FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 7. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

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1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grdo n Ingnirí Informátic) Práctic 7. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.- L intgrl dfinid d Rimnn. L intgrl dfinid d Rimnn surg prtir dl prolm dl cálculo d árs d suprficis dlimitds por curvs. En l dsrrollo dl concpto d función intgrl d un función cotd dfinid n un intrvlo cotdo, prcn los concptos d intgrl suprior intgrl infrior d Rimnn. L id consist n fctur proimcions por cso y por dfcto utilizndo los rctángulos triors intriors l curv, n función d un dtrmind prtición dl intrvlo. Pr fctur st prt d l práctic dmos crgr l fichro rimnn.mth. Dicho fichro s d dscrgr d l ftp d l signtur, copir n l crpt Mis Documntos y continución crgr n l progrm Driv con l scunci d comndos Archivo -> Lr -> Mth, uscándolo n l crpt dónd s h dscrgdo. Ejrcicio : Rlizr ls proimcions por cso y por dfcto d l función y= ntr los puntos = y =. Pr clculr l proimción por cso s utiliz l función RPIC y pr l proimción por dfcto l función LPIC. Por jmplo l sntnci RPIC(,,) diuj l prsión por cso ntr = y = tomndo cutro rctángulos supriors. Pr llo hy qu sguir los siguints psos: ) Introducir l función proimr con l sntnci F():=^ (Ojo: l F d sr myúscul) ) Escriir RPIC(,,) 3) Simplificr l prsión ntrior ) Diujr l rsultdo (pr qu przcn los rctángulos, n l vntn d Gráficos D, s d utilizr l scunci d comndos Opcions-> Pntll -> Puntos y fijr Sí l opción d Conctr) 5) Clculr l sum por cso con l prsión SUMA_EXCESO(,,). Est prsión nos d l vlor dl ár d l función utilizndo l proimción mdint los rctángulos supriors. Un vz diujd l prsión por cso, rlizr los mismos psos pr l sntnci LPIC pr otnr l proimción por dfcto. L sum por dfcto s rliz con l prsión SUMA_DEFECTO. Rptir ls oprcions ntriors tnto por cso como por dfcto umntndo l númro d rctángulos n l proimción. Compror tnto gráficmnt como numéricmnt cómo l sum por cso y por dfcto convrgn hci l mismo vlor qu corrspondrá con l ár d l curv jo studio.

2 .- Cálculo d árs. El cálculo d intgrls dfinids n Driv s rliz tl y como s plicó n l práctic ntrior corrspondint intgrls indfinids, pro ñdindo los límits d l intgrl n l cudro d diálogo: o n l instrucción INT qu qudrí d l siguint form INT(f,,,) qu clcul l intgrl dfinid f ()d Pr clculr l ár d un curv s dn sguir los siguints psos: ) Diujr l(s) gráfic(s) qu dfin(n) l curv. ) Dtrminr los límits infrior y suprior pr qu dlimitn l curv. Los límits s pudn otnr osrvndo l gráfic o clculndo con Driv los puntos d cort ntr ls dos funcions (Pr clculr l punto d cort ntr dos funcions hy qu rsolvr l cución f()-g()=. Cuiddo: Driv proporcion sólo un solución. Osrvndo l gráfic s pudn otnr ls dmás) 3) Diujr l ár ntr ls curvs utilizndo l función d Driv ArBtwnCurvs (f(),g(),,, ), sindo y los puntos d cort ntr ls dos curvs. ) Clculr l intgrl dfinid corrspondint. Ejrcicio : Clculr l ár d ls rgions comprndids ntr ls curvs: ) y=cos y=. ) y=, l j d sciss y l rct = c) y= + y=cos

3 Ejrcicio 3: Diujr l ár ntr ls curvs y= y= ntr = y =. Clculr dich ár y comprr con l vlor otnido con l proimción dl Ejrcicio. Ejrcicio : Clculr l ár d l lips d smijs y. 3.- Cálculo d volúmns d curpos d rvolución. Pr clculr l volumn d un curpo d rvolución, s d prvimnt otnr l intgrl qu hy qu clculr pr otnr l volumn y postriormnt rsolvrl con Driv. Ls intgrls qu hy qu rsolvr srín: V= π f ( ) d pr volúmns ngndrdos lrddor dl j OX. V= π f ( ) d pr volúmns ngndrdos lrddor dl j OY. y Ejrcicio 5: Clculr l volumn ngndrdo l girr l lips + = lrddor 9 dl j OX y lrddor dl j OY. Ejrcicio 6: S form un sólido d rvolución l girr l curv y=/ lrddor dl j ( ), llmdo Curno d Gril. Clculr su volumn..- Intgrls impropis. Pr clculr intgrls impropis s pud hcr d dos mnrs: clculr l intgrl dirctmnt utilizndo l comndo INT con los corrspondints límits d intgrción como si fur un intgrl dfinid o clculr l intgrl dfinid sustituyndo l punto d no cotción por un prámtro y vlur l límit d dich intgrl cundo l prámtro tind hci s punto d no cotción. Por jmplo: d = lim d d = lim d Ejrcicio 7: Clculr, prvio nálisis d l convrgnci, ls siguints intgrls, utilizndo tnto l intgrl impropi como l límit corrspondint: ) d + 8 ) 3 d 3

4 Ejrcicio 8: Anlizr l convrgnci/divrgnci d l siguint intgrl: d Utilizr pr llo l critrio d comprción prtir d l convrgnci conocid d ls intgrls d l form d p S pud compror qu si trtmos d otnr s intgrl dirctmnt con Driv, ést no s cpz d otnr l rsultdo. Por s motivo, s d mplr l critrio d comprción. Pr llo diujmos l función y l función p pr difrnts vlors d p. En primr lugr promos pr vlors d p. Introducimos: VECTOR p,p,,5 Al simplificr otnmos cinco funcions: 3 5 [,,,, ] Si diujmos ss cinco funcions y l función con l qu qurmos comprr, s osrv qu tods ss funcions son mnors qu n l intrvlo [,) por lo qu no s podrí plicr l critrio d comprción. Diujr hor funcions dl mismo tipo con <p<. Compror si s pud plicr l critrio d comprción y, n cso firmtivo, indicr si l intgrl d s o no convrgnt.

5 Ejrcicio 9: L función Γ(p), llmd Gmm d Eulr, s dfin mdint l intgrl: p Est función s llm tmién intgrl ulrin d sgund spci. L función β(p,q), llmd Bt d Eulr, s dfin mdint l intgrl: d p ( ) q Est función s llm tmién intgrl ulrin d sgund spci. Clculr Γ() y β(5,). Comprr con los vlors otnidos por ls funcions GAMMA (p) y BETA (p,q) d Driv, introducindo los vlors d p y q dcudos. d 5

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