Tema 1 Muestreo de señales continuas. 3º Ingeniería Sistemas de Telecomunicación EPS Univ. San Pablo CEU

Transcripción

1 ema Muestreo de señales continuas 3º Ingeniería Sistemas de elecomunicación EPS Univ. San Pablo CEU

2 Muestreo Periódico

3 Muestreo periódico Conversor C/D x c (t ) x s (t ) Conversión de tren x [n ]=x c (n ) de impulsos en secuencia discreta s(t ) DS EPS-San Pablo CEU 3

4 Representación del muestreo en el dominio de la frecuencia Dominio del tiempo x c (t ) Dominio de la frecuencia X c ( jω ) Applet: g/index.html Ω Ω N Ω N S( j Ω) s(t )= δ(t n ) n= Ω s 3Ω s 2Ω s Ω s 0 X s ( jω) Ω s 2Ω s 3Ω s Ω x s (t )= x c (n )δ(t n ) n= x [n ]=x c (n ) 0 Ω N Ω s Ω N X (e jω ) Ω ω 6π 4π 2π 0 2π 4π 6π DS EPS-San Pablo CEU 4

5 Representación del muestreo en el dominio de la frecuencia Dominio del tiempo x c (t ) s(t )= n= x [n ]=x c (n ) δ(t n ) x s (t )= x c (n )δ(t n ) n= Dominio de la frecuencia X c ( jω ) S( j Ω)=Ω s k= δ(ω k Ω s ) X s ( jω)= 2π X c ( jω) S ( j Ω)= X (e jω )= n= Ω s = 2π x [n ]e jωn = x c (n )e jωn n= k= X c ( j(ω k Ω s ))= x c (n )e j Ω n n= (.) (.2) (.3) (.4) (.5) (.6) X (e jω )=X s ( jω) X (e jω )= k= X (e jω )= k= X c ( j( ω k 2π )) X c ( j(ω k Ω s )) ω= Ω DS EPS-San Pablo CEU 5

6 Aliasing Se produce aliasing cuando Ω N >Ω s Ω N X s ( jω) (.7) Ω DS EPS-San Pablo CEU 6

7 Aliasing No aliasing Ω s Ω s 2 Ω s 2 Ω s Casi aliasing Ω s Ω s 2 Ω s 2 Ω s Aliasing y cambio de fase Ω s Ω s 2 Ω s 2 Ω s DS EPS-San Pablo CEU 7

8 Filtro Anti-aliasing Conversor C/D x c (t ) H aa ( jω) x a (t ) x s (t ) Conversión de tren de impulsos en x [n ]=x c (n ) secuencia discreta s(t ) H aa ( jω) Ω Ω s 2 Ω s 2 DS EPS-San Pablo CEU 8

9 Reconstrucción de la señal Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia X r ( j Ω) x r (t )=x s (t ) h r (t ) Ω H r ( j Ω) Ω N Ω N Ω Ω s 2 Ω s 2 X s ( jω) x s (t )= x [n] δ(t n ) n= Ω s 2 Ω s 2 Ω x [n ]=x c (n ) X (e jω ) ω 6π 4π 2π π 0 π 2π 4π 6π DS EPS-San Pablo CEU 9

10 Reconstrucción de la señal Conversor D/C x [n ]=x c (n ) Conversión de secuencia discreta en tren de impulsos x s (t ) H r ( j Ω) x c (t ) s(t ) H r ( j Ω) Ω Ω s 2 Ω s 2 (.0) DS EPS-San Pablo CEU 0

11 Reconstrucción de la señal Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia x r (t )=x s (t ) h r (t )= n= x [n]h r (t n ) X r ( j Ω)=H r ( jω) X s ( jω)=h r ( jω) X (e jω ) h r (t )=sinc ( t ) (.) (.2) x s (t )= x [n] δ(t n ) n= x [n ]=x c (n ) (.3) n= (.4) [.3] (.5) (.6) X s ( jω)= X (e jω )= n= x[n ]e j Ω n =X (e j Ω ) x [n ]e jωn DS EPS-San Pablo CEU

12 Reconstrucción de la señal x r (t )=x s (t ) h r (t )= n= sen[ π (t n )/ ] x [n ]h r (t n )= x [n ] n= π (t n )/ h r (t )=sinc ( t ) DS EPS-San Pablo CEU 2

13 eorema del muestreo (.7) Sea una señal x c (t ) limitada en ancho de banda cuya frecuencia máxima es f max. Entonces, esta señal se puede recuperar exactamente a partir de sus muestras tomadas a una frecuencia mediante la función de interpolación interpolación es h r (t )=sinc ( t ) x r (t )=x s (t ) h r (t )= n= =f s 2f max.la fórmula correspondiente de x [n ]h r (t n ) DS EPS-San Pablo CEU 3

14 Cambio de la Frecuencia de Muestreo

15 Cambio de la frecuencia de muestreo x c (t ) C/D x [n] D/C x c (t ) C/D x' [n ] ' x [n ]=x(n ) x' [n ]=x (n') DS EPS-San Pablo CEU 5

16 Reducción de la frecuencia de muestreo x [n ] M x d [n ]=x [nm ]=x c (nm ) '=M (.2) [.4] X (e jω )= X c ( j( ω k 2π )) r=i+km k= X d (e jω )= ' r= M = M i=0 X c ( j( ω 2π r ' ' ))= M k= r= X c ( j( ω M r 2π M ))= X c ( j( ω M k 2π i 2π M ))= M i=0 M X ( e j ( ω M 2πi M )) <k< 0 i M (.22) DS EPS-San Pablo CEU 6

17 Reducción de la frecuencia de muestreo X (e jω ) 4π 2π 0 2π 4π X (e j ω2 ) 4π 0 4π X (e j ω 2 π ) 2π 2π 2 X d (e jω )= 2 X (e j ω2 )+ 2 X (e j( ω 2 π ) ) 4π 2π 0 2π 4π DS EPS-San Pablo CEU 7

18 Reducción de la frecuencia de muestreo X (e jω ) ω= Ω 2π 0 ω N =Ω N 2π 2π M 0 X d (e jω ) 2π ω= Ω'=Ω M ω' N =Ω N '=Mω N x [n] LPF Gª= Corte= π M x [n ] x d [n ]= x [nm ] M DS EPS-San Pablo CEU 8

19 Incremento de la frecuencia de muestreo x [n ] L x i [n ]=x c (n / L ) '= /L (.23) (.24) x e [n ]={ x[n/ L ] n= 0,±L,±2L,... 0 resto } = k= x[ k ]δ[ n kl] X e (e jω )= x[ k ]e jωkl =X (e jωl ) k= (.25) DS EPS-San Pablo CEU 9

20 Incremento de la frecuencia de muestreo X (e jω ) ω= Ω 2π 0 ω N =Ω N 2π X e (e jω ) 2π π 0 π 2π ω= Ω'=Ω/ L ω' N =Ω N '= ω N L x [n] L x e [n ] LPF Gª=L Corte= π L x i [n ] DS EPS-San Pablo CEU 20

21 Incremento de la frecuencia de muestreo x [n] L x e [n ] LPF Gª=L Corte= π L x i [n ] h i [n ]=sinc( n L ) (.27) x i [n ]=x e [n ] h i [n]= k= x e [ kl]h i [ n kl] (.26) { h i [n ]= n } n <L L 0 resto (.28) DS EPS-San Pablo CEU 2

22 Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional x c (t ) C/D x [n] D/C x c (t ) C/D x' [n ] ' x [n ]=x(n ) x' [n ]=x (n') '= M L DS EPS-San Pablo CEU 22

23 Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional x [n] L LPF Gª=L Corte= π L LPF Gª= Corte= π M M x' [n ] x [n ] L LPF Gª=L Corte= min { π M, π L } M x' [n ] DS EPS-San Pablo CEU 23

24 Procesado discreto de señales continuas

25 Procesado discreto de señales continuas x c (t ) x [n ] y [n ] C/D H (e jω ) D/C y c (t ) [.4] X (e jω )= [.2] X c ( j( ω k= k 2π )) Y (e jω )=H (e jω ) X (e jω ) Y c ( jω )=H r ( j Ω)Y (e jω ) Y c ( jω )=H eff ( jω )X c ( jω ) H eff ( jω )={ H (e j Ω ) Ω <π } H 0 resto (.8) (e jω )=H eff ( j ω ) ω : ω <π (.9) Invarianza de la respuesta al impulso h[ n ]=h eff (n ) (.20) [.4] DS EPS-San Pablo CEU 25

26 Procesado discreto de señales continuas Ejemplo: y c (t )= dx c (t ) dt Im {H c ( jω )} Ω H c ( jω)=j Ω H eff ( jω )={ jω Ω <π } 0 resto H (e jω )=j ω ω: ω <π π π Im {H eff ( j Ω)} Im {H (e jω )} π π Ω [0.25] 0 n=0 h[ n cosπn ]={ n 0} n π π π ω π DS EPS-San Pablo CEU 26

27 Ejemplo: Procesado discreto de señales continuas H c ( jω)=h eff ( jω)={ Ω <Ω c :Ω c <π } 0 resto Ω c H c ( jω) Ω c Ω h(t )= Ω c π sinc ( Ω c π t ) H (e jω ) h[ n]=h(n )= Ω c π sinc ( Ω c π n ) = ω c π sinc ( ω c π n ) ω ω c ω c H (e )={ jω ω <ω c :ω c <π } 0 resto [.] ω c =Ω c π ω<π DS EPS-San Pablo CEU 27

28 Muestreo de señales paso banda DS EPS-San Pablo CEU 28

29 Muestreo de señales paso banda X c ( jω ) Ω s 2(Ω c +Ω N )!! Ω Solución: Muestrear el equivalente paso bajo Ω c 0 Ω c Ω N Ω c Ω c +Ω N [0.53] x(t )=x c (t )cosω c t x s (t )sinω c t Supongamos que Ω c +Ω N =k (2 Ω N ) Ω s =2(2 Ω N ) El ancho de banda de la señal equivalente paso bajo es Ω N. La idea es muestrear la componente en fase y en cuadratura por separado (.52) (.53) Nyquist DS EPS-San Pablo CEU 29

30 Muestreo de señales paso banda [0.53] (.54) x(t )=x c (t )cosω c t x s (t )sinω c t x[n ]=x(n )=x c (n )cosω c n x s (n )sinω c n= =x c (n )cos ( πn 2k 2 ) x s (n )sin ( πn2k 2 ) = = x ( m')( ) n= 2m = 0 m c k+ m ( ) xs ( m' )( ) n 2m m=0 m=0 m= m= m=2 m=2 =2 Ω ' s =2Ω N (.55) t Ω c +Ω N =k (2 Ω N ) Ω s =2(2 Ω N )= 2π [.52,.53] Ω c Ω c +Ω N =k (2 Ω N ) Ω N = 2k Ω s =2(2 Ω N )= 2π Ω N = π 2 Ω c 2k = π 2 Ω 2k c =π 2 DS EPS-San Pablo CEU 30

31 Muestreo de señales paso banda Reconstrucción de cada una de las componentes 0 t x[0]=x c [0 ]( ) 0 x[ ]=x s [ 0 ]( ) k+ x[2 ]=x c [ ]( ) x[3 ]=x s [ ]( ) +k+ =2 x[ 4]=x c [2 ]( ) 2 x[5 ]=x s [ 2 ]( ) 2+k+ (.56) x c [ m]=x [2m]( ) m x s [m ]=x [ 2m+ ]( ) m+k+ (.57) (.58) x c (t )= x c [m ]h r (t m') x s (t )= x s [m ]h r (t (m'+ )) (.59) m= m= DS EPS-San Pablo CEU 3

32 Muestreo de señales paso banda x(t )=x c (t )cosω c t x s (t )sinω c t= = (x c [m ]h r (t m')cosω c t x s [m ]h r (t (m'+ ))sinω c t )= m= = ( x[ 2m]( ) m h r (t m' )cosω c t x[ 2m+ ]( ) m+k+ h r (t (m'+ ))sinω c t )= m= = (x[ 2m]h r (t 2m )cosω c (t 2 m ) x[2m+]h r (t (2m+) ))cosω c (t (2m+) ))= m= = x[n ]h r (t n )cosω c (t n ) Suponiendo que Ω n= c +Ω N =k (2 Ω N ) (.60) cos(a+b)=cosacosb+ sinasinb Ω c =π 2k 2 [0.53,.58,.59] [.52] DS EPS-San Pablo CEU 32

33 Muestreo de señales paso banda X c ( jω ) B Supongamos que Ω c +Ω N =kb X c ( jω ) Ω c +Ω N Ω Supongamos que Ω c +Ω N kb (.6) 0 Ω c X c ( jω ) B' Ω c +Ω N Entonces k= Ω c +Ω N B (.62) 0 Ω c Ω c +Ω N Ω B'= 2 Ω N ' Ω c ' +Ω N ' = Ω c +Ω N k =kb' (.63) (.64) DS EPS-San Pablo CEU 33 2(2Ω N ) Ω s ' <4(2Ω N ) (.65)

34 Aplicaciones del Oversampling

35 Aplicaciones del oversampling: Filtros antialiasing x c (t ) x a (t ) x [n ] x d [n ] Antialiasing C/D LPF Gª= Corte= π M M H aa ( jω) X c ( jω ) = π M Ω N = M N 2 X (e jω ) Ω ω Ω N Ω N ω N ω N 2π X a ( jω) M X d (e jω ) Ω ω Ω N Ω N 2π DS EPS-San Pablo CEU 35

36 Aplicaciones del oversampling: Reducción del ruido de muestreo x a (t ) x [n ] x [n ] x d [n ] C/D Q(x) LPF Gª= Corte= π M M 2 X (e jω ) 2 = π M Ω N = M N 2 ω 2 X (e jω ) 2 σ e 2 = Δ2 2 ω ω N ω N 2π ω N ω N 2π ( M ) 2 X d (e jω ) 2 σ e 2 M ω E {x d2 [n] }=E {x 2 [n] } E {e d 2 [n]}= M E {e2 [n ]} 2π (.66,.67) DS EPS-San Pablo CEU 36

37 Aplicaciones del oversampling: Noise shaping x a (t ) C/D x [n] + + z Q(x) x [n ] LPF Gª= Corte= π M M x d [n ] π M Ω N = M N 2 = z x a (t ) C/D x [n] + + z e [n ] + x [n ] LPF Gª= Corte= π M M x d [n ] z DS EPS-San Pablo CEU 37

38 Aplicaciones del oversampling: Noise shaping x a (t ) C/D x [n] + + z e [n ] + x [n ] LPF Gª= Corte= π M M x d [n ] z (.68) (.69) (.7) X ( z)=( X (z ) z X ( z)) +E(z ) z X ( z)=x (z )+( z )E (z ) x [n ]=x [n ]+e[ n ] e[n ]=x [n ]+e'[n ] S e' (e jω )= e jω 2 σ e 2 = ( 2sin ω 2 ) 2 σ e 2 σ 2 2 e' =2σ e (.70) DS EPS-San Pablo CEU 38

39 ema Muestreo de señales continuas 3º Ingeniería Sistemas de elecomunicación EPS Univ. San Pablo CEU Oppenheim II (Cap. 4). Proakis (Cap. 9). Oppenheim I (Cap. 7)

40 Muestreo Periódico 2

41 Muestreo periódico Conversor C/D x c (t ) x s (t ) Conversión de tren x [n]=x c (n ) de impulsos en secuencia discreta s(t ) DS EPS-San Pablo CEU 3 Bibliografía: Opp 4. Problemas Opp: 4. 3

42 x c (t ) Representación del muestreo en el dominio de la frecuencia Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia X c ( jω ) Ω N Ω N S( j Ω) Ω Applet: g/index.html s(t )= n= x s (t )= n= x [n ]=x c (n ) δ(t n ) x c (n )δ(t n ) Ω s 3 Ω s 2Ω s Ω s 0 0 Ω s 2Ω s 3 Ω s X s ( jω) Ω N Ω s Ω N X (e jω ) Ω Ω ω 6π 4π 2π 0 2π 4π 6π DS EPS-San Pablo CEU 4 Bibliografía: Opp 4.2 Problemas Opp: 4.7*, 4.0, 4. Problemas Pro:.5, 9.6 4

43 Representación del muestreo en el dominio de la frecuencia Dominio del tiempo x c (t ) s(t )= n= x s (t )= n= x [n ]=x c (n ) δ(t n ) x c (n )δ(t n ) Dominio de la frecuencia X c ( jω ) S( j Ω)=Ω s k= X (e jω )= n= δ(ω kω s ) Ω s = 2π x [n ]e jωn = x c (n )e jωn n= X s ( jω)= 2π X c ( jω) S( j Ω)= X c ( j(ω k Ω s ))= x c (n )e j Ω n k= n= (.) (.2) (.3) (.4) (.5) (.6) X (e jω )= X (e jω )=X s ( jω) k= X (e jω )= k= X c ( j( ω k 2π )) X c ( j(ω k Ω s )) ω= Ω DS EPS-San Pablo CEU 5 Bibliografía: Opp 4.2 Problemas Opp: 4.2*, 4.3*, 4,4*. 5

44 Aliasing Se produce aliasing cuando Ω N >Ω s Ω N X s ( jω) (.7) Ω DS EPS-San Pablo CEU 6 Bibliografía: Opp 4.2 6

45 Aliasing No aliasing Ω s Ω s 2 Ω s 2 Ω s Casi aliasing Ω s Ω s 2 Ω s 2 Ω s Aliasing y cambio de fase Ω s Ω s 2 Ω s 2 Ω s DS EPS-San Pablo CEU 7 Bibliografía: Opp 4.2 7

46 Filtro Anti-aliasing Conversor C/D x c (t ) H aa ( jω) x a (t ) x s (t ) Conversión de tren de impulsos en x [n]=x c (n ) secuencia discreta s(t ) H aa ( jω) Ω Ω s 2 Ω s 2 DS EPS-San Pablo CEU 8 Bibliografía: Opp 4.2 Problemas Opp: 4.5*, 4.8* 8

47 Reconstrucción de la señal Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia X r ( j Ω) x r (t )=x s (t ) h r (t ) Ω H r ( j Ω) Ω N Ω N Ω x s (t )= n= x [n ] δ(t n ) Ω s 2 Ω s 2 Ω s 2 X s ( jω) Ω s 2 Ω x [n ]=x c (n ) X (e jω ) ω 6π 4π 2π π 0 π 2π 4π 6π DS EPS-San Pablo CEU 9 Bibliografía: Opp 4.3 9

48 Reconstrucción de la señal Conversor D/C x [n]=x c (n ) Conversión de secuencia discreta en tren de impulsos x s (t ) H r ( j Ω) x c (t ) s(t ) H r ( j Ω) Ω Ω s 2 Ω s 2 (.0) DS EPS-San Pablo CEU 0 Bibliografía: Opp 4.3 0

49 Reconstrucción de la señal Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia x r (t )=x s (t ) h r (t )= n= x [n ]h r (t n ) (.) X r ( j Ω)=H r ( jω) X s ( jω)=h r ( jω) X (e jω ) (.2) h r (t )=sinc ( t ) x s (t )= n= x [n ]=x c (n ) x [n ] δ(t n ) (.3) X s ( jω)= x[n]e j Ω n =X (e j Ω ) n= (.4) [.3] (.5) X (e jω )= x [n]e jωn (.6) n= DS EPS-San Pablo CEU Bibliografía: Opp 4.3

50 Reconstrucción de la señal x r (t )=x s (t ) h r (t )= n= x [n ]h r (t n )= h r (t )=sinc ( t ) n= sen[ π (t n )/ ] x [n ] π (t n )/ DS EPS-San Pablo CEU 2 Bibliografía: Opp 4.3 Problemas Opp: 4.9 Problemas Pro: 9.2 2

51 eorema del muestreo (.7) Sea una señal x c (t ) limitada en ancho de banda cuya frecuencia máxima es f max. Entonces, esta señal se puede recuperar exactamente a partir de sus muestras tomadas a una frecuencia =f s 2f max mediante la función de interpolación h r (t )=sinc ( t.la fórmula correspondiente de ) interpolación es x r (t )=x s (t ) h r (t )= n= x [n]h r (t n ) DS EPS-San Pablo CEU 3 Bibliografía: Proakis, Pag 28 3

52 Cambio de la Frecuencia de Muestreo 4

53 Cambio de la frecuencia de muestreo x c (t ) C/D x [n ] D/C x c (t ) C/D x' [n ] ' x [n]=x(n ) x' [n]=x (n') DS EPS-San Pablo CEU 5 Bibliografía: Opp 4.6 5

54 x [n] Reducción de la frecuencia de muestreo M x d [n ]=x [nm ]=x c (nm ) '=M (.2) [.4] X (e jω )= X c ( j( ω k 2π )) r=i+km k= X d (e jω )= ' r= M = M i=0 X c ( j( ω 2π r ' ' ))= k= M r= X c ( j( ω M r 2π M ))= X c ( j( ω M k 2π i 2π M ))= M i=0 M X ( e j ( ω M 2πi M )) <k< 0 i M (.22) DS EPS-San Pablo CEU 6 Bibliografía: Opp 4.6 6

55 Reducción de la frecuencia de muestreo X (e jω ) 4π 2π 0 2π 4π X (e j ω2 ) 4π 0 4π X (e j ω 2 π ) 2π 2π 2 X d (e jω )= 2 X (e j ω2 )+ 2 X (e j( ω 2 π ) ) 4π 2π 0 2π 4π DS EPS-San Pablo CEU 7 Bibliografía: Opp 4.6 7

56 Reducción de la frecuencia de muestreo 2π 2π M 0 0 X (e jω ) ω N =Ω N X d (e jω ) 2π 2π ω' N =Ω N '=Mω N ω= Ω ω= Ω'=Ω M x [n ] LPF Gª= Corte= π M x [n] x d [n ]= x [nm ] M DS EPS-San Pablo CEU 8 Bibliografía: Opp 4.6 Problemas Opp: 4.9*, 4.4, 4.26, 4.36,

57 x [n ] Incremento de la frecuencia de muestreo L x i [n ]=x c (n/ L ) '= /L (.23) (.24) x e [n x [n/ L ] n= 0,±L,±2L,... ]={ 0 resto } = k= x [ k ]δ[ n kl] X e (e jω )= x[ k ]e jωkl =X (e jωl ) k= (.25) DS EPS-San Pablo CEU 9 Bibliografía: Opp 4.6 9

58 Incremento de la frecuencia de muestreo 2π 0 X (e jω ) ω N =Ω N X e (e jω ) 2π ω= Ω 2π π 0 π 2π ω= Ω'=Ω / L ω' N =Ω N '= ω N L x [n ] L x e [n ] LPF Gª=L Corte= π L x i [n ] DS EPS-San Pablo CEU 20 Bibliografía: Opp

59 Incremento de la frecuencia de muestreo x [n ] L x e [n ] LPF Gª=L Corte= π L x i [n ] h i [n ]=sinc( n L ) (.27) x i [n ]=x e [n ] h i [n]= x e [ kl]h i [ n kl] (.26) k= h i { [n]= n n <L L 0 resto } (.28) DS EPS-San Pablo CEU 2 Bibliografía: Opp 4.6 2

60 Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional x c (t ) C/D x [n ] D/C x c (t ) C/D x' [n ] ' x [n]=x(n ) x' [n]=x (n') '= M L DS EPS-San Pablo CEU 22 Bibliografía: Opp

61 Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional x [n] L LPF Gª=L Corte= π L LPF Gª= Corte= π M M x' [n ] x [n ] L LPF Gª=L Corte= min { π M, π L } M x' [n ] DS EPS-San Pablo CEU 23 Bibliografía: Opp 4.6 Problemas Opp: 4.6*, 4.7*, 4.8, 4.38*, 4.40*, 4.4, 4.42, 4.44, 4.5, 4.52, 4.53, 4.54, 4.55, 4.58, 4.59,

62 Procesado discreto de señales continuas 24

63 Procesado discreto de señales continuas x c (t ) x [n ] y [n ] C/D H (e jω ) D/C y c (t ) [.4] X (e jω )= [.2] X c ( j( ω k 2π )) Y (e jω )=H (e jω ) X (e jω ) Y c ( jω)=h r ( j Ω)Y (e jω ) k= Y c ( jω )=H eff ( jω )X c ( jω ) H eff ( jω )={ H (e j Ω ) Ω <π (.8) H 0 resto } (e jω )=H eff ( j ω ) ω : ω <π (.9) Invarianza de la respuesta al impulso h[ n ]=h eff (n ) (.20) [.4] DS EPS-San Pablo CEU 25 Bibliografía: Opp

64 Ejemplo: Procesado discreto de señales continuas y c (t )= dx c (t ) dt Im {H c ( jω)} Ω H c ( jω)=j Ω H eff ( jω )={ jω Ω <π 0 resto } π Im {H eff ( j Ω)} π π Ω H (e jω )=j ω ω: ω <π π Im {H (e jω )} [0.25] 0 n=0 h[ cosπn n]={ n n 0} π π π ω π DS EPS-San Pablo CEU 26 Bibliografía: Opp

65 Ejemplo: Procesado discreto de señales continuas H c ( jω)=h eff ( jω)={ Ω <Ω c :Ω c <π 0 resto } h(t )= Ω c π sinc ( Ω c π t ) h[ n]=h(n )= Ω c π sinc ( Ω c π n ) = ω c π sinc ( ω c π n ) H (e )={ jω ω <ω c :ω c <π 0 resto } [.] ω c =Ω c π ω<π Ω c ω c H c ( jω) Ω c H (e jω ) ω c Ω ω DS EPS-San Pablo CEU 27 Bibliografía: Opp 4.4 Problemas Opp: 4.2, 4.3, 4.20*, 4.22, 4.23, 4.24*, 4.25, 4.28*, 4.30, 4.3, 4.32, 4.33, 4.34, 4.35, 4.37, 4.45, 4.49 Problemas Pro: 9.4,

66 Muestreo de señales paso banda DS EPS-San Pablo CEU 28 28

67 Muestreo de señales paso banda X c ( jω ) Ω Ω c 0 Ω c Ω c Ω N Ω c +Ω N Ω s 2(Ω c +Ω N )!! Solución: Muestrear el equivalente paso bajo [0.53] x(t )=x c (t )cosω c t x s (t )sinω c t Supongamos que Ω c +Ω N =k (2 Ω N ) Ω s =2(2Ω N ) El ancho de banda de la señal equivalente paso bajo es Ω N. La idea es muestrear la componente en fase y en cuadratura por separado (.52) (.53) Nyquist DS EPS-San Pablo CEU 29 Bibliografía: Proakis 9. Hacer aquí Opp

68 Muestreo de señales paso banda [0.53] (.54) x(t )=x c (t )cosω c t x s (t )sinω c t x[n]=x (n )=x c (n )cosω c n x s (n )sinω c n= =x c (n )cos ( πn 2k 2 ) x s (n )sin 2k ( πn 2 ) = = x ( m')( ) n= 2m = 0 m c k+ m ( ) xs ( m' )( ) n 2m m=0 m=0 m= m= m=2 m=2 =2 Ω ' s =2Ω N (.55) t Ω c +Ω N =k (2Ω N ) Ω s =2(2 Ω N )= 2π [.52,.53] Ω c +Ω N =k (2 Ω N ) Ω N = Ω c 2k Ω s =2(2 Ω N )= 2π Ω N = π 2 Ω c 2k = π 2 Ω 2k c =π 2 DS EPS-San Pablo CEU 30 Bibliografía: Proakis 9. 30

69 Muestreo de señales paso banda Reconstrucción de cada una de las componentes 0 t x[0]=x c [0]( ) 0 x[ ]=x s [ 0 ]( ) k+ x[2 ]=x c [ ]( ) x[3 ]=x s [ ]( ) +k+ =2 x[ 4 ]=x c [2 ]( ) 2 x [5 ]=x s [ 2 ]( ) 2+k+ (.56) x c [ m]=x [2m]( ) m x s [m ]=x [ 2m+ ]( ) m+k+ (.57) (.58) x c (t )= x c [m ]h r (t m' ) x s (t )= x s [m ]h r (t (m'+ )) (.59) m= m= DS EPS-San Pablo CEU 3 Bibliografía: Proakis 9. 3

70 Muestreo de señales paso banda x(t )=x c (t )cosω c t x s (t )sinω c t= = m= (x c [m ]h r (t m')cosω c t x s [m ]h r (t (m'+ ))sin Ω c t )= = ( x[ 2m]( ) m h r (t m')cosω c t x [ 2m+]( ) m+k+ h r (t (m'+ ))sinω c t )= m= = m= = n= (x[ 2m]h r (t 2m )cosω c (t 2 m ) x[2m+]h r (t (2m+) ))cosω c (t (2m+) ))= x [n ]h r (t n )cosω c (t n ) Suponiendo que Ω c +Ω N =k (2 Ω N ) (.60) cos(a+b)=cos acosb+ sina sinb 2k Ω c =π 2 [0.53,.58,.59] [.52] DS EPS-San Pablo CEU 32 Bibliografía: Proakis 9. 32

71 Muestreo de señales paso banda X c ( jω ) B Supongamos que Ω c +Ω N =kb X c ( jω ) Ω c +Ω N Ω 0 Ω c Ω c +Ω N B' Ω X c ( jω ) 0 Ω c Ω c +Ω N Supongamos que Entonces Ω c +Ω N kb k= Ω +Ω c N B B'=2 Ω N ' = Ω c +Ω N k Ω ' ' c +Ω N =kb' (.6) (.62) (.63) (.64) DS EPS-San Pablo CEU 33 2(2 Ω N ) Ω s ' <4(2Ω N ) (.65) Bibliografía: Proakis 9. Problemas Pro: 9., 9.2, 9.3,

72 Aplicaciones del Oversampling 34

73 Aplicaciones del oversampling: Filtros antialiasing x c (t ) x a (t ) x [n] x d [n ] Antialiasing C/D LPF Gª= Corte= π M M H aa ( jω) X c ( jω ) = π M = N Ω N M 2 X (e jω ) Ω ω Ω N Ω N ω N ω N 2π X a ( jω) M X d (e jω ) Ω ω Ω N Ω N 2π DS EPS-San Pablo CEU 35 Bibliografía: Opp

74 Aplicaciones del oversampling: Reducción del ruido de muestreo x a (t ) C/D x [n ] Q(x) x [n] LPF Gª= Corte= π M M x d [n ] 2 X (e jω ) 2 = π M = N Ω N M 2 ω 2 X (e jω ) 2 σ e 2 = Δ2 2 ω ω N ω N 2π ω N ω N 2π ( M ) 2 X d (e jω ) 2 2π σ e 2 M ω E {x d2 [n] }=E {x 2 [n] } E {e d 2 [n ]}= M E {e2 [n]} (.66,.67) DS EPS-San Pablo CEU 36 Bibliografía: Opp

75 x a (t ) Aplicaciones del oversampling: Noise shaping C/D x [n ] + + z Q(x) x [n] LPF Gª= Corte= π M M x d [n ] π = N M Ω N M 2 = z x a (t ) C/D x [n ] + + z e [n ] + x [n] LPF Gª= Corte= π M M x d [n ] z DS EPS-San Pablo CEU 37 Bibliografía: Opp

76 x a (t ) Aplicaciones del oversampling: Noise shaping C/D x [n ] + + z e [n ] + x [n] LPF Gª= Corte= π M M x d [n ] z (.68) (.69) (.7) X ( z)=( X (z ) z X ( z)) +E(z ) z X ( z)=x (z )+( z )E (z ) x[n ]=x [n ]+e[ n ] e[n ]=x [n ]+e'[n ] S e' (e jω )= e jω 2 σ e 2 = ( 2sin ω 2 ) 2 σ e 2 σ 2 2 e' =2σ e (.70) DS EPS-San Pablo CEU 38 Bibliografía: Opp 4.9 Problemas Opp: 4.6, 4.62 Problemas Pro: