El término de error en los esquemas de diferencias finitas

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1 El térmio de error e los esquemas de diferecias fiitas Selee Solorza, Carlos Yee-Romero, Adia Jorda-Aramburo y Samuel Cardeña-Sáchez Facultad de Ciecias, Uiversidad Autóoma de Baja Califoria, Km. 103 carretera Tijuaa-Eseada, CP 22860, Eseada, B.C., México. (Recibido el 30 de Septiembre de 2009; aceptado el 17 de Diciembre de 2009) Resume Debido a su simplicidad, los esquemas de diferecias fiitas se usa frecuetemete e las simulacioes uméricas de aquellos feómeos físicos que se puede represetar mediate modelos matemáticos que ivolucra ecuacioes difereciales. Esta metodología se basa e la hipótesis de la equivalecia etre las derivadas (domiio cotiuo) y las ecuacioes de diferecias (domiio discreto). Si embargo, tal equivalecia se obtiee de trucar la expasió e serie de Taylor de la fució descoocida, lo cual e la mayoría de los casos implica que la ecuació de diferecias solamete será ua aproximació de la ecuació diferecial. El térmio de error e los esquemas de diferecias represeta la diferecia que existe etre la solució e el domiio cotiuo (solució aalítica) y la solució e el domiio discreto (solució umérica). Y, sólo se tedrá ua apropiada equivalecia etre ambos domiios, si el térmio de error es cero. Desafortuadamete esto último o sucede e la mayoría de los problemas, y los estudiates de los primeros años de liceciatura e ciecias tiee dificultades e compreder el sigificado de dicho térmio que aparece e los esquemas de diferecias fiitas. Palabras clave: Diferecias fiitas, el térmio de error, esquemas recursivos. Abstract Due to the simplicity, the fiite differece method is frequetly used i umerical simulatios for physical pheomea represeted by mathematical models ivolvig differetial equatios. This methodology is based o the assumptio of the equivalece betwee the derivatives (cotiuous domai) ad the differece equatios (discrete domai). However, such equivalece is obtaied by a trucated Taylor series expasio of the uow fuctio, which obviously implies that the differece equatio will be oly a approximatio of the differetial equatio. The error term i the fiite schemes represet the differece betwee the solutio i the cotiuous domai (aalytical solutio) ad the solutio i the discrete domai (umerical solutio). Ad, oly we have a appropriate equivalece betwee both domais if the error term is zero. Ufortuately this does ot happe i the majority of the problems, ad the first years-old studets of a sciece major have difficulties i compreheds the meaig of such term that appears i the fiite differece schemes. Keywords: Fiite differece, recursive schemes, the error term. PACS: H, Lc, Cb, Lj, Bf ISSN I. INTRODUCCIÓN implemetació computacioal las ecuacioes recursivas de diferecias fiitas so uo de los métodos uméricos La mayoría de las propiedades cualitativas y cuatitativas más utilizados para resolver modelos matemáticos que de los feómeos físicos se puede represetar mediate ivolucra ecuacioes difereciales, las cuales ha sido ecuacioes difereciales ordiarias o parciales co estudiadas desde el iicio del siglo pasado [2, 3, 4, 5]. codicioes de frotera y/o iiciales para algú domiio. La ecuació recursiva de diferecias fiitas se Ua vez que el modelo matemático está bie defiido, el costruye sustituyedo las derivadas (domiio cotiuo) siguiete paso es ecotrar su solució aalítica. Si del modelo matemático por sus correspodietes embargo, este paso se puede volver muy complicado ecuacioes de diferecias (domiio discreto). Etoces, el puesto que sólo alguos modelos matemáticos tiee valor de los putos seleccioados (úmero fiito de solució aalítica [1]. putos) e el domiio discreto se covierte e las Cuado la solució aalítica de u problema de valor a icógitas e lugar de la variable depediete que es la frotera es descoocida o muy complicada de ecotrar, cotiua (úmero ifiito de putos). Esecialmete, e comúmete se utiliza métodos uméricos para esta metodología el domiio se discretiza y la solució de determiarla. Y, debido a su simplicidad de costrucció e la ecuació diferecial se busca e los putos discretos Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 4, No. 1, Ja

2 Selee Solorza, Carlos Yee-Romero, Adia Jorda-Aramburo y Samuel Cardeña-Sáchez mediate la relació recursiva [6]. Por lo que, la solució A. El térmio de error e las ecuacioes de diferecias del esquema de diferecias fiitas, de aquí e adelate llamada solució umérica, será ua buea aproximació Para costruir la ecuació de diferecias para de la solució aalítica cuado el domiio se discretice ux,t ( ), se apropiadamete [7,8]. Si embargo, e la mayoría de los toma la expasió e serie de Taylor de uxt (, +Δ t) casos es muy complicado ecotrar la discretizació exacta del domiio. Etoces, para asegurar que la alrededor del puto (x,t), etoces de la ecuació (1) solució umérica se parezca a la solució aalítica, la teemos que ecuació de recurrecia debe satisfacer las codicioes de estabilidad y covergecia. Frecuetemete estas ux,t ( +Δt)= u(x,t) +Δt ux,t ( ) + + Δt ux,t ( ) +, (2) codicioes so muy tediosas de establecer; pero ua vez! que la codició de estabilidad se determia, ésta os ayudará a teer ua idea de como discretizar el domiio, y reescribiedo la ecuació (2) como auque por lo regular o os idica la discretizació 2 2 exacta. Etoces, existirá ua diferecia etre la ecuació u( xt, ) u( xt, +Δt) uxt (, ) 1 u( xt, ) Δt u( xt, ) = +Δt diferecial y su correspodiete esquema de diferecias; 2 Δt 2! t!, (3) dicha diferecia es medida mediate el térmio coocido como el error del esquema de diferecias. podemos escribir la ecuació (3) e forma compacta de la Por lo que surge las siguietes pregutas: Cómo siguiete maera debe ser el térmio de error para que la solució umérica se parezca a la solució aalítica?, existirá ua maera de u( x,t) ux,t ( +Δt) u(x,t) costruir el esquema de diferecias de forma que el = + O( Δt). (4) Δt térmio de error sea cero?. E la siguiete secció se describe la metodología Si O( Δt) = 0 etoces tedríamos ua represetació estádar para costruir esquemas de diferecias fiitas y exacta e el domiio discreto de la diferecial parcial de la tambié la forma de obteer las relacioes de recurrecia ecuació (4), esto es dode el térmio de error sea cero, para la ecuació de Schrödiger idepediete del tiempo y la ecuació de DP = ED, (5) oda e ua dimesió espacial. Fialmete, las coclusioes se preseta e la secció III. II. LOS ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINI- TAS La metodología estádar para costruir los esquemas de diferecias fiitas se basa e sustituir cada operador diferecial del modelo matemático por su respectiva ecuació de diferecias. Tales ecuacioes de diferecias se obtiee de la expasió e series de Taylor de la fució descoocida. E este trabajo sólo se cosidera fucioes de ua y dos variables, por lo que usaremos el teorema de Taylor especializado para fucioes de dos variables [9]: Si u(x,t) es ua fució suave, es decir, es ua fució que es ifiitamete difereciable, sobre D= { x [ x 0 r,x 0 +r], t [ t 0 r,t 0 +r] }, dode x 0, t 0, r so úmeros reales, etoces u(x,t) = = 0 j= 0 ( ) j ( t t 0 ) j ux,t ( ) 1 x x! j 0 x j j dode! = es el coeficiete biomial. j j! ( j)! ( x 0,t 0 ), (1) dode DP y ED represeta, respectivamete, la derivada parcial y la ecuació de diferecias. Si embargo, e la mayoría de los problemas físicos esto o sucede, así que se tiee que cosiderar que Δt es ifiitamete pequeño para que el térmio O( Δt) de la ecuació (4) tieda a cero, es decir, lo que e realidad se tiee es DP = ED + O( Δt), (6) etoces, el térmio O( Δt) es el error de represetar a la diferecial parcial por la ecuació de diferecias. Dicho error surge de trucar los térmios etre parétesis de la expasió e serie de Taylor de la ecuació (3). Notemos que e el caso de la ecuació (3) el térmio de error tiede a cero coforme lo hace Δt, así que decimos que (3) tiee u térmio de error lieal. Cuado la O Δ t diremos que ecuació tega u térmio de la forma ( ) tiee u error de orde. Al discretizar el domio como x Δx, t Δt, (7) dode, so úmeros eteros y Δx, Δt so el tamaño de paso de la discretizació del domiio D e las coordeadas x y t, respectivamete, etoces podemos defiir a la fució cotiua ux,t ( ) e el puto (,) e el domiio discreto como Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 4, No. 1, Ja

3 (, ) Así pues, la ecuació (4) se reescribe ( ) u x,t u x t u. (8) = u +1 u + O( Δt), (9) Δt etoces, teemos ua fórmula que expresa la primera derivada parcial, co respecto a la variable t, de la fució cotiua ux,t ( ) e térmios de la fució evaluada e los putos (,+1) y (,), es por eso que a la ecuació (9) se le cooce como ecuació de diferecias progresivas e el tiempo. De la misma maera, para costruir la ecuació de diferecias para 2 u( x, t), se toma la expasió e serie de t 2 Taylor de ux,t ( +Δt)+ ux,t ( Δt) alrededor del puto ( x,t) y después de agrupar térmios tedremos que 2 u( x, t) = u +1 2 u 1 + u + O( Δ t 2 ), (10) 2 Δ t 2 a esta ecuació se le cooce como ecuació de diferecias cetradas e el tiempo, puesto que para calcular la seguda derivada parcial, co respecto a la variable t, de la fució ux,t ( ) se ecesita de la fució evaluada e los putos (,+1), (,) y (, 1). Para fucioes de ua variable, el procedimieto para obteer las ecuacioes de diferecias es el mismo descrito ateriormete, por lo que d 2 ux () dx 2 du() x = u u +1 dx Δx + O( Δx), (11) = u 2u + u O( Δx 2 ). Δx (12) 2 E las siguietes dos subseccioes estudiaremos el térmio de error de los esquemas de diferecias fiitas para la ecuació de Schrödiger idepediete del tiempo y la ecuació de oda e ua dimesió espacial. B. La ecuació de Schrödiger El desplazamieto de u electró, ψ( x), moviédose libremete e ua caja uidimesioal está goberado por la ecuació de Schrödiger idepediete del tiempo dada por El térmio de error e los esquemas de diferecias fiitas El esquema de diferecias fiitas para la ecuació (13) se obtiee sustituyedo la ecuació (12) e la (13), y después de agrupar apropiadamete los térmios se tiee que 2m ψ +1 = 2 Δx 2 E ψ ψ 1, (14) otado que el esquema se costruyó co u error de trucamieto de la forma O( Δx 2 ). Etoces, si deseamos costruir u esquema dode el error sea meor, debemos agregar térmios a la serie de Taylor, y si queremos que el error sea ulo debemos tomar a la serie de Taylor e su etidad completa. Por ejemplo, si vamos a costruir u esquema dode el térmio de error sea cero, etoces o debemos desechar igú térmio de la serie de Taylor, es decir, x d ψ x d ψ ψ ( x+δ x) + ψ( x Δ x) = 2 ψ( x) + Δ + Δ 2 2! dx + + (2 )! dx. (15) De la ecuació (13) obteemos las relacioes para las derivadas de orde superior, esto es, d 2 ψ 2 m = ( 1) E ψ ( x ), (16) dx 2 2 dode es u úmero etero positivo. Al sustituir (16) e los térmios etre parétesis cuadrados de la ecuació (15), esta se reescribe como 2 2mE Δx 2mE Δx ψ ( x+δ x) + ψ( x Δ x) = (1) ψ() x 2 2 +, 2! (2 )! (17) otado que el térmio etre parétesis cuadrados es la expasió e serie de potecias de 2mE cos Δx, etoces la ecuació (17) se simplifica como ψ( x +Δx)+ψ( x Δx)= 2cos 2mE Δx ψ(x), (18) e el domiio discreto el esquema de diferecias fiitas aterior, llamado tambié esquema de diferecias fiitas exactas (DFE) porque el térmio de error es cero, se escribe como 2 2 m d 2 ψ ( x ) = E ψ ( x ), (13) dx 2 2mE ψ + 1= 2cos Δ x ψ ψ. (19) 1 dode = J s es la costate de Plac, m es la masa de la partícula y E es la eergía asociada a la Es coocido que la solució aalítica de la ecuació (13) partícula. tiee forma siusoidal. Como se observa, el esquema recursivo (19) icorpora explícitamete u térmio siusoidal, mietras que el esquema tradicioal (14) sólo Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 4, No. 1, Ja

4 Selee Solorza, Carlos Yee-Romero, Adia Jorda-Aramburo y Samuel Cardeña-Sáchez toma e cosideració los dos primeros térmios de la expasió del coseo e serie de potecias. Así, que existe ua sustacial diferecia etre el esquema de diferecias fiitas tradicioal (DF) y el exacto (DFE). Por ejemplo, si cosideramos u electró de masa Kg moviédose libremete detro de ua caja uidimesioal de logitud m, la ecuació (13) sujeta a las codicioes de frotera ψ ( 0) = 0 y ψ()= L ψ( )= 0, tiee la siguiete solució aalítica (SA) de 10 12, si embargo esperaríamos que fuera cero por haber usado u esquema exacto. Los valores del error absoluto porcetual o so cero debido a la limitació de aritmética o exacta de las computadoras. Para el esquema de diferecias fiitas (14) co O(Δ 2 ) los valores del error absoluto porcetual so del orde de 10 1, por lo que existe oce órdees de magitud de diferecia e el error absoluto porcetual de ambas solucioes uméricas. C. La ecuació de Oda ψ x ()= se π L x, (20) = co E = Para facilitar el aálisis del térmio de error e este ejemplo, se seleccioará el segudo modo (=2) de la fució (20) ormalizada y se discretizará el espacio usado Δx= m. La figura 1(a) muestra mediate la curva cotiua egra la gráfica de la solució aalítica (SA) de la desidad de probabilidad del electró, co la curva puteada egra la solució del esquema de diferecias fiitas exactas (DFE) y e círculos egros la solució del esquema de diferecias fiitas (DF). La figura 1(b) y 1(c) muestra los valores del error absoluto porcetual (EAP) de las solucioes uméricas. El error absoluto porcetual represeta ua maera de medir la diferecia que existe etre la solució umérica (SN) y la solució aalítica (SA), matemáticamete se calcula como EAP = SA SN 100 %. (21) La ecuació de oda e ua dimesió espacial está dada por 2 u( x, t ) t 2 2 u( x, t ) = c 2, (22) x 2 dode u( x, y) represeta la posició del objeto e la direcció x e el tiempo t y c es la velocidad a la cual se mueve. El esquema de diferecias fiitas para la ecuació (22) se obtiee sustituyedo la ecuació (10) correspodiete al tiempo y al espacio e la ecuació (22), y después de agrupar apropiadamete los térmios, se obtiee u +1 + u 1 = σ 2 u +1 2 u ( + u 1 )+ 2 u, (23) co la restricció que σ 2 = c Δt Δx 2 1, (24) la cual es coocida como la codició de estabilidad de Courat-Friedrichs-Lewy [5], ombrada así e hoor de Richard Courat, Kurt Friedrichs y Has Lewy. Si deseamos costruir u esquema dode el térmio de error sea cero, etoces partimos de la expasió e serie de Taylor de ux,t ( + Δt)+ ux,t ( Δt) alrededor de (x,t) para teer que Δt u(,) x t uxt (, +Δ t) + uxt (, Δ t) = 2 uxt (, ) + + +, ( 2 )! (25) dode es u úmero etero. Posteriormete, de la ecuació de oda (22) geeramos las siguietes relacioes FIGURA 1. (a) Desidad de probabilidad del electró. (b) Error absoluto porcetual de la solució umérica del esquema de DFE. (c) Error absoluto porcetual del esquema de DF. 2 u( x, t) 2 = c 2 2 u( x, t), (26) x 2 que al sustituirlas e la ecuació (25), esta se reescribe como Para la solució del esquema de diferecias fiitas exactas (19) los valores del error absoluto porcetual so del orde Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 4, No. 1, Ja

5 ( ct Δ ) ( ) uxt (,) uxt (, +Δ t) + uxt (, Δ t) = 2 uxt (, ) + + +, 2! x (27) El térmio de error e los esquemas de diferecias fiitas Etoces, co este ejercicio tambié mostramos que el esquema de DFE es idepediete del tamaño de paso seleccioado mietras que la relació recursiva de DF variará co la discretizació seleccioada para el domiio. etoces, al defiir Δx = cδt, (28) se obtiee que el esquema de diferecias fiitas exactas para la ecuació de oda (22), es u +1 + u 1 = u +1 + u 1, Δ x = cδ t. (29) El esquema de diferecias fiitas (29) muestra ua úica forma de discretizar el domiio, mietras que el esquema (23) preseta u si fi de posibilidades, segú el valor de σ 2 que se seleccioe. Por ejemplo, la ecuació de oda (22) sujeta a las siguietes codicioes de frotera u( 0,t)= u( 1, t)= 0, t > 0, (30) y codicioes iiciales ( ) ( π ) (, ) uxt ux,0 = semx, = 0, 0< x< 1, (31) t t= 0 dode m es u úmero etero, tiee la solució aalítica FIGURA 2. (a) Movimieto de ua cuerda de u 1 cm de logitud para t=0.3 seg, Δx =0.1 cm y σ =1/2. (b) Error absoluto porcetual de la solució del esquema de diferecias fiitas exactas. (c) Error absoluto porcetual de la solució del esquema de diferecias fiitas. u(x,t) = se (mπx)cos( mπt). (32) m= Para facilitar el aálisis del térmio de error e este ejemplo, se seleccioará sólo el primer modo de vibració, esto es m =1 y se usará c =1 cm/seg. E el esquema exacto (29) se discretizará el domiio e el espacio y el tiempo usado Δx = 0.1 cm y Δt = 0.1 seg, respectivamete. Y para el esquema tradicioal (23) se escogerá σ = 1/2 co Δx = 0.1 cm, por lo que Δt = 0.05 seg. La figura 2(a) muestra la gráfica de la solució aalítica (curva egra cotiua), la solució umérica del esquema de DFE (curva egra puteada) y la de DF (curva egra de círculos). La figura 2(b)-(c) preseta los valores del EAP para las solucioes uméricas obteidas co los esquemas de DFE y DF. Estas gráficas muestra que esecialmete la relació de recurrecia de DFE tiee valores del EAP prácticamete de cero mietras que DF alcaza valores de hasta el 0.2%. La teoría predice que los valores del EAP tederá a cero coforme σ 2 tieda a uo, etoces el ejemplo umérico se repite pero ahora co σ = 3/4. Los resultados se muestra e la figura 3, obteiedo que efectivamete los valores del EAP se reduce, ahora sólo llega hasta el 0.1%, mietras que para el esquema de diferecias fiitas exactas permaece prácticamete igual, del orde de %. FIGURA 3. (a) Movimieto de ua cuerda de u 1 cm de logitud para t=0.3 seg, Δx = 0.1 cm y σ = 3 / 4. (b) Error absoluto porcetual de la solució del esquema de diferecias fiitas exactas. (c) Error absoluto porcetual de la solució del esquema de diferecias fiitas. Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 4, No. 1, Ja

6 Selee Solorza, Carlos Yee-Romero, Adia Jorda-Aramburo y Samuel Cardeña-Sáchez IV. CONCLUSIONES REFERENCIAS Frecuetemete las solucioes uméricas obteidas mediate diferecias fiitas se utiliza para predecir el comportamieto de feómeos físicos. Tambié, e ocasioes se usa para calcular las codicioes iiciales de algoritmos uméricos más complicados. Por lo que es importate compreder el sigificado del térmio de error e dichos esquemas y la forma e que el domiio se discretiza. Si se logra costruir esquemas de recurrecia dode el error es cero, etoces tedremos ua apropiada discretizació del domiio y podremos asegurar que la solució umérica reproducirá fielmete a la solució aalítica. Pero si este o es el caso, etoces el objetivo es costruir esquemas e los que podamos asegurar que la solució umérica se parecerá a la solució aalítica del problema plateado, además de buscar que los esquemas sea estables, es decir, que pequeños cambios e el tamaño de paso o ocasioe cambios cosiderables e la solució umérica. [1] Kreyszig, E., Advaced Egieerig Mathematics (Joh Wiley & Sos, New Yor, 1979). [2] Batchelder, M., A Itroductio to Liear Differece Equatios (Harvard Uiversity Press, Cambridge, 1927). [3] Boole, G., Calculus of Fiite Differeces (Chelsea, 4th editio, New Yor, 1958). [4] Richtmyer, R. D. ad Morto, K.W., Differece Methods for Iitial-Value Problem (Itersciece, New Yor, 1967). [5] Hildebrad, F. B., Fiite-Differece Equatios ad Simulatios (Pretice-Hall, Eglewood Cliffs, New Jersey, 1968). [6] Mitchell, A. R. ad Griffiths, The Fiite Differece Method i Partial Differetial Equatios (Joh Wiley & Sos, New Yor, 1980). [7] Solorza, S., Diferecias Fiitas: U Estudio Pedagógico (Cetro de Ivestigació Cietífica y de Estudios Superiores de Eseada, B.C., México, 1999). [8] Cardeña-Sáchez, S., Diferecias Fiitas Exactas Para Ecuacioes Difereciales Parciales E Ua Dimesió Escalar (Uiversidad Autóoma de Baja Califoria, B.C., México, 2008). [9] Arfe, G. B., Mathematical Methods for Physicists (Academic Press, New Yor, 2001). Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 4, No. 1, Ja

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