Flujo máximo: Redes de flujo y método de Ford-Fulkerson. Jose Aguilar

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1 Flujo máximo: Rede de flujo y méodo de Ford-Fulkeron Joe Aguilar

2 b a d c Flujo en Rede. Flujo máximo

3 Algorimo de Flujo Lo algorimo de flujo reuelven el problema de enconrar el flujo máximo de una fuene a un umidero repeando una erie de rericcione. Lo flujo e miden como el flujo que ale de un nodo, i aí ocurriera el flujo e conidera poiivo, en cao conrario enemo un flujo negaivo. La fuene iene un flujo neo poiivo, el umidero iene un flujo neo negaivo, y lo nodo inermedio en lo camino que van de la fuene al umidero ienen un flujo neo igual a cero. propiedad de conervación del flujo f i = f o (por nodo). Equivalene a la leye de conervación de la maeria en fíica y leye de Kirchoff en elecricidad.

4 Algorimo de Flujo Uo: modelado de flujo en ubería, pieza a ravé de línea de enamblado, corriene en rede elécrica, información en rede de comunicación, ec. Una red de flujo G=(N,A) e un grafo dirigido al que cada arco (u,v) A poee una capacidad c(u,v) 0. Si (u,v) A, c(u,v)=0. Se diinguen vérice, el fuene y el deino. Cada vérice v N ea en algún ~>v~>. El grafo e conexo A N - peo de la aria repreena la capacidad máxima de ranporar un flujo.

5 Algorimo de Flujo Problema: Maximizar la canidad de flujo dede un vérice fuene a oro umidero, in uperar la rericcione de capacidad. Méodo de Ford-Fulkeron para reolver el problema de máximo flujo. Problema del flujo máximo: enconrar la raa máxima a la cual el maerial puede er ranporado de una fuene () a un deino (), in violar la rericcione de capacidad de la red.

6 Flujo Máximo Rericcione: La uma de la enrada de cada nodo inerior debe er igual a la uma de u alida. Lo valore de flujo en cada aria no pueden uperar lo valore máximo. G b d a c J. Aguilar 6

7 Flujo Máximo Solución. G: grafo del problema. F: grafo reulane. G b d F b 0 d a c a c El problema e puede reolver de forma eficiene. Poible algorimo: Enconrar un camino cualquiera dede haa. El máximo flujo que puede ir por ee camino e el mínimo coe de la aria que lo forman, m. Sumar m en el camino en F, y rearlo de G. Ojo: ee algorimo no garaniza olución ópima.

8 Rede de flujo Digrafo G=(V, E) Lo peo de la aria repreenan capacidad (c(u, v)> 0). Si no hay aria la capacidad e cero. Vérice epeciale: fuene, vérice in aria de enrada. umidero, vérice in aria de alida. El grafo e conecado: Hay un camino enre y por algún vérice inermedio del grafo. J. Aguilar 8

9 0 / 7 / 7 Rede de flujo Un flujo en G e una función real f : VxV que aiface la iguiene propiedade: Rericción de capacidad: Para odo u, v V, f (u, v) < c (u, v) Aniimería: Para odo u, v V, f (u, v) = f (v, u) Conervación de flujo: Para odo u V {, }, = 0 Valor del flujo: f = = / v v v v / 6

10 El problema del flujo máximo Se define como: dado G, (fuene) y (deino) enconrar el flujo neo oal máximo dede haa Flujo neo poiivo enrando a un nodo v e u N F(u,v) y el que ale e define iméricamene. J. Aguilar 0

11 Algorimo de Ford-Fulkeron E un méodo ieraivo que depende de re idea imporane: Red reidual Aumeno de camino Core Ua el eorema max-flow min-cu que caraceriza el flujo máximo en érmino de core de la red de flujo. En cada ieración e va coniguiendo un valor de flujo que aumena el camino, e decir, podemo aumenar el flujo en un camino de a. Ee proceo e repie haa que no haya má poibilidad de aumenar. J. Aguilar

12 Flujo reidual E el flujo diponible en una deerminada aria una vez que e ha enviado flujo por ella (en ningún cao el flujo neo reidual debe er mayor a la capacidad de dicha aria ni menor que cero). flujo reidual = capacidad flujo_acual, Dada una red de flujo G=(N,A) con fuene y deino Sea f el flujo en G, y conidere un par de verice u,v N. La canidad de flujo adicional que e puede verer obre u,v e la capacidad reidual. c f (u,v) = c(u,v) f(u,v)

13 Red reidual Un camino de flujo reidual e aquel camino de la fuene al umidero donde oda la aria en el camino ienen un flujo reidual mayor a cero red reidual conie en arco que admien má flujo (en ella aparecen lo camino de flujo reidual) Un arco (u, v) aparece en G f olo i (u, v) A y i hay una flujo neo poiivo o flujo reidual de u a v o (v, u) A y ea paando un flujo acual enre (v, u) A f A G con flujo f / /6 / / / /7 8/ / /0 G f

14 0 / 7 / 7 7 Rede reiduale Para una red de flujo y un flujo, la red reidual e el conjuno de aria que pueden admiir má flujo. Sea una red de flujo G=(V, E) con fuene y umidero. Sea f un flujo en G y un par de vérice u, v V. El flujo neo adicional dede u a v in exceder la capacidad c(u, v) e la capacidad reidual de (u, v), definida por: c f (u,v) = c(u,v) f(u,v) La red reidual de G inducida por f e G f = (V, E f ) donde E f = {(u,v) VxV: c f (u, v) > 0} G / v v G f v v v v / v v

15 Aumeno de camino Dada una red de flujo G=(N,A), un camino aumenado p e un camino imple de a en la red reidual G f. La canidad máxima de flujo que puede llevare por lo arco en un camino aumenado p e denomina capacidad reidual de p, y eá dado por: c f (p) = min {c f (u,v): (u,v) p} El méodo buca repeidamene aumenar el flujo a ravé de lo camino de aumeno haa alcanzar el máximo / /6 G con flujo f / / / /7 8/ / / c f (p)=c(, )= G f con camino aumenado p

16 0 / 7 / 7 7 Camino aumenane Un camino aumenane p en una red de flujo G=(V, E) y flujo f, e un camino imple de a en la red reidual G f. Cada aria (u, v) del camino aumenane admie un flujo neo poiivo adicional de u a v in violar la rericción de capacidad de la aria. Capacidad reidual: e la máxima canidad de flujo neo que e puede enviar por la aria de un camino aumenane. Se calcula por: c f (p) = min{c f (u,v) (u,v) p} G / v v G f C f = min{,, } = v v v v / v v

17 0 / 7 / 7 Core en rede de flujo Un core (S, T) de una red de flujo G=(V, E) e una parición del conjuno de vérice V en do ubconjuno S y T = V S al que S y T. Si f e un flujo: f(s, T) e el flujo neo a ravé del core (S,T). c(s, T) e la capacidad del core (S,T). Flujo en una red = flujo neo a ravé de cualquier core de la red. G S / T v v Core = ( {, v, v }, {, v, v } ) f(, ) = f(v, v ) + f(v, v ) + f(v, v ) = + (-) + = 9 v v / c(, ) = c(v, v ) + c(v, v ) = + = 6

18 Teorema flujo-máximo mínimo-core Si f e un flujo en una red de flujo G = (V, E) con fuene y umidero, enonce la iguiene condicione on equivalene: f e un flujo máximo en G. La red reidual G f no coniene camino aumenane. f = c(s, T) para algún core (S, T) de G. J. Aguilar 8

19 Teorema max-flow min-cu Core (S, T) S={,, } T={,, } f(s, T) = 9 c(s, T) = 7 /6 0 0 / 8/ / /9 / 7/7 G con flujo f / /0 Teorema: El máximo valor de enre odo lo flujo en una red e igual a la capacidad mínima de enre odo lo core.

20 Algorimo de Ford-Fulkeron FORD-FULKERSON( f, ) Para cada aria (u, v) en el grafo f[u][v] = 0 f[v][u] = 0 Mienra exia un camino de flujo reidual enre f y incremeno = min(cap(u,v) al que (u,v) eá en el camino p) para cada aria (u,v) en el camino f[u][v] = f[u][v] + incremeno f[v][u] = -f[u][v] J. Aguilar 0

21 0 7 7 / 0 7 / Grafo Reidual v v Ejemplo Flujo / v v v v v v / 8 v v / v v 0 v v v v /

22 7 0 / 7 / / 7 / 7 Grafo Reidual 8 v v Ejemplo Flujo / v v v v v v / v v / v v v v v v /

23 7 0 / 7 / 7 Ejemplo y complejidad Grafo Reidual Flujo v v / v v v v v v / Para hallar el camino aumenane e puede uar cualquier ipo de recorrido (BPA o BPP). La capacidad de cada aria e puede muliplicar por un facor de ecala para coneguir que ea enera. Bajo ea condicione el algorimo iene una complejidad de O(E f * ), donde f * e el máximo flujo obenido por el algorimo.

24 0 0 Cmin = Cmin = 0 Cmin = Qué paa i la aria (,) o (,) cambian de igno? Algorimo de Ford-Fulkeron

25 0 0 Cmin = Cmin = 0 Cmin = Algorimo de Ford-Fulkeron Do cao Sin conraflujo: e deiene el algorimo en ea ieración=> Fllujo Max.= Con conraflujo: aparece ee camino aumenado J. Aguilar

26 Dirección del Flujo Algorimo de Ford-Fulkeron Flujo Máximo Con conraflujo Sin conraflujo 0 S S T T

27 Algorimo de Ford-Fulkeron fordfulkeron(nodo:, ) {pre: n > 0 } {po: n > 0 } [ f(u, v), f(v, u) = 0, 0 ] (u, v) A // Inicia f ( un p de a en Gf ) [ cf(p) = min(cf(u, v) : (u, v) eá en p [ f(u, v) = f(u, v) + cf(p) f(v, u) = - f(u, v) ] (u, v) en p ] // Aumena el flujo a lo largo de p // por cf (p) haa que no hayan ma p -u, v: Nodo. Nodo del grafo. -Gf: Grafo. Grafo reidual. -cf: Enero.Capacidad reidual -p: Camino aumenado de Gf. -f: Arreglo(n x n)de [Enero]. Flujo del arco. J. Aguilar 7

28 Ora idea baada en Core de la red de flujo Un core (S,T) de la red de flujo G=(N,A) e una parición de N en S y T=N-S al que S y T. Si f e el flujo, enonce El flujo de red a ravé del core (S,T) e define f(s,t) La capacidad del core (S,T) e c(s,t) El flujo neo a ravé del core (S, T) e f(s, T) = f El valor de cualquier flujo f en una red de flujo G eá limiado uperiormene por la capacidad de cualquier core de G.

29 Exenione Rede con vario nodo fuene y vario nodo deino: Se reduce al anerior colocando do nodo ficicio denominado: nodo uperfuene y nodo uperdeino, Anexar un arco (, i) por cada nodo fuene de G para i =,,..., m y un arco (j, ) por cada nodo deino de G para j =,,..., n. Ambo nodo e conecan a lo oro nodo con arco de capacidad.

30 Exenione S T

31 Ee ipo de grafo irve para reolver problema como el de aignación de area. Si uponemo que el conjuno R repreena a un grupo de rabajadore y que L correponde a un conjuno de area, La aria repreenan la relación de que un rabajador puede realizar deerminada area. El problema conie en aignar la mayor canidad de area para que ean realizada por lo rabajadore. Grafo biparido Problema inereane que e puede reducir a un problema de flujo máximo e el del aparejamieno ("maching ) bipario máximo. Biparido ignifica que e pueden idenificar en el grafo do ubconjuno de vérice L y R de al manera que uno de lo exremo de la aria eá en R y el oro L. La aria (u,v) donde u y v perenecen al mimo conjuno no eán permiida. N puede er dividido en N = L U R, L R = y odo la aria en A van de lo nodo de L a lo de R.

32 L R Grafo biparido Dado un grafo no dirigido G = (N, A), un "maching" e un ubconjuno de aria M A, al que para odo lo nodo v N, a lo umo una aria de M incide en v. Aignación de cardinalidad Aignación de cardinalidad Un "maching" M e máximo i iene una cardinalidad máxima al que para cualquier M' e iene M' M.

33 Grafo biparido Se puede uar el algorimo de Ford-Fulkeron para reolver dicho problema. Si enemo el grafo biparido G = (N, A) e conruye el grafo de flujo G = (N, A ) de la iguiene manera Agregar do nodo ficicio y, N' = N U {, } Lo arco de G' on la aria de A dirigida de L a R, má la aria de/a lo nodo ficicio. A'= {(,u) : u L}U {(u,v) : u L,v R,(u,v) A}U {(v,) : v R} Aignar capacidad de a lo arco de A'..

34 Grafo biparido S T

35 Grafo biparido Si M e una aignación ("maching") en G, enonce hay un flujo de valor enero en G' cuyo valor f = M y vicevera. La cardinalidad de la aignación máxima en un grafo bipario G e el valor del flujo máximo en u correpondiene red de flujo G'.

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