Muestreo y Reconstrucción de

Transcripción

1 Capítulo 2 Muestreo y Reconstrucción de Señales 2.1. Introducción Muchas de las señales de interés práctico proceden de fenómenos físicos que son continuos y por tanto las señales que generan son analógicas. Para procesar de forma digital estas señales es necesario convertir la señal al dominio digital, realizar el procesado y posiblemente volver a transformar la señal al dominio continuo, como muestra la figura 2.1. El primer bloque de la figura es un convertidor de continuo a digital (ADC), el cual x a ADC Sistema digital DAC y a Figura 2.1: Sistema convertidor a digital, etapa de procesado y conversión de nuevo al dominio continuo. consta de tres etapas. En primer lugar es necesario convertir la señal analógica en una señal discreta mediante un convertidor de tiempo continuo a discreto, C/D. Este sistema realiza un muestreo de la señal y una conversión al dominio discreto obteniendo finalmente una secuencia de muestras de la señal. En segundo lugar es necesario realizar una discretización o cuantificación en la amplitud de la señal, de modo que la amplitud de la señal sea representada por un valor seleccionado a partir de un conjunto finito de posibles valores. A este proceso se le llama cuantificación y debido a la pérdida de información que se produce es un proceso no invertible. Finalmente la señal cuantificada se codifica usando una representación digital con un número dado de bits, a esta operación se le denomina codificación. El sistema que realiza todas estas operaciones se le denomina convertidor Analógico Digital (ADC) y se muestra en la figura 2.2. Un ejemplo de señal sinusoidal de tiempo continuo que ha sido muestreada y cuantificada se muestra en la figura 2.3. Las líneas verticales muestran los instantes de muestreo de la señal. Las líneas verticales situadas dentro del rango del cuantificador (±4 ) indican los niveles permitidos de cuantificación de la señal. La señal cuantificada viene dada por los puntos negros x q (n) 1

2 2 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales x a muestreador C/D x[n] cuantificador x q [n] codificador ADC Figura 2.2: convertidor ADC, bloques básicos. estos puntos se pueden interpolar por un interpolador de orden cero generando la señal en escalera que viene dada por la señal x q. La señal digital finalmente queda como Figura 2.3: Señal de tiempo continuo muestreada y cuantizada. una secuencia de números que típicamente vienen dados por una representación binaria. Mediante este procedimiento se obtiene la señal digital apta para su procesado por un sistema digital. Una vez finalizado el procesado suele ser necesario una conversión de la señal digital al dominio analógico mediante un convertidor Digital Analógico (DAC). El diagrama de bloques de DAC viene representado en la figura 2.4. Este sistema realiza una conversión de una señal digital a una señal de tiempo continuo (D/C), posteriormente es necesario realizar una interpolación de la señal para aproximar el valor ésta en los instantes de tiempo entre muestras consecutivas. eóricamente existe un proceso de interpolación óptima también denominada interpolación ideal que permite recuperar la señal analógica original, de la cual proviene la secuencia de entrada al conversor. Este proceso de recuperación se produce de forma exacta, siempre que la señal esté limitada en banda y se haya muestreado con una frecuencia de muestreo suficientemente alta. En la práctica este método resulta excesivamente complejo y se suelen utilizar otros métodos 2 Problemas de ratamiento Digital de Señales

3 2.2. Muestreo y reconstrucción ideal de señales 3 y[n] Convertidor D/C Interpolador Filtro ^y DAC Figura 2.4: convertidor DAC, bloques básicos. de interpolación: interpolación de orden cero, lineal, cuadrática,... Estas técnicas suelen generar ciertas distorsiones en la señal y normalmente requieren de una última etapa de filtrado. La aproximación de interpolación de orden cero (Zero Order Hold) consiste en mantener el valor de la muestra hasta la llegada de la siguiente muestra, de manera que queda una aproximación de la señal en escalera. La aproximación de orden uno consiste en unir las muestras con una línea recta, y así sucesivamente. En primer lugar, tanto los procesos ADC y DAC, como los elementos que los componen son considerados ideales. De este modo, es posible establecer las relaciones entrada/salida en el dominio del tiempo y de la frecuencia de un modo sencillo y elegante. En el caso del ADC se considera la conversión de tiempo continuo a tiempo discreto de forma ideal, también se considera que la operación de cuantificación tiene precisión infinita, por lo tanto se pueden despreciar los efectos del cuantificador y del codificador. Con todas estas consideraciones, el convertidor ADC se considera simplemente como un convertidor C/D ideal. En el convertidor DAC también suponemos condiciones ideales, considerando que la conversión se realiza únicamente en la etapa D/C. Se supone que el elemento D/C genera la señal analógica definitiva sin necesidad de elementos de interpolación extra ni de filtro compensador. Finalmente, se introducen los efectos no ideales y algunos de los problemas prácticos que surgen en la implementación Muestreo y reconstrucción ideal de señales Como se ha mencionado anteriormente, el convertidor (C/D) realiza dos procesos, la operación de muestreo y la conversión a tiempo discreto. El diagrama de bloque del convertidorc/dvienedadoporlafigura2.5.unodelosmétodosdemuestreo yconversión a tiempo discreto más típicos consiste en realizar un muestreo periódico o uniforme, el cual se basa en la selección de muestras de la señal analógica en un intervalo de tiempo uniforme. Matemáticamente, el procedimiento consiste en sustituir la variable t = n, donde es el periodo de muestreo, obteniendo una secuencia de muestras: x[n] = x a (n),n Z (2.1) donde la frecuencia de muestreo es f s = 1/ y viene dada en muestras por segundo. ambién se puede expresar en radianes por segundo, s = 2π/. La diferencia más importante entre la señal analógica y la señal discreta es que la variable independiente de la secuencia es un índice entero donde se ha perdido la dimensión temporal, es decir, se ha producido una normalización temporal. Como veremos, esta relación entre la variable temporal analógica y discreta (n) se transforma en una relación análoga entre el dominio de la frecuencia de tiempo continuo y de tiempo discreto. 3 Problemas de ratamiento Digital de Señales

4 4 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales En general, la operación de muestreo es no invertible porque se produce pérdida de infor- x a C/D x[n] = x a (n) Figura 2.5: Representación de un convertidor C/D ideal. mación de la señal, ya que pueden existir varias señales analógicas diferentes que coincidan en los puntos de muestreo, generando la misma señal muestreada. Sin embargo, si imponemos alguna limitación a las señales analógicas, esta ambigüedad puede resolverse y el proceso pasa a ser invertible. Esta limitación viene dada por el teorema del muestreo. Se puede demostrar que el sistema de la figura 2.5 es una operación lineal pero no invariante en el tiempo Muestreo ideal Para estudiar el proceso de muestreo y conversión a tiempo discreto en el dominio de la frecuencia es interesante dividir el sistema de la figura 2.5 en dos procesos: en primer lugar se realiza un muestreo con un tren de deltas y en segundo lugar se realiza un cambio de dominio de tiempo continuo a tiempo discreto, es decir, se realiza una conversión de tren de impulsos a secuencia. Estos dos procedimientos vienen representados en la figura 2.6. En esta sección se trata el fenómeno de la modulación con un tren de deltas. Para x a x s x a x x s Convertidor impulso / secuencia x[n] = x a (n) t s x[n] C/D ideal n Figura 2.6: Muestreo con un tren de deltas seguido de un convertidor de tren de impulsos en secuencia. obtener las relaciones entre las señales en el dominio de la frecuencia expresamos el tren de deltas: s = δ(t n) (2.2) n= 4 Problemas de ratamiento Digital de Señales

5 2.2. Muestreo y reconstrucción ideal de señales 5 La transformada de Fourier de la señal queda: S = 2π k= donde s = 2π. Finalmente, la señal muestreada queda: x s = x a s = n= En el dominio transformado, la señal muestreada viene dada por: X s = 1 2π X a S = 1 δ( k s ), (2.3) x a δ(t n) (2.4) k= X a ( k s ) (2.5) La transformada de x s consiste en la superposición una copia de X a periódicamente repetida en los múltiplos de la frecuencia de muestreo s. El resultado es una señal periódica en el dominio de la frecuencia con periodo s. En la figura 2.7 se observa una señal de banda limitada con ancho de banda N que ha sido muestreada con una frecuencia s. 1 X a 2π/Τ S Ν Ν s s X s 1/Τ s Ν Ν s s Ν Figura 2.7: Efecto del muestreo ideal en el dominio de la frecuencia, se cumple s > 2 N Reconstrucción Según el valor de s en la figura 2.7 se producen dos situaciones claramente diferenciadas. Si la frecuencia de muestreo es tal que s > 2 N las copias de X a no se solapan, es decir, la señal x a puede recuperarse a partir de x s mediante un filtro paso bajo ideal, H r, como puede verse en la 2.8. El filtro recuperador viene dado por: H r = { N < c < s N 0 resto (2.6) y la señal de salida del filtro queda: X r = X s H r = X a 5 Problemas de ratamiento Digital de Señales

6 6 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales x a H R x R X a 1/Τ s Ν Ν s s Ν Τ H r c c X r 1 Ν Ν Figura 2.8: Recuperación exacta de la señal mediante un filtro paso bajo ideal, se cumple N < c < s N. La segunda situación se produce cuando s < 2 N, en este caso se produce un solapamiento entre las copias del espectro desplazadas, tal y como se muestra en la figura 2.9. Alrededor de s /2 se genera una distorsión del espectro provocada por el solapamiento entre las frecuencias originales del espectro y las frecuencias denominadas alias, produciendo lo que se denomina aliasing. Supongamos una señal x a = cos( 0 t). La transformada de Fourier de la señal son dos 1 X a 2π/Τ S Ν Ν 2 s s s 2 s X s 1/Τ s s Figura 2.9: Solapamiento entre las réplicas del espectro de la señal original cuando s < 2 N deltas centradas en± 0 como se muestra enla figura 2.10 (a). Si la frecuencia demuestreo cumple s > 2 0, la transformada de Fourier de la señal muestreada se presenta en la figura 2.10 (b). Situando un filtro recuperador con una frecuencia de corte de c = s /2 se puede obtener una recuperación perfecta de la señal original. Por el contrario, si la señal se muestrea con una frecuencia s < 2 0, la transformada de Fourier de la señal muestreada se representa en la figura 2.10 (c). Situando un filtro recuperador con una frecuencia de corte de c = s /2 la señal que se obtendría es x r = cos(( s 0 )t). Este fenómeno de aliasing ocurreporque lasfrecuencias 0 y( s 0 ) son diferentes en continuo pero las dos generan la misma señal muestreada. Esta característica se puede entender fácilmente obteniendo las señales muestreadas: la señal orgininal muestreada es: x a (n) = cos( 0 n). s /2 6 Problemas de ratamiento Digital de Señales

7 2.2. Muestreo y reconstrucción ideal de señales 7 Porotrolado,muestreando laseñalx r seobtiene: x r (n) = cos(( s 0 )n) = x a (n). eorema de Nyquist: Sea x a una señal limitada en banda, es decir: X a = 0, > N. La señal está completamente determinada por sus muestras x[n] = x a (n) siempre que s > 2 N X a 0 0 (a) X s H r s 0 0 s s /2 (b) X s H r 0 0 s /2 (c) s Figura 2.10: ransformada de Fourier de la señal x a cuando se muestrea con una frecuencia s > 2 0 y con una frecuencia s < 2 0. Problema 2.1 Obtener la mínima frecuencia de muestreo de la siguiente señal sin perder información. X a 1 2 Figura 2.11: ransformada de Fourier de una señal que se pretende muestrear. Problema 2.2 Sea una señal x = sen, realizar un muestreo a la frecuencia de Nyquist mediante la señal s = δ(t n) y representar las transformadas de Fourier de la señal n= original, de la señal muestreada x s = xs y de la señal discreta x d [n] = x(n). 7 Problemas de ratamiento Digital de Señales

8 8 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales 2.3. Convertidor C/D ideal Un convertidor ADC ideal consta de un C/D ideal y un cuantificador de precisión infinita. Un cuantificador con precisión infinita no realiza ninguna transformación en la señal, por lo tanto, puede despreciarse su labor junto con la del codificador. eniendo en cuenta esta consideración, se estudiará el funcionamiento del convertidor C/D ideal mostrado en la figura 2.12 mediante su relación entrada/salida. En el dominio del tiempo x a x x s Convertidor tren impulsos/ secuencia x[n] = x a (n) s C/D ideal Figura 2.12: Convertidor CD. la relación entrada/salida es simplemente x[n] = x a (n). Esta relación es muy sencilla pero no aporta toda la información de la transformación realizada. Por otro lado, es interesante observar que la transformación es lineal pero no es invariante temporalmente, es decir, el sistema completo no es LI. En el dominio de la frecuencia, la relación entrada/salida hay que realizarla identificando la transformada de Fourier de la salida x[n] y de x s. Recordando la expresión de x s : x s = n= x a (n)δ(t n) (2.7) Su transformada de Fourier viene dada por dos expresiones: X s = x a (n)e jn = 1 ( X a k 2π ) n= k= (2.8) La señal discreta de salida tiene como transformada: X(Ω) = x[n]e jωn = n= n= x a (n)e jωn (2.9) eniendo en cuenta el último término de la ecuación 2.9 y el segundo término de la ecuación 2.8, la relación entre transformadas es: X(Ω) = X s = Ω (2.10) por último, si se considera el último término de la ecuación 2.8, X(Ω) se puede poner como función de X a : X(Ω) = X s = Ω = 1 k= ( ) Ω X a k2π (2.11) 8 Problemas de ratamiento Digital de Señales

9 2.3. Convertidor C/D ideal 9 Luego X(Ω) es una versión escalada de X s, como función de Ω =, la cual a su vez es una suma de diferentes copias de X a escaladas y desplazadas en múltiplos de 2π. Si la señal X s es una señal periódica con periodo 2π/, la señal X(Ω) será periódica con periodo 2π, como corresponde a la transformada de Fourier de una señal de tiempo discreto. Dicho de otro modo, el proceso de conversión C/D en el tiempo simplemente selecciona muestras a intervalos regulares y en el dominio de la frecuencia dota a la transformada de la periodicidad necesaria para corresponder a una señal de tiempo discreto. Si se introduce la señal de la figura 2.7 en un convertidor C/D, las señales implicadas en el convertidor C/D vienen dadas por la señal representada en la figura La normalización en el tiempo ha dado lugar a una normalización en la frecuencia, de modo que si en el tiempo se pasa de segundos a muestras, en el dominio de la frecuencia se pasa de rad/s a rad/muestra. C/D ideal x a x x s Convertidor tren impulsos/ secuencia x[n] = x c (n) X s... 1/Τ... s s Ν Ν s 1 X a X(Ω)... 1/Τ... Ν Ν 2π Ν Ν 2π Ω Figura 2.13: Relación en el dominio de la frecuencia de las señales implicadas en el convertidor C/D. Ejemplo 2.1 Sea una señal x a = Acos( 0 t), la cual se muestrea con una frecuencia f s = 1/: x[n] = Acos( 0 n) = Acos(Ω 0 n) Como puede observarse, la relación entre frecuencias surge de forma natural: Ω 0 = 0 En el ejemplo anterior se ha puesto de manifiesto la relación entre frecuencias en el tiempo continuo y en el tiempo discreto. Merece al pena notar que el intervalo de variación de la frecuencia de tiempo continuo es < < y todas las frecuencias de este intervalo son diferentes. Sin embargo, las frecuencias diferentes en tiempo discreto tienen un intervalo de variación de π < Ω < π, lo cual implica que muestreando la señal de tiempo continuo con un periodo, la correspondencia entre frecuencias no será uno a uno. Para que la correspondencia sea uno a uno, las frecuencias analógicas que se pueden representar sin ambigüedad son: π/ < < π/. Si existen frecuencias fuera de este rango (en tiempo continuo), estas frecuencias producirán ambigüedad con sus alias que pertenecen al intervalo. Este fenómeno está mostrado en la figura 2.14, en la que se muestra la relación entre frecuencias analógicas y discretas. En esta figura puede observarse que no existe una relación uno a uno entre frecuencias. 9 Problemas de ratamiento Digital de Señales

10 10 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales π Ω 3π/Τ π/τ π/τ 2π/Τ π Figura 2.14: Relación entre frecuencias de tiempo continuo y frecuencias de tiempo discreto. Problema 2.3 Representar los espectros de todas las señales intermedias en el sistema de la figura 2.12, cuando la frecuencia de muestreo vale los siguientes valores: f s = 2,3,5KHz. Considere que se muestrea con la señal: s = δ(t n) y la señal de entrada X a es: n= X a 2πKrad/s Figura 2.15: Señal de entrada X a Convertidor D/C ideal Un DAC ideal es un sistema que interpola la señal digital para obtener una señal analógica y desde el punto de vista ideal se pueden despreciar todos los procesos excepto la conversión D/C ideal. En esta sección se estudia la relación entrada/salida del convertidor de tiempo discreto a tiempo continuo como el mostrado en la figura Al igual que x[n] D/C x r Figura 2.16: Representación en diagrama de bloques de un convertidor DC ideal. el convertidor C/D estudiado en la sección anterior, este sistema es lineal pero no es invariante temporal. Si la señal discreta proviene de una señal analógica original, la cual ha sido muestreada cumpliendo el criterio de Nyquist, es posible la recuperación de la señal original mediante un convertidor D/C. Al igual que en el apartado anterior, es conveniente descomponer el convertidor D/C en dos elementos, un convertidor de secuencia a tren de impulsos y un filtro de reconstrucción ideal, tal y como se muestra en la figura El 10 Problemas de ratamiento Digital de Señales

11 2.4. Convertidor D/C ideal 11 x[n] Convertidor secuencia/ tren impulsos x s Filtro ideal de reconstrucción H r x r D/C Figura 2.17: Esquema de funcionamiento de un convertidor DC. primer elemento convierte la señal discreta en una señal muestreada de tiempo continuo, la cual consta de un tren de impulsos: x s = k= x[k]δ(t k) (2.12) Esta señal es posteriormente filtrada para eliminar las copias del espectro situadas en los múltiplos de 2π/, quedando una señal de tiempo continuo similar a la señal original. El filtro paso bajo ideal se muestra en la figura 2.18 y su respuesta al impulso viene dado por: h r = sen( ) πt πt (2.13) Finalmente, la señal de salida del sistema viene dada por la fórmula de interpolación Η r π/ π/ Figura 2.18: Filtro de recuperación, es paso-bajo ideal. ideal para la reconstrucción de la señal en todos los instantes de tiempo: x r = k= x[k]h r (t k) = k= sen x[k] ( π(t k) π(t k) ) (2.14) donde la ecuación 2.14 se denomina la función de interpolación ideal. Merece la pena notar que los ceros de h r hacen que x r (n) = x[n] = x a (n), es decir, en los instantes de muestreo la señal recuperada coincide con la señal original. En el resto de los instantes, las señales con forma de sinc desplazadas se superponen para poder recuperar también los valores originales de la señal, resultando una recuperación ideal. Un ejemplo se puede observar en la figura Problemas de ratamiento Digital de Señales

12 12 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales Amplitud (u.a.) 1 Señal reconstruida 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0, 2 0, t(s) Figura 2.19: Proceso de recuperación de una señal a partir de sus muestras mediante un filtro ideal. Para estudiar el sistema en el dominio de la frecuencia recurrimos a la ecuación 2.11, la cual relaciona la transformada de Fourier de tiempo discreto x[n] con la transformada de Fourier de tiempo continuo x s. Recordando la relación: X s = X() A continuación, la señal pasa por el filtro ideal y la relación entrada salida del sistema queda: { X() < π X r = H r X () = 0 resto Si bien en el tiempo se produce una interpolación de la señal para recuperar la señal analógica, en la frecuencia se produce un filtrado que elimina la periodicidad del espectro de la señal discreta para convertirla en señal analógica. Problema 2.4 Dado el convertidor D/C de la figura 2.17 y la señal de entrada de la figura 2.20, representar la transformada de Fourier de la señal x s y x r. X(Ω) 2π Ω c 2π Ω Figura 2.20: Proceso de recuperación de una señal a partir de sus muestras mediante un filtro ideal. 12 Problemas de ratamiento Digital de Señales

13 2.4. Convertidor D/C ideal 13 A continuación, se muestran dos casos diferentes de señal original, muestreo y reconstrucción. En el primero de ellos, figura 2.21, se considera una señal limitada en banda que se somete a una conversión C/D con varios periodos de muestreo y que posteriormente se pretende recuperar mediante un filtrado ideal. En la figura 2.21 (a) se puede ver la señal y su transformada. En la figura 2.21 (b) se puede observar un muestreo de la señal con una frecuencia que cumple el criterio de Nyquist, por lo tanto no existe solapamiento en las copias del espectro de la señal original. Según va disminuyendo la frecuencia de muestreo comienza a producirse solapamiento entre copias 2.21 (c,d). La reconstrucción de la señal en este último caso genera una señal que, debido al solapamiento espectral, cambia su forma respecto de la original. De hecho, aparece un rizado sobre la señal original que corresponde al alzamiento que se ha producido en las frecuencias altas del espectro. En el Figura 2.21: Ejemplo de una señal limitada en banda que se somete a una conversión C/D y D/C. segundo caso considerado, la señal no está limitada en banda y por lo tanto, es imposible 13 Problemas de ratamiento Digital de Señales

14 14 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales cumplir el criterio de Nyquist. La señal y su transformada son: x a = e A t X a (F) = 2A A 2 +(2πF) 2 y se muestran en la figura 2.22 (a). Es importante observar que tanto la señal como su transformada son decrecientes. Cuando la señal se muestrea a una frecuencia suficientemente grande, el solapamiento entre copias es muy pequeño, ya que el espectro es decreciente y el solapamiento viene dado por las colas de las copias del espectro desplazadas en los múltiplos de la frecuencia de muestreo. En estas condiciones la recuperación de la señal no es perfecta pero se aproxima mucho a la señal original, figura 2.22 (b). En la figura 2.22 (c), la frecuencia de muestreo es más pequeña y la señal recuperada comienza a diferenciarse de la señal original. Es interesante notar que si la señal se hubiera filtrado antes de muestrearse, se hubieran eliminando por completo las colas de la señal y el solapamiento entre copias se hubiera evitado. Esta es una forma de mitigar el el solapamiento y hacer la reconstrucción más precisa. Figura 2.22: Ejemplo de una señal no limitada en banda que se somete a una conversión C/D y D/C. 14 Problemas de ratamiento Digital de Señales

15 2.5. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo En muchas aplicaciones se requiere procesar señales de tiempo continuo mediante procesadores digitales. Para ello, como se ha comentado al principio del capítulo, se utiliza un sistema como el de la figura Los sistemas convertidores C/D y D/C realizan la interface entre tiempo continuo y tiempo discreto y el sistema total es equivalente a un sistema de tiempo continuo. Es importante limitar en banda la señal de entrada para Filtro antisolapamiento x a x[n] Sistema y[n] y a C/D digital D/C H d (Ω) Figura 2.23: Sistema convertidor a digital, etapa de procesado y conversión de nuevo al dominio continuo. preservar la máxima frecuencia deseada y limitar los efectos indeseados del aliasing. Para ello se realiza un prefiltrado de la señal de entrada con un filtro denominado filtro antialiasing. El uso de este filtro también elimina el posible ruido aditivo e interferencias que contenga la señal fuera del rango de frecuencias de interés, ya que las réplicas desplazadas van a introducir sus colas, que contienen el ruido e interferencias, dentro de la banda de frecuencias de interés, generando aliasing. Por otro lado, es necesario ajustar el periodo de muestreo de los convertidores C/D y D/C, que tiene que ser suficientemente grande para preservar la máxima frecuencia deseada de la señal, atendiendo al criterio de Nyquist Relación entrada/salida Para establecer la relación entrada/salida del sistema equivalente de la figura 2.23, es necesario encadenar las relaciones entrada/salida de cada uno de los sistemas que lo componen. En primer lugar, el sistema C/D ideal es un sistema lineal y no invariante en el tiempo que escala el espectro analógico en un factor 1/ y crea una repetición periodica en el espectro con periodo 2π. Las relaciones entrada/salida en el tiempo y en la frecuencia son: x[n] = x a (n) ( X(Ω) = 1 X Ω ) (2.15) a k2π k= El sistema D/C ideal tiene el cometido de escalar el espectro de entrada por un factor y eliminar la región del espectro cuyas frecuencias cumplan: > π/. Las relaciones entrada/salida en el tiempo y en la frecuencia son: y a = k= y[k] h r (t k) Y a = Y () H r (2.16) Suponemosqueelsistemaintermedio esunsistema LIquevienedadoporsurespuesta en frecuencia H(Ω). El sistema realiza el procesado digital y relaciona la salida del convertidor 15 Problemas de ratamiento Digital de Señales

16 16 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales C/D con la entrada del convertidor D/C: Y (Ω) = X (Ω)H d (Ω) (2.17) Finalmente, componiendo todas las relaciones, la salida del sistema queda en el dominio transformado: Y a = H r H() 1 ( X a k 2π ) (2.18) k= Si la señal es limitada en banda y se muestrea cumpliendo el criterio de Nyquist, entonces el filtro recuperador situado en el convertidor D/C filtrará todas las copias del espectro de la señal de entrada que están desplazadas, dejando pasar el espectro original. La relación entrada/salida en estas condiciones queda: Y a = { Hd ()X a < π 0 resto (2.19) eniendo en cuenta el resultado anterior, es posible definir un sistema LI analógico equivalente cuya respuesta en frecuencia queda: H a = { Hd () < π 0 resto (2.20) De modo que la relación entrada/salida en el dominio de la frecuencia queda: Y a = H a X a (2.21) Merece la pena recordar que para que se cumplan las ecuaciones 2.19, 2.20 y 2.21 es necesario que el sistema discreto sea LI, que la señal de entrada sea limitada en banda y que se cumpla el criterio de Nyquist en el muestreo, es decir, que no haya solapamiento con las réplicas del espectro de la señal. Ejemplo 2.2 eniendo en cuenta un filtro digital, ideal, paso bajo y de frecuencia de corte Ω c como el de la figura 2.24: Η d (Ω) 2π Ω c Ω c 2π Ω Figura 2.24: Filtro digital ideal paso bajo. se puede obtener un filtro analógico equivalente usando un sistema como el de la figura 2.23, el cual viene dado por: H a = { Hd () < π 0 resto (2.22) 16 Problemas de ratamiento Digital de Señales

17 2.5. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo 17 y su representación gráfica viene dada por la figura 2.25: Η a Ω c / Ω c / Figura 2.25: Filtro digital ideal paso bajo. Merece la pena resaltar que el filtro analógico depende de Ω c y, de modo que con un único filtro digital podemos conseguir diferentes filtros analógicos modificando el periodo de muestreo. Problema 2.5 Representar la transformada de Fourier de y a del sistema de la figura 2.26 para los siguientes casos: 1/ 1 = 1/ 2 = 10 4 Hz 1/ 1 = 1/ 2 = Hz 1/ 1 = Hz, 1/ 2 = 10 4 Hz 1/ 1 = 10 4 Hz, 1/ 2 = Hz x a C/D H d (Ω) D/C y a 1 X a 2 10π 10π (Krad/s) 1 H d (Ω) π/2 π/2 Ω Figura 2.26: Filtro digital ideal paso bajo Simulación de sistemas analógicos En la sección anterior se ha obtenido un sistema analógico equivalente al sistema de la figura 2.23, dicho sistema se representa en la figura Problemas de ratamiento Digital de Señales

18 18 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales x a H a y a Figura 2.27: Filtro analógico equivalente. Un sistema digital funcionando dentro de un sistema como el de la figura 2.23 genera una relación entrada salida que viene dada por: H d (Ω) Y a = { Hd ()X a < π 0 resto (2.23) ambién se puede plantear el problema inverso: dado un sistema analógico, encontrar el sistema digital que realiza la misma transformación. Según la ecuación 2.23, para poder simular un sistema analógico es necesario que esté limitado en banda en el intervalo < π/, es decir: ( ) Ω H a, < π H d (Ω) = H a, Ω < π (2.24) Si H a no está limitado en la banda [ π/,π/] pero la señal de entrada si lo está, entonces solo se utilizan las frecuencias dentro de este rango. En este caso se puede limitar en banda H a de forma artificial, considerando solo la región < π/ Respuesta al impulso invariante Dado un sistema digital situado entre un convertidor C/D y D/C, se ha considerado el cálculo de un sistema analógico equivalente, por otro lado, dado un sistema analógico se ha considerado el sistema digital que lo simula. En todos los cálculos y deducciones se ha utilizado el dominio de Fourier. En esta sección se estudian las transformaciones en el dominio del tiempo, para ello se considera un sistema analógico dado por una función sistema H a. Este sistema se simula mediante un sistema digital con la respuesta en frecuencia: ( ) Ω H d (Ω) = H a k2π (2.25) k= Es decir, es necesario considerar la respuesta en frecuencia analógica como función de Ω/ y una colección de copias situadas en los múltiplos de 2π. Esta transformación en la frecuencia es equivalente al muestreo en el dominio del tiempo, es decir, si el sistema analógico tiene una respuesta al impulso de h a, el sistema digital viene definido por el muestreo de h a multiplicándolo por : h d [n] = h a (n). (2.26) Es sencillo demostrar que la respuesta en frecuencia de h d [n] viene dada por la ecuación 2.25, ya que es la misma relación en la frecuencia que la de un convertidor C/D actuando sobre una señal de entrada h a. El factor es necesario para que su transformada coincida con la del sistema equivalente. Es decir, se puede conseguir un sistema digital equivalente a uno analógico simplemente muestreando su respuesta al impulso. Merece la pena recordar que el sistema analógico debe estar limitado en banda para que esta técnica funcione. 18 Problemas de ratamiento Digital de Señales

19 2.6. Procesado de tiempo continuo de señales de tiempo discreto 19 Ejemplo 2.3 A continuación se muestra un ejemplo de la aplicación de la respuesta al impulso invariante. Sea un filtro analógico con una respuesta en frecuencia: H a = Su función de respuesta al impulso es: { 1 < c 0 resto h a = sen( ct) πt eniendo en cuenta la ecuación 2.25, su equivalente digital es: { 1 Ω < c H d (Ω) = 0 c < Ω < π por lo tanto, la respuesta al impulso digital es: h d [n] = sen( cn) πn La cual se corresponde con el muestreo de la analógica. (2.27) Problema 2.6 Calcular la respuesta en frecuencia de un sistema digital que simule a un diferenciador analógico para procesar señales limitadas en banda con M = π/. Suponer una señal de entrada x a = cos( 0 t). Obtener la entrada digital y su transformada de Fourier y la salida digital y su transformada. Nota: el diferenciador tiene unas relación entrada/salida: y a = dx a dt 2.6. Procesado de tiempo continuo de señales de tiempo discreto En ocasiones suele ser interesante plantearse la situación inversa a la estudiada, es decir, la simulación de un sistema digital mediante un sistema analógico, tal y como se muestra en la figura Para calcular el sistema digital efectivo es necesario tener en cuenta las relaciones de entrada/salida de cada uno de los elementos. En primer lugar, la relación entrada/salida del convertidor D/C queda: x a = x[n] h r (t n) k= { X(), < π X a = 0 resto 19 Problemas de ratamiento Digital de Señales

20 20 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales x[n] x a Sistema y a y[n] D/C analógico C/D H a H d (Ω) Figura 2.28: Sistema convertidor a digital, etapa de procesado y conversión de nuevo al dominio continuo. La relación entrada salida del convertidor C/D queda: y[n] = y a (n) Y (Ω) = 1 Y a( Ω ), Ω < π yfinalmenteseconsideraunssitemaanalógicoliquevienedadopor:y a = X a H a. Con todas estas relaciones, encadenando todas las entradas y salidas finalmente queda un sistema digital efectivo: ( ) Ω H d (Ω) = H a, Ω < π A continuación se presenta un ejemplo donde es necesario simular un sistema digital mediante uno analógico. Ejemplo 2.4 En ocasiones es necesario dotar de sentido físico a algunos sistemas digitales que no lo tienen, por ejemplo, un sistema digital que venga dado por su respuesta en frecuencia: H d (Ω) = e jω, Ω < π Si es un número entero el sistema realiza un retardo temporal: y[n] = x[n ] si no es entero, se puede definir el retardo temporal mediante un sistema de procesado continuo equivalente como el de la figura La señal de entrada se transforma al dominio del tiempo continuo, se desplaza una cantidad según la respuesta enfrecuencia delsistema analógicoequivalente: H a = e j ylaseñal analógica se desplaza mediante: y a = x a (t ). Con estas consideraciones, la señal digital queda: y[n] = y a (n). Un ejemplo de este tipo de transformación se muestra en la figura Cuantificación Hasta ahora se ha considerado que existe una precisión infinita en la representación digital de los datos, por lo tanto, se han despreciado las etapas de cuantificación y codificación. En una aproximación más realista, es necesario considerar la precisión finita y su efecto sobre los sistemas. Una señal discreta es una secuencia de números que puede 20 Problemas de ratamiento Digital de Señales

21 2.7. Cuantificación 21 Figura 2.29: Señal discreta y señal analógica original (a), desplazamiento de la señal analógica y discretización. tomar cualquier valor dentro de un rango continuo. Para obtener una señal digital es necesario representar o codificar los números mediante una cantidad finita de bits, es decir, mediante un conjunto discreto y finito de niveles de cuantificación. La cuantificación consiste en asignar a cada amplitud de la señal un nivel de cuantificación, proceso no lineal y no invertible. La cuantificación introduce inevitablemente una distorsión en la señal, que da lugar al error de cuantificación. Este error suele considerarse como un ruido de cuantificación sobre la señal original. El procedimiento para la cuantificación consiste en dividir el rango de amplitudes de la señal de entrada en L + 1 niveles de cuantificación, denominados: x 1,...,x L+1. Los niveles de cuantificación definen L intervalos y a cada uno de estos intervalos se le asocia un valor de cuantificación, ˆx 1,...,ˆx L. Si la señal x[n] está dentro del intervalo: I k = {x k < x[n] x k+1 }, k = 1,...,L se le asocia un valor de cuantificación ˆx k. Esta asignación la realiza matemáticamente el operador Q[ ]: x q [n] = Q[x[n]] = ˆx k, si x[n] I k (2.28) En la figura 2.30 se muestran los niveles, los intervalos, los valores de cuantificación y el escalón de cuantificación. Como puede observarse, el espaciado de los escalones de cuantificación es uniforme, en este caso el cuantificador se denomina uniforme o lineal. ípicamente se usan cuantificadores uniformes para realizar un procesado digital de la señal, no obstante, para aplicaciones de almacenamiento y transmisión de señales puede no ser uniforme. La diferencia entre el máximo valor de la señal y el mínimo R = x L+1 x 1 se denomina rango dinámico del cuantificador. ípicamente el cuantificador suele ser bipolar, es decir el valor máximo y el mínimo son opuestos uno del otro y la escala es simétrica respecto del 0, x 1 = x L+1. El funcionamiento de un cuantificador viene dado por su función característica, en la figura 2.31 se representa una función característica típica de un cuantificador uniforme. Como se puede observar el valor del cuantificador viene dado por el redondeo del valor de la señal al valor de cuantificación más cercano. La cantidad de valores de cuantificación debe ser un número par (2 b+1 ), si se requiere la codificación del 0 21 Problemas de ratamiento Digital de Señales

22 22 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales x 1 x 2 x 3 x L+1 x ^ ^ 1 x 2 x ^ 3 Rango Figura 2.30: Niveles, intervalos y los valores de cuantificación. entonces el rango queda asimétrico. En la figura se muestran 8 valores de cuantificación, de los cuales uno es el cero, tres positivos y cuatro negativos. ambién puede observarse el error cometido por la cuantificación, el cual oscila entre: /2 < e q [n] /2 debido al redondeo que se produce en la señal. El error cometido por la cuantificación se define como: e q [n] = x q [n] x[n]. (2.29) Una vez cuantificados los valores, es necesario codificarlos y para ello, si la señal consta de ^x[n] R 3 2 x min x max 9 /2 7 /2 5 /2 3 /2 /2 /2 3 /2 5 /2 7 /2 - x[n] -2-3 /2-4 ^ e q [n]=x[n]-x[n] - /2 x[n] Figura 2.31: Función característica de un cuantificador uniforme. Lvalores, esnecesario una cantidadb+1 de bitstal que: L = 2 b+1. Conesta consideración, el escalón de cuantificación se calcula como: = R 2b+1, (2.30) donde R es el rango dinámico del cuantificador. Merece la pena notar que cuando aumenta el número de bits, disminuye el escalón de cuantificación y por tanto disminuye el error cometido en la cuantificación. 22 Problemas de ratamiento Digital de Señales

23 2.7. Cuantificación 23 En los convertidores ADC reales pueden existir multitud de desviaciones respecto del comportamiento ideal, pueden existir problemas de offset en las transiciones de los escalones, errores en los factores de escala (o ganancia) de la señal de entrada, no linealidades en la separación de escalores de cuantificación, etc Análisis de errores de cuantificación Para estimar el error cometido por el ADC debido a la cuantificación es necesario realizar un estudio estadístico, ya que el error depende de las características de la señal en cada punto y estas son desconocidas. Por otro lado, el comportamiento del cuantificador es no lineal y por tanto muy complicado de tratar de forma determinista. Desde el punto de vista estadístico se asume que el error es de naturaleza aleatoria y se considera como un ruido aditivo a la señal, de este modo el cuantificador se puede modelar matemáticamente como el sistema mostrado en la figura Si los valores de la señal x[n] Cuantizador Q[.] ^x[n] x[n] + ^x[n]=x[n]+e[n] e[n] Figura 2.32: Cuantificador y modelo estadístico. de entrada están dentro del rango dinámico del cuantificador, el error de cuantificación estará acotado: e q [n] < /2, este tipo de error se suele denominar ruido granular. Por el contrario, si la señal de entrada está fuera del rango, se produce un desbordamiento que genera un recorte de la señal y un valor del error que está descontrolado, este caso no será considerado. Para caracterizar el modelo estadístico del error es necesario suponer algunas características razonables: El error e q [n] está uniformemente distribuido en el rango [ /2, /2]. El error se considera un ruido blanco estacionario, es decir, no está correlacionado en el tiempo. El error no está correlacionado con la señal de entrada. La señal de entrada es estacionaria y de media cero. Estas suposiciones se cumplen razonablemente bien cuando la señal varia de un modo complicado y los escalones de cuantificación son suficientemente pequeños, de modo que entre muestras sucesivas de la señal existan varios escalones de cuantificación. Con estas consideraciones, la función de densidad de probabilidad del ruido de cuantificación es uniforme y de media cero, como se muestra en la figura El efecto del ruido de cuantificación sobre la señal se suele cuantificar mediante la relación señal a ruido de cuantificación (SQNR), la cual se define como: SQNR = 10log 10 P x P e, (2.31) 23 Problemas de ratamiento Digital de Señales

24 24 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales p(e) 1/ - /2 /2 e Figura 2.33: Función de densidad de probabilidad del ruido de cuantificación. donde P x = σx 2 = E[x2 (n)] es la potencia promedio de la señal y P e = σe 2 = E[e2 q (n)]. La potencia del error de cuantificación queda: P e = σ 2 e = /2 /2 e 2 p(e)de = 2 2. (2.32) Sustituyendo la potencia en la ecuación 2.31 y teniendo en cuenta la relación 2.30 queda: SQNR = 10log 10 P x P e = 20log 10 σ x σ e = 6,02b+16,81 20log 10 R σ x (2.33) En esta ecuación se pone de manifiesto que cada bit que se añada al cuantificador aumenta 6dBs aproximadamente la SQNR. Es interesante analizar el último término de la ecuación, el cual relaciona el rango dinámico del cuantificador con la varianza de la señal. Si la varianza toma un valor demasiado grande la amplitud de la señal supera al rango dinámico y se produce un desbordamiento que implica un recorte de la señal. Si la varianza es demasiado pequeña, la relación SQNR disminuye. Por lo tanto, es necesario adaptar lo mejor posible el rango de variación de la señal al rango dinámico del cuantificador. Si consideramos una señal de entrada con una función de distribución de probabilidad Gaussiana y extendemos el rango dinámico del cuantificador a R = 6σ x, la ecuación anterior queda: SQNR = 6,02b + 1,25 (2.34) Como un ejemplo, en grabación y reproducción de música digital de alta fidelidad se usa un SQNR entre 90 y 96dBs. Esto implica un convertidor DAC con un cuantificador de al menos 16 bits Codificación Existen diferentes representaciones para codificar los números, cada una de las cuales tiene sus ventajas e inconvenientes. En esta sección se realiza una revisión, a modo de recordatorio, de las técnicas de representación de números más interesantes. ípicamente, ésta suele ser la última etapa de un convertidor ADC en la cual se realiza la codificación binaria de la señal. odos los números se pueden representar mediante una descomposición polinómica en función de una determinada base, la más típica es la base decimal aunque se puede utilizar cualquier otra. En particular, en sistemas digitales se utiliza una representación binaria, 24 Problemas de ratamiento Digital de Señales

25 2.8. Codificación 25 es decir, con base 2. Sea un número con parte entera y parte fraccional dado por: X = ( ) b x a... x 1 x 0, x 1... x b = x r i r i, 0 x i r 1 (2.35) donde x i representa los dígitos o bits, r es la base, a es el número de dígitos enteros y b es el número de dígitos fraccionales. En el caso binario, los dígitos únicamente pueden tomar valores {0,1}. El dígito situado más a la izquierda, x a se denomina el bit más significativo (MSB, most significative bit) y el dígito situado más a la derecha, x b es el bit menos significativo (LSB, least significative bit). El punto o coma entre los bits x 0 y x 1 no existe físicamente en los computadores, para su gestión se diseñan los circuitos lógicos para asumir el punto o coma en la posición que se haya prefijado. Un número de bits disponible para representar un número hace que solo se puedan representar una cantidad de números finita. El proceso de cuantificar convierte las amplitudes de la señal en otras aproximadas que pueden ser representadas con un número determinado de bits. odas las operaciones implicadas en el procesado digital también están sujetas a los efectos provocados por el hecho de tener un número finito de bits (longitud finita de la palabra o efectos de precisión finita), cualquier operación con números digitales puede generar un resultado que no se pueda representar con el número de bits disponible y en ese caso es necesario volver a realizar una cuantificación mediante redondeo o truncamiento del valor del número. Este procedimiento se le denomina aritmética de precisión finita y genera errores cuyo valor depende del número de bits utilizado. Estos errores se propagan a lo largo de los procedimientos implicados en un algoritmo y pueden generar resultados erróneos, incluso divergencias e inestabilidades del propio algoritmo Representación de punto fijo Debido a que la gestión de la posición del punto decimal de los números puede ser complicada, se suelen considerar números que solo tienen parte fraccional. Merece la pena notar que cualquier número con parte entera y fraccional se puede considerar fraccional sacando como factor común r a. Para un número positivo que sea puramente fraccional la representación de punto fijo consiste en poner el bit más significativo a 0 y el resto: i= a X = 0. x 1 x 2...x b = b x i 2 i (2.36) i=1 de manera que la representación usa b + 1 bits, por lo tanto tiene una capacidad para representar 2 b números positivos con una distancia entre números consecutivos de 2 b. Para la representación de los números negativos existen varias alternativas: Signo y magnitud: Se pone el bit más significativo a 1 quedando X = 1. x 1 x 2...x b. Complemento a uno: Consiste en obtener la representación del número positivo y cambiar todos los bits por sus complementarios a uno, es decir, si el bit vale 1 su complementario vale 0 y si el bit vale 0, su complementario vale 1. X 1C = 1. x 1 x 2... x b, (2.37) 25 Problemas de ratamiento Digital de Señales

26 26 2. Muestreo y Reconstrucción de Señales donde x i = 1 x i. Los números representados están distribuidos en un rango [ (1 2 b ),1 2 b ]. El cero está representado cos dos números diferentes, con todos los bits a cero y con todos los bits a uno. Complemento a dos: consiste en representar el número positivo resultante de sumar 2 al número negativo que queremos representar. Una técnica más sencilla para obtenerlo consiste en obtener el complemento a uno y sumarle un número que consiste en el bit menos significativo. La suma se realiza en módulo 2 e ignorando en la suma el bit más significativo: X 2C = 1. x 1 x 2... x b , (2.38) Con este método los números representados están distribuidos en un rango [ 1, 1 2 b ], por lo tanto es un código asimétrico. Por otro lado, el cero está representado con un solo número. Una característica muy importante de la aritmética de la suma es que si la suma final de un conjunto de sumandos está dentro del rango de representación el cálculo será correcto, incluso si las sumas parciales producen desbordamiento ( overflow, valores fuera del rango de representación). Cada tipo de representación tiene unas reglas aritméticas asociadas. ípicamente se usa la representación de complemento a 2, ya que es la más utilizada por los procesadores digitales de la etapa de procesado que suele venir a continuación. Debido a que ésta representación permite codificar números en el intervalo [ 1, 1), normalmente la señal de entrada suele ser escalada para que exista una correspondencia directa Representación de punto flotante En una representación de punto fijo que cubra un rango de números de x max xmin la resolución viene dada por: = x máx x mín, (2.39) m 1 donde m = 2 b es el número de niveles de cuantización y b es número de bits utilizados. Al rango de valores x max xmin que es posible representar se le denomina rango dinámico. Para un rango dinámico dado la resolución es fija, si aumenta el rango dinámico disminuye la resolución. En muchas ocasiones es necesario tener una resolución variable, es decir, que permita obtener más resolución para números más pequeños y menos resolución para números más grandes. Al mismo tiempo es necesario aumentar el rango dinámico de la representación. Estas características se consiguen con la representación de punto flotante. Un número flotante binario viene dado por la mantisa M, la cual es la parte fraccional de un número que esté en el rango 1/2 M < 1 ( si está fuera de este rango se saca factor común 2), y por un factor exponencial 2 E, donde E es un número entero positivo o negativo. El número X se representa por: X = M 2 E (2.40) anto la mantisa como el exponente requieren un bit para el signo. Un ejemplo de representación del 5 puede ser: (0,101000) Problemas de ratamiento Digital de Señales

27 2.9. Consideraciones prácticas 27 Debido a la multiplicación por la exponencial, la resolución depende del módulo del número que se representa, además se aumenta el rango de valores representados. Con este tipo de representación se aumenta la precisión de los cálculos a costa de un mayor procesado, ya que el tipo de aritmética necesaria es más compleja. Por ejemplo, para sumar dos números requiere que el exponente sea el mismo, por lo tanto es necesario realizar una adaptación previa de los números. Los detalles de la definición del formato de punto flotante están descritos en el standard IEEE 754 el cual define varios niveles de precisión, media (16 bits), simple (32 bits), doble (64 bits) y cuádruple (128 bits). Por ejemplo, en el caso de doble precisión que es la más utilizada por computadores de uso general (por ejemplo, Matlab por defecto) viene dada por: Un bit para el signo. 11 bits para el exponente E 52 bits para la mantisa Consideraciones prácticas Hasta ahora hemos tratado la conversión ADC y DAC como operaciones ideales, las cuales nos han permitido obtener una descripción matemática elegante de la simulación de sistemas analógicos mediante sistemas digitales y viceversa. En la práctica no es tan sencillo, en primer lugar las señales no están limitadas en banda y los filtros disponibles no son ideales, por lo tanto no pueden limitar las señales en banda. Además, los convertidores CD y DC son dispositivos electrónicos que solo pueden ofrecer una aproximación al comportamiento ideal. En las siguientes secciones trataremos una aproximación más realista al convertidor ADC y DAC Convertidores ADC El ADC es un dispositivo que convierte una señal de voltaje o corriente en un código binario que representa valores discretos de amplitud lo más cercanos posible a la amplitud de la señal de entrada. En un sistema real, cada segundos tiene que salir una muestra digital y en ese tiempo tiene que realizarse el muestreo, la cuantificación y la codificación. Para que el sistema funcione correctamente, es necesario que el muestreo obtenga una muestra y mantenga su valor hasta que se hayan completado todas las operaciones. Este tipo de muestreo se denomina muestreo y retención (Sample and Hold, S/H) sustituye al convertidor CD ideal y se antepone al procedimiento de cuantificación y codificación. El S/H permite que la cuantificación y codificación no sea instantánea y dota al sistema del tiempo suficiente para que realice sus tareas. Si no se realiza la retención y la señal de entrada cambia en una cantidad superior a la mitad del escalón de cuantificación, la cuantificación y codificación será erronea. Por esta razón, para sistemas de resolución moderada o alta (a partir de unos 12 bits por muestra) con gran ancho de banda es imprescindible el S/H. El circuito que realiza la operación S/H está controlado digitalmente y su funcionamiento es seguir las variaciones de la señal durante el modo muestreo (S) y retener el valor de la señal durante el modo retención (H). La señal de entrada y salida al S/H se puede ver en la figura El tiempo necesario para realizar la cuantificación 27 Problemas de ratamiento Digital de Señales