Curso ON LINE Tema 5. x + y + z = x + 600y = m z 1200x = 3 m z

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1 Curso ON LINE Tem 5 Un gente inmobilirio puede relir tipos de operciones: vent de un piso nuevo, vent de un piso usdo lquiler. Por l vent de cd piso nuevo recibe un prim de. Si l operción es l vent de un piso usdo recibe 6. Se desconoce l prim cundo l operción es un lquiler. Este mes el número totl de operciones fue 5, l prim totl por l vent de pisos fue superior en l obtenid por lquileres l prim totl por vent de pisos nuevos fue el triple que por lquileres. () Plnte un sistem de ecuciones (sin resolverlo) pr obtener el número de operciones relids (en función del vlor desconocido de l prim de lquiler). (b) Indic un prim l que es imposible que se hn pgdo los lquileres. (c) Indic tres prims ls que es posible que se hn pgdo los lquileres. (d) Si l prim de lquileres fue de, cuánts operciones de cd tipo se reliron?. RESOLUCIÓN prtdo () DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS "Número de vents de pisos nuevos" "Número de vents de pisos usdos" "Número de lquileres" DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS m "Vlor desconocido de l prim por un lquiler" PLANTEAMIENTO: B Junio 5 6 m m Colocmos términos semejntes en cd miembro, reducimos obtenemos el siguiente sistem pr obtener el número de operciones relids (en función del vlor desconocido de l prim de lquiler) RESOLUCIÓN prtdo (b) 5 6 m 4 m Pr estudir l comptibilidd del sistem, lo resolvemos por el método de Guss: () 5 (4) () 6 m 4 m () Fijmos l ª fil modificmos l ª ª con ls operciones indicds l iquierd derech, respectivmente: 5 () 6 m 4 () 4 m 4 Fijmos l primer segund fils modificmos l tercer con ls operciones indicds l iquierd 5 6 m 4 m 4 m Simplificmos l º fil: 5 6 m 4 m

2 Abel Mrtín "Mtrices" Obtendremos un solución imposible cundo l estudir l comptibilidd el sistem es INCOMPATIBLE ( m ) Será incomptible cundo: m m Es imposible que se hn pgdo los lquileres con un prim de. RESOLUCIÓN prtdo (c) COMPROBACIÓN: Pr indicr tres prims ls que es posible que se hn pgdo los lquileres: observmos l mtri del sistem resultnte: 5 6 m 4 m Pr m es sistem es comptible determindo. ( m ) Pero h que tener en cuent que tnto,,, m, tendiendo l conteto del problem, tienen que ser ó números enteros positivos. Comencemos, por tnteo, dándole vlores "": m Pr m NO VÁLIDA Pr m m m m 8 m 8 NO VÁLIDA (L prim por lquiler tiene que ser positiv enter) Pr m m 4 m 4 m 4 m VÁLIDA? Pr m Válid Válid Válid Mtemátics TIC

3 Curso ON LINE Tem 5 Pr m 6 m m 6 m 6 m 6/ Pr m 6/ 6 5 / / 5 4 Válid Pr No Válid 4 m 4m 48 4m 48 4m 8 m 7 VÁLIDA? Pr m Válid 6 No Válid RESOLUCIÓN prtdo (d) Así pues, sólo es válid pr m Este prtdo h sido resuelto en el nterior, m, obteniéndose como solución: ; ; vent de un piso nuevo, vents de pisos usdos lquileres

4 Abel Mrtín "Mtrices" RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORAS GRÁFICAS Vmos comprobr con l clculdor gráfic, sustituendo "m" por diversos vlores en el sistem del enuncido: m 5 6 m 4 m SOLV F L clculdor gráfic no es cpr de resolver sistems incomptibles m, por ejemplo m SOLV F L clculdor gráfic nos propone ls soluciones correspondientes. Es un sistem comptible determindo. m, por ejemplo m 7 SOLV F L clculdor gráfic nos propone ls soluciones correspondientes. Es un sistem comptible determindo, pero... con soluciones negtivs m, por ejemplo m 4 SOLV F L clculdor gráfic nos propone ls soluciones correspondientes. Es un sistem comptible determindo, pero... con soluciones frccionris Como se puede observr, se confirmn nuestros resultdos obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL. ClssPd 4 Mtemátics TIC

5 Curso ON LINE Tem Sen ls mtrices A ; B ; C ; D () Sbiendo que AB C - D, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por,, ) donde "" es cierto vlor desconocido. (b) Si se supier que el sistem tiene solución, podrímos descrtr lgún vlor de ""?. (c) Si se supier que el sistem tiene solución únic, podrímos descrtr lgún vlor de ""?. (d) H lgún vlor de "" pr que el sistem teng más de un solución?. BH Septiembre RESOLUCIÓN prtdo (): AB A B AB C - D - Aplicndo l definición de iguldd de mtrices: RESOLUCIÓN prtdo (b): Discutimos el sistem: intercmbimos l ª l ª fil () () () ( ) () ( - ) - - ( - ) ; - Sistem incomptible Sistem comptible indetermindo p. ej. ( - ) Sistem comptible determindo Si se supier que el sistem tiene solución, podrímos descrtr que se un sistem es incomptible, es decir, descrtr RESOLUCIÓN prtdo (c): Si se supier que el sistem tiene solución únic, tendrí que ser comptible determindo, sí que se descrtrín los sistems incomptibles los comptibles indetermindos, es decir, se descrt. RESOLUCIÓN prtdo (d): Pr que el sistem teng más de un solución tiene que ser comptible indetermindo, es decir,

6 Abel Mrtín "Mtrices" En un frmci se comercilin tipos de chmpú de ciert mrc: norml, con vitmins nticsp. Se sbe que el precio l que se vende el norml es de euros el de vitmins es de euros. Se desconoce el precio l que vende el nticsp. Por otro ldo, el dinero totl obtenido por ls vents de los tipos de chmpú el mes psdo fue de euros el dinero obtenido en vents con el chmpú norml fue 56 euros inferior l dinero totl obtenido en vents con el resto. Además, el dinero totl obtenido en vents con el chmpú de vitmins el nticsp fue el mismo que el que hubier obtenido vendiendo 8 uniddes del nticsp ningun de ls demás. () Plnte un sistem de ecuciones (en función del precio desconocido del chmpú nticsp, que puedes llmr por ejemplo m) donde ls incógnits (,, ) sen ls uniddes vendids el mes psdo de cd tipo de chmpú. (b) Qué puedes concluir sobre el precio del chmpú nticsp prtir de un estudio de l comptibilidd del sistem?. (c) Si se sbe que el número de uniddes vendids del nticsp fue, utili el resultdo del prtdo (b) pr clculr ls uniddes vendids de los otros. RESOLUCIÓN prtdo DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN DDEE IINNCCÓÓGGNNIITTAASS "Número de uniddes vendids el mes psdo de chmpú norml". "Número de uniddes vendids el mes psdo de chmpú con vitmins". "Número de uniddes vendids el mes psdo de chmpú nticsp". DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN DDEE PPAARRÁÁMMEETTRROOSS m "Precio desconocido del chmpú nticsp" PPLLAANNTTEEAAMMIIEENNTTOO: : m 56 m m m 8 BH Junio Reducimos obtenemos el siguiente sistem en función del precio desconocido del chmpú nticsp m - - m - 56 m 8m RESOLUCIÓN prtdo b () m () m 56 m 8m () () m 6 m 68 m 8m m 6 m 68 56m 68 56m m m 68 m Infinits soluciones Sistem comptible indetermindo pr m m 56m - 68 p.ej, m - 68 Sistem incomptible pr m Por lo que resolvemos pr m (8 - ) Se trt de un sistem comptible indetermindo, de solución generlid: (4, 8 -, ) El precio del nticsp es de. 6 Mtemátics TIC

7 Curso ON LINE Tem 5 RESOLUCIÓN prtdo c Pr : (4, 8 -, ) (4, 8 -, ) (4, 8, ) Si vendieron uniddes de chmpú nticsp, ese mismo mes hbrá vendido 4 uniddes de chmpú norml 8 con vitmins. RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORA GRÁFICA Vmos comprobr con l clculdor gráfic, sustituendo "m" por diversos vlores en el sistem del enuncido: m SOLV F L clculdor gráfic no es cp de resolver sistems comptibles indetermindos. Si sustituimos en el primer sistem, pr m, SOLV F L clculdor gráfic no es cpr de resolver sistems comptibles indetermindos. Como se puede observr, se confirmn nuestros resultdos obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL

8 Abel Mrtín "Mtrices" Mtemátics TIC 8 4 Sen ls mtrices A, B, C, donde es desconocido. () Se el sistem de ecuciones con tres incógnits cu mtri de coeficientes es A de términos independientes B. Puede pr lgún vlor de no tener solución este sistem? Pr qué vlores de el sistem tiene solución únic?. (b) Si l mtri de coeficientes es A pero l de términos independientes es C, es posible que pr lgún vlor de el sistem no teng solución? Encuentr un vlor de pr el que el sistem teng más de un solución clcul de ells. BH Septiembre SOLUCIÓN prtdo (): Pr estudir l comptibilidd del sistem: () () () () () () 4 ( - 4) 4 Infinits soluciones Sistem comptible indetermindo. - 4 Sistem comptible determindo. No h ningún vlor de que hg que el sistem no teng solución pues nunc es incomptible. El sistem tiene solución únic pr 4 que es comptible determindo. SOLUCIÓN prtdo (b): Al ser un sistem homgeneo siempre tendrá, l menos un solución que es l solución trivil:,,. Tendrá más de un solución pr 4. () () 4 () () () () (- ) Solución generlid: (5,, - ) Pr (5,, - ) Pr (,, - 6)

9 Curso ON LINE Tem 5 L mtri de coeficientes de un sistem es l de términos independientes. 4 5 () Pr qué vlor o vlores de el sistem no tiene solución?. (b) Pr cierto vlor de un individuo encontró soluciones del sistem. Cuánto vlí? tení más soluciones el sistem?. (c) Encuentr un vlor de pr el que el sistem teng un únic solución, pr dicho vlor, resuélvelo. RESOLUCIÓN: 4 Aplicmos l definición de producto de mtrices Aplicndo l definición de iguldd de mtrices: 4 4 Pr estudir l comptibilidd del sistem: () () () 4 () 4 (4 - ) - ( - ) - - / Infinits soluciones Sistem comptible indetermindo. ( - ) ( - ) ( - ) - ( - ) ( - ) - ( - ) - 6 /6 / / - Incoherenci Imposible Sistem incomptible Sistem comptible determindo SOLUCIÓN prtdo (): Pr que el sistem no teng solución, h de ser incomptible por lo tnto SOLUCIÓN prtdo (b): Pr que el sistem dmit vris soluciones, h de dmitir infinits ser un sistem comprtible indetermindo, por lo tnto / SOLUCIÓN prtdo (c): Pr que el sistem teng solución únic h de ser comptible determindo, por lo tnto: / Supongmos 4 - (- ) - / BH Junio

10 Abel Mrtín "Mtrices" Mtemátics TIC 6 Sen ls mtrices A, B, C, D, E () Sbiendo que (AB C)D E, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por,, ) en función de. (b) Pr lgún vlor de el sistem tiene solución únic? (c) Pr encuentr un solución del sistem con. BH Septiembre RESOLUCIÓN prtdo (): AB AB - C - (AB - C) D (AB - C) D E Aplicndo l definición de iguldd de mtrices: RESOLUCIÓN prtdo (b) Pr estudir l comptibilidd del sistem: () () Infinits soluciones Sistem comptible indetermindo. Por ejemplo 6 Sistem incomptible En ningún cso tiene solución únic que pr ningún vlor de es un sistem comptible determindo. RESOLUCIÓN prtdo (c) Pr estudir l comptibilidd del sistem: - - (, -, ) Algun solución del sistem, con podrín ser: pr (, -, ) pr 7 (, - 7, 7) etc.

11 Curso ON LINE Tem 5 7 Un individuo reli fotogrfís con un cámr digitl. Sbe que cd fotogrfí de clidd norml ocup siempre. megbtes de memori. Cd fotogrfí de clidd óptim ocup siempre un cntidd A de megbtes, pero el individuo no l conoce. Est semn h llevdo revelr 4 fotogrfís que le hn ocupdo un totl de 9. megbtes de memori. () Plnte un sistem de ecuciones (en función de A) donde ls incógnits sen el número de fotos de cd clse que h relido. Estudi l comptibilidd del sistem. (b) H lgun cntidd de megbtes que es imposible que ocupe cd foto de clidd óptim?. (c) L semn psd tmbién hio 4 fotos ocupó 9. megbtes de memori en totl. Es posible que el número de fotos de cd tipo fuer diferente l de est semn?. RESOLUCIÓN prtdo DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN DDEE IINNCCÓÓGGNNIITTAASS "Número de fotos relids en clidd norml". "Número de fotos relids en clidd óptim". DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN DDEE PPAARRÁÁMMEETTRROOSS A "megbtes de memori de cd foto de clidd óptim" PPLLAANNTTEEAAMMIIEENNTTOO: : A. A.. RESOLUCIÓN prtdo (b) A 4. A 9. Pr estudir l comptibilidd del sistem: 4 (.) 4 9. (). A 9. (A -.) Sistem incomptible p.ej. A Sistem comptible determindo (A -.) A. 4 ( A 4.4 A. 4 4A A. A , ). A. 4A 9. A. 4 A Al menos h un (A.) que hce que el sistem se incomptible, pero tmbién hbrí otrs muchs que hcen que "" e "" no sen números positivos enteros, en l solución generlid epresd nteriormente. RESOLUCIÓN prtdo (c) No, que en ningún momento el sistem es comptible indetermindo, momento en el que podrín generrse infinits soluciones. BH Junio

12 Abel Mrtín "Mtrices" 8 Sen ls mtrices A 5 B m C D m E ( m) () Clcul cd uno de los tres productos AB, DE, EB. (b) Si AB C D, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por, ) en función de m. Pr qué vlores de m el sistem tiene solución? es siempre únic?. RESOLUCIÓN prtdo (): AB RESOLUCIÓN prtdo (b): RESOLUCIÓN prtdo (b) m 4 5 m 4 m DE m m m ( m) EB 5 m ( m) 5 ( ) AB C D 4 m m 4 m m Aplicndo l definición de iguldd de mtrices: Pr estudir l comptibilidd del sistem: () () 4 m m 4 m m BH Septiembre 4 4 m 4 m (m - 4) m - m - 4 m 4 m Pr m - Sistem incomptible Pr m p.ej: m 4 4 Sistem comptible determindo. El sistem tiene solución pr vlores de m, que es comptible determindo es siempre únic pues en ningún momento obtenemos sistems comptibles indetermindos. Mtemátics TIC

13 Curso ON LINE Tem 5 9 Sen ls mtrices A B C 6 D () Si AB C D, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por, ) en función de. (b) Pr qué vlores de el sistem tiene solución? es siempre únic? Encuentr un solución pr con. RESOLUCIÓN prtdo (): AB BH Junio 5 AB - C - AB - C D 6 Aplicndo l definición de iguldd de mtrices: 6 6 ( ) RESOLUCIÓN prtdo (b): ( - ) - infinits soluciones Sistem comptible indetermindo Solución generlid: (6 -, ) Pr p.ej: - - Sistem comptible determindo. Sistem comptible indetermindo Pr Sistem comptible determindo. El sistem tiene solución pr culquier vlor de "", pues siempre es comptible. No es siempre únic, pues pr es un sistem comptible indetermindo de solución generl: (6 -, ) Pr e Por ejemplo pr (6 -, ) (4, ) Por ejemplo pr (6 -, ) (, )

14 Abel Mrtín "Mtrices" Sen ls mtrices A m B C m D E ( ) () Clcul los productos AB, EA, CE. (b) Si (AB)C D, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por, ) en función de m. Pr qué vlores de m el sistem tiene solución? es siempre únic?. RESOLUCIÓN prtdo (): A B m m m m m EA ( ) CE ( ) 6 4 RESOLUCIÓN prtdo (b): ( ) (AB) EA CE (AB)C D m m m Aplicmos l definición de producto de mtrices m m m Aplicndo l definición de iguldd de mtrices: BH Septiembre 5 m m m m m ( m ) m m Pr m Infinits soluciones. Sistem comptible indetermindo. ( - m ) ( - m ) - m - m Pr m Sistem incomptible Pr m m Sistem comptible determindo. El sistem tiene solución pr m En este cso NO es siempre es únic, pues pr m tiene infinits soluciones. 4 Mtemátics TIC

15 Curso ON LINE Tem 5 Sen ls mtrices A, B ( m), C D 5 m, E 9 m 5 () Si (AB)(C D) E, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por, ) en función de m. (b) Pr qué vlores de m el sistem tiene solución? cuándo es únic? Resuelve el sistem si m 4. RESOLUCIÓN prtdo (): (AB)(C D) A B m ( m) m C - D - 9 (AB)(C D) m m m m (AB)(C D) E m m m m 5 Aplicndo l definición de iguldd de mtrices: m m m m m m m 5 m 5 m m 5 m RESOLUCIÓN prtdo (b): () m () m 5 m m m (m - ) m Pr m el sistem es incomptible. - m - m m (m - ) ( - m) (m - ) (m - ) ( - m) (m - ) - m m m m m 5 ( m ) ( m ) Pr m el sistem es incomptible. El sistem tiene solución pr m demás es únic. Sistem comptible determindo. Si m 4 m m ; ( m ) (4 ) 9 m m 4 - ; 4 BH Junio

16 Abel Mrtín "Mtrices" Sen ls mtrices: A, B (m ), C m D m, E m m () Si (AB)C D - E, plnte un sistem de ecuciones incógnits (, ) en función de m. (b) Pr qué vlores de m el sistem tiene solución? cuándo es únic?. RESOLUCIÓN prtdo (): (AB)C D - E A B m (m ) m (AB)C m m m m D - E m m - m m m m m m (AB)C D - E m m m m m m Aplicndo l definición de iguldd de mtrices: m m m m m m BH Septiembre 6 RESOLUCIÓN prtdo (b): Anlimos: m m m m m m m m m m m - m m m m m m m m m Pr m es sistem es incomptible. m m(m - ) m m m - m - m m m - 4m m 4m m El sistem tiene solución pr m demás es únic. Sistem comptible determindo. pr m el sistem no tiene solución. 6 Mtemátics TIC

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