UNIDAD Nº4. Métodos matemáticos de optimización no restringida Búsqueda unidimensional

Transcripción

1 UNIDAD Nº4 Métodos matemáticos de optimización no restringida Búsqueda unidimensional Muchos métodos de optimización de problemas con restricciones (univariables y multivariables) involucran la resolución de un problema de optimización en una dimensión. os métodos analíticos imponen demasiadas restricciones a las unciones objetivos. Además, no siempre es posible resolver el sistema de ecuaciones analíticamente. Por este motivo se desarrollaron los métodos numéricos. Eisten dos tipos de métodos numéricos, a saber: Métodos directos: sólo utilizan los valores de las unción objetivo. Métodos indirectos: utilizan las condiciones necesarias, las derivadas (analíticas o numéricas) y la unción objetivo. os métodos indirectos requieren el cálculo de las derivadas primeras y segundas. Sin embargo, muchas veces obtener las derivadas es una tarea diícil, y hasta es posible que ni siquiera se conozca la orma analítica de la unción objetivo. Esto plantea la necesidad de contar con métodos capaces de trabajar únicamente con los valores (eperimentos) de la unción objetivo. Estos son los métodos de búsqueda directa. a obtención de un valor de la unción objetivo signiicará en algunos casos evaluar un modelo matemático, mientras que en otros signiicará realizar un eperimento. Sea como sea, siempre será conveniente llegar al óptimo realizando la menor cantidad de evaluaciones. Esa es la misión de los métodos de búsqueda directa, a partir de los resultados de las evaluaciones realizadas, sugerirán el siguiente eperimento de orma tal de aumentar la velocidad de convergencia. Es decir, que estos métodos diseñarán un adecuado plan de eperiencias. El plan de eperiencias puede ser secuencial o simultáneo. Cuando disponemos de un equipo por un tiempo limitado, puede ser que nos veamos obligados a realizar una serie de eperimentos simultáneos. Estos eperimentos son independientes, los eperimentos realizados no inluyen sobre la orma de realizar el siguiente. Un mejor enoque es el plan de eperiencias secuencial. Este método analiza los resultados obtenidos en un eperimento para sugerir la orma de realizar el próimo. os métodos indirectos tienen una ventaja inherente: la convergencia es normalmente rápida, pero no son buenos para unciones no lineales multivariables, estos métodos dan como resultado un punto que puede encontrarse muy cercano al valor óptimo buscado. os métodos directos tienen la ventaja de que pueden más ácilmente tratar problemas que involucran unciones con discontinuidades, puntos de inleión y puntos inales, pero necesitan la deinición de un criterio de precisión, estos métodos dan como solución al problema de optimización un intervalo donde puede encontrarse el valor óptimo. Métodos numéricos para optimización de unciones de una variable Para la aplicación de estos métodos es necesario conocer el intervalo inicial donde esta contenido el óptimo de la unción objetivo, y asegurar la unimodalidad de la unción en el intervalo en estudio. Un método de optimización para una unción de una sola variable podría ser determinar una grilla (tan ina como se quiera) de valores de y calcular los valores de () en cada valor de la grilla, el óptimo sería el mejor valor de (). Si utilizamos este procedimiento para unciones multimodales, el tiempo de cálculo se vuelve prohibitivo. a selección del método de búsqueda

2 del óptimo es una solución de compromiso entre la complejidad del procedimiento y el número de evaluaciones necesarias.. Métodos indirectos: Newton, Quasi-Newton y Secante Es de suponer que si además de unimodalidad y continuidad en las unciones que queremos optimizar, se requiere también la derivabilidad de las mismas, podremos incrementar la eiciencia de los algoritmos de búsqueda. Nos reeriremos en esta sección a métodos de búsqueda de óptimos en unciones derivables. Recordemos en primer lugar que la condición necesaria para que un punto * sea óptimo local de una unción derivable es que se anule su derivada en ese punto, (*) =. Cuando () es una unción de tercer grado o superior, la solución analítica de la ecuación () = se complica. Por tanto, requerimos un método de búsqueda que se aproime sucesivamente al punto estacionario de (). a eectividad de estas técnicas se evalúa mediante la velocidad de convergencia que presentan. Convergencia lineal + * c c convergencia lenta * Convergencia de orden p + * c c, p convergencia muy rápida p * Si p= la convergencia se dice que es cuadrática Convergencia superlineal + * lim * convergencia rápida Método de Newton El método de Newton requiere que la unción sea dos veces derivable. Se epresa como: + = '( ) ''( ) asegurando que para cada paso, ( + )<( ), para la búsqueda de un mínimo. Este método utiliza la condición de que ()=. Ventajas: es un proceso que converge cuadráticamente en orma local. Para una unción cuadrática converge con solo una iteración. Desventajas: se deben calcular las derivadas primeras y segundas, si las derivadas segundas son nulas el método converge lentamente, si eisten más de un etremo el método puede no converger en el valor deseado.

3 Desaortunadamente el método depende de la elección del punto de partida y de la naturaleza de la unción. Es bastante posible que este método no converja hacia el verdadero punto estacionario. a igura siguiente ilustra esta diicultad. Si comenzamos en un punto a la derecha de, las aproimaciones sucesivas se alejarán del punto estacionario *. Método de Quasi-Newton Este método es una solución a las limitaciones del método de Newton. En el caso en que la unción objetivo no sea conocida o no puedan evaluarse las derivadas, estas pueden reemplazarse por aproimaciones de dierencias initas: + = [ ( + h) ( h) ] h [ ( + h) ( ) + ( h) ] h a desventaja adicional de este método consiste en la necesidad de evaluar unciones adicionales en cada iteración, también es necesario conocer el valor de h (paso de la dierencia inita). Método de la Secante El método de la secante combina el método de Newton con un esquema de reducción de intervalo para encontrar, si eiste, la raíz de la ecuación ()=, en el intervalo (a,b). En este método la condición necesaria se resuelve mediante la siguiente epresión: 3

4 ( ) + m( ) = donde m es la pendiente de la recta que une los puntos p y q, dada por: q p ( ) ( ) m = q p Este método aproima la derivada de la unción a una línea recta, m aproima la segunda derivada de la unción. * = q q [ ( ) ( ) ( ) ] q p ( q p ) donde * es la aproimación a * en la iteración nº. Este método comienza utilizando dos puntos p y q, la elección de estos puntos debe hacerse de tal manera que los valores de las derivadas sean de signos opuestos. Este método es de convergencia más lenta que el método de Newton.. Métodos directos: eliminación de regiones Este tipo de métodos se centra en la búsqueda de las soluciones óptimas mediante sucesivas reducciones del intervalo de estudio y en la eliminación de subintervalos. Si la unción es unimodal, se puede deinir un criterio para eliminar regiones donde seguro el óptimo no se encuentra. Para ello necesitamos evaluar la unción en dos puntos y aplicar algo de lógica. En la igura siguiente se indica cual sería la región eliminada para los tres casos posibles en la búsqueda de un máimo. 4

5 Es undamental el hecho de que la unción estudiada sea unimodal, al menos dentro del dominio de interés. a utilidad de esta propiedad radica en el hecho de que si () es unimodal, entonces solamente es necesario comparar () en dos puntos dierentes para predecir en cuál de los subintervalos deinidos por esos puntos no se va a encontrar el óptimo. Cuando el subintervalo sobreviviente tenga una longitud suicientemente pequeña, la búsqueda termina. a gran ventaja de estos métodos de búsqueda es que solamente requieren evaluaciones de la unción y no necesitamos ninguna hipótesis adicional acerca de la derivabilidad de la misma. Búsqueda a intervalos iguales Este método de búsqueda reduce en /3 la longitud del intervalo en cada iteración. Entonces si es la longitud original del intervalo (b-a) y es la longitud luego de iteraciones: = 3 Método de la bisección o dicotomía Este método elimina eactamente la mitad del intervalo en cada paso. En este caso los puntos de búsqueda y se encuentran más próimos entre sí, manteniendo la equidistancia con los bordes. = Método de Fibonacci Con este método se conoce ya el rango inicial de búsqueda y en cada evaluación el método tiende a acorralar el punto óptimo. El intervalo inicial de es y se deine como el siguiente incremento: Fn = F donde n, es el número de iteraciones que se desea realizar (en unción a la tolerancia de error que se desea) y F n es el número de Fibonacci para n evaluaciones, y se deine así: F =F =, F n =F n- +F n-, n=,3,..., la secuencia de Fibonacci es entonces,,,3,5,8,3,,34,55 Se tiene entonces = y = - Se supone que se quiere minimizar a la unción unimodal (). Entonces si ( ) ( ), rechazamos el intervalo y si ( ) ( ), rechazamos el intervalo. 5 n

6 Gráicamente se tiene que, si originalmente la unción es como la que se ilustra en la igura, en la segunda iteración se rechaza el intervalo. En orma gráica tenemos: A continuación se calcula el siguiente incremento y se deine 3 como - Fn3 = = Fn En caso de que se hubiera rechazado el intervalo, entonces = y 3 =. Se tiene, rechazamos el intervalo 3 o si en la segunda evaluación lo siguiente: si ( ) ( 3 ) ( ) ( ), rechazamos el intervalo. 3 El proceso se repite hasta llegar al número n de iteraciones preijadas. a eectividad en este caso, /Fn, mide la tolerancia del error en el entorno del punto óptimo. Así, por ejemplo, si se desea un error menor al %, se necesitan evaluaciones de este método, puesto que F =44 y /F = /44<.= %. Método de la Sección Aurea En la sección Aurea se ubican dos puntos interiores de manera tal que el intervalo eliminado en cada iteración sea de la misma proporción que el intervalo total. Solo un nuevo punto debe ser calculado en cada iteración. Consideremos la localización simétrica de dos puntos como en la igura: Partimos de un intervalo [, ] de longitud unidad (simplemente por conveniencia) y localizamos dos puntos, cada uno a una racción τ de cada etremo. Con esta simetría, independientemente de qué valor de la unción sea el más pequeño, la longitud del intervalo que permanece es siempre τ. Supongamos que eliminamos el subintervalo de la derecha. 6

7 Se puede observar a partir de la igura que el punto que queda, de los dos anteriores, está situado a una distancia τ de uno de los etremos. En la estrategia que se plantea el método del número de oro el punto que permanece en el interior del nuevo intervalo está ubicado en la posición relativa en la que se encontraba el otro punto, que ahora limita la zona, la distancia τ debe corresponder a una racción τ del intervalo (que es de longitud τ). Con esta elección de τ, el siguiente punto debe localizarse a una racción τ de la longitud del intervalo desde el etremo de la parte derecha. τ τ = τ Por tanto, con la elección de τ que satisaga τ = τ, el patrón de búsqueda permanece en el intervalo reducido de la siguiente igura. a solución de esta ecuación cuadrática es τ = misma τ = El subintervalo inal luego de cada iteración es: ± 5, siendo la solución positiva de la = (.68) Método de Fibonacci y aproimación al método de la Sección Aurea Para determinar la ubicación de los puntos según el método de Fibonacci se utiliza, como Fn vimos, la epresión =. a relación de números de Fibonacci para grandes valores Fn de n se acerca a.38, como se observa en la siguiente tabla: n Fn /3 = Fn.3333 /5 =.4 3/8 =.375 5/3 = / =.38 3/34 =.383 /55 =.388 Entonces para valores de n grandes, el enésimo número de la seria de Fibonacci puede calcularse con la siguiente relación: F n + 5 n (.68) 7

8 Esto indica que en el método de Fibonacci para n grandes, la búsqueda debe comenzarse utilizando la relación =. 38. a aproimación al valor óptimo obtenida luego de n eperimentos será entonces: N N N 4 n α = = = (.68) N N Como podemos observar esta relación es la utilizada en el método del número de oro, = (.68). Entonces el método de la serie de Fibonacci, para más de cuatro iteraciones se convierte en el método del número de la Sección Aurea. Métodos de búsqueda preplaneada Este método realiza todos los eperimentos a la vez, determinando luego el intervalo que contiene el óptimo... Comparación de los métodos de eliminación de regiones Comparemos ahora las eiciencias relativas de los métodos de eliminación de regiones que hemos visto. Denotemos el intervalo de incertidumbre original como y al intervalo de incertidumbre inal, después de N evaluaciones de la unción objetivo le llamaremos N Supongamos ahora que consideramos a la reducción raccional (RF) del intervalo original como una medida de mérito de los métodos de eliminación de regiones. Tenemos entonces: Búsqueda a intervalos iguales Método de la bisección o dicotomía Método de Fibonacci = 3 = = F N + Método de la Sección Áurea ( ) as reducciones raccionales pueden obtenerse ácilmente: Búsqueda a intervalos iguales Método de la bisección o dicotomía Método de Fibonacci =.68 = 3 = = FN =. 68 Método de la Sección Áurea ( ) + 8

9 a siguiente tabla muestra los valores de RF(N) para distintos valores de N. Estos valores son indicativos de la eiciencia de cada método. N=5 N= N=5 Búsqueda a intervalos iguales,3,7, Método de la bisección o dicotomía,93,988,998 Método de Fibonacci,54,4,3 Método de la Sección Áurea,46,3, De esta tabla se desprende que los métodos más eicientes son el de Fibonacci y la sección dorada. En la práctica, suele calcularse el número de iteraciones que se requieren para obtener una precisión dada. Esto se puede obtener usando N = ε, siendo ε la precisión requerida. 3. Métodos de aproimación polinomial Otra clase de métodos de minimización unidimensional, localizan un punto cercano al óptimo mediante interpolación y etrapolación utilizando polinomios como modelos de la unción. a idea básica de los métodos de aproimación polinomial es que si la unción es suicientemente suave, entonces puede ser aproimada mediante un polinomio, y dicho polinomio puede entonces usarse para predecir la ubicación del óptimo. Para que esta estrategia sea eectiva, es necesario que la unción a optimizar sea tanto unimodal como continua. Interpolación cuadrática a interpolación cuadrática aprovecha la ventaja de que un polinomio de segundo grado con recuencia proporciona una buena aproimación de la orma de la unción en las cercanías de un valor óptimo. Así como eiste una única recta que pasa por dos puntos, hay únicamente una ecuación cuadrática que pasa por tres puntos. De esta orma, si se tienen tres puntos que contienen un punto óptimo, se ajusta una parábola a los puntos, después se puede derivar e igualar a cero, y así obtener una estimación del óptimo. * = ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) Este método utiliza evaluaciones de la unción, y sólo un nuevo valor de unción debe ser calculado en cada iteración. Interpolación cúbica Este método está basado en la aproimación polinomial mediante un polinomio de tercer grado de la unción que se quiere minimizar. El esquema es similar al método cuadrático. Se necesitan cuatro puntos iniciales, o cuatro valores de (), o valores de () y sus derivadas cada dos puntos. 9

10 Este método es de convergencia rápida, pero puede presentar errores en unciones no unimodales. Dados - y junto a ( - ), ( - ), ( ), y ( ) es posible ajustar una ecuación cúbica en los puntos. El punto + (mínimo) puede ser determinado como el punto mínimo relativo de esta ecuación cúbica. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 3 = + = + + = + µ µ µ µ µ µ a aplicación de éste método requiere que - < y ( )> ( - ).

11 Métodos indirectos Ejemplo: Minimizar la siguiente unción utilizando los métodos indirectos vistos anteriormente: ( ) 6 = +. Resolución utilizando el método de Newton El punto de partida es =, el método converge en 3 iteraciones Método de Newton Iteración ( ) ( ) ( ) ,333-3,667 7,5 5,556,543 -,55,73 5,3 3,586 -,5,9 5,9 4,587,, 5,9. Resolución utilizando el método de Quasi-Newton El paso utilizado ue h=., el método converge en 3 iteraciones. Método de Quasi-Newton Iteración (+h) (-h) ( ) 7,888 8,8 8,333 5,597 5,593 5,5555,543 5,63 5,373 5,3 3,586 5,95 5,98 5,9 4,587 5,97 5,97 5,9 3. Resolución utilizando el método de la Secante Método de la Secante Iteración p q * ( q ) ( p ) (*) 5,53 9,36-9,3,53,936 7,64-5,76,936,7579 3, ,8 3,76,64367,53-5,38 4,644,648,6535-5, 5,6,5969,73-5, 6,597,593,33-5,9 7,59,589,4687-5,9 El intervalo utilizado para optimizar la unción ue (,5), el valor óptimo se obtiene luego de 6 iteraciones.

12 Métodos directos, eliminación de regiones Ejemplo:Diseño de un intercambiador de calor, minimizando los costos anuales ( Product and process design principles. Synthesis, analysis, and evaluation, Seider W., Seader J., ewin D., 4 ª Edition, pp Ed. John Wiley and Sons Inc.) En una reinería de petróleo, 8 lb/hr de un gas ligero que salen de una torre de destilación de crudo a 44ºF, son actualmente enriados utilizando agua, antes de ser almacenados. El calor perdido podría ser utilizado para precalentar 5 lb/hr de petróleo crudo, el cual se dispone a 4ºF y se calienta utilizando otros medios a un costo de $3/million Btu, la planta opera 8 hr/año. Basándose en los siguientes datos determine que debe hacerse. Cp del gas ligero:.5 Btu/lb ºF Cp del petroleo crudo:.45 Btu/lb ºF Costo anual de operación: Cop Cp{A} Cp{A}: ep[ n(a) +.95 [n(a)] ], A: área del intercambiador, t U: 4.5 Btu/hr ºF t Planteo de la unción objetivo: os costos de operación están relacionados con el calor intercambiado, comenzamos por plantear los balances de energía: Balance de energía en el intercambiador: (.5)( 44 ) Q = 8 T GO, out Q Q = 4.5A (.45)( 4) = T CO out 5, ( 44 T ) ( T 4) CO, out GO, out 44 TCO, out n TGO, out 4 Nuestro objetivo es minimizar el costo anual de operación, la unción objetivo será: C A =.46 * Q * C En los planteos realizados hay variables que no se conocen, una de ellas será nuestra variable de decisión. a mejor elección es la temperatura de salida del gas ligero, debido a que esta puede tomar valores limitados y permite calcular secuencialmente el resto de las variables. El valor superior de la temperatura de salida del gas es de 44ºF, en este caso el costo sería nulo, el límite inerior es 4ºF, temperatura de entrada del petróleo crudo, el costo sería ininito.. Resolución por el método de Fibonacci, la tolerancia utilizada ue de 5%. p { A}

13 Fibonacci, tolerancia 5% Punto T GO, out T CO, out Q 6 [BTU/Hr] A [t ] C A 3 [$/año] 36,9 6, 4,95 684,8 -,4 363,8 53,54 3,5 83, -58,9 3 87,6 67,9 6, 56,6-3,4 4 36,9 6, 4,95 684,8 -,4 5 68,57 7,48 6, ,6-36,8 6 87,6 67,9 6, 56,6-3,4 7 59,5 7,7 7,4 43,8-4,9 8 68,57 7,48 6, ,6-36,8 a solución óptima del sistema se alcanza en la iteración número 7. a temperatura de salida del gas ligero óptima encontrada es de 59.5 ºF, el valor del costo anual es de $/año, es decir que la instalación de intercambio de calor provocaría un ahorro. Si se disminuye la tolerancia especiicada puede lograrse un valor de temperatura más cercano al óptimo, pero en ese caso el número de iteraciones aumenta.. Resolución por el método de la Sección Aurea Sección Aurea Punto T GO, out T CO, out Q 6 [BTU/Hr] A [t ] C A 3 [$/año] 363,6 53,58 3,6 86, -59, 36,4 6,97 4,94 679,8 -, 3 87, 67,6 6, 576,7-3,7 4 69,8 7,37 6, ,7-36,4 5 58,4 7,35 7,8 447, -4,4 6 5,5 73,57 7, ,7-44, 7 46,89 74,33 7,7 634,3-43,4 a solución óptima del sistema se alcanza en la iteración número 6. a temperatura de salida del gas ligero óptima encontrada es de 5. ºF, el valor del costo anual es de $/año. a velocidad de convergencia de este método es superior al método de Fibonacci. 3. Resolución por el método de la Dicotomía, en este caso el valor de utilizado ue de ºF Método de la dicotomía, = Punto T GO, out T CO, out Q 6 [BTU/Hr] A [t ] C A 3 [$/año] 33, 59,56 4,4 38,3-88,6 35, 56, 3,6,5-7, 3 85, 67,56 6, 667,6-5,4 4 35, 64, 5,4 977,9-9,6 5 8,5 68, 6,3 775,9-7,3 6 6,5 7,56 7, 3997,3-4,3 7 7,5 7, 6, ,3-35, 8 5,5 73,56 7, ,9-44, 9 65,63 7, 6, ,6-38,6 En este caso el valor de temperatura de salida del gas ligero, que optimiza nuestra unción objetivo, se obtiene luego de 8 iteraciones. 3

14 4. Resolución por el método de búsqueda secuencial con dos eperimentos igualmente espaciados El valor óptimo se obtiene con 5 iteraciones. Puede observarse que de los tres métodos utilizados para la resolución del problema planteado, el método de la sección Áurea posee una velocidad de convergencia superior. Busqueda secuencial con dos ep. igualmente espaciados Punto T GO, out T CO, out Q 6 [BTU/Hr] A [t ] C A 3 [$/año] 36,67 63,7 5,33 93, -8,3 373,33 5,85,67 683,8-5,4 3 84,44 67,65 6, 69, -5,8 4 38,89 59,75 4,44 43,7-89,6 5 69,63 7,9 6,8 3465,6-36, 6 99,6 65, 5,63 5, -4,3 7 59,75 7,4 7, 45, -4,6 8 79,5 68,53 6,4 94,8-9,4 9 53,7 73, 7,47 54,3-43,9 66,34 7,87 6,95 369,6-38, 48,78 73,99 7, , -44, 57,56 7,43 7,3 4479,3-4,6 3 45,85 74,5 7, , -4,8 4 5,7 73,47 7,53 57, -44, 5 49,75 73,8 7,6 563, -44, 6 53,66 73,3 7,45 497, -43,8 5. Resolución por el método de búsqueda preplaneada, localizando el valor optimo dentro del 5% del rango inicial. En este caso los eperimentos deben realizarse todos al mismo tiempo, el número de eperimentos a realizar esta determinado por la tolerancia, que en este caso es del 5%. N T i.5 i = 4º F + de eperimentos. N 39 ( 44 4) N + º F, donde i indica el número de eperimento, y N el número total Una vez realizados todos los eperimentos se determina el intervalo que contiene el valor óptimo. En este caso el óptimo de temperatura se encuentra entre (45ºF,55ºF). 4

15 Búsqueda Preplaneada, tolerancia 5% Punto T GO, out T CO, out Q 6 [BTU/Hr] A [t ] C A 3 [$/año] 45, 74,67 7,8 6946,9-4, 5, 73,78 7,6 558, -44, 3 55, 7,89 7,4 4786,6-43,5 4 6, 7, 7, 45,9-4,5 5 65, 7, 7, 3793,3-38,9 6 7, 7, 6,8 344,7-35,9 7 75, 69,33 6,6 346, -3,6 8 8, 68,44 6,4 89, -9, 9 85, 67,56 6, 667,6-5,4 9, 66,67 6, 468,6 -,6 95, 65,78 5,8 89,5-7,7 3, 64,89 5,6 6,8-3,7 3 35, 64, 5,4 977,9-9,6 4 3, 63, 5, 84,8-5,5 5 35, 6, 5, 73,7 -,4 6 3, 6,33 4,8 595,5-97, 7 35, 6,44 4,6 484,9-9,9 8 33, 59,56 4,4 38,3-88, , 58,67 4, 83,6-84,3 34, 57,78 4, 9,5-79,9 345, 56,89 3,8 4,3-75,6 35, 56, 3,6,5-7, 3 355, 55, 3,4 94,8-66,8 4 36, 54, 3, 867,9-6, , 53,33 3, 796,3-57,9 6 37, 5,44,8 77,8-53, , 5,56,6 66,3-48,9 8 38, 5,67,4 599,4-44, , 49,78, 539, -39,9 3 39, 48,89, 48, -35, , 48,,8 45, -3,9 3 4, 47,,6 37, -6, , 46,,4 39, -,8 34 4, 45,33, 69, -7, 35 45, 44,44,,5 -,5 36 4, 43,56,8 73,6-7, , 4,67,6 8, -3, 38 43, 4,78,4 84,, , 4,89, 4,4 8, 5

16 Métodos de aproimación polinomial Ejemplo: Minimizar la siguiente unción utilizando los métodos de aproimación polinomial analizados: ( ) 6 = +. Resolución utilizando el método interpolación cuadrática os puntos iniciales utilizados ueron =, =.5 y =5, el método converge en cuatro iteraciones, el valor óptimo obtenido es *=.6. Interpolación cuadrática Iteración * ( ) ( ) ( ) (*),5 5,66 8 8,9 53, 5,5,66,5,7 8 5,49 8,9 5,9 3,66,7,6 8 5,49 5, 5, 4,6,7,6 8 5, 5, 5,. Resolución utilizando el método interpolación cúbica. Para éste método se necesitan dos puntos iniciales, y los respectivos valores de la derivada de la unción, dichos valores iniciales ueron =, =. El método converge en la tercera iteración, el valor óptimo es *=.59. Interpolación cúbica Iteración u u ( ) ( )

17 Bibliograía Beveridge G., Schechter (97) Optimization: Theory and Practice Ed. McGraw-Hill. Castillo E., Conejo A., Pedregal P., García R., Alguacil N. (), Formulación y Resolución de Modelos de Programación Matemática en Ingeniería y Ciencia. Chapra Steven, Canale Raymond (6). Numerical methods or engineers, 5 th edition. Ed. McGraw-Hill. Edgar T., Himmelblau. (988) Optimization o chemical processes Ed. McGraw-Hill. Relaitis G., Ravindran A., Ragsdell K. (983), Engineering Optimization. Methods and Applications, Ed. John Wiley and Sons Inc. Taria E. (6) Optimización y Simulación de Procesos. Métodos numéricos Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Jujuy Zerpa., Colmenares J. (4), Optimización para ingenieros, optimización sin restricciones. Notas de clase, Universidad del Zulia, Facultad de Ingeniería, División de Estudios para Graduados, Instituto de Cálculo Aplicado. República Bolivariana de Venezuela. Seider W., Seader J., ewin D., (4), Product and process design principles. Synthesis, analysis, and evaluation, ª Edition, Ed. John Wiley and Sons Inc. 7