UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL

Transcripción

1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA DE CIENCIAS DE EDUCACIÓN Introducción a la Física Quinto Nivel MENCIÓN CIENCIAS NATURALES

2 Introducción a la física 2da Edición Publicaciones UTE Quito- Ecuador

3 Física I 2da Edición, Quito, Marzo 2011 Todos los derechos reservados No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, sin el permiso expreso del copyright Publicaciones UTE Quito-Ecuador

4 INTRODUCCIÓN La Física ha sido uno de los pilares en el desarrollo de la humanidad. El conocer los principios fundamentales que rigen la naturaleza ha permitido dicho desarrollo. Desde el descubrimiento del fuego el hombre ha ido paulatinamente creando diversas herramientas que lo han ayudado en su vida diaria, ha ido intuyendo los principios de la naturaleza que le han permitido comprenderla y aceptarla, ha ido plasmando estas ideas en cosas extraordinarias que nos han permitido alcanzar otros planetas, estar en contacto con personas del otro lado del mundo, volar, explorar las profundidades del mar, curar enfermedades, etc. Ese conocimiento lo debemos administrar de la mejor manera, eso sería lo ideal. Es nuestra misión el saber cuál es la mejor manera de hacerlo. Las nuevas generaciones deberán aprenderlo de cada uno de nosotros. Hagámoslo bien!... i

5 1. Índice de Contenido UNIDAD Generalidades Concepto de Física Magnitudes Físicas Magnitudes Físicas fundamentales y sus derivadas Análisis Dimensional Conversión de Unidades... 7 AUTOEVALUACION Bibliografía UNIDAD Vectores SISTEMAS DE REFERENCIA SISTEMAS DE COORDENADAS Sistema de coordenadas Rectangular Sistema de coordenadas Polar Sistema de coordenadas Geográfico Equivalencias entre sistemas de coordenadas VECTORES: Definición Tipos de Vectores Vectores libres Vectores deslizantes: Vectores fijos: Vector unitario: Vectores paralelos: Vectores antiparalelos: Vector opuesto o negativo: Operaciones entre vectores Suma o Adición de Vectores Método Analítico Método Gráfico Método del Paralelogramo Método del Triángulo ii

6 Método del Polígono Producto de Vectores Unitario de un vector Producto de un vector por un escalar Propiedades: Producto Escalar entre dos vectores Propiedades Producto Vectorial Componentes de un vector AUTOEVALUACIÓN Bibliografía UNIDAD Mecánica CONCEPTOS PREVIOS Sistema De Referencia Trayectoria Posiciones Negativas Velocidad Negativa La Letra Griega Delta (Δ) Espacio Recorrido (Δx) Tiempo Transcurrido o Intervalo de Tiempo (Δt) MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) Gráfica de la Posición en Función del Tiempo Representación de la velocidad y la aceleración en función del tiempo Cálculo de la Velocidad en el MRU Ecuaciones horarias en el MRU TANGENTE DE UN ÁNGULO PENDIENTE DE UNA RECTA Representación Gráfica de las Ecuaciones Horarias VELOCIDAD MEDIA MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) Aceleración Signo de la aceleración iii

7 Ecuación de una parábola Ecuaciones horarias y gráficos en el MRUV La Ecuación Complementaria AUTOEVALUACIÓN UNIDAD IV MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES PARABÓLICO Y CIRCULAR Movimiento en dos dimensiones, introducción Movimiento parabólico y sus características Ejemplos de Cálculos Movimiento circular y sus características Ejemplos de Cálculos Autoevaluación iv

8 UNIDAD 1 Generalidades

9 1.1. Concepto de Física La FÍSICA es la ciencia fundamental que estudia los principios básicos que rigen el Universo. Es la base que rige muchas otras ciencias, por ejemplo la Astronomía, la Biología, la Química, la Geología y otras más. Existen diversas definiciones del concepto. Una de ellas planteada por wikipedia dice: La física (del latín physĭca, y este del griego τὰ φυσικά, neutro plural de φυσικός) es una ciencia natural que estudia las propiedades del espacio, el tiempo, la materia, la energía y sus interacciones. (1) es una buena forma de definir a esta ciencia. El estudio de la Física se lo puede realizar en diferentes partes que son: 1. Mecánica Clásica, que se refiere al movimiento de los cuerpos a velocidades pequeñas, mucho menores a la velocidad de la luz. 2. Relatividad, que se ocupa del movimiento de los cuerpos a cualquier velocidad e incluso a velocidades cercanas a la de la luz. 3. Termodinámica, que trata el calor, el trabajo, la temperatura y el comportamiento estadístico de sistemas de partículas con gran número de ellas. 4. Electromagnetismo, que estudia las interacciones entre la electricidad y el magnetismo, desde un punto de vista estático y dinámico 5. Óptica, que es el estudio de la luz y la forma en que esta se comporta en diferentes medios. 6. Mecánica Cuántica, que corresponde a un conjunto de teorías que estudian la materia y sus diferentes fenómenos pero a nivel microscópico. La mecánica clásica, el electromagnetismo, la termodinámica y la óptica fueron creadas hasta antes de Fue por ese año que aparecieron muchos físicos que dieron un giro revolucionario a la física conocida hasta ese entonces. Bohr, Planck, Schrödinger, Born, Einstein dieron esos primeros pasos. Fue así que se propuso la teoría de la Relatividad por 2

10 Einstein en 1905 junto con otros trabajos. Asimismo, la Mecánica Cuántica nació y permitió explicar diversas situaciones hasta ese entonces sin explicación. Como primer paso en la física se deben aprender ciertos conceptos básicos, los cuales serán abordados en los siguientes apartados Magnitudes Físicas Se conoce como magnitudes físicas a todas aquellas propiedades de los cuerpos del Universo que sean susceptibles a ser medidas (cuantitativamente), es decir, a aquellas a las cuales se les puede otorgar un número o valor. Estas son representadas por un símbolo, que usualmente suele ser una letra. Estas magnitudes pueden cuantificarse o medirse mediante comparación con un patrón (unidad) o con partes de un patrón, esto es lo que en términos comunes se conoce como medir. Como ejemplos de magnitudes físicas se puede mencionar: la masa, la longitud, el tiempo, la densidad, la temperatura, la velocidad y la aceleración. Las magnitudes físicas se clasifican en tres tipos: Magnitudes escalares: son las descritas por una cantidad (número) y su correspondiente unidad. Carecen de dirección y sentido, como por ejemplo, la masa. Ejemplo de magnitudes escalares son la temperatura, la energía, etc. Magnitudes vectoriales: son las magnitudes que cuentan con tres características: cantidad (o módulo), dirección y sentido. Por ejemplo, la velocidad, la fuerza, la aceleración, etc. Asimismo, al considerar otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación, las magnitudes vectoriales no presentan invariancia de cada uno de los componentes del vector y, por tanto, para relacionar las medidas de diferentes observadores se necesitan relaciones de transformación vectorial. Magnitudes tensoriales: son las que caracterizan propiedades o comportamientos físicos modelizables mediante un conjunto de n números que cambian tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado a un observador 3

11 con diferente estado de movimiento o de orientación. Las magnitudes tensoriales tienen tantas componentes como 3n, donde n se denomina orden del tensor. Si n = 0, tiene una única componente y el tensor representará un escalar. Si n = 1, tiene 3 componentes y el tensor es un vector. Si n = 2, el tensor se denomina de orden dos y posee nueve componentes y así sucesivamente (2). Se puede representar como una matriz. Las dos primeras son las más importantes y en muchas referencias solo se las menciona a estas Magnitudes Físicas fundamentales y sus derivadas El Sistema Internacional de Unidades (SI) define siete unidades básicas o unidades físicas fundamentales, las cuales son descritas por una definición operacional. Todas las demás unidades utilizadas para expresar magnitudes físicas se pueden derivar de estas unidades básicas y se conocen como unidades derivadas del SI. La derivación se lleva a cabo por medio del análisis dimensional. A continuación se muestra las siete magnitudes fundamentales: Magnitud física que se toma como fundamental Unidad básica o fundamental Longitud ( l ) Metro m Masa ( m ) Kilogramo kg Tiempo ( t ) Segundo s Intensidad de corriente eléctrica ( I ) Amperio A Temperatura ( T ) Kelvin K Cantidad de sustancia ( n ) Mol mol Intensidad luminosa ( I ) Candela cd Tabla 1. Magnitudes fundamentales del SI Símbolo de la unidad 4

12 Las magnitudes derivadas y sus unidades son parte del Sistema Internacional de Unidades y se derivan de las magnitudes básicas, mencionadas en la tabla 1. Algunas de ellas se presentan a continuación en la tabla 2. Magnitud física Nombre de la unidad Símbolo de la unidad Expresada en unidades derivadas Frecuencia hercio Hz s -1 Expresada en unidades básicas Fuerza newton N m kg s -2 Presión pascal Pa N m -2-2 m -1 kg s Energía, trabajo, calor julio J N m -2 m 2 kg s Potencia vatio W J s -1-3 m 2 kg s Carga eléctrica culombio C A s Tabla 2. Magnitudes derivadas 1.4. Análisis Dimensional El análisis dimensional es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Se puede aplicar en el despeje de fórmulas y en la obtención correcta de unidades. Si mido una distancia en unidades de metros, pulgadas o codos, se trata de la magnitud distancia y la dimensión es la longitud (3). Los símbolos usados para especificar las dimensiones básicas: longitud, masa y tiempo son L, M y T respectivamente. Comúnmente se usan corchetes [ ] para indicar las dimensiones de una magnitud. Ejemplos: para la velocidad (v): [v] = L/T para el área (A): [A] = L 2. El análisis dimensional aprovecha el hecho de que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas. 5

13 Las cantidades sólo pueden sumarse o restarse si estas tienen las mismas dimensiones. Asimismo, los dos miembros de una igualdad (o ecuación) deben tener las mismas dimensiones. Con el análisis dimensional se puede deducir o verificar una fórmula o expresión, también determina las unidades (o dimensiones) de la constante de proporcionalidad, pero no su valor numérico. Por tanto no puedo determinar las constantes adimensionadas. Ejemplos: 1. Determinar si la expresión 1 x at 2 2 es dimensionalmente correcta. a. Se determina las dimensiones de cada una de las variables: [x] = L, [a] = L/T 2 =LT -2, [t] 2 = T 2 b. Igualo las dimensiones de cada variable: [x] =[a][t] 2 c. Sustituyo las dimensiones de cada variable: L = (LT -2 )(T) 2. d. Opero algebraicamente con las dimensiones (agrupo las dimensiones iguales y aplico propiedades de potencias): L = L (T -2 ).(T) 2 = L T (-2+2) = LT 0 = L e. Concluyo en función del resultado si es dimensionalmente correcto. En este caso sí lo es. GMm 2. A partir de la ley de Gravitación Universal de Newton: F determinar las 2 r dimensiones de la constante de gravitación G. 2 F.r a. A partir de la ley puedo deducir que: G M.m b. Las dimensiones son: [M] =[m] = M; [r 2 ] = L 2 ; [F] =MLT -2.(pues F = m.a) c. [G] =[F].[r 2 ]/([M].[m]) d. [G] = (MLT -2 ).( L 2 )/((M)(M)) e. [G] = M (1-(1+1)).L (1+2) T -2 =M -1 L 3 T -2 6

14 1.5. Conversión de Unidades Un sistema de unidades es un conjunto de unidades de medida. Definen un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades, los más importantes son los siguientes: Sistema Internacional de Unidades o SI: Es el sistema más usado. Sus unidades básicas son: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, la candela y el mol. Sistema Cegesimal o CGS.: Denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, el gramo y el segundo. En ocasiones resulta conveniente convertir unidades de un sistema a otro, o convertir dentro de un sistema, por ejemplo de kilogramos a gramos, para esto se deben considerar las relaciones básicas entre unidades y luego plantear un simple regla de tres, por ejemplo: 1 milla = 1609 m = 1,609 km Y se desea transformar 3,5 millas a km 1609[ m] 1[ km] 3,5[ milla ] 5,6315[ km] 1[ milla ] 1000[ m] Estas relaciones se conocen como factores de conversión. Un factor de conversión es una operación matemática, para hacer cambios de unidades de la misma magnitud, o para calcular la equivalencia entre los múltiplos y submúltiplos de una determinada unidad de medida. A continuación se presentan algunas relaciones entre unidades de diferentes sistemas, para mayor referencia se puede consultar en cualquier libro de física general, y seguir el proceso mencionado en el ejemplo anterior. 7

15 Longitud: 1 centímetro 0,3937 pulgadas 1 pulgada 2,54 centímetros 1 metro 1,0936 yardas 3,2808 pies 39,370 pulgadas 1 kilómetro 0,6214 millas 1 milla 1,6093 kilómetros Tabla 3. Factores de conversión de longitud Superficie: 1 hectárea metros cuadrados 0,1 kilómetros cuadrados 2,471 acres 11,960 yardas 1 acre 0,4047 hectáreas metros cuadrados yardas cuadradas pies cuadrados 1 kilómetro cuadrado 0,3861 millas cuadradas 100 hectáreas 247,1 acres 1 milla cuadrada 2,5898 kilómetros cuadrados 254,98 hectáreas 640 acres Tabla 4. Factores de conversión de superficie Volumen: 1 litro mililitros 61,026 pulgadas 0,21998 galones imperiales 0,26418 galones U.S. 1 galón imperial 4,546 litros 1,20096 galones U.S. 1 galón U.S. 0,83267 galones imperiales 3,78528 litros 1 barril U.S. 42 galones U.S. 34,972 galones imperiales 0,15899 metros cúbicos 1 metro cúbico litros 35,3148 pies cúbicos 1,30795 yardas cúbicas 219,97 galones imperiales 264,18 galones U.S. 6,29 barriles U.S. 1 m 3 sólido 750 kg. leña con 40% humedad Tabla 5. Factores de conversión de volumen 8

16 Masa 1 kilogramo 2,2046 libras gramos 1 libra 453,592 gramos 0,4536 kilogramos 1 tonelada, UK libras 1.016,05 kilogramos 1,01605 toneladas (métricas) 1,12 toneladas US 20 owt 1 tonelada kilogramos 0,98421 toneladas UK toneladas US 2.204,62 libras 1 tonelada US libras 17,8572 cwt 907,184 kilogramos toneladas 0,89286 toneladas UK Tabla 6. Factores de conversión de masa Existen otros tipos de factores de conversión que se usan cuando se necesita cambiar a múltiplos y submúltiplos de las mismas unidades. En estos casos se usa los siguientes factores de conversión: Factor Prefijo Símbolo yotta Y zeta Z exa E peta P tera T 10 9 giga G 10 6 mega M 10 3 kilo k 10 2 hecto h 10 1 deca da 10-1 deci d 10-2 centi c 10-3 mili m 10-6 micro μ 10-9 nano n pico p femto f atto a zepto z yocto y Tabla 7. Factores de conversión para múltiplos y submúltiplos de unidades 9

17 Aquí se usa notación científica que consiste en aumentar al uno tantos ceros a la derecha como se indican en el exponente del factor, si este es positivo y tantos cifras de ceros a la derecha del punto incluido el uno como se indican en el exponente, si este es negativo. Por ejemplo: 10 6 = y corresponde al prefijo mega: [M] 10-6 = 0, y corresponde al prefijo micro: [μ] De ahí, se plantea las relaciones (regla de tres) tal como en el ejemplo mostrado antes de la tabla 3. Por ejemplo: Transformar 486 Gigabytes a bytes [ bytes ] 486 [ Gb] [ bytes ] 1[ Gb] 10

18 1.6. AUTOEVALUACION 1. En sus palabras, cuál sería un concepto para la Física? 2. Cuáles son las diferentes partes en las que se divide la física para su estudio? Descríbalas brevemente. 3. Qué es magnitud física? 4. Qué es medir? 5. En qué tipos se dividen las magnitudes físicas? Describa brevemente cada una 6. Cuáles son las magnitudes físicas fundamentales y sus respectivas unidades? 7. Escriba cinco magnitudes derivadas con sus unidades (de esta guía) y consulte cinco ejemplos más. 8. Para qué sirve el análisis dimensional? 9. Cuál de las siguientes ecuaciones son dimensionalmente correctas? a. v v a x, en donde v f es velocidad final, v i es velocidad inicial, a la b. f i aceleración y x la distancia recorrida m F, en donde F es la fuerza, m es la masa y a es la aceleración a Si no está seguro de las unidades de cada una de las magnitudes, puede consultar en cualquier libro de física o en el internet. 10. Realice las conversiones solicitadas: a. 15 pulgadas a metros b. 23,4 millas a kilómetros c. 13 metros cuadrados a acres d. 78,9 kilómetros cuadrados a hectáreas 11

19 e. 4,99 litros a galón imperial f. 378 kilogramos a libras 11. Realice las conversiones solicitadas: a. 24,78 metros a kilómetros b. 0,567 gramos a miligramos c. 9 voltios a microvoltios d. 123,1 faradios a picofaradios e. 23,5 kilonewtons a newtons f. 900 mililitros a litros 12. Escriba en su criterio la relación entre la Física y la Tecnología 12

20 Bibliografía 1. Wikipedia. Wikipedia. [Online] 2. Argentina, Universidad Tecnológica Nacional - Bahía Blanca -. Teoría de Mecánica del Sólido. [Online] 3. Serway, Raimond. Física para Ciencias e Ingenierías. México : Thomson, Vol

21 UNIDAD 2 Vectores

22 2.1. SISTEMAS DE REFERENCIA Los sistemas de referencia (o marcos de referencia) se emplean para describir la posición y el movimiento de los cuerpos. Un sistema de referencia está formado por: Un punto tomado como origen de referencia de coordenadas. Unos ejes de coordenadas. Los ejes se cortan en el origen de referencia. Para señalar la posición de un cuerpo indicamos la distancia hasta cada eje. Y para definir su movimiento señalamos cómo cambia esta distancia con el tiempo. Un sistema de referencia espacial indica, de manera precisa, dónde se encuentra el cuerpo en un instante determinado. La coordenada x toma el valor de la distancia que separa la posición del cuerpo de la marca cero del eje X SISTEMAS DE COORDENADAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir la posición de cualquier punto de un espacio vectorial (puede ser en el plano o en el espacio). Existen varios tipos de sistemas de coordenadas utilizados para aplicaciones específicas, dentro de ellos se van a describir 3 sistemas que son usados frecuentemente en la física básica, estos son: 1. Sistema de Coordenadas Cartesianas 2. Sistema de Coordenadas Polar 3. Sistema de Coordenadas Geográfico Estos sistemas de coordenadas son de suma importancia ya que para resolver problemas de diversos tópicos de física, se tiene que tener un conocimiento previo de cómo utilizarlos y cómo hacer cambios entre ellos para que la resolución de los problemas sea menos compleja. 15

23 Desde el punto de vista estrictamente matemático, un sistema de referencia en un espacio vectorial de dimensión n está formado por n vectores linealmente independientes, formando una base del espacio, y por un punto, definido por n coordenadas, que suele llamarse origen del sistema de referencia. Existen otros sistemas coordenadas más complejos, los cuales son usados en aplicaciones a problemas más apegados a la realidad, esto si se aborda al movimiento, aunque también se usa muy frecuentemente en la resolución de otros fenómenos físicos, tales como: electricidad, magnetismo, relatividad, entre otras. Estos son: Sistema de coordenadas Cartesiano Sistema de coordenadas Cilíndrico Sistema de coordenadas Geográfico En el estudio de esta materia solamente se utilizará los sistemas rectangulares definido en dos dimensiones (en el plano), tal como se observa a continuación: Fig. 2.1 Sistema de coordenadas Sistema de coordenadas Rectangular En el sistema de coordenadas rectangular se usa dos ejes los cuales son perpendiculares entre si, por tanto, tienen un punto en el cual se cortan que se denomina origen. El eje que se ubica en forma horizontal, se le conoce como eje x o también como eje de las abscisas y el otro eje ubicado en forma vertical se denomina eje y o eje de las ordenadas. 16

24 Estos forman entre sí cuatro cuadrantes, cada uno de los cuales permite ubicar en primera instancia a un punto, que se determina por un par de números (conocido como par ordenado) definidos como (x; y) que no son más que el punto de corte de las perpendiculares levantadas desde los valores x e y de cada eje. Ejemplo: Se desea ubicar al punto (x; y) = (2, -3) [cm] Fig. 2.2 Sistema de coordenadas rectangular Fig. 2.3 Sistema de coordenadas rectangular: Ejemplo Como se puede observar, lo que se hace es ubicar la coordenada x = 2 sobre el eje X y desde ahí levantar una perpendicular. Luego se ubica la coordenada y = -3 sobre el eje Y, desde donde se levanta otra perpendicular. Estas dos perpendiculares se cortan en punto, 17

25 el cual es precisamente el punto que se deseaba ubicar. Este se halla en el tercer cuadrante. No olvide que es importante trabajar con las respectivas unidades, en este caso los cm Sistema de coordenadas Polar Las coordenadas polares sirven para indicar la posición de un punto mediante un radio vector ( r), que no es sino la distancia positiva entre el punto y el origen del sistema, y el ángulo polar (φ), que no es más que el ángulo positivo (en sentido antihorario) barrido por el radio vector a partir del eje polar. Ejemplo: Se desea ubicar al punto (r; φ) = (4 [m], 105 ) Fig. 2.4 Sistema de coordenadas polar Fig. 2.5 Sistema de coordenadas polar: Ejemplo 18

26 Para ubicar un punto en coordenadas polares, lo que se realiza es lo siguiente: primero, se reconoce el eje polar y el origen del mismo (marcado con 0 en la figura). Con centro en dicho punto y a partir de dicho eje, se mide el ángulo solicitado, en este caso 105, siempre en sentido contrario a las manecillas de reloj. Después se traza la línea, con la medida requerida, es este caso 4 [m], considerando el ángulo medido anteriormente. El sitio encontrado bajo estas indicaciones, es el punto que se buscaba Sistema de coordenadas Geográfico Las coordenadas geográficas identifican la posición de un punto respecto al plano terrestre, mediante el radio vector r y el rumbo, que es la dirección angular medida a partir del norte o sur geográfico. Los ejes se definen de la siguiente manera: Fig. 2.6 Sistema de coordenadas geográfico Ejemplo: Se desea ubicar al punto (r; rumbo) = (2,5 [km], N25 E) 19

27 Fig. 2.7 Sistema de coordenadas geográfico: Ejemplo En este caso, para ubicar el punto solicitado, se debe encontrar la dirección norte así como el origen del sistema de coordenadas. A partir de esta dirección y haciendo centro en el origen, se mide los 25 hacia la dirección Este. Luego se mide la distancia desde el origen, en este caso los 2,5 [Km], obviamente con la escala adecuada Equivalencias entre sistemas de coordenadas Los parámetros de los tres sistemas coordenados, pueden intercambiarse entre sí, usando simplemente las Funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, además el teorema de Pitágoras, los cuales se especifican a continuación: El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que: a 2 + b 2 = c 2 20

28 Fig. 2.8 Triángulo rectángulo con sus dos catetos y su hipotenusa Las funciones trigonométricas permiten calcular los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Son las siguientes: o sen α = o cos α = o tan α = cateto opuesto ipotenusa cateto adyacente ipotenusa cateto opuesto cateto adyacente El ángulo y los catetos se los considera según la disposición de los mismos en el triángulo rectángulo. Para mayor referencia se puede observar la siguiente figura: Fig. 2.9 Triángulo rectángulo especificando sus dos catetos, su hipotenusa y un ángulo Si usted observa, en los tres sistemas de referencia aparecen triángulos rectángulos, por tanto, si se desea transformar de un sistema de coordenadas a otro, solo hay que calcular o alguno de los catetos (componentes x e y) o la hipotenusa (módulo de un vector) o algún ángulo. 21

29 2.3. VECTORES: Definición En general un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición; su dirección, determinada por una recta (directriz) a la cual el vector es paralelo; y su sentido, que podrá ser coincidente u opuesto con un sentido predeterminado sobre la dirección antes mencionada. Se representa como un segmento orientado, con dirección y sentido, dibujado como una "flecha". Su longitud representa el modulo del vector y la "punta de flecha" indica su sentido. Sentido Sentido Módulo α Dirección Punto de aplicación Fig Representación de un Vector Como ejemplo de una magnitud vectorial o vector se puede mencionar a la aceleración de la gravedad, cuyo módulo es 9,8 m/s 2, la dirección es vertical y su sentido es hacia abajo 2.4. Tipos de Vectores Vectores libres Son aquellos que pueden colocarse en cualquier punto del espacio manteniendo constantes su módulo, dirección y sentido. El efecto que producen no se altera. Se los denomina también vectores algebraicos o matemáticos. 22

30 Ejemplo: el vector desplazamiento, la velocidad de la luz Vectores deslizantes: Fig Vector desplazamiento Estos vectores pueden trasladarse a cualquier posición de su línea de acción sin modificar su efecto. Ej: la fuerza que arrastra un objeto. F F Fig Fuerza que arrastra a un objeto Vectores fijos: También denominados anclados, son los que se encuentran ligados a una sola posición determinada, no pueden ser trasladados a ningún otro punto ya que producirían una variación en su efecto. 23

31 Ej: el vector posición Fig Vector Posición Vector unitario: Es aquel cuyo módulo o magnitud es la unidad y nos indica la dirección y el sentido de un vector. No tiene dimensiones. Fig Vector Unitario Vectores paralelos: Tienen la misma dirección y sentido. Su módulo no necesariamente es el mismo. 24

32 Fig Vectores Paralelos Vectores antiparalelos: Tienen la misma dirección pero sentido contrario. Su módulo es diferente Fig Vectores Anti paralelos Vector opuesto o negativo: Son vectores los cuales, tienen la misma dirección pero el sentido contrario. Además, su módulo es el mismo. Fig Vectores Opuestos o Negativos 25

33 2.5. Operaciones entre vectores Así como en álgebra, en física se puede relacionar diversas cantidades vectoriales a través de ciertas operaciones. Pero existe un problema: las cantidades físicas que se van a relacionar, tienen dirección y sentido. En consecuencia resulta necesario establecer algunas particularidades para las operaciones vectoriales. Para introducir a las operaciones entre vectores, usaremos la representación, cuya notación, significado y dirección, se muestra a continuación: Se define un vector cualquiera llamado A, cuya notación es la siguiente: A = A x i + A y j + A z k en donde: A x ; A y y A z son las proyecciones del vector A sobre cada uno de los ejes. Es cualquier número elemento de los números Reales. i, j y k son las direcciones unitarias de cada eje (X, Y, Z), como se puede observar en la gráfica siguiente: Fig Direcciones i, j y k 26

34 Suma o Adición de Vectores Para poder definir a la suma de vectores, primero se debe mencionar sus propiedades: CONMUTATIVA: El orden en que se sumen los vectores, no altera el resultado: A + B = B + A ASOCIATIVA: Los vectores pueden asociarse de cualquier manera: A + (B + C) = (A + B) + C DISTRIBUTIVA VECTORIAL: Al multiplicar la suma de dos vectores por un escalar el resultado será igual a la suma de los productos de dicho escalar por cada vector: m B + C = mb + mc DISTRIBUTIVA ESCALAR: La suma de dos escalares por un vector es igual a la suma de los productos de cada escalar por el vector: m + n A = ma + na IDÉNTICO ADITIVA: Al añadir un vector a un vector nulo el resultado será el mismo vector: A + 0 = A INVERSA ADITIVA: Al sumar un vector con su respectivo vector opuesto nos da un vector nulo: A + A = 0 La suma entre dos o más vectores puede realizarse de dos maneras: Gráfica y Analítica Método Analítico Sean dos vectores: A = A x i + A y j + A z k B = B x i + B y j + B z k Se define la suma: A + B = A x + B x i + A y + B y j + (A z + B z )k 27

35 Como se observa, solamente se suman los coeficientes que tienen componentes similares entre si. El resultado es un vector. Ejemplo: A = 2i + 3j + 4k B = 4i + 2j 6k A + B = i j + (4 + ( 6))k A + B = 6i + 5j 2k Método Gráfico Existen diversos métodos que se pueden catalogar como gráficos. Se mencionará a tres: Método del Paralelogramo, Método del Triángulo y Método del Polígono. A continuación se describirá cada uno de ellos Método del Paralelogramo Este método consiste en hacer coincidir los dos vectores en un origen común (sistema de referencia común), manteniendo sus características originales, esto es: módulo, dirección y sentido. Se realiza lo siguiente: a. Desde los extremos de cada vector, se trazan líneas rectas paralelas al otro vector. Estas a medida que se prolongan, llegarán a un punto en el que se cruzarán. De esta manera se forma un paralelogramo, como se puede observar a continuación: 28

36 Fig Método del Paralelogramo b. El vector resultante va desde el origen de los dos vectores hasta el punto en el que se cortan las dos rectas paralelas Método del Triángulo Consiste en colocar el segundo vector después de que ha terminado el primero, sin que ninguno de los dos haya perdido sus características originales, es decir su módulo, su dirección y su sentido. Asimismo, la escala y las unidades con las que se represente a los dos serán las mismas. 29

37 Fig Método del triángulo El vector resultante surgirá de unir el origen del primer vector con el final del segundo vector Método del Polígono Este método es muy útil cuando se tiene más de dos vectores, ya que es una generalización del método del triángulo, descrito anteriormente. Es decir, los vectores, sea cualesquiera el número de ellos, se ubican uno a continuación de otro, y el vector resultante se obtiene uniendo el punto de inicio del primer vector con el final del último vector. 30

38 Fig Método del Polígono Producto de Vectores El producto o multiplicación para vectores, es una operación que no es única, es decir, tiene algunos casos, por ejemplo, el denominado producto punto o escalar, o el producto cruz o vectorial, y por último, el producto entre un escalar y un vector. Previo al estudio de cada uno de ellos, resulta necesario definir más profundamente al vector unitario, el cual servirá para posteriores cálculos Unitario de un vector Como ya se mencionó, un vector unitario, es uno que indica la dirección y sentido de un vector, además de tener un módulo igual a uno, de ahí su nombre: unitario. Su notación es: μ A y se lee unitario del vector A Este se calcula de la siguiente manera: 31

39 Sea: A = A x i + A y j + A z k, un vector cualquiera. 1. Se calcula primero su módulo: A = A x 2 + A y 2 + A z 2 = A (observe que el módulo de un vector se expresa con dos barras verticales o simplemente no se ubica la flecha sobre la letra que nombra al vector) 2. Luego usa la definición del vector unitario, que no es nada más dividir el mismo vector para su respectivo módulo, es decir: μ A = A xi + A y j + A z k A x 2 + A y 2 + A z 2 3. Finalmente, se puede separar cada una de las componentes para el módulo, así: μ A = A x i + A 2 x + A 2 2 y + A z A y j + A 2 x + A 2 2 y + A z A z k A x 2 + A y 2 + A z 2 Recuerde que el vector unitario es adimensional Producto de un vector por un escalar Como el nombre lo indica, consiste en multiplicar una magnitud de tipo escalar con una de tipo vectorial. 32

40 Sea un vector A = A x i + A y j + A z k y n un escalar cualquiera, la operación: n A se la realiza de la siguiente manera: n A = n A x i + A y j + A z k = n A x i + n A y j + n A z k Propiedades: ES CONMUTATIVO, esto es, el orden en el que se coloquen los factores, no altera el resultado: n A = A n ES DISTRIBUTIVO ESCALAR, el producto de un vector por la suma de otros dos escalares es igual a la suma de los productos de dicho vector por los escalares: A n + m = A n + A m ES ASOCIATIVO, se puede alterar el orden de agrupamiento para la realización de las operaciones: ES DISTRIBUTIVA VECTORIAL: n ma = A (nm) n A + B = na + nb Un ejemplo de esta relación entre un escalar y un vector lo constituye la fuerza expresada en la segunda ley de Newton: F = ma, donde m es la masa y es un escalar, mientras que a es la aceleración y es un vector. Aquí la fuerza tiene la misma dirección que la aceleración, al ser la masa siempre de valor positivo Producto Escalar entre dos vectores También denominado Producto Punto, relaciona dos vectores dando como resultado un ESCALAR. El producto no es nada más que la multiplicación de los módulos de los dos vectores y del coseno del ángulo que forman los mismos. A B = A B cosθ 33

41 Fig Producto escalar Sean dos vectores: A = A x i + A y j + A z k B = B x i + B y j + B z k Se define el producto escalar o punto así: A B = A x B x + A y B y + (A z B z ) Ejemplo: A = 2i + 3j + 4k B = 4i + 2j 6k A B = (4 ( 6)) A B = A B = Propiedades ES CONMUTATIVO: esto, el orden en que se coloquen los factores no altera el resultado: A B = B A 34

42 ES DISTRIBUTIVO: el producto de un vector por la suma de otros dos es igual a la suma del producto de ese vector por cada uno de los otros dos: A B + C = AB + AC NO ES ASOCIATIVO: no puede alterarse el orden en el que se efectúen las operaciones: A B C (A B) C Producto Vectorial A esta relación entre dos vectores, se le conoce también como Producto Cruz y su resultado como el nombre lo indica es un VECTOR. Su módulo es igual al producto de los módulos de cada uno de los vectores por el seno del ángulo formado entre ellos: A B = A B senθ El vector que se obtiene es perpendicular al plano que forman los dos vectores que forman parte de la operación, o también se pude afirmar que es perpendicular a cada uno de ellos. El sentido de dicho vector se determina por la regla de la mano derecha que consiste en orientar los dedos de la mano derecha en la dirección en la que rota el primer vector del producto respecto al segundo. El dedo pulgar se orientará en la dirección del vector resultante. Esto lo puede observar en la figura siguiente: Fig Producto Vectorial y Regla de la mano derecha 35

43 El desarrollo de este producto se puede realizar ubicando adecuadamente a las direcciones y a los coeficientes en una matriz, de la siguiente manera: Sean dos vectores: A = A x i + A y j + A z k B = B x i + B y j + B z k Se define este procedimiento para hallar el producto vectorial o cruz así: A B = i j k A x A y A z = A y B z A z B y i A x B z A z B x j + (A x B y A y B x ) k B x B y B z Que consiste en lo siguiente: 1. Una matriz cuadrada tiene dos diagonales, un principal que va desde arriba izquierda hacia abajo derecha y una secundaria que va desde abajo izquierda hacia arriba derecha. 2. Si se desea calcular la componente i, se elimina la primera columna (vertical) y se considera solamente los coeficientes. Después se procede a multiplicar los coeficientes de la diagonal principal y se los resta con el producto de los coeficientes de la diagonal secundaria, al final se añade la dirección i, así: j k A y A z = B y B z A y A z B y B z = A y B z A z B y i 3. Para calcular la componente j, se elimina la segunda columna (vertical) y se considera solamente los coeficientes. Después se procede a multiplicar los números de la diagonal principal y se los resta con el producto de los coeficientes de la diagonal secundaria, al final se añade la dirección j. Al final y SOLO PARA ESTA COMPONENTE, se añade el signo MENOS. Así: 36

44 i k A x A z B x B z = A x A z B x B z = A x B z A z B x j 4. Luego, para calcular la componente k, se elimina la tercera columna (vertical) y se considera solamente los coeficientes. Después se procede a multiplicar los números de la diagonal principal y se los resta con el producto de los coeficientes de la diagonal secundaria, al final se añade la dirección k, así: i j A x A y B x B y = A x A y B x B y = (A x B y A y B x ) k 5. Por último, se unen los tres resultados y se obtiene la expresión mencionada anteriormente: A B = A y B z A z B y i A x B z A z B x j + (A x B y A y B x ) k Ejemplo: A = 4i + 7j + 5k B = 11i 8j + 2k A B = i j k = i 8 55 j + ( 32 77) k A B = 54i + 47j 109k 37

45 2.6. Componentes de un vector Un vector puede representarse como la suma de dos vectores que se encuentran sobre los ejes x e y respectivamente. Estos vectores reciben el nombre de Componentes de un vector. Esto se puede apreciar en la siguiente figura: Fig Componentes de un vector Las componentes del vector A: A x y A y, se pueden calcular mediante las siguientes relaciones: A x = A cos θ A y = A sen θ Las expresiones anteriores se obtienen de aplicar las funciones trigonométricas seno y coseno al triangulo rectángulo que se observa en la figura y que está formado por los dos catetos (componentes del vector) y la hipotenusa (módulo del vector A). Tal como se mencionó anteriormente. 38

46 En cambio, si se conocen las componentes del vector, entonces es posible saber cuál es la magnitud y dirección del mismo. Para ello, basta aplicar el teorema de Pitágoras y la función trigonométrica arcotangente. Así: A = A x 2 + A y 2 (Módulo o magnitud) θ = tan 1 A y A x (dirección) Ejemplo: Sean las componentes de los vectores A y B, como se observan en la figura, obtener A y B Se observa que se tiene como dato A x, A y, B x y B y, respectivamente, por tanto se puede expresar los vectores de la siguiente manera: A = 5i + 6j y B = 6i 7j Nótese que hacia la derecha está el sentido X positivo (componente i) mientras que a la izquierda está el sentido X negativo (componente i). Asimismo, hacia arriba se encuentra el sentido Y positivo (componente j), mientras que hacia abajo se halla el sentido Y negativo (componente j). 39

47 Con estos datos se puede obtener el módulo de los vectores y sus direcciones. Así: A = = 61 = 7,81 θ = tan θ = 50,2 B = ( 6) 2 + ( 7) 2 = 85 = 9,21 θ = tan θ = 49,39 40

48 2.7. AUTOEVALUACIÓN 1. Obtener el vector suma A B y el vector A B de: (previamente transformar a coordenadas rectangulares) A ( 7[ N];180º ) ; B ( 20[ N];37º ) 2. Sean: A 4i 3 j ; B i 2 j ; C 3 i j. Halle de forma analítica y gráfica (uno de los 3 métodos), las siguientes sumas vectoriales: a. A 2B b. C 2B c. A B C d. A B C e. El módulo y la dirección del vector B f. El módulo y la dirección del vector C 3. Sean: X 6i 4 j 2k Y 3 j k Z i 3 j 7k Efectuar las siguientes operaciones: a. 2 X 5Z Y b. Z Y c. 2 Z X d. Z Y e. Z X 4. Dada la dirección θ = 72 y la magnitud C = 24.5, hallar las componentes del vector C 41

49 Bibliografía 1. Wikipedia. Wikipedia. [Online] 2. Argentina, Universidad Tecnológica Nacional - Bahía Blanca -. Teoría de Mecánica del Sólido. [Online] 3. Serway, Raimond. Física para Ciencias e Ingenierías. México : Thomson, Vol Sistemas de referencia. [Online] 42

50 UNIDAD 3 Mecánica

51 3.1. CONCEPTOS PREVIOS En cinemática hay tres conceptos que se tiene que conocer porque se usan todo el tiempo. Fijémonos bien en ellos: El lugar en donde está la cosa que se está moviendo se llama POSICIÓN. La cantidad de espacio recorrido en un cierto intervalo de tiempo se llama VELOCIDAD. Si la velocidad del objeto aumenta o disminuye en un determinado tiempo, se dice que tiene ACELERACIÓN. Ejemplo: X POSICION Y VELOCIDAD X auto = 10 m Se usa la letra x para indicar la posición porque casi siempre las posiciones se marcan sobre un eje x. Si el objeto está a una determinada altura del piso se usa un eje vertical y (la altura se indica con la letra y). Ejemplo: Supongamos que tengo algo a 5 metros de altura. Para dar su posición tomo un eje vertical Y. Con respecto a este eje digo: 44

52 LA POSICION DEL PATO ES Y = 5 metros X e Y se llaman coordenadas del cuerpo. Dar las coordenadas de una cosa (por ejemplo de un avión) es una manera de decir dónde está el objeto en ese momento Sistema De Referencia Cuando digo que la posición de algo es x = 10 [m], tengo que decir 10 [m] medidos desde dónde. Se puede estar a 10 m de tu casa pero a 100 m de la casa de tu primo, de manera que la frase: estoy a 10 m no indica nada. Hay que aclarar desde dónde. Entonces en física, lo que se hace es decir: En el lugar que elijo como cero pongo el par de ejes x-y. Estos dos ejes forman el sistema de referencia. Todas las distancias que se miden están referidas a él. 45

53 Para resolver los problemas conviene siempre tomar el par de ejes x-y. Además poner el par de ejes x-y nunca está de más. Las ecuaciones que uno plantea después para resolver el problema, van a estar referidas al par de ejes x-y que uno eligió Trayectoria La trayectoria es el camino que recorre el cuerpo mientras se mueve. Pueden existir muchos tipos de trayectorias. Veamos a continuación: Una trayectoria no tiene por qué ser algún tipo de curva especial. Puede tener cualquier forma. Puede ser cualquier cosa. Ejemplo: 46

54 Posiciones Negativas Una cosa puede tener una posición negativa (como x = -3 m, ó x = -200 Km). Eso pasa cuando la cosa está del lado negativo del eje de las X. Esto es importante, porque a veces al resolver un problema el resultado da negativo. Y ahí uno suele decir: Huy!!!! Me dió X = - 20 m. No puede ser..pero SI puede ser. La posición puede dar negativa. Incluso la velocidad y la aceleración también pueden dar negativas. Fíjate ahora en este dibujo como se representa una posición negativa: Velocidad Negativa Si la cosa que se mueve va en el mismo sentido que el eje de las x, su velocidad es (+). Si va al revés, es (-). Atento con esto que no es del todo fácil de entender. A ver: 47

55 Es decir, en la vida diaria uno no usa posiciones ni velocidades negativas. Nadie dice: estoy a 3 *m+ de la puerta. Más bien dice: estoy 3 *m+ DETRÁS de la puerta. Tampoco se dice: ese coche va a 20 Km/h. Uno dice: ese auto va a 20 Km por hora EN SENTIDO CONTRARIO del que voy yo. Sin embargo, en cinemática, la cuestión de posiciones negativas y velocidades negativas se usa todo el tiempo y hay que entenderlo bien La Letra Griega Delta (Δ) Todo el tiempo se usa la letra Delta. Es un triangulito así: Δ En física se usa la delta para indicar que a lo final hay que restarle lo inicial. Por ejemplo: Δx querrá decir X final menos X inicial. Δt querrá decir t final menos t inicial, y así sucesivamente. En matemática esto se conoce hallar la variación o hallar la diferencia Espacio Recorrido (Δx) El lugar donde una persona está se llama posición. La distancia que esta recorre al ir de una posición a otra se llama espacio recorrido. Fíjate que posición y espacio recorrido NO son la misma cosa. Pongámonos de acuerdo. Vamos a llamar: x 0 = posición inicial (lugar de donde la persona salió). x f = posición final (lugar a donde la persona llegó). Δx = espacio recorrido (quiere decir = x f x o ). 48

56 Si el móvil salió de una posición inicial (por ejemplo x 0 = 4 m) y llegó a una posición final (por ejemplo x f = 10 m ), el espacio recorrido se calcula haciendo esta cuenta: ESPACIO Δx = x f - x 0 RECORRIDO Es decir, en este caso me queda: Δx = 10 m 4 m => Δx = 6 m Tiempo Transcurrido o Intervalo de Tiempo (Δt) El intervalo de tiempo Δt es el tiempo que la persona estuvo moviéndose. Delta t puede ser 1 segundo, 10 segundos, 1 hora, lo que sea... Si el objeto salió en un determinado instante inicial t 0 (por ej. a las 16 hs), y llegó en un determinado instante final (por ej. a las 18 hs), el intervalo de tiempo delta t se calcula haciendo Δt = t f t 0, (Es decir 18 hs 16 hs = 2 hs). 49

57 3.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) Un cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme si se mueve en LÍNEA RECTA y recorre ESPACIOS IGUALES EN TIEMPOS IGUALES. Esto lo dijo Galileo Galilei. Dicho de otra manera: En el MRU LA VELOCIDAD NO CAMBIA, SE MANTIENE CONSTANTE. Al ser la velocidad todo el tiempo la misma, lo que se viene moviendo no acelera. Es decir, en el movimiento rectilíneo y uniforme la aceleración es cero (a = 0) Gráfica de la Posición en Función del Tiempo Muchas ocasiones te pueden pedir hacer gráficos que describan el movimiento. Cómo es eso? Pues fíjate a continuación: Supón que un cuerpo se viene moviendo a 100 km por hora. Una hormiga, por ejemplo. Después de una hora habrá recorrido 100 Km. Después de 2 hs habrá recorrido 200 Km y así sucesivamente... Esto se puede escribir en una tabla, como la siguiente: 50

58 POSICIÓN TIEMPO 0 Km 0 hs 100 Km 1 h 200 Km 2 hs Ahora se puede hacer un gráfico poniendo para cada tiempo la posición correspondiente (0 le corresponde 0; a 1 le corresponde 100; etc.). Esto lo puedes ver a continuación: Uniendo todos los puntos tengo el gráfico de la posición en función del tiempo: A este gráfico se lo suele llamar abreviadamente posición versus tiempo, posición en función del tiempo, ó x = f (t). Todas estas denominaciones quieren decir lo mismo. 51

59 Representación de la velocidad y la aceleración en función del tiempo. Se puede dibujar también los gráficos de velocidad y aceleración en función del tiempo. Si lo piensas un poco vas a ver que quedan así: En estos 3 gráficos se ven perfectamente las características del MRU. O sea: El gráfico de V en función de t muestra que la velocidad se mantiene constante. El gráfico de a en función de t muestra que la aceleración es todo el tiempo cero. El gráfico de x en función del tiempo muestra que la posición aumenta linealmente con el tiempo Cálculo de la Velocidad en el MRU Para calcular la velocidad se toma en cuenta el espacio (o distancia) recorrido sobre el tiempo empleado. Esto es lo mismo que se usa en la vida diaria. Dicho de otra forma, la velocidad representa la distancia que se ha recorrido en un determinado tiempo. En el sistema internacional (SI), la velocidad se mide en [m/s] Observemos ahora la siguiente figura: Supongamos que la tortuga salió de la posición x 0 y llegó a la posición x f. Es decir recorrió 52

60 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA la distancia Δx. Además, en el momento que partió de la posición x0 el tiempo corresponde a t0 y en la posición final t1. La velocidad será: Espacio recorrido. v x t v xf x0 tf t0 Tiempo empleado. Velocidad en el MRU Ecuaciones horarias en el MRU La definición de velocidad era: 𝑣 = 𝑥 𝑓 𝑥 0 𝑡 𝑓 𝑡 0. Si ahora despejo 𝑥𝑓 𝑥0 me queda: 𝑣 t f t 0 = xf x0 xf = x0 + 𝑣 t f t 0 1ra ECUACION HORARIA Esta ecuación PERMITE OBTENER LA POSICIÓN DEL TIPO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO. Se la llama horaria porque en ella interviene el tiempo (= la hora ). Permite predecir en un momento futuro cual será la posición del móvil en MRU. Como (tf - t0) es t, a veces se la suele escribir como xf = x0 + 𝑣 𝑡 También si t0 vale cero, se la pone como xf = x0 + 𝑣 𝑡. Supón que un cuerpo que se está moviendo salió en t0 = 0 de la posición X0 = 200 Km. Si el objeto salió con una velocidad de 100 Km/h, su ecuación horaria será: x = 200 Km Km.(t 0) h 53

61 x = 200 Km Km t h Si en la ecuación le voy dando valores a t (1 h, 2 hs, 3 hs, etc.) voy a tener la posición donde se encontraba el cuerpo en ese momento. Las otras dos ecuaciones horarias para el caso del MRU son: v cte y a 0 En definitiva, las tres ecuaciones horarias para el MRU son: x = x o + v. (t f t o ) v = Cte. a = 0 ECUACIONES HORARIAS PARA EL MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORME De las tres ecuaciones sólo se usa la primera para resolver los problemas. Las otras dos, digamos que no se usan. Son sólo conceptuales, pero es importante saberlas TANGENTE DE UN ÁNGULO Calcular la tangente (tan) de un ángulo significa hacer la división entre lo que mide el cateto opuesto y lo que mide el cateto adyacente. Por ejemplo, dibujo un ángulo cualquiera. α Adyacente O p u e s t o Un triángulo de ángulo alfa En este triángulo la tangente de alfa va a ser: opuesto Tan α = adyacente Tangente de un ángulo. Por ejemplo, si doy valores a los dos catetos del triángulo: opuesto: 2,1 cm adyacente: 4,8 cm 54

62 Entonces: 2,1 cm tan 0,437 4,8 cm Fíjate que el resultado no dio en cm. La tangente de un ángulo es siempre un número. (NO TIENE UNIDADES) PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de una recta es una cosa parecida a la tangente de un ángulo, sólo que SI TIENE UNIDADES. Hallar el valor de la pendiente de una recta significa hacer la división entre la cantidad que está representando el cateto opuesto y la cantidad que está representando el cateto adyacente. Veamos: supongamos que tengo la siguiente recta que proviene de la representación de la posición en función del tiempo para una cosa que se viene moviendo con MRU: Para el ángulo alfa que se encuentra representado en la figura anterior, el cateto opuesto mide unos 1,8 cm si lo mido con una regla en la hoja. Pero REPRESENTA 160 m. De la misma manera, el cateto adyacente mide unos 3,8 cm en la hoja; pero REPRESENTA 8 seg. De manera que el valor de la pendiente de la recta va a ser: Valor que representa el Cateto Opuesto Pendiente Valor que representa el CatetoAdya cente Pendiente de una recta 55

63 En este caso: 160 m m pendiente pendiente 20 8 s s Nótese que la pendiente no es sólo un número, sino que tiene unidades. En este caso esas unidades me dieron en metros por segundo. La pendiente puede darte en otras unidades también. Eso depende de qué estés graficando en función de qué. La pendiente de la recta en el gráfico x=f(t) es la velocidad No es casualidad que la pendiente del gráfico anterior haya dado justo en unidades de velocidad. La pendiente de la recta en el gráfico posición en función del tiempo SIEMPRE te va a dar la velocidad del movimiento. Por qué? Respuesta: Porque al hacer la cuenta opuesto sobre adyacente siempre estás haciendo Δx/Δt, y esto es justamente la velocidad Representación Gráfica de las Ecuaciones Horarias En cinemática se usan todo el tiempo 3 gráficos muy importantes que son los de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Cada gráfico es la representación de una de las ecuaciones horarias. Recordemos cómo se representaba una recta en matemáticas. La ecuación de la recta tenía la forma y = m x + b. b era el lugar donde la recta cortaba al eje y (ordenada al origen) y m era la pendiente. Por ejemplo la ecuación de una recta podría ser y = 3 x

64 Ahora, si tomo la 1 ra ecuación horaria con t 0 = 0 (que es lo que en general suele hacerse), me queda x = x 0 + v.t. Ahora fíjate esta comparación: y m x b x v t x 0 Veo que la ecuación de x en función del tiempo en el MRU también es una recta en donde la velocidad es la pendiente y x 0 es el lugar donde la recta corta el eje vertical. Para cada ecuación horaria puedo hacer lo mismo y entonces voy a tener 3 gráficos, uno para cada ecuación. Entonces los tres gráficos característicos del MRU quedan así: (1) Posición en función del tiempo (Muestra que x aumenta linealmente con t) (2) Velocidad en función del tiempo (Muestra que v se mantiene constante). Los 3 gráficos representativos del movimiento rectilíneo y uniforme (3) Aceleración en función del tiempo (Muestra que la a es todo el tiempo cero). Un triángulo de ángulo alfa 57

65 VELOCIDAD MEDIA Si una persona va de un lugar a otro y sin ir todo el tiempo a la misma velocidad, su velocidad media se calcula así: v m = Por ejemplo: Distancia en linea recta entre el punto de partida y el punto de llegada Tiempo empleado en recorrer esa distancia Supongamos que un auto va de la ciudad A a la ciudad B por una cierta ruta que comprende unos 400 Km. Si tarda 6 hs en llegar. Su velocidad media va a ser: x vm (en línea recta) t 375Km km vm 62,5 6hs h No importa si durante el trayecto tuvo algunos cambios en la velocidad. EJEMPLOS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME PRIMER EJEMPLO Un tipo sale de la posición x 0 = 400 Km a las 8 hs y llega a la posición x f = 700 Km a las 11 hs. (fue en línea recta y con v = constante). Se pide: i. Tomar un sistema de referencia y representar lo descripto en el problema. ii. Calcular con qué velocidad se movió (en Km/h y en m/s) iii. Escribir las 3 ecuaciones horarias y verificarlas. iv. Calcular la posición a las 9 hs y a las 10 hs. v. Dibujar los gráficos de x = f(t), v = v(t) y a = a(t). DESARROLLO: 58

66 a. El sistema de referencia que elijo es el siguiente b. Calculo con qué velocidad se movió. V era Δx /Δt, entonces: x x f 0 v t t f Km 400 Km v 11 hs 8hs 300 Km v 3hs v 100 Km / h Velocidad del tipo Para pasar 100 Km/h a m/s uso el siguiente truco: A la palabra Km la reemplazo por 1000 m y a la palabra hora la reemplazo por 3600 seg. Que no son más que las equivalencias entre unidades. Entonces: 100 Km 1000 m 100. h 3600 seg 100 Km 100 m h 3,6 seg Fíjate en este tres coma seis. De aquí saco una regla muy útil para usar: Para pasar de Km/h a m / s hay que dividir para 3,6. Para pasar de m/s a Km/h hay que multiplicar por 3,6. Regla para pasar de Km/h a m/s y viceversa. 59

67 Si no te acuerdas de esta regla, no es terrible. Lo puedes deducir usando el mismo truco usado aquí y listo (es decir 1 Km son mil metros, 1 h son 3600 segundos, etc). c. Escribir las 3 ecuaciones horarias y verificarlas. Bueno, en el movimiento rectilíneo y uniforme las ecuaciones horarias eran: x = x 0 + v(t f t o ) v = constante a = 0 En este caso reemplazo por los datos y me queda: x = 400km km (t 8) v = 100 km = constante a = 0 Verificar las ecuaciones horarias significa comprobar que están bien planteadas. Bueno, con la 2da y la 3ra (v = 100 Km/h, y a = 0) no se tiene problema. Sé que el movimiento es rectilíneo y uniforme de manera que la velocidad me tiene que dar constante, y la aceleración cero. (==> están bien ). Vamos a la verificación de la 1ra ecuación. Si esta ecuación estuviera bien planteada, reemplazando t por 8 hs (= t 0 ), la posición me tendría que dar 400 Km ( = x 0 ). Veamos si da: x 400Km 100 Km ( t 8hs ) h x 400Km 100 Km (8hs 8hs ) h 0 x == 400 > x Km= 400 Km Diobien (Dio bien). 60

68 Vamos ahora a la posición final. Para t = 11 hs la posición me tiene que dar x=700 Km. Otra vez reemplazo t 0 por 11 hs. Hago la cuenta a ver que da. x 400Km 100 Km ( t 8 hs ) h x 400Km 100 Km ( 11 hs 8 hs ) h == > x = 700 Km (Dio bien). x 700Km Diobien. d. Calcular la posición a las 9 hs y a las 10 hs. Hago lo mismo que lo que hice recién, pero reemplazando t por 9 hs y por 10 hs: 3hs Para t = 10 hs : x 400Km 100 x (9hs ) 500Km Km ( 9 hs 8 hs ) h 1h Posicióna las 9 hs. x (10hs ) x 400 Km 100 (10hs ) 600 Km Km ( 10 hs 8 hs ) h 2hs Posicióna las 10 hs e. Dibujar los gráficos x = x (t), v = v (t) y a = a (t). El más complicado de hacer es el de posición en función del tiempo. Con lo que calculé antes puedo armar una tabla y represento estos puntos en el gráfico x-t: x 400 Km 8 hs 500 Km 9 hs 600 Km 10 hs 700 Km 11 hs t En realidad no hacía falta tomar tantos puntos. Con 2 hubiera sido suficiente (porque es una recta y una recta pasa por solo dos puntos). 61

69 Finalmente el gráfico posición en función del tiempo x(t) queda así: Los otros dos gráficos quedarían de esta forma: Por último me gustaría verificar que la pendiente del gráfico de posición en función del tiempo es la velocidad del movimiento. Veamos si verifica: Fíjate bien cómo consideré los catetos opuesto y adyacente. Siempre el cateto opuesto tiene que ser el espacio recorrido (Δx) y el adyacente, el tiempo empleado (Δt). Por ejemplo, si la recta estuviera yendo para abajo en vez de para arriba: 62

70 Este sería el caso de una cosa que tiene velocidad negativa. Para la verificación de la pendiente hago esto: pendiente pendiente opuesto adyacente 700Km - 400Km 11hs - 8hs pendiente 100 Km h Dio bien. SEGUNDO EJEMPLO Una persona tiene que recorrer un camino que tiene 100 Km. Los primeros 10 Km los recorre a 10 Km/h. Después recorre 30 Km a 30 Km por hora. Y, por último, recorre los 60 Km finales a 60 Km/h. a. Qué tiempo tardó en recorrer los 100 Km? b. A qué velocidad constante tendría que haber ido para recorrer los 100 Km en el mismo tiempo? c. Dibujar los gráficos: x(t), v(t) y a(t). Primero hay que hacer un esquema de lo que plantea el problema: Luego, me fijo qué tiempo tardó en recorrer cada tramo. Como v = x, el Δt saldrá simplemente de despejarlo de esta ecuación y será: t = x. Haciendo cuentas se obtiene: v t t 1 = 10km 10 km = 1 63

71 t 2 = 30km 30 km t 3 = 60km 60 km = 1 = 1 El tiempo total que va a tardar va a ser la suma de estos 3 tiempos. Es decir: Δt total = Δt 1 + Δt 2 + Δt 3 Δt total = 3 hs. Por lo tanto tarda 3 hs en recorrer los 100 Km. Para la parte b, se considera lo siguiente: La velocidad constante a la que tuvo que haber ido para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo es justamente la velocidad media. Entonces: v m x t v m 100Km 3hs v m 33,3 Km h Velocidad media Por último, veamos cómo quedan los gráficos: Es importante observar cómo en el primer gráfico las rectas se van inclinando más y más hacia arriba a medida que aumenta la velocidad. Más aumenta la velocidad, más aumenta la pendiente. Y es que la pendiente de la recta en el gráfico x (t) es justamente la velocidad. Por eso, al aumentar la velocidad, aumenta la inclinación. Eso es todo lo que tienes que saber. 64

72 3.3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) Imagínate un coche que en principio está quieto y luego arranca y este cada vez se mueve más rápido. Primero lo hace a 10 km por hora, después a 20 km por hora, después a 30 km por hora y así sucesivamente. Se nota que su velocidad va cambiando (es decir varía). Esto vendría a ser un movimiento variado. Entonces, cuándo uno tiene un movimiento variado? Pues cuando la velocidad cambia (varía). Ahora, un movimiento es uniformemente variado si la velocidad cambia lo mismo en cada segundo que pasa. Observa el dibujo: En el ejemplo anterior, cuando la persona ve al monstruo se pone a correr. Después de 1 segundo su velocidad es de 10 Km/h y después de 2 segundos es de 20 Km/h. Es decir, su velocidad está aumentando, de manera uniforme, a razón de 10 Km/h por cada segundo que pasa. ATENCIÓN: En física, la palabra uniforme significa SIEMPRE IGUAL, SIEMPRE LO MISMO, SIEMPRE DE LA MISMA MANERA. Se puede concluir que el movimiento de la persona es uniformemente variado aumentando Δv = 10 Km/h en cada Δt = 1 seg Aceleración El concepto de aceleración es muy importante. Es la base para poder entender bien MRUV y también otras cosas como caída libre y tiro vertical. 65

73 Pero no es difícil. Ya tienes una idea del asunto porque la palabra aceleración también se usa en la vida diaria. De todas maneras lee con atención lo que sigue y lo vas a entender mejor. En el ejemplo mencionado anteriormente, la persona pasa de 0 á 10 Km/h en 1 seg. Pero podría haber pasado de 0 á 10 Km/h en un año. En ese caso estaría acelerando más despacio. Entonces podemos decir que la aceleración es la rapidez con la que está cambiando la velocidad. Mientras más rápido aumenta (o disminuye) la velocidad, mayor es la aceleración. Digamos que la aceleración vendría a ser una medida de la brusquedad del cambio de la velocidad. Para tener entonces algo que me indique qué tan rápido está cambiando la velocidad, divido ese cambio de velocidad Δv para el tiempo Δt que tardó en producirse. Es decir: v a t Definición de aceleració n Supón un auto que tiene una velocidad v 0 en t 0 y otra velocidad v al tiempo t: En ese caso la aceleración del auto va a ser: v v a t t 0 0 Así se calcula la aceleración UNA COSA!!!! Fíjate por favor que cuando en física se habla de aceleración, hablamos de aumentar o disminuir la velocidad. Lo que importa es que la velocidad CAMBIE (Varíe). En física, un auto que está frenando también tiene aceleración. Atención porque en la vida diaria no se usa así la palabra aceleración. Por eso esto resulta un poco confuso. De ahí surge la pregunta: Cómo puede estar acelerando un auto que va cada vez más despacio? 66

74 Veamos un ejemplo. EJEMPLO DE MRUV Un coche que se mueve con MRUV tiene en un determinado momento una velocidad de 30 m/s y, 10 segundos después, una velocidad de 40 m/s. Calcular su aceleración. Para calcular lo que se pide aplico la definición anterior: a = v f v o t f t 0 a = 40 m s 30 m s 10 s a = 1 m/s 2 Fíjate que el resultado dio en m/s 2. Éstas son las unidades en las que se mide la aceleración. Es decir, metro dividido segundo cuadrado o cualquier otra unidad de longitud dividida para una unidad de tiempo al cuadrado (como Km/h 2 ). Qué significa esto de 1 m/s 2? Pues bueno, 1 m/s 2 lo puedo escribir como: 1 m s 1 s Variación de velocidad Intervalo de tiempo Esto último se lee así: La aceleración de este auto es tal que su velocidad aumenta 1 metro por segundo, en cada segundo que transcurre. Un esquema de la situación sería éste: 67

75 Aquí hay algo importante para considerar: Al tener ya una idea de lo que es la aceleración se puede decir que la característica del movimiento uniformemente variado es justamente que tiene aceleración constante. Otra manera de decir lo mismo (y esto se ve en el dibujo) es decir que en el MRUV la velocidad aumenta todo el tiempo (o disminuye todo el tiempo) y ese aumento (o disminución) es LINEAL CON EL TIEMPO Signo de la aceleración La aceleración que tiene un objeto que se mueve puede ser (+) o (-). Esto depende de 2 cosas: 1. De si el cuerpo se está moviendo cada vez más rápido o cada vez más despacio. 2. De si se está moviendo en el mismo sentido del eje x o al revés. La regla es esta: La aceleración será positiva si el vector aceleración apunta en el mismo sentido del eje X. Si el vector apunta al revés del eje equis, la aceleración es negativa. La cosa es que la gente suele decir: Bueno, no es tan difícil. Si el cuerpo va cada vez más rápido, su aceleración va a ser positiva y si va cada vez más despacio, su aceleración va a ser negativa. Hummmmm... Cuidado! Esto vale solamente si el cuerpo se mueve en el sentido positivo del eje x. Si el tipo va para el otro lado, los signos son exactamente al revés. 68

76 Esto simplemente sale de reemplazar los valores de las velocidades en la ecuación de la aceleración que comentamos más arriba Ecuación de una parábola En matemática, una parábola se representaba por la siguiente ecuación: 2 y a. x b. x c ECUACION DEUNA PARABOLA. Por ejemplo, una parábola podría ser: y = 3x 2 5x + 2 Dándole valores a x voy obteniendo los valores de y. Así puedo construir una tabla. Representando estos valores en un par de ejes x-y voy obteniendo los puntos de la parábola. Eso puede dar una cosa así: La parábola puede dar más arriba: más abajo: más a la derecha: más a la izquierda: más abierta: más cerrada: puede incluso dar para abajo: Puede estar de cualquier forma, dependiendo de los valores de a, b y c, pero siempre 69

77 tendrá forma de parábola. ATENTO CON ESTO!!!!! Las parábolas siempre aparecen en los problemas de MRUV Ecuaciones horarias y gráficos en el MRUV Las ecuaciones horarias son siempre las de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Vamos a ver cómo se representa cada una en el MRUV. Vamos a empezar por la 3 ra ecuación porque así es más fácil de entender. 3ª Ecuación horaria (a = f(t)) La característica fundamental de un movimiento uniformemente variado es que la aceleración es constante. En el MRUV la aceleración no cambia. Siempre es igual. Siempre vale lo mismo. Esto puesto en forma matemática sería: a = constante 3 ra Ecuación Horaria El gráfico correspondiente es una recta paralela al eje horizontal. O sea, algo así: 2ª Ecuación horaria (V = f(t)) Otra manera de decir que la aceleración es constante es decir que la velocidad aumenta (o disminuye) linealmente con el tiempo. Esto sale de la definición de aceleración, que era: Entonces, si despejo obtengo: a = v f v o t f t 0 70

78 v f v o = a t t 0 v f = v o + a t t 0 Casi siempre t 0 vale cero. Entonces la ecuación de la velocidad queda así: v f = v o + a t 2 da Ecuación Horaria Esto es la ecuación de una recta. Tiene la forma y = mx + b. La representación es así: Por ejemplo, una 2 da ecuación horaria típica podría ser: v f = 10 m s + 2 m/s2 t El cuerpo que se mueva siguiendo esta expresión habrá salido con una velocidad inicial de 10 m/s y tendría una aceleración de 2 m/s 2. Esto se entenderá mejor cuando veas algún ejemplo hecho con números o cuando empieces a resolver problemas. 1ra Ecuación horaria (x = f(t)) Esta es la ecuación importante y es la que hay que saber bien. La ecuación de la posición en función del tiempo para el movimiento uniformemente variado es ésta: x = x 0 + v o t + 1 a t2 2 1 ra Ecuación Horaria La deducción de esta ecuación se las dejó para su consulta en los libros de física. Deberás memorizarla. 71

79 Lo que sí es importante mencionar es que esta expresión no es nada más que la ecuación de una parábola. Fíjate: x x v. t y c b x a. t 2 2 a. x Observa la correspondencia de cada término Cada término de la ecuación x = x 0 + v o t a t2 tiene su equivalente en la expresión y = ax 2 + bx + c La representación de la posición en función del tiempo es esta: Esta figura quiere decir muchas cosas. En física se dice así: Este gráfico representa la variación de la posición en función del tiempo para un movimiento uniformemente variado. Es la representación gráfica de la función x = x 0 + v o t a t2. La ecuación nos da nada más ni nada menos que la posición del móvil para cualquier instante t.esta función es una ecuación cuadrática (ya que t está al cuadrado). Esto es importante porque de aquí sale una característica fundamental del movimiento uniformemente variado. En el MRUV la posición varía con el cuadrado del tiempo. x = f(t 2 ). Equis depende de t cuadrado. Decíamos entonces que la representación gráfica de x = x 0 + v o t a t2 da una parábola. Esta parábola puede dar para derecha, para la izquierda, muy cerrada, muy 72

80 abierta (como comentamos antes). Eso va a depender de los valores de x o, de v 0 y de a. Ahora, el hecho de que la parábola vaya para arriba o para abajo depende ÚNICAMENTE del signo de la aceleración. Si a es (+), irá para arriba (). Si a es (-), irá para abajo (). Esto se lo puede recordar de la siguiente manera: a = + a = - La parábola positiva está contenta. La parábola negativa está triste. Conclusión. Hay que ser positivo en la vida!!!!!! NO!!!!!!!! mejor: CONCLUSIÓN: Observemos el siguiente ejemplo a ver si lo comprendemos Ejemplo Supongamos que tengo esta ecuación horaria para algo que se mueve con MRUV: x = 4 m + 1 m s t + 2 m s 2 t2 Este sería el caso de algo que salió de la posición inicial 4 m con una velocidad de 1 m/s y una aceleración de 4 m/s 2. Para saber cómo es el gráfico, voy dando valores a t y voy sacando los valores de x. Es decir, voy haciendo las cuentas y voy armando una tablita. x [m] t [seg] Tabla con los valores de las posiciones y los tiempos. 73

81 Ahora represento esto y me da una cosa así: Este gráfico es la representación de la 1 ra ecuación horaria. Aquí hay que notar dos cosas: 1. La parábola va para arriba ( ) porque a es positiva 2. Aunque uno vea sólo un arco así esto es una parábola. La parte que falta estaría a la izquierda y no se ha dibujado. Usualmente no se lo hace. La podría representar si le diera valores negativos a t (como 1 seg., -2 seg., etc.). En ese caso el asunto daría así: UN EJEMPLO DE MRUV Una hormiga picadorus sale de la posición X 0 = 0 y comienza a moverse con aceleración a=2 m/s 2.(v 0 = 0). a. Escribir las ecuaciones horarias b. Hacer los gráficos x(t), v(t) y a(t). Vamos a hacer un esquema de lo que pasa y tomo un sistema de referencia: 74

82 Las ecuaciones horarias para un cuerpo que se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente variado son: x = x 0 + v 0 t + 1 a t2 2 v f = v 0 + a t a = cte ECUACIONES HORARIAS ESCRITAS EN FORMA GENERAL x 0 y v 0 valen cero. Reemplazando por los otros datos el asunto queda así: x = t m/s2 t 2 v f = m/s 2 t a = 2 m/s 2 = cte ECUACIONES HORARIAS PARA LA HORMIGA Ahora, dando valores a t voy sacando los valores de x y de v. Con estos valores hago esta tabla: X t V t a t m/s2 0 1 m 1 s 2 m/s 1 s 2m/s2 1 s 4 m 2 s 4 m/s 2 s 2m/s2 2 s Teniendo la tabla puedo representar las ecuaciones horarias. 75