SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

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1 SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso Etoces ( a b) ( a b) 4ab 4 4( ) ( ) Pero como a b es etero y a b, etoces a b y por la desigualdad etre las medias a b aritmética y geométrica ab, que es ua cotradicció Luego el resultado a demostrar es cierto El caso de la igualdad requiere que ( a b) 4 4( ) ( ), debido a la idetidad ( a b) ( a b) 4ab Por tato a b La igualdad a b 4 se alcaa cuado el radicado sea ecesariamete u cuadrado perfecto impar; es decir 4 (u ) para algú etero o egativo u, co lo que u u y a b u Además, b u u, luego a b u u u Se comprueba fácilmete 4 que e efecto ab u u u u ( u u ) Luego hay igualdad si y sólo si a u u, u b y u u, co a b u, para todo etero o egativo u Determia todos los úmeros eteros positivos, para los cuales es costate, cualesquiera que sea S y, y, reales tales que, y y y 0 Supogamos coocido Etoces, y so dos úmeros reales co suma y producto ; es decir so las raíces de la ecuació 0, o bie: 4, y Así ua posible solució es por ejemplo 4 y y Si embargo, podemos hacer arbitrariamete grade e valor absoluto, siedo etoces uo de los dos úmeros ó y tambié arbitrariamete grade e valor absoluto y de sigo cotrario a Y el otro arbitrariamete pequeño e valor absoluto y de sigo egativo Se deduce imediatamete que o puede ser par cuado S es costate, ya que por ua parte toma u valor fiito y bie determiado cuado 4 y por otra puede

2 tomar valores arbitrariamete grades y siempre positivos cuado crece arbitrariamete Para fialiar el problema utiliaremos el siguiete resultado Lema: Para todo impar, fijado, se puede escribir y como u poliomio e de grado (más algú térmio posiblemete de epoete egativo) y co coeficietes iguales a, para los térmios de grado, iguales a 0, para los térmios de grado, y para los térmios de grado Demostració: Para teemos que y ( y) y( y) Para 5 teemos y ( y) 5y( y ) 0 y ( y) 5 Si el resultado es cierto para u etero impar, etoces para teemos y ( y) ( y ) u u u u u y u u u y u y u u Por hipótesis de iducció la suma para u o cotiee igú térmio de grado superior a 4, y tambié por hipótesis de iducció, el térmio de mayor grado del segudo sumado del miembro de la derecha es ( ) ( ) De este modo queda probado el lema por iducció completa Del raoamieto iicial se deduce que si S es costate, o puede ser par y por el lema cuado para algú 5 impar dado, se tiee que y, co sigo positivo además por ser par e este caso Luego sólo podría ser costates S y S : S 0 es costate por hipótesis y S como cosecuecia de u resultado hallado durate la demostració del lema Por tato, se cocluye que S es costate co las codicioes del euciado, si y sólo si = ó = Sea k y eteros, co k Se cosidera putos e el plao, o alieados etre sí tres a tres A cada segmeto que ue etre sí dos de esos putos se le asiga u color de etre k colores dados Se dice que u águlo es bicolor si tiee por vértice uo de los + putos, y por lados, dos de los segmetos ateriores que sea de distito color Demuestra que eiste ua coloració tal que el úmero de águlos bicolores es estrictamete mayor que OBSERVACIÓN: Se deota por Utiliaremos e la solució el siguiete resultado o lema: k k t la parte etera del úmero real t ; es decir el mayor etero t Para todo etero k, se puede colorear, usado k colores, todos los lados y diagoales de u polígoo regular de k lados, de forma que los k lados y diagoales

3 que cofluye e cada vértice esté coloreados de distito color Se puede además elegir la coloració de forma que, para cada dos vértices cosecutivos del polígoo, el color ausete para cada uo de ambos (es decir, aquel color del que o está pitado igú lado o diagoal que cocurre e cada uo de dichos vértices) sea distito Prueba: Cada lado o diagoal del polígoo regular de k lados es ua cuerda de su circuferecia circuscrita, y su mediatri es eje de simetría del polígoo Como es coocido que el polígoo tiee k ejes de simetría, podemos, a cada eje de simetría, asociarle u color, y pitar de dicho color todos los lados y diagoales que so perpediculares al mismo (aquellos para los que el eje de simetría del polígoo es la mediatri)luego dos lados o diagoales tiee el mismo color si y sólo si so paralelos, y como los k lados o diagoales que cofluye e u vértice uiédolo a los k restates o puede ser paralelos dos a dos, estos k lados o diagoales tiee distito color, como queríamos demostrar Además, dados cuatro vértices cosecutivos que umeramos ordeadamete P, P, P, P 4, el color del que está pitada la diagoal P P correspode a todos los lados y diagoales perpediculares al eje de simetría que pasa por P, luego está ausete del vértice P, y de forma aáloga el color del que está pitada la diagoal P P 4 está ausete del vértice P, y estos dos vértices cosecutivos tiee colores ausetes distitos Para k se cumple trivialmete, siedo suficiete pitar cada lado del triágulo equilátero, de uo de los colores dispoibles Dados y k cumpliedo las restriccioes del euciado, costruimos ua coloració e la que el úmero de águlos bicolores sea mayor que la cota propuesta Para ello, elegimos primero u puto O, al que llamamos pivote, y distribuimos los putos restates e k subcojutos A, A,, A k, colocado primero k putos e cada subcojuto, y distribuyedo los demás a volutad Numeramos ahora P, P,, P k los vértices de u polígoo regular de k lados, y asociamos a cada subcojuto A i, el vértice P i Coloreamos además los lados y diagoales del polígoo regular de k lados de forma que e cada vértice cocurra k lados y diagoales de k colores distitos, de acuerdo al Lema Para cada puto Q de los dados y distito del pivote, pitamos todos los segmetos que lo ue a cada puto R de los restates, de la siguiete forma: Si Q y R está e distitos subcojutos A i y A j, pitamos el segmeto que los ue del mismo color que el lado o diagoal P i P j e el polígoo regular Si Q y R está e el mismo subcojuto A i, o si RO es el pivote, pitamos el segmeto que los ue del color que o está presete e iguo de los lados y diagoales que cofluye e el vértice P i del polígoo regular Claramete, co esta coloració cada puto Q de u subcojuto A i, está uido a al meos k putos por segmetos pitados co cada uo de los k colores E efecto, para cada uo de los k colores de los que está pitados los lados y diagoales que cofluye e el vértice P i del polígoo regular, el puto Q está uido a los al meos k putos del subcojuto Aj asociado al vértice P j que está uido al vértice P i por dicho color; y para el color restate, el puto Q está uido a los al meos putos restates del cojuto A i, más al pivote O k De lo aterior, deducimos que, e la coloració propuesta y para cada uo de los putos distitos del pivote, hay al meos k segmetos de cada uo de los k colores que cofluye

4 e dicho vértice Para cada par de colores distitos, hay por lo tato k posibles pares de k segmetos que forma u águlo bicolor cuyos lados so estos dos colores, y como hay posibles formas de elegir dos colores de etre los k eistetes, para cada uo de los putos k distitos del pivote hay al meos águlos bicolores que lo tiee por vértice, para u k total de al meos k k águlos bicolores Ahora bie, por la seguda parte del Lema, los segmetos que ue al pivote co los putos de dos subcojutos A i y A j, asociados a vértices cosecutivos del polígoo regular de k lados, está pitados de los colores ausetes e cada uo de los dos vértices, que so distitos, y hay al meos u águlo bicolor co vértice e el pivote O, y por lo tato, para la coloració costruida, el úmero de águlos bicolores es mayor que k k 4 Eiste ifiitos eteros positivos que o puede represetarse de la forma a b c d e, dode a, b, c, d, e so eteros positivos? Raoa la respuesta Como , veamos cuátos eteros podemos obteer que sea meores o 465 iguales que N Al ser 465 N, y teemos a, b, c, d, e positivos, cada uo de ellos es meor que a N, b N, c N, 85 5 d N y e N Luego al ser , hay meos de 04 N tales úmeros 464 N úmeros etre los 465 N que se puede poer e la forma idicada, y hay más de primeros que o se puede represetar e la forma propuesta Al crecer N arbitrariamete, tambié aumeta el úmero de eteros positivos que o puede represetarse e la forma idicada y por lo tato sí eiste ifiitos eteros que o se puede represetar de la maera propuesta 5 Estudiar si eiste ua sucesió estrictamete creciete de eteros 0 a 0 a a, que cumple las dos codicioes siguietes: i) Todo úmero atural puede ser escrito como suma de dos térmios, o ecesariamete distitos, de la sucesió ii) Para cada etero positivo, se verifica que a 6

5 Sea a la sucesió de todos los úmeros aturales k, que e el sistema de umeració biario sólo tiee uos e las posicioes pares o sólo e los lugares impares De esta forma se satisface la codició primera Probemos a cotiuació que la estimació de la codició seguda es tambié válida Cosideremos todos los eteros o egativos que so meores que r, es decir los úmeros que o tiee más de r dígitos (cifras) e su represetació biaria Cotamos r el úmero de elemetos de la sucesió que hay etre esos úmeros: hay elemetos que r tiee ceros e todos los lugares pares y elemetos que tiee ceros e todos los lugares impares y 0 es el úico úmero que se cueta dos veces Por tato hay r r elemetos de la sucesió que so meores que y así a r r r r Para cada úmero atural, se puede ecotrar u etero r, tal que Por tato r 4 y esto implica que r a 6 r 6 Sea ABCD u cuadrilátero coveo tal que: AB CD AC y BC DA BD Qué forma tiee el cuadrilátero ABCD? SOLUCIÓN : Sea M es el puto medio de AB, N el de BC, P el de CD y Q el de DA El puto medio de la diagoal AC es E y el de la diagoal BD es F Las logitudes respectivas de los lados AB, BC, CD y DA so a, b, c y d Y e y f las de las diagoales AC y BD, respectivamete Las relacioes de Euler e los cuadriláteros coveos las formulamos como i) a c 4 MP b d e f ii) b d 4NQ a c e f iii) e f 4EF a b c d Recordemos brevemete la demostració de ua de ellas, por ejemplo i) MP es ua mediaa e el triágulo APB, así que el teorema de la mediaa e él os da 4MP PA PB AB ; ahora bie, PA es mediaa e ACD y PB lo es e BCD, así que volviedo a aplicar e esos dos triágulos el teorema de la mediaa y sustituyedo e la epresió aterior se obtiee i)

6 Vamos a demostrar ahora que se verifica la desigualdad QN AB CD, y que el sigo igual se verifica si y sólo si AB es paralelo a CD E efecto, sobre la siguiete figura, e el triágulo EQN se verifica obviamete QN QE EN, valiedo el sigo igual cuado E está sobre QN; puesto que QE es paralela media e ACD (paralela a CD e igual a su mitad) y EN tambié es paralela media e ABC (paralela a AB e igual a su mitad), se tiee, imediatamete, QN AB CD () (El sigo igual vale, etoces, cuado ABCD es u trapecio de bases AB y CD) A cotiuació vamos a demostrar que Si ABCD es u cuadrilátero coveo, etoces e f d b ac, () y el sigo igual vale si y sólo si AB es paralelo a CD E efecto, multipliquemos () por y elevemos al cuadrado: 4QN AB CD, y sustituyamos aquí la epresió de QN dada por (ii): b d 4NQ a c e f ; obtedremos AC BD AD BC AB CD, que es (), y el sigo igual es válido si y sólo si AB es paralelo a CD De ua forma completamete similar obtedríamos e f a c bd, () dode ahora el sigo = es válido si y sólo si AD es paralelo a BC Sumado () y () llegamos etoces a que e f a c b d, (4) Dode el sigo igual vale si AB es paralelo a CD y BC lo es a AD, es decir, si ABCD es u paralelogramo Puesto que elevado al cuadrado las dos relacioes del euciado y sumado se obtiee (4) y hemos termiado CONSTRUCCIÓN GRÁFICA: Utiliaremos las otacioes siguietes Lados: AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Diagoales del cuadrilátero: AC = d, y BD = d Y para fijar ideas supogamos que d d Además, M es el puto medio de AB, N el de BC, P el de CD y Q el de DA El puto medio de la diagoal AC es E y el de la diagoal BD es F

7 Segú el euciado, se cumple las relacioes a c d y b d d Dados d y d, se costruye sedos triágulos rectágulos isósceles cuyos catetos so d y d ; etoces sus hipoteusas so a + c y b + d respectivamete El puto M (que coicidirá co A ua ve termiada la costrucció) será cetro de ua circuferecia de radio d ; el puto N será cetro de ua circuferecia de radio d A uo de los putos de itersecció de ambas circuferecias se le llama O Sea P el simétrico de M respecto de O E el triágulo NOP, el águlo NOP es el suplemetario de MON Apliquemos el teorema del coseo e los triágulos MON y NOP: E NOP : NP d d d d cos e MNO : d y d d d d cos Sumado miembro a miembro y simplificado, obteemos NP d NP d b d Traado por P la paralela a MN y por M la paralela a NP obteemos el puto Q El paralelogramo MNPQ es semejate al que buscamos; éste se obtiee traado las paralelas a los lados por el puto O Para que la costrucció sea posible, debe ser d d d d d d d d Si d d cos 0 y se obtedría u cuadrado

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