Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos

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1 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd 20,45 Se enlistn todos los divisores de 20,2,4,5,0,20 Se enlistn todos los divisores de 45,,5,5,45 Como queremos encontrr el número más grnde que divid 20 y45, loclizmos l número más grnde que está en ms lists: 5. mcd 20,45 5 Inconveniente: Es stnte fcil que nos flte lgún divisor. 2. Descomposición en primos. Encontrr mcd 504,00 Se descomponen mos números en primos Se considern los primos que precen en ms descomposiciones, y se tom l potenci más chic con l que prece en ells sí que mcd 504,00 2 Por qué?

2 Si un número se descompone en producto de potencis de primos, por ejemplo entonces todos los divisores de él son productos de lgunos de estos primos elevdos lo más l potenci que indic dich descomposición. Por ejemplo, 2, 2 2 4, 2 8 son divisores de 504, pero 2 4 6, no es divisor de , 2 2 8, son divisores de 504, pero 2 54 no es divisor de 504. Ejercicio: Identific todos los divisores de 504 y descomponlos en primos pr verificr l firmción nterior. Si un fctor primo, por ejemplo el 2, prece en ms descomposiciones, entonces es divisor de mos números. Si un potenci de un primo, por ejemplo, 2 2, tiene un exponente menor o igul l exponente con el que prece en ms descomposiciones, entonces es potenci del primo divide mos números. Si dos números p, q, dividen los dos números, entonces su producto pq tmién los divide mos.. Algoritmo de Euclides Se divide el grnde entre el chico Dividimos el divisor entre el residuo Seguimos Nos fijmos en el último residuo distinto de cero, 2, y ese es el mcd 504,00 Por qué? ) Si d divide y entonces tmién divide culquier cominción linel de ellos s t, es decir, de l expresión nterior podemos fctorizr d. s t sd sd d s s ) El residuo de l división es un cominción linel de y

3 c r entonces c r r c c) Como en l iguldd c r podemos despejr culquier:,, c entonces un divisor de dos de ellos tmién es divisor del tercero, sí que mcd, mcd,r mcd,r El proceso es finito, pues cd vez lo hgo con números menores. El último resíduo distinto de cero, r n divide l número nterior, n, sí que él es r n mcd n,r n mcd, El lgoritmo de Euclides, en generl, es el más eficiente pr encontrr el mcd de dos números. Mínimo común múltiplo Ddos dos números y, el mínimo común múltiplo de ellos es el número más pequeño que es múltiplo de mos.. Lists ( tl vez el más intuitivo, pero el más ineficiente ) : Encontrr el mcm de 20 y 45 Los múltiplos de 20 son 20,40,60,80,00,20,60,80,200,,900, Los múltiplos de 45 son 45,90,5,80,225,,900, El número 80 es el más chico que prece en ms lists. Notmos que siempre hy elementos en ms lists, y que es múltiplo de y tmién de. En el ejemplo, Descomposición en primos. Encontrr mcd 504,00. Descomponemos mos números como producto de primos Se considern los primos que precen en lgun de ls dos descomposiciones, y se tom l potenci más grnde con l que prece en ells

4 sí que mcm 504, por qué? Si un número m es múltiplo de, entonces divide m, sí que m dee contener todos los fctores primos de, l menos l potenci con l que prezcn en. Si un número m es múltiplo de y, entonces dee contener todos los fctores primos de ode, l menos l potenci con l que prezcn en ellos. El mcm de y tendrá entonces todos los primos que son fctores de ode, y l potenci más chic que puede tener, dee ser l myor con l que prezc en ellos. En el ejemplo, el mcm de 504 y 00 dee contener l 2,, 7 pr que 504 lo pued dividir. Tmién dee contener l 2, y 5 pr que 00 lo pued dividir. El mcm dee contener 2 pr que se múltiplo de 504. y con es potenci, tmién es múltiplo de 00. y como estmos uscndo el mínimo múltiplo de mos, no es necesrio poner un potenci myor.. Utilizndo el mcd mcd, mcm, Encontrr el mcm de 504 y 00 mcm 504, MUY IMPORTANTE. Siempre es preferile simplificr los cocientes ntes de multiplicr. Números enteros En los números nturles (enteros positivos) podemos sumr siempre, pero sólo podemos restr cundo es myor que. Pr poder restr culquier pr de números, es necesrio ñdir más números. El cero y los inversos ditivos de los números nturles definimos l sum de enteros como: Si 0, 0 como ntes 0,, 2,, Si 0, 0 se sumn los vlores solutos y se tom el inverso ditivo del resultdo

5 Si 0, 0, se restn los vlores solutos (el grnde menos el chico) y se pone el signo del que teng myor vlor soluto Un mner forml de definir los enteros y sus operciones es l estilo de l contilidd. Luc Pccioli pulicó Summ de Arithmetic, Geometrí, Proportioni e Proportionlit en l que descrie el método de l prtid dole pr los sientos contles. El liro tiene 6 cpítulos dedicdos l contilidd. Cundo un person tiene un trjet de crédito, puede gstr con ell ( hce un crgo ) y puede hcer depósitos en ell ( hce un ono ) Al finl del período su estdo de cuent se ve más o menos sí crgos onos compr 2000 compr pgo 2700 compr 500 Totles esto signific que tenemos un sldo en contr de Otr person que únicmente hizo un compr de 800, tiene un sldo idéntico. Y otr más que relizó comprs por 5000 y vrios pgos por un totl de 200, tmién tiene un sldo de 800. Ests tres cuents son equivlentes, y podemos decir ( tl vez usndo un poco del lenguje ) que son igules. Podemos definir los enteros Z como prejs ordends, y definimos cuándo dos prejs representn l mismo número ( o son igules ), c,d d c L semejnz con l contilidd es: en,, represent los crgos ( el dee ) y los onos (el her ). En relidd, estmos pensndo que, represent l número. Así como en l contilidd, si hcemos un crgo y un ono por l mism cntidd, el estdo de cuent no se lter, si summos mos ldos l mism cntidd, el número entero no se lter. Tmién podemos pensr en l rect numéric, sí, signific cminr psos l derech y psos l izquierd. Oservemos l semejnz con l iguldd de frcciones d c d c Podemos definir l sum:

6 , c,d c, d Regresndo los ejemlos de sums nteriores; Puedo tomr culquier pr de prejs que representen l 5 y l 7 5,0 7,0 2, ,9 0,4 0, tengo en el ldo del her, 0, represent l 8,0 0,8,8 oservmos que,8 0,5 0,5 5 sí que,8 represent l ,0 0,5 4,5 9,0 9 Tmién definimos l multiplicción Pr recordrl, coloco ls prejs como si fuern polinomios, multiplico, en un column pongo los positivos y en otr los negtivos. c c d d c d sí que, c,d c d,c d Con ests dos definiciones, podemos pror que l sum y multiplicción son conmuttivs, que hy neutro ditivo, 0,0, y neutro multiplictivo,0, que l multiplicción se distriuye, y ls regls de los signos. Como ejemplo, mostrremos ls leyes de los signos,0 c,0 c 0,0 0 c,0,0 0,d 0 0,d 0 0,d 0, 0,d 0 d,0 0 d,0 Frcciones, números rcionles, querdos.

7 Ls frcciones, o números rcionles son expresiones 0. En relidd, l notción signific con y enteros y Lo que estmos hciendo l construir los números rcionles, es ñdir nuestro sistem numérico los inversos multiplictivos de todos los números distintos de cero. El inverso multiplictivo de 2 es 2, 2 2 El inverso multiplictivo de 4 es Un vez ñdidos estos inversos, hy que ñdir todos los resultdos posiles de sums y productos de ellos con los enteros y de ellos con otros de ellos. Así, l her ñdido l sistem numérico, hy que ñdir 5 2 5, 5, 5, Identificmos dos frcciones como el mismo número si: d c si y solo si d c s 2 4 porque Ojo, en d c no necesrimente c y d son múltiplos enteros de y o vicevers, por ejemplo y que pero 0 y 5 no son múltiplos de 4 y 6, ni vicevers. Clrmente f f sí que cd vez que identifiquemos un fctor común en el numerdor y en el denomindor, lo podemos simplificr Decimos que estáescritensumínimexpresiónsi y no tienen fctores #

8 comunes. Tmién es cierto y que y y que Identificción de un frcción en l rect Pr identificr un frcción, con 0, dividimos el intervlo 0, en prtes igules. L primer mrc corresponde Si 0, cminmos psos de tmño hci l derech del 0 Si 0, cminmos psos de este mismo tmño, pero hci l izquierd. 0 Si 0, 0. Nos quedmos en 0. Por el prrfo nterior, si 0, cmimos el signo rri y jo y trjmos con el denomindor positivo. Sum de frcciones por qué l tener el mismo denomindor, se sumn los numerdores? Porque l multiplicción se distriuye en l sum Antes de seguir... Dividir es lo mismo que multiplicr por el inverso multiplictivo Pr sumr, lo que deemos hcer es escriir ls dos frcciones de mner que tengn el mismo denomindor, pr ello nos poymos en l propiedd (ref: f) Podemos hcerlo de l mner más urd: Multiplicr un de ells por el denomindor de l otr

9 y luego simplificr lo más posile o hcerlo más inteligentemente, uscndo que en el común denomindor esté un multiplo de 0 yde5 más chico. Idelmente, trtmos de poner el mínimo común múltiplo de ellos. De hí viene el nomre de mínimo común denomindor ? 0? y deemos pensr: por cuánto multipliqué 0 pr otener 0? y que deo multipllicr l por el mismo número. Este fctor lo encontrmos dividiendo 0 0 Por eso cntmos: 0 0, 9 Similrmente: 0 5 2, Como en el pso intermedio, ls dos frcciones tienen el mismo denomindor, solemos escriir que no es ms que fctorizr 0 Siempre costumren sus lumnos poner el mínimo común denomindor. Multiplicción de frcciones

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