Las derivadas de los instrumentos de renta fija

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1 Las derivadas de los insrumenos de rena fija Esrella Peroi, MBA Ejecuivo a cargo Capaciación & Desarrollo Bolsa de Comercio de Rosario Como viéramos en el arículo el dilema enre la asa de inerés y el precio de un bono, la relación enre los cambios enre el facor de riesgo y el precio de un bono no es lineal sino que es inversa y convexa. Eso implica que, ane incremenos en la asa de inerés el precio del bono cae pero no ano como si la relación enre ellos fuese lineal (lo conrario ambién se da, ane una caída en la asa, el precio sube más que proporcionalmene). La razón de ese comporamieno es que un bono puede valuarse como el valor presene de los fuuros flujos de fondos que se esperan recibir. Supongamos que queremos saber qué sucede con el precio del bono ane cambios en la asa de inerés respeco de su valor inicial, llamémosle y 0, a un nuevo valor y = y 0 + y. Es función del adminisrador de riesgo valuar los efecos que cambios en el facor de riesgo pueden ener sobre su carera de acivos. No obsane, esa area sería basane complicada de ser llevada a cabo en iempo y forma si no se conara con méodos que permien aproximar dichos movimienos. Cuando los cambios en el facor de riesgo son pequeños, la relación enre el precio del insrumeno financiero y el facor de riesgo (en ese caso el bono y la asa de inerés) puede ser aproximada mediane la fórmula de expansión de aylor enorno al valor inicial; eso es, calculando las derivadas de primer y segundo orden respeco del cambio en la variable de riesgo. En el mundo de los insrumenos de rena fija esas dos derivadas son an imporanes que ienen nombres propios, la duración (duraion) y la convexidad (convexi. Valuación local aylor nos oorga una fórmula de valuación local en los enornos del valor inicial. Eso es, el precio de un insrumeno financiero en un momeno fuuro, es función del facor de riesgo en dicho momeno (P =f (y )), donde: ' '' P = P0+ f ( y0 ) y + f ( y0 )( +... Para un mayor enendimieno acerca de ese ema puede consular libros de cálculo maemáico.

2 Donde f ' f (.) = '' dp dy d P (.) = dy es la derivada de primer orden y, es la derivada de segundo orden de la función f(.) valuada en el momeno inicial. Esa expansión puede ser generalizada a siuaciones donde la función depende de dos o más variables. La ecuación presenada es una expansión con infinios érminos, con un poder de crecimieno de y. Únicamene los dos primeros érminos son uilizados en las finanzas y permien obener una buena aproximación de los cambios en el precio de un insrumeno en relación al facor de riesgo (maneniendo siempre los supuesos de valuación esablecidos de anemano). Deerminación maemáica Analicemos primeramene las derivadas de un bono cero cupón. Como recordará, el precio de cualquier insrumeno financiero puede definirse como el valor presene de los flujos de fondos que se esperan recibir en el fuuro. Por consiguiene, para hallar el precio de un bono es necesario conocer su flujo de fondos y desconarlos luego a una asa de inerés. Maemáicamene: P = C n = ( + Donde: P es el precio del insrumeno financiero C es el flujo de fondos del insrumeno al momeno y es el rendimieno requerido es el número de períodos (canidad de años por canidad de pagos en el año) El precio de un bono cero cupón, al no pagar inereses, esará compueso por un único flujo de fondos (represenado por la devolución del capial al vencimieno del insrumeno) desconado a una asa apropiada. Eso es: F P = ( + Donde: P es el precio del bono cero cupón F es el valor nominal del bono y es el rendimieno requerido es el número de períodos (canidad de años por canidad de pagos en el año)

3 Un cambio en el precio del bono dado un cambio en la asa de inerés puede expresarse como: P F = ( + ' F = ( + + Si recordamos que escribirse como: F P = ( +, la derivada primera del precio de un bono puede P = P = D * P + y Donde: P es el precio del bono cero cupón al momeno cero y es la asa de rendimieno P es el cambio en el precio del bono cero cupón es el cambio en el rendimieno requerido D* es la duración modificada, donde D*= D ( +, donde (+ esá expresada en el mismo período de iempo en que se pagan los cupones (anual, semesral, ec), independienemene de la medida de iempo que ome la duración. es el número de períodos El cambio en el precio de un bono, dado un cambio en la asa de inerés será: P = D * P Un cambio en el precio del bono dado un cambio cuadrado en la asa de inerés puede expresarse como (coninuando con el ejemplo cero cupón): P = ( F + y '' F ( + ) = + ) ( + ( + [ ( + ) )] = P = C P Para insrumenos de rena fija, con flujos de fondos conocidos, es relaivamene sencillo compuar las derivadas primera y segunda, al y como hemos podido observar en nuesro ejemplo de bono cero cupón. Al deerminar la función de derivada primera obenemos un érmino conocido como duración modificada, que no es más que dividir la duración convencional Como exise un único flujo de fondos en los bonos cero cupón la duración de Macaulay (D) coincide con el iempo al vencimieno (). Desarrollaremos ese puno en mayor dealle al analizarse las derivadas para bonos con varios flujos de fondos. 3

4 (o Macaulay duraion) por (+. La duración de Macaulay es una medida de iempo e indica el iempo promedio al vencimieno de cada flujo de fondos. La duración modificada es apropiada para medir la sensibilidad de un bono ane cambios en la asa de inerés. El érmino (+ aparece en el denominador de la función debido a que derivamos el valor presene calculado de manera discrea 3. En la prácica la diferencia enre la duración modificada y la de Macaulay es generalmene muy pequeña. Ahora bien, incorporando esas ecuaciones enconradas a la expansión de aylor para el cambio en el precio de un bono obenemos que: P = P * [ D P] ( + [ C P] ( +... * [ D P] ( + [ C P] ( y = P0 ) Donde, la duración mide el efeco (lineal) de primer orden de un cambio en la asa de rendimieno y la convexidad el efeco de segundo orden o cuadráico. En la figura a coninuación podremos observar la calidad de la aproximación por series de aylor. Figura. Aproximación del precio por duración y duración + convexidad de un bono a 0 años, asa cupón 8% anual. ó Precio del bono $7,4 $70, $ 60,73 0 % % 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % % 3% 4% 5% 6% asa de rendimieno Para un mayor análisis sobre Macaulay Duraion, remiirse a Fabbozzi, Frank Fixed Income Mahemaics 3 Cuando se uiliza capialización coninua la duración modificada es idénica a la duración de Macaulay. Queda a consideración del lecor verificar eso úlimo. 4

5 Un cambio en el precio del bono dado un movimieno en la asa de inerés aproximado por duración y convexidad, mejora las esimaciones ya que refleja de mejor manera la relación precio asa de rendimieno de un bono. Para grandes movimienos en el precio, la función se vuelve más curvada y se deeriora la calidad de las aproximaciones lineales. La duración en dólares mide enonces la pendiene (negaiva) de la reca angene a la curva precio rendimieno en el momeno inicial. ambién debería observarse que la curvaura se encuenra lejos del origen, lo cual es explicado por el érmino convexidad. Esa curvaura es beneficiosa debido a que el efeco de segundo orden ( 0.5 ( C P) ( ) debe ser posiivo cuando la convexidad es posiiva (exisen algunos insrumenos de rena fija cuya convexidad es negaiva, ejemplo, Morgage Back Securiies (MBS), Callable Bonds, ec, pero eso será ema para oro arículo). En pocas palabras, el érmino cuadráico es siempre beneficioso. Inerpreemos la duración y la convexidad Hasa el momeno hemos mosrado cómo calcular de manera analíica la duración y la convexidad en el caso de un bono cero cupón; raaremos a coninuación, uilizando el mismo méodo, de inerprear esas dos medidas. Si el precio de un bono era equivalene a los flujos de fondos que se esperan recibir, enonces, un bono con más de un flujo puede denoarse como: P = = C ( + Enonces, el cambio en el precio dado un cambio en la asa de rendimieno puede expresarse como: P = = C ( + ' = = C ( + + = = C (+ P D P = P ( + ( + Hecho que define a la duración como D = C = ( + P La duración puede ser inerpreada económicamene como el iempo promedio que hay que esperar por cada pago, ponderando a ésos por el valor presene 5

6 del oal de flujos de fondos a recibir. Si en nuesra úlima ecuación reemplazamos P por su valor obenemos que: D = C ( + = = C ( + = En donde, w represena la razón enre el valor presene de cada flujo de fondos respeco del oal y su suma es equivalene a. Eso explica por qué la duración de un bono cero cupón es igual al iempo al vencimieno (exise un único flujo de fondos y su ponderación es igual a ). Resumiendo podemos presenar enonces, las propiedades de la duración visas hasa el momeno: La duraion de un bono cero cupón es igual al iempo al vencimieno. - Maneniendo el plazo al vencimieno consane, la duraion aumena a medida que disminuye la asa cupón (caso exremo: bono cero cupón). - Maneniendo la asa cupón consane, la duraion crece a medida que aumena el plazo al vencimieno. - Maneniendo odos los facores consanes, la duraion de un bono con cupón aumena cuando la asa requerida (yield) disminuye. Para bonos cero cupón la duraion es siempre igual al iempo al vencimieno. - La duraion asume el período de iempo en el cual esá expresado la asa, es decir, si la asa es semesral, la duración se expresará en semesres, para llevarla a años simplemene se la muliplica por. - La duración de un bono nos indica: El iempo promedio al vencimieno, ponderando la imporancia relaiva del valor presene de cada pago respeco del precio del bono. El grado de sensibilidad de un bono respeco de oro. El momeno en que se compensan los efecos del iempo al vencimieno y la asa cupón (Si y sube, el Precio del bono cae por efeco del iempo al vencimieno pero los pagos de cupones son reinveridos a una mayor asa, aumenando su valor y compensando en pare el efeco negaivo de la suba de la asa de descueno. Si la duraion de un bono es 5 años implica que al cabo de dicho plazo, las variaciones en la yield no afecan el rendimieno del bono. w 6

7 Imporane: la duraion no brinda información acerca de cuáno cambia el precio del bono sino que indica qué bono sufrirá mayores cambios. Si quisiéramos conocer lo primero deberíamos uilizar como medida la duración modificada. Pasemos a la inerpreación de la derivada segunda P = = C ( + '' = = ( + ) C + ( + = = ( + )C + (+ P P Donde definimos la convexidad como: ( + )C C = + = (+ P. La convexidad ambién puede denoarse como ( + ) C = w en donde w = ( + iene el mismo significado que el dado a conocer en el análisis de la duración. A modo de resumen podemos describir las propiedades de la convexiy: - Si la asa se incremena (decrece) la duración en dólares decrece (incremena). - Para una deerminada asa al vencimieno, un menor cupón significa una mayor convexidad para ese bono. - Para una asa y duración modificada dadas, un menor cupón, significa menor convexidad. La implicancia de esa propiedad es que para un bono cero cupón la convexidad será menor para una duración modificada dada. - La convexidad de un bono aumena a medida que aumena su duración. La relación duraion convexiy puede observarse en el siguiene gráfico (los bonos cero cupón endrán siempre la mayor convexidad debido a que ienen un único flujo de fondos y ese se produce al vencimieno). 7

8 Convexiy Duraion Conclusiones Hemos podido observar a lo largo de ese arículo el por qué la derivada primera (duración) y la segunda (convexidad) son an imporanes al momeno de deerminar los cambios en el precio de un insrumeno de rena fija (el caso desarrollado, bonos), basándonos primeramene en las medidas de sensibilidad para luego adenrarnos en el desarrollo de Macaulay propiamene dicho. Esas dos medidas permiirán al adminisrador de riesgo obener de manera rápida una buena esimación del cambio en la variable dependiene dado una variación en el facor de riesgo. Seguramene muchos emas habrán quedado en el inero en nuesro afán de lograr que ese arículo resule amigable al común de los lecores, pero creemos que nuesro objeivo de mosrar de dónde provienen y para qué se uilizan esas medidas ha sido cumplido. Bibliografía Jorion Philippe, Financial Risk Managemen Handbook, Wiley Finance 007 Fabozzi, Frank, Fixed Income Mahemaics, Analyical and Saisical echniques. Mc Graw Hill 997 8

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