Ejercicios resueltos de probabilidad

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1 Ejercicios resueltos de probabilidad. El 70% de empresas tiee errores e sus activos fiacieros, el 60% tiee errores e sus pasivos fiacieros y el 40% tiee errores e sus activos y e sus pasivos fiacieros. Obté razoadamete el porcetaje de empresas si errores e sus activos, e sus pasivos o e ambos. De ua muestra de 00 empresas, cuátas se espera que o tega errores i e sus activos i e sus pasivos fiacieros? Llamemos A {teer errores e los activos fiacieros} y B {teer errores e los pasivos fiacieros}. Etoces P(A) 0 7, P(B) 0 6 y P(A B) 0 4. El suceso o teer errores e los activos fiacieros es A y por tato P( A ) P(A) lo que sigifica el 0%. El suceso o teer errores e los pasivos fiacieros es B y por tato P( B ) P(B) lo que sigifica el 40%. El suceso o teer errores e ambos equivale a o teer errores e los activos fiacieros y o teer errores e los pasivos fiacieros, es decir, A B. Pero, por las leyes de Morga, A B A B. Etoces P( A B ) P( A B ) P(A B) [P(A) P(B) P(A B)] ( ) lo que sigifica u 0%. Segú lo aterior se espera que u 0% de las empresas o tega errores i e sus activos i e sus pasivos fiacieros. Si teemos ua muestra de 00 empresas 0 podemos esperar que 00 0 empresas o tega errores i e sus activos i 00 e sus pasivos fiacieros.. U jugador de fútbol, especialista e lazar pealtis, mete 4 de cada que tira. Para los próximos tres pealtis se cosidera los siguietes sucesos: A {mete sólo uo de ellos}, B {mete dos de los tres} y C {mete el primero}. Halla la probabilidad de los sucesos A B, A C y B C. Llamemos M al suceso meter pealti. Etoces P(M) 4 y por tato P( M ). Observemos que el suceso A es equivalete a meter el primero y o meter el segudo y o meter el tercero, o bie o meter el primero y meter el segudo y o meter el tercero, o bie o meter el primero y o meter el segudo y meter el tercero, que simbólicamete podemos escribir así: A (M M M ) ( M M M ) ( M M M ) Los subídices idica el úmero del pealti lazado. Observemos tambié que cada uo de los sucesos ecerrados etre parétesis so icompatibles dos a dos, es decir, o es posible que ocurra simultáeamete meter el primer pealti y o los dos siguietes y o meter los dos primeros y meter el tercero, por ejemplo. Esta última observació os lleva ecesariamete a:

2 P(A) P[(M M M ) ( M M M ) ( M M M )] P(M M M ) P( M M M ) P( M M M ) (), pues sabemos que si A, B y C so dos sucesos cualesquiera icompatibles dos a dos (A B, A C y B C ) etoces P(A B C) P(A) P(B) P(C). Hagamos otar, para termiar esta parte, que el hecho de meter o o u pealti o ifluye para ada e lo que ocurra e el lazamieto del siguiete, es decir, meter o o meter el primer pealti es idepediete de meter o o meter el segudo y de meter o o meter el tercero. Teiedo e cueta esto podemos escribir () así: () P(M ) P( M ) P( M ) P( M ) P(M ) P( M ) P( M ) P( M ) P(M ) , pues tambié hemos de saber que si A, B y C so sucesos idepedietes dos a dos, etoces P(A B C) P(A) P(B) P(C). Co todo lo aterior hemos demostrado que P(A) Calculemos ahora P(B). Por u razoamieto semejate al aterior podemos escribir ahora B (M M M ) (M M M ) ( M M M ) y por tato P(B) P(M M M ) P(M M M ) P( M M M ) P(M ) P(M ) P( M ) P(M ) P( M ) P(M ) P( M ) P(M ) P(M ) Resumiedo: P(B) Hallemos por último P(C). Meter el primer pealti (co los pealtis segudo y tercero puede ocurrir cualquier cosa) se puede escribir simbólicamete así: C (M M M ) (M M M ) (M M M ) (M M M ) y etoces P(C) P(M M M ) P(M M M ) P(M M M ) P(M M M ) P(M ) P(M ) P(M ) P(M ) P( M ) P(M ) P(M ) P(M ) P( M ) P(M ) P( M ) P( M ) E defiitiva: P(C) Ahora estamos ya e codicioes de hallar las probabilidades que se os pide e el problema: P(A B) P(A) P(B) (los sucesos A y B so claramete icompatibles). A C M M M P(A C) P(M M M ) 4 4 P(M ) P( M ) P( M ) B C (M M M ) (M M M ) P(B C) P(M M M ) P(M M M ) P(M ) P( M ) P(M ) P(M ) P(M ) P( M )

3 Observacioes: Para calcular la probabilidad de A B es ecesario calcular P(A) y P(B) pues so dos sucesos icompatibles, y por tato la suma de las probabilidades de los mismos. Si embargo P(C) o hubiera hecho falta pues se pide las probabilidades de A C y de B C, cuyo cálculo o requiere como se ha visto de P(C) y se halla de forma similar a como se puede hallar P(A) o P(B). Observemos además que A y C o so idepedietes y por tato o es lícito utilizar la fórmula P(A C) P(A) P(C). Lo mismo se puede decir de B y C. Otra forma de hacer el ejercicio: Todo lo aterior se podría haber simplificado bastate si utilizamos u diagrama de árbol como el siguiete: 4/ / Mete el º No mete el º Ahora hemos de observar que: 4 4 P(A B) P(()) P(()) P((4)) P(()) P((6)) P((7)) P(A C) P((4)) 4/ / 4/ / 4 4 P(B C) P(()) P(()) 4 Mete el º No mete el º Mete el º No mete el º Esta forma de resolver el ejercicio es más práctica. E experimetos compuestos se ha de recordar que la probabilidad de u suceso elemetal del mismo puede calcularse multiplicado las probabilidades de los sucesos elemetales que coforma la experiecia compuesta. E el fodo el experimeto lazar sucesivamete tres pealtis es la experiecia compuesta de lazar u pealti, luego otro y por fi el tercero. El uso de diagramas de árbol e este tipo de situacioes es fudametal para la correcta realizació del ejercicio. 4/ / 4/ / 4/ / 4/ / Mete el º No mete el º Mete el º No mete el º Mete el º No mete el º Mete el º () No mete el º () () () (4) (6) (7) (8)

4 . E ua clase ifatil hay 6 iñas y 0 iños. Si se escoge a alumos al azar, halla la probabilidad de: a) Seleccioar iños. b) Seleccioar iños y ua iña. c) Seleccioar, al meos, u iño. Este ejercicio es similar al aterior. Observemos el siguiete diagrama: 0/6 9/ Niño 6/ Niño Niña 8/4 6/4 9/4 /4 Niño () Niña () Niño () Niña (4) 6/6 Niña 0/ / Niño Niña 9/4 /4 0/4 4/4 Niño () Niña (6) Niño (7) Niña (8) a) P(seleccioar iños) P(()) b) P(seleccioar iños y iña) P(()) P(()) P(()) c) P(seleccioar, al meos, u iño) P(o seleccioar igú iño) P(seleccioar tres iñas) P((8)) Si los sucesos A y B so idepedietes y compatibles, cuáles de las siguietes afirmacioes so ciertas? a) P(A B) P(B) b) P(B A) P(A) P(B) c) P( A /B) P( A ) a) Como A y B so idepedietes P(A B) P(A) P(B). Esta última expresió solamete es igual a P(B) si P(A). 4

5 b) P(B A) P(B) P(A) P(B A). Si fuera cierto la afirmació etoces P(A) P(B) P(B) P(A) P(B A) P(B A) 0 B A y esto es imposible pues A y B so compatibles. Así pues la afirmació o es cierta. P(A B) P(A) P(B) c) P( A /B) P( A ) y la afirmació es cierta. Obsérvese P(B) P(B) que P( A B) P( A ) P(B) porque al ser A y B idepedietes tambié lo so A y B ( demuéstralo!).. Dos iños escribe e u papel ua vocal cada uo, cuál es la probabilidad de que sea la misma?. Hemos de hallar la probabilidad de que los dos escriba la a, o que los dos escriba la e, o que los dos escriba la i, o que los dos escriba la o, o bie que los dos escriba la u. Además, tegamos e cueta que lo que escriba uo de los iños o depede para ada e lo que escriba el otro. P(aa ee ii oo uu) P(aa) P(ee) P(ii) P(oo) P(uu) P(a)P(a) P(e)P(e) P(i)P(i) P(o)P(o) P(u)P(u) 6. Se ha comprobado que el 48% de los alumos de Bachillerato de cierta regió so aficioados a la música clásica y a la pitura, y que el 60% de los aficioados a la pitura tambié so aficioados a la música clásica. Si se elige al azar u alumo de Bachillerato de esa regió, qué probabilidad hay de que o sea aficioado a la pitura? Llamemos A {ser aficioado a la música clásica} y B {ser aficioado a la pitura}. Segú el euciado P(A B) 0 48 y P(A/B) 0 6. Hemos de hallar P(A B) P(A B) P( B ). Pero como P(A/B) etoces despejado, P(B) P(B) P(A / B) 0'48 P(B) 0 8 P( B ) P(B) '6 7. E ua clase hay alumos y 6 alumas. El profesor saca a 4 a la pizarra. a) Cuál es la probabilidad de que todas sea alumas? b) Cuál es la probabilidad de que todos sea alumos? Llamemos A {la primera es aluma}, A {la seguda es aluma}, A {la tercera es aluma}, A 4 {la cuarta es aluma}, B {el primero es alumo}, B {el segudo es alumo}, B {el tercero es alumo} y B 4 {el cuarto es alumo}. a) P(todas alumas) P(ª aluma y ª aluma y ª aluma y 4ª aluma) P(A A A A 4 ) P(A ) P(A /A ) P(A /A A ) P(A 4 /A A A )

6 b) P(todos alumos) P(º alumo y º alumo y º alumo y 4º alumo) P(B B B B 4 ) P(B ) P(B /B ) P(B /B B ) P(B 4 /B B B ) Se podría haber dibujado u diagrama de árbol, pero basta teerlo e mete para la resolució del problema. Obsérvese cómo es la expresió que proporcioa la probabilidad de la itersecció de sucesos cuado, como e este caso, o so idepedietes. 8. U estudiate hace dos pruebas e u mismo día. La probabilidad de que pase la primera es 0 6, la probabilidad de que pase la seguda es 0 8 y la de que pase ambas es 0. Se pide: a) Probabilidad de que pase al meos ua prueba. b) Probabilidad de que o pase igua prueba. c) So ambas pruebas sucesos idepedietes? d) Probabilidad de que pase la seguda prueba e caso de o haber superado la primera. Llamemos A {pasar primera prueba} y B {pasar seguda prueba}. Se os proporcioa tres probabilidades: P(A) 0 6, P(B) 0 8 y P(A B) 0. a) P(A B) P(A) P(B) P(A B) b) P( A B ) P( A B ) P(A B) c) P(A B) 0 P(A) P(B) A y B o so idepedietes. P(B A) d) P(B/ A ). Por u lado P(B A ) P(B A) P(B) P(B A) P(A) y por otro lado P( A ) P(A) Así pues 0' P(B/ A ) 0 7 0'4 9. E ua muestra de.000 persoas hay 00 que sabe iglés, 00 que sabe ruso y 0 ambos idiomas. Co estos datos averigua si so idepedietes o o los sucesos saber iglés y saber ruso. 00 Llamemos A {saber iglés} y B {saber ruso}. Etoces P(A) P(B) 0 y P(A B) 0 0. Para que los sucesos A y B sea idepedietes se ha de cumplir que P(A B) P(A) P(B). Pero P(A) P(B) P(A B). Así pues A y B o so idepedietes. 0. La probabilidad de que u iño, cuado sea mayor, estudie ua carrera uiversitaria es /6, y e el caso de ua iña es /0. Si se toma al azar u iño y ua iña, calcula las probabilidades siguietes: 6

7 a) Que los dos estudie ua carrera uiversitaria. b) Que iguo de ellos estudie ua carrera uiversitaria. c) Que al meos uo de ellos estudie ua carrera uiversitaria Llamemos A {u iño, cuado sea mayor, estudie ua carrera uiversitaria} y B {ua iña, cuado sea mayor, estudie ua carrera uiversitaria}. Segú el euciado P(A) /6 y P(B) /0. Además A y B so claramete sucesos idepedietes pues el hecho de que u iño estudie, cuado sea mayor, ua carrera uiversitaria o debe de ifluir e el hecho de que ua iña lo haga tambié o o. a) P(A B) P(A) P(B) b) P( A B ) P( A B ) P(A B) [P(A) P(B) P(A B)] 4. Este apartado tambié se podría haber hecho cosiderado que si A y B so idepedietes etoces A y B tambié 9 4 lo so y por tato P( A B ) P( A ) P( B ) c) P(A B) P(A) P(B) P(A B) Jua y Pedro laza ua pelota a u blaco. La probabilidad de que Jua dé e el blaco es / y la probabilidad de que dé Pedro es /4. Supógase que Jua laza primero y que los dos chicos se va turado para lazar: a) Calcula la probabilidad de que el primer lazamieto que dé e el blaco sea el segudo de Jua. b) Cuál es la probabilidad de que Jua dé e el blaco ates de que lo haga Pedro?. Llamemos A {Jua da e el blaco} y B {Pedro da e el blaco}. Etoces P(A) y P(B) 4. Además los sucesos A y B so idepedietes pues el hecho de Jua dé o o e el blaco o ifluye para que Pedro dé o o e el blaco. a) Debe de ocurrir que Jua, que es el primero que laza, o dé e el blaco, que luego tampoco dé Pedro y fialmete, e el siguiete lazamieto, Jua cosiga dar e el blaco. Este suceso se puede simbolizar así A B A, cuya probabilidad es P( A B A) P( A ) P( B ) P(A) 4 6 b) Observemos que Jua dará ates que Pedro si Jua da la primera vez que laza. E caso cotrario solamete dará ates que Pedro si éste falla y a cotiuació él acierta. E la siguiete tabla vemos las posibilidades: 7

8 8 Lazamieto de Jua Suceso: Jua da e el blaco ates que Pedro Probabilidad A A B A 4 4 A B A B A 4 A B A B A B A A B A B A B A B A Por tato la probabilidad de que Jua dé e el blaco ates que Pedro debe de calcularse sumado todos los resultados de la última columa: P(Jua da e el blaco ates que Pedro) La expresió que hay etre parétesis es la suma de los térmios de ua progresió geométrica de razó que se obtiee mediate la fórmula r a r a S, dode a es el térmio ésimo de la progresió, a el primero y r la razó. E uestro caso S. Obsérvese que cuado tiede a ifiito (es decir, cuado el úmero de lazamietos se hace ta grade como sea ecesario hasta que Jua dé e el blaco, mietras Pedro vaya fallado) la expresió tiede a cero

9 ({ } cuado ). Así pues S tiede a y por tato P(Jua da e el blaco ates que Pedro). Estudiado u determiado colectivo de persoas resulta que: de cada so moreas, y de cada 9 tiee los ojos azules, teiedo el resto los ojos de distito color al azul. Calcula las siguietes probabilidades: a) Que ua persoa sea morea y tega los ojos azules. b) Que ua persoa sea morea o o tega los ojos azules c) Que tres persoas sea moreas. d) Que dos persoas sea moreas o tega los ojos azules. Llamemos M {ser morea} y A {teer los ojos azules}. Etoces P(M) / y P(A) /9 /. Además ambos sucesos so claramete idepedietes pues el color del pelo o de la piel o debe de ifluir para ada e el color que se tega de ojos. a) P(M A) P(M) P(A) b) P(M A ) P(M) P( A ) P(M A ) P(M) P( A ) P(M) P( A ) c) P(M M M) P(M) P(M) P(M) d) P[(M M) (A A)] P(M M) P(A A) P((M M) (A A)) 4 4 P(M) P(M) P(A) P(A) P(M) P(M) P(A) P(A) E ua clase, u 40% de alumos aprobaro filosofía, y u 0% matemáticas. Se sabe que la probabilidad de aprobar filosofía si se ha aprobado matemáticas es 0 6. a) Qué porcetaje de alumos aprobaro ambas asigaturas? b) De los alumos que aprobaro filosofía qué porcetaje aprobó matemáticas? Sea F {aprobar filosofía} y Mt {aprobar matemáticas}. Etoces P(F) 0 4 y P(Mt) 0. Además se sabe tambié que P(F/Mt) 0 6. Esto último os idica que e este caso los sucesos F y Mt, por la razó que sea, o so idepedietes. P(F Mt) a) Como P(F/Mt) etoces P(F Mt) P(F/Mt) P(Mt) P(Mt) 0, lo que sigifica u 0% de alumos que aprueba filosofía y matemáticas. 8 9

10 P(Mt F) 0' b) P(Mt/F) 0 7 que es u 7% P(F) 0'4 4. Para la señalizació de emergecia de u hospital se ha istalado dos idicadores que fucioa idepedietemete. La probabilidad de que el idicador A se accioe durate la avería es de 0 99, mietras que para el idicador B, la probabilidad es de 0 9: a) Calcula la probabilidad de que durate ua avería se accioe u solo idicador. b) Calcula la probabilidad de que durate ua avería o se accioe iguo de los dos idicadores. a) P[(A B ) (B A )] P(A B ) P(B A ) P(A B) P(B A) P(A) P(A B) P(B) P(B A) P(A) P(B) P(A B) b) P( A B ) P( A B ) P(A B) [P(A) P(B) P(A B)] ( ) E 994, e España, el 6% de la població e edad laboral (6 6 años) so mujeres y el 48 4% so hombres. De ellos, está e el paro el 4% de las mujeres y el 9 8% de los hombres. E Població laboral e España e 994 Elegida al azar ua persoa e edad laboral, cuál es la probabilidad de que esté e el paro? M,6 % Si llamamos H {ser hombre e edad laboral} y M {ser mujer e edad laboral} sabemos que E el paro P(M) 0 6 y que P(H) Además se cooce las probabilidades codicioadas siguietes: P(paro/M) 0 4 y P(paro/H) Aalizado H 48,4 % co deteimieto el diagrama podemos cocluir que: P(paro) P[(M paro) (H paro)] P(M paro) P(H paro) P(M) P(paro/M) P(H) P(paro/H) Hemos de observar que estamos e las codicioes de aplicar el Teorema de la Probabilidad Total. De hecho la resolució aterior es la aplicació directa del mismo. 6. Ua ura cotiee bolas rojas y 8 verdes. Se extrae ua bola y se reemplaza por del otro color. A cotiuació se extrae ua seguda bola. Se pide: a) Probabilidad de que la seguda bola sea verde. b) Probabilidad de que las dos bolas extraídas sea del mismo color. 0

11 Llamemos R {sacar bola roja e la primera extracció}, R {sacar bola roja e la seguda extracció}, V {sacar bola verde e la primera extracció} y V {sacar bola verde e la seguda extracció}. El color que salga e la seguda extracció va a depeder claramete de lo que haya salido e la primera: si salió bola roja e la primera extracció hemos de meter dos verdes e la ura co lo que tedremos e este caso 4 rojas (ya hemos extraído ua) y 0 verdes; ahora bie, si salió bola verde e la primera extracció hemos de meter dos rojas y tedremos ahora 7 rojas y 7 verdes. Co las cosideracioes ateriores y teiedo e cueta los datos que ofrece el euciado tedremos las probabilidades siguietes: P(R ) /, P(V ) 8/, P(R /R ) 4/4, P(V /R ) 0/4, P(R /V ) 7/4 y P(V /V ) 7/4. a) P(V ) P[(V R ) (V V )] P(V R ) P(V V ) P(V /R ) P(R ) P(V /V ) P(V ) b) P[(R R ) (V V )] P(R R ) P(V V ) P(R /R ) P(R ) P(V /V ) P(V ) Es posible ayudarse de u diagrama e árbol que aclare de ua forma gráfica las posibilidades que se da e el problema teiedo e cueta, claro está, las codicioes que se impoe ates de extraer la seguda bola. Se deja al lector la costrucció y resolució del ejercicio a partir del mecioado diagrama. 7. Dos profesores comparte u úmero de teléfoo. De las llamadas que llega, / so para el profesor A y / so para el profesor B. Sus ocupacioes docetes les aleja de este teléfoo, de modo que A está fuera el 0% del tiempo y B el %. Calcula la probabilidad de estar presete u profesor cuado le llame. Sea A {llamar al profesor A}, B {llamar al profesor B}, F {estar fuera}. El problema ofrece las siguietes probabilidades: P(A) / 0 4, P(B) / 0 6, P(F/A) 0 y P(F/B) 0. De estas dos últimas probabilidades se deduce claramete la probabilidades P( F/A) 0 (del tiempo que A está presete) y P( F/B) 0 7 (del tiempo que B está presete). La probabilidad de estar presete u profesor cuado le llame se puede represetar así: P[( F A) ( F B)] P( F A) P( F B) P( F/A) P(A) P( F/B) P(B) Teemos dos uras; ua A co 4 bolas rojas y 6 blacas, y otra B co 7 bolas rojas y blacas. Se seleccioa al azar ua ura, se extrae ua bola y se coloca e la otra ura. A cotiuació, se extrae ua bola de la seguda ura. Calcula la probabilidad de que las bolas extraídas sea del mismo color. Obsérvese el siguiete diagrama. Hay que fijarse bie e las últimas ramificacioes: las probabilidades que aquí se cotempla procede de la ura cotraria a la de que parte, pues segú las codicioes del problema la seguda bola que se saca procede de ura distita a la primera.

12 / / La probabilidad de que las dos bolas extraídas sea del mismo color es: P(RR BB) P(RR) P(BB) P(()) P((4)) P(()) P((8)) Ua bolsa cotiee moedas, ua de las cuales está acuñada co caras, mietras que las otras dos so ormales. Se escoge ua moeda al azar y se laza sucesivamete 4 veces, obteiédose 4 caras. Cuál es la probabilidad de que la moeda elegida sea la de caras? Razoa la respuesta. Llamemos M {escoger la moeda acuñada co dos caras}, M {escoger la seguda moeda}, M {escoger la tercera moeda} y 4C {salir cuatro caras e cuatro lazamietos de ua moeda}. Es claro que P(M ) P(M ) P(M ) La probabilidad pedida es, simbólicamete, P(M /4C) P(M P(4C) La probabilidad del umerador es P(M 4C) P(4C/M ) P(M ). Observemos que P(4C/M ) porque si la moeda elegida es la acuñada co dos caras, sea cual sea el úmero de lazamietos que hagamos co ella siempre saldrá cara. Por otro lado P(4C) P[(M 4C) (M 4C) (M 4C)] P(M 4C) P(M 4C) P(M 4C) P(4C/M ) P(M ) P(4C/M ) P(M ) P(4C/M ) P(M ) Fialmete P(M /4C) B A 4/0 6/0 7/0 /0 P(M 4C) P(4C) Roja Blaca Roja Blaca 8 Hemos de volver a reseñar que sería útil la realizació del problema utilizado adecuadamete u diagrama e árbol. Hacemos otar tambié que se ha aplicado e la resolució del mismo el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes. / 8/ / 7/ 4/ 6/ 4/ 7/ 8 9 Roja Blaca Roja Blaca Roja Blaca Roja Blaca () () () () (6) (7) (4) (8) 4C)

13 0. El despertador de Javier o fucioa muy bie, pues el 0% de las veces o suea. Cuado suea, Javier llega tarde a clase co probabilidad 0, pero si o suea, la probabilidad de que llegue tarde es 0 9. a) Determia la probabilidad de que llegue tarde a clase y haya soado el despertador. b) Determia la probabilidad de que llegue temprao. c) Javier ha llegado tarde a clase, cuál es la probabilidad de que haya soado el despertador? Sea los sucesos S {el despertador de Javier suea} y T {Javier llega tarde a clase}. Etoces P(S) 0 8, P(T/S) 0 y P(T/S ) 0 9. a) P(T S) P(T/S) P(S) b) La probabilidad de llegar tarde es P(T) P[(T S) (T S )] P(T S) P(T S ) P(T/S) P(S) P(T/S ) P(S ) Etoces la probabilidad de que llegue temprao es P( T ) P(T) 0,4 0,66 P(S T) 0' 6 c) P(S/T) 0 47 P(T) 0'4. E ua uiversidad e la que o hay más que estudiates de igeiería, ciecias y letras, acaba la carrera el % de igeiería, el 0% de ciecias y el 0% de letras. Se sabe que el 0% estudia igeiería, el 0% ciecias y el 0% letras. Tomado u estudiate cualquiera al azar, se pide. a) Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de igeiería. b) Si se tiee la carrera termiada, cuál es la probabilidad de que sea de igeiería? Sea I {ser estudiate de igeiería}, C {ser estudiate de ciecias}, L {ser estudiate de letras} y A {acabar la carrera}. Etoces P(A/I) 0 0, P(A/C) 0, P(A/L) 0, P(I) 0, P(C) 0 y P(L) 0,. Utilicemos el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes. a) P(A I) P(A/I) P(I) P(I A) P(A / I) P(I) b) P(I/A) P(A) P(A / I) P(I) P(A / C) P(C) 0'0 0' 0' '0 0' 0' 0' 0' 0' 0,4 P(A / L) P(L). Ua fábrica produce tres tipos diferetes de bolígrafos, A, B y C. El úmero total de uidades producidas de cada uo de ellos es el mismo (u tercio del total). Sale defectuosos, si embargo, u por mil de todos los del tipo A, u por mil de todos los del tipo B y u 7 por mil de todos los del tipo C. E u cotrol de calidad se detecta el 70% de todos los bolígrafos defectuosos del tipo A, el 80% de los del tipo B y el 90% de los del tipo C. Los bolígrafos defectuosos e dicho cotrol se

14 tira. Si se saca al azar uo de estos bolígrafos defectuosos que se ha tirado, calcula la probabilidad de que sea del tipo A. Llamemos A {bolígrafo del tipo A}, B {bolígrafo del tipo B}, C {bolígrafo del tipo C}, D {bolígrafo defectuoso} y T {tirar u bolígrafo}. Observemos el siguiete diagrama: 0 7 T 0 0 D / / A B 0 00 D 0 8 T / D 0 9 T C Etoces la probabilidad de que uo de los bolígrafos que se ha tirado sea del tipo P(A D T) A se puede escribir P(A/D T) P(D T) P(A) P(D / A) P(T /(D A)) P(A) P(D / A) P(T /(D A)) P(B) P(D / B) P(T /(D B)) P(B) P(D / A) P(T /(D B)) 0'0 0' '0 0'7 0'00 0'8 0'007 0'9 Es importate e casos como este hacer ua reflexió acerca de la aplicació del teorema de Bayes. Obsérvese que el suceso D T es la uió de los tres sucesos siguietes, icompatibles además dos a dos: A D T, B D T y C D T. Basta aplicar ahora e cada caso la probabilidad de la itersecció de tres sucesos. Haciedo uso del diagrama e árbol la resolució del ejercicio es casi imediata y además todo lo aterior adquiere setido.. El % de los créditos de u baco so para vivieda, el 0% so para idustria y el % para cosumo diverso. Resulta fallidos el 0% de los créditos para vivieda, el % de los créditos para idustrias y el 70% de los créditos para cosumo. Calcula la probabilidad de que se pague u crédito elegido al azar. Sea los sucesos V {crédito para vivieda}, I {crédito para idustria}, C {crédito para cosumo diverso} y F {u crédito resulta fallido}. Etoces teemos que P(V) 0, P(I) 0, P(C) 0, P(F/V) 0, P(F/I) 0 y P(F/C) 0 7. Haciedo uso del teorema de la probabilidad total: 4

15 P(F) P[(F V) (F I) (F C)] P(F V) P(F I) P(F C) P(F/V) P(V) P(F/I) P(I) P(F/C) P(C) La probabilidad de que se coceda u crédito es la de que o resulte fallido, es decir, P( F) P(F) Ua ura cotiee bolas rojas y blacas. Se seleccioa ua bola al azar, se descarta y se coloca bolas de otro color e la ura. Luego se saca de la ura ua seguda bola. R Determia la probabilidad de que: 4/9 a) La seguda bola sea roja. R b) Ambas bolas sea del mismo color. c) La primera sea roja si la seguda lo es. /8 /9 B R Cosideremos los sucesos R {sacar la primera /8 7/9 bola roja}, B {sacar la primera bola blaca}, B R {sacar la seguda bola roja} y B {sacar la seguda bola blaca}. Etoces: /9 B a) P(seguda bola roja) P(R ) P[(R R ) (R B )] P(R R ) P(R B ) P(R /R ) P(R ) P(R /B ) P(B ) b) P(ambas bolas del mismo color) P[(R R ) (B B )] P(R R ) 4 6 P(B B ) P(R /R ) P(R ) P(B /B ) P(B ) c) P(la primera sea roja si la seguda lo es) P(R /R ) P(R / R) P(R) P(R ) P(R R ) P(R ). De los créditos cocedidos por u baco, u 4% lo so para clietes acioales, u % para clietes de la Uió Europea y u % para idividuos del resto del mudo. De esos créditos, so destiados a vivieda u 0%, u 4% y u 4% segú sea acioales, de la UE o del resto del mudo. Elegido u cliete al azar, qué probabilidad hay de que el crédito cocedido o sea para vivieda? Llamemos N {crédito para clietes acioales}, UE {créditos para clietes de la uió europea}, RM {crédito para clietes del resto del mudo} y V {crédito destiado a vivieda}. Etoces P(N) 0 4, P(UE) 0, P(RM) 0, P(V/N) 0, P(V/UE) 0 4 y P(V/RM) 0 4. Aplicado el teorema de la probabilidad total se tiee: P(V) P[(V N) (V UE) (V RM)] P(V N) P(V UE) P(V RM) P(V/N) P(N) P(V/UE) P(UE) P(V/RM) P(RM) La probabilidad de que el crédito cocedido o sea para vivieda será P( V ) P(V)

16 6. E cierta empresa se produce dos biees A y B e la proporció a 4. La probabilidad de que u bie de tipo A tega defecto de fabricació es del %, y del tipo B, del %. Se aaliza u bie, elegido al azar, y resulta correcto, qué probabilidad existe de que sea del tipo A? Sea los sucesos A {bie del tipo A}, B {bie del tipo B}, D {bie co defecto de fabricació}. Como la producció de los biees A y B está e proporció de a 4, P(A) 7 y P(B) 7 4. Además P(D/A) 0 0 y P(D/B) 0 0. Aplicado el teorema de Bayes se tiee: P(A/ D ) 0 47 P(A D) P(D) P(D / A) P(A) P(D / A) P(A) P(D / B) P(B) 0'97 0' '9 7. Teemos tres uras: U co bolas rojas y egras, U co bolas rojas y egra y U co bolas rojas y egras. Escogemos ua ura al azar y extraemos ua bola. Si la bola ha sido roja, cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la ura U? Si llamamos R {extraer bola roja} y N {extraer bola egra}, lo que se pide es P(U /R). Haciedo uso del teorema de Bayes teemos: 4 7 /8 R / / U U /8 / / B R B / / R U / B P(U R) P(U /R) P(R) 8 8 P(R / U ) P(U ) P(R / U ) P(U ) P(R / U ) P(U ) P(R / U ) P(U ) Se tiee ua ura vacía y se laza ua moeda al aire. Si sale cara, se itroduce e la ura ua bola blaca y, si sale cruz, se itroduce ua bola egra. El experimeto se repite tres veces y, a cotiuació, se itroduce la mao e ua ura, retirado ua bola. Cuál es la probabilidad de que e la ura quede ua bola blaca y otra egra? 6

17 Para que e la ura quede ua bola blaca y otra egra después de extraer ua bola es porque e la misma había dos bolas blacas y ua egra o bie dos bolas egras y ua bola blaca. Llamemos BN {después de repetir el experimeto tres veces e la ura hay dos bolas blacas y ua egra} y NB {después de repetir el experimeto tres veces e la ura hay dos bolas egras y ua blaca}. Llamemos tambié C {salir cara al lazar ua moeda} y X {salir cruz al lazar ua moeda}. Etoces: P(BN) P(salir dos caras y ua cruz e tres lazamietos de ua moeda) P(CCX) P(CXC) P(XCC) P(NB) P(salir dos cruces y ua cara e tres lazamietos de ua moeda) P(XXC) P(XCX) P(CXX) Llamemos ahora B {extraer bola blaca} y N {extraer bola egra}. El suceso del cual se pide hallar su probabilidad es (BN B) (NB N). Así pues: P[(BN B) (NB N)] P(BN B) P(NB N) P(B/BN) P(BN) 4 P(N/NB) P(NB)