDE) + 6cm per(aceg) = 38cm per (ABCDEFG) = 50cm Cuánto mide cada lado de (BCDEF)? BC + CD + DE + EF + FB = CD + DE + CE + 6cm AB + BC + CE + EF + FG + GA = 38cm 81

82 AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 50cm Si AB = BF = CE = FG = GA x CD = DE y BC = EF z Queda: 2z = 6cm 4x + 2z = 38cm 3x + 2y + 2z = 50cm De aquí: z = 3cm 4x = 38cm - 6cm = x = 1. 32cm = 8cm 4 y = 1 2 (50cm - 6cm - 24cm) = 10cm 112. Camila dibujó un triángulo equilátero. Marc los vértices y, sobre cada lado, marcó dos puntos. Cuántos triángulos que tengan sus tres vértices en los puntos marcados puede dibujar? (ABE), (ABF), (ABG), (ABH), (ABI), (ACE), (ACF), (ACG), (ACH), (ACI), (ADE), (ADF), (ADG), (ADH), (ADI), (BCE), (BCF), (BCG), (BCH), (BCI), (BDE), (BDF), (BDG), (BDH), (BDI), (CDE), (CDF), (CDG), (CDH), (CDI), (BEF), (BEG), (BEH), (BEI), (BFG), (BFH), (BFI), (BGH), (BGI), (CEF), (CEG), (CEH), (CEI), (CFG), (CFH), (CFI), (CGH), (CGI), ((AEF), (AEG), (AEH), (AEI), (AEG), (AFH), (AFI), (DIE), (DIF), (DIG), (DIH), (DEH), (DFH), (DGH), (EGH), (EGI), (EFH), (EFI), (FGH), (FGI) 113. En la figura hay dos cuadrados; además hay un círculo en cada vértice y en cada punto donde se cruzan los dos cuadrados. Ubicar en los círculos vacíos los números enteros de 1 a 9 inclusive, sin repetir, de manera que la suma de los cuatro números escritos en cada lado de cada cuadrado sea siempre la misma. 82

83 Si sumamos cada lado del rombo y del cuadrado encontramos el siguiente sistema donde cada suma da 33: B + C + 27 H + I F D + G + 13 A + 33 F + H + 25 A + D + E + 16 E + I + G + 15 Supongo: A = 1, queda: A+ 33 = = 34 B + C = 7 H+ I = 7 B + F = 8 C + D + G = 21 F + H = 9 D + E = 17 E + I + G = 19 Resolviendo: A B C D E F G H I

84 114. Beto colecciona estampillas que guarda en cajas. Tiene 26 cajas y en cada caja hay 36 estampillas. Hoy vio que algunas cajas estaban rotas, decidió vaciar todas las cajas y tirar las rotas. Para poder guardar todas sus estampillas en las cajas que le quedaron, tendrá que sumar al número de estampillas que había en cada caja, 2 estampillas por cada una de las cajas que tiró. Cuántas cajas tiró? S + R = 26 = S = 26 - R (36 + 2R). S = 936 ( R) (26 - R) = R + 52R - 2R 2 = 936 2R 2-16R = 0 R 2-8R = 0= R (R - 8) = 0 = R = 0 R = 8 ( ). (26-8) = 936 ( ) = 52 estampillas por caja (26-8) = 18 cajas sanas 115. Todas las semanas, Matías recibe una cuota para sus gastos. Una semana ahorró la mitad de la cuota de esa semana, la semana siguiente ahorró la cuarta parte de la cuota de esa semana. Así va alternando: una semana ahorra la mitad y la siguiente semana ahorra la cuarta parte. De este modo, en 48 semanas ahorró $ 288. Cuál es su cuota semanal? semana impar 1 2 x semana par 1 4 x Se repite 24 veces y en 48 semanas junta $ ( 1 x ) (1 x) = $288 4 ( ) x = $ ( 2 + 1) x = $ 12 x = $ = $ 16 84

85 116. Un sobre rectangular, abierto tiene 82 cm de perímetro; cerrado su perímetro es de 80 cm. La solapa es triangular y tiene 50 cm de perímetro. Indica cuánto miden los lados del sobre y los de la solapa. per (ABCDE) = 82cm per (ABCD) = 80cm per (ADE) = 50cm AB + BC + CD + DE + EA = 82cm AB + BC + CD + AD = 80cm AD + DE + AE = 50cm Sean: AB = CD x BC = AD y DE = AE z Queda el sistema: 2x + y+ 2z = 82 { 2x + 2y = 80 + y+ 2z = = det ( 2 2 0) = x = det ( ) =

86 y = det ( ) = z = det ( ) = X = x = = 16 y= y = = 24 z = z = = Todas las semanas, Matías recibe una cuota para sus gastos. Una semana ahorra la mitad de la cuota de esa semana, la semana siguiente ahorra la tercera parte de la cuota de esa semana y la siguiente, ahorra la cuarta parte de la cuota de esa semana. Así va alternando: una semana ahorra la mitad, la siguiente semana ahorra la tercera parte y la siguiente, ahorra la cuarta parte. De este modo, en 48 semanas ahorró $ 312. Cuál es su cuota semanal? semana semana semana se repite 16 veces en 48 semanas ahorra $ ( 1 x) (1 x) ( 1 x) = $ ( ) x = $ ( ) x = $ ( ) x = $ x = 12 $ x = $ x = $ En un examen, el promedio de las notas de todos los alumnos que aprobaron es 6,5 y el promedio de las notas de todos los alumnos que no aprobaron es 3,5. El promedio de las notas de todos los alumnos que rindieron el examen es 5,3. Cuál es el porcentaje de alumnos que aprobaron el examen? 86

87 promedio de aprobado 6,5 promedio de no aprobado 3,5 promedio general 5,3 x aprobados y no aprobados x. 6,5 + y. 3,5 = (x + y). 5,3 6,5x - 5,3x + 3,5y - 5,3y = 0 1,2x = 1,8y 12x = 18y 2x = 3y x = 3 y 2 x + y = 100% y + y = 100% 5 2 y = 100% = y = 40% = x = 60% aplazos 40% aprobados 60% 119. Con tres dígitos distintos A, B, C se forman los tres números enteros positivos ABC, BCA, CAB. La multiplicación de los tres números ABC. BCA. CAB es un número de 9 cifras que se forma con los dígitos 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8. Se sabe además que el dígito de las unidades es el 6. Cuáles son los tres dígitos A, B, C? A. B. C = X X = 6 Hago distintos cálculos con ABC. BCA. CAB y logro que: (A, B, C) = (9, 8, 3) ABC. BCA. CAB = = Gastón escribe, uno en cada renglón, todos los números de 3 cifras que tienen las cifras ordenadas de mayor a menor y distintas de cero. Después, al lado de cada uno, escribe el número que se obtiene intercambiando la cifra de las centenas con la de las unidades. 87

88 Pedro suma los dos números de cada renglón. Cuántos números distintos, de 3 cifras, puede obtener Pedro? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 444 Se forman los siguientes números distintos: Ana, Bea y Ceci ahorran para irse de excursión. La semana pasada Ana y Bea ahorraron la misma cantidad y Ceci ahorró $8 menos que Ana y Bea juntas. Esta semana, Ana ahorró el doble de lo que había ahorrado la semana pasada, Bea ahorró la mitad de lo que había ahorrado la semana pasada y Ceci ahorró lo mismo que la semana pasada. Esta semana, entre las tres juntaron $ 226. Cuánto ahorró cada una esta semana? C = A + B - 8 semana 1 A = B semana 1 2A + B 2 + C = $226 2A + B 2 + A + B - 8 = $226 88

89 2A + A 2 + A + A - 8 = $ A = $234 A = $ A = 52 B = C = = 96 (A, B, C) = (52, 52, 96) 122. Con un cuadrado C y dos triángulos isósceles T y t, se armaron las figuras siguientes: perímetro fig. I = 86 cm perímetro fig. II = 140 cm perímetro fig. III = 126 cm Cuánto mide el lado del cuadrado? Cuánto miden los lados de cada uno de los triángulos? per (I) = 86cm per (II) = 140cm per (III) = 126cm t y T isósceles BD = DC AB = BD = DE = EA = CD = x BF = DF = y BC = z BC + CD + BF + DF = 86 AB + BC + CD + DE + EA = 140 AB + DE + EA + BF + DF = 128 Queda el sistema: 89

90 x + 2y+ z = 86 { 4x + z = 140 3x + 2y = = det ( 4 0 1) = x = det ( ) = y = det ( ) = z = det ( ) = x = x = = 30 y= y = = 18 z = z = = En los vértices del hexágono de la figura, se escriben, de menor a mayor siguiendo el sentido que señala la flecha, todos los múltiplos de 4 menores que Se escribe el 4 en A, el 8 en B, el 12 en C, etc. Cuál es el último número que se escribe? En qué vértice se escribe este número? 90

91 Existen 502 múltiplos de 4 El último múltiple de 4 es el 2008 Se escribe en el vértice D 124. Ana, Bea y Ceci ahorraron para irse de excursión. Ana ahorró el doble que Bea y Ceci ahorró $5 menos que Ana. Entre las tres juntaron $ 130. Cuánto ahorró cada una? Sean A, B y C A = 28 y C = A 5 = B = A 2 y C = A - 5 A + B + C = 130 A + A 2 + A 5 = 130 = 5 2 A A = 1 (135. 2) 5 B = A 2 = 54 2 = 27 C = A - 5 = 54-5 = 49 (A, B, C) = (54, 27, 49) 125. Con un cuadrado C y dos triángulos isósceles T y t, se armaron las figuras siguientes: perímetro fig. I = 86 cm perímetro fig. II = 146 cm. En T, el lado desigual mide las dos terceras partes de lo que mide cada uno de los otros lados. Cuánto mide cada uno de los lados de la figura II? 91

92 per (I) = 86cm per (II) = 146cm AB = AD BC = CD x AD = BD = DE = EF = FA y AB = y AB + BC + CD + DA = 86 AB + CD + DE + EF + FA = 146 x = det ( ) = y = det ( ) = 120 x = x = 72 4 = 18 y= y = = 30 AB = 2 y = = = Un comerciante compró 100 bolsas de papas por $600. Vendió los de las bolsas por $480. Quiere obtener $240 de ganancia por el total de las bolsas. A cuánto debe vender cada una de las bolsas que quedan? T = 100b $600 vendió 3 5 T $480 quiere tener $240 de ganancia Cuánto cuesta 1b de papas restantes? 3 T = b = 60b b $480 92

93 restan: 100b - 60b = 40b ganancia = precio de venta - precio de compra G = ($480 + x) - $600 $240 + $600 = $480 + x x = $240 + $600 - $480 x = $360 40b $360 1b x = $ = $9 1b $ Roxana tiene 5 primas: Ani, Bibi, Ceci, Gabi y Mili y 4 primos: Dani, Edu, Seba y Tomi. Quiere invitar a 2 primas y a 3 primos para el próximo sábado. De cuántas maneras distintas puede armar Roxana su grupo de invitados? Enuméralas. A, B, C, G, M grupo de 2 D, E, S, T grupo de 3 G2 (A, B), (A, C), (A, G), (A, M), (B, C), (B, G), (B, M), (C, G), (C, M), (G, M) G3 (D, E, S), (D, E, T), (D, S, T), (E, S, T) Debo tomar cada grupo de 2 con un grupo de 3. No importa el orden Se obtienen las 40 combinaciones siguientes: 93

94 AB - DES AC- DES AG- DES AM- DES BC- DES AB - DET AC - DET AG - DET AM - DET BC - DET AB - DST AC - DST AG - DST AM - DST BC - DST AB - EST AC - EST AG - EST AM - EST BC - EST BG- DES BM- DES CG - DES CM- DES GM- DES BG - DET BM - DET CG - DET CM - DET GM - DET BG - DST BM - DST CG - DST CM - DST GM - DST BG - EST BM - EST CG - EST CM - EST GM - EST 128. El cuadrado ABDE y el triángulo isósceles BCD (BC=CD) tienen igual perímetro. El polígono ABCDE tiene 72 cm de perímetro. Cuál es la longitud de BC? BC = CD AB = BD = DE = EA per (ABDE) = 72cm BC? per (ABDE) = 4AB per (BCD) = BD + BC + CD = BD + 2BC = AB + 2AB 4AB = AB + 2BC 4AB - AB = 2BC = 3AB = 2BC = AB = 2 BC 3 94

95 AB + BC + CD + DA = 72cm 3AB + 2BC = 72 cm 3. 1 BC +2 BC = 72 cm 3 2BC + 2BC = 72cm = ABC = 72cm = BC = 18cm 129. Por $7 se compran: 5 alfajores, 1 chocolate y 4 turrones. Cada alfajor cuesta un tercio de lo que cuesta un chocolate. Cada chocolate cuesta el doble de lo que cuesta un turrón. Cuál es el precio de cada golosina? 5a + 1c + 4t = $7 a = 1 3 c c = 2t 5a + 1c + 4t = 5( 1 3 c) + 1c + 4t = 5( t) + 2t + 4t = 5a + 1c + 4t = (10t + 6t + 12t) = = t = $7 = 3 = 28t =$21 = t = $ = $ 3 4 = $0,75 1t $0,75 1c = 2i = 2. $ 3 4 = $ 3 2 = $1,50 a = 1 3. $ 3 2 = $ 0, Pablo tiene cuatro cajas con lápices. En la caja celeste tiene 4 lápices; en la caja naranja 5 lápices; en la roja 6 y en la verde 7 lápices. Puede hacer alguno de los siguientes movimientos en cualquier orden: Elegir 3 cajas, sacar un lápiz de cada una de estas cajas y poner los 3 en la caja restante. Sacar 3 lápices de una caja y poner 1 en cada una de las 3 cajas restantes. Después de varios de estos movimientos, en la caja celeste quedan 5 lápices y en la caja verde quedan 12 lápices. Cuántos lápices quedan en la caja naranja y cuántos en la caja roja? Muestra cómo llegaste a la respuesta. 4 cajas (c, n, r, v) (4L, 5L, 6L, 7L) paso 1: (c, n, r) (3L, 4L, 5L) = v = 10L paso 2: saco 3L de n (c, n, r, v) (4L, 1L, 6L, 11L) 95

96 paso 3: saco 3L de r (c, n, r, v) (5L, 2L, 3L, 12L) 131. Sobre una recta se marcan los puntos A, B, C, y D en ese orden. M es el punto medio del segmento AB N es el punto medio del segmento CD MN = 7cm. Cuál es la longitud de la suma de los segmentos AC + AD + BD + BC? MN = MB + BC + CN AC + AD + BD + BC? AC = AM + MB + BC AD = AM + MB + BC + CN + ND BC = MN - MB - CN BD = BC + CN + ND AC + AD + BD + BC = = AM + MB + MN - MB - CN + MN - MB - CN + AM + MB +MN - MB - CN + CN + ND + MN - MB - CN + CN + ND si: AM = MB CN = ND AC + AD + BD + BC = 4 MN = 4. 7cm = 28cm 132. Mario tiene que tomar un remedio durante 180 días. Y comienza el lunes La receta dice que debe tomarlo 2 días seguidos y descansar 1 día. Empieza a tomarlo un lunes. Cuántas veces, en los 180 días, lo tomará un lunes y el martes siguiente? Explica por qué. T = 180d lu ma mi ju vi sa do X X X X X X X X X X X X X X 96

97 Este esquema se repite cada 3 semanas. 180 d 7 d = 25 sem + 5d Procedemos de igual manera hasta la semana 24 y toma el remedio en martes y miércoles seguidos un total de 8 veces. En los últimos 12 días (1 sem + 5 días) el esquema será como en las dos primeras semanas por lo que se cumple que otra vez toma el remedio en lunes y martes seguidos, o sea que esta condición se cumple 9 veces Un rectángulo ABCD se divide en 9 rectángulos iguales trazando 2 rectas paralelas a un par de lados y 2 rectas paralelas al otro par de lados. Uno de estos 9 rectángulos se divide en 4 rectángulos iguales trazando 1 recta paralela a un par de lados y una recta paralela al otro par de lados. El perímetro de cada uno de los rectángulos más pequeños es de 5 cm. Cuál es el perímetro del rectángulo ABCD? per (AEST) = 5cm per (ABCD)? 97

98 2AT = AM 3AM = AD = AD = 3AM = 3. 2AT = 6AT AD = 6AT 2AE = AF 3AF = AB = AB = 3AF = 3. 2AE = 6AE AB = 6AE Si AD = 6AT = AT = 1 AD 6 Si AB = 6AE = AE = 1 6 AB per (AEST) = 2 (AE + AT) = 2 ( 1 6 AB AD) = 1 3 (AB + AD) = 5cm AB + AD = 15cm 98

99 per (ABCD) = 2 (AB + AD) = 2. 15cm = 30cm 134. Dos comerciantes compran varias latas de jugo de frutas. El segundo compra el cuádruple de lo que compra el primero. El primero vende todas las latas que compró, ganando 10 centavos por lata. El segundo vende la tercera parte de las latas que compró ganando 12 centavos por lata. Si el segundo de los comerciantes quiere cuadriplicar la ganancia del primero, cuánto debe ganar por cada una de las latas que le quedan? A $0,10 LA B 4 3 LA. $0,12 = $0,16 LA B 4 3 LA. $x = 4. $0,10 LA- $0,16 LA x = 8 ($0,40 LA- $0,16 3 LA ) = 3. $0,24 = $0,09 8 x = $0, Un grupo de personas quieren ir todas juntas de excursión. Hay dos agencias que hacen esa excursión: A y B. Las dos agencias tienen el mismo número de automóviles. La agencia A tiene 5 autos de 6 asientos y el resto de 4 asientos. La agencia B tiene 5 autos de 4 asientos y el resto de 6 asientos. No pueden ir por la agencia A porque, aunque llenen todos los lugares disponibles, falta lugar para 14 personas. Yendo por la agencia B llenan todos los lugares disponibles y pueden viajar todos. Cuántas personas forman el grupo? tiene 5 autos de 6 asientos y el resto de 4 asientos tiene 5 autos de 4 asientos y el resto de 6 asientos A 5. 6a + x. 4a (faltan 14 a) B 5. 4a + y. 6a (total) B - A = 14 asientos 20 a + 6y - 30 a - 4y = 14 a -10a + 6y - 4x = 14 a= 6y - 4x = 14 a + 10 a = 6y - 4x = 24 a 99

100 6y - 4x = 24 a = y = 1 (24a 4x) 6 B 5. 6a + (24 + 4x). 6a = 20 a a + 24x = 164 a + 24x B - A (164 a + 24x ) - (30 a + 4x) = 14 a 164 a + 24x - 30 a - 4x = 14 a = 134 a - 20x = 14 a = 134 a - 14 a = 20x x = a = 6 a A 5. 6 a + 6 v. 4a + 14 a = 30 a + 24 a + 14 a = 68 a B 5. 4 a + 6y = 68 a = y = 1 (68 a - 20 a) = 8v Martin dibujó un rectángulo ABCD con el lado AB mayor que el lado BC. Sobre el lado AB marcó el punto R y sobre el lado CD el punto S de modo que el ABCD quedó dividido en el cuadrado ARSD y el rectángulo RBCS. El segmento RB mide 6 cm. El perímetro del rectángulo RBCS es igual a los cinco octavos del perímetro del cuadrado ARSD. Cuál es el perímetro del rectángulo ABCD? AB > BC ARSD cuadrado RB = 6cm per (RBCS) = 5 8 per (ABCD)? per (ARSD) per (RBCS) = 2 (RB + BC) = 2 (6cm + BC) 8. 2 (6cm + BC) = 5 per (ARSD) = 5. 2 (AR + RS) RS = BC = AR 100

101 96cm = 4 BC = BC = 24cm RB = 6cm BC = SD = DA = AR = RS = 24cm AB = AR + RB = 24cm + 6cm = 30cm per (ABCD) = 2 (AB + BC) = 2 (30cm + 24cm) = 2. 54cm = 108cm 137. Con los dígitos: se escriben números de 8 cifras. Aldo escribe números que empiezan en 1 y tienen los dos 3 separados por tres cifras. Cuántos de estos números puede escribir Aldo? Por ejemplo: Aldo puede escribir el número Bruno escribe números que tienen: los dos 4 separados por cuatro cifras, los dos 3 separados por tres cifras, los dos 2 separados por dos cifras y los dos 1 separados por una cifra. Cuál es el mayor de los números que escribe Bruno? ALDO 1 _ De las 7 casillas restantes existen tres posibilidades de colocar los números 3: los coloco en las casillas (2, 6), (3, 7) o (4, 8) En cada uno de estos casos habrá un grupo de tres dígito distintos de 3 y un grupo de dos dígitos distintos de 3. Puedo usar: 1_2_2_4_4. GRUPO A cada columna la llamo (x, y, z), respectivamente. A cada fila la llamo (1, 2, 3), respectivamente. GRUPO A B

102 1 4 4 C D E CASO A: relaciono con (z, 3) CASO B: relaciono con (z, 2) y (y, 3) CASO C: relaciono con (y, 2) CASO D: relaciono con (x, 1) y (y, 1) CASO E: relaciono con (x, 2) y (z, 1) CASOS POSIBLES PARA ALDO 3. (CASO A + CASO B + CASO C + CASO D + CASO E) 3. ( ) = 3. ( ) = = 90 nros distintos. BRUNO 8 dígitos los dos 4 separados por cuatro cifras los dos 3 separados por tres cifras los dos 2 separados por dos cifras los dos 1 separados por una cifra El nro. buscado es: Juan quiere comprar un televisor. Por comprarlo al contado le descuentan 1/10 del precio de lista. Por comprarlo en cuotas le recargan 1/5 del precio de lista. Si lo paga en 6 cuotas, cada una es de $

103 Cuánto paga si decide comprarlo al contado? Contado 1 10 descuento Cuotas 1 5 recargo 6 cuotas $72 c/u contado? paga 6. $72 = $432 $432 = lista lista = 6 5 lista $432 = 6 lista = lista = 5. $432 = $ De contado le hacen 10% de descuento $ 360 $ 36 Le descuentan $36 Paga de contado $360 - $36 = $ Le abuela Mari compró regalos para sus 7 nietos: Dani, Edu, Fran, Gabi, Matu, Seba y Toni. Para cada uno armó un paquete. A cada paquete le puso una tarjeta con el nombre correspondiente. Tiene 3 moños rojos, 3 azules y 1 blanco. Si quiere ponerle un moño a cada paquete, de cuántas maneras distintas puede hacerlo? 7 nietos: D, E, F, G, M, S, T 103

104 D E F G M S T B R R R A A A R B R R A A A R R B R A A A R R R B A A A R R R A B A A R R R A A B A R R R A A A B Si mantengo el moño rojo sin variar cada una de estas filas tiene: (CR6,2 significa combinaciones con repetición de 6 elementos tomados de a 2) CR6,2 = (6+2 1)! = = (7)! = = 7. 6 = 21 cambios posibles entre los rojos y los azules, por lo que existen = 2!.5! 2!.5! maneras distintas de poner los moños El rectángulo ABCG y el cuadrado CDEF tienen el mismo perímetro. AB = 2 AG La figura de vértices ABDEFG tiene 72 cm de perímetro. Cuánto miden los lados del cuadrado CDEF?, Cuánto miden los lados del rectángulo ABCG? 104

105 per (ABCG) = per (CDEF) AB = 2AG per (ABCDEFG) = 72cm lados de CDEF? lados de ABCG? AB = CG = GF = FC BC = AG BD = BC + CD per (ABCG) = 2 (AB + BC) = 2 (AB + AG) = 2 (AB per (ABCG) = per (CDEF) = 3AB per (CDEF) = 2 (CD + DE) 3 2 AB = CD + DE AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 72cm AB + 1 AB + (CD + DE) + (EF + FG) + 1 AB = 72cm 2 2 AB + 1 AB + 3 AB+ AB + 1 AB = 72cm AB) = 3AB AB ( ) = 9 AB = 72cm = AB 2 2 =2. 72cm = 16cm Dani y Gabi guardaron sus fotos y, entre los dos, llenaron 8 álbumes de 36 fotos cada uno. Si Dani tuviera la mitad de las fotos que tiene y Gabi tuviera el doble de las fotos que tiene, completarían, entre los dos, 9 de esos álbumes. Cuántas fotos tiene Dani? Cuántas fotos tiene Gabi? 8a 36 f c/u D D 2 G 2G 1a 1f D { 2 + 2G= 9a D + G= 8a 105

106 Es semejante a: D = 8a - G 1 2 (8a - G) + 2G = 9a 2G - 1 G = 9a - 4a = 5a 2 3 G = 5a = G = 2. 5 a = 10 a = f = 120 f D = 8a - G = 8a - 10 a = 1 14 (24 a 10 a) = a = f = 168f Los rectángulos ABCD y DEFG son iguales. El perímetro de la figura de vértices ABCEFG es de 66 cm. El segmento CE mide 9 cm. Cuánto mide cada uno de los lados del rectángulo ABCD? Cuál es el perímetro del rectángulo DEFG? ABCD = DEFG per (ABCDEFG) = 66cm CE = 9cn lados (ABCD)? per (DEFG)? AB = EF = DG = CD AD = BC = DE = GF DE = DC + CE per (ABCDEFG) = AB + BC + CE + EF + FG + GD + DA per (ABCDEFG) = 3AB + 3BC + CE = 3AB + 3BC + 9cm = 66cm 3AB + 3BC = 57cm = AB + BC = 19cm per (ABCD) = 2 (AB + BC) = 2. 19cm = 38cm 106

107 per (ABCD) = per (DEFG) = 38cm CD + CE = DE CD = DG per (DEFG) = 2 (DE + EF) = 2 (CD + CE + EF) = 2 (CE + 2CD) 2CE + 4CD = 2. 9cm + 4CD = 8cm 4CD = 20cm = CD = 5cm AB = CD = 5cm BC = DC + CE = 14cm 143. Susana tiene 51 billetes en su billetera. Sólo tiene billetes de 50 pesos, de 20 pesos y de 10 pesos. La cantidad de billetes de 10 pesos es el doble de la cantidad de billetes de 20 pesos. En total tiene 1230 pesos. Cuántos billetes de 50 pesos tiene Susana en su billetera? 51b $ x + 20y +10z = 1230 { x 2y = 0 x + y + z = y + 20y + 10z= 1230 { 2y + y + z= y + 10z = $1230 = 12y + z = 123 queda: { 12y + z = 123 3y + z= 51 z = y = 51-3y = 12y - 3y 72 = 9y = y = 8 z = (-3y) + 51 = = 27 x = 2y = 2. 8 = 16 (x, y, z) = (16, 8, 27) Hay 16 billetes de $50, 8 billetes de $20, 27 billetes de $ Pablo tiene 10 tarjetas; cada una tiene impreso uno de los 10 números impares entre 1 y 19. Elige tres tarjetas y escribe todos los números que puede formar ordenando las tarjetas de distintas maneras. 107

108 De todos los números que Pablo puede escribir, cuántos son múltiplos de 3 y mayores que 50000? Explica cómo los contaste. 10t 1., 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,19 múltiplos de 3 mayores que Marco aquellos que son múltiplos de 3 y los reúno: 108

109 Pablo puede escribir 44 nros La figura de vértices ACDEFG tiene 320 cm de perímetro. Los rectángulos ABFG y BCDE tienen igual perímetro. AC = 88 cm y E es el punto medio de BF. Cuánto miden AB, AG, BC y CD? per (ABCDEFG) = 320cm per (ABFG) = per (BCDE) AC = 88cm BE = CD = EF = 1 AG 2 AB, AG, BC, CD? AB + AG = BC + CD AB + 2CD = BC + CD = AB - CD = -CD AB + 3CD = 88cm AB + CD = BC AB = BC - CD AB = 88cm - BC = BC - CD = 88cm - BC 109

110 2BC - CD = 88cm = 2BC = 88cm + CD AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 320cm (AB + BC) + (DE + FG) + (CD + EF) + GA = 320cm 2. 88cm + 2AG = 320cm CD = 1 (320cm - 176cm) = 36cm 4 CD = EF = 36cm 2BC = 88cm + CD = 88cm + 36cm = 124cm = BC = 62cm BC = AC - AB BC + CD = AB + 2CD AC - AB + CD = AB + 2CD AC = 2AB + CD AB + BC = 88cm AB = 88cm - BC = 88cm - 62cm = 26cm AB = 26cm AG = 2CD = 72cm AG = 72cm (AB, AG, BC, CD) = (26cm, 72cm, 62cm, 36cm) 146. Cada segmento indica el camino que une dos ciudades. De cuántas maneras distintas se puede ir de A hasta Z si no se puede pasar dos veces por la misma ciudad? Explica cómo las contaste. ABDGZ ABDGHZ ABEGZ ABEGHZ ABHGZ ABEGZ ABEHZ ABEGHZ ABEHGZ ABDEGZ ADEHGZ ABDEFHGZ ABDEFHZ ABCEFHZ ABCEFHGZ ACEGZ ABCFHZ ABCFHGZ ACEGHZ ACEHGZ ACFHZ ACFHGZ ABDECFHZ ABDECFHGZ Hay 24 maneras. 110

111 147. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 se arman todos los números de tres cifras que son múltiplos de 3 y tienen sus cifras distintas, ordenadas de mayor a menor. Cuántos son? Escríbelos todos Marco los múltiplos de 3 y los reúno: Son 29 nros En la librería se pueden comprar 4 cuadernos por $10 o 1 cuaderno por $3. Esta semana se vendieron 120 cuadernos en total y se cobraron $320 por la venta de los cuadernos. Cuántos cuadernos se vendieron de a 1 y Cuántos cuadernos se vendieron de a 4? 4c $10 1c $3 120c $320 { 4x + y = x + 3y= 320 = y = 120-4x 111

112 10x + 3 (120-4x) = 320 = 2x = 40 = x = 20 y = 120-4x = = 40 Se vendieron 20 ofertas de $10 (80 cuadernos) y 40 ofertas de $3 (40 cuadernos) En la figura AG = 2AD AG = GD HG = GF Los triángulos ABI y CDE se obtienen duplicando los lados del triángulo HFG. AB = 2BC y EF = 2FG. El perímetro de BCEFHI es 108cm. Cuál es el perímetro de ADG? AG = DG = 2AD 4(ABI) = 4(CDE) AB = 2BC EF = 2FG per (BCEFH) = 108cm per (ADG)? per (ADG) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA BC + CE + EF + FH + GH + HI + IB = 108cm Como: BC = FH CE = EF = HI = IB 2BC + 4EF = 108cm 112

113 BC = 1 EF = 2BC = EF 2 5EF = 108cm AD = AB + BC + CD = 2BC + BC + 2BC = 5BC = 5 2 EF = 5AD EF = 108cm 25 2 EF = x x = 1 ( cm) = 270 cm EF = 25 2 EF 150. En un puesto de la feria artesanal se vendieron: el sábado, 72 monederos y 60 llaveros por un total de $1548; el domingo, 72 monederos y 36 llaveros por un total de $1332. A cuánto se vendió cada monedero? A cuánto se vendió cada llavero? 72m + 60ll= 1548 { 72m + 36ll= 1332 = 24 ll = $216 = 1 ll = $ = $ En una hoja de papel rectangular, que tiene ancho igual a las tres cuartas partes del alto, Javier hace un recuadro dejando márgenes: arriba y abajo, de 2cm cada uno y, a derecha e izquierda, de 3 cm cada uno. El recuadro que queda es un rectángulo de 78 cm de perímetro. Cuáles son las longitudes de los lados de la hoja de papel? AB = 3 4 BC 2 (AB - 6cm) + 2(BC - 4cm) = 78cm 2. 3 BC - 12cm + 2BC - 8cm = 78cm BC + 2BC = 78cm + 12cm + 8cm (3+4) 2 BC = 98cm = 7 BC = 98cm = BC = 2. 98cm = 28cm 2 7 AB = 3 4 BC = 3. 28cm = 21cm 4 113

114 152. En un juego de tiro al blanco, con un tablero como el de la figura, cada participante arroja una ficha verde, una ficha roja y una ficha azul. La ficha verde triplica el puntaje del sector en que cae. La ficha roja duplica el puntaje del sector en que cae. La ficha azul10 asigna el puntaje anotado en el sector en que cae. El puntaje de cada participante se calcula sumando el puntaje de cada ficha. Cuáles son los distintos puntajes que se pueden obtener? De cuántas maneras se puede obtener cada puntaje? V R A PP PT V R A PP PT V R A PP PT Un productor de melones decide exportar la tercera parte de su producción. Entre los melones que se van a exportar, se hace un control de calidad y se descarta la sexta parte. Los melones que quedan se ponen en cajas de 1 docena. Cada caja se vende a $ 24. Por la venta de los melones de exportación, el productor obtiene $ 720. Cuál es el número total de melones que produce? exporta = 1 3 prod. de 1 3 de la producción se descarta 1 6 queda: 114

115 1 prod (1 prod) = 5 prod = 12 cajas prod - 1 prod = 12 cajas 3 18 prod = cajas 5 1 caja $24 ganó $720 vendió cajas = 30 cajas prod = 1 ( m) = 1296 melones En la figura: ABCH y DEFG son rectángulos BC = DE CD = GH y GD = 3 HC. El perímetro de ABCDGH es 140 cm. El perímetro de CDGH es 92 cm. El perímetro de DEFG es 108 cm. Cuál es el perímetro de la figura? Explica cómo lo obtienes. BD = DE AB = HC CD = GH GD = 3HC EF = GD per (ABCDGH) = 140cm per (fig)? AB + BC + 2CD + DG + HA = 140cm 2CD + DG + HC = 92cm 115

116 2DE + 2EF = 108cm Queda de la siguiente manera: (1) AB + BC + 2CD + DG + HA = 140cm (2) 2CD + DG + HC = 92cm (3) ED + EF = 54cm Reemplazando y teniendo en cuenta que la unidad de medida es cm: 2BC + 2CD + 4HC = 140 2CD + 4HC = 92 BC + 3HC = 54 Resolviendo el sistema de ecuaciones: 2BC + 2CD + 4HC = 140 2CD + 4HC = 92 BC + 3HC = 54 Teniendo en cuenta que 2CD + 4HC = 92cm 2BC + 92 = 140 = BC = 1 (140 92) = 24 2 BC + 3HC = 54 = HC = 1 (54-24) = CD + 4HC = 92 = CD = 1 2 ( ) = 26 ED + EF = 54 = EF = = 30 AB = BC = CH = HA = 24cm CD = GH = 26cm DE = FG = 24cm EF = DG = 30cm per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HA = = per (fig) = AB + AB + CD + AB+ EF + AB + CD + AB = = per (fig) = 5AB + 2CD + 2EF = 5. 24cm cm + 30cm = = per (fig) = 120cm + 52cm + 30cm per (fig) = 202cm 155. El tanque estaba lleno de agua. El lunes se gastaron 7 8 del agua del tanque. 116

117 El martes se agregaron 75 litros y entonces quedaron llenas las tres cuartas partes del tanque. Cuántos litros caben en el tanque? Tanque lleno T lunes gastó 7 8 T quedó 1 8 T martes 75 l T = 3 4 T 75 l = 3 T - 1 T = 1 (6T T) = 5 T l = 5 8 T T = l = 120 l T = 120l 156. La figura está partida en 3 partes. I es un cuadrado de 48 cm de perímetro. I y II forman un rectángulo de 82 cm de perímetro. II y III forman un cuadrado. AB = 2 DE Cuál es el perímetro del rectángulo II? Cuál es el perímetro del cuadrado formado por II y III? per (I) = 48cm per (II y III) = 82cm II y III cuadrados AB = 2DE per (II)? per (II y III)? 4BC = 48cm = BC = 12cm 117

118 per (I + II) = 82cm 4BC + 2CD = 82cm 48cm + 2CD = 82cm = CD = 1 2 AB + BC = CD + DE = AC = CE AB = 2DE AB + BC = CD + DE 2DE + 12cm = 17cm + DE DE = 5cm = AB = 10cm (82cm - 48cm) = 17cm per (II) = 2CD + 2BC = 2 (CD + BC) = 2. (17cm + 12cm) = 2. 29cm per (II) = 58cm per (II y III) = 2. (AC + CE) = 4AC = 4. (AB + BC) per (II y III) = 4. (10cm + 12cm) = 4. 22cm = 88cm 157. Una hormiga se mueve por las l neas del tablero deteniéndose en cada cruce. Hace dos clases de movimientos entre cruce y cruce: H horizontal de izquierda a derecha o V vertical de abajo hacia arriba. Nunca hace más de dos movimientos seguidos de la misma clase. Cuántos caminos distintos puede hacer la hormiga entre S y E? ( ), ( ), ( ), ( ), 118

119 ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) & ( ), ( ), ( ), ( ) & ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) Son 19 casos En la figura, ABE es un triángulo equilátero BC = CD = DE BE = CE El perímetro del triángulo BCE es 28 cm. El perímetro del triángulo CDE es 26 cm. Cuál es el perímetro del polígono ABCDE? 4ABE equilátero = AB = BE = EA = CE BC = CD = DE per (BCE) = 28cm per (CDE) = 26cm per (ABCDE)? per (BCE) = BC + CE + BE = 28cm = BC + 2CE = 28cm per (CDE) = CD + DE + CE = 26cm = 2BC + CE = 26cm BC = 28cm - 2CE 2. (28cm - 2CE) + CE = 26cm 119

120 56cm - 4CE + CE = 26cm = 56cm - 26cm = 3CE = 30cm = 3CE BE = CE = AB = AE = 10cm BC = 28cm - 2CE = 28cm cm = 8cm BC = CD = DE = 8cm per (ABCDE) = AB + BC + CD + DE + EA per (ABCDE) = 10cm + 8cm + 8cm + 8cm + 10cm per (ABCDE) = 44cm 159. El maestro quiere repartir 576 figuritas entre 10 de sus alumnos, 4 varones y 6 mujeres. Para varones tiene la mitad de figuritas de las que tiene para mujeres. A medida que van llegando: a cada mujer le da 2 figuritas menos de las que le dio a la anterior, a cada varón le da 6 figuritas más de las que le dio al anterior. Cuántas figuritas le dio a cada alumno? T 576f 4v 6m v = 1 2 m v + m = 576f v + 2v = 576f = v = f = 192f m = 576f - 192f = 384f v + (v + 6) + (v + 12) + (v + 18) = 192f m + (m - 2) + (m - 4) + (m - 6) + (m - 8) + (m - 10) = 384f 4v + 36f = 192f = v = 1 4 (192f - 36f) = 39f 6m - 30f = 384f = m = 1 6 (v, m) = (39f, 69f) (384f + 30f) = f = 69f 160. En el tablero de la figura se colocan fichas rojas y fichas azules del siguiente modo: - en cada una de las casillas de las esquinas se pone igual cantidad de fichas rojas, - la casilla central se deja vacía, - en cada una de las otras casillas se pone igual cantidad de fichas azules. 120

121 En total, en la primera fila hay 41 fichas. De cuántas maneras distintas se pudo haber completado el tablero? En cada caso, indica: a) cuántas fichas rojas y cuántas azules se colocaron en cada casilla? b) cuántas fichas se colocaron en total? 2 2r + a = 41 (en la 1er fila) a = 41-2r fichas por casilla: a r a r Si consideramos el tablero completo: a r ta tr tf

122 161. Pérez y Capria son socios en una empresa. Capria quiere repartir entre los empleados su parte en las ganancias de este fin de semana. Si les diera $ 125 a cada uno, le sobrarían $ 75. En cambio, si les diera $ 150 a cada uno, le faltarían $ 450. Cuántos empleados tiene la empresa? Si a Capria le corresponde la tercera parte de las ganancias, a cuánto ascienden las ganancias de este fin de semana? $125.k + $75 = g $150.k $450 = g $125. k + $75 = $150. k - $450 $75 + $450 = $150. k - $450 $75 + $450 = $150. k - $125. k $525 = $25. k k = $ = $21 La empresa tiene 21 empleados c = 1 3 fig p = 2 3 fig c) ($ e + $75) = $ x x = $ = $ 8100 ganancia $ Se tienen 3 piezas de cartón; un rectángulo, un triángulo isósceles y un cuadrado. El triángulo tiene un lado igual al lado del cuadrado. El rectángulo tiene dos lados iguales al lado del cuadrado. El perímetro del triángulo es 7 cm menor que el perímetro del cuadrado. La suma de los perímetros de las 3 piezas es 189 cm. La figura, que se armó con estas piezas, tiene 129 cm de perímetro. Cuánto miden los lados de cada una de las piezas? 122

123 per (CDE) = per (BCEF) - 7cm per (ABFG) + per (BCEF) + per (CDE) = 189cm AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 129cm CD + DE + CE = BC + CE + EF + BF - 7cm AB + BF + FG + GA + BC + CE + EF + BF + CD + DE + CE = 189cm AB = FG BC = EF = BF = CE = AG CD = DE 2AB + 7BF +2CD = 189cm { 2AB + 3BF + 2CD = 129cm 3BF 2CD = 7cm Si resto las dos primeras ecuaciones, queda que: 163. Marcelo tiene $ 450 en billetes de $2; de $5 y de $10. Tiene 62 billetes entre los de $2 y los de $5. Tiene 48 billetes entre los de $5 y los de $10. Cuántos billetes de cada clase tiene? 2x + 5y +10z = 450 { x + y = 62 y + z = 48 4BF = 60cm = BF = 60 4 cm = 15cm Reemplazando en la tercera ecuación: 3BF - 2CD = 7cm = 2CD = 3BF - 7cm = CD = 1 2 (3BF - 7cm) CD = 1 2 (3. 15cm - 7cm) = 19cm 123

124 Reemplazando en la primera ecuación: AB = 189cm x = 62 - y y = 62 - x = 48 - z z = 48 - y 2x + 5y + 10z = 450 (2. 19cm cm) = 37cm 2 (62 - y) + 5y+ 10 (48 - y) = y + 5y y = = 7y 154 = 7y = y = = 22 x = 62 - y = = 40 z = 48 - y = = 26 (x, y, z) = (40, 22, 26) 164. La abuela de Sofi preparó mermeladas de 6 gustos distintos que guardó en un frasco de 1 kilo, dos frascos de medio kilo y tres frascos de un cuarto kilo. En los frascos de un cuarto kilo guardó las mermeladas de frutilla, manzana y pomelo. En los frascos de medio kilo guardó la de ciruela y la de naranja. En el frasco de 1 kilo guardó la mermelada de durazno. Quiere acomodar los 6 frascos en un estante, de modo que los de igual capacidad estén juntos. De cuántas maneras distintas puede hacerlo? 6 gustos distintos 1 1kg DUR 2 1 kg CIR / NAR 2 124

125 3 1 kg FRU / MAN / POM 4 FMPCND CNDFMP DFMPCN FMPDNC DNCFMP DFPMCN FMPDCN DCNFMP DMPFCN FMPNCD NCDFMP DMFPCN FPMCND CNDFPM DPFMCN FPMDNC DNCFPM DPMFCN FPMDCN DCNFPM DFMPNC FPMNCD NCDFPM DFPMNC MPFCND CNDMPF DMPFNC MPFDNC DNCMPF DMFPNC MPFDCN DCNMPF DPFMNC MPFNCD NCDMPF DPMFNC MFPCND CNDMFP CNFMPD MFPDNC DNCMFP CNFPMD MFPDCN DCNMFP CNMPFD MFPNCD NCDMFP CNMFPD PFMCND CNDPFM CNPFMD PFMDNC DNCPFM CNPMFD PFMDCN DCNPFM NCFMPD PFMNCD NCDPFM NCFPMD PMFCND CNDPMF NCMPFD PMFDNC DNCPMF NCMFPD PMFDCN DCNPMF NCPFMD PMFNCD NCDPMF NCPMFD Son 72 maneras distintas Para un recital, hay plateas A y B; una platea A cuesta $ 50 más que una platea B. Si se compran por Internet hay que pagar una suma adicional por cada platea; la suma adicional para una platea A es $5 más que la suma adicional para una platea B. 125

126 Dani compró 4 plateas A por Internet, en total gastó $880. Edu compró 2 plateas A y 4 plateas B por Internet. Cuánto gastó Edu? A, B A = B + $50 ada= $5 + adb D 4Aint $880 E 2Aint + 4Bint 4Aint $880 1 Aint 1 $880 = $ Aint 2. $220 = $440 Aint = A + ada = B + $50 + $5 + adb Bint = B + adb = $220 - $55 = $165 4Bint = 4. $165 = $660 2Aint + 4Bint = $440 + $660 = $ En la figura, EFD, DFC y CFB son triángulos equiláteros, ABE es isósceles, EA = AB. El perímetro de la figura es 98 cm. El perímetro de ABE es 2 cm más que el perímetro de EBCD. Cuánto mide cada uno de los lados de la figura? Cuál es el perímetro de CDEF? Cuál es el perímetro de ABE? (EFD), (DFC), (CFB) equiláteros 126

127 (ABE) isósceles EA = AB per (fig) = 98cm per (ABE) = per (EBCD) + 2cm cada lado? per (CDEF)? per (ABE)? EF = FD = DE = CD = CF = FB = CB per (fig) = AB + BC + CD + DE + EA = 98cm 2AB + 3 BC = 98cm per (ABE) = per (EBCD) + 2cm per (ABE) = AB + BE + EA Como EA = AB, queda AB + BE + EA = 2AB + BE BE = BF + FE = 2BC BC + CD + DE + EF + FB = 5BC 2AB - 5BC = 2cm 2AB = 98cm 3BC 2AB = 2cm + 5BC 98cm - 3BC = 2cm + 5BC 96cm = 8BC BC = 12cm AB = 1 (2cm + 5BC) = 1 (2cm + 60cm) = 31cm 2 2 per (CDEF) = CD + DE + EF + FC = 4BC = 48cm per (ABE) = AB + BE + EA = 31cm + EF + FB + 31cm per (ABE) = 62cm cm = 86cm Por lo tanto: AB = EA = 31cm BC = CD = DE = EF = FB = FC = DF = 12cm 127

128 167. Desde A hasta Z, siguiendo el orden de las fichas, de cuántas maneras se puede ir? Indica cuáles son. 128

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