Diseños muestrales en Inventarios Forestales Introducción... 1 Distribución de las unidades muestrales.... 3

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1 Dseños muestrales e Ivetaros Forestales Itroduccó... Dstrbucó de las udades muestrales Dstrbucó Aleatora... 3 Dstrbucó stemátca... 4 Dstrbucó de las UM e trasectos... 5 Estmadores para udades muestrales de gual tamaño... 7 Estmadores MA tradcoales... 8 Promedo Poblacoal... 8 Total poblacoal...8 Varaza de las Medas Muestrales... 8 Error de Estmacó del Promedo...9 Error de Estmacó del Total Poblacoal...9 Error Muestral del Promedo... 9 Límtes Cofdecales... 0 Ejerccos...0 Estmadores MA Alteratvos... Promedo por ectárea... Error de estmacó del promedo por ectárea... Total Poblacoal y su error...3 Error muestral... 3 Lmtes cofdecales... 3 Ejerccos...4 Tamaño de la muestra... 5 Relacó Tamaño-Varabldad...6 Estmadores para udades muestrales de tamaño varable... 8 Ejerccos...9 Estmadores de proporcoes... Tamaño de la muestra... Estmacó de uperfce medate redes de putos...3 Estmadores para grupos de Udades...4 Estratfcacó...4 Estmadores... 5 Tamaño Muestral...6 Ejerccos...6 Itroduccó e etede aquí por Dseño Muestral, el procedmeto para seleccoar dvduos (Udades Muestrales) de ua poblacó (Udad de Ivetaro) y defr e base a ellos, dcadores de su estado (parámetros de Rodal o Varables de Estado). No se pretede agotar aquí el tema sobre dseños muestrales empleados e los vetaros forestales. u objetvo prcpal es descrbr los dseños más comues usados e los vetaros que se ejecuta co el f de tomar decsoes, e especal respecto al maejo del bosque y aprovecameto.

2 Queda, por lo tato, fuera del alcace de este documeto, los dseños que se refere a vetaros cuyo f es defr o evaluar polítcas forestales, regoales o acoales, los que por su complejdad requere de ua base estadístca y tecológca de alta especalzacó. Atededo a la defcó ates dada, es ecesaro referrse a los sguetes elemetos: Udades de Ivetaro El prmer paso al dseñar u vetaro es la dvsó del bosque e Udades de Ivetaro (UI), es decr, e las superfces boscosas báscas e que se localzará u cojuto depedete de udades muestrales, co las que se descrbrá la Udad medate ua sere de Varables de Estado estmadas. Este tema se trata e u documeto dferete (Elemetos de u Ivetaro Forestal) Udades Muestrales E la descrpcó del bosque medate muestreo, los dvduos poblacoales (o udades muestrales) o so arboles dvduales, so cojutos de árboles llamados Udades Muestrales (UM) o vulgarmete parcelas. Este tema també es tratado e u documeto dferete (Udades Muestrales) Parámetros o Varables de Estado Los datos de los arboles seleccoados e las UM que represeta estadístcamete a la UI, so procesados de maera que se obtee, dcadores del estado del bosque, llamados ordaramete Parámetros de Rodal o Varables de Estado (VE). Estos elemetos so tratados e u documeto aparte (Varables de Estado). Estmadores Cada dseño muestral, depededo de la aturaleza de las UM y de la forma e que estas se dstrbuye, tee sus propos estmadores. U estmador descrbe ua VE, que puede ser u Total Poblacoal, u Total por Hectárea, o u Valor Promedo de algú atrbuto de los árboles que tegra el bosque o UI. Los estmadores posee ua sere de propedades estadístcas que so valorzadas e forma dferete por cada dseño muestral: ea estmador de ua VE, cuyo valor real es. el proceso de estmacó muestral se repte, se obtee uevos y dferetes valores de que costtuye ua poblacó que puede llegar a coteer ftos estmadores del msmo valor. e dce que el estmador es sesgado cuado su Esperaza Matemátca, es decr, el promedo de todos los valores que costtuye la poblacó de estmadores, es gual al valor real : [ ] E El error de u estmador respecto al valor real se epresa medate el Error Cuadrátco Medo: [ ] ECM ( ) E La varabldad de u estmador se epresa, e cambo, por la Varaza: [ E[ ] V ( ) E

3 u estmador es sesgado, es decr, s es gual a [ ] gual a su varaza. E, su Error Cuadrátco Medo es E base a ua muestra aleatora de Udades Muestrales, es posble estmar la varaza de los estmadores, e cambo el ECM o es posble estmarlo, pues el valor real será sempre descoocdo. los estmadores so sesgados, al meos para los efectos práctcos, esta varaza estmada se puede emplear como epresó del error del estmador que se smbolza como y que se llama vulgarmete Error de Estmacó: Error Muestral Los estmadores basados e muestras aleatoras tede a ser sesgados y a dstrburse coforme a la Dstrbucó Normal. La codcó de sesgameto y de apromacó a la dstrbucó ormal permte usar como epresó del error del estmador, el llamado Error Muestral. El Error Muestral ( ) es la máma dfereca esperada etre el valor E real de ua VE y su valor estmado e base a ua muestra, para ua probabldad o vel de cofaza dado. Itervalo de Cofaza La Epresó ± E V ( ) se deoma el Itervalo de Cofaza del estmador y defe el rago detro del cual se ecuetra el verdadero valor co ua probabldad o vel de cofaza dado. El fudameto estadístco de los estmadores y de sus propedades está fuera del alcace de este documeto. Para ello el lector puede referrse a tetos como De Vres(986), Raj(968) o Cocra (977) Dstrbucó de las udades muestrales. Dstrbucó Aleatora Los procedmetos de estmacó de parámetros que se verá más adelate, asume que las u.m. se dstrbuye aleatoramete e el rodal. embargo, se a poddo comprobar e umerosas ocasoes que al emplear otras formas de dstrbucó, puede lograrse ua mayor efceca, y el eco de o estr aleatoredad o mpde adoptar los estmadores y sus correspodetes errores asocados a u muestreo aleatoro. La fgura muestra dos procedmetos para dstrbur udades muestrales al azar.

4 Fgura La fgura a preseta la forma más comú de localzacó, cosstete e ua aleatoredad restrgda. e geera ua red sstemátca de putos, co ua dstaca etre putos e la red gual a la dstaca míma a la que debe ubcarse los putos de muestreo e el terreo. Luego se seleccoa ua muestra aleatora de putos de la red que se materalza e terreo como cetros de parcelas. La fgura b muestra el procedmeto de localzacó aleatora estrcta. e emarca la Udad de vetaro e u sstema de coordeadas rectagulares y se seleccoa u par de coordeadas aleatoras (,y), Al emplear este procedmeto, los cetros de parcelas puede localzarse muy cercaos, cluso cocdetes, de maera que dos Udades Muestrales puede coteer los msmos árboles. La localzacó restrgda (a) evta u eveto de este tpo. La localzacó aleatora de Udades Muestrales es probablemete la forma más efcete de dstrbucó muestral, pero es la úca que puede garatzar la represetatvdad estadístca y co ello la codcó de sesgameto de los estmadores. Dstrbucó stemátca La dstrbucó llamada sstemátca cosste e dseñar ua red de parcelas dstrbudas coforme a u arreglo regular, que puede ser cuadrado, rectagular, tragular o cualquera. Luego se elge u puto (partda) aleatoro e la UI, el que se ace cocdr co cualquer puto de la red. Esta forma de dstrbucó (fgura ) geera estmacoes sesgadas debdo a la aleatoredad de la partda. embargo, e estrcto setdo estadístco, toda la red de udades costtuye u sola UM, por lo que es mposble calcular el error de los estmadores. e a propuesto varas formas de apromarse al error de estmacó, las que respode a dversos supuestos. El supuesto mas comú es el de poblacó e orde aleatoro. este supuesto fuera certo, los estmadores de error correspodetes al Muestreo Aleatoro mple (MA) so pleamete váldos au cuado la muestra se dstrbuya

5 sstemátcamete. Para las tesdades usuales de los vetaros de rodal, u sesgameto grade de los estmadores de error es muy mprobable. Por el cotraro, se a poddo comprobar que geeralmete el error de estmacó determado bajo el supuesto de muestreo aleatoro sobrestma el verdadero error muestral e ua pequeña magtud, lo que vee a costtur u factor de segurdad dado que se costruye tervalos de cofaza u poco mas amplos de lo que e realdad so. Fgura. Dstrbucó muestral sstemátca co partda aleatora E Proda el al.(997) puede verse otras formas de realzar estmacoes de parámetros y de sus errores, para dstrbucó de UM. e redes sstemátcas. Dstrbucó de las UM e trasectos Trasectos leales El procedmeto cosste e fjar ua líea que atravese el rodal de u etremo a otro. La líea de logtud L se dvde e segmetos de logtud l metros. Luego se elge ua partda al azar l 0, etre y l, dode se ubca la prmera parcelas y las restates a las dstacas l 0 +l, l 0 +l, etc. ( 5a). Este procedmeto puede dar resultados satsfactoros cuado la mayor varabldad e el rodal se da e su parte cetral.

6 Fgura 3. Dstrbucoes muestrales e trasectos leales (a) Recorrdo estructurado (b) y Rcocet (c)

7 Trasecto de Rcocet Es ua modfcacó del trasecto leal. El trasecto de Rcocet (fgura 3b) parte de u puto localzado al azar, e ua dreccó cardal fjada segú la forma del rodal. El trasecto avaza asta tocar u borde, dode rebota e u águlo cremetado e 45 grados. Debe evtarse los cruces de segmetos del trasecto. La dstaca etre parcelas se establece e la sguete forma (Lud y Tomas, 989): l ( A/ ) (0) Dode A es la superfce del rodal e ectáreas y el umero de parcelas que se dstrbuye. Las parcelas se ubca a lo largo del trasecto e la msma forma que para el trasecto leal. Trasecto e Recorrdo Estructurado Maclare y Gouldg (993) propoe ua forma de dstrbucó de parcelas e rodales pequeños (asta apro. 40 a) que llama el recorrdo estructurado(fgura 3c). Cosste e fjar u recorrdo que, co solo uo o dos quebres de dreccó, cubra al rodal uformemete y comece y cocluya e putos logístcamete favorables. Las parcelas se ubca co partda aleatora y equdstates a lo largo del recorrdo como e el trasecto de Rcocet. Al establecer el recorrdo, debe mmzarse el resgo de cocdeca etre éste y posbles estructuras aturales o costrudas, como camos, quebradas, etc. La poscó de la prmera parcela puede ser aleatora co lo que todo el cojuto de parcelas logra ua mejor represetatvdad. Estmadores para udades muestrales de gual tamaño Cuado las Udades Muestrales (UM) so todas del msmo tamaño, se emplea los estmadores de Muestreo Aleatoro mple (MA). e cosdera que las UM so del msmo tamaño cuado a cada arbol de ua UI se asga la msma probabldad de ser seleccoado e todas las UM que se localza e ella, au cuado esta probabldad puede varar de arbol e arbol. se emplea, por ejemplo, parcelas crculares, todas debe teer la msma superfce. se emplea, e cambo, parcelas de rado varable (Btterlc o MPH) todas debe teer el msmo factor K que multplca al dámetro del árbol para defr su area de seleccó, etc. Los estmadores MA se adopta també cuado se emplea UM e coglomerado, sempre que estos cluya u úmero costate de parcelas y estas sea todas del msmo tamaño. E estrctos térmos estadístcos, los estmadores MA asume que las UM se a localzado aleatoramete e la poblacó. No obstate, ellos se usa també cuado se emplea otros tpos de dstrbucó muestral, e cuyo caso o estrá certeza de sesgameto respecto a las estmacoes y a sus errores. Los estmadores MA que se verá aquí o so los msmos que se puede ecotrar e los tetos que e geeral descrbe a estos estmadores. Cuado se defe los estmadores MA se asume que el marco poblacoal es fto, es decr, que el úmero total de dvduos (o Udades Muestrales) que tegra la poblacó es coocdo y fto, N.

8 Estmadores MA tradcoales obre ua poblacó que cotee N dvduos se seleccoa de ellos e forma tal, que todas las posbles muestras de tamaño tee la msma probabldad de ser elegdas. E la práctca se logra el msmo efecto s los dvduos que tegra la muestra se seleccoa uo a uo dado a todos la msma probabldad de ser elegdos e cada oportudad. Esta seleccó puede efectuarse e dos formas: u dvduo seleccoado tee oportudad de serlo uevamete (Co Reemplazo) o o ( Reemplazo). A cada dvduo () seleccoado se le mde u atrbuto cualquera ( ) Promedo Poblacoal El valor promedo poblacoal de u atrbuto cualquera de los dvduos de ua poblacó es estmado medate el promedo artmétco del msmo atrbuto de los dvduos que tegra la muestra: N / N / Esta epresó se terpreta del sguete modo: La meda poblacoal ( / N ) es estmada sesgadamete ( )medate la meda muestral /. A este estmador se le llama també o estmador de la meda poblacoal Total poblacoal El valor total poblacoal del atrbuto es estmado medate ua muestra aleatora de tamaño del sguete modo: N N Varaza de las Medas Muestrales (o de los estmadores de la meda poblacoal E térmos puramete teórcos, la varaza de las medas muestrales puede determarse e la sguete forma, que supoe coocer el valor de todos los N dvduos que tegra la poblacó: V ( ) ( ) ( reemplazo) N σ & ( Co reemplazo) Dode es la Varaza poblacoal corregda: N ( ) /( N ) La Varaza Poblacoal descrbe la varabldad etre dvduos de la poblacó. Esta també se acostumbra a represetar medate el Coefcete de Varacó: CV() ( / )*00 N

9 Error de Estmacó del Promedo La Varaza de los estmadores de la meda poblacoal ( V ( ) ) uca es coocda eactamete pues se descooce la varaza poblacoal estmarse, també sesgadamete, medate la varaza muestral s : V( ) ) s ( N ) (. embargo, ella puede reemplazo) s ( Co reemplazo) Puesto que la meda muestral estma sesgadamete a la meda poblacoal, La Varaza estmada de este estmador es al msmo tempo u estmador sesgado del error cuadrátco medo del estmador. Por ello se le llama smplemete Error de Estmacó de la meda: ( ) / s ) ( ) N ( ) N ( ) El térmo se llama factor de correccó para muestreo s reemplazo. E la N práctca solo se emplea cuado la fraccó muestral (/N) es relevate, es decr cuado (/N) > 0.05 Error de Estmacó del Total Poblacoal El error de estmacó del total poblacoal se determa e la sguete forma: s N N ( ) N Error Muestral del Promedo e llama Error Muestral ( E ( ) )a la máma dfereca esperada etre el valor estmado y el correspodete valor poblacoal real, para u vel de cofaza dado. E muestras grades ( > 30) su valor puede determarse gracas a que e tales crcustacas, los estmadores tede a dstrburse ormalmete. El Error Muestral, etoces, se aproma al sguete valor, como se demuestra e cualquer teto de estadístca muestral dode se descrbe los sustetos teórcos del MA: E ) z Dode z α / ( α / es u múltplo del Error de Estmacó, tal, que este solo ua probabldad α que la dfereca etre y sea mayor que E ( ). Esta propedad, s embargo, o puede emplearse e la práctca, pues supoe que la muestra es grade y que la Varaza de es coocda y o solamete su estmador E la práctca esto sgfca que el valor de z α / debe ser susttudo por el valor t α /, de maera que e la práctca la epresó del error muestral es: N.

10 E( ) t α / Los valores t varía depededo del tamaño de la muestra y del Nvel de Cofaza - α.e ecuetra tabulados e la mayoría de los tetos de estadístca. El sguete es u pequeño etracto de ua tabla de valores t, tomada de Rolf y okal (969): Tabla Valores crítcos de la dstrbucó t de tudet Valor crítco de la dstrbucó de t para Grados de Lbertad (-) dferetes valores de α α El error muestral puede epresarse, també e forma relatva o %: E( ) E( ) E % Límtes Cofdecales e llama Límtes Cofdecales o Itervalo de Cofaza al rago geerado al sumar y restar al valor estmado, el Error Muestral : LC( ) ± E ( ) ± t Los Límtes Cofdecales represeta el tervalo detro del cual se ecuetra el verdadero valor poblacoal, co ua probabldad dada ( -α ) Este ua probabldad α / de u valor real que eceda el lmte superor del tervalo y la msma probabldad de que sea meor que el lmte feror del rago. Los límtes Cofdecales puede defrse també e fucó del Error Muestral %: LC ( ) ( ± E% /00) Del msmo modo se puede defr para el total poblacoal: LC ( ) ( ± E% /00) Ejerccos E la fgura 4 se ecuetre la Poblacó de Juego I que represeta u bosque de 40 ectáreas dvddo e 400 parcelas cuadradas de 000 m cada ua. El valor regstrado e cada casllero represeta el volume sumado de todos los árboles meddos e cada parcela, e décmos de m 3. α /

11 Fgura 4. eleccó aleatora de 30 UM sobre Poblacó de Juego I La Tabla preseta el resultado del muestreo, comparado co los valores poblacoales reales Parámetro Tabla Valor Poblacoal Promedo Estmador mbolo Valor ímbolo Valor 3.00 Total Varaza s 53.4 Coefcete de Varacó CV()% 59.8% cv()% Varaza de las medas Muestrales Error Muestral V( ) V ( ) % E ( ) % % (.4%).6 (9.94%)

12 Estmadores MA Alteratvos Los estmadores MA tradcoales solo ecepcoalmete puede ser empleados e Ivetaros Forestales. Las Udades Muestrales (UM) empleadas ormalmete e los Ivetaros cosste e desde putos o líeas localzadas e el bosque, desde las que se seleccoa árboles. El úmero de UM que puede localzarse e u bosque, depedete de su superfce, es fto, o determado. De maera que o este u marco poblacoal defdo, como e el MA tradcoal, dode el úmero de dvduos (UM) de la poblacó es fto N. Las UM probablístcas empleadas e los vetaros produce valores que so totales por ectárea de u atrbuto meddo e todos los árboles seleccoados e ella: a Dode, m es el úmero de árboles seleccoados e ua parcela, j es el atrbuto meddo e ua arbol seleccoado y F j es el factor de epasó, es decr, el úmero de árboles por ectárea que represeta cada arbol meddo e la parcela, que es fucó de la probabldad de seleccó que se le a asgado. Promedo por ectárea Los estmadores putuales a tee la propedad de ser estmadores putuales sesgados del total por ectárea. se localza varas () UM probablístcas, el promedo de las estmacoes putuales es ua estmacó sesgada del total poblacoal a /A: m j F j j $a a * a E la epresó ateror, a puede correspoder al valor agregado de ua varable dasométrca cualquera o al valor de la msma para ua determada clase de dámetro, clase de espece, etc. Este estmador permte, pues determar el valor de ua VE desagregada como las que tegra las Tablas de Rodal y de Esteca Error de estmacó del promedo por ectárea Ua muestra de UM probablístcas permte, gual como e el MA tradcoal, estmar la varaza de los estmadores a : Dode: a $ a s ( f ) s es la varaza muestral etre los valores a determados e cada u.m.: s ( a ( ) a) a a f es la fraccó muestral que ormalmete es rrelevate y se omte. embargo, e rodales pequeños muestreados muy tesamete su omsó puede geerar u /

13 sobredmesoameto del error de estmacó. u valor puede determarse apromadamete co la sguete epresó: f m m ( j a j )/ A Dode a j es el área de seleccó del árbol j, segú el tpo de UM empleado, y A es la superfce del rodal. Cuado se emplea parcelas covecoales, la epresó de f es más smple: f a A Ua epresó relatva (porcetual) del error de estmacó es más práctca: a s% % 00 * f a Dode s% es el coefcete de varacó de las UM: s% Total Poblacoal y su error 00 s a $ Epresoes del total poblacoal y su correspodete error de estmacó, so las sguetes: $ A * a (4) Error muestral A $ * El error muestral, es decr, la máma dfereca probable etre el valor estmado del promedo o del total y los correspodetes valores reales, para u vel de cofaza -α. E térmos relatvos (%) es el sguete: E% t * % α / Dode t es el valor tabulado de la dstrbucó de t para u vel de certdumbre α y para -grados de lbertad. Igualmete puede obteerse epresoes para el error muestral del promedo por ectárea y del total, al multplcar el valor de t por la correspodete epresó del error de estmacó Lmtes cofdecales Los lmtes cofdecales represeta el rago e que se ecuetra el valor real, co ua determada probabldad. e establece al sumar y restar el error muestral al valor (promedo o total) estmado. De esta maera se defe u rago detro del cual se ecuetra el verdadero valor poblacoal co u vel de cofaza de -α: a

14 L.C.(a) a *( ± E%/00) L.C.() $ * ( ± E%/00) Es teresate destacar que s se usa UM covecoales, los estmadores descrtos so détcos a los estmadores correspodetes al dseño muestral MA tradcoal. Las epresoes de los estmadores cláscos del MA o so aplcables, s embargo, cuado se emplea otros tpos de UM. probablístcas que o sea parcelas covecoales. Ejerccos E la Tabla 3 se preseta a modo de ejemplo, ua estmacó realzada sobre la Poblacó I Dadas las característcas de esta poblacó, se puede emplear e ella, tato los estmadores MA tradcoal, como los Alteratvos. (fgura 4). Esta poblacó represeta a u rodal de 40 a, dvddo e 400 udades (dvduos o UM), de 0, a cada uo. obre ua poblacó (UI) de este tpo es posble realzar u proceso de seleccó muestral de tpo MA tradcoal, ya que el umero de dvduos e la poblacó es fto y se ecuetra perfectamete detfcables al mometo de efectuar ua seleccó muestral aleatora. Tabla 3. Ejemplo de seleccó aleatora de 0 u.m. sobre poblacó de juego I y empleo de estmadores MA Alteratvos Volume por ectárea(a ): (00,88,60,77,4,06,59,7,59,) Parámetro ímbolo Valor Observacoes uperfce parcela, a A 0, Parcelas covecoales (sup. Fja) uperfce de la UI, a A 40 Tamaño muestral N 0 Fraccó muestral F 0,05 Promedo por ectárea $ a 7,3 f a A $a a * a Total estmado del rodal $ 509 $ A * a Varaza muestral s 73,40 Coefcete de varacó, % % 57,7 s ( a ( ) s % ( s / )*00 a) Error de estmacó a,0 Error de estmacó, % % 5,79 a $ a s ( f ) a s% % 00 * f a

15 Valor de t t / α /,6 Para α 0,05 y 9 grados de lbertad Error muestral, % E% 35,69 E% t * % α / L.C. del promedo, feror L.C.(a) 8,87 L.C.(a) a *( ± E%/00), superor 7,73 L.C. del total, feror L.C.() 375 L.C.() $ * ( ± E%/00), superor 6909 Los lmtes cofdecales presetados e el cuadro 3 ( ) dca que este sólo ua probabldad de u 5% (α0,05) que el valor real total se ecuetre fuera de los lmtes establecdos. Tamaño de la muestra E térmos estadístcos, el tamaño de la muestra depede de la varabldad etre UM, del error muestral mámo admsble y del vel de certdumbre (α) tolerado. Ua epresó smple que permte estmar el tamaño muestral es la sguete: t s% E% Esta epresó resulta al despejar e la fucó de Error muestral, asumedo que la fraccó muestral f es rrelevate. El valor de t e la epresó debe ser el que correspode al resultate, dado el vel de cofaza (-α ) adoptado. Esto ace que mucas veces sea ecesaro terar e el calculo de asta lograr la gualdad dcada resultara que, dado el tamaño de la muestra, la fraccó muestral fuese relevate, es ecesaro ajustar el valor obtedo de e la sguete forma: a ( + f ) La determacó de supoe coocda para la UI, la varabldad etre UM (s%). El mejor medo para estmar la varabldad de la Udad es recurrr a la epereca de otros vetaros realzados e stuacoes smlares. El realzar muestreos prevos o es ua buea opcó, pues la varabldad que afecta a la estmacó de s% co muestras pequeñas es muy grade. Tamaño muestral para ua superfce de refereca dferete a la de la UI Hay ocasoes e que u determado error muestral mámo es requerdo para ua certa superfce boscosa que puede ser mayor o meor que la de la UI e cuestó. Esta superfce puede correspoder, por ejemplo, a la del abastecmeto aual requerdo por las stalacoes dustrales de ua empresa (A 0 ).El tamaño muestral para ua UI de superfce A se puede apromar e la sguete forma:

16 A t s% A E% 0 Tamaño muestral para u Marco presupuestaro restrgdo A veces el factor restrctvo para dmesoar el tamaño de la muestra o es u error mámo admsble, so el presupuesto dspoble para realzar el vetaro. el prosupuesto es P, los costos fjos (dseño, capactacó, cotrol, etc) so C 0 y el costo varable por UM es c, etoces el tamaño muestral posble será: P C0 c Relacó Tamaño-Varabldad La varabldad etre UM e ua UI se epresa comúmete medate el coefcete de s varacó: s% 00 a $ cv% La varabldad depede de característcas estructurales de la UI y del tamaño de las UM que se emplea. Metras más grades so las UM meor es la varabldad. La tasa de reduccó del cv% al aumetar el tamaño de las parcelas es varable, y depede de característcas estructurales de la poblacó. Relacó Tamaño-Varabldad e u Bosque Aleatoro El llamado Bosque Aleatoro se caracterza báscamete por dos elemetos: La ubcacó de cualquer árbol e él es el resultado de u proceso aleatoro, equprobablístco e depedete. La ubcacó de u árbol es totalmete depedete de la ubcacó de cualquer otro árbol del bosque. El proceso que da orge a u bosque aleatoro se llama també proceso de Posso, porque la cueta de árboles e parcelas de superfce fja dstrbudas al azar sgue la dstrbucó de Posso: µ e µ p( )! Dode: p() es la probabldad de cotar árboles e ua parcela que posee µ árboles e promedo. Así, para u bosque que cotee N árboles por ectárea y se emplea parcelas de a ectáreas, µ a N La dmesó de cualquer atrbuto de u árbol de la poblacó es depedete de la dmesó de sus vecos, cualquera sea su promdad. Esto quere decr que la correlacó etre dmesoes de los árboles es ula, depedete de su dstacameto. E Proda et al(997) de demuestra que para u bosque aleatoro, el producto del tamaño de ua parcela por su varabldad es costate: C% a C% a cte. j j Esta relacó permte coocer para u bosque aleatoro, el coefcete de varacó que se dará para u determado tamaño de parcela (a ) s se cooce el C% asocado a parcelas de u tamaño a j.: % a j % C C j a 0.5

17 Por ejemplo, s empleado parcelas de 500 m el coefcete de varacó es 5%, para parcelas de 000m este será: 500 C % 5 7.7% 000 Relacó tamaño-varabldad para cualquer bosque La epresó ateror puede formularse també del sguete modo: C% (C%j*ajk)a -k -k ba Dode: b es ua costate determada por el producto de cualquer tamaño de parcela por su correspodete coefcete de varacó y k es u epoete que vale 0.5 para u bosque aleatoro Numerosos estudos a permtdo observar ua clara relacó etre el coefcete k y la estructura de los bosques. Bosques omogéeos, como so las platacoes posee valores k mayores que 0.5, metras que los bosques de estructura rregular como so la geeraldad de los bosques aturales, tee valores meores que 0.5 Es posble desarrollar modelos de varabldad para bosques co dferetes estructuras empleado ua trasformacó logarítmca de la fucó que relacoa u tamaño de parcela co su coefcete de varacó: L(C%) b +kl(a) Esta relacó se puede tomar como u modelo leal, dode l(c%) es la varable depedete, l(a) la varable depedete y b y k coefcetes, cuyos valores puede determarse medate Mímos Cuadrados Ordaros. Para determar el valor k de u bosque se ecesta formacó epermetal cosstete e los C% correspodetes a dferetes tamaños de parcelas, como los valores que se muestra e la tabla sguete (Proda et al,997): a, a C% Al ajustar los datos al modelo medate mímos cuadrados, se obtee los valores de b3.45 y k El modelo que relacoa los coefcetes de varacó co los tamaños de parcelas para este bosque sería el sguete: % a j % C C j a E la Tabla 3 se compara los C% reales co los estmados medate el modelo ajustado para el msmo bosque y co los estmados para u bosque aleatoro, supoedo coocdo el C% correspodete a parcelas de a.04: Tabla 3 Tamaño de C% estmado parcelas: a, a C% real K0.5(b. K 0.30 aleatoro)

18 Estmadores para udades muestrales de tamaño varable e a dcado que la codcó básca para que las estmacoes realzadas medate muestreo e ua Udad de Ivetaro sea sesgadas y co error de estmacó coocdo es que las Udades Muestrales sea todas de gual tamaño. E alguas ocasoes, s embargo, las UM localzadas e ua UI resulta de tamaños desguales: Muestreo co parcelas de borde, trucadas (fgura 5a) Muestreo co fajas de logtud varable (fgura 5b) Muestreo co líeas de parcelas de logtud varable (fgura 5c) Muestreo co parcelas elíptcas de rado costate e la pedete, luego de superfce varable al proyectarse sobre el plao orzotal. Fgura 5 Cuado las parcelas meddas e u rodal resulta de dmesó varable, por cualquer causa, e lugar de los estmadores MA debe emplearse los llamados Estmadores de Razó de Medas (ERM). mbología : : Número de UM. Localzadas aleatoramete e el rodal Valor agregado de u atrbuto cualquera (área basal, volume,...) de todos los árboles meddos e la UM., s epadr a valores por ectárea. m j j a : : a : puede també correspoder a la suma de para todos los árboles perteecetes a ua clase cualquera k, e caso de crearse tablas de dstrbucó de los parámetros (tablas de rodal y de esteca). Etoces, podría ser el valor agregado del atrbuto meddo e todos los árboles perteecetes a ua determada clase de espece y de dámetro k: superfce de la UM., e ectáreas Promedo artmétco de los valores Promedo artmétco de la superfce de las parcelas a

19 La smbología empleada para descrbr los estmadores es la msma que para el caso de UM de tamaño costate. Total por ectárea: Total poblacoal: Error de estmacó del promedo: a $ $a a $ A * a $ a a a $ ( f ) ( + ) ( ) a a La fraccó muestral f puede apromarse como e el MA Alteratvo: f. Normalmete se asume gual a 0, pues e la práctca su valor es geeralmete muy pequeño Los restates estmadores (, %, E, E, E% y lmtes cofdecales) se determa a e la msma forma que e el MA Alteratvo: A a a % 00* a A * a E( a ) t α / a E( ) A E( a) E% α / t * % L.C.(a) a *( ± E%/00) L.C.() $ * ( ± E%/00) Ejerccos La Tabla4 preseta la Poblacó de Juego II. e trata de u rodal de 40 a que se a dvddo e 40 frajas de u aco gual a 3.3 m y logtud varable Tabla 4.- Rodal de 40 a dvddo e 40 fajas de logtud varable N Faja N uperf. Volume Faja N uperf. Volume a(z) m 3 y 5457 (y) a(z) m 3 (y) N * z 40

20 * * * * Total * * * * * N z N y N yz Z 00. Y σ z σ y z y r yz Ejemplo La Tabla 5 muestra u ejemplo de estmacó co ERM sobre Poblacó II (Tabla 4). Esta poblacó, presetada e forma de tabla, correspode a u rodal de forma rregular, dvddo e fajas de aco costate y logtud varable. Cada faja es cosderada como u dvduo, y para los efectos del muestreo, como ua UM. Los dvduos marcados co astersco e la columa el so los que tegra la muestra aleatora de tamaño 0. Tabla 5. Resultados de u muestreo co ERM sobre poblacó II Parámetro ímbolo Fucó Valor Promedo por a $ a 53,6 Total $ 644,5 Error de estmacó a $ (*) 9,9 Error de estmacó, % %,49 Error muestral, % E% (**) 8, L.C. (prom./a) 0,3-97,0 L.C.(Total) (*) Dado que e este caso partcular, tato N como so coocdos, la Fraccó muestral f correspode al cuocete /N

21 (**) El valor de t para 0 y α0,05 es,6 Es mportate acer alguas aclaracoes respecto a los estmadores ERM aplcados a vetaros:. be estos estmadores so por prcpo sesgados, este sesgo práctcamete desaparece e muestras grades. Cuado las UM so de tamaño costate, los estmadores MA Alteratvos y los estmadores ERM so guales. 3. Este estmadores semejates a los ERM, llamados estmadores de meda de razoes (EMR). Ellos, a dfereca de lo ERM o tede a ser sesgados al aumetar el tamaño de la muestra, por lo que su empleo es correcto. Mucas veces ellos se emplea coscetemete, cuado UM de tamaño varable se epade a valores por ectárea, dvdedo el valor agregado de la parcela ( ) por la superfce de la UM e ectáreas y aplcado estmadores MA Alteratvos sobre los valores dvduales epaddos a totales por ectárea. Dada la mportaca que tee los Estmacoes de Razó y de Regresó, este tema cotua e el documeto Estmadores de Razó y de Regresó. Estmadores de proporcoes Los estmadores de proporcoes se emplea e vetaros forestales para descrbr el estado del bosque e base a varables que puede tomar solo dos valores posbles, como preseca o auseca de u determado atrbuto e los dvduos, como espece, efermedades, defectos, etc. e puede dar mucos ejemplos de varables de este tpo cuya descrpcó puede ser mportate e vetaros co propóstos múltples. El sguete ejemplo muestra cómo puede emplearse los estmadores de proporcó. e trata de la regeeracó de ua determada espece, observada e 0 parcelas de muestreo localzadas aleatoramete e ua UI de 40 ectáreas. Valores o 0 regstrados para cada parcela dca preseca o auseca de dca espece, s cosderar su abudaca. Los sguetes valores muestra el resultado de la regeeracó observada e las 0 parcelas: ( 0, 0,, 0,,, 0, 0,, 0,,, 0,, 0, 0,, 0, 0, 0 ) k 8 es el úmero de parcelas co preseca de regeeracó de la espece k, y 0 el umero total de parcelas. p k k / 8/0 0.4 es a la proporcó de parcelas co preseca de regeeracó de la espece e cuestó. E ua poblacó tegrada por N dvduos, de los cuales N k preseta el atrbuto k, se dce que la proporcó de dvduos e la poblacó que preseta el atrbuto k es: P k N k /N Puede demostrarse fáclmete que la proporcó p k basada e ua muestra aleatora, es u estmador sesgado de la proporcó poblacoal P k. La proporcó muestr Puede observarse que p k correspode també a la meda artmétca de la varable. Así també, la varaza muestral de es:

22 s ( ) ( ) / / 0.53 El coefcete de varacó de es el sguete: s s % 00 6% Uo de los coveetes de los estmadores de proporcoes es su alta varabldad, especalmete cuado se trata de atrbutos escasamete represetados Coforme a los estmadores MA, y puesto que p k es estmador sesgado de P k, el error de estmacó de la meda es, gualmete el error de estmacó de la proporcó p k. Asumedo que la fraccó muestral f es rrelevate, se tee El error de estmacó de p k e % es el sguete: %00*( p /p k ) 8. % Puesto que el área de la UI poblada co la espece k es A k A*P k, ua estmacó MA de A k es la sguete: A k A pk 40*0.4 6 a De acuerdo a la forma e que se propaga los errores, el error de estmacó de la superfce poblada por la espece k es: k k A A A p p * k 40 la muestra () es sufcetemete grade (p y q so mayores que 5), el error muestral de la proporcó p k para u vel de certdumbre α es, segú De Vres(986), el sguete: E t α * /( ) 0.45 ; E 00 ( E p / p ) 6. p / k p + k a % k k los lmtes cofdecales para la proporcó p y para la superfce estmada e base a ella, so los sguetes: L.C.(p k ) p k* ( ± E%/00) ( ) ; L.C.(A k ) A k* ( ± E%/00) ( ) a. Tamaño de la muestra Ua epresó del error de estmacó de la proporcó e % es el sguete: p p p % p p( ) k el error que afecta a la proporcó p k ecedera las epectatvas, sería precso tesfcar la muestra. De esta msma epresó puede dervarse u estmador del tamaño muestra. Para u error mámo admsble p ma% (Ej: 5%), el requerdo es:

23 0000( p) p( ma %) p 600 Estmacó de uperfce medate redes de putos Uo de los empleos más corretes de los estmadores de proporcoes es para estmar la superfces de dferetes Clases de Uso del suelo sobre Imágees de Percepcó Remota (IPR). El procedmeto cosste e dstrbur ua red aleatora de putos sobre ua IPR cuya area total es A ectáreas. El área correspodete a ua clase de uso k, detro de A es A k y su proporcó es P k A k /A. se dstrbuye putos al azar sobre la IPR detro del area A y se cueta los putos ubcados detro de la clase de uso k ( k ), la proporcó p k k / es u estmador sesgado de P k, por lo tato u estmador sesgado del area A k y su correspodete error de estmacó so: p A A k p k A k A pk Estmacó co red sstemátca de putos p( p) A E lugar de emplear ua catdad de putos dstrbudos aleatoramete sobre la IPR, puede emplearse ua red de putos dstrbudos sstemátcamete. las Clases de Uso tede a dstrburse aleatoramete e el área A, o ay grades vetajas al emplear ua red sstemátca, pues el error que afectaría etoces a la proporcó estmada es el msmo que afecta a las estmacoes basadas e putos aleatoros. E cambo, s las clases de uso tede a cocetrarse detro de A e subáreas de formas regulares, la red sstemátca estma co errores más pequeños. La regulardad del área de ua determada Clase de Uso k se mde y epresa medate el llamado Cuocete permetral C k : Dode: C k Per Per k 0 pk Perk πa Per k es el perímetro total de los elemetos que costtuye la Clase de Uso k Per 0 es el perímetro correspodete a u círculo de área A k La sguete escala (Fgura 6) permte formarse ua dea de los valores C k asocados co elemetos co dferetes grados de regulardad: k Fgura 6

24 El error de estmacó % para ua red sstemátca se determa e la sguete forma: Ejercco: p % Ck k obre ua área A a se dstrbuye 300 putos al azar y se cueta 70 putos e ua clase de uso k. El área estmada para k es A k (60/300)* a. El error de estmacó (%) de A k es p 0.8 p % % p( ) los msmos 300 putos se ubera dstrbudo e red sstemátca cuadrada y se ubese cotado los msmos 60 putos e la Clase de Uso k, el error de estmacó de la superfce de dca clase, asumedo que su cuocete permetral es C k 3, sería: p % 50.84*3 0.5 * % Estmadores para grupos de Udades E mucas ocasoes ay terés e agrupar los resultados obtedos para UI dvduales co el f de crear estmacoes de totales o totales por ectárea (o tablas de rodal y de esteca) para grupos de UI cuyo error de estmacó sea també coocdo. També es frecuete que UI eterogéeas de subdvda e sub udades o estratos, de maera que el error de estmacó se reduzca al ser la varabldad detro de los estratos meor que la varabldad e toda la UI. E ambos casos se emplea los estmadores del dseño muestral llamado Muestreo Estratfcado Estratfcacó Estratfcar es dvdr ua poblacó (bosque) e subpoblacoes (o estratos) tegrados por dvduos semejates, de maera que la varabldad detro de ellos sea reducda. La clasfcacó e estratos se basa e geeral e mágees de percepcó remota. La asgacó a estratos puede acerse por delmtacó o medate clasfcacó de putos dstrbudos e ua red sstemátca. Fgura 7

25 La fgura 7 muestra los dos procedmetos de estratfcacó. Ambos procedmetos tee vetajas y desvetajas. Los estratos delmtados tee sempre ua dmesó (superfce) que se asume eacta, pero la varacó detro de ellos es, e mucos casos, mayor. Esto ocurre, por ejemplo, e Clases de uso afectadas por ua alta fragmetacó, y dode se establece ua superfce míma delmtable que da orge a slotes de otras clases detro de ua Clase de Uso delmtada. Los estratos resultates de ua clasfcacó putual puede ser bastate más omogéeos, pero o se cooce su magtud eacta, debedo emplearse dseños muestrales e fases. Además, los estratos o tee ua localzacó geográfca precsa, lo que dfculta la localzacó e terreo de los putos elegdos como parcelas de terreo. Estmadores mbología Para cada udad co superfce A de las L UI que se agrupa o de los L estratos e que se subdvde ua UI, se a estmado el total $ para el atrbuto de terés. y su correspodete error de estmacó. e asume que ambas estmacoes se a $ efectuado depedetemete para cada rodal y e forma sesgada, es decr, s errores sstemátcos de magtud sgfcatva. El tamaño muestral total correspode a la suma de los tamaños muestrales () empleados e las L UI. E cada UI la estmacó puede basarse e u dseño muestral dferete. Total de grupo El total del atrbuto para todas las udades que tegra el grupo( UI o estratos) y su correspodete error de estmacó so los sguetes: Promedo por ectárea $ $ T L L $ $ ; T El promedo por ectárea y su correspodete error de estmacó so los sguetes: Error Muestral a $ T $ T ; A T a $ T L $ T ; AT A A El error muestral se calcula como e los casos aterores, asumedo ua apromacó ormal para los estmadores globales: ( ) ( ) L E T E T t α / ; E% 00 T Los grados de lbertad que determa el valor de t so apromadamete gual a -L, L dode. T T

26 Tamaño Muestral Partedo de la sguete epresó del Error Muestral es posble estmar el tamaño de la muestra e el Muestreo Estratfcado: L L s P t P t t E Dode: P es la proporcó del estrato, es decr, A /A T. s es la varaza etre udades del estrato, e valores absolutos Ates de estmar, es ecesaro especfcar el crtero que se empleará para dstrbur ua muestra global de tamaño e los L estratos. Los crteros de dstrbucó más empleados so los sguetes: a) Dstrbucó proporcoal a la superfce de los estratos:. P La epresó propa del Error Muestral es, etoces: L P s P t E..de la que se obtee la epresó para estmar : L Em P s t b) Dstrbucó óptma, es decr, la que permte estmar co el mímo error, dado u : L c s N c s N / / Reemplazado e la epresó geeral del error muestral y despejado, para costos costates e todos los estratos, resulta: ) ( L Em P s t Tamaño muestral para u presupuesto fjo Para u presupuesto P, co costo fjo (Dseño + capactacó + cotrol + procesameto) C 0 y costo varable por parcela y por estrato c se tee: + L c C P 0 Para ua dstrbucó proporcoal al tamaño de los estratos, resulta: + L L P c C C P c C C 0 0 Ejerccos La fgura 8 preseta la Poblacó de Juego I que se a dvddo e tres estratos

27 Fgura 8 E cada estrato se a seleccoado parcelas aleatoramete, co el resultado que se muestra e la Tabla 8 Tabla 8 Estrato Volume por parcela, m 3 /a La Tabla 9 preseta los estmadores co y s estratfcacó Tabla 9 Pará- Estmacó s Estmacó co estratfcaco metro estratfcacó Estrato 3 Total N P a

28 s s% tot a % L t α / E(tot) E% Estmacó de tamaño muestral para u error mámo admsble El error muestral resultate fue de.94%. upoedo que el mámo admsble es 8%, Cuál debería ser el tamaño muestral? a) Para ua dstrbucó de las UM proporcoal al tamaño de los estratos: t L P s Em El valor de t, para u c.95 y asumedo que la muestra crecerá a u 50 sería.0 El error mámo se epresa e los msmos térmos que la varabldad por estrato, es decr, e m 3 /a: Em0.08* E el sguete cuadro se calcula el resto de los elemetos ecesaros para calcular : Estrato P s P s P s uma (suma)^ Luego, para ua dstrbucó proporcoal: y para ua dstrbucó óptma: COCHRAN, W.G amplg tecques. Jo Wley ad os. N.Y. 48 p.. DE VRIE, P amplg teory for Forest Ivetory. A teac Yourself course. prger Velag Berlí-Hedelburg. 399 p. 3. HUCH, B.; MILLER, CHARLE J.; BEER, THOMA W. 98 Forest Mesurato 3ª Ed. Jo Wley & os, 40 p. 4. Husc, B., Beers, T.W. y Kersaw, J.A, 003. Foresta Mesurato, 4ª Edcó. Jo Wley & os, Ic. 443 p 5. LANLY, J.P. 98. Mual of Forest Ivetory Wt specal referece to med tropcal Forests. FAO Forestry Paper 7, 00 p.

29 6. LOETCH, F. Ad K.E. HALLER Forest Ivetory. Vol. I BLV-Müce Basel, We. 436 p. 7. LOETCH, F., ZÖHRER, F. Ad K.E. HALLER Forest Ivetory Volume. BLV Verlaggesellscaft Muce. 469 p. 8. PETER, R.; M. JOBET y. AGUIRRE Compedo de tablas aulares para el maejo de platacoes de po sge. Isttuto Forestal, Maual Nº 4, 40 p. 9. PHILIP, M Measurg Trees a Forests. CAB Iteratoal. 30 p. 0. PRODAN, M.; 968. Forest Bometrcs Pergamo Press Bayersc Ladwrts-Cafts Verlag Gmb, 447 p.. PRODAN, M.; PETER, R.; CO, F. Y REAL, P Mesura Forestal. GTZ-IICA. Costa Rca. 586 p.. RAJ, D amplg Teory. Mc Graw-Hll, N CHREUDER, MT.; GREGOIRE, T.G. Y WOOD, G.B amplg metods for Multresource Forest Ivetory. Jo Wley & os. Ic. 433 p. 4. VANCLAY, J Modellg growt a yeld: Applcatos to med Tropcal Forest. CAB Iteratoal. 5. Va Laar, Atoe y Akca, Alparsla Forest Mesurato. Cuvller Verlag, Goettge, Alemaa (48 p). IBN: ZOEHRER, F Forstvetur. E Letfade für tudum ud Pras. Verlag Paul Parey. Hamburg. Berlí, 07 p.

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