UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES GUÍA 5: VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS Profesor: Hugo S. Salinas. Segundo Semestre Si 20 % de los usuarios prefiere los teléfonos móviles de color blanco sobre cualquier otro color disponible. Cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 teléfonos móviles que se venden a) entre 170 y 185 inclusive sean blancos? b) al menos 210 pero no más de 225 sean blancos? R: a) y b) Estadísticas publicadas por cierto estudio muestran que en una noche promedio de fin de semana, uno de cada 10 conductores está ebrio. Si se verifican 400 conductores al azar la siguiente noche de sábado, cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios sea a) menor que 32? b) más de 49? c) al menos 35 pero menos de 47? R: a) b) y c) Una compañía produce componentes para un motor. Las especificaciones de las partes sugieren que 95 % de los artículos cumplen con las especificaciones. Las partes se embarcan en lotes de 100 a los clientes. a) Cuál es la probabilidad de que más de dos artículos estén defectuosos en un lote dado? b) Cuál es la probabilidad de que más de 10 artículos estén defectuosas en un lote? R: a) y b) Supongamos que el diámetro de los árboles de determinado tipo, a la altura del pecho, se distribuye normalmente con media µ = 8.8 y σ = 2.8, como se sugiere en el artículo Simulating a Harvester- Forwarder Softwood Thinning (Forest Products Journal, mayo de 1997, pp ) a) Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol, seleccionado al azar, sea a lo más 10 pulgadas? b) Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol, seleccionado al azar, sea mayor de 10 pulgadas?. c) Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar se encuentre entre 5 y 10 pulgadas?. d) Qué valor de θ es tal que el intervalo (8.8 θ, θ) incluya el 98 % de todos los valores de diámetros? R: a) b) c) y d) θ = Guía de Trabajo 5 1

2 5. La duración (en horas) de cierto transistor de televisor es una variable aleatoria continua T, cuya función de densidad es: { 150, t > 150, f(t) = t 2 0, e.o.c. a) Si un televisor determinado todavía funciona después de 200 horas. Cuál es la probabilidad de que dicho transistor dure a lo más 300 horas? Se instalan 3 de tales transistores en un televisor. b) Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga que ser sustituido en las primeras 200 horas de uso? c) Cuál es la probabilidad de que los tres transmisores tengan que ser sustituidos durante las 200 primeras horas? d) Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 tenga que ser sustituido en las 200 primeras horas de uso? R: a) 0.33 b) c) y d) Se desean rodamientos de un centímetro de radio, con tolerancia de 0.5 milímetros. El fabricante gana 0.10 dólares por cada rodamiento aceptado. Si el radio es menor de lo permitido, el rodamiento se debe refundir, produciendo una pérdida de 0.05 dólares; por otra parte, si el radio es mayor de lo aceptado se debe rebajar el rodamiento, con una pérdida de 0.03 dólares. Supongamos que el radio de los rodamientos tiene una distribución normal con media 1.01 centímetro y una varianza de centímetros cuadrados. a) Cuál es la utilidad esperada? b) A cuánto se debería modificar la ganancia por cada rodamiento aceptado si se espera ganar 0.07 dólares por cada rodamiento? c) Se seleccionaron 5 rodamientos. Cuál es la probabilidad de que tres o más cumplan las especificaciones? d) Se necesitan cuatro rodamientos de diámetro mayor que 2.05 centímetros para un aparato especial. Cuál es la probabilidad de probar exactamente 10 rodamientos? R: a) b) c) La frecuencia de la radiación electromagnética emitida por un teléfono móvil sigue una distribución normal con media 1200 MHz y desviación estándar 300 MHz. a) Calcular la probabilidad de que la frecuencia de la onda emitida sea superior a 1500 MHz. b) Calcular la probabilidad de que la frecuencia se mantenga entre 1000 y 1200 MHz. c) Sabiendo que la frecuencia emitida es inferior a los 1600 MHz, calcular la probabilidad de que se mantenga por encima de los 1000 MHz. d) El 0.8 % de los teléfonos móviles presentan una frecuencia tan alta que afectan a radios, televisores, computadoras, etc. Calcular la frecuencia a partir de la cual un teléfono interfiere en otros aparatos eléctricos. R: a) b) c) y d) La empresa Concha y Toro produce entre 200 y 300 galones de vino diarios. La distribución uniforme es la que mejor describe este proceso. a) Cuánto vino se produce al día en promedio? Guía de Trabajo 5 2

3 b) Cuál es la cantidad de variabilidad en el número de galones de vino producidos de un día a otro? c) En qué porcentaje de los días puede esperarse que la producción caiga entre 220 y 270 galones? d) Cuál es la probabilidad de que la producción de ma nana sea mayor que 280 galones? R: a) 250 galones b) c) 50 % y d) La memoria RAM para un computador se puede recibir de dos fabricantes A y B con igual probabilidad. Si la memoria proviene del fabricante A, la probabilidad de que falle antes del tiempo especificado por la garantía es P (X 1) = , si la memoria proviene del fabricante B, la probabilidad de que falle antes del tiempo especificado por la garantía es P ( Y < 2) donde Y tiene una distribución normal de media 4 y varianza 4. a) Si el experimento aleatorio consiste en probar una memoria RAM hasta que falle, traducir los datos del enunciado, introduciendo los sucesos convenientes. b) Cuál es la probabilidad de que una memoria RAM falle antes del tiempo especificado por la garantía? c) Si se ha observado que la memoria RAM ha fallado, cuál es la probabilidad de que proceda del fabricante A? d) Si se tienen 40 memorias RAM, cuál es la probabilidad de que al menos el 90 % de ellas duren más que el tiempo especificado por la garantía? R: b) c) y d) Consideramos una señal de intensidad I, cuya distribución de valores se puede modelizar por una Normal con media µ y desviación estándar σ (ambos desconocidos), pero se sabe que: P (I < 9) = y P (I > 3) = , a) Determinar los parámetros de la distribución de I. b) Si, al realizar una emisión, la señal tiene una intensidad menor de 3, se considera de intensidad baja, mientras que si tiene una intensidad mayor de 9, se considera de intensidad alta. Si la intensidad está incluida entre 3 y 9, se considera de intensidad media. i. Determinar la proporción de emisiones con intensidad de cada tipo. ii. Si en una sesión, se emiten 20 veces la señal, cuál es la probabilidad de que se observe menos de cuatro veces una señal de intensidad baja? c) Se diseña un sistema de control cuyo objetivo es homogeneizar las emisiones: si la señal es de intensidad baja, el sistema consigue transformarla en una señal de intensidad media en el 50 % de los casos, dejándola de intensidad baja en el resto de los casos. Si la señal es de intensidad alta, consigue rebajar su intensidad a media en el 30 % de los casos, dejándola de intensidad alta en el resto de los casos. Finalmente, si la señal es de intensidad media, el sistema la deja idéntica. i. Si se emite una señal y se le aplica el control, cuál es la probabilidad de que obtengamos como resultado una señal de intensidad baja?, y de intensidad media?, y de intensidad alta? ii. Si se emite una señal y se le aplica el control dos veces consecutivas, cuál es la probabilidad de que obtengamos como resultado una señal de intensidad media? iii. Si se emite una señal y se le ha aplicado el control, resultando la señal transformada de intensidad media, cuál es la probabilidad de que también fuera de intensidad media antes de aplicarle el control? Guía de Trabajo 5 3

4 R: a) µ = 5 y σ = 2 b) i. Baja: , Alta: y Media: ii c) i , y 0.016, respectivamente. ii iii Un sistema cuenta con un gran número de componentes de un mismo tipo. Supongamos que el tiempo de falla T (medido en horas) de cualquiera de estas componentes sigue aproximadamente una distribución normal, con media 100 horas y desviación estándar 20 horas. a) Calcular la probabilidad de que una componente dada dure más de 110 horas. b) Se desea dar una garantía de reemplazo para cualquier componente que dure menos de M horas. Encontrar el valor de M para que la probabilidad de que se haga efectiva la garantía sea sólo un 1 %. c) Considerar 20 componentes con tiempos de falla independientes (esto es, si T 1,..., T 20 son los tiempos de falla, los eventos {T i > t i } son mutuamente independientes para todo t i ), cada una con la distribución antes mencionada. Calcular la probabilidad de que a lo más dos componentes duren más de 100 horas. R: a) b) 53.6 y c) El nivel de llenado de unas botellas de bebidas gaseosas tiene una distribución normal con media 2 litros y desviación estándar 0.06 litros. Las botellas que contienen menos de 95 % del contenido neto anunciado pueden causar una multa al fabricante por parte del Servicio Nacional del Consumidor, mientras que las botellas que tienen un contenido neto mayor que 2.1 litros pueden provocar un derrame del exceso al abrirlas. a) Cuál es la probabilidad de que le pongan una multa al fabricante, si se selecciona al azar una botella de la producción? b) Qué proporción de las botellas pueden provocar un derrame al abrirlas? c) Qué cantidad mínima de refresco se espera que contenga 99 % de las botellas? d) En un día se llenan 100 botellas cuál es la probabilidad de que haya en un día más de 4 botellas que puedan provocar un derrame al abrirlas? e) Utilizando el apartado anterior, cuál es, en un mes de 30 días, el número medio de días en los que se producen más de 4 botellas que puedan provocar un derrame al abrirlas? R: a) b) c) d) e) 16 días en promedio. 13. Si una v.a. X tiene distribución gamma con α = 2 y β = 1. Calcular P (1.8 < X < 2.4). R: En cierta ciudad, el consumo diario de agua (en millones de litros) sigue aproximadamente una distribución gamma con α = 2 y β = 3. Si la capacidad diaria de dicha ciudad es nueve millones de litros de agua. a) Calcular la media y la varianza del consumo diario de agua. b) De acuerdo con el Teorema de Chebyshev, hay una probabilidad de al menos de que el consumo de agua en cualquier día dado caiga dentro de qué intervalo? R: a) µ = 6 y σ 2 = 18 y b) De 0 a millones de litros. 15. La longitud de tiempo para que un individuo sea atendido en un bar es una v.a. que tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de tres minutos en al menos cuatro de los siguientes días? R: Guía de Trabajo 5 4

5 16. Supongamos que la vida de servicio, en años, de la batería de un aparato para sordos es una v.a. que tiene una distribución de Weibull con α = 1/2 y β = 2 a) Cuánto tiempo se puede esperar que dura la batería? b) Cuál es la probabilidad de que tal batería esté en operación después de dos años? R: a) y b) Las vidas de ciertos sellos de automóvil tienen una distribución de Weibull con tasa de falla h(t) = 1 t. Calcular la probabilidad de que tal sello todavía esté en uso después de cuatro años. R: En una actividad de investigación biomédica se determinó que el tiempo de sobrevivencia en semanas de un animal cuando se le somete a cierta exposición de radiación tiene una distribución gamma con α = 5 y β = 10. a) Cuál es el tiempo medio de sobrevivencia de un animal seleccionado al azar del tipo que se utilizó en el experimento? b) Cuál es la desviación estándar del tiempo de sobrevivencia? c) Cuál es la probabilidad de que un animal sobreviva más de 30 semanas? R: a) µ = αβ = 50, b) σ 2 = αβ 2 = 500; σ = y c) El tiempo de respuesta de una computadora es una aplicación importante de las distribuciones gamma y exponencial. Supongamos que un estudio de cierto sistema computacional revela que el tiempo de respuesta en segundos tiene una distribución exponencial con media de tres segundos. a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta exceda cinco segundos? b) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta exceda 10 segundos? R: a) y b) El número de automóviles que llegan a cierta intersección por minuto tiene una distribución de Poisson con una media de 10. El interés se centra alrededor del tiempo que transcurre antes de que 15 automóviles aparezcan en la intersección. a) Cuál es la probabilidad de que más de 15 automóviles aparezcan en la intersección durante cualquier minuto? b) Cuál es la probabilidad de que se requieran más de dos minutos antes de que lleguen 15 autos? c) Cuál es la probabilidad de que transcurra más de un minuto entre llegadas? d) Cuál es el número medio de minutos que transcurren entre llagadas? R: c) e 10 y d) β = Guía de Trabajo 5 5

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