Apuntes de Compresión Fractal de Imágenes

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1 Apuntes de Compresión Fractal de Imágenes Gonzalo Rojas C., Ulrich Raff B. Grupo de Procesamiento de Imágenes Departamento de Física Universidad de Santiago de Chile Av. Ecuador 3493 Santiago, CHILE Resumen Se describe un nuevo método de compresión de imágenes y video, el cual está basado en la teoría de fractales. Este método de compresión, creado por John Barnsley [1, 2] e implementado por A. Jaquin [3], utiliza la autosimilaridad que existe en cada imagen, para obtener así una ecuación fractal de ella. Posteriormente, al aplicar iterativamente este código fractal a una imagen inicial cualesquiera, se obtendrá una imagen similar a la comprimida. Introducción El aumento en la necesidad de almacenamiento de imágenes y video (debido a la masificación de las enciclopedias multimedia en CD-ROM y el rápido aumento de los servidores WWW en Internet, por ejemplo) a traído como consecuencia, la necesidad del desarrollo de nuevos métodos de compresión de imágenes y video. De esta forma se han ido creando variados métodos tales como: LZW (utilizado en el formato GIF, por ejemplo), wavelet (EPIC), DCT (jpeg), etc. Los cuales se comparan brevemente en la Tabla 1. Para comprimir una imagen, el método de compresión fractal, utiliza la autosimilaridad que existe en cada imagen, creando así el código fractal de esa imagen. Posteriormente, este código (o ecuación fractal) se aplica en forma iterativa a partir de una imagen inicial cualesquiera, obteniendo así una imagen similar a la inicial. En la primera sección de este trabajo, describiremos el método de compresión fractal, y en la segunda, lo compararemos con otros métodos de compresión de datos.

2 Descripción Primero veamos algunos detalles en la figura 1. En ella aparece la imagen de Lenna que se utiliza comúnmente en procesamiento de imágenes. Imaginemos que la dividimos en cuadrados de distintos tamaños. Veremos, en diferentes zonas de la imagen, que hay cuadrados que tienen estructuras muy similares. Por ejemplo, en el hombro tenemos dos cuadrados superpuestos, de diferente tamaño, levemente desfasados que tienen estructura muy similar (la misma curvatura del hombro). Entonces, podemos pensar que es posible generar el cuadrado pequeño a partir del grande (realizando los ajustes de tamaño correspondientes). Una situación similar tenemos entre los dos cuadrados del sombrero: el que está situado en la zona media izquierda del sombrero, y el otro de Figura 1: Porciones autosimilares de Lenna mayor tamaño, ubicado en el reflejo del sombrero en el espejo (en la zona inferior derecha de la imagen). Son de estructura muy similar (solamente tienen contraste y brillo diferente), y por ello, es posible generar el cuadrado pequeño, a partir del grande, realizando los ajustes de contraste, brillo y tamaño correspondientes. 1 Por lo tanto, generalizando esta idea, se dividirá la imagen en un conjunto de cuadrados adyacentes disjuntos (llamados range blocks o bloques rango). Por otra parte, se dividirá la imagen en cuadrados no disjuntos (de mayor tamaño que los bloques rango), llamados domain blocks (o bloques dominio). Entonces, para cada range block de la imagen, se buscará entre los domain blocks, el que sea más similar 2 al range block, y se almacenará la coordenada del domain block elegido, la diferencia de brillo y contraste respectivo, y la rotación (en el caso que el domain block y range block tengan distinta orientación) [5, 6]. En que teoría matemática, se basa este método de compresión? Veamos: En teoría de fractales, existe un tipo de funciones llamadas Sistemas de Funciones Iteradas (Iterated Function Systems, IFS). Estas funciones tienen las características siguientes: 1 Esta idea se puede visualizar en cualquier imagen natural. Es decir, en cualquier foto digitalizada, imagen médica, etc., se podrán encontrar zonas que son similares a otras, solamente tendrán distinto tamaño, brillo, contraste, y/o rotación. 2 La similitud entre un domain block y un range block se define según una métrica entre los dos cuadrados. Comunmente se utiliza la distancia euclidiana.

3 i) son funciones matemáticas recursivas simples (transformaciones afines) ii) estas funciones se aplican sobre un conjunto inicial cualesquiera iii) y, el conjunto final 3 que genera iterativamente (llamado atractor) es único, y depende solamente de i). iv) El atractor es un fractal. Es decir, una IFS es una función recursiva, la cual al aplicarla sucesivamente a partir de un conjunto inicial cualesquiera, se obtendrá un conjunto final, el cual es un fractal (ver un ejemplo de IFS en la figura 2). Llamaremos problema inverso, al problema que consiste en que a partir de una imagen dada, se obtendrá la IFS que posteriormente, al aplicarla recursivamente a una imagen inicial cualesquiera, generará una imagen similar a la imagen problema. 4 (Esta IFS, ocupará menor espacio de almacenamiento que la imagen original. [6] ) Por lo tanto, la forma práctica de implementar el algoritmo de compresión fractal, es la siguiente: i) la imagen que se desea comprimir, se divide en cuadrados adyacentes disjuntos ii) iii) Figura 2: Hoja o Fern de Barnsley. llamados range blocks (de tamaño B x B pixeles) por otra parte, la imagen original, se divide en un conjunto de cuadrados superpuestos de 2B x 2B pixeles, llamados domain blocks. Este conjunto de domain blocks, se llama codebook. para cada range block se busca en el codebook, el domain block que sea más similar (según una métrica dada), tomando en cuenta la diferencia de brillo, contraste y rotación 5. Obteniéndose así la transformación correspondiente a cada range block [3, 5, 6]. Figura 3a: Imagen original de 256x256x8 bits Figura 3b: Imagen comprimida 43%, 3.5 bpp Figura 3c: Diferencia entre Fig 3a y 3b 3 Estrictamente hablando, no existe un conjunto final, ya que al aplicar recursivamente la IFS, se converge sucesivamente a un conjunto. 4 Estrictamente, el Problema Inverso continúa no resuelto. A. Jaquin [2] implementó un algoritmo automático, el cual es una aproximación a este problema. En el algoritmo de Jaquin, se obtiene una PIFS (Partitioned IFS), que es, lo que podríamos llamar, una aproximación práctica, a una IFS. 5 Las rotaciones posibles son 0 (identidad), 90, 180, 270, traspuesta según primera diagonal, traspuesta según segunda diagonal, espejo según eje horizontal y espejo según eje vertical.

4 Cómo se descomprime el código fractal (IFS)? Primero, se genera una imagen inicial cualesquiera. Posteriormente, se aplica en forma iterada, la IFS obtenida en el proceso de compresión. Así, después de cierta cantidad de iteraciones, se converge a una imagen, la cual es similar a la imagen original [3, 5, 6]. Comparación con Otros Métodos de Compresión de Datos El método de compresión fractal es posible compararlo con otros métodos, estudiando ciertas características. Veamos la tabla 1. En ella tenemos tres características de cinco métodos distintos de compresión: si son con pérdida o sin ella (Lossy o Lossless), si son o no simétricos, y el tipo de dato que comprimen. Qué significa "con pérdida o sin pérdida de información? Un método de compresión es con pérdida de información si al comprimir la imagen, y al descomprimirla posteriormente, se obtiene una imagen degradada, en comparación con la original. Sin pérdida de información, significa que al descomprimir una imagen previamente comprimida, se obtiene una imagen idéntica a la original. Compresión Lossy/Lossless Simetría Tipo de Dato Comentarios DCT Lossy Si Imagen, Sonido, Video JPEG, MPEG Wavelet Lossy No Imagen, Video, Sonido? Fractal Lossy No Imagen, Video FIF LZW Lossless Si Cualquier ZIP, GIF RLE Lossless Si Cualquier Tabla 1 : Características comparativas de algunos métodos de compresión Qué es simetría de un método de compresión? Un método de compresión es simétrico, si el tiempo de compresión y descompresión es similar. Si el tiempo de compresión es mayor que el de descompresión, se dice que no es simétrico. Algunos métodos permiten comprimir cualquier tipo de datos. Otros permiten comprimir solamente imágenes y video. Comentarios y Conclusiones En este trabajo, describimos brevemente el método de compresión fractal de imágenes, y la base matemática en que se sustenta.

5 Se puede concluir que es un buen método de compresión para cierto tipo de imágenes y video. Por ser un método de compresión Lossy (con pérdida de información), sirve solamente para comprimir ciertos tipos de señales (tales como imagen y video). Bibliografía 1. Barnsley, M. F., Sloan, A. Methods and Apparatus for Image Compression by Iterated Function Systems, United States patent # , 10 de Julio, Barnsley, M. F. Fractals Everywhere, Academic Press, San Diego, 1988, Jacquin, A. E. Image Coding Based on a Fractal Theory of Iterated Contractive Image Transformations, IEEE Transactions on Image Processing, vol. 1, no. 1, Enero 1992, pp Gonzalez, R. C., Woods, R. E. Digital Image Processing, Addison-Wesley Publishing Company, 1992, ISBN Lu, Ning. Fractal Imaging, Academic Press, 1997, ISBN Fisher, Yuval (Editor). Fractal Image Compression. Theory and Applications, Springer- Verlag New York Inc., 1995, ISBN Rojas, G. Compresión Fractal de Imágenes. Publicación interna. Departamento de Física, Universidad de Santiago de Chile, 1994.

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