A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta."

Transcripción

1 . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes prácticas. Como vamos a poder observar el cálculo de potecias de matrices cuadradas lleva cosigo u úmero muy elevado de operacioes. Es coveiete ecotrar estrategias adecuadas que os permita calcular de modo eficiete las potecias aturales de matrices cuadradas. Empezamos co este primer ejemplo e el que utilizaremos el método de iducció... El método de iducció Sea la matriz: Calcular A N. Solució. E cualquier problema de este tipo es coveiete empezar calculado las sucesivas potecias de la matriz cuadrada A. E este caso vamos a observar que estas potecias parece obedecer a u cierto patró, lo que os permite la posibilidad de lazar ua hipótesis sobre el valor de A que luego habrá que demostrar por iducció. E que cosiste el método de iducció? El método de demostració coocido como iducció simple (o método de iducció, si más se suele utilizar para demostrar que ua cierta proposició P (, que se refiere a los úmeros aturales, es cierta para cada. Este método procede así:. Demuestra que P ( es cierta.. Demuestra que si P (h es cierta, etoces P (h + es cierta. Así queda claro que P ( es cierta para cualquier N. Se puede eteder este proceso de demostració pesado e ua fila de fichas de domió puestas de pie de tal modo que si se cae ua se cae la siguiete de la fila. Si te aseguras de este hecho y tiras la primera, está claro que se caerá todas. E este método de demostració la fase. correspode a asegurarse de que si se cae ua ficha se cae la siguiete, y la fase. correspode a cerciorarse de que la primera ficha se cae. Como ya hemos mecioado, empezamos calculado las sucesivas potecias de la matriz cuadrada A:

2 A ( ; A ( ; A 3 ( ; A 4 ( Estas potecias de la matriz A las podemos escribir de otro modo: ( ( ( A ; A ; A 3 ( 3 3 ; A Esto os lleva a propoer como cadidata la expresió: A N Todavía o hemos demostrado ada. Teemos que comprobar por el método de iducció que esta fórmula es cierta:. Comprobemos que es cierta para, 3, por ejemplo. Ésto es algo que ya lo hemos hecho previamete y o es ecesario repetirlo.. Supogamos que la fórmula es cierta para u h y vamos a ver que tambié es cierta para h +. por hipótesis de iducció A h+ A A h h h h h A h+ c.q.d. h h h h De este modo ha quedado demostrado por iducció que: A N.. Otro ejemplo co el método de iducció Sea la matriz:

3 Calcular A N. Solució. Procedemos del mismo modo que e el caso aterior, calculado las primeras potecias aturales de la matriz A. ; A A 3 A ; A 4 4 A Este caso es u poco más complicado que el aterior pues las potecias de la matriz A sigue dos reglas diferetes depediedo de que la potecia sea par o impar. Viedo las primeras potecias de A podemos supoer que: A A A A N Al igual que e el ejemplo aterior hay que demostrarlo por iducció.. Ya hemos visto que la fórmula es cierta para,.. Supogamos que la fórmula es cierta para u h y vamos a ver que tambié es cierta para h +. por hipótesis de iducció A (h+ A h A ( h A A h (A A h A 4 h ( A h A c.q.d. por hipótesis de iducció A (h+ A h A ( h A A h (A A h A 3 h ( A h A c.q.d. Hemos demostrado por iducció: A A A A N 3

4 .3. Matrices periódicas, idempotetes, ilpotetes e ivolutivas Si ua matriz cuadrada A es periódica, idempotete, ilpotete o ivolutiva resulta tambié muy secillo calcular las potecias aturales de la matriz A. Vamos a recordar las defiicioes de matrices periódicas, idempotetes, ilpotetes e ivolutivas. Ua matriz cuadrada A es periódica si existe p N tal que A p+ A. Además si p es el meor úmero atural que cumple A p+ A se dice que A es periódica de período p. Es imediato comprobar que si A es periódica de período p se cumple que: A, A, A 3,, A p, A p+ A, A p+ A, A p+3 A 3, Ua matriz cuadrada A es idempotete si: A A N. Vamos a comprobarlo tambié por el método de iduc- Esto implica que: A A ció.. Comprobemos que la fórmula es cierta para, 3: Por defiició de matriz idempotete, teemos que: A A A A A A A 3 A A A A A. Vamos a demostrar que si la fórmula es cierta para ua h N, etoces tambié es cierta para h +. Por hipótesis de iducció: A h A A A A h+ A h A A A A c.q.d. Ua matriz cuadrada A M (R se dice ilpotete si existe p N tal que A p (. Al meor úmero atural p que cumple A p ( se le llama ídice de ilpotecia de la matriz A. Se cumple que: A ilpotete de ídice p A m ( m p Ua matriz cuadrada A de orde se dice ivolutiva o uipotete si A I. Se tiee que: A ivolutiva { A m I m N A m+ A m N Resulta por tato imediato calcular potecias aturales de matrices que sea o bie periódicas o ilpotetes o idempotetes o ivolutivas. A cotiuació veremos cómo calcular de ua maera secilla potecias de matrices cuadradas A que puede escribirse de la forma A k I + k B co k, k R y B ua matriz periódica, idempotete, ilpotete o ivolutiva. Los casos más simples so co k ± y k ± y B ilpotete o idempotete. 4

5 .4. Matrices relacioadas co matrices periódicas, idempotetes, ilpotetes o ivolutivas Sea la matriz a. Comprobar que la matriz B A I es idempotete. Solució. Para demostrar que la matriz B A I es idempotete, segú la defiició, tedremos que calcular B. B B B B Hemos comprobado que B A I es idempotete como habíamos propuesto. b. Teiedo e cueta que A B + I, calcular A N. Solució. B Si ua matriz cuadrada A se puede escribir como I + B, I B, B I o ua expresió parecida co B matriz ilpotete, idempotete o ivolutiva, suele resultar relativamete secillo escribir la potecia ésima de A e fució de la matriz B y de alguas de sus potecias aturales. Observació. Vamos a recordar la expresió del desarrollo del biomio de Newto y la defiició de úmeros combiatorios y el factorial de u úmero atural: ( ( ( ( ( (x + y x y + x y + x y + + x y + x y i x i y i i ; i! i! ( i! i factores { }} { ( ( i + i!! ; i! (i i 5

6 Hay propiedades de los úmeros combiatorios que puede ser iteresates de coocer, auque o es imprescidible para poder utilizar correctamete el desarrollo del biomio de Newto. Estas propiedades aparece reflejadas claramete e la costrucció del deomiado triágulo de Tartaglia. ( ( i i ; i + i i ( 4 ( 3 ( ( 4 ( ( ( ( ( ( ( ( ( 3 3 ( 4 4 Volviedo a uestro ejercicio, teemos que: A (B + I N Sabemos que el producto de matrices o es ecesariamete comutativo, de modo que, e geeral, o podemos aplicar el desarrollo del biomio de Newto para matrices, salvo que las matrices comute. E uestro caso, como B e I comuta, podremos aplicar el desarrollo del biomio de Newto. I BB I A (B + I i B i I i i I + I + B I + I + [ + [ + B + [ I + ( + B I B + + ( ] B + + B I + + B ( ] B B B N B I ( ] B I + [( + ] B I + ( B A 6

7 Si la matriz B hubiera sido ilpotete (como e uo de los ejercicios resueltos e el aula utilizaríamos el hecho de que B ( N co p siedo p el ídice de ilpotecia de la matriz B. Si la matriz B hubiera sido ivolutiva ( B I tedríamos que: B I ; B B N Las técicas empleadas hasta ahora puede resultar iadecuadas e muchas situacioes. E la uidad temática 7 (Valores y vectores propios. Diagoalizació de matrices cuadradas se explica uevas ideas y coceptos que os puede ser muy útiles para calcular potecias aturales de matrices cuadradas y potecias eteras de matrices ivertibles. La primera de estas técicas cosiste e utilizar el teorema de Cayley Hamilto y la seguda se puede emplear si la matriz es diagoalizable..5. El teorema de Cayley Hamilto Sea la matriz Calcular A N. Solució. Vamos a empezar calculado las sucesivas potecias de A: ( ( ( A ; A 4 4 ; A ; A 4 ( A simple vista o parece secillo ecotrar u patró para A. Además la matriz o es i periódica, i idempotete, i ilpotete i ivolutiva. Y parece poco probable que algú matriz secilla relacioada co A (del tipo I 3 ± A sea periódica o idempotete o ivolutiva o ilpotete. Hay que buscar otras alterativas que se va a propoer e la uidad temática 7. Comecemos co la primera que cosiste e la utilizació del teorema de Cayley Hamilto. El teorema de Cayley Hamilto dice que toda matriz cuadrada A satisface su ecuació característica p(λ, dode p(λ es el deomiado poliomio característico de la matriz cuadrada A y se defie del modo siguiete: p(λ det (A λi El teorema de Cayley Hamilto lleva los ombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilto. Arthur Cayley (8 895 Matemático britáico. Es uo de los fudadores de la escuela britáica modera de matemáticas puras. William Hamilto ( Matemático, físico, y astróomo irladés. Hizo importates cotribucioes al desarrollo de la óptica, la diámica, y el álgebra. 7

8 Vamos a calcular el poliomio característico de uestra matriz A. De acuerdo co la defiició que acabamos de proporcioar: λ p(λ det (A λi λ λ (λ + ( λ Para estudiar si ua matriz cuadrada A es diagoalizable o o es coveiete teer descompuesto e factores irreducibles e R su poliomio característico, que es como lo teemos escrito. Para uestro problema resulta más coveiete escribirlo de otra forma: p(λ (λ + ( λ (λ (λ + ( λ 3 + 3λ 4 Luego segú el teorema de Cayley Hamilto, la matriz A verifica que: A 3 + 3A 4I 3 ( 3 3 A 3 4I 3 3A Por lo tato vamos a poder calcular potecias pequeñas de la matriz A partiedo de esa idetidad 3 del modo siguiete: ( ( ( A ; A 4 4 ; A 3 4I 3 3A A 4 A 3 A ( A3 4I 3 3A 4I 3 3A A 4A 3A 3 9A + 4A I 3 A 5 A 4 A ( 9A + 4A I 3 A 9A 3 + 4A A A 3 4I 3 3A 3A A + 36I Como vemos podemos escribir las potecias de A e fució de la matriz uidad I 3, de la propia matriz A y de A. Puede resultaros cómodo para hallar potecias co expoete pequeño..6. Matrices diagoalizables Como hemos visto este método os puede resultar cómodo solamete e ciertas ocasioes y fudametalmete para calcular potecias de ua matriz cuadrada A co expoete pequeño. A cotiuació presetamos otro método que lo vamos a poder emplear para calcular potecias de matrices cuadradas diagoalizables. Para ello ecesitamos coocer la defiició de matriz diagoalizable así como algua caracterizació de matrices diagoalizables que os resulte cómoda de maejar. Más adelate defiimos y caracterizamos matrices diagoalizables. 3 Observar que al tratarse A de ua matriz regular, el teorema decayley Hamilto os permite calcular de ua maera muy simple la iversa de A: A 3 + 3A 4I 3 ( 3 3 4I 3 A 3 + 3A I 3 4 `A A A A regular A `A A 4 8

9 Ua matriz cuadrada A se dice diagoalizable si es semejate a ua matriz diagoal D. Es decir, si existe matrices D diagoal y P regular tales que D P A P Para dar ua caracterizació de matrices diagoalizable que os resulte cómoda y eficiete de aplicar ecesitamos uevos coceptos: Si A es ua matriz cuadrada de orde, se llama valor propio λ de A a cualquier escalar λ que cumple: x / A x λ x Al vector x se le llama vector propio de A asociado al valor propio λ. La preguta que os surge de imediato es: cómo calculamos valores y vectores propios de ua matriz cuadrada A? La clave está e la ecuació: Esta ecuació podemos escribirla de la forma: A x λ x co x (A λi x co x Esto sigifica que el sistema lieal homogéeo de ecuacioes y icógitas cuya matriz de coeficietes es (A λi ha de ser compatible idetermiado, luego ha de cumplirse: det (A λi A partir de este puto es secillo compreder cómo calcular los valores propios y los vectores propios de ua matriz cuadrada A: Los valores propios de ua matriz cuadrada A so las raíces de su poliomio característico: p(λ det (A λi Para calcular los subespacios propios de A, es decir, el cojuto de todos los vectores de R que cumpla: A x λ x dode λ es u valor propio de la matriz cuadrada A y que vamos a deotar por V (λ, hemos de resolver el sistema homogéeo compatible idetermiado: (A λi x Es decir, si λ es u valor propio de A, etoces: V (λ {x R/A x λ x} { x R/ (A λi x (S.H.C.I. } 9

10 Partiedo de estas caracterizacioes estamos e codicioes de dar u método muy secillo para decidir si ua matriz cuadrada es diagoalizable, que además os permite calcular, e el caso de que la matriz cuadrada A sea diagoalizable, la matriz D diagoal semejate a A y la matriz de paso P. Ua matriz cuadrada A es diagoalizable si y sólo si se cumple las dos codicioes siguietes: k + k + + k r d i k i i,,..., r Dode k i es la multiplicidad del valor propio λ i como raíz del poliomio característico y d i es la dimesió del subespacio propio asociado a λ i, es decir: d i dim V (λ i. Pasamos a propoer otro ejercicio e el que os será útil emplear que la matriz es diagoalizable para calcular sus potecias ésimas. Sea la matriz Calcular A N. Solució. Vamos a descartar los métodos explicados ateriormete y vamos a cetraros e el hecho que la matriz cuadrada A es diagoalizable. No os vamos a deteer e justificar cuáles so los valores propios y los subespacios propios de A pues lo haremos e u capítulo posterior. Realizado las cuetas ecesarios llegamos a: λ ; k ; B {u (,, } λ ; k ; B {u (,, 3, u 3 (,, } dode B i es ua base del subespacio propio λ i. Hemos comprobado que la matriz A es diagoalizable y además se puede escribir 4 : D P A P co P 3 4 Observar que los elemetos de la diagoal pricipal de la matriz diagoal D so los valores propios de A. Si alguo de estos valores propios o es simple hay que escribirlo tatas veces como su multiplicidad como raíz del poliomio característico de A. La columa j ésima de P se correspode co uo de los vectores de la base del subespacio propio V (λ que hemos hallado previamete. De modo que el vector de la columa j ésima de P es u vector propio asociado al valor propio que está e la posició d jj de la matriz D. Como vemos las columas de P so todos los vectores de las dos bases B y B de los subespacios propios V (λ y V (λ que hemos hallado previamete.

11 Partiedo de la igualdad D P A P es muy secillo calcular las potecias ésimas de la matriz A, razoado del modo siguiete: D P A P A P D P A ( P D P (P D P (P D P } {{ } factores Utilizado la propiedad asociativa del producto de matrices, se tiee que: A P D P Teiedo e cueta que las potecias ésimas de ua matriz diagoal D so triviales de calcular, pues: d... d... d... D d D d mm... d mm sólo os queda calcular la iversa de la matriz P para poder calcular A si ecesidad de mucho esfuerzo. Auque se explicará e el capítulo siguiete co más detalle cómo calcular iversas de matrices regulares, procedemos a hallar la iversa de la matriz regular P realizado operacioes elemetales de fila. A cotiuació se explica brevemete e qué cosiste este método. Vamos a calcular la iversa de uestra matriz P utilizado operacioes elemetales de fila. Para ello costruimos ua matriz 3 6 de modo que las tres primeras columas correspoda a la matriz P y las tres últimas columas a la matriz uidad de orde 3 y separaremos las dos matrices co ua líea vertical. Se trata de ir realizado operacioes elemetales de fila de modo que las tres primeras columas se trasforme e la matriz uidad; etoces las tres últimas columas correspode a la matriz iversa de P. E geeral, a la hora de seguir este procedimieto es coveiete seguir u cierto orde. Este orde se basa e observar las tres primeras columas exclusivamete para ir realizado las operacioes elemetales de fila adecuadas de modo que:. Coseguir ceros debajo de la diagoal pricipal.. Trasformar la diagoal pricipal e uos. 3. Hacer ceros ecima de la diagoal pricipal si deshacer lo coseguido.

12 Veamos como procedemos co la matriz P : (P I F F F 3 F F 3 4 F +F F 3 4F F F 3 (I 3 P Para uestra matriz A se tiee etoces que: A P D P N Podemos dejar el resultado de esta forma o bie podemos realizar este producto y obtedremos ua expresió explícita de las potecias ésimas de A: ( ( A N Potecias de matrices cuadradas co Mathematica A cotiuació explicamos cómo podemos utilizar Mathematica para calcular potecias de matrices cuadradas. Ua matriz e Mathematica se carga como ua lista de listas, dode cada ua de las listas so las distitas filas de la matriz A. La fució que os permite calcular potecias ésimas de matrices cuadradas es la fució MatrixPower. a,,,,,,,, ; MatrixPower a,,,,,,,,, Si queremos calcular por ejemplo A utilizamos el operador de sustitució (/..

13 MatrixPower a,. 5,, 5,,,, 5,, 5 Probemos co otro ejemplo: a,,,,,,,, ; MatrixPower a,,,, 3,,,,,.8. Ejercicios propuestos. Sea las matrices: Calcular A y B N. y B. Comprueba que la matriz A es diagoalizable y calcula A N, siedo 3 3. Calcular las potecias ésimas de la matriz cuadrada Sugerecia. Comprobar que la matriz A I 3 es ilpotete de ídice Sea A la matriz: Diagoalizar A y calcular A N. 5. Sea: 3

14 a. Comprobar que para la matriz B A + I 3 se cumple B 3 ( 3 3. b. Calcular A N. 6. Sea A la matriz: Si B A + I 3, calcular B y A N. 3 4

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,

Más detalles

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete

Más detalles

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL Ezequiel Uriel DEFINICIONES Matriz Ua matriz de orde o dimesió p- o ua matriz ( p)- es ua ordeació rectagular de elemetos dispuestos e filas y p columas de la siguiete forma:

Más detalles

en. Intentemos definir algunas operaciones en

en. Intentemos definir algunas operaciones en OPERACIONES EN 8 E la secció aterior utilizamos fucioes de el primer couto y estudiar sus propiedades e Itetemos defiir alguas operacioes e Recordemos de cursos ateriores que tomamos al couto de los compleos

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales Asigatura: Geometría I Grado e Matemáticas. Uiversidad de Graada Tema 2. Espacios vectoriales Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 14 de diciembre de 2012 Ídice 1. Espacio vectorial 2 2. Subespacio

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

Sumando la Derivada de la Serie Geométrica

Sumando la Derivada de la Serie Geométrica Boletí de la Asociació Matemática Veezolaa, Vol. X, No. 1 (2003) 89 MATEMÁTICAS RECREATIVAS Sumado la Derivada de la Serie Geométrica Lyoell Boulto y Mercedes H. Rosas 1. Itroducció Jacobo Beroulli (1654

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. QUÉ ES UN RNSFORMCIÓN? E térmios geerales, ua trasformació es ua fució que permite trasformar u vector que perteece a u espacio vectorial (domiio)

Más detalles

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009 1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN APUNTES CURSO: ALGEBRA SUPERIOR INGENIERIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Medoza Primavera 2009 2

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació

Más detalles

APLICACIONES LINEALES.

APLICACIONES LINEALES. APLICACIONES LINEALES. INTODUCCIÓN: APLICACIONES ENTE CONJUNTOS. Ua aplicació etre dos cojutos A y B es ua regla que permite asigar a cada elemeto de A, uo de B. La aplicació del cojuto A e el cojuto B

Más detalles

Capítulo 2. Operadores

Capítulo 2. Operadores Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es, VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Cuado estamos iteresados e estudiar algua característica de ua població (peso, logitud de las hojas,

Más detalles

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices

Más detalles

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p.

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p. Divisibilidad Matemática discreta Dados dos úmeros aturales a y b, escribiremos a b y leeremos a divide a b si existe u c N tal que ac = b. E este caso, decimos que a es u divisor de b o que b es divisible

Más detalles

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento.

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento. UNIDAD Nº 2 Leyes fiacieras: Iterés simple. Iterés compuesto. Descueto. 2.1 La Capitalizació simple o Iterés simple 2.1.1.- Cocepto de Capitalizació simple Es la Ley fiaciera segú la cual los itereses

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

Gradiente, divergencia y rotacional

Gradiente, divergencia y rotacional Lecció 2 Gradiete, divergecia y rotacioal 2.1. Gradiete de u campo escalar Campos escalares. U campo escalar e R es ua fució f : Ω R, dode Ω es u subcojuto de R. Usualmete Ω será u cojuto abierto. Para

Más detalles

ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS COCOS. (Resolución por JMEB.)

ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS COCOS. (Resolución por JMEB.) ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS OOS. (Resolució por JMEB.) 1. Defiició. El problema cosiste e calcular la catidad de cocos que había iicialmete e u motó que... ierto día se reuiero moos para recoger

Más detalles

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato.

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato. UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Tema Poliomios y otras eresioes algebraicas Estos cocetos está etraídos del libro Matemáticas de achillerato McGrawHill Poliomios: oeracioes co oliomios

Más detalles

SUCESIONES TI 83. T 3 España T 3 EUROPE

SUCESIONES TI 83. T 3 España T 3 EUROPE SUCESIONES TI 83 T 3 España T 3 EUROPE Ferado Jua Alfred Mollá Oofre Mozó José Atoio Mora Pascual Pérez Tomás Queralt Julio Rodrigo Salvador Caballero Floreal Gracia Sucesioes TI83 ÍNDICE. Itroducció...

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS GENNY ALEXANDRA NAVARRETE MOLANO Trabajo de grado para optar por el titulo de Matemático DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA Matemático Uiversidad Nacioal de

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 03 MODELO (RESERVA ) OPCIÓN A EJERCICIO (A) ( 5 putos) U fabricate elabora

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA 1. INTRODUCCIÓN

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA 1. INTRODUCCIÓN INDUCCIÓN MATEMÁTICA EDUARDO SÁEZ, IVÁN SZÁNTÓ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA. INTRODUCCIÓN El método deductivo, muy usado e matemática, obedece a la siguiete idea:

Más detalles

Espacio vectorial ESPACIO VECTORIAL. 8.- Intersección y suma de subespacios vectoriales

Espacio vectorial ESPACIO VECTORIAL. 8.- Intersección y suma de subespacios vectoriales ESPACIO VECTORIAL.- Itroducció.- Espacio Vectorial.- Subespacios vectoriales 4.- Geeració de Subespacios vectoriales 5.- Depedecia e idepedecia lieal 6.- Espacios vectoriales de tipo fiito 7.- Cambio de

Más detalles

MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009

MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009 1 MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009 1. Nocioes básicas De ició: Sea (; F; P ) u espacio de probabilidad y T 6= ; y sea (F t ) t2t ua ltració e F. Ua familia fx t g t2t de v.a. reales de idas sobre

Más detalles

11. TRANSFORMADOR IDEAL

11. TRANSFORMADOR IDEAL . TAFOMADO DEA.. TODUCCÓ Cuado el flujo magético producido por ua bobia alcaza ua seguda bobia se dice que existe etre las dos bobias u acople magético, ya que el campo magético variable que llega a la

Más detalles

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida.

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida. UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN características de asigació. método húgaro o de matriz reducida. Ivestigació de operacioes Itroducció U caso particular del modelo de trasporte es el modelo de asigació,

Más detalles

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a) Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio

Más detalles

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos. IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Dibuje el recito

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA El campo de la estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Motgomery

Más detalles

Series Numéricas Series de Potencias Polinomios de Taylor. Prof. Jorge Brisset

Series Numéricas Series de Potencias Polinomios de Taylor. Prof. Jorge Brisset Series Numéricas Series de Potecias Poliomios de Taylor Prof. Jorge Brisset I.P.A. 008 Ídice geeral. Series Numéricas 3.. De icioes y coceptos..................................... 3.. Propiedades de las

Más detalles

OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con

OBJETIVOS. Objetivos Generales. Objetivos Específicos. Profesora: María Martel Escobar. Una función f es creciente (estrictamente) si x, y Dom(f), con Curso -3 OBJETIVOS Objetivos Geerales Itroducir el cálculo de fucioes de ua variable como fudameto del aálisis ecoómico margial y los problemas de optimizació. Matemáticas Empresariales Doble Grado e ADE

Más detalles

Abel Martín LAS FRACCIONES. - Las fracciones como parte de un todo - Egipto les espera

Abel Martín LAS FRACCIONES. - Las fracciones como parte de un todo - Egipto les espera LAS FRACCIONES - Las fraccioes como parte de u todo - Nuestros amigos prueba su máquia del tiempo. Egipto les espera Despegamos! E la evolució del pesamieto humao, 000 años a. C., los egipcios comieza

Más detalles

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno: Uidad 5 Aualidades vecidas Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: Calculará el valor de la reta de ua perpetuidad simple vecida. Calculará el valor actual de ua perpetuidad simple vecida. Calculará

Más detalles

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA

NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA José Luis Soto Muguía Departameto de Matemáticas Uiversidad de Soora. INTRODUCCIÓN. Desde los primeros años de la escuela, el estudiate se efreta e matemáticas

Más detalles

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de

Más detalles

Planificación contra stock

Planificación contra stock Plaificar cotra stock 5 Plaificació cotra stock Puede parecer extraño dedicar u tema al estudio de métodos para plaificar la producció de empresas que trabaja cotra stock cuado, actualmete, sólo se predica

Más detalles

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci La sucesió de Fiboacci María Isabel Viggiai Rocha Sea la sucesió {a } defiida por: a = a -1 + a -2 si 3 y a 1 = a 2 = 1. Esta sucesió es coocida como la sucesió de Fiboacci y la aparició de la misma brota

Más detalles

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Método del producto. Diagrama de árbol.

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Método del producto. Diagrama de árbol. 8966 _ 6-.qxd 7/6/8 9: Págia 87 Combiatoria INTRODUCCIÓN La combiatoria estudia las distitas formas de agrupar y ordear los elemetos de u cojuto, segú uas ormas establecidas. E esta uidad se aprede a formar

Más detalles

Práctica 6: Vectores y Matrices (I)

Práctica 6: Vectores y Matrices (I) Foamets d Iformàtica 1r curs d Egiyeria Idustrial Práctica 6: Vectores y Matrices (I) Objetivos de la práctica El objetivo de las prácticas 6 y 7 es itroducir las estructuras de datos vector y matriz e

Más detalles

Sucesiones y ĺımite de sucesiones

Sucesiones y ĺımite de sucesiones Tema 3 Sucesioes y ĺımite de sucesioes Ídice del Tema Sucesioes........................................ 60 Progresioes....................................... 63 3 Covergecia......................................

Más detalles

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general 5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y

Más detalles

MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO

MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO FERNANDO ESPINOSA FUENTES Necesidad del reemplazo. Si se matiee u riesgo durate u tiempo

Más detalles

RECOMENDACIONES A LOS ALUMNOS

RECOMENDACIONES A LOS ALUMNOS GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº PAGINA Nº RECOMENDACIONES A LOS ALUMNOS La Asigatura Matemáticas de las carreras Profesorado y Liceciatura e Biología, correspode a primer año; su régime es aual, co tres horas

Más detalles

Teoría Combinatoria. Capítulo 2. 2.1. Dos Principios Básicos.

Teoría Combinatoria. Capítulo 2. 2.1. Dos Principios Básicos. Capítulo 2 Teoría Combiatoria La Teoría Combiatoria es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las formas de cotar Aparte del iterés que tiee e sí misma, la combiatoria tiee aplicacioes

Más detalles

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve El cocepto de límite Correo electróico: josearturobarreto@yahoo.com Zeó de Elea (90 A.C) plateó la

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió

Más detalles

LA SORPRENDENTE SUCESIÓN DE FIBONACCI

LA SORPRENDENTE SUCESIÓN DE FIBONACCI La sorpredete sucesió de Fiboacci LA SORPRENDENTE SUCESIÓN DE FIBONACCI La sorpredete sucesió de Fiboacci debe su ombre a Leoardo de Pisa (.70-.40), más coocido por Fiboacci (hijo de Boaccio). A pesar

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

Ley de los números grandes

Ley de los números grandes Capítulo 2 Ley de los úmeros grades 2.. La ley débil de los úmeros grades Los juegos de azar, basa su sistema de gaacias, fudametalmete e la estabilidad a largo plazo garatizada por las leyes de la probabilidad.

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

REPRESENTACIONES GRÁFICAS Capítulo 5 REPRESENTACIONES GRÁFICAS Autores: José María García Palaco Marta Sáchez-Cabezudo Tirado 5 REPRESENTACIONES GRÁFICAS Cualquier experimeto tiee por fialidad comprobar la validez de u modelo teórico,

Más detalles

Tema 9 Teoría de la formación de carteras

Tema 9 Teoría de la formación de carteras Parte III Decisioes fiacieras y mercado de capitales Tema 9 Teoría de la formació de carteras 9.1 El problema de la selecció de carteras. 9. Redimieto y riesgo de ua cartera. 9.3 El modelo de la media-variaza.

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (1 5 putos) Represete gráficamete el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes:

Más detalles

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante,

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante, 883 Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Métodos uméricos de u paso El objetivo de este capítulo es itroducir los métodos uméricos de resolució

Más detalles

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones.

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones. MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 1 TEMA 28: Estudio global de ucioes Aplicacioes a la represetació gráica de ucioes Esquema: Autor: Atoio Pizarro Sácez 1 Itroducció 2 Domiio de deiició y recorrido

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía

Más detalles

5n la Unidad 4 hemos estudiado las razones trigonométricas de un ángulo y sus relaciones;

5n la Unidad 4 hemos estudiado las razones trigonométricas de un ángulo y sus relaciones; UNIDAD Fucioes trigoométricas y úmeros complejos la Uidad hemos estudiado las razoes trigoométricas de u águlo y sus relacioes; E e esta vamos a estudiar las fucioes circulares a que da lugar las mecioadas

Más detalles

ALGORITMOS Y DIAGRAMAS DE FLUJO

ALGORITMOS Y DIAGRAMAS DE FLUJO ALGORITMOS Y DIAGRAMAS DE LUJO Elabore diagramas de flujo para expresar la solució de los problemas que se preseta a cotiuació. Auque sólo se pida explícitamete e alguos casos, es ecesario que Ud. siempre

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A =

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A = IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-1 x -x Sea las matrices A, X y e Y -1 3 0 - z (1 puto) Determie la matriz iversa de A. ( putos)

Más detalles

Programación Entera (PE)

Programación Entera (PE) Programació Etera (PE) E geeral, so problemas de programació lieal (PPL), e dode sus variables de decisió debe tomar valores eteros. Tipos de PE Cuado se requiere que todas las variables de decisió tome

Más detalles

Capítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas

Capítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas La importacia del factor de potecia e las redes eléctricas. Itroducció Las fuetes de alimetació o geeradores de voltaje so las ecargadas de sumiistrar eergía e las redes eléctricas. Estas so de suma importacia,

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució LITERATURA Y MATEMÁTICAS El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía cuidadosamete los

Más detalles

Ecuaciones de recurrencia

Ecuaciones de recurrencia Capítulo 6 Ecuacioes de recurrecia E argumetos lógicos o e algoritmos, cuado hay que dilucidar o resolver ua sucesió de casos, el matemático busca averiguar la estructura comú y la coexió de cada caso

Más detalles

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala Muestreo. Tipos de muestreo. Iferecia Itroducció Nota.- Puede decirse que la Estadística es la ciecia que se preocupa de la recogida

Más detalles

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida CADENAS DE MARKOV Itroducció U proceso o sucesió de evetos que se desarrolla e el tiempo e el cual el resultado e cualquier etapa cotiee algú elemeto que depede del azar se deomia proceso aleatorio o proceso

Más detalles

2. LEYES FINANCIERAS.

2. LEYES FINANCIERAS. TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),

Más detalles

La contribución de la clase de Computación a la introducción y desarrollo de conceptos elementales de Matemática Numérica en el nivel medio.

La contribución de la clase de Computación a la introducción y desarrollo de conceptos elementales de Matemática Numérica en el nivel medio. La cotribució de la clase de Computació a la itroducció y desarrollo de coceptos elemetales de Matemática Numérica e el ivel medio. MsC. Rubé Rodríguez Ramos Lic. Eric Crespo Hurtado Dr. C. Tomás Crespo

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 2)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 2) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 0 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A ( 5 putos) Halle la matriz X que verifique la ecuació

Más detalles

En esta parte se presentan diversas técnicas para contar los elementos de un conjunto. Paralelamente a la descripción de técnicas usuales de

En esta parte se presentan diversas técnicas para contar los elementos de un conjunto. Paralelamente a la descripción de técnicas usuales de 25 Parte I Eumeració E esta parte se preseta diversas técicas para cotar los elemetos de u cojuto. Paralelamete a la descripció de técicas usuales de eumeració, se preseta tambié problemas clásicos de

Más detalles

Soluciones problemas del Tema 2

Soluciones problemas del Tema 2 1 Solucioes problemas del Tema 1) a) E(W ) = E(X + Y + Z) = E(X) + E(Y ) + E(Z) = 0; V ar(w ) = V ar(x) + V ar(y ) + V ar(z) + (Cov(X, Y ) + Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)) = 1 + 1 + 1 + ( 1 + 0 ) 1 4 4 = 3 b)

Más detalles

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS PROFESORES: MARIN JAIMES CARLOS JAVIER SARMIENTO LUIS JAIME UNIDAD 3: EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN EL VALOR PRESENTE NETO VPN Es ua

Más detalles

LOGARITMOS. Ejercicio 1 Determine los respectivos dominios de existencia de las siguientes funciones: 2

LOGARITMOS. Ejercicio 1 Determine los respectivos dominios de existencia de las siguientes funciones: 2 LOGARITMOS Como seguramete el estudiate recordará, e cuarto año apredió a traajar co los aritmos, y allí se eteró de que éstos se defie a partir de la ecesidad de despejar el expoete de ua potecia. Vamos

Más detalles

Capitulo 2. Filtros. 2.1 Antecedentes

Capitulo 2. Filtros. 2.1 Antecedentes Capitulo. Filtros.. Atecedetes U filtro es u elemeto que tiee como fució separar compoetes que se ecuetra mezclados, ser capaz de rechazar los ideseables y así daros como resultado úicamete los deseados.

Más detalles

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS) Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico

Más detalles

UNIDAD II - CONJUNTOS Y TECNICAS DE CONTEO

UNIDAD II - CONJUNTOS Y TECNICAS DE CONTEO UNIDAD II - CONJUNTOS Y TECNICAS DE CONTEO. INTRODUCCIÓN El orige de la teoría de la probabilidad se ecuetra e el trabajo motivado por los juegos de azar de los matemáticos Pedro de Fermat (60-665), Blas

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 x -1 Se cosidera la matriz A = 1 1 1. x x 0 (1 5 putos) Calcule los valores de x para los que o existe

Más detalles

A N U A L I D A D E S

A N U A L I D A D E S A N U A L I D A D E S INTRODUCCION Y TERMINOLOGIA Se deomia aualidad a u cojuto de pagos iguales realizados a itervalos iguales de tiempo. Se coserva el ombre de aualidad por estar ya muy arraigado e el

Más detalles

Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z), como. La relación entre la secuencia y su transformada se denota por:

Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z), como. La relación entre la secuencia y su transformada se denota por: Tema 4. Trasformada Z. La trasformada Z para sistemas discretos desempeña u papel aálogo a la trasformada de Laplace para sistemas cotiuos. os va a permitir represetar la relació etrada salida de u sistema

Más detalles

ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS

ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS NÁLSS Y ESOLCÓN DE CCTOS. Las Leyes de Kirchhoff..- Euciado de las Leyes de Kirchhoff. Defiició de Nodo y Lazo Cerrado. Las Leyes de Kirchhoff so el puto de partida para el aálisis de cualquier circuito

Más detalles

Existencia. donde R(a) = {b B / (a, b) R} y R 1 denota la relación inversa de R. ({a} R(a)) y esta unión es disjunta entonces se tiene

Existencia. donde R(a) = {b B / (a, b) R} y R 1 denota la relación inversa de R. ({a} R(a)) y esta unión es disjunta entonces se tiene Existecia. El pricipio de los casilleros. Si queremos colocar 3 bolillas e cajas, es evidete que e algua caja deberemos colocar al meos dos bolillas. Lo mismo ocurre si e lugar de 3 bolillas tuviésemos

Más detalles

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)

Más detalles

Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera

Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera Cálculo para la igeiería Tomo II Salvador Vera 9 de eero de 5 ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 998-4. Ídice geeral 7. Series Numéricas 7.. El sigo del sumatorio: Sigma Σ... 7... Propiedades

Más detalles

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U cliete de u supermercado ha pagado u total de 156 euros por 24 litros de leche,

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las

Más detalles