Carrera: Técnico Superior en Programación

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1 1 Sistema de dos ecuaciones lineales Resolver los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales en forma analítica y gráfica. Verificar los resultados obtenidos x + 2 y = 4 5 x y = 4 x + y = 6 2 x y = 6 2 x + 3 y = 9 5 x + 3 y = 0 4 x + y = 2 8 x 4 y = x + 3 y = x 2 y = 2 2 x 5 y = 7 x + 3 y = x + y = x + y = 1 x + y = 2 3 y = 6 3 x x + y = x + y = 6 4 x + y = 1 2 x 2 y + 2 = 0 2 x + y + 1 = 0 2 x y = 1 2 x 7 y = x + 3 y = x + 2 y = x y = 1 8 x + 7 y = x 4 y = x + y = 1 2 x + y = 2 x y = 1 3 x y = 2 4 x 5 y = 2 0 x + y = 7 x = y x + 2 y = 2 x + 5 y = 1 0 x 1 y = x y = x + 7 y = 4 x + 9 y = 8 5 x + y = 3 3 x + y = 1 1, 5 x 1, 4 y = 5 0, 5 x 0, 2 y = 3 x 3 y = 2 x = 6 y + 1 y = 2 x 7 x y = 7 x y = 1 x + y = 5 Docente: Mg. Ing. Héctor Daniel Martín

2 Problemas Varios con Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas 1º) Si al numerador de una fracción se le suma 1, la fracción es igual a 1/3 y si al denominador se le suma 1, la fracción es ¼ Cuál es la fracción? R: 4/15 2º) Si al numerador de una fracción se le suma dos, ella es igual a 5/7 y si al denominador se le suma 2 ella es igual a 1/3. Cuál es la fracción? R: 3/7 3º) Si al numerador de cierta fracción se le multiplica por 2 y al denominador se le suma 7 dicha fracción se convierte en 2/3; en cambio aumentando en 2 el numerador y multiplicado por 2 el denominador se obtiene 3/5 Cuál es esa fracción? R: 4/5 4º) Encontrar dos números tales que dos veces el primero más tres veces el segundo sea igual a 105 y tres veces el primero más dos veces el segundo sea igual a 95. R: x = 15 : y = 25 5º) Si a la mitad de un número le agrego la tercera parte de otro la suma es igual a 13 y si la mitad del segundo se resta de un tercio del primero, la diferencia es igual a 0. Cuáles son los números? R: x = 18 : y = 12 6º) Las dos terceras partes de la edad de María exceden en 4 años a la de Rosa: hace 8 años la edad de María era el doble de la que tenía Rosa. Cuáles son las edades de las dos personas? [Llamémosle x a la edad actual de María e y a la edad actual de Rosa ] R: x = 48 años : y = 28 años 7º) La longitud del papel enrollado en una bobina es igual a 250 veces su ancho y este es inferior en 0,75 m a la centésima parte del primero. Averiguar el largo y el ancho del papel. R: x = 125 m : y = 0,50 m 8º) La cuarta parte de la suma de dinero es superior a 1000 $ a la mitad de otra que es la tercera parte de la primera. Cuáles son esas sumas de dinero? R: $ y $ º) En una reunión de 42 personas se hace una colecta y se juntan $ 1890, habiendo contribuido cada adulto $ 60 y cada menor $ 25 Cuántos adultos y menores había en la reunión? R: x = 24 adultos : y = 18 menores 10º) Al preguntar la dueña de una tienda a su empleada el valor de la mercadería vendida ésta contestó: tanto como las 2/5 partes de la no vendida. Si el valor de toda la mercadería era de $ Cuál fue el valor de la mercadería vendida? R: x = $ º) Compré dos objetos cuyos costos son tales que su suma es igual a los 11/2 de su diferencia. Por otra parte, el más caro cuesta el doble que el otro menos $ 20 Cuánto costó cada objeto? R: x = $ 52 : y = $ 36 12º) En un taller cepillan madera 5 hombres y dos máquinas. Cada hombre cepilla por hora 1/20 de lo que cepilla una máquina pero trabaja 3 horas más por día. Al cabo del día las máquinas cepillaron 5760 m 2 de madera y los hombres 1260 m 2 Cuántas horas diarias trabaja cada uno? [Llamémosle x al número de metros cuadrados que cepilla cada máquina por hora e y al número de horas diarias que trabaja cada máquina] R: 7 horas diarias 13º) En un salón de ventas ha sido ocupada la cuarta parte de su superficie por estanterías y la tercera parte por vitrinas y mostradores. Qué superficie tiene el salón y cuál es la superficie libre se ésta es inferior a 100 m 2 a la superficie ocupada? [Llamémosle x a la superficie del salón e y a la superficie libre] R: x : 600 m 2 ; y = 250 m 2 14º) Una persona gastó $ 120 comprando plumas de $ 6 c/u, y lápices de $ 9 c/u. Cuántas plumas y lápices compró si en total recibió 15 objetos? R: x = 10 plumas : y = 5 lápices 15º) En un camino trabajan una cuadrilla diurna y otra nocturna, excavando cada hombre 10 m 3 de tierra por día. Cuando en la cuadrilla diurna faltan 5 hombres se excavan durante el día y la noche 260 m 3 en total. Cuando la cuadrilla diurna esta completa excava por día el doble de la nocturna menos 50 m 3. De cuántos hombres se compone cada cuadrilla? [Desígnese con x el número de hombres de la cuadrilla diurna y con y el número de hombres de la cuadrilla nocturna] R: x = 19 hombres : y = 12 hombres 16º) Carlos tiene tanto dinero como $ 1200 más 4/5 del dinero de Pablo y éste tiene $ 1200 más 1/8 del dinero de Carlos Cuánto dinero tiene cada uno? [Llámese x al dinero de Carlos e y al dinero de Pablo] R: x = 2400 $ : y = 1500 $ 17º) Dos jóvenes A y B poseen dinero. Con los ahorros de A más 2/3 de los de B, o bien los de B más 3/4 de los de A, pueden comprar una bicicleta de $ 180. Cuánto dinero tiene cada joven? R: x = $ 120; y = $ 90 Docente: Mg. Ing. Héctor Daniel Martín 2

3 18º) Repartir $ entre cuatro personas de manera que la primera reciba 3/5 de lo que recibe la segunda; la tercera 1/6 de lo que recibe la primera, y la cuarta 2/3 de lo que recibe la tercera. R: 1º $ º $ º $ º $ º) Un comerciante vende cierto número de docenas de lápices en la siguiente forma: la quinta parte a $ 58 la docena; la mitad del resto a $ 60 la docena, y la otra mitad a $ 61 la docena; recibe en total $ Cuántas docenas de lápices ha vendido? R: 120 doc. 20º) Si a un número se le suma su tercera parte y a este resultado se le resta el mismo número aumentando en 5, se obtiene 1. Cuál es dicho número? R: 18 21º) En un partido internacional de fútbol las entradas generales para los socios cuestan $200 cada una; y para los no socios $300. En concepto de entradas generales se ha recaudado $ Sabiendo que las entradas generales para socios contribuyen el 7/24 de la cantidad total de entradas Cuántos socios pagaron entradas generales? R: socios. 22º) Cuál es el número, cuya tercera parte aumentada en 4/5 del mismo, pero disminuido en 5 unidades, sobrepasa en 15 el valor del número dado? R: º) Una persona gasta 1/3 de su dinero y luego 2/5 de lo que queda; tiene aún $ 60 Cuánto tenía al principio? R: $ º) La quinta parte de un número mas 4 es igual a 1/3 menos el duplo de dicho número. Cuál es el número? R: 5/3 25º) Al cerrar la caja de un comercio, se totaliza $ El cajero observa que la cantidad de billetes de $ 500 es la mitad de la de billetes de $1.000; la cantidad de billetes de $50 es el triplo de la cantidad de billetes de $ 500, y la cantidad de monedas de $10 es 1/4 de la cantidad de billetes de $500. Cuántos billetes de $500 hay en la caja? R: 40 billetes 26º) Pienso un número, le sumo 5; este resultado lo multiplico por 3, y el nuevo resultado lo divido por 10. Obtengo así 6 Cuál es el número que pensé? R: 15 27º) Una persona hace dos inversiones, una al 12% anual y otra al 15%. El capital invertido al 15% es igual a 4/3 del invertido al 12%. Si entre las dos inversiones al cabo de 1 año le reditúan $ Cuál es el capital invertido al 12%? R: $ º) La mitad de un número, más la tercera parte de su consecutivos, más la cuarta parte del siguiente, es igual a este último. Cuáles son los números? R: 14, 15, y 16 29º) Un automovilista recorre 748 km. en tres etapas; en la segunda el recorrido es de 124 km. más que en la primera, y en la tercera de 100 km. menos que la segunda. Cuántos km. recorre en cada etapa? R: 200 km. ; 324 km. ; y 224 km. 30º) La suma de 4 número naturales consecutivos es 402 Cuáles son los números? R: 99, 100, 101, º) Se han pagado $ por una casa y un terreno. Cuánto se abonó por cada uno si el terreno cuesta las dos terceras partes de la casa? R: $ y $ º) La suma de 3 número pares consecutivos es 102 Cuáles son los números? R: 32, 34, 36 33º) De una avenida se ha inaugurado 1/3 de su longitud; 1/4 de la misma está en construcción, y quedan aún m Cuál será la longitud total de la avenida? R: m 34º) La base mayor de un trapecio es el doble de la otra y la altura del mismo es igual a 12,5 cm Cuántos cm tiene cada una de las bases, si la superficie del trapecio es de 75 cm? R: 8 cm y 4 cm 35º) La suma de dos números impares consecutivos es 736 Cuáles son dichos números? R: 367 y º) Un frutero vende su provisión de naranjas en la siguiente forma: la mitad a $ 56 el Kg.; la quinta parte de lo que queda, a $ 55, y el resto a $ 50 el Kg. Recibiendo en total $ Cuántos Kg. de naranja vendió? R: 72 Kg. 37º) Un padre tiene el doble de la edad de su hijo, y el doble de la suma de las dos edades es 120 Qué edad tiene el padre y qué edad tiene el hijo? R: 40 y 20 respectivamente 38º) He comprado dos libros y un compás por $ Si el libro cuesta la mitad del otro y el compás $10 más que el libro más caro. Cuánto pague por cada artículo? R: $690;$ 325; $ 660 de 52 cm de perímetro, el lado b es los 2/3 del lado a y el lado c es 3 cm más 39º) En el ABC largo que b. Calcular la longitud de cada uno. R: a = 21 cm; b = 14 cm; c = 17 cm 40º) Un elevador de granos de un puerto tiene dos tubos de salida para el trigo almacenado. Para llenar la bodega de un barco, si funciona solamente el tubo de salida más lento, tarda 9 horas; si funciona solamente el tubo de salida más rápido, tarda 11 horas. En cuanto tiempo se llenara esta bodega si funcionan los dos tubos simultáneamente? R: 4 h 57 min Docente: Mg. Ing. Héctor Daniel Martín 3

4 41º) Juan y Pedro son mellizos. Julio tiene 2 años más que ellos y las edades de los tres sumadas dan 23 Qué edad tiene Julio? R: 9 años 42º) En un corral hay 92 aves entre gallinas y patos. Si hay 26 gallinas más que patos. Cuántas aves de cada clase hay? R: 33 patos; 59 gallinas 43º) Tres personas heredan acciones; según testamento; la primera recibe la mitad de lo que recibe la segunda, y la tercera, seis acciones menos que el triplo de la primera. Cuántas acciones corresponde a cada una? R: 191, 382, º) Con el 20% de beneficio se ha vendido un terreno de $ Cuál es el valor del terreno? R: $ º) Siendo 36,20 m el perímetro de un rectángulo y 8,20 m uno de sus lados. Cuál es la longitud del otro? R: 9, 90 m 46º) Una válvula desagota un depósito en 10 horas y otra en 6 horas. En cuántas horas lo desagotarán las dos simultáneamente? R: 3 h 45 min 47º) Un avión con una velocidad de 120 Km. por hora parte de un aeródromo en dirección a otro que dista 600 Km. Al mismo tiempo del segundo aeródromo en dirección al primero parte un avión con una velocidad de 150 Km. por hora. Cuál es la distancia entre los dos aviones al cabo de 1 1/2 horas? R: 195 Km 48º) La suma de un número más el triplo del otro es igual a 17; si del triplo del primero se resta el duplo del segundo se obtiene 7. Cuáles son los números? R: 5 y 4 49º) Se cambia un billete de $ 5000 en billetes de $ 1000 y de $ 100. Sabiendo que en total le entregan 23 billetes, cuantos billetes de cada clase hay? R: 3 de $ 1000 y 20 de $ º) La suma de dos números es 3 y si al primero se le resta el cuádruple del segundo se obtiene 42. Cuales son los números? R: 5 y 9 51º) Juan y Pedro poseen juntos $ La mitad de lo que posee Juan más la cuarta parte de lo que posee Pedro es igual al. dinero de Juan menas $ 255. Cuanto posee cada uno? R: Juan $ 1220 y Pedro $ º) Dos números son tales que el primero es igual a la mitad del segundo disminuido en 1/2, y el segundo es igual al cuádruplo del primero. Cuáles son dichos números? R: 1/2 y 2 53º) La suma de das números es 15,4. Uno de ellos es 3,2 unidades mayor que el otro. Cuáles son los números? R: 6,1 y 9,3 54º) He comprado dos valijas de distinto precio: la primera cuesta $ 200 menos que el doble de lo quo cuesta la segunda y ésta vale $ 40 más que la primera. Cuánto pagué por cada vasija? R: $120 y $ º) Sí al triplo de un número se le suma la mitad de otro se obtiene 15,5. Si a la mitad del primero se le suma el triplo del segundo se obtiene 23. Cuáles son los números? R: 4 y 7 56º) Dos números son tales que la tercera parte del primero es el duplo del segundo y su suma es 21. Cuáles son dichos números? R: 18; 3 57º) Un avión tiene una velocidad que es la tercera parte de la de un avión a retropropulsión. En 1 hora el avión a retropropulsión recorre 600 km más que los que recorre el otro avión en 1 ½ hora. Cuál es la velocidad de cada uno de los aviones? R: 400 Km. y Km 58º) Un almacenero ha vendido toda su provisión de botellas de oporto y de sidra en la siguiente forma: la mitad de las de oporto a $156 c/u. y el resto a $168 c/u.; los 2/3 de las de sidra a $100 c/u. y el resto a $112 c/u., recibiendo por toda la venta 11 $100. El número de botellas de sidra era doble que el de las de oporto. Cuántas botellas de cada clase vendió? R: de oporto 30 y de sidra 60 59º) La suma de dos números es 406, su cociente es 2 y el resto 91. Cuáles son los números? R: 301 y º) Dividir el numero 358 en das partes tales que su diferencia sea 125. Cuáles son esas partes? R: 241,50 y 116,50 61º) A y B poseen juntos $ 2800 $; B tiene 4 veces la tercera parte de lo que pasee A. Cuánto posee cada uno? R: A = $ 1200; B = $ º) El largo de un rectángulo es igual al ancho aumentado en un 40 %. Si el perímetro es de 48 m, cuáles san las dimensiones del rectángula? R: 10 m y 14 m 63º) Si al numerador de una fracción se le suma 1 y se le resta 2 al denominador, dicha fracción se convierte en 1; si se resta 1 al numerador y se le suma 1 al denominador, se transforma en 1/6 Cuál es esa fracción? R: 2/5 64º) Un número de dos cifras es tal que: 1º la suma de las cifras es 11. y 2º la cifra de las unidades es igual al dupla de la de las decenas disminuido en 1. Cuál es dicho número? R: 47 Docente: Mg. Ing. Héctor Daniel Martín 4

5 65º) Si se aumenta en 2 cm el largo y el ancho de un rectángulo, el perímetro resulta de 24 cm. Si el largo se disminuye en 2 cm resulta un cuadrado. Cuáles son las dimensiones del rectángulo? R: 5 cm y 3 cm 66º) Julio tiene la mitad de la edad que tendrá Pedro dentro de 5 años y Pedro tiene la mitad de las dos edades más 5. Cuáles son las edades de Julio y de Pedro? R: Julio, 15 años; Pedro, 25 años. 67º) Cuál es la fracción tal que si se le suma 1 a cada uno de sus das términos se hace igual a 1/2 y si se les resta 2 a cada uno de sus términos resulta 1/5? R: 3/7 68º) En un colegio mixto hay 1300 alumnos; si se hubieran inscripta 50 niñas más el número de niñas hubiera duplicado el de varones. Cuántas niñas y cuántas varones hay? R: 850 niñas y 450 varones 69º) Un comerciante vendió guantes para señora a $ 375 el par y guantes para niño a $ 147, percibiendo por todo $ Sabiendo que el número de los guantes para señora alcanza a los 2/3 de los de niño, se desea saber cuántos pares de guantes de cada clase fueron vendidas. R: 24 para señora y 36 para niño 70º) Un numero de das cifras es tal que la cifra de las decenas es igual a las 3/4 de la cifra de las unidades; si se permutan las cifras se obtiene un número 9 unidades mayor que el primero. Cuál es el primer número? R: 34 71º) Los valores de dos resistencias están en la relación de 2 a 5 y además se sabe que su suma es de 140 ohms Cuál es el valor de cada una de esas resistencias? R: 40 y 100 Ohms 72º) Un obrero gana $ por cada día que trabaja, pero se le descuentan $ 4000 por cada día que deja de trabajar. Luego de 25 días cobró $ Cuántos días trabajó? R: 15 días 73º) Qué número es igual a su mitad, más la cuarta parte, más su quinta parte más uno? R: 20 74º) Dividir el número 48 en dos partes tales que sean entre si como 7 es a 5. R: 28 y 20 75º) Encontrar dos números consecutivos tales que su suma sea igual a 47. R : 23 y 24 76º) A qué hora después de las 12 se encontrarán las dos agujas de un reloj? [llámese x a la distancia que tiene que recorrer el horario y 60 + x a la que tiene que recorrer el minutero.] R: 13 h 5 m 5/11 77º) Un comerciante vende la mitad de sus naranjal, más media naranja; luego la mitad de las que le quedan, más media naranja; y por último la mitad de lo que le quedaba, más media naranja, quedándose sin ninguna. Cuántas naranjas vendió? R: 7 naranjas 78º) Dividir 200 en dos partes tales que dividiendo la primera por 16 y la segunda por 10, la diferencia de los cocientes sea 6. R: 160 y 40 79º) En un gallinero hay gallinas y conejos. Cuántos animales hay de cada clase si hay 144 patas y 50 cabezas? R: 28 gallinas y 22 conejos. 80º) Cuál es el número que aumentado en su mitad, en su cuarta parte, en su quinta parte y en su vigésima parte es igual a 200? R: º) Un capataz quiere repartir una gratificación a sus peones; si da $ 140 a cada uno le quedan $ 70; si les da $ 150 le faltan $ 260. Cuál es el valor de la gratificación y cuántos son los peones? R: $ 4.690; 33 peones. 82º) Un estanciero vendió los 5/7 de su tropilla de caballos. enseguida compró 12; teniendo entonces 48 caballos menos que al principio. Cuántos tenía antes de la primera venta? R: 84 caballos 83º) Dividir el número 60 en dos partes tales que su diferencia sea 4. R.: 32 y º) Cuál es el largo de una pieza de género si la diferencia entre los 4/5 y los ¾ es igual a 6 metros? R.: 120 m 85º) En el Centro de un estanque de base cuadrada que mide 2 metros de lado y que está completamente lleno de agua, crece una planta que se eleva un metro sobre el nivel del agua. Tirando la planta hacia el punto medio de un lado, la punta toca su borde. Qué profundidad tiene el agua? Aplíquese el teorema de Pitágoras: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. R: 17,50 m 86º) Una persona tiene impuesto la mitad de su capital al 3 % mensual; la tercera parte al 5% y el resto al 8%. Gana en total $ mensuales. Qué capital tiene dicha persona? R:$ º) Un obrero puede hacer cierta obra en 8 días y trabajar junto con otro la concluirían en 6 días. En qué tiempo la haría éste solo? R: 24 días 88º) La suma de dos números es 45. Si uno de los números es mayor que el otro en 5 unidades, cuáles son los números? R:20 y 25 Docente: Mg. Ing. Héctor Daniel Martín 5

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