o o α = + α = + α = α =

Transcripción

1 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 1 TEMA 7 TRIGONOMETRÍA UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO 1 a) Pasa a radianes ls siguientes ánguls: 10 y 70 b) Pasa a grads ls ánguls: 7π rad 6 y,5 rad π 7π a) rad rad π 7π 180 b) rad π π 7π rad rad , 5 rad, 5 00 '7" π EJERCICIO : Cmpleta la tabla: π 1π rad rad π 11π 0 0 rad rad Pr tant: 4π 4π 180 rad π 180 1, 5 rad 1, 5 π ' 7" CÁLCULO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO : Sabiend que α es un ángul agud y que el cs α 1/5, calcula sen α y tg α α + α + α α Cm cs sen 1 sen 1 sen sen α 6 1 Lueg, tg α : 6 tg α 6 cs α 5 5 sen α EJERCICIO 4 : Cmpleta la siguiente tabla aciend us de las relacines fundamentales y sabiend que α es un ángul agud: sen α cs α 0,5 tg α 0,6 6 5 Si cs α 0,5 (0,5) + sen α 1 sen α 0,975 0,97 Lueg, sen α 0,97 y tg α,88. 0,5

2 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO Si tg α 0,6 sen α 0,6 cs α (0,6 cs α) + cs α 1 0,6 cs α + cs α 1 1,6 cs α 1 cs α 0,74 cs α 0,86 Lueg, sen α 0,6 0,86 0,5 y la tabla queda: sen α 0,97 0,5 cs α 0,5 0,86 tg α,88 0,6 4 EJERCICIO 5 : Calcula sen α y cs α de un ángul agud, α, sabiend que la tg α. 4 sen α 4 4 Si tg α sen α cs α cs α 4 16 sen α + cs α 1 cs α cs α cs α + cs α cs α 1 cs α cs α Lueg, sen α sen α 5 5 EJERCICIO 6 : Sabiend que 0 < α < 90, cmpleta la siguiente tabla usand las relacines fundamentales: sen α 0,8 cs α tg α 0,75 sen α Si tg α 0,75 0,75 sen α 0,75 cs α cs α ( ) sen α + cs α 1 0,75 cs α + cs α 1 0,565 cs α + cs α 1 α α α 1,565 cs 1 cs 0,64 cs 0,8 Lueg, sen α 0,75 0,8 0,6. Si sen α 0,8 sen α + cs α 1 (0,8) + cs α 1 0,64 + cs α 1 cs α 0,6 cs α 0,6 0,8 Lueg, tg α 1,. ) 0,6 Cmpletams la tabla: sen α 0,6 0,8 cs α 0,8 0,6 tg α 0,75 1, ) EJERCICIO 7 : De un ángul agud, α, cncems que sen α. Halla cs α y tg α. 5

3 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 9 sen α + cs α 1 + cs α 1 + cs α cs α 1 cs α cs α sen α 4 tg α : tg α cs α EJERCICIO 8 : Cmpleta la tabla sin usar calculadra (0 α 90 ): α 90 sen α 0 cs α / tg α α sen α 0 1 / 1/ cs α 1 0 1/ / tg α 0 NO EXISTE / EJERCICIO 9 : Sin acer us de la calculadra, alla el valr exact de las raznes trignmétricas que faltan del ángul α, sabiend que 0 α 90 : sen α 1 cs α 1/ tg α / α 45 sen α / 1/ 1 / cs α 1/ / 0 / tg α / NO EXISTE 1 α EJERCICIO 10 : Sin usar calculadra, cmpleta la siguiente tabla (0 α 90 ): α 60 sen α / cs α 1 tg α NO EXISTE

4 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 4 α sen α 1 / 0 / cs α 0 1/ 1 / tg α NO EXISTE 0 1 EJERCICIO 11 : Calcula el valr exact de las raznes trignmétricas que faltan del ángul α, sin usar calculadra (0 < α 90 ): sen α / cs α / tg α 0 α 0 sen α / 0 1/ / cs α 1/ 1 / / tg α 0 / 1 α EJERCICIO 1 : Cmpleta la tabla sin usar calculadra (0 α 90 ): α 0 sen α 1/ cs α 0 tg α 1 α sen α 0 1/ / 1 cs α 1 / / 0 tg α 0 / 1 NO EXISTE EJERCICIO 1 : Calcula las raznes trignmétricas de ls ánguls aguds del triángul rectángul siguiente:

5 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 5 Llamams x a la lngitud del tr catet y calculams su valr usand el terema de Pitágras: x + 1, 1, x + 1,44 1,69 x 0,5 x 0,5 m Calculams las raznes trignmétricas de α y β: 0,5 1, 0,5 sen α 0,8 cs α 0,9 tg α 0,4 1, 1, 1, 1, 0,5 1, sen β 0,9 cs β 0,8 tg β,4 1, 1, 0,5 EJERCICIO 14 : a) Cmprueba, usand el terema de Pitágras, que el triángul de lads 6 cm, 8 cm y 10 cm es rectángul. b) Calcula las raznes trignmétricas de sus ds ánguls aguds. a) Se cumple el terema Pitágras. Pr tant, es rectángul. b) Calculams las raznes trignmétricas de α y β: sen α 0,6 cs α 0,8 tg α 0, sen β 0,8 cs β 0,6 tg β 1, ) EJERCICIO 15 : Halla las raznes trignmétricas de ls ánguls sabiend que es rectángul. α y β del triángul ABC Sea x la lngitud de la iptenusa; pr el terema de Pitágras: 1, ,8 x x 466,56 x 1,6 cm Calculams las raznes trignmétricas de α y β: 1,96 17,8 1,96 sen α 0,6 cs α 0,8 tg α 0,75 1,6 1,6 17,8 17,8 1,96 17,8 sen β 0,8 cs β 0,6 tg β 1, ) 1,6 1,6 1,96 EJERCICIO 16 : a) Calcula x e y en el triángul: b) Halla el sen, el csen y la tangente de ls ánguls α y β. a) Calculams y aplicand el terema de Pitágras: 5 + y y 16 y y 4 cm

6 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 6 Calculams x sabiend que la lngitud de ls catets del triángul BDC miden cm y cm: x + 8 x x 7 x 8,54 cm b) Calculams las raznes trignmétricas de α y β: 4 4 sen α 0,8 cs α 0,6 tg α 1, ) sen β 0,5 cs β 0,94 tg β 0,75 8,54 8,54 8 EJERCICIO 17 : Calcula las raznes trignmétricas de ls ánguls aguds de un triángul en el que un de sus catets mide,5 cm y la iptenusa, 6,5 cm. Llamams x a la lngitud del tr catet y calculams su valr aplicand el terema de Pitágras: x +,5 6,5 x + 6,5 4,5 x 6 Lueg x 6 cm es la lngitud del tr catet. Calculams las raznes trignmétricas de α: 6,5 sen α 0,9 cs α 0,8 6,5 6,5 Calculams las raznes trignmétricas de β:,5 6 sen β 0,8 cs β 0,9 6,5 6,5 6 tg α,4,5,5 tg β 0,4 6 EJERCICIO 18 : De un ángul α sabems que la tag α /4 y 180º < α < 70º. Calcula sen α y cs α. sen α Cm tg α sen α cs α 4 cs α 4 4 sen sen α cs α 4 α + cs α cs α + cs α cs α cs α cs α pr estar α en el tercer cuadrante Asi, sen α sen α

7 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 7 EJERCICIO 19 : Si cs α y 70 < α < 60, calcula sen α y tg α. En el cuart cuadrante, sen α < 0 y tg α < 0. 7 α + α + α α α 9 sen cs 1 sen 1 sen 1 sen sen α tg α : tg α cs α EJERCICIO 0 : Sabiend que cs α 5 y que α es un ángul del tercer cuadrante, calcula sen α 5 y tg α Cm cs α + sen α 1 + sen α sen α sen α (elegims el sign pr estar α en el 5 5 tercer cuadrante). sen α 5 5 Así, tg α : tg α cs α 5 5 EJERCICIO 1 : Si sen α 5 y 90 < α < 180, Cuánt valen cs α y tg α? α + α + α cs α 1 cs α cs α 9 9 dnde elegims el sign pr ser 90 < α < 180. Si sen cs 1 cs 1 sen α Así, tg α : tg α cs α EJERCICIO : Calcula sen α y cs α sabiend que la tg α 5 y α º cuadrante. Cm tg α 5 sen α 5 cs α sen α + cs α 1 5 cs α + cs α cs α 1 cs α cs α, pr estar α en el º cuadrante. 6 0 Así, sen α La slución es: cs α 6 0 y sen α 6 6

8 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 8 EJERCICIO : 15 Sabiend que sen α y que 90 < α < 180, calcula el valr de cs α y tg α α. 17 En el º cuadrante, cs α < 0 y tg α < sen α 15 + α 5 α cs 1 cs 1 cs α cs α sen α + cs α 1 Lueg: tg sen α α : tg α cs α EJERCICIO 4 : De un ángul agud, α, a sabems que tg α. Calcula sen α y cs α α. 4 5 sen α 5 5 tg α sen α cs α 4 cs α 4 4 sen α + cs α cs α + cs α 1 cs α + cs α 1 cs α cs α α α 0,6 41 cs 41 cs 41 α 5 sen 0,6 0,78 4 EJERCICIO 5 : 7 Sabiend que cs α y que 180 < α < 70, calcula sen α y tg α. 4 sen α + cs α sen α + 1 sen α sen α cs α En el tercer cuadrante, sen α < 0 y tg α > 0. sen α Lueg: tg α : tg α cs α EJERCICIO 6 : Calcula sen α y tg α de un ángul agud, α, sabiend que cs α 0,6. sen α + cs α 1 sen α + 0,6 1 sen α 1 0,6 sen α 0,64 sen α 0,8 sen α 0,8 ) ) Lueg: tg α 1, tg α 1, cs α 0,6 EJERCICIO 7 : 1 Si sen α y α 4 cuadrante, calcula cs α y tg α α. 1 En el cuart cuadrante, el cs α es psitiv, y la tangente, negativa. 1 sen α sen α + cs α cs α 1 cs α 1 cs α 5 cs α 1

9 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 9 Lueg: tg sen α α : tg α cs α CAMBIO DE CUADRANTES EJERCICIO 8 : Expresa, cn valres cmprendids entre 0 y 60, el ángul de 10. Calcula sus raznes trignmétricas dibujándl previamente en la circunferencia gnimétrica y relacinándl cn un ángul del primer cuadrante , lueg calcular las raznes trignmétricas de 10 equivale a calcular las raznes trignmétricas de 0. sen 10 sen 0 sen 0 cs 10 cs 0 cs 0 Así: 1 sen 10 ; cs 10 ; tg10 EJERCICIO 9 : Representa en la circunferencia gnimétrica las raznes trignmétricas del ángul de 5, y calcula el valr de cada una de ellas relacinand el ángul de 5 cn un del primer cuadrante. sen 5 sen 45 sen5 Observams que: cs 5 cs 45 cs5 tg 5 tg 45 tg5 1 EJERCICIO 0 : Representa en la circunferencia gnimétrica sen 150, cs 150 y tg 150. Calcula el valr de cada una de ellas relacinand el ángul de 150 cn un ángul del primer cuadrante.

10 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 10 1 sen 150 sen 0 sen150 En la circunferencia gnimétrica bservams: cs 150 cs 0 cs150 tg 150 tg 0 tg150 EJERCICIO 1 : Calcula las raznes trignmétricas de 40 dibujand previamente este ángul en la circunferencia gnimétrica. sen 40 sen 60 sen 40 En el dibuj se bserva que: 1 cs 40 cs 60 cs 40 sen 40 1 Lueg: tg 40 : tg 40 cs 40 EJERCICIO : Sitúa sbre la circunferencia gnimétrica, el ángul de 15 y calcula sus raznes trignmétricas relacinándl cn un del primer cuadrante. sen 15 sen 45 sen 15 Se bserva en la circunferencia gnimétrica que: Lueg, tg cs 15 cs 45 cs 15 EJERCICIO : Relacinándl cn un ángul del primer cuadrante, calcula las raznes trignmétricas de pertenece al er cuadrante y

11 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 11 Lueg, las raznes trignmétricas de 10 van a estar relacinadas cn las raznes trignmétricas de 1 sen 10 sen 0 sen 10 0 : cs 10 cs 0 cs 10 tg 10 tg 0 tg 10 EJERCICIO 4 : Sabiend que cs 58 0,5, sen 58 0,85 y tg 58 1,6, calcula las raznes trignmétricas de 1. 1 pertenece al º cuadrante y sen 1 sen 58 sen 1 0,85 Relacinams las raznes trignmétricas de 1 y 58 : cs 1 cs 58 cs 1 0,5 tg 1 tg 58 tg 1 1,6 EJERCICIO 5 : Halla las raznes trignmétricas de 15 estableciend una relación entre dic ángul y un del primer cuadrante. Se sabe que 15 es un ángul del 4º cuadrante, y además, Relacinams, pues, las raznes trignmétricas de 15 cn las raznes trignmétricas de 45 : sen 15 sen 45 sen 15 cs 15 cs 45 cs 15 tg 15 tg 45 tg 15 1 EJERCICIO 6 : Calcula las raznes trignmétricas de 7 a partir de las raznes trignmétricas de 47 : sen 47 0,7; cs 47 0,68; tg 47 1,07 7 es un ángul crrespndiente al er cuadrante. Además, , lueg: sen 7 sen 47 sen 7 0,7 cs 7 cs 47 cs 7 0,68 tg 7 tg 47 tg 7 1,07 EJERCICIO 7 : Calcula el valr del sen 10, cs 10 y tg 10, relacinándls cn un ángul del primer cuadrante. Observams que 10 º cuadrante y que

12 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 1 Lueg: sen 10 sen 60 sen 10 1 cs 10 cs 60 cs 10 PROBLEMAS tg 10 tg 60 tg 10 EJERCICIO 8 : El ángul que frma el suel cn la recta que une el extrem de la smbra de un árbl cn la parte superir del árbl es de 40. Calcula la lngitud de la smbra sabiend que el árbl mide 15 m de altura. Sea x la lngitud de la smbra del árbl. Cm dats tenems un ángul y el catet puest a ese ángul; ns piden el catet cntigu, lueg la tangente es la razón trignmétrica a usar: tg 40 x 17,86 m x tg 40 0,84 La smbra del árbl mide 17,86 m. EJERCICIO 9 : Carls sube pr una rampa de 5 m asta el tejad de su casa. Estand aí, mide la visual entre su casa y la rampa, resultand ser de 70. Calcula la altura de la casa de Carls y el ángul que ay entre la rampa y el suel. Llamams a la altura de la casa y α al ángul que ay entre la rampa y el suel. Calculams α: α 180 α 0 Calculams : cs 70 5 cs ,4 5 11,9 m es la altura de la casa de Carls. EJERCICIO 40 : Un trnc de 6, m está apyad en una pared y frma cn el suel un ángul de 55. a) A qué altura de la pared se encuentra apyad? b) Calcula la distancia desde el extrem inferir del trnc asta la pared. altura que alcanza el trnc apyad en la pared. x distancia desde el extrem inferir del trnc asta la pared. La iptenusa del triángul que se frma mide 6, m, y un ángul agud, 55. Así:

13 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 1 a ) sen 55 6, sen 55 6, 0,8 5,08 m 6, El trnc se encuentra apyad en la pared a 5,08 m del suel. x b ) cs 55 x 6, cs 55 6, 0,57,5 m 6, La distancia entre el extrem inferir del trnc y la pared es de,5 m. EJERCICIO 41 : Halla la altura de una antena sabiend que a una distancia de 18 m se ve la parte superir de la antena baj un ángul de 0. Llamams a la altura de la antena. Cm dats tenems un ángul y el catet cntigu; ns piden el catet puest al ángul, lueg la tangente será la razón trignmétrica a usar: tg 0 18 tg ,9 m 18 La altura de la antena es de 10,9 m. EJERCICIO 4 : Calcula la altura de una casa sabiend que al tender un cable de 9 m desde el tejad, este frma cn el suel un ángul de 60. A qué distancia de la casa cae el cable? Llamams a la altura de la casa; cm cncems la lngitud del cable, que es la iptenusa, y tenems que allar el catet puest al ángul que ns dan, debems usar el sen cm razón trignmétrica: 9 sen 60 9 sen 60 7,79 m La altura de la casa es de 7,79 m. 9 Sea x distancia entre el pie de la casa y el cable sujet al suel pr un extrem. En este cas, el csen x 1 es la razón trignmétrica que debems usar: cs 60 x 9 cs ,5 m 9 El cable está sujet al suel a 4,5 m de distancia de la casa. EJERCICIO 4 : Desde el tejad de un edifici de 150 m de altura, se divisa el tejad de tr edifici cercan baj un ángul de 45. La distancia entre ambs en línea recta es de 0,1 km. Calcula la altura del tr edifici. Hacems una representación del prblema: 0,1 km 10 m x tg 45 x 10 tg 45 x 10 m 10 Lueg, la altura del tr edifici será x , es decir, 60 m.

14 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 14 EJERCICIO 44 : Un glb, sujet al suel pr una cuerda, se encuentra a una altura de 7,5 m; entre la altura y la cuerda se frma un ángul de 54. Calcula la lngitud de la cuerda y el ángul que esta frma cn el suel. Llamams: x lngitud de la cuerda α ángul entre la cuerda y el suel La razón trignmétrica a usar cn ls dats del prblema es el csen: 7,5 7,5 7,5 cs 54 x 1,71 x cs 54 0,59 La cuerda tiene una lngitud de 1,71 m. Calculams α α 180 α 6 EJERCICIO 45 : Ds trres de 198 m y 0 m de altura están unidas en sus punts más alts pr un puente baj el cual ay un rí. Calcula la lngitud del puente y la ancura del rí sabiend que el ángul que ay entre el puente y la trre más alta es de 75. Hagams un dibuj que represente el prblema: Llamams x lngitud del puente y ancura del rí Observams que tenems un triángul rectángul del cual cncems el catet cntigu al ángul de 75 : m cs 75 x 19, m x cs 75 0,6 y sen 75 y x sen 75 19, 0,97 18,65 m x La lngitud del puente es de 19, m, y la ancura del rí, 18,65 m. EJERCICIO 46 : Una escalera de 5 m está apyada en una pared frmand un ángul de 46. Calcula la distancia entre la base de la escalera y la pared. Qué ángul frma la escalera cn el suel? Llamams: x distancia entre la base de la escalera y la pared α ángul entre la escalera y el suel Cncems la iptenusa y un ángul agud, y ns piden calcular el catet puest a ese ángul; usams x el sen cm razón trignmétrica: sen 46 x 5 sen ,7,6 5 La distancia entre la base de la escalera y la pared es de,6 m. Calculams α α 180 α 44 es la inclinación que ay entre la escalera y el suel.

15 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 15 EJERCICIO 47 : El lad de un rectángul mide 4 m y la diagnal frma cn dic lad un ángul de. Calcula la lngitud de la diagnal y el área del rectángul. Llamams: d lngitud de la diagnal x lngitud del tr lad Ns dan un ángul y el lad cntigu a este ángul. Para calcular d y x, usams el csen y la tangente, cs d 4,76 m d cs 0,84 respectivamente: x tg x 4 tg 4 0,65,6 m 4 La lngitud de la diagnal es de 4,76 m. Calculams el área: A 4,6 10,4 El área del rectángul es 10,4 m. EJERCICIO 48 : Ds ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa: Trazand la altura desde la casa al lad AB, cnseguims ds triánguls rectánguls: CHA y CHB. tg 45 x tg 45 x Del dibuj deducims: tg 4 ( 8 x) tg 4 8 x x tg 45 8 x tg 4 x 8 x 0,9 x 7, 0,9x 1,9 x 7, ( ) ( ) x,79 km, lueg,79 km De este md ems calculad el valr de ls catets en ambs triánguls rectánguls. Aplicand el terema de Pitágras, btendrems la iptenusa en cada cas: b x ( ) + ( ),79,79 5,6 km a + 8 x,79 + 4,1 5,66 km La ambulancia A está a 5,6 km de la casa, y la ambulancia B, a 5,66 km. EJERCICIO 49 : Antni está descansand en la rilla de un rí mientras bserva un árbl que está en la rilla puesta. Mide el ángul que frma su visual cn el punt más alt del árbl y btiene 5 ; retrcede 5 m y mide el nuev ángul, bteniend en este cas un ángul de 5. Calcula la altura del árbl y la ancura de rí.

16 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 16 Hacems una representación del prblema y llamams: altura del árbl x ancura del rí tg 5 x tg 5 x tg 5 ( x + 5 ) tg 5 x + 5 x tg 5 x + 5 tg 5 0,7x x + 5 0,47 0,7x 0,47x +,5 ( ) ( ) 0,x,5 x 10, m 10, 0,7 7,15 m La altura del árbl es de 7,15 m, y la ancura del rí, de 10, m. EJERCICIO 50 : La base de un triángul isósceles mide 64 cm, y el ángul que se frma entre ls lads iguales es de 40. Calcula el perímetr y el área del triángul. Trazams la altura sbre la base para cnseguir ds triánguls rectánguls. Para calcular el perímetr y el área, necesitams cncer el valr de la altura,, y del tr lad, x. En cada triángul cncems el ángul de 0 y el catet puest a este ángul que mide 64 cm. sen 0 x 94,1 cm x sen 0 0,4 94,1 0,94 88,47 cm cs 0 cs 0 94,1 cs 0 x 94, ,47 Lueg: Perímetr ,1 5,4 cm Área 81,04 cm EJERCICIO 51 : El ángul que se frma en la intersección de ds camins es de 68. La granja A está a 0 m de ese punt, y la granja B, a 45 m. A qué distancia en línea recta está la granja A de la granja B? Llamams x a la distancia en línea recta entre la granja A y la B. Pr n ser rectángul el triángul ABC, trazams la altura que l divide en ds triánguls rectánguls: AHC y AHB. En el triángul AHC cncems C 68 y AC 0, pdems calcular e y :

17 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 17 y cs 68 0 y 0 cs ,7 85,1 m sen sen ,9 1,9 m En el triángul AHB, ara cncems 1,9 m y 45 y 45 85,1 49,9 m. Pdems calcular x usand el terema de Pitágras: ( 45 ) ( 1,9 ) ( 49,9) x + y x + x 45 75, , , 410,1 m La distancia entre ambas granjas es de 410,1 m. EJERCICIO 5 : Se quiere medir la altura de una estatua clcada en el centr de un lag circular. Para ell, se mide la visual al extrem superir de la estatua desde el brde del lag y resulta ser de 50 ; ns alejams 45 dm y vlvems a medir la visual, bteniend un ángul de 5. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lag. Hacems una representación. Llamams: altura de la estatua x radi del lag tg 50 x tg 50 x tg 5 ( x + 45 ) tg 5 x + 45 ( ) ( ) x tg 50 x + 45 tg 5 x 1,19 x ,7 1,19 x 0,7x + 1,5 0,49x 1,5 x 64,9 dm Lueg 64,9 1,19 76,51 dm 7,65 m ACIRCULO π x,14 64,9 1978,6 dm 19,78 m Calculams la superficie del lag circular: ( ) La superficie del lag es de 19,78 m. ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA EJERCICIO 5 : 1 Si tg α y α es un ángul que está en el primer cuadrante, calcula (sin allarα): a) tg 180 α b) tg α c) tg 60 α d) tg 60 + α ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 180 α ) tg α tg( 180 α ) 1 ( 60 α ) tg α tg( 60 α ) a) tg c) tg b) + tg α d) + tgα EJERCICIO 54 : Si sen α 0,5 y 0 < α < 90 alla (sin calcular α): ( 180 α) b) cs ( 180 α) a) sen + 1 1

18 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 18 ( 180 α ) senα 0 5 ( α) cs α a) sen, b) cs Necesitams saber cuánt vale cs α: sen α + cs α 1 0, 5 + cs α 1 0, 15 + cs α 1 cs α 0, 8775 cs α 0,94 (es psitiv, pues 0 < α < 90 ) ( α) csα 0 94 Pr tant: cs, SIMPLIFICACIONES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 55 : Simplifica las siguientes expresines trignmétricas: sen x.(1 + csx) csx a) b) 1 - csx tagx.(1 - senx) Slucines: sen x.(1+ cs x) (1- cs x).(1+ cs x) (1- csx).(1+ csx).(1+ cs x) a) 1- cs x 1- cs x 1- cs x (1+ cs x) b) csx tagx.(1- senx) csx senx.(1- senx) csx cs x 1- sen x (1 + senx)(1- senx) 1+ senx senx.(1- senx) senx.(1- senx) senx.(1- senx) senx EJERCICIO 56 : Demstrar la siguiente igualdad trignmétrica: sec x ctg x 1 + csec x - sec x ctg x - 1 cs x - sen x Slucines: 1 cs x 1 sec x ctg x cs x sen x cs x + + csec x - sec x ctg x cs x cs x - sen x - -1 sen x cs x sen x sen x.cs x sen x cs x sen x + cs x 1 + cs x - sen x cs x - sen x cs x - sen x cs x - sen x + cs x sen x cs x - sen x sen x ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 57 : Resuelve las siguientes ecuacines trignmétricas: a) sen x 0 b) sen (x + Π/4) / c).tag x. ctag x 1 0 d) sen x 5 sen x + 0 e) cs x sen x 0 f) csx tagx x1 0º+60º k a) sen x 0 k Z x 180º+60º k b) sen (x + Π/4) x 0º + 180ºk k Z x + 45º 60º+60º k x 15º+60º k k Z x + 45º 10º+60º k x 75º+60º k

19 Tema 7 Trignmetría Matemáticas 4º ESO 19 c) tagx ctag x -1 0 tagx tag x tag x 0 tagx tag x 1± ± 5 4 1,5-1 tag x 1,5 x 56º 18º ºk tag x -1 x 15º + 180º k d) sen 5 ±1 x 5senx + 0 sen x 6 sen x 1 x 90º + 180ºk 41º º k sen x / x 18º11 +60º k e) cs x sen x 0 1 sen x sen x sen x 0 sen x ¼ sen x ± 1/ x 0º+60º k sen x 1/ x 150º+60º k sen x -1/ x 10º+60º k x 0º+60º k O resumid: x 0º+180º k x 150º+180º k f) csx tag x csx senx cs x sen x (1 sen x) sen x cs x sen x sen x sen x + sen x 0 sen x Sen x 1/ x 0º+60º k x 150º+60º k Sen x - N tiene slución. ± ± 5 4 1/ -