Fernando Cervantes Leyva

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL Mastría n Cincias con Espcialidad n Sistmas Digitals Adaptación d malla n l análisis d disprsión n guías d onda mplando l método d lmnto finito (FEM) TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS PRESENTA: Frnando Crvants Lva BAJO LA DIRECCIÓN DE: Dr. Migul A. Álvar Cabanillas OCTUBRE DE 006 TIJUANA, B. C., MÉXICO

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3 iii A mi madr Marisla Lva Camacho; la prsona con la vida más intrsant qu h conocido. A mi padr Migul Crvants Ojda a mis hrmanos Féli, Migul, Eliabth Constantino.

4 iv Agradcimintos Agradco a mis ancstros por prmitirm iniciar n l punto n l qu lo hic. A mi madr por su gran jmplo consjos visionarios. A mis padrs hrmanos por sr mi motivación, crr n mí darm su amor incondicional. A YEL por su apoo. A Emigdio Castro Lva Migul Ángl Romro Lva. Al Dr. Migul A. Álvar Cabanillas por sus consjos prmitirm raliar st trabajo d tsis. Agradco d forma spcial al M.C. Juan J. Tapia Armnta por fungir como codirctor d st trabajo crr n l procto dsd l primr día. A los mimbros d la comisión rvisora: M.C. Ernsto E. Quiro Morons, Dr. Luís Tupak Aguilar Bustos M.C. José Abl Hrnánd Ruda. A los distintos autors citados n st trabajo. Al cntro d invstigación dsarrollo d tcnología digital (CITEDI-IPN). A mis compañros d gnración dl CITEDI: Alfrdo Solís, Noé Villcas, Bonifacio García, Rodrigo Mdina, Brnic Ramír, Luís Vargas Roglio Rodrígu. Finalmnt, agradco al Instituto Politécnico Nacional por l apoo conómico proporcionado durant la raliación d st trabajo.

5 v Tabla d contnido Agradcimintos... iv Lista d figuras... viii Lista d tablas... ii Lista d símbolos... iii Rsumn... v Abstract... vi Introducción... vii Objtivo... I. Fundamntos d toría lctromagnética... I.. Ecuacions d Mawll... I.. Rlacions constitutivas... 3 I.3. Campos státicos... 5 I.3.. Ecuacions d Poisson Laplac... 6 I.4. Campos armónicos n l timpo... 7 I.5. Ecuación d onda d Hlmholt... 8 I.6. Condicions d frontra... 9 I.6.. Intrfas ntr dos mdios con conductividad finita... 9 I.6.. Conductor léctrico prfcto...0 I.7. Guía d onda rctangular mtálica... I.7.. Guía d onda d planos parallos... I.7.. Solución analítica d la cuación d Hlmholt...3 I.7.3. Modo transvrsal léctrico...5 I.7.4. Modo fundamntal...4

6 vi I.7.5. Gráficas d solución analítica para l modo TE I.7.6. Modo transvrsal magnético...6 I.7.7. Gráficas d solución analítica para l modo TM II. Método d lmnto finito n dos dimnsions... 3 II.. Solución numérica d la cuación d Hlmholt...34 II.. Discrtiación dl dominio...37 II.3. Slcción d las funcions d intrpolación...38 II.4. Formulación dl sistma d cuacions...4 II.4.. Dducción d las matrics locals d lmnto finito...4 II.4.. Dducción d las matrics d la frontra virtual...45 II.4.3. Ensamblado dl sistma d cuacions...48 II.5. Aplicación d las condicions d frontra...55 II.5.. Condición d frontra Dirichlt-PEC...56 II.5.. Condición d frontra Numann-PEC...57 II.6. Diagrama d flujo d FEM...60 II.7. Rsolución d la malla...60 II.8. Dtrminación d la rsolución d la malla...64 III. Rsultados numéricos mplando l método d lmnto finito III.. Amplitud d la onda...67 III.. Cálculo numérico d las caractrísticas d disprsión...68 III... Guía d onda n forma d L...69 III... Guía d onda n forma d T...75 III...A. Purto d ntrada: purto...76 III...B. Purto d ntrada: purto IV. Adaptación d malla... 8 IV.. Lao d rtroalimntación d adaptación d malla...85 IV.. Fundamntos d la técnica d quidistribución...86 IV... Formulación dl sistma d cuacions...88

7 vii IV... Solución dl sistma d cuacions...90 IV..3. Plantaminto n una dimnsión...9 IV.3. Equidistribución n dos dimnsions...96 IV.3.. Sistma d cuacions n dos dimnsions...98 IV.3.. Suaviado d la malla...04 IV.3.3. Implmntación d quidistribución n dos dimnsions...06 IV.4. Rsultados numéricos...07 V. Conclusions trabajo futuro... V.. Conclusions... V.. Trabajo futuro...4 Rfrncias...5 A. Ecuacions d Mawll n forma intgral...9 B. Dducción d la formulación débil...0 C. Distribución dl campo... C.. Guía d onda convncional... C.. Guía d onda n forma d L... C.3. Guía d onda n forma d T...

8 viii Lista d figuras Figura.. Intrfas ntr dos mdios...0 Figura.. Guía d onda rctangular ( a : ancho, b : gruso).... Figura.3. Guía d onda d planos parallos... Figura.4. Vista latral d una guía d onda d planos parallos....3 Figura.5. Guía d onda d planos parallos con componnts dl campo para l modo TE0 n...9 Figura.6. Aparición d modos TE n una guía d onda d planos parallos con b = 4 cm...4 Figura.7. Part ral d la componnt E (prsión (.77)) para l modo TE Figura.8. Part ral d la componnt H (prsión (.78)) para l modo TE Figura.9. Part ral d la componnt H (prsión (.79)) para l modo TE Figura.0. Guía d Onda d Planos Parallos con componnts dl campo para l modo TM0 n...7 Figura.. Part ral d la componnt E (n (.07)) para l modo TM Figura.. Part ral d la componnt Figura.3. Part ral d la componnt E (n (.07)) para l modo TM H (n (.08)) para l modo TM Figura.. Guía d onda d planos parallos d dos purtos con frontras virtuals Γ Γ...34 Figura.. Dominio bidimnsional con intrfas Γ d Figura.3. (a) Dominio bidimnsional discrtiado n 8 lmntos triangulars ((), ()-(8)), con 9 nodos (,-9) (b) Comparación ntr numración local global...37 Figura.4. Elmnto triangular: (a) linal, (b) cuadrático (c) cúbico [] Figura.5. Elmnto triangular linal con numración local...40

9 i Figura.6. Funcions forma para un lmnto triangular linal: (a) N, (b) N, (c) N (d) vista suprior dl lmnto Figura.7. Guía d onda d planos parallos discrtiada n lmntos triangulars: (a) Elmnto con 3 Γ, (b) Frontra virtual Γ, (c) Frontra virtual Γ (d) Elmnto con Γ...45 Figura.8. Dominio bidimnsional discrtiado n cuatro lmntos triangulars {( ),( ),( 3 ),( 4 )}, con cinco nodos {,,..., 5 }...48 Figura.9. Elmntos con vctors unitarios normals a las rgions d intgración: (a) lmnto 4, (b) lmnto (c) lmntos Figura.0. Diagrama d flujo d FEM...59 Figura.. Rsolución d malla n rs = 4 para dos difrnts longituds d onda: (a) λ, h =Ω /( 4 lmntos) (b) λ, h =Ω /( lmntos)....6 Figura.. Guía d onda rctangular discrtiada n lmntos triangulars linals....6 Figura.3. Distribución d E para una f op dntro d la banda dl modo TE Figura.4. Error ntr las parts rals d la solución analítica solución numérica para E con difrnts rsolucions: (a) norma L (b) norma L promdiada sobr l númro d nodos totals...64 Figura 3.. Comportaminto d la amplitud d la part ral d E n una guía d onda d planos parallos mplando FEM con n rsg 40, 50, Figura 3.. Guía d onda homogéna n forma d L con pards PEC: (a) Rprsntación gométrica (b) Ejmplo d discrtiación n lmntos triangulars Figura 3.3. Comportaminto dl SWR n una guía d onda n forma d L para l plano-h para l = 0, l b/3.333 l b/.5 n comparación con la Rf. [3]...7 Figura 3.4. Coficints d transmisión rflión n una guía d onda n forma d L para l plano-h...7

10 Figura 3.5. Guía d onda n forma d L con puntos d rfrncia...73 Figura 3.6. Guía d onda homogéna n forma d T con pards PEC: (a) Rprsntación gométrica (b) Ejmplo d discrtiación n lmntos triangulars Figura 3.7. Comportaminto dl SWR n una guía d onda n forma d T para l plano-h: para l = 0, l b/5 l b/.54 n comparación con la Rf. [3] Figura 3.8. Comportaminto d los coficints d transmisión rflión n una guía d onda n forma d T para l plano-h...78 Figura 3.9. Comportaminto d τ p/ p3, τ / 3 ζ p3 n una guía d onda n forma d p p T para l plano-h, para purto d ntrada: purto 3, n comparación con la Rf. [35] Figura 3.0. Comportaminto d τ p/ p3, τ / 3 ζ p3 n una guía d onda n forma d p p T para l plano-h, para purto d ntrada: purto 3, n comparación con la Rf. [34]....8 Figura 4.. Diagrama d flujo dl método d lmnto finito con adaptación d malla [4] Figura 4.. Lao d rtroalimntación d adaptación d malla Figura 4.3. Diagrama d flujo d la técnica d quidistribución...9 Figura 4.4. Diagrama a bloqus gnral dl procso itrativo d la técnica d quidistribución...94 Figura 4.5. Diagrama d flujo d la solución d un problma a través d FEM mplando adaptación d malla Figura 4.6. Dominio bidimnsional físico Ωf R Figura 4.7. Nodos nlacs intrnodals...99 Figura 4.8. Gomtría d dominio Ω n forma d L...08 Figura 4.9. Nodos FEM (malla FEM d ( NX 5) ( NY 5) = = ) malla d solución intrpolada ( puntos) d la rgión III dl dominio n la Fig Figura 4.0. Error para l caso ( NX = 0) ( NY = 0) : (a) L (b) L / puntos d intrp..09 Figura 4.. Error para l caso ( NX = 0) ( NY = 0) : (a) L (b) L / puntos d intrp..09

11 i Figura 4.. Información caso ( NX = 0) ( NY = 0)....0 Figura C.. Distribución d la part ral d E n una guía d onda convncional con b = 4 cm...3 Figura C.. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = Figura C.3. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = b/5...5 Figura C.4. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = b/4...6 Figura C.5. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = b/3...7 Figura C.6. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = b/...8 Figura C.7. Distribución d la part ral d con l E n una guía d onda n forma d L = b....9 Figura C.8. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = Figura C.9. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = b/5...3 Figura C.0. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = b/4...3 Figura C.. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = b/ Figura C.. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = b/...34 Figura C.3. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con purto d ntrada n purto

12 ii Lista d tablas Tabla.. Rlación ntr nodos globals nodos locals n l dominio mostrado n la Fig Tabla.. Información d ntrada dl cálculo numérico d E (con b = 4 cm ) a través d FEM para difrnts frcuncias d opración con n rsg Tabla 3.. Datos d ntrada dl cálculo numérico d E (con b = 4 cm ) a través d FEM para difrnts frcuncias d opración Tabla 3.. Frcuncias d cort n los puntos d rfrncia d la guía d onda n forma d L d la Fig. 3.5 con b = 4 cm...74

13 iii Lista d símbolos A Ára dl lmnto. B Dnsidad d flujo magnético. c Vlocidad d la lu n un mdio dtrminado. c 0 D Vlocidad d la lu n l vacío. Dnsidad d flujo léctrico. Elmnto dtrminado. E 0 Amplitud d E. E f c Intnsidad dl campo léctrico. Frcuncia d cort. f op Frcuncia d opración. h H J k k c Longitud d un lmnto n una dimnsión. Intnsidad dl campo magnético. Dnsidad d corrint. Númro d onda o constant d propagación. Númro d onda d cort. l Parámtro d modificación d las guías d onda n forma d L T. n p,p,p3 t U Vctor unitario normal a un punto d rfrncia dtrminado. Purtos, 3, rspctivamnt. Timpo. Solución. U Solución numérica n l lmnto. α γ Parámtro d continuación. Parámtro suaviador. Γ Frontra dl lmnto. δ Variabl d corrcción dl método Nwton-Raphson.

14 iv ε ε 0 ε r λ c λ g λ op Prmitividad d un mdio dtrminado. Prmitividad dl vacío. Prmitividad rlativa d un mdio dtrminado. Longitud d onda d cort. Longitud d onda n la guía. Longitud d onda d opración. µ Prmabilidad d un mdio dtrminado. µ 0 Prmabilidad dl vacío. µ r Prmabilidad rlativa d un mdio dtrminado. ρ σ Φ ψ ω Ω Dnsidad d carga. Conductividad d un mdio dtrminado. Potncial scalar. Parámtro d rlajación. Frcuncia angular. Rgión d solución.

15 v Rsumn En st trabajo s obtinn numéricamnt, a través dl método d lmnto finito d Galrkin, las caractrísticas d disprsión, para frcuncias dntro dl modo fundamntal, d guías d onda d planos parallos n forma d L n forma d T n l plano-h, n función d la modificación d la structura d dichas guías n las rgions d discontinuidad. La cuación d Hlmholt tin solución analítica, ntr otros casos, para guías d onda homogénas con pards PEC; sin mbargo, n guías d onda con discontinuidads, dicha solución s inistnt o su obtnción s impráctica. El método d lmnto finito s adcuado para la solución d la cuación d Hlmholt n guías d onda con discontinuidads. Con l propósito d studiar las caractrísticas d disprsión d tals dispositivos, s modifica la structura d las guías d onda n las rgions d discontinuidad. Los rsultados obtnidos n st trabajo mustran considrabl similitud n comparación con información publicada por otros autors (calculada con técnicas distintas). Finalmnt, s prsnta la formulación d un método d adaptación d malla tipo-r qu mpla l principio d quidistribución, l cual s implmnta al rsolvr la cuación d Laplac n un dominio n forma d L.

16 vi Abstract Th scattring charactristics, for svral frquncis in th fundamntal mod, of H- plan L-shapd and T-junction paralll-plat wavguids, ar obtaind using Galrkin s finit lmnt mthod as a function of th modification of th wavguid s structur in th discontinuit rgions. Th Hlmholt quation can b solvd analticall, among othr cass, in a homognous PEC wavguid; howvr, in wavguids with discontinuitis, such solution can b inistnt or impractical to obtain. Th finit lmnt mthod is suitd for th solution of th Hlmholt quation in wavguids with discontinuitis. With th purpos of studing th scattring charactristics of such dvics, th structur of th wavguid in th discontinuit rgions is modifid. Th obtaind rsults ar considrabl similar to th information publishd b othr authors (calculatd with diffrnt tchniqus). Finall, an r-tp msh adaptation mthod that mplos th quidistribution principl is formulatd and implmntd b solving th Laplac quation in an L-shapd domain.

17 vii Introducción Las guías d onda son dispositivos qu s mplan para la transmisión d información n la banda d frcuncias conocida como microondas. Dbido a qu n st rango d frcuncias no son válidas ni la aplicación d la toría d circuitos (válida para RF) ni la toría d raos (válida para frcuncias ópticas), n los casos dond s rquira studiar stos dispositivos s ncsita mplar la toría dl campo, sto s, la solución d las cuacions d Mawll []. Para l studio d microondas s utilian difrnts métodos numéricos, sindo trs d los principals l método d difrncias finitas n l dominio dl timpo (FDTD) (vr [3], ntr otros), l método d lmnto finito (FEM) (vr [5], [7], [3], ntr otros) l método d momntos (MoM) (vr [4], ntr otros). En una guía d onda, una discontinuidad s conoc como cualquir caractrística qu posa dicha structura la cual altr la libr propagación d la onda a través d la guía. Las guías d onda n forma d L n forma d T s pudn vr como structuras constituidas por la unión d guías d onda convncionals. En st tipo d dispositivos, las rgions d discontinuidad son aqullas n dond s unn dichas guías convncionals. Las guías d onda rctangulars n forma d T (o unión-t) son un componnt pasivo básico n los sistmas d microondas. Éstos s utilian n acopladors dirccionals, divisors/mcladors d potncia, filtros multiplors para radars sistmas d comunicación [35], [36]. A través d los últimos años s han raliado difrnts studios d las caractrísticas d disprsión d discontinuidads n guías d onda homogénas (por jmplo [3], [34]-[36], ntr otros). El método d lmnto finito s n la actualidad uno d los métodos numéricos más usados n la solución d problmas d lctromagntismo. D una manra rsumida, FEM consist n subdividir la rgión d solución d un problma dtrminado n un númro finito d subrgions más pquñas conocidas como lmntos. En lugar d obtnr una solución complta para todo l problma, la

18 viii solución aproimada s compon dl nsamblado d las solucions obtnidas dntro d cada lmnto. Los puntos qu dfinn a un lmnto s conocn como nodos, mintras qu l nsambl d stos nodos s conoc como malla. El método d lmnto finito s adcuado para la solución d problmas con gomtrías compljas, tals como las guías d onda n forma d L n forma d T. El studio d las caractrísticas d disprsión (comportaminto d los coficints d transmisión rflión) n st tipo d guías d onda, n función d la variación d su structura n la rgión d discontinuidad, s uno d los casos n dond s aprovcha las vntajas dl mplo d FEM con lmntos triangulars. El objtivo principal d los métodos d adaptación d malla s l d mjorar l dsmpño d los métodos numéricos. Su funcionaminto, n términos gnrals, consist n solucionar un problma con una malla prdtrminada, stimar l rror d aproimación mplar sta información para gnrar mallas qu prmitan obtnr rsultados más prcisos. Est trabajo s compon d cinco capítulos trs apéndics. En l capítulo I s prsnta los concptos básicos d la toría lctromagnética, ncsarios n la solución dl problma d la propagación dl campo lctromagnético dntro d guías d onda d planos parallos homogénas. En l capítulo II s prsnta la formulación dl método d lmnto finito n dos dimnsions, s rsulv numéricamnt la cuación homogéna d Hlmholt n l plano-h s ralia un análisis d la rsolución d la malla n función d la longitud d onda n la guía d onda. Un studio d la amplitud d la onda incidnt, n función d la rsolución d la malla la frcuncia d opración, s prsnta al inicio dl capítulo III. Postriormnt, n st mismo capítulo, s mustran las caractrísticas d disprsión, para difrnts frcuncias d opración dntro dl modo fundamntal, d guías d onda n forma d L n forma d T, n función d la modificación d la structura d dichas guías n las rgions d discontinuidad.

19 i El capítulo IV s ddica a la formulación d un método d adaptación d malla tipo-r qu mpla quidistribución l cual s implmnta n la solución d la cuación d Laplac n un dominio bidimnsional n forma d L. En al capítulo V s prsntan las conclusions d st trabajo. El apéndic A prsnta las cuacions d Mawll n forma intgral. En l apéndic B s dsarrolla la formulación débil d la intgral dl rsiduo pondrado d la cuación d Hlmholt n dos dimnsions. Finalmnt, n l apéndic C s prsntan las distribucions dl campo, dntro d guías d onda convncionals, n forma d L n forma d T, para los distintos casos analiados n l capítulo III.

20 Objtivo El objtivo gnral d st trabajo d tsis s la implmntación dl método d lmnto finito n la solución numérica d problmas dl campo lctromagnético n guías d onda d planos parallos. Admás, la obtnción d solucions numéricas más prcisas, con rspcto a las solucions obtnidas con mallas prstablcidas, a través dl mplo d un método d adaptación d malla Los objtivos particulars qu s plantan son: La formulación dl método d lmnto finito n dos dimnsions. La solución numérica d la cuación d Hlmholt n guías d onda d planos parallos l análisis d su comportaminto, para difrnts frcuncias, n función d la rsolución d la malla n la dircción d propagación. El cálculo numérico d las caractrísticas d disprsión (comportaminto d los coficints d transmisión rflión) n guías d onda n forma d L n forma d T para difrnts frcuncias, n función d la modificación d la structura d dichas guías n las rgions d discontinuidad, mplando l método d lmnto finito. La formulación d un método d adaptación d malla tipo-r qu mpla l principio d quidistribución su implmntación n la solución d la cuación d Laplac n un dominio bidimnsional n forma d L.

21 Capítulo I Fundamntos d toría lctromagnética Pocas tcnologías al inicio dl siglo XXI tinn tanto impacto n la vida diaria como aqullas qu hacn uso d dispositivos dsarrollados a partir d la comprnsión dl comportaminto dl campo lctromagnético; dsd los tléfonos clulars, hasta la rvolución dl Intrnt (impulsada n gran part por las rds d fibra óptica). La solución d un problma n dond s involucra l campo lctromagnético s, n ralidad, la solución d las cuacions d Mawll sujtas a las condicions d frontra proporcionadas por dicho problma. Una guía d onda s un dispositivo qu s utilia para transmitir ondas lctromagnéticas. Las difrnts configuracions qu pud tomar l campo, al propagars a través d una structura d st tipo, s conocn como modos. Estos modos dpndn tanto d la gomtría d la guía, como d la frcuncia d la onda (frcuncia d opración). La volución d computadoras prsonals ha hcho posibl la crcint aplicación dsarrollo d sofisticados métodos numéricos n la solución d problmas d lctromagntismo. Sin mbargo, aunqu lo antrior ha prmitido qu sin dtallado conociminto d la toría lctromagnética sa posibl disñar filtros, mcladors, línas d transmisión d bajas pérdidas, ntr otros dispositivos, solo un vrdadro conociminto d la toría qu rig l comportaminto dl campo prmit obtnr l maor provcho dl mplo d stas hrramintas. El objtivo d st capítulo s l d proporcionar, n forma gnral, concptos d la toría lctromagnética fundamntals n la obtnción d solucions prácticas a problmas d distribución dl campo n guías d onda.

22 I.. Ecuacions d Mawll Las cuacions d Mawll dscribn los fnómnos qu ocurrn n situacions dond s ncuntra involucrada la variación tmporal d los campos léctrico magnético; sto s: l campo lctromagnético []. Estas cuacions, tal como s conocn l día d ho, son un rsumn d la toría propusta por Jams Clrk Mawll (83-879) n 864 [] raliado d manra indpndint por Hinrich Hrt ( ) Olivr Havisid (850-95) []. Est conjunto d ls físicas, comprobadas primntalmnt por Hrt [6], rlaciona dscrib los campos vctorials léctrico magnético, las dnsidads d carga las dnsidads d corrint n cualquir punto n l spacio n cualquir instant d timpo qu s ds [3]. Las cuacions d Mawll n forma difrncial s prsan como dond B E = ( L d Farada ), (.) t D H = J + ( L d Ampr gnraliada ), (.) t i D = ρ L d Gauss, campo léctrico, (.3) i B = 0 L d Gauss, campo magnético, (.4) E = Intnsidad dl campo léctrico (volt/mtro), H = Intnsidad dl campo magnético (ampr/mtro), D = Dnsidad d flujo léctrico (coulomb/mtro cuadrado), B = Dnsidad d flujo magnético (wbr/mtro cuadrado), J = Dnsidad d corrint (ampr/mtro cuadrado), ρ = Dnsidad d carga (coulomb/ mtro cúbico). Las dnsidads d carga d corrint s rlacionan por la cuación d continuidad: ρ i J + = 0. (.5) t

23 3 La prsión antrior, la cual satisfac las cuacions d Mawll, también s conoc como cuación d la consrvación d la carga; a qu si no s cumplira, significaría qu cargas s stán crando (o dstrundo). I.. Rlacions constitutivas Con l propósito d conocr la propagación dl campo lctromagnético n un mdio dtrminado, s ncsario tomar n cunta la forma n qu las propidads dl mdio l campo lctromagnético s rlacionan. Cuando una onda lctromagnética ntra n contacto con un matrial, las partículas cargadas istnts n dicho matrial intractúan con l campo lctromagnético producindo corrints modificando la propagación d la onda n s mdio con rspcto a la propagación n l spacio libr [3]. Las rlacions constitutivas dscribn, n una scala macroscópica, la rlación ntr l campo lctromagnético l mdio bajo studio. Estas rlacions stán dadas por D = ε ε E = E (.6) r 0 ε, dond B = µ µ H = µ H (.7) r 0, ε = Prmitividad dl mdio, (farad/mtro), - ε 0 = Prmitividad dl vacío, ε 0 = (farad/mtro)[5], ε r = Prmitividad rlativa dl mdio, ε r = ε / ε0 (adimnsional). µ = Prmabilidad dl mdio, (hnr/mtro), -7 µ 0 = Prmabilidad dl vacío, µ 0 = 4 π 0 (hnr/mtro)[5], µ r = Prmabilidad rlativa dl mdio, µ r = µ / µ 0 (adimnsional), La prmabilidad prmitividad d un mdio dtrminado s rlacionan ntr sí a partir d c = / µε, dond c s la vlocidad d la lu n dicho mdio. Para l caso

24 4 dl spacio libr ε = µ =, por lo tanto, la vlocidad d la lu n l spacio libr r r stá dada por c µε 8 0 = / mtro/sgundo []. Otra rlación constitutiva s la qu s cumpl n un conductor d la siguint forma: J = σ E, (.8) dond σ s la conductividad (simns/mtro). Los parámtros ε, µ σ son conocidos como parámtros constitutivos caractrian las propidads léctricas d dtrminado matrial. Los matrials s clasifican n función d los parámtros constitutivos, d acurdo a [3], d la siguint forma: Matrials linals o Matrials no linals. Un matrial s conoc como linal cuando sus parámtros constitutivos no son función d la magnitud dl campo aplicado; por l contrario s conoc como no linal cuando sí lo son. Matrials homogénos o Matrials no homogénos. Cuando los parámtros constitutivos d un mdio son función d la posición ést s conoc como un mdio no homogéno; por su part, n l caso d qu no lo san, s conoc como un mdio homogéno. Matrials disprsivos o Matrials no disprsivos. Los matrials disprsivos son aqullos n los qu los parámtros constitutivos son función d la frcuncia; a su v, son matrials no disprsivos aqullos n los qu los parámtros constitutivos no son función d la frcuncia. Matrials isotrópicos o Matrials anisotrópicos. Sí los parámtros constitutivos no son función d la dircción dl campo aplicado stos son scalars l mdio s conoc como un mdio isotrópico; d manra contraria, los parámtros son tnsors cuando son función d la dircción dl campo aplicado l mdio ntoncs s conoc como anisotrópico.

25 5 Al aplicar las rlacions constitutivas a las cuacions d Mawll, éstas dan ε = µ H E, t (.9) = +ε E H J, t (.0) ( E) = ρ, i (.) ( H) 0. µ i = (.) El conjunto d cuacions (.9) a (.) mustra qu, adicional a las cargas a las corrints, la variación con rspcto al timpo d un campo funciona como funt para l otro. I.3. Campos státicos Cuando los campos léctrico magnético no varían con rspcto al timpo las prsions (.9) (.0) son rscritas, rspctivamnt, d la siguint manra: E = 0, (.3) H = 0. (.4) Cuando stos campos s ncuntran státicos no ist intracción ntr llos; por lo tanto, cada uno s dscrito, d forma indpndint, por un conjunto d cuacions rspctivo. El comportaminto dl campo lctrostático s dscrib por (.) (.3) mintras qu las prsions qu gobirnan al campo magntostático son a su v (.) (.4). En l caso stático la prsión (.5) s scrib como i J = 0; (.5)

26 6 lo qu implica qu cuando los campos no varían con rspcto al timpo no ist flujo d corrint n ningún sntido. I.3.. Ecuacions d Poisson Laplac Analiando (.3) tomando n cunta la opración vctorial Φ = 0, s pud stablcr qu E = Φ, (.6) dond Φ s una función scalar conocida como potncial scalar []. Asumindo un mdio homogéno, al sustituir (.6) n (.) s obtin la cuación d Poisson: ρ i. (.7) ε E = Φ = La prsión antrior rlaciona la variación dl potncial Φ n cualquir punto con la dnsidad d carga ρ n cualquir punto d dtrminado dominio. La cuación d Laplac (caso particular d (.7) cuando ρ = 0) stá dada por Φ = 0. (.8) La solución d (.7) (.8) n una rgión dtrminada ( para una distribución d carga spcífica, n l caso d la cuación d Poisson) dpnd d las condicions d frontra dl dominio bajo análisis. En otras palabras, s posibl dcir n forma gnral qu para l mismo dominio istn difrnts configuracions d Φ qu satisfacn stas cuacions, sin mbargo, n forma particular cada una d stas solucions s única n rlación a una condición d frontra spcificada.

27 7 I.4. Campos armónicos n l timpo En la litratura rfrnt a lctromagntismo con nfoqu a ingniría ([], [3], [5], ntr otros) s común ncontrar qu la variación con rspcto al timpo d los campos magnético léctrico s considra como sinusoidal (o variación armónica). Esto prmit qu l campo léctrico, por jmplo, s puda prsntar como E spacio timpo j t ( st) = E( s) ( ω ), R, (.9) dond E ω f ( s) = variación spacial d E ( volts/mtro ), = π fop = frcuncia d opración, ( hrt ), op = frcuncia angular, radians/sgundo, R = conjunto d los númros rals. Tomando n cunta la antrior asunción n la variación tmporal, las cuacions (.5), (.9) (.0) s rscribn rspctivamnt como jωt, E = jωµ H s = jωµ H (.0) j ω t jωt s jωε ( s) jωε, H = J + E = J+ E (.) jωt ωρ. i J = jωρ s = j (.) A partir d st punto, n toda ocasión n dond la cantidad complja jωt s mpl, s asumirá l hcho d qu solo la part ral tin significado físico aunqu no s inclua l acrónimo R. Por otra part, l intrés d st trabajo s l studio d la variación spacial dl campo, por lo tanto, n aqullos dsarrollos matmáticos n dond con fins d simplificación s amrit, la part corrspondint a la variación tmporal d ést s omitirá.

28 8 I.5. Ecuación d onda d Hlmholt Las cuacions d Mawll son un conjunto d cuacions d primr ordn n las cuals los campos léctrico magnético s ncuntran acoplados, stos s, ambos campos s ncuntran prsnts tanto n la l d Farada como n la l d Ampr. Es ncsario, sin mbargo, dsacoplar stos campos con l fin d conocr la solución d un problma d valors n la frontra; por jmplo: obtnr la distribución dl campo léctrico n una guía d onda. S considran campos armónicos n l timpo, la ausncia d cargas ( ρ = 0) s limita a un mdio sin pérdidas ( σ = 0 J = 0), homogéno, isotrópico linal ( µ = µ 0 ε = ε0 ). S inicia aplicando l rotacional a la l d Farada rprsntada n (.0), sto s, E = E+ i E = jωµ H. (.3) Las ls d Ampr gnraliada Gauss para l campo léctrico sin funts, prsadas rspctivamnt como H = jωε E, (.4) i E = 0, (.5) s sustitun n (.3) obtniéndos E+k E = 0, (.6) dond k = ω µε s un parámtro constant conocido como númro d onda. Raliando un procdiminto similar, iniciando con l rotacional d H n la l d Ampr gnraliada, s obtin H+k H = 0. (.7)

29 9 Las cuacions (.6) (.7) s conocn como las cuacions homogénas d Hlmholt para los campos léctrico magnético, rspctivamnt. Estas cuacions difrncials d sgundo ordn modlan la variación spacial d stos campos n la ausncia d funts. I.6. Condicions d frontra En dominios no homogénos, los cuals continn intrfass ntr mdios con caractrísticas léctricas distintas (cambios bruscos ntr un mdio otro d µ, ε σ ), s posibl qu la magnitud dircción d los campos s modifiqun al atravsar dichas intrfass [5]. Estos comportamintos, cua inclusión n cualquir análisis s obligatoria, s dscribn por un conjunto d rlacions drivadas d las cuacions d Mawll n forma intgral (vr apéndic A) conocidas como condicions (o rlacions) d frontra [7]. Dsd l punto d vista matmático, la solución d una cuación difrncial n un dominio dtrminado, como la cuación d onda d Hlmholt (prsión (.6) para campo léctrico (.7) para l campo magnético), no s única a mnos qu s spcifiqun condicions d frontra []. I.6.. Intrfas ntr dos mdios con conductividad finita Las rlacions d frontra qu dbn cumplir los campos n una intrfas ntr dos mdios con caractrísticas léctricas distintas (vr la Fig..), sin funts sin cargas, son, d acurdo a [3], [8], ( ) n E E = 0, (.8) n ( D D ) i = 0, (.9) ( ) n H H = 0, (.30) n ( B B ) i = 0, (.3) Hrmann Von Hlmholt (8-894), físico almán.

30 0 dond σ σ son finitas, n s l vctor normal a la intrfas l sufijo n todos los casos indica los difrnts mdios. La prsions (.8) (.30) indican qu las componnts tangncials d los campos léctrico magnético, rspctivamnt, son continuas n la intrfas. A su v, (.9) (.3) indican, rspctivamnt, qu son las componnts normals a la intrfas d D B las qu dbn sr continuas. Estas rlacions son válidas tanto para campos státicos como para campos variants n l timpo [5] su dducción pud sr consultada n [], [5], [7] (ntr otros). mdio µ, ε, σ n mdio µ, ε, σ Figura.. Intrfas ntr dos mdios. I.6.. Conductor léctrico prfcto Un conductor léctrico prfcto (PEC) s dfin como un matrial n l cual no ist campo léctrico a ninguna frcuncia [4]. Obsrvando la l d Farada (prsión (.)) s pud dducir qu n tals matrials tampoco ist campo magnético variant n l timpo. En la maoría d los problmas prácticos n dond la conductividad s alta (aunqu no infinita), la configuración dl campo, la longitud d onda λ la constant d propagación k, ntr otros parámtros, s pudn calcular con una alta prcisión bajo la suposición d una conductividad infinita [5] (suposición d un matrial PEC). Partindo d lo analiado n scción I.6., sí s considra al mdio como un PEC ( σ = ), las condicions d frontra para dicha intrfas son, d acurdo a [5] (tabla 0-), n (.3) n (.33)

31 I.7. Guía d onda rctangular mtálica Una guía d onda s una structura qu prmit qu una onda lctromagnética s propagu a través d ésta n una dircción dsada [4]. En la práctica, s común ncontrar problmas n los cuals las condicions d frontra s satisfacn por campos qu no stán conformados por todas sus componnts vctorials. Con bas a sta ausncia (o prsncia) d dtrminadas componnts dl campo, n rlación a la dircción d propagación d ést, s pud clasificar su solución n trs catgorías principals []:. Modo Transvrsal Elctromagnético (TEM ). En l modo TEM los vctors d los campos léctrico magnético son transvrsals a la dircción d propagación.. Modo Transvrsal Eléctrico (TE o H ). En l caso dl modo TE l vctor dl campo léctrico s transvrsal a la dircción d propagación. 3. Modo Transvrsal Magnético (TM o E ). Los modos TM son aqullos n los qu l vctor dl campo magnético s transvrsal a la dircción d propagación. a b Figura.. Guía d onda rctangular ( a : ancho, b : gruso). Considrando una propagación n la dircción dfinindo los campos léctrico magnético rspctivamnt como ( E E E) E =,,, (.34) ( H H H) H =,,, (.35)

32 una onda TEM implica: E = H = 0. Una guía d onda huca, como la qu s mustra n la Fig.., no pud propagar una onda TEM. Lo antrior, obdc a qu l rotacional d un campo transvrsal léctrico rquir una componnt aial dl campo magnético (cuación (.9)); d forma similar, l rotacional d un campo transvrsal magnético rquir a sa una corrint aial (la cual no pud istir n dicha structura, dbido a la ausncia d un conductor aial) o una componnt aial dl campo léctrico (cuación (.0)). En rsumn, una guía d onda huca pud propagar ondas TE TM, pro no ondas TEM []. Para sta misma structura, l modo TE implica qu la componnt dl campo léctrico sa cro ( E = 0); mintras qu l modo TM qu H = 0. Cuando un problma s rsulv al suponr qu s propaga una onda TE, ést s conoc como un problma dl plano-h; d forma similar, cuando s supon qu la onda qu s propaga s TM, ést s conoc como un problma dl plano-e. I.7.. Guía d onda d planos parallos Una guía d onda d planos parallos s una d las structuras más sncillas para l análisis dl campo. Fundamntalmnt, ésta s conforma d dos placas conductoras sparadas por un diléctrico [4]. S considra qu los campos son los mismos a los qu istiran si las placas furan d un ancho infinito (vr Fig..3), lo qu significa qu no s toman n cunta las variacions dl campo n una dircción transvrsal. a b Figura.3. Guía d onda d planos parallos.

33 3 El objtivo n sta scción s, primramnt, la obtnción d la cuación homogéna d Hlmholt n dos dimnsions a partir d las cuacions d Mawll, postriormnt, su solución analítica dntro d una guía d onda d planos parallos para los casos TE TM. Con bas n la gomtría d una guía d onda d st tipo, s utilian coordnadas rctangulars para su análisis. El método d solución sigu al qu s utilia n Balanis [3]. I.7.. Solución analítica d la cuación d Hlmholt S considra una guía d onda d planos parallos PEC, sparados por una distancia b como la qu s prsnta n la Fig..4. Esta guía s tind dsd hasta + n las dirccions. S asum qu l mdio dntro d la guía s l spacio libr, la ausncia d funts, qu l campo varía d forma armónica con l timpo qu ést s propaga n la dircción +. Figura.4. Vista latral d una guía d onda d planos parallos. Dbido a qu la structura s indpndint d, los campos dbn srlo también, por lo tanto E = 0. (.36) H La prsión (.36) implica qu E H son únicamnt funcions d, sto s, E = E,, E = E,, E = E,, H = H,, H = H,, H = H,. (.37)

34 4 S inicia con las cuacions d Mawll corrspondints al rotacional d E H : E = jωµ H, (.38) H = jωε E. (.39) Dsarrollando (.38) (.39), para cada una d las componnts d los campos, s obtin l conjunto d cuacions E E E E E E = jωµ H, (.40) = jωµ H, (.4) = jωµ H, (.4) H H = jωε E, (.43) H H = jωε E, (.44) H H = jωε E, (.45) Las prsions rlacionadas a la divrgncia dl campo ((.) (.)) s prsan rspctivamnt, n coordnadas rctangulars tomando n cunta la ausncia d cargas n l mdio ( ρ = 0), como E E E + + = 0 (.46) H H H + + = 0. (.47)

35 5 Aplicando la rstricción (.36), las prsions (.40), (.4), (.43) (.44) s rducn a E = jωµ H, (.48) E = jωµ H, (.49) H = jωε E, (.50) H = jωε E. (.5) Emplando la misma rstricción, (.46) (.47) s rscribn como E E + = 0 (.5) H H + = 0. (.53) El conjunto d cuacions (.4), (.45), (.48)-(.53) s l corrspondint a las cuacions d Mawll n forma difrncial, n coordnadas rctangulars, cuando s han aplicado las rstriccions rfrnts a las caractrísticas léctricas dl mdio la variación nula d los campos con rspcto a la dircción. I.7.3. Modo transvrsal léctrico Para qu una onda lctromagnética s propagu n l modo TE s ncsario aplicar n l conjunto d cuacions (.4), (.45), (.48)-(.53) una rstricción qu asgur qu l vctor dl campo léctrico sa transvrsal a la dircción d propagación. La rstricción para l modo TE implica qu E 0 E = E = 0. Aplicando lo antrior a (.4), (.48) (.49) s obtin rspctivamnt

36 6 H = 0, (.54) H H j E = ωµ j E =. ωµ, (.55) (.56) S pud obsrvar qu las prsions (.48) (.49) no son afctadas por la rstricción para l modo TE; sin mbargo, éstas son rscritas rspctivamnt como (.55) (.56) con fins prácticos qu s justifican a lo largo dl análisis. La rstricción para l modo TE s aplica a (.45), (.50) (.5), sto s, H H = jωε E, (.57) H H = 0, = 0. (.58) (.59) La cuación dl Hlmholt, para la componnt E dl campo léctrico, s obtin al sustituir la drivada con rspcto a d (.55) la drivada con rspcto a d (.56) n (.57), obtnindo así E E + + ke 0 = ; (.60) dond k también s conoc como constant d propagación para la onda al viajar n un mdio sin frontras. La solución d (.60) s obtin al aplicar la técnica d sparación d variabls [9]. S asum qu la solución E (, ) s igual al siguint producto: (, ) E = E E, (.6)

37 7 dond E ( ) s la solución d (.60) cuando E varía rspcto. D la misma forma E s la part d E qu varía, solamnt, con rspcto a. Sustitundo (.6) n (.60) dividindo l rsultado por E E s tin E E E E + + k = 0, (.6) la cual s pud rscribir como E E + = k. (.63) E E Analiando (.63) s pud obsrvar qu l primr término d la part iquirda s solo función d, mintras qu l sgundo s solo función d ; por lo tanto, tomando n cunta qu k s una constant, sta cuación solo s pud satisfacr si cada uno d los términos d la iquirda s igual a una constant, sto s, E E E E = k (.64) = k, (.65) dond la condición para qu (.64) (.65) satisfagan (.6) s k + k = k. (.66) Las constants d sparación k k s conocn como constants d propagación n la dircción n la dircción, rspctivamnt.

38 8 Eistn distintos tipos d solución qu pudn satisfacr (.64) (.65); sin mbargo, l objtivo principal d st análisis no s l d ncontrar la solución a una cuación difrncial dsd l punto d vista puramnt matmático, sino l d ncontrar las solucions a (.64) (.65) qu, dsd l punto d vista físico, modln l comportaminto dl campo lctromagnético. D acurdo a Balanis n [3], dbido a qu la guía d onda tin una longitud infinita, la variación dl campo n la dircción db rprsntar una onda viajra dada por jk E A B + jk = +. (.67) La prsión (.67) rprsnta ondas viajando n ambas dirccions d, dond A B son constants arbitrarias. El primr ponncial d la part drcha rprsnta ondas viajando hacia +, mintras qu l sgundo ondas viajando hacia ([3], [5]). En st trabajo s considra qu la funt s coloca d tal forma qu la propagación s n la dircción +, por tanto, B = 0 (.67) s rscrib como E A jk =. (.68) Con rspcto a E Balanis stablc n [3] qu, dbido a qu la guía d onda s ncuntra dlimitada n la dircción, la forma más apropiada para E sr db cos sin E = C k + D k, (.69) dond C D son constants arbitrarias. Al sustituir (.68) (.69) n (.6), s tin como rsultado = + jk E, Ccos k Dsin k A. (.70)

39 9 Hasta st punto dl análisis s pud stablcr lo siguint: El campo lctromagnético, para l modo TE n una guía d onda d planos parallos (como la spcificada al inicio d sta scción mostrada n la Fig..4) s conforma por la componnt componnts H H dl campo magnético (vr Fig..5). E dl campo léctrico las La prsión (.70) rprsnta la solución d la cuación d Hlmholt para ondas qu viajan n la dircción + confinadas n. Sin mbargo, sta solución continúa sindo gnral s ncsita, ntoncs, spcificar qu tipo d mdio s l qu confina a la onda n la dircción d la coordnada, sto s, las condicions d frontra n las pards d la guía d onda. < <+ < < + 0 b a b TE0 n H (, ) (, ) H (, ) E Figura.5. Guía d onda d planos parallos con componnts dl campo para l modo TE0 n. En bas a (.3), para una guía d onda d planos parallos como la d la Fig..5, la condición d frontra ncsaria suficint consist n qu la componnt tangncial a la frontra dl campo léctrico (n st caso PEC. Por lo tanto, para los planos infrior suprior, s db cumplir E ) sa igual a cro n la frontra E < < +, = 0 = E < < +, = b = 0. (.7)

40 0 Evaluando (.70) n = 0 s obtin E, 0 cos sin jk = = C k D k + A = 0. (.7) La única forma (no trivial) d qu s satisfaga (.7) s qu C = 0. Entoncs, fijando C = 0, (.73) la prsión (.70) s rduc a ( ) E, sin jk = D k A = 0. (.74) D forma similar, valuando (.74) n = b s obtin ( ) E, sin jk = b = D k A = 0, (.75) dond la única forma d qu sta prsión s satisfaga s cuando ( ) sin kb = 0, lo cual s obtin para k nπ =, n = 0,,, 3,... (.76) b Al sustituir (.76) n (.75) s tin como rsultado la solución complta d (.60), dada por nπ E(, ) = A0 nsin b jk, (.77) dond 0n A s una constant arbitraria dfinida por A ( D )( A) =. 0n

41 Una v qu s ncuntra E, al mplar las cuacions d Mawll, d forma más spcífica a través d (.55) (.56), s ncuntra l rsto d las componnts dl campo: j nπ nπ jk H(, ) = A0 ncos, (.78) ωµ b b k nπ H (, ) 0 sin jk = A n. ωµ b (.79) Las prsions (.77)-(.79) son quivalnts a las solucions dl campo prsntadas n Marcuvit [0] para una guía d onda d planos parallos n l modo TE0 n. El sufijo 0n, d la misma forma qu n dicha rfrncia, s mpla para dfinir los modos n una guía d onda d planos parallos. El sufijo 0 indica qu los campos no varían con rspcto a la coordnada ; mintras tanto, l parámtro n indica l númro d smiciclos n los qu varían E, H H con rspcto a. En pocas palabras, cada valor d n rprsnta una configuración difrnt dl campo (o modo) dntro d la guía d onda. En rsumn, l conjunto d modos TE para una guía d onda d planos parallos s dnota por TE0 n (con n =,, 3... ). Las sis componnts dl campo para l modo TE 0 ( TE0 n para n = ) stán dadas por E ( ), = 0, E ( ), = 0, π jk E (, ) = A0 sin, b j π π jk H (, ) = A0 cos, ωµ b b k π jk H (, ) = A0 sin, ωµ b H ( ), = 0. (.80) (.8)

42 Las prsions (.77)-(.79) indican qu cuando la constant d propagación k s igual a cro no ist propagación d la onda; lo antrior prmit stablcr un caso particular d (.66) como k = k k= 0. (.8) Sustitundo (.76) n (.8) s stablc o simplmnt nπ nπ kc = k = ω µε = k k= 0 = = k= 0 b b, (.83) ( k ) TE c 0n = k = nπ b ; (.84) dond k c s conoc como númro d onda d cort l supríndic indica l modo TE. Partindo d (.84), rcordando qu ω = π fop, s dfin a la frcuncia d cort dl modo 0n, para una guía d onda d planos parallos, como ( f ) TE c 0n n = µε b. (.85) Con bas n (.85) dfinindo a la longitud d onda d opración como λ = c/ f, la longitud d onda d cort s scrib como op op λ = b c 0n n. (.86) TE Los parámtros d cort ((.84)-(.86)) stablcn, para un modo dtrminado, una frontra ntr la propagación o la no propagación d una onda a través una guía d onda. Lo antrior s pud plicar d la siguint forma:

43 3 Dfinindo la constant d propagación ( ) 0 cort s tin, k n términos dl númro d onda d 0n c 0n c n k = k k k = ± k k. (.87) Tomando la raí positiva, n ordn d tnr propagación n la dircción +, la constant d propagación s scrib n términos d ( λ c ) 0 n c 0 f como n ( f ) λ c 0n k = k = k 0n ( λc ) f 0n. (.88) Analiando (.88) s dducn trs posibls casos n función d f c : a) La frcuncia d opración s suprior a la frcuncia d cort ( f > f ); para c st caso, la constant ( ) 0 k s ral al sustituir st valor n (.77)-(.79) l n argumnto dl ponncial continua sindo imaginario por lo tanto las ondas viajan sin sr atnuadas n l modo TE0 n. b) La frcuncia d opración s igual a la frcuncia d cort ( f op = f c ); st caso da como rsultado 0 0 k =, aplicando sto n (.77)-(.79), s obtinn ondas stacionarias (no ist propagación). n c) La frcuncia d opración s mnor a la frcuncia d cort ( f < f ); n st c último caso l parámtro ( ) 0 k s un númro imaginario. Al sustituir st n valor n l ponncial d (.77)-(.79) l argumnto s convirt n ral ngativo, lo cual da como rsultado ondas vanscnts. Los campos vanscnts son campos qu dcan ponncialmnt carcn d potncia ral [3]. op op

44 4 La aparición d los modos n una guía d onda d planos parallos (con mustra n la Fig..6 n función d la frcuncia d opración. b = 4 cm ) s TE0 TE TE 0 03 TE f op (GH) Figura.6. Aparición d modos TE n una guía d onda d planos parallos con b = 4 cm. Otro parámtro qu dpnd d la dimnsión d la scción transvrsal d la guía d onda s la longitud d onda n la guía ( λ g ), dada para l modo 0n, sgún [3], por ( λ ) ( λ ) = = g 0n 0n λ op ( f ) c 0n f op. (.89) Analiando (.89) s pud dducir qu, para un modo dtrminado, a frcuncias d opración mucho más altas qu la frcuncia d cort ( λg ) 0 n λ. A su v, a mdida op qu la frcuncia d opración s aproim a la frcuncia d cort ( f ( f ) 0 op c n ) la longitud d onda n la guía tndrá a infinito (( λg ) 0 n ). I.7.4. Modo fundamntal El modo fundamntal n una guía d onda dtrminada s dfin como aqul cua frcuncia d cort s la más baja [8]. En l caso d una guía d onda d planos parallos l modo fundamntal s l TE 0 su frcuncia d cort s dfin como 0 f c =. (.90) b µε

45 5 El ancho d banda ( BW ) para l modo TE 0 s obtin a través d ( f ) ( f ) =. (.9) BW 0 c 0 c 0 La prsión (.9) indica l ancho d la banda d frcuncias n la cual solo s transmit l modo fundamntal. En la gran maoría d los casos, las guías d onda mpladas n la práctica stán rstringidas a oprar n l modo fundamntal dbido a las dificultads d acoplaminto qu surgn cuando más d un modo s transmitido a través d ésta []. I.7.5. Gráficas d solución analítica para l modo TE 0 S prsntan las gráficas d la distribución d las componnts dl campo, n una guía d onda d planos parallos, para una frcuncia dtrminada dntro dl modo TE 0. S considra una guía d onda d planos parallos con b = 4 cm µ = ε =. Las frcuncias d cort para los modos TE 0 TE 0, calculadas a partir d (.85), stán dadas rspctivamnt por ( f c ) 0 = 3.75 GH ( c ) GH f =. Las figuras.7-.9 mustran las gráficas d las solucions analíticas (.77)-(.79) para una r r frcuncia d opración d f = 6.3 GH ( λ 5.90 cm ). op g Figura.7. Part ral d la componnt E (prsión (.77)) para l modo TE. 0

46 6 Figura.8. Part ral d la componnt H (prsión (.78)) para l modo TE. 0 Figura.9. Part ral d la componnt H (prsión (.79)) para l modo TE. 0 I.7.6. Modo transvrsal magnético Con l fin d obtnr la cuación d Hlmholt para l modo TM n una guía como la mostrada n la Fig..4, s ncsita raliar un procdiminto similar al sguido n l caso TE. Primramnt s db asgurar qu l campo magnético sa transvrsal a la dircción d propagación, por lo tanto, s fija la rstricción para l modo TM como H 0 H = H = 0. Aplicando la antrior rstricción a (.4), (.45), (.48)-(.53) s obtin E = 0, (.9) E = 0, (.93)

47 7 E E = jωµ H, (.94) E E j H =, ωε (.95) j H =, ωε (.96) E = 0. (.97) Dl conjunto d cuacions (.9)-(.97) s pud obsrvar qu l campo para l caso TM s conforma por la componnt E E dl campo léctrico (vr Fig..0). H dl campo magnético las componnts < <+ < < + 0 b a b TM0 n (, ) E (, ) E (, ) H Figura.0. Guía d Onda d Planos Parallos con componnts dl campo para l modo TM0 n. La cuación d Hlmholt para H n l caso TM (obtnida al sustituir la drivada d (.95) con rspcto a la drivada d (.96) con rspcto a n (.94)) stá dada por H H + + kh 0 =. (.98) La solución a sta cuación s = + jk H, Ccos k Dsin k A. (.99)

48 8 La prsión (.98) s soluciona d la misma forma qu n l caso TE : utiliando la técnica d sparación d variabls mplando los mismos critrios n la lcción dl tipo d solución (una onda confinada n la coordnada una onda viajra n la dircción + ). La condición d frontra PEC indica qu la componnt tangncial a la frontra dl campo léctrico s cro, sto s, E < < +, = 0 = E < < +, = b = 0. (.00) A través d (.95) (.99) s obtin jk E(, ) = Csin( k) Dcos( k) A ωε jk. (.0) Evaluando (.0) n = 0 jk jk E(, = 0) = Csin( k) Dcos( k) A = 0 ωε. (.0) La única forma, no trivial, n qu s puda satisfacr (.0) s dfinindo D = 0. (.03) Aplicando (.03) a (.0), ésta s rduc a jk E(, ) = Csin( k) A ωε jk. (.04) Evaluando (.04) n = b s obtin

49 9 jk jk E(, = b) = Csin( k) A = 0 ωε. (.05) Esta última prsión solo s pud satisfacr cuando k s dfin como k nπ = n = 0,,,... (.06) b Aplicando (.03) (.06) a (.99) (.0), obtnindo E a partir d (.96), las componnts qu conforman l campo n l modo TM0 n s pudn scribir como j nπ nπ jk E (, ) = B0n sin, ωε b b k nπ jk E (, ) = B0n cos, ωε b E ( ), = 0, (.07) H ( ), = 0, H ( ), = 0, (.08) nπ jk H (, ) = B0 n cos ; b dond B0n = CA s una constant arbitraria. Las prsions (.07) rprsntan las componnts corrspondints al campo léctrico, mintras qu (.08) las dl campo magnético. Estas solucions concurdan con las prsntadas n Marcuvit [0]. Para l caso TM, d acurdo a [4], [0], los parámtros k c, f c λ c stán dados por las mismas prsions qu para l caso TE, sto s ( k ) TM c k nπ b, (.09) = =

50 30 ( f ) TM c 0n n = µε b, (.0) λ = b c 0n n, (.) TM por lo tanto, la frcuncia d cort dl modo TM 0 s actamnt la misma a la dl modo 0 TM TE, sto s, ( f ) ( f ) TE c 0 c 0 =. I.7.7. Gráficas d solución analítica para l modo TM 0 S prsntan las gráficas d la distribución d las componnts dl campo, n una guía d onda d planos parallos, para una frcuncia dtrminada dntro dl modo TM 0. S considra la misma guía d onda qu n la scción I.7.5 ( b = 4 cm µ r = ε r = ), dond d acurdo a (.0) las frcuncias d cort para los modos TM 0 0 TM, stán dadas rspctivamnt por ( f ) 0 = 3.75 GH GH c f =. Las figuras.-.3 mustran, rspctivamnt, las gráficas d las solucions c analíticas d E, E H (d (.07) (.08)) para una frcuncia d opración d f = 6.3 GH ( λ 5.90 cm ). op g Figura.. Part ral d la componnt E (n (.07)) para l modo TM. 0

51 3 Figura.. Part ral d la componnt E (n (.07)) para l modo TM. 0 Figura.3. Part ral d la componnt H (n (.08)) para l modo TM. 0

52 3 Capítulo II Método d lmnto finito n dos dimnsions En l capítulo I s prsnta una introducción gnral a los concptos d toría lctromagnética ncsarios n l ntndiminto dl problma d la propagación dl campo n guías d onda. La cuación d Hlmholt n una guía d onda tin solución analítica, ntr otros posibls casos, para dominios rctangulars homogénos con pards PEC (tal como s mustra n l capítulo antrior). Sin mbargo, los problmas con gomtrías complicadas /o mdios no homogénos frcuntmnt carcn d solución analítica, o n su dfcto, la obtnción d dicha solución s complicada, por lo tanto, d poco intrés práctico. Gracias al dsarrollo qu las computadoras prsonals han tnido n la sgunda mitad dl siglo XX al inicio dl siglo XXI, l mplo d métodos numéricos n la solución d st tipo d problmas s ha convrtido n una d las hrramintas más importants n l campo d lctromagntismo aplicado [6]. El método d lmnto finito s una técnica numérica utiliada n la obtnción aproimada d la solución a problmas d valors n la frontra [5]. En términos gnrals, FEM consist n discrtiar l dominio d solución n un númro finito d subdominios conocidos como lmntos. Dichos lmntos s dfinn por puntos conocidos como nodos cuo nsambl s conoc como malla. La solución n cada uno d stos subdominios s aproima por un polinomio, postriormnt, la solución complta dl sistma s obtin al nsamblar las solucions individuals d cada uno d los lmntos.

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